（基础数学专业论文）对集函数Κ的更多认识.pdf

对集函数咒的更多认识 中文提要 中文提要 f b u r t o nj o n e s 于1 9 4 8 年最早提出了集函数的概念，这包括贮函数，丁一 函数等，而且他本人对丁- 函数做了一些基础性的研究，得到了一些很好的 结果，为其它集函数的研究提供了参考。后来又有其他拓扑学家也提出了 类似的概念，例如在1 9 8 1 年，d a v i dp b c l l a m y 和l e w i sl u m 提出了亿函数 的概念，并且他们用亿函数来研究弧连通的齐性连续统通过这些工作， 数学家们又多了一条研究a p o s y n d e s i s 和局部连通性的方法与7 函数的研 究进展相比，对于j i c 函数的研究还没有那么丰富，所以瓦一函数在拓扑学其 它方面的应用还在进一步的探索中。本文主要得出了疋一函数与局部连通， 连通的i mk l e i n e n 以及a p o s y n d e t i c 之间的关系，并对瓦一函数的应用做了一 些新的尝试 关键词：j i c 一函数；a p o s y n d e t i c ；连通的i mk l e i n e n 作者：高合珠 指导老师：周友成( 教授) m o r eo nt h es e tf u n c t i o n 瓦 a b s t r a c t m o r eo nt h es e tf u n c t i o n 疋 a b s t r a c t i n1 9 4 8f b u r t o nj o n e sf i r s t l yg a v et h ec o n c e p to fs e t v a l u e df u n c t i o n sw h i c hi n c l u d i n g 瓦，7 - ，c t c h ed i ds o m eb a s i cs t u d i e so n 瓦a n dg o ts e v e r a lg o o dr e s u l t s i t sv e r y u s e f u lf o rt h er e s a r c ho nt h eo t h e rs e t v a l u ef u n c t i o n s l a t e ri n1 9 8 1 ，d a v i dp b e l l a m y a n dl e w i sl u md e f i n e dt h es e tf u n c t i o n7 4t os t u d ya r c w i s ec o n n e c t e dh o m o g e n e o u s c o n t i n u a a l lt h e s ew o r km a k e sm a t h e m a t i c i a nh a v em o r ec h o i c e so nt h es t u d yo f a p o s y n d e s i sa n dl o c a lc o n n e c t i v i ty t h o u g hm u c hm o r ew o r kh a v eb e e nd o n eo nt h e r e s a r c ho f7 - a n d t h ew o r ko n 足i sn o tt o om u c h w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n 咒a n dl o c a l l yc o n n e c t i v i t y ，a p o s y n d e t i c ，a n dc o n n e c t e di mk l e i n e n ，t h e nd os o m et r i e s o nt h ea p p l i c a t i o no fj j c k e y w o r d s ：疋一f u n c t i o n ；a p o s y n d e t i c ；c o n n e c t e di mk l e i n e n w r i t t e nb yg a oh e z h u s u p e r v i s e db yp r o f z h o uy o u c h e n g i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它 教育机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名：壶鱼竖日期：竺望! 