（工程力学专业论文）弹性—粘弹性材料复合结构动力学计算与计算模型的修正.pdf

南京航空航天大学硕 学位论义 摘要 目前在结构制造中，利用粘弹阻尼材料对结构进行减振是经常使用的方法。 但是由于粘弹性材料的力学性能随频率变化，现有的有限元计算软件对复杂弹 性一粘弹性复合( e v c ) 结构的动力学计算存在困难，本文提出了一种将a n s y s 进行二次开发的计算方法。这种方法既利用了a n s y s 建模、网格划分以及后 处理的优点，又解决了a n s y s 不能计算粘弹性阻尼随频率变化的不足。 本文利用a n s y s 前处理，和后处理的功能，利用a n s y s 进行前处理并计 算出结构特性矩阵，再利用专用的外挂程序进行模态计算，最后将结果返回 a n s y s 进行后处理。并针对弹性一粘弹性复合结构推导了一种新单元。 目前有不少人做过模型修正的工作，但是大部分都是针对无阻尼或者是比 例阻尼系统的修正，而针对非比例阻尼系统的修正很少。本文针对弹性一粘弹 性复合结构这种非比例阻尼系统进行了模态参数的修正。 本文将两种弹性一粘弹性复合结构一体化单元加入到a n s y s 单元库中，编 写了a n s y s 外挂计算软件，并将模型修正部分也添加到计算程序中。 同时，本文还讨论了粘弹性时变泊松比对弹性一粘弹性复合结构振动分析的 影响。 关键字：一体化单元粘弹性阻尼复特征值结构减振模型修正 堂丝二塑壁堡塑坚墨鱼笪塑垫塑兰生竺兰! 竺堡星塑堡垩 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，e l a s t i c - v i s c o e l a s t i cc o m p o s i t es t x u c k t r e sa r ew i d e l yu t i l i z e di n t h er e d u c t i o no fs t r u c t u r a lv i b r a t i o n s b u te x i s t i n gf es o f t w a r ep a c k a g e sf a i lt od e a l w i t ht h e f r e q u e n c y d e p e n d e n t m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o fv i s c o e l a s t i cm a t e r i a l s t h e r e f o r e ，i nt h i sw o r kn e wi n t e g r a lf i n i t ee l e m e n t sa r ed e v e l o p e da n da d d e d t ot h e a n s y se l e m e n tb a n k ，a n da l li t e r a t i o na l g o r i t h mi sh o o k e du pt ot h ea n s y st o c a l c u l a t et h ee i g e n v a l u e sp r o b l e mo ft h ee v cs t r u c t u r e s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h i s s t r a t e g yi sv e r yp r a g m a t i c a l r e c e n t l y ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v ed o n em o d e lu p d a t i n g ，b u tm o s to ft h e ma r e a b o u tn o n d a m p i n go rl i n e a rd a m p i n gs y s t e m s i nt h i sp a p e r ，id os o m er e s e a r c h a b o u tm o d e l p a r a m e t e r su pd a t i n go f e l a s t i c v i s c o e l a s t i cc o m p o s i t es t r u c t u r e sw h i c h a r en o n l i n e a rs y s t e m s i na d d i t i o n t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ei n f l u e n c eo fv i s c o e l a s t i cs t r u c t u r e sw i t 1 t i m e d e p e n d e n tp o i s s o n sr a t i ot oe l a s t i c v i s c o e l a s t i cc o m p o s i t es t r u c t u r e sv i b r a t i o n a n a l y s i s ， k e y w o r d s ：e l a s t i c - v i s c o e l a s t i cc o m p o s i t es t r u c t u r e s ，p a s s i v ev i b r a t i o nc o n t r o l i n t e g r a lf i n i t ee l e m e n t i i 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：德i 叁 日期：猃，生! ! 