（应用数学专业论文）基于多尺度几何分析和能量泛函的图像处理算法研究.pdf

摘要 摘要 多尺度几何分析和极小化能量泛函方法是当前数学图像处理和计算机视觉等 领域最具代表性的两种研究范式，这方面的研究已引起广大学者的普遍关注。一 方面新的成果不断涌现，另一方面，已有的成果仍存在许多值得进一步研究的问 题。本文基于这两种范式，主要提出并解决了以下问题： 1 、针对图像的曲线状奇异性表征问题和c a n d e s 单尺度脊波框架的冗余问题， 利用局部化原理和d o n o h o 构造的正交脊波，提出了一种单尺度正交脊波紧框架。 该框架不仅保留了c a n d e s 单尺度脊波的方向性，而且具有正交性。另外，针对边 缘具有一定光滑性的图像，讨论了该框架对其的非线性逼近性。实验结果表明， 所提单尺度正交脊波在图像压缩、图像恢复及图像去噪中均得到较好地应用。 2 、针对s t a r c k 分解模型在算法复杂度、纹理表征和噪声约束诸方面所存在的 一些不足，提出一种基于基追踪的极小化能量泛函模型。该改进模型利用第二代 曲波和波原子，分别表征含噪图像中的结构分量和纹理分量，并采用全变差半范 约束分片光滑部分的结构性，同时利用m e y e r 所建议的广义齐型b e s o v 范数对噪 声分量进行约束，最后利用基追踪去噪算法，对新模型进行迭代求解。实验结果 表明，所提能量泛函模型不但对噪声具有较强的鲁棒性，而且能使边缘和细小纹 理信息保持稳定。 3 、为了解决多尺度几何分析在图像抑噪应用中出现的“虚假”效应问题，提 出一种带变换域约束条件的极小化全变差能量泛函。该能量泛函将多尺度几何分 析和极小化能量泛函方法有机地结合起来。首先对降质图像利用多尺度几何分析 进行相应变换和非线性阈值，然后根据保留的变换系数确定可行域，从而建立所 提能量泛函模型，最后利用投影梯度算法对其进行求解，并以有限脊波变换和第 二代曲波变换为例，进行了图像抑噪仿真实验。实验结果表明，所提能量泛函在 有效抑噪和保持边缘的同时，能够有效地抑制伪吉布斯振荡、“卷绕 伪直线和“曲 波状 伪曲线等“虚假 效应，取得了较为理想的视觉效果。 4 、针对经典极小化能量泛函中平衡参数对图像振荡分量先验信息的过分依赖 性，首先讨论了一类更为一般的m e y e r 分解模型，并证明了解的存在性和唯一性。 然后将平衡参数视为尺度参数，提出一种分级多尺度极小化能量泛函，并导出一 种图像的多尺度表示方法。同时，对这一多尺度表示方法的收敛性进行了理论分 析。最后，利用b v 近似1 1 导出一种新的近似求解算法。数值实验结果表明，所 提能量泛函在各类图像处理中均有较好的应用。 5 、针对图像恢复应用中，经典全变差正则化方法的阶梯效应和细小纹理信息 基于多尺度几何分析和极小化能量泛函的图像处理算法研究 丢失问题，从两种不同视角提出如下解决方案： ( 1 ) 提出一种自适应正则化的极小化能量泛函，将图像分解为结构分量和振荡 分量，其中对结构分量的正则化是通过t v 光滑化和各向同性光滑化之间的插值得 到，即依据图像局部特征进行一种自适应正则化：振荡分量被置于d i v ( b m o ) 空间 中加以讨论。此外，我们对所提能量泛函解的存在唯一性进行了理论证明，并导 出其相应的e u l e r - l a g r a n g e 方程。实验结果表明，所提能量泛函在实际图像分解应 用中，不但能够较好地保持边缘和细小纹理，而且有效地抑制了阶梯效应。 ( 2 ) 利用m e y e r 的振荡模式分解理论，提出了一种磨光流场的全变差正则化抑 噪方法。该方法首先引入负指数h i l b e r t - s o b o l e v 范数来度量逼近项，对图像水平 曲线的法向量场进行全变差正则化磨光，然后构造一个曲面拟合能量泛函，对磨 光后的流场进行拟合。最后，导出各能量泛函所对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程，并利 用有限差分法进行数值求解。实验结果表明，该方法在有效去噪的同时，能够较 好地保持边缘和纹理信息，并且使阶梯效应也得到有效地抑制。 关键词：多尺度几何分析极小化能量泛函单尺度脊波曲线波波原子 正 则化全变差非线性阈值广义函数空间 图像抑噪图像分解图像去模糊 a b s t r a c t i i i a b s t r a c t i nm a t h e m a t i c a li m a g i n ga n dv i s u a lo fc o m p u t e r , m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i sa n d m i n i m i z a t i o ne n e r g yf u n c t i o n a la r et h em o s tr e p r e s e n t a t i v et w op a r a d i g m sa tc u r r e n t i t h a sa t t r a c t e da t t e n t i o no fr e s e a r c h e r sw i d e l y al o to fn e wp r o d u c t i o n sa r ep r e s e n t e d a b o u tt h et w op a r a d i g m s o nt h eo t h e rh a n d ，t h ep r o d u c t i o n sp r o p o s e ds t i l le x i s ts o m e p r o b l e m sw h i c h a r ew o r t h yo fr e s e a r c h i n gm r c h e r i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，b a s e do nt h et w o p a r a d i g m s ，t h ef o l l o w i n gp r o b l e m sa r ed i s c u s s e d ： 1 t or e p r e s e n tc u r v es i n g u l a r i t yo fi m a g ea n dd e a