竺! ， 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致，除在保密期内的保密论文外，允许 论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的 公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 南台诛 日期： 日期： y 口7 ，5 i l , 对集函数瓦的更多认识 引言一 芦i 士 ji 茜 连续统的某些局部性质是拓扑学家研究的一个重要内容，在这个过程中 拓扑学家们不断的引进了一些新的概念，这些新的概念更加丰富了对连续 统的研究，其中f b u r t o nj o n e s 在1 9 4 8 年最早提出了集函数的概念，如瓦一函 数、y - 函数、丁一函数等，并且f b u r t o nj o n e s 本人也对这类函数中某些作了一 些比较深入的研究，其中丁算得上得到结果最多也最丰富的一个了，并且后 来陆陆续续也有其他的数学家加入了这个行列，例如墨西哥拓扑学家s e r g i o m a n i a s 等再后来为了研究弧连通的齐性连续统，1 9 8 1 年d a v i dp b e l l a m y 和l e w i sl u r e 提出了亿函数的概念，而最近的关于亿函数的研究则是由 b e n j a m i ne s p i n o z a 和s e r g i om a c l a s 两人联合撰写的文章o n 沈es e tf u n c t i o n 冗 【1 j 在集函数这个研究领域，我国的数学家也有涉及，例如周友成教授在文 章【7 和1 8 中就对集函数r 就进行了一些研究，得到了关于集函数r 的连 续性，可加性，对称性的一些结果但总体上来说，相比较于丁研究所得 到的结果，其它集函数的研究结果还没有那么丰富正是基于这个原因， 本人在已经阅读了一些文献资料，如文献 4 1 ，f 5 】，f 6 ) ，f 7 】， 8 】并且已经掌握了某 些集函数的主要性质的基础上，对瓦一函数作了一些进一步的探索主要是 对瓦一函数的基本性质，j i c 一函数与a p o s y n d e t i c 的关系，以及瓦一函数与连通 的i mk l e i n e n 的之间的关系作进一步的展开关于集函数的连续性至今都还 没有一个比较满意的结果，目前的结果仍然增加了较多的限制条件才可以 得到一些相应的结论，所以这个方面是有待突破的研究方向 因为集函数类型较多，本文不能一一列出，有感兴趣的读者可以参考其 它的文献，特别是文献【4 】中给出了我们常见的几个集函数的概念 对集函数瓦的更多认识第一章预备知识 第一章预备知识帚一早。】叭合大u 。忧 1 1 基本定义 以下提到的空间如果没有特别说明都是指的度量空间另外我们在这 里给出文中所提到的一些常用符号的含义v ( x ) 是指x 的所有子连续统 所组成的集族2 x 指x 的所有紧子集所组成的集族我们用p ( x ) 表示x 的幂集族：p ( x ) = a i acx ) 定义1 1 1一个点或一个集合在x 中的连续统邻域是x 的一个连续统， 这个点或集合包含于这个子连续统的内部 定义1 1 2i c ( a ) 是所有包含a 的连续统邻域的交即i c ( a ) = n c ( x ) i a ，秕( 彤) ) ，对于这个定义我们给出一个更加好用的等价形式：l c ( a ) = x z xw c ( x ) ，acj 咒( w ) ，z 】 定义1 1 3连续统x 叫做邻域余连通的，如果对任意的x x ，茁的任意邻 域的补是连通的 定义1 1 4x 是一个空间，x 的非空子集族八叫做x 的滤子基，如果对 八的任意两个元素a l 和a 2 ，总存在a 3 八，使得a 。