三 南京航空航天大学硕士学位论且： 1 1 引言 第一章绪论 振动现象普遍存在于人们的生产和生活之中，振动的危害几乎涉及到国民 经济的各主要工业领域，航空航天中的飞行器与太空结构、航海中的船舶、土 木界的桥梁与房屋、机械行业的机床与刀具、各种交通工具以及动力机械等， 都在以特有的形态进行着振动。很多机器设备由于振动造成破坏或者报废，造 成了巨大的经济损失，因此改善、控制这些振动具有重大的意义。改善、控制 和利用这些振动对国防建设、航空航天技术研究以及工业技术的进一步发展都 具有重大的意义。 在结构制造中，利用粘弹阻尼材料这种高能量耗散材料对结构进行阻尼处 理是经常使用的方法。要改善、控制和利用这种结构，需要建立结构系统动态 特性的准确数学模型。 获取结构系统数学模型可以有两种不同的手段，其一是实验建模，其二是 数字建模。目前结构动力学领域数字建模主要采用有限元技术。目前较流行的 有限元计算软件有a n s y s 、m s c n a s t r a n 等，但是弹性一粘弹性复合( e v e ) 结构的特性随频率变化，现有的有限元计算软件对这种结构的动力学计算存在 困难，本文提出了一种将a n s y s 进行二次开发的计算方法。这种方法既利用 了a n s y s 建模、网格划分咀及后处理的优点，又解决了a n s y s 不能计算粘弹 性阻尼随频率变化的不足。 将实验建模与有限元建模相结合，利用实验数据来确定有限元建模过程中 的一些不确定因素，通过实验参数与由理论模型得到的参数估计值的对比来改 善理论模型，这就是结构计算模型修正技术。目前大部分模型修正技术都是针 对无阻尼或者是比例阻尼系统的修正，而针对非比例阻尼系统的修正很少。本 文针对弹性一粘弹性复合结构这种非比例阻尼系统进行了模态参数的修正。 弹性一粘弹| 生材料复合结构动力学计算与| 十算模型的修正 1 2 有限元技术的起源、发展和现状 有限单元法作为固体力学的一种分析方法是在本世纪五十年代起源于航空 工程中飞机结构的矩阵分析方法。结构矩阵分析是把一个结构看成由许多元件 互相连接而组合成的集合体，通过对元件的受力分析，建立节点位移与节点力 之间的关系，再将这些关系集合起来形成结构方程组。根据选取的基本未知量 是节点位移还是节点力，有位移法、力法和混合法。结构矩阵分析的对象限于 由杆、梁、受剪板等元件组成的结构。 1 9 6 0 年c l o u g h 在一篇平面弹性问题的论文中第一次提出“有限元法”这个 名称。但是有限元法分析的概念却可以追溯到2 0 世纪4 0 年代。1 9 4 3 年，c o u r a n t 第一次在他的论文中，取定义在三角形域上的分片连续函数，利用最小势能原 理研究了s t v e n a n t 的扭转问题。然而，此方法发展很慢，几乎过了十年才再次 有人用这些离散化的概念。1 9 5 6 年t u r n e r ，c l o u g h 和t o p p 等人，在他们的经 典论文中第一次给出了用三角形单元求得的平面应力问题的真正解答。他们利 用弹性理论的方程求出了三角单元的特性，并第一次介绍了今天人们熟知的确 定单元特性的直接剐度法。他们的研究工作随同当时出现的数字计算机一起打 开了求解复杂平面弹性问题的新局面l l l 。 2 0 世纪7 0 年代以后，随着计算机和软件技术的发展，有限元法也随之迅速 地发展起来，发表的论文如雨后春笋，学术交流频繁，期刊、专著不断出现， 可以说进入了有限元法的鼎盛时期，对有限元法进行了全面而深入的研究。涉 及的内容有：有限元法在数学和力学领域所依据的理论；单元的划分原则，形 状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛 性和稳定性；计算机程序设计技术；向其他各领域的推广。电子计算机技术的 发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元法要求求解大规模的联 立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、大容量的计算机是很难 想像的。 