ca 。na 2 定义1 1 5 一连续统x 叫做肛可加的，如果对2 x 的任两个元素a ，b 都 有1 c ( aub ) = j i c ( a ) u | i c ( b ) 定义1 1 6 一连续统x 叫做j j c 对称的，如果对2 x 的任两个元素a ，b 都 有4nl c ( b ) = 仍当且仅当bn c ( a ) = 仍 定义1 1 7 连续统x 叫做遗传单凝聚的如果它的任何两个子连续统的交还 是连通的 定义1 - 1 8x 和y 是两个连续统，是从x 到y 的满射，厂是单调的如 果对任意y y 都有厂1 ( 可) 是连通的 定义1 1 9 连续统x 叫做点c 一对称的，如果对x 的任何一对点p 和q 都 对集函数l c 的更多认识第一章 预备知识 有p 瓦( q ) ) 当且仅当q | i c ( 妇 ) 定义1 1 1 0 x 是一连续统，p 和口是x 的任意两点我们称x 关于q 点在p 点a p o s y n d e t i c ，如果存在x 的一子连续统w ，满足p i n t ( w ) cw cx 吐 x 是一连续统，x 在p 点是a p o s y n d e t i c 的，如果x 关于x p 的每个点在p 点a p o s y n d e t i c 如果x 在它的每一点都是a p o s y n d e t i c 的，则x 是a p o s y n d e t i c 的 定义1 1 1 1 设x 是一连续统，z x ，称x 在z 是连通的i mk l e i n e n ，如 果对x 的每个闭子集f ，f 满足fcx z ，都存在x 的子连续统w ，使得 z i n t ( w ) cwcx f 此外定义也可以写成另外的一种形式：x 在z 是 连通的i mk l c i n e n ，如果对每个包含z 的开集u 都存在x 的子连续统w ，使 得z i n t ( w ) cw cu 成立 定义1 1 1 2x 是一连续统，我们称瓦在x 上是幂等的，如果对x 的任意 闭子集a 都有瓦2 ( a ) = j i c ) 1 2 基本引理 引理1 2 1 ( 【2 】) 设x 是一个连续统，a 是x 的闭子集并且a 只有有限的连 通分支如果z i n t ( a ) 同时c 是a 的包含z 的连通分支，那么z t n t ( c ) 引理1 2 2 ( 【2 】) 连续统x 是不可分解的当且仅当x 的每个真子连续统有 空内部 引理1 2 3 ( 【3 ) 如果x 是一p e a n o 空间，d 是x 上的度量给定 0 ，总 存在一个6 0 ，使得对于x 中的任意两点a 和b 只要满足d ( n ，b ) 6 ，就存 在一条从a 到b 的弧a ，使得d i a m ( a ) 3 对集函数厄的更多认识 第二章两个例子 第二章两个例子 例2 1令x = c l ( x ，s i n ( 1 ) ) r 2 f z ( o ，击 ) ，x 通常叫做拓扑学家的正弦曲 线，其中再令x 1 = ，因为x 是局部连通的，由引理1 2 3 所以存在a 的连通邻域现，使得d i a m ( u a ) r 又因为a 是紧致的所以存在 a l ，a 2 ，o 。a ，使得acu j 1 ce l ( u s ：1v a , ) ，所以c l ( u j ：1 ) c ) ， 由构造知z 隹c f ( u 整。u o ，) ，则z 岳j i c ( a ) ，所以c ( a ) ca ，从而有j | l c ( a ) = a 注定理3 3 回答了上一章两个例子后面所提出的问题，这个定理告诉了我 们对于局部连通的连续统，瓦是c ( x ) 上的单位映射 定理3 4x 是一连续统，如果八是义的闭子集所构成的滤子基，则瓦( n 八) = n c ( a ) i a 八) 证明由命题3 1 知道i c ( f a ) cn 尼( a ) i a 八) ，下面只需要证明n x ：( a ) i a 八) c 庀( n 八) 设z x k ( n 八) ，那么存在w c ( x ) ，使得z 隹w 而 5 对集函数瓦的更多认识第三章k 一函数的主要性质 nac ，谢( 形) 又a 是滤子基，所以存在a a ，使得ac ，耐( 彬) ，z w ，所 以zg 疋( a ) 因此有z 隹n l c ( a ) i a 八 ，即n k ：( a ) i a 八) ci c ( n 八) ，所以 尼( na ) = n 莨( a ) f a a 定理3 5 如果x 是咒对称的连续统，则x 是j i c 一可加的 证明设a ，b 2 x ，由命题3 1 可知瓦( 4 ) u 瓦( b ) c 疋( a u b ) 是显然 的下面设z 瓦( aub ) ，由x 的| c 的对称性知咒( z ) ) n ( aub ) 彩即 瓦( z ) ) na 囝或咒( z ) ) nb 0 ，再次由x 的瓦一对称性知z 疋( 4 ) 或z 瓦( b ) ，所以z 瓦( a ) u 瓦( b ) 因此瓦( a u b ) c c ( a ) up c ( b ) ，从而 瓦( a u b ) = 疋( 4 ) u 尼( b ) 定理3 6x 是一遗传单凝聚的连续统，a ，b 是x 的非空闭子集，则有下列 两个式子等价： ( 1 ) c ( a ) nb = d ( 2 ) 存在x 的非空闭子集m ，使得aci n t ( m ) bci n t ( n ) ，i c ( m ) nn = o 证明( 1 ) 如果i c ( a ) nb = 0 ，那么bcx 瓦( a ) 对于每个b b ， 存在w b c ( x ) ，使得b 隹而aci n t ( w b ) 。因为b 是紧致的，所以 存在有限个b 1 ，b 2 ，k b ，使得bcu j 1 ( x 岷) cx a ，即ac 他。i n t ( 岷) c 曝，x 是一度量空间，所以存在开集ucx ，使得ac uce l ( u ) cn 1i n t ( 眠) cn 1 眠同理存在开集vcx ，使得bcvc c l ( v ) cu 。( x 岷) 分别取m = c ! ( u ) ，n = a ( y ) 。因为x 是遗传单凝 聚的，所以n 。是一连续统又n 凳。岷cx n cx vcx b ，则 i c ( m ) c 。n ：l 岷cx ，所以i c ( m ) n = d 从( 2 ) 推到( 1 ) 是显然的 推论3 7 设x 是遗传单聚的连续统，a 是x 的一个闭子集如果z x i c ( a ) ， 则存在x 的一个开子集ucx ，使得acu ，z x 瓦( c f ( u ) ) 定理3 8 如果x 是妊可加的连续统，而a 是x 闭子集，则瓦( a ) = 6 对集函数瓦的更多认识第三章j i c 一函数的主要性质 u 。a 足( ( n ) ) 证明设a 是瓦一可加的连续统x 的一个闭子集，a 是闭子集a 的任 意一点，则由命题3 1 可知道厄( n ) ) ct o ( a ) ，从而o 。a 厄( o ) ) c 瓦( a ) 下面设x x ，x 满足对每个a a 都有x x 瓦( o - ) 由推论3 7 可知 存在开子集u ocx ，使得a y o ，同时有z x 咒( c 2 ( 玩) ) 因为a 是紧致 的，所以 ) n a 就构成了a 的一个开覆盖，因此存在a 。，a ：，a 。a ，使 得acu 釜1u a j 又因为对每个j 1 ，2 ，n ) ，都有x x 瓦( c c ( ) ) ，从而 z x u 。t c ( c t ( u o , ) ) ，由假设x 是j i c 一可加的，所以z x 厄( u 1c z ( u o ，) ) 进而z x 瓦( a ) ，故x u 。a 瓦( n ) ) cx 瓦( a ) ，从而c ( a ) cu 。a 瓦( ( n ) ) ，所 以瓦( a ) = u 。