到目前为止，有限元法己被应用于刚体力学、流体力学、热传导、电磁学、 声学、生物力学等各个领域，能求解由杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成 的弹性( 线性和非线件) 、弹塑性或塑性问题( 包括静力和动力问题) ：能求解各类 场分布问题( 流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题) ；还能求解水流管 路、电路、润滑、嗓声以及固体、流体温度相互作用的问题。 南京航空航天大学坝t 学位论文 有限元程序发展也很快，我国已引进的主要程序有：s p a 5 ，s p a 7 ，s p a 8 4 ， s u p e rs p a ，a d i n a ，a d i n a t ，a n s y s ，m s c n a s t r a n ，a s k a 等。有些 程序还具备了前后处理功能。这样，不仅解题的速度提高，还极大地方使了使 用者，对有限元法的普及与应用必然起到很大的促进作用 1 3 模型修正技术的起源、发展和现状 随着当代航空航天器的大型化和复杂化，以及大型海上平台、高耸建筑、 大跨度桥梁等新型复杂结构的出现，对它们的建模，仅凭工程师的经验建立一 个与试验结果相一致的有限元模型几乎是不可能的。然而，没有一个正确的数 学模型，要想对结构进行各种环境下的响应分析以及进行主被动控制设计将是 很困难的。这样，就必须求助于一种“模型修正”技术，并通过计算机自动地 校正有限元模型，从而获得一个与试验结果相一致的数学模型。 结构计算模型修正技术可以分为基于模态参数的模型修正技术和基于频率 响应函数的模型修正技术。 模型修正技术的算法可以分为矩阵型算法和设计参数型修正方法。矩阵型 修正算法的是直接以有限元模型的质量矩阵与刚度矩阵作为修正对象，使修正 后的有限元模型可以在试验频段之内与实验测试得到一样的模态频率和模态振 型。这种方法可以追溯到7 0 年代末8 0 年代初b a r u c h 2 1 和b e m a n 3 1 提出的参考 基准法。这种算法是以一个参数作为不可改变的参考基准( 这个基准可以是质 量，也可以是刚度或者测试所得的模态振型) ，通过最小化定指定的目标函数 来对剩余两个参数进行修正，约束条件的添加采用拉格朗日乘予法，目标函数 一般为质量加权的理论实验刚度残差的2 范数。实践证明，这种方法可以准确 再现非完备的测试数据，但在试验频段之内可能出现假频，并且修正后的质量 矩阵可能失去正定惯定的特性。c a e s e r 进一步延伸了这类方法，引入包含刚体 质量信息的拉格朗日乘子来约束参数变化的范围。b a r u c h 提出了一种以刚度作 为参考基准的算法，并讨论了考虑质量守恒下的参考基准法的应用。w e i 等提 出了以模态参数作为参考基准的修正算法，同时对质量矩阵和刚度矩阵进行修 正，f u h 等进一步将方法发展到非比例阻尼系统。 另一种矩阵型修正方法混合矩阵法【4 i ，用理论分析的模念数据来补充实验模 态数据以得到一个完备的模态集，避免了参考基准型方法中对质量矩阵和刚度 弹性一事占弹性材料复台结构动力学计算与计算模型的修下 矩阵直接求逆，但此方法得到的质量矩阵与刚度矩阵为满阵，失去了原模型的 物理意义。t o 和n e i d b a i 通过修正模型的质量矩阵与刚度矩阵，使得测试振型 满足质量矩阵和剐度矩阵的加权正交性，这种方法的特点是保证了修讵后质量 矩阵和刚度矩阵的物理意义。 s i d h u 和e w i n s i s 提出的误差矩阵法是一类在假设模型误差较小的前提下修 正质量矩阵和刚度误差的方法，虽然修正后的模型具有与实验模型接近的特征 结构，但难以在理论上证明方法一定可以重现测试的特征结构。此外还有m i n a s 和i r l r f l a r l 极点配置法将修正问题归结于求解闭环系统的反馈增益矩阵，使系统 特征值和特征向量与测试值一致。 虽然矩阵型修正方法的计算量小，但是因为得到的结果破坏了质量矩阵与 刚度矩阵的带状稀疏特性，使得修正后的结果失去了物理意义，因此逐渐被设 计参数型修正方法取代。这一类方法与矩阵型方法不同，目标是提高理论模态 与实验模态的相关程度，其待修正的参数可以是结构的物理参数、设计参数或 者边界条件，有很大选择余地。不过这类方法都属于迭代型方法，随之带来的 就是迭代收敛的问题。而且每次迭代过程中都需要重新计算修正后的模型的模 态参数和灵敏度矩阵，计算量相当可观。另外，这类方法的待选择参数很多， 选择一个合适的修正参数子集往往存在困难，而不同的参数选择可能使得修正 问题的控制方程良态或者病态 6 】。 设计参数修正方法的数学基础是泰勒展开式或摄动原理。展开法将模态参 数、质量矩阵、刚度矩阵等看作未知设计参数的隐含数，在上一迭代位置按照 一阶泰勒公式展开，从而使问题线性化。这类算法的目标函数可以是模态频率、 模态振型或者模态置信度，实际修正中的目标函数往往是几种模态参数的组合， 这样加权矩阵选择就成为设计参数型方法普遍面临的问题。解决方法之一是最 大方差估计法，这种方法要求理论分析数据和测试数据的方差已知，但是一般 只有一组实验数据和分析数据，可以假设这组数据是一系列根据一定统计特性 分布的数据的一个采样，对数据的精度做进一步假设。b l a k e l y 和f r i s w e l l 7 1 讨 论了测试数据和加权矩阵的选择问题。n o b a r i 利用系统的低阶模态将运动转化 到模态标下，然后根据测试模态数据来最小化特征方程误差。这种方法的优点 是避免了实验理论模态匹配步骤，但是由于测试数据的不完备性，所以依然是 个迭带优化方法。基于模态参数的模型修正算法首先要对实验模态与理论分 析模态进行相关处理，目前应用的相关指标以模态置信度( m a c ) 1 8 1 为主。另 南京航空航天大学顺士学位论殳 外由于实验条件的限制，一般实验模型的自由度会远远小于理论计算模型的自 由度总数，因此这种方法首先需要对实验模型进行扩充。以上两方面与灵敏度 矩阵计算、控制方程求解一起构成基于模态参数的模型修正技术的主要部分。 模型修正算法很多，其中以b a y e s i a 估计原理的模型修正技术h 发展较为成 熟。t h o m a s 用它来修正质量矩阵和刚度矩阵的元素，更多的应用则在于利用这 种方法来修正设计参数，d a s c o t t e 曾尝试用这种方法修正复合结构的材料常数。 1 4 论文组织 本文介绍了有限元法计算原理、a n s y s 软件使用及其二次开发、模型修正 理论及其算法：推导了两种新的弹性一粘弹性材料复合结构有限单元模型，并 将这两种单元加入到a n s y s 单元库中，用它们对悬臂梁进行了动力学计算， 并和实验结果进行了比较；在计算程序中加入了模态修正功能，使其能对模态 参数进行修正。最后本文还讨论了粘弹性时变泊松比对弹性一粘弹性复合结构 振动分析的影响。 本文的具体章节组织如下： 第一章，绪论，介绍了弹性一粘弹性材料复合结构动力学计算与计算模型 的修正的重大意义，介绍了有限元法和模型修正技术的起源、发展和现状； 第二章，介绍了有限元法的理论，并推导了两种种新的弹性一粘弹性材料 复合结构有限单元模型； 第三章，介绍了a n s y s 软件使用及其二次开发，并用第二章所介绍的两种 单元对悬臂梁进行了动力学计算，并与实验结果进行比较； 第四章，介绍了模型修正理论及其算法，将其实在a n s y s 的二次开发当中， 并对悬臂梁计算结果进行了修正： 第五章，讨论了粘弹性材料的时变泊松比对弹性一粘弹性复合结构振动分析 的影响： 第六章，对全文进行总结并对以后的课题的进一步研究提出了自己的看法。 弹性一枯弹性材料复合结构动力学汁算与计算模型的修正 2 1 有限元法的介绍 第二章有限元法 有限单元法是一种数值解法，它的基本思想可以从两个不同的角度去理解： 从物理角度看有限单元法是把一个连续的弹性体简化为由有限个离散 的单元组合而成的等效组合体。这些单元一般都是工程技术人员所熟悉的标准 构件，其力学性质简单明了，或者是形状比较简单，便于力学分析。这些单元 的力学特性，只需用有限个参数就可以描述。而整个弹性体又是由有限个数目 的单元组合而成的，因此也可以用有限个参数来加以描述。所以，它的基本方 程式将是一个代数方程组，在数学上属于离散体系，即用代数方程组取代描述 真实弹性体的微分方程组。 从数学角度看有限单元法是求解数学物理方程的一种数值方法。它是 各种经典数值方法如里兹法的新形式。有限单元法与经典方法的基本区别在于 对“测试函数”的选取方式不同。在经典方法中，应当在所研究的整个域上选 取统一的测试函数，并要求该函数在域内部和域的边界上均满足一定的条件。 在有限单元法中，测试函数可以分片地选取，即首先把整个域划分为若干“子 域”( 即单元) ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试函数在各 个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均满足一定的 条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 总的来说，有限元法优点是很明显的，主要表现在以下几个方面： 1 ) 将整个系统离散为有限个单元，从而整个系统的方程转换成一组线性联立 方程，使得方程更加容易求解。 2 ) 边界条件不引入单元的方程，而是在得到整体代数方程后再引入边界条 件。这样，内部和边界上的单元都能够采用相同的场变量模型，而且当边界条 件改变时，内部场变量模型不需要改变。 3 ) 有限元法考虑了物体的多维连续性，不仅在离散过程中把物体看成是连续 的，而且不需要用分别的插值过程把近似解推广到连续体中的每一点。 4 ) 有限元法不需要适用于整个物体的插值函数，而只需要对单元采用各自的 插值函数，这就使得其对复杂形状的物体也能适用。 6 南京航空航天大学颇上学位论文 5 ) 该方法能够很容易求解非均匀连续介质，而其他方法处理非均匀性则很困 难。 6 ) 有限元法应用范围广泛，既适用于线性系统，又适用于非线性系统。 有限元法具有它的优点，但存在一些问题。 1 1 有限元在对复杂问题的分析计算时，所耗费的计算资源是相当惊人的，计 算资源包括计算时间、内存和磁盘空间。 2 ) 有限元法对无限区域问题较难处理。 3 ) 尽管现在的有限元软件提供了自动划分网格的技术但到底采用什么样的 单元、网格的密度多大才合适定问题没有固定的依据，完全依赖于经验。 