疋( _ 【o ) ) 定理3 9 连续统x 是j i c 一对称的充分和必要条件是x 是疋一可加的和点瓦一 对称的 证明如果x 是厄一对称的，则由定理3 5 知道x 是瓦一可加的，又单 点显然是闭集，所以x 是点) | c 一对称的显然 设x 是点瓦对称的和瓦一可加的令a 和b 是x 的两个闭子集，并设 a n 尼( b ) ：彩，而假设bn c ( a ) 0 设x bnj i c ( a ) ，那么x b 且z j i c ( a ) 因为x 是j i c 一可加的，a 是x 的闭子集，由定理3 8 的结论我们可以知 道瓦( a ) = u 。a 瓦( ( n ) ，即x 瓦( a ) = u 。a 足( n ) ) 所以存在一个o a ，使 得z j j | c ( n ) ) ，又由假设x 是点瓦一对称的，所以a j i c ( z ) ) ci c ( b ) ，这与 j ) | c ( b ) na = d 相矛盾所以bn 赶( a ) = d ，从而x 是| i c 一对称的 定理3 1 0 x 是一连续统如果x 是j i c 一可加的，当且仅当对x 的闭子集族 八且u 八还是x 的闭子集，都有l c ( u l i l 八) ) = u t c ( l ) i l 八) 证明假设x 是j ) | c 一可加的，a 和b 是x 的闭子集，则由命题3 1 可知 t c ( a ) u t c ( b ) c 7 【c ( a u b ) ，所以u t c ( l ) i l 八】c 厄( u l l l 八) ) 是显然的 下面设z x u t c ( l ) i l 八) ，对每个l 八，设f ( l ) = _ a 是x 的闭 子集i lc ，疵( a ) ，则显然f ( l ) 是x 的闭子集所组成的滤子基且n a i a 7 对集函数疋的更多认识第三章 _ 7 | c 函数的主要性质 f ( 三) ) = l ，由已经证明的定理3 4 知道咒( 三) = 1 1 r ( a ) i a f ( 三) ) 因此对每 个l 八，z 隹j i c ( l ) 即z x n ( | i c ( a ) j a f ( l ) ) ，所以对每个l 八存在 某个a l f ( ) ，使得z x 1 c ( a l ) 而( i n t ( a l ) i l 八) 构成了u 八的一个 开覆盖又u 八还是闭集，从而是紧致的，因此存在l - ，l z ，l n 八，使得 u a cu 。i n t ( a l ，) ，由假设和数学归纳法知| i c ( u 。a l ，) = u l 。l c ( a l ，) 从而 k ：( u l i l 八) ) cu 譬1i c ( a l ，) ，又因为对每个j 1 ，2 ，佗) ，z x e ( a l j ) 所以z x u 1 瓦( a l f ) cx i c ( u l i l 八) ) 即k ：( u l i l 八) ) cu c ( l ) i l 八) 而另外一个方向的包含关系是显然的 下面的两个定理告诉了我们瓦与幂等性之间的某些关系 定理3 1 1x 是一连续统，j i c 在x 上是幂等的，z 是x 的非空闭子集 如果r ( z ) = aub ，其中a 和b 是x 的非空闭子集，那么j i c ( aub ) = 瓦( a ) u r ( b ) = a u b 证明由瓦的幂等性及命题3 1 可得r ( z ) = au bcr ( a ) u 瓦( b ) c r ( a u b ) = 尼2 ( z ) = r ( z ) 定理3 1 2 瓦一函数在连续统x 上是幂等的如果z 是x 的非空闭子集，那 么r ( z ) = u 疋( ( u ) ) l u 瓦( z ) ) 证明设z u 尼( 扣) ) f u 厄( z ) ) ，则存在u 瓦( z ) ，使得z 尼( p ) ) 因 为瓦是幂等的，瓦( 扣) ) c c 2 ( z ) = 瓦( z ) 因此，z | c ( z ) ，并且u ( 瓦( u ) i u 足( z ) c 足( z ) 相反的包含关系是显见的 8 对集函数j i c 的更多认识 第四章进一步的结论 第四章进一步的结论 在这部分我们可以看到用尼一函数来刻画局部连通性、a p o s y n d c t i c 以及 