2 2 有限单元法进行结构分析的步骤 有限元法进行结构分析的过程概括起来可以分成以下几个步骤i l 。 1 ) 结构的离散化 所谓离散化，就是将连续体结构划分成有限个单元，并在单元的指定点设 置节点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成单元的集合体，用来 代替原来的结构。为了使该离散的计算模型有效地逼近实际的连续体，就需要 考虑合理地选择单元和划分网格的方案，确定单元和节点的数目、节点的位置 和自由度等问题。结构离散化既要考虑单元和网格的精度和计算的简便，又要 考虑对边界形状的适应性。至于节点的多少和分布的疏密、也即单元的大小， 要根据对计算精度的要求和计算机容量等因数综合考虑，单元划分得越细计算 精度越高，但也使计算时间及准备工作增加。因此，在保证足够精度下力求减 少单元的数目。故在划分单元时，对应力变化急剧的区域单元网格应划分得细 些，应力变化平缓的区域单元可划分粗些。 2 ) 引入边界条件 引入力边界条件以及位移边界条件，并将边界条件转化为节点力和节点位 移施加在节点上。 3 ) 计算刚度、质量、阻尼矩阵 分别计算单元刚度、质量和阻尼矩阵，并迭加成总体刚度、质量和阻尼矩 阵。如果求解的是静力学问题则只需要求刚度矩阵。 4 ) 求解方程 弹性一粘弹性材料复合结构动力学计算与| 十算模型的修正 求解该系统的控制方程，静力学问题求解节点位移、单元内力、应力，动 力学问题求解模态参数。 2 3 单元刚度矩阵的推导过程 单元刚度矩阵的推导过程【1 2 】如下 1 ) 选择单元的几何形状。如对二维问题，单元的形状有三角形、矩形、任意 四边形等；对于三维问题，有三棱锥的四面体、三棱柱和五面体、长方体等。 2 ) 单元节点的布置。一般在单元的端点或角点上设置节点，还可在角点之间 的边上增设节点，这样可描述单元边界是曲线的情况，用二次或更高次的益线 来描述单元的几何特征。 3 ) 节点自由度数的确定，节点的自由度数应能正确地模拟单元的力学特征和 易于构造单元的近似解，保证相邻单元在公共边界上的连续性。 4 ) 选择位移模式 对单元内的位移分布作出一定的假设，也就是在每个单元内假设位移是坐 标的某种简单函数，将单元内的位移场表示成单元节点位移的插值函数形式， 称为位移模式。用矩阵形式写成 u ) = n 】 占。 ( 2 - 1 ) 式中 u 一单元内位移函数列阵 舾。l _ 一单元节点位移列阵 m 一称形状函数矩阵，它的元素是位置坐标的函数，称位移插值函数或形 函数。 5 ) 单元的力学特性分析。建立单元刚度矩阵。 a ) 利用几何方程由位移模式( 2 1 ) 导出单元的应变与单元节点位移的关系。 占 = 【 “) = 三】 】 占。) = 曰 占。) 式中 艿。) 一单元内的应变列阵。 b 】- q n 一称单元的几何矩阵，陋 一微分算子矩阵。 ( 2 2 ) b ) 利用物理方程由式( 2 - 2 ) 导出用单元节点位移表示单元应力的关系式 仃 = d 】 s ) = d 】 b 】 占。 ( 2 3 ) 式中 仃 _ 一单元内任一点的应力列阵 南京航空航天大学硕士学位论文 d 卜与单元材料有关的弹模矩阵- c ) 利用变分原理建立单元节点力与节点位移之间的关系 系。 位能泛函1 1 3 的表达式 i - i = f 【a ( e 。- , “) d r - 肛“，幽 v s ， 即单元的平衡关 ( 2 4 ) 若将单元视为一个独立的弹性力学问题，不计体力，单兀只作用节点力 占。) 的情况，对于线形弹性体，单元的位能表示为 n 。= 寺j f 占 7 c r d v ) ( 8 。) 一7 ( 2 5 ) 将式( 2 - 2 ) 和( 2 3 ) 代入上式，得 n 。= 告) 7 ( j j f 【丑 7 【d 】嘲如) ) 一儿5 。) ( 2 - 6 ) 由于单元处于平衡根据最小位能原理，得6 1 1 。 丽c 3 i - v2 缈玎刚m 明呻卜。 ( 2 - 7 ) 得单元节点力与节点位移之间的关系 s 。) - k 。】 艿。 ( 2 - 8 ) 式中【k 。】称单元刚度矩阵 足。 _ 肌明7 d 】咖 ( 2 9 ) 2 4 三层弹性一粘弹性一体化有限元刚度矩阵的推导过程 本文所要推导的单元是根据三层弹性一粘弹性复合结构的特性而构造的。 典型的弹性一粘弹性复合结构界面形状如图2 1 ，结构上下层为金属层，中间层 为粘弹材料层。 9 弹性一粘弹性材料复合结构动力学计算与汁算模型的修正 圈2 1 三层弹性一粘弹性复台结构截面 一体化单元采用六面体形状来实现上下层不同的位移和转角，如图2 ，2 ，l 、 2 、3 、4 节点在上层金属的中面，5 、6 、7 、8 节点在下层金属的中面，每个节 点有五个自由度：u x ( x 方向位移) 、蜘( y 方向位移) 、w ( z 方向位移) 、ex ( 娑) 、 ( 0v ( 竺) 。 图2 2 弹性一粘弹性复合结构六面体单元 以下是单元矩阵的推导过程，其中单元刚度矩阵是由金属层平面刚度矩阵、 金属层弯曲刚度矩阵、夹层刚度矩阵三个部分叠加而成的。 