连通的i mk l e i n e n ，最后我们将看到瓦与连续映射之间的关系 命题4 1 如果连续统x 关于q 点在p 点a p o s y n d e t i c 的话，则有q 咒( 切) ) 进而如果x 是a p o s y n d e t i c 的话，那么x 是点疋一对称的 定理4 2x 是半局部连通的连续统，当且仅当j | | c ( p ) ) = p ，对每一个p x 都成立 证明x 在p 点是半局部连通的，由命题3 1 可以知道p 瓦( p ) ) 再 令q x p , u 是包含p 的一个开子集，u 满足p u 而q x c l ( u ) ，连续 统x 在p 点局部连通，所以存在x 的开子集vcx ，使得p vcu ，x v 有有限个连通分支，由引理1 2 1 知q 属于x v 的某一个分支形的内部， 即q i n t ( w ) 因为p 譬彬q j 疵( w ) ，所以p 隹j 7 | c ( ( q ) ) ，由q 的任意性和 p 尼( p ) ) ，则有瓦( 切) ) = p 再设对任意的。x 都有瓦( z ) ) = z ) 令p x ，u 是包含p 的一个 开集，对任意q x u ，q x 切 也即| i c ( 口) ) cx p ) 由瓦的定义存在 wcx 使得p ，q i n t ( ) 从而q ，位( ) c 岷cx 伽) ，优( ) l q x u ) 构成了x u 的一个开覆盖因为x u 是闭集所以是紧集，那么存 在q 1 ，q 2 ，g n x u ，使得x ucu y ；。i n t ( ) 令v ：x ( u 1 ) ，显然v 是x 的开子集并且满足p vcu ，而x v 有有限个连通分支，因此x 是 半局部连通的 定理4 3 连续统x 是a p o s y n d e t i c 的，当且仅当j i c ( p - ) = p ) 对每个p x 都成立 证明假设x 是a p o s y n d e t i c 的，不妨设p x ，则对任意的q x p ) 因为x 关于q 在p 点a p o s y n d e t i c ，由命题4 1 知道q x 瓦( p ) ) ，由q 的任意 9 对集函数i c 的更多认识第四章进一步的结论 性以及瓦( ( p ) ) c ( p ) 知瓦( p ) ) = p 假设对任意z x 都有瓦( z ) ) = z ) ，并且p 和q 是x 中的任意两点， p q ，即p x 口) 由假设从而p x 瓦( q ) ) 由命题4 1 知x 关于p 在q 点a p o s y n d e t i c ，而p 和q 是x 中任意的两点，所以x 是a p o s y n d e t i c 的 定理4 4x 是半局部连通当且仅当x 是a p o s y n d e t i c 的 证明由定理4 2 和定理4 3 我们可以得到结论 定理4 5 设x 是一连续统，如果p x ，那么x 在p 点是连通的i mk l e i n e n ， 当且仅当对每个a p ( x ) ，只要p c i ( a ) 都有j i c ( 1 p ) ) n c l ( a ) = 囝 证明设p x ，假设x 在p 点连通的i mk l c i n e n 令a p ) ，并设 p x c l ( a ) ，则存在一个子连续统w x ，使得p i n t ( w ) cw cx c l ( a ) c x a 则由咒一函数的定义c z ( a ) nj i c ( d ) = 囝 设m 是x 的任何一个闭子集，p 点满足p x m ，由肛函数定义和 足( p ) nm = o ，则存在子连续统wcx ，使得mnw = o ，即mcx 彤而 p i n t ( w ) cw ，p i n t ( w ) cw cx m ，所以x 在p 点是连通的i mk l e i n c n 定理4 6x 是一连续统，x 是不可分解连续统当且仅当对于每个p x 都 有瓦( _ p ) ) = x 进而对于每个x 的闭子集4 都有瓦( a ) = x 证明假设x 是不可分解连续统由引理1 2 2 可知x 的每个真子连 续统都只有空内部，因此对每个p x 都有瓦( 【p ) ) = x 成立 现在设x 是可分解的，所以存在x 的两个真子连续统a 和b ，使得 x = a ub 令a a b ，再令b b a 那么有b i n t ( b ) cb cx ( n ) ，即有 a x 瓦( 如 ) 这样| | | c ( 6 ) x 与命题假设相矛盾，所以x 是不可分鳃的 定理3 3 告诉我们，如果x 是局部连通的连续统，对于x 的任意子连 续统a 都有瓦( a ) = a ，即瓦限制在局部连通的连续统x 的真子连续统上是 单位映射，当然是连续的定理4 6 也表明了，对于不可分解连续统，瓦是 连续的而对于更一般的情况，好多的结论现在还不得而知这里我们只 来说明| | | c 是上半连续的 1 0 对集函数瓦的更多认识第四章进一步的结论 定理4 7 设x 是一连续统如果u 是x 的开子集，那么 l , = a 2 x i k ：( a ) cu ) 是2 x 中的开集 证明u 是x 的开子集，并令“= a 2 x i k ；( a ) cu ) ，只要证明纠在 2 x 是开的即可设b c f z x ( 2 x w ) ，则存在2 x w 的一列元素 风 巽。收敛到 b 注意n x 寸每个礼n 都有j c ( b 。) n ( x u ) 彩( 否则，l c ( b 。) n ( x u ) = 0 ， 所以t c ( b 。) c 配b 。酎这与 玩 巽，是2 x w 的序列相矛盾) 因为对每 个礼n ，l c ( b 。) n ( x v ) d ，所以设x 。j c ( b 。) n ( x u ) ，不失一般性，我 们假设 z 。) 是。收敛到z x x v 是闭集，故z x u 下面我们断言 x p c ( b ) 反之假设z x v c ( b ) 那么存在一个子连续统wcx ，使得 x 譬彬bci n t ( w ) c 彬z x wcx b 因为 玩) 器1 收敛到b ，并且 z 。) 器1 收敛到z ，所以存在n n ，使得对每个n n 有b 。cw ，并且 z n 隹z n t ( w ) 设礼n ，那么z 隹w ，风ci n t ( w ) 即有z 。x v c ( b 竹) 这与z 。 的取法相矛盾，所以z l c ( b ) n ( x u ) ，因此b 2 x w ，所以2 x 诳在2 x 中是 闭集，从而甜是2 x 中的开集 下面是咒与连续映射之间的关系，它也是本文所得到的一个主要结果 定理4 8 设x 和y 是遗传单凝聚的连续统，是从x 到y 的连续开满 射如果a p ( x ) ，b p ( y ) 则下列关系成立： ( 1 ) k ：y ( b ) c t k ：x f - 1 ( j e 7 ) 并且厂一1 厄y ( b ) ci c x f 一1 ( b ) ( 2 ) 如果厂还是一单调映射，则厂瓦x ( a ) c 足y ，( a ) ， 从而，- 1 j j c y ( b ) = i c x f _ 1 ( b ) 证明( 1 ) 任取y y 厂瓦x 厂1 ( b ) ，则厂1 ( 可) n 瓦x f _ 1 ( b ) = o 任取z 厂1 ( 可) 则z x v c x 厂1 ( b ) 由瓦函数的定义可知存在c ( x ) 使得z 岳即z x ，同时s - 1 ( b ) ci n t ( w 。) 因为厂1 ( 秒) 是紧致集， 所以存在有限多个z - ，z 2 ，z 。广1 ( 耖) ，使得厂1 ( 可) cu x ，( x 儿，) ，也即 y - 1 ( 秒) cx ( n 1 矾j ) ，所以y y 厂( n 1 儿j ) 又厂- 1 ( b ) cn 1 i n t ( w z j ) c 11 对集函数瓦的更多认识第四章 进一步的结论 n 饕。儿，则bc 厂( n 凳，耐( ) ) c ，( n 务。) 眠，) 因为x 是遗传单凝聚连续 统，所以n ，是x 的子连续统，并且厂是连续开映射，( n 。z n t ( w z ，) ) 是y 中的开集，所以f ( n j 。儿，) 是y 中的子连续统而隹，( n 凳。