2 , 4 1 金属层平面刚度矩阵 位移参数为 q 。) = u i ，v l ，u2 ，v 2 ，u 3 ，v 3 ，u 4 ，v 4 7 = x | q ，q = y | b o 南京航空航天大学硕士学位论立 在矩形内部用双线性函数对位移进行插值 u ，v = ( 1 - 孝) ，孝( 1 一r ) ，善7 ，( 1 一孝) 刁 弹性模量矩阵为 d ：墨 l 一“ l a 爿 l oo o 0 l 一 u 1v l u ! v2 u3v3 u 4v u = 丢d 。占。2 + d ：占，s ，+ 圭d ：。；+ i 1d 。y 孟 应变能为 n 2 ；脾 由最小余能原理，求得- , y 面刚度矩阵为 k 。】= 【d 1 ，】 l 。】+ d ，2 】【l 。：】+ 【d2 ： 【l 。，】+ d 3 3 【l 其中； g 。) l 。1 g 。 _ i 1 q 2 出砂 。n 圭 q o ) t le 2 扣驴。蚴 知 l e 3 扣喜小，2 出匆 。n 扣) t 【l e 4 = 圭舻出咖 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 弹性一粘弹| 生材料显台结构动力学计算与计算模型的修正 】_ z b 1 2 d 三。：】= 五l 2 o o 旺3 ：i b l z a 2 ol oo o1 o0 2 ooo oo 0 201o一1 o ooo 2 o一2 oo o o 0 o o o 0 0 ，oo以o 2 o o o o o 0 o o0o叫o o i o ，o o o l 0 o o o o o 0 o o 0 o l 0 0 o乞。一o。o 2 0 0 0 o o o o 塑室堕奎堕茎查兰竺主兰堡垫一 】- 瓦b 4 a 2 3 口2 a2 3 a 一2 a ! 一3 a 一4 a 2 43 a 43 a23 a 4 a 2 3 a 一4 a 2 3 a 一2 口2 43 a23 a 4 口23 d2 a 2 43 a 4 a ! 其中口= 口b 2 4 2 金属层弯酋剐度矩阵 位移参数为 q 。) = 【w l ，0 8 w 20 0 w 3 ，0 p 1 4 1 4 ，0 。0 ，。】 令 q 。i ) = w 。，a o i ，b o “，w 2 ，a o b a y 2 ，w 3 ，口六3 ，b o w 。，a t ? 6 p r 令孝= x 口，r l = y b 对挠度进行插值 w = 口i 十口2 f + 髓3 玎+ 口4 掌2 + 口5 善刁+ 口6 72 + 口7 掌。+ ( 2 - 1 5 ) 口8 手2 叩+ 睇9 孝7 7 + 口i o r 3 + 口】i 手3 r + 口1 2 孝印3 将节点位移代入可以得到 w = 【1 一亭碍一( 3 2 考) 毒2 ( t - r 1 ) 一( t - g ) ( 3 2 q ) q 2 1 w 1 + 善( 1 一髻) 2 i t r ) a o ，1 + ( 1 - 4 = ) v o r 1 ) b o y 。+ ( 3 2 掌) 善2 ( 1 一r ) 一孝7 7 ( 1 一叩) ( 1 2 r ) w = 一( 1 一善) 孝2 r l a o ，2 + 善砜1 7 7 ) 2 6 吼2 + 【( 3 2 孝) 孝2 r 一雩l 一彩( 1 2 v ) w 3 一 ( 1 一善) 孝2 ，芦以3 一孝( 1 一，7 ) 可2 6 嘭3 + ( 1 一孝) ( 3 2 刁) r t 2 一孝( 1 4 ) 0 2 毒) 呷卜屹 + 鬏1 0 2r a o ，4 - 0 - g ) ( 1 一功7 7 2 6 吼。 ( 2 1 6 ) 姒“弧以砌“也4 弹性一秸弹眭材辑复合结构动力学计算与计算模型的修正 姚模量觯郴 = 志 矩形单元的应变能为 1 1 0o o 0 1 一 2 n 丁a b 。, 了d , ”导鲁”舞 其中“，= g 。) 7 k 。】伯。 以下给出k 前三列，以及如何扩展为全矩阵 k 。 _ 4 【世：】 足，】 ( 2 1 7 ) 6 o 4 3 o 2 3 o o 2 o o 0 o o 0 o o o 0 0 on。“。，m。 o o o o o o 0 o o o o，0 o o o o o ，0 0 ：。，也o_：o o也_o o o o o o 0 o 0 o 0 o o 6 4 o “2 o o 。o 3 2 o挖。m。“，。，。 南京航空航天大学预上学位论史 则弯曲刚度矩阵为 i x 】= a b 了d 珊引【m 等m 呜】 小丁d 2 2 刚心】 丁】+ 焘 酬刚) ( 2 1 8 ) 其中【t 】= d i a g ( 1 ，口，b ，1 ，口，b , 1 ，d ，b ，1 ，a ，b ) 2 4 3 夹层刚度矩阵 表层在结合面处的位移为 ，o o o o“，o。o o 一 ，4 o o o ，。o o o o铊。，吨，。鸵。吨。， = k 【 壕 岛如廖协缸坳如廖如如 l 2 3 ， 5 6 加启鼬“以 协加巾舻办厢协坳山胁邶彬鳓脑山 鼬砌崩m舢廓加鼬廖 协胁伽硒砌船协咿m坳坳坳坳础坳地枷肼邶船 巾锄蚴鼬拗|运脚硒幻酗饥缸 i i l k 弹性一粘弹性材料复合结构动力学汁算j 计算模型的修正 。：。) 一：1t 掣 v ：) _ v 一妻r ，移；- ， “：u 0 ) + 三r ，口! ， v 13 ) _ v + 1 t 3 0 ( ，3 ) 夹层位移为 ) = i 1 ( 川3 ) + 扣占卜f ：口+ 川弘1 臼，口 ) = 号( v + v ( + 扣口卜川1 + v - v ( 3 ) + 如曰：+ 删 w ( 2 ) = ( w + w ) + 吾( w - w 【3 ) 由e 列三式，可以得到夹屡的翦应蛮 y 。( 2 ) = ( ) “印_ 印1 3 ) ) 十号( p ! ”一目 ( 2 - 1 9 ) 7 x z ( 2 ) 2 ( v ( ”- v ( 引蝎目j + 印j 3 ) ) + 寺? ；3 ) ) ( 2 - 2 0 ) c 警卜抄，扩啦一1 膨幡川7 1 卜， 2 虿1 鲥四战 ( 2 2 1 ) 州小_ 。三， 1 6 南京航空航天大学顺士学位论史 爿， = 【o ，0 ，1 一亭7 7 一( 3 2 4 ) 4 ：( 1 7 7 ) 一( 1 一善) ( 3 2 0 ) 02 ，善( 1 一掌) ：( 1 一v ) a ， ( 1 一毒) 露( 1 一野) 6 ，0 ，0 ，( 3 2 善) 害2 ( 1 一o ) - 4 0 0 - 0 ) 0 2 0 ) ，- ( 1 一善) 毒3 0 a ， 4 v ( i 一叩) 2b ，0 ，0 ，( 3 2 亭) 善! ，7 一言，7 ( 1 一，7 ) ( 1 2 0 ) ，- ( 1 4 ) 4 1 r l a ，一亭( 1 0 ) 0 2 b ，0 ，0 ， ( 1 一掌) ( 3 2 玎) 7 72 4 ( 1 一掌) ( 1 2 孝) 7 7 ，孝( 1 一手) 2 ，7 日，一( 1 - 4 ) ( 1 一v ) v2 6 夹层剪应变和正应变的应变能为 u 。- i 2 g 邯) ，j “k t 2 ) 2 + y 锄+ 1 2 g * ( s ) 2 ( i 训f 。2 ( 警) 2 姗 = l ，2 g 邯) 肛阱州啪引瓴汹+ 1 2 g * ( s ) 2 ( 1 训蛙酣【丁l a 。汹 瑚g ( s ) f 冲慨】溉泌+ l 2 g * ( s ) 2 ( 1 训，扣m l a o 夹层刚度矩阵为： k 阳心九训西+ 半蜘咖 其中b 。= 】 伊。) 7 c o 】 吼) 7 c 。】 】= ( 1 一善) ( 1 一r ) ，孝( 1 一冲) f 叩，( i 一孝) 叩 妒) = 【1 ，f ，7 7 ，毒2 ，孝7 7 ，7 72 ，孝3 ，手2 r ，孝叮2 ，叩3 ，善3 ，7 ，毒7 73 】7 妒。) = 1 o ，1 ，0 ，2 f ，叩，o ，3 孝2 ，2 善叩，72 ，o 3 手2 野，73 】7 帆弘軎 0 叫，吣勘n 毒2 9 邸一只3 善2 0 ， 代入节点位移得到： ( 2 2 2 ) 】 0 0 c c ) r j妒缈( 弹性一粘弹性材料复合结构动力学计算与汁算模型的修正 u l w 【 一1 口：b 一口22 以o 铲钆 i a 3 刮 一1 ( a ：+ 2 a 。+ 3 a 7 ) ：只： 吉( 把s 地s 蛔1 ) - 巳： 圭( 口：+ 2 口。+ 口，+ 3 口，+ 2 a 。+ 口。+ 3 口i ，+ a 。：) ：以， 口 ；( d ，+ 口，+ 2 口。+ a 。+ 2 a 。+ 3 口，。+ d 1 + 3 a , 2 ) = o y ， 一i ( 口：+ d ，+ a ，+ a ：) ：醵。 吉( + 2 口。+ 3 ) = 钆 求解得出 口- = w i 口2 2 d 以l 口3 = b o y l 口4 = 一3 w 1 2 a 以l + 3 w 2 一d 或2 a 5 = 一w i 一口幺i b o , 1 + w 2 + b o y 2 一w 3 + 屹+ 口护。4 2 - 3 w i j - 2 n b o y t 。+ 3 w 4 一( 2 - 2 3 ) 口7 = 2 w l + 口以i 一2 w 2 + 口只2 口b = 3 w l + 2 口以i 一3 w 2 + 口以2 + 3 w 3 一口以3 3 w 4 2 a o 。4 a 9 = 3 w l + 2 b o yl 一3 w 2 2 b o y 2 + 3 w 3 6 曰，3 3 w 4 + 6 口 口l o = 2 w l + b o y i 一2 w 4 + b o y 4 口l l = 一2 w i 一口以i + 2 w 2 一a o x 2 2 w 3 + 口吼3 + 2 w 4 + 口臼r 4 a 1 2 = 一2 w 1 一b o y l + 2 w 2 + 6 曰y 2 2 w 3 + 6 曰以+ 2 w 4 - b o p 4 8 【c 一= 1 d ， - 100 0 1 0 a oo 三 b 110 0 土o a 0o ! b 111 o 上。 口 00 1 6 101 0 i 0 a 00 1 6 lo ol p 1 o 0 p i 一10 0 1 吒 o 0 e 3 2 4 4 质量矩阵 oo 00 oo io 二0 口 0 二 6 l1 2l 口口 。 