儿，) n 日, - 1bcj ( n 2 _ - ，i n t ( w 。j ) ) c ，( 帷1 比，) ，所以可隹i c y ( b ) ，从而有j c y ( b ) c 厂瓦x 厂_ 1 ( b ) 下面我们证明y - 1 j i c y ( b ) c 咒x 厂1 ( b ) 设z x j ) | c x 厂1 ( b ) ，那么存在w c ( x ) ，使得z x w 同时厂一1 ( b ) ci n t ( w ) cw ，所以bcy ( i n t ( w ) ) c 厂( w ) 又y ( x ) y 厂( 彬) ，f 是连续开映射，所以厂( ，仳( ( ) ) 是y 中的开集，y ( w ) 是y 中的子连续统又f ( x ) y 厄y ( b ) ，z f - 1 ，( z ) cx y - 1 | i c y ( b ) ，所以 y - 1 足y ( b ) c 瓦x ，一1 ( b ) ( 2 ) 任取可y i c y ，( a ) ，那么存在w c ( y ) ，使得秒y 彬而y ( a ) c i n t ( w ) cw 由y w 知f - 1 ( y ) cy - 1 ( y w ) cx y - 1 ( w ) 因为，是单 调的，所以y - 1 ( w ) 是x 中的子连续统又acy - 1 ( i n t ( w ) ) cf - 1 ( w ) ，所以 y - 1 ( 可) cx 彪x ( a ) 且秒y - 厂j 7 | c y ( 4 ) 即有f l c x ( a ) c c y y ( a ) 再证明第二部分呶f 一1 ( b ) = y - x c y ( b ) ，即证疋x 厂1 ( b ) cy - 1 l c y ( b ) ，同时 有y - 1 瓦y ( b ) c 咒x 厂一1 ( b ) 设z x y - 1 咒y ( b ) ，则f ( x ) y i c y ( b ) ，从而存在 w c ( y ) ，使得厂( z ) y 彤，bci n t ( w ) cw 又z y - x y ( x ) cx y - 1 ( w ) ， 而, - 1 ( b ) cf - 1 ( ，耐( 彬) ) cy - 1 ( w ) ，是单调的，是子连续统，所以y - 1 ( w ) 也是子连续统，z 譬i c x 广( b ) ，所以i c x 广1 ( b ) cy - 1 瓦y ( b ) ，而另外一个方向 的包含关系可以直接由( 1 ) 的第二问可得所以疋x ，q ( b ) = , - 1 j i c y ( b ) 定理4 9 瓦一对称连续统的单调开单调象还是咒一对称的 证明设x 是一厄一对称的连续统，是从x 到y 的单调开映射 令a 和b 是y 的两个闭子集，满足an 瓦y ( b ) o 由定理4 8 的结论 a n ，疋x 厂一1 ( b ) 囝从而厂一i ( a ) n 瓦x ，一1 ( b ) d 由假设x 是瓦一对称的， 从而瓦x 厂一1 ( a ) ny - 1 ( b ) o 所以y ( i c x f 一1 ( a ) ny - 1 ( b ) ) = 厂瓦x ，一1 ( a ) nb = 足y ( a ) nb o 12 对集函数瓦的更多认识第四章进一步的结论 定理4 1 0 尼一可加的遗传单凝聚连续统的单调开像还是瓦一可加的 证明设x 是咒可加的遗传单凝聚连续统，是从x 到y 的单调开 映射设a 和b 是y 的两个闭子集，由定理4 8 知 j i c y ( a u b ) = 厂瓦x 厂_ 1 ( 4 u b ) = f l c x ( f - 1 ( a ) uf - x ( b ) ) = f ( 1 c x f 一1 ( a ) u 瓦x 厂_ 1 ( b ) ) = f l g x f 一1 ( a ) u ，j i c x 厂一1 ( b ) = l c y ( a ) u 瓦y ( b ) 1 3 对集函数瓦的更多认识结论 结论 本文主要探讨了瓦一函数的性质，并对j i c 一函数的应用作了一些尝试，主 要得到了以下几个结果 ( 一) 设x 和y 是遗传单凝聚的连续统，