土 d o0 o 土 口 00 e o ( “ 0 一e o 南京航空航天大学顺士学位论文 元素的动能为 t = 扎22 s 慨m 。1 7 蚓【瓦l a o d * = 圭 m l a o 质量矩阵为 ( e j + 老) 0 o 一屯 f 2 2 4 ) 9 e 一坦 0 气o 一； p 文 屯0 一， p 心 0 p o ) 一吃 o +p ( 0 o o 0 o o，一口360一口o 0 o 0 q o 0 q o o o 0 o一613一d一60 o o o o o o o o o o 3 6 。o 3 6 一。 叫 o 。o 叫 o 0 o o o o o，一口260，一口o ， 2 2 2 o o o o o。一6，2一d。一60 o o o e o rh。 o o o3一口o3一口o 0 o o 0 0 0 0 o o 1 0 2 6 1 0 2 6 o p ) 曙一! o p 心 ) 碍一挖 一 0 p 0 弹性一枯弹性材料复合结构动力学计算与计算模型的修一 【m - 2 j 。 巩 7 m 。儿只 a s 其中 b 。 _ g l c o 仇“c o m o = d i a g ( m ，my m ：m m m ，m 川，m m ) ( 2 2 5 ) 其中m 。等参数是表层与二分之一后夹层在单位面积内的质量 2 4 5 一体化有限单元的优点 对于这种多层复合结构，如果采用分层划分单元，将上下表面处理为板、 壳单元，中间层处理为三维体元，这样做的话各层单元之间只能在节点处协调， 层间剪切被忽略掉了，使得结构刚性特性数据偏软，损耗因子偏低，产生的误 差也很大。而一体化有限单元则很好的弥补了这个缺点，另外一体化有限单元 能够大大降低单元的自由度数，在进行复杂结构的分析计算时能够大量节约计 算内存，加快计算速度，大幅度降低分析成本和缩短周期。 南京航空航天大学倾l 学位论文 第三章弹性一粘弹性复合结构的动力学计算 3 1 弹性一粘弹性复合结构 3 1 1 弹性一粘弹性复合结构简介 粘弹阻尼材料兼有某些粘性液体在一定运动状态下损耗能量的特性和弹性 固体材料贮存能量的特性。粘弹阻尼材料介于这两者之间，因此，当它产生动态应 力和应变时，有一部分能量被转化为热能而耗散掉，而另一部分能量以位能的形 式贮存起来。能量被转化和耗散的现象表现为机械阻尼，平0 用它可以抑制结构的 振动和噪声，这在近代机械、建筑、航天航空、交通运输、体育器材和环境保护 等许多领域得到了广泛的应用。 近年来在结构制造中，采用利用粘弹阻尼这种高能量耗散材料对结构进行阻 尼处理是经常使用的方法。粘弹阻尼材料能量比典型结构材料多耗散上百倍或 更多的能量。粘弹阻尼材料一般为高聚合物。高聚合物弹性体的阻尼系数都比 较大【1 7 】。 在采用粘弹阻尼材料进行减振时，粘弹性层一般有两种结构形式。一种是非 约束( 自由) 阻尼层，这是将粘弹阻尼材料直接粘贴或喷涂在需要减振的金属表 面，当结构振动时，通过粘弹阻尼材料的弯曲、拉伸吸收能量；另一种结构形式 是约束阻尼层，是将粘弹阻尼材料粘合在结构基材表面与金属约束层之间，当 结构振动时产生弯曲变形，由于金属约束层的抑制作用，粘弹阻尼材料在两层 弹性板中产生很大的剪切变形，从而产生很大的阻尼，其结构损耗因子可达0 5 左右( 1 ”。故约束阻尼层结构比自由阻尼层结构可消耗更多的能量，具有更好的 减振效果。所以在工程上具有更广泛的应用。这种约束阻尼层结构也就是通常 所说的弹性粘弹性复合结构的一种结构形式。 3 1 2 弹性粘弹性复合结构发展史 人们对于粘弹性材料的研究从很早就开始了，1 9 5 9 年，r o s su n g a r 和 k e r m i n l l 8 】在分析约束阻尼梁时，简单地在弹性梁运动方程中引入复抗弯刚度， 进而由复刚度确定结构损耗因子。为考虑约束阻尼梁的剪切效应，1 9 6 5 年， d i t a r a n t o l l 9 1 提出了约束阻尼层梁的六阶微分方程理论。此后m e a d 和m a r k u s l 2 0 及r a o 2 t l 等人又做了进一步的研究与应用工作。这个理论能适应各种边界条件， 弹性一轱弹性材料复合结构动力学计算与计算模型的修正 可以考虑粘弹性材料的力学性能随频率变化的特性通过计算复特征值可以同 时得到共振频率和结构损耗因子。但是六阶理论有着很明显的局限性，它只能 分析简单的梁式复合结构。在板壳式复合结构的振动分析方面也存在着类似的 情况。如d i t a r a n t o 和m c g r a w t 2 2 1 ，w a s w a n i 、a s n a n i 和n a k x a 2 3 】等人的工作。 他们一方面推导出了极其复杂的运动方程，另一方面却仍然使用着简单的复常 数粘弹性模量模型。 为了适应复杂复合结构的分析，从二十世纪六十年代后期开始，有限元方 法得到了广泛应用。1 9 6 6 年，t a y l o r 和c h a n g 2 4 1 ，1 9 6 8 年，z i e n k i e w i c z 、w a t s o n 和k i n g 2 5 1 都用有限元法对纯粘弹