lw i t hr e d u n d a n c yo fc a n d e s s m o n o s c a l er i d g e l e t s ，an e wr i d g e l e t sf r a m e ，m o n o s c a l eo r t h o n o r m a lr i d g e l e t sf r a m e ( m o r f ) ，i sp r e s e n t e d ，w h i c hu s et h el o c a l i z a t i o np r i n c i p l ea n dt h eo r t h o n o r m a lr i d g e l e t c o n s t r u c t e db yd o n o h o t h em o r fn o to n l yr e m a i n sd i r e c t i o n a l i t y , b u ta l s ob e a r s o r t h o n o r m a l i t y w cd i s c u s st h en o n l i n e a ra p p r o x i m a t i o no ft h em o r f f o ri m a g ew h i c h i ss m o o t ha w a yf r o md i s c o n t i n u i t i e sa c r o s sc u r v e s t h ee x p e r i m e n t sd e m o n s t r a t et h a t t h en e wf r a m eh a v ep r e f e r a b l ea p p l i c a t i o nf o ri m a g ec o m p r e s s i o n ，i m a g er e c o n s t r u c t i o n a n di m a g ed e n o i s i n g 2 an e wm i n i m i z a t i o ne n e r g yf u n c t i o n a lb a s e do nt h eb a s i sp u r s u i ti sp r e s e n t e dt o i m p r o v eo ns t a r c k sd e c o m p o s i t i o nm o d e l i nt h i sn e wf u n c t i o n a l ，t h es e c o n dg e n e r a t i o n c u r v e l e t sa n dw a v ea t o m sa r eu s e dt or e p r e s e n ts t r u c t u r ea n dt e x t u r er e s p e c t i v e l y , a n d t h et o t a lv a r i a t i o n a ls e m i - n o r mi sa d d e df o rr e s t r i c t i n gs t r u c t u r ep a r t s i na d d i t i o n ，t h e g e n e r a l i z e dh o m o g e n e o u sb e s o vn o r l np r o p o s e db ym e y e ri su s e dt oc o n s t r m nn o i s y c o m p o n e n t s f i n a l l y , t h eb a s i sp u r s u i td e n o i s i i n ga l g o r i t h mi s u s e dt os o l v et h en e w m o d e l e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h en e wm o d e li sv e r yr o b u s tf o rn o i s e ，a n dt h a tc a nk e e p e d g e sa n dt e x t u r e ss t a b l y 3 t or e d u c et h e “a l i a s i n ge f f e c t s ”r e s u l t e df r o mu s i n gm u l t i s c a l eg e o m e t r i c a n a l y s i sf o ri m a g ed e n o i s i n g ，am i n i m i z a t i o nt o t a lv a r i a t i o n a le n e r g yf u n c t i o n a lw i t h c o n s t r a i n tc o n d i t i o no nt r a n s f o n nd o m a i ni sp r e s e n t e d f i r s t l y , t h en o n l i n e a r t h r e s h o l d i n gs t r a t e g ya s s o c i a t e dw i t hc e r t a i n m u l t i s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i si sa p p l i e dt o t h et r a n s f o r mc o e f f i c i e n t so fn o i s yi m a g e a n dt h e n ，t h ef e a s i b l ed o m a i no ft h ep r o p o s e d m o d e li sd e t e r m i n e db yt h ec o e f f i c i e n t sr e m a i n e d 。f i n a l l y , t h ep r o j e c t e dg r a d i e n t a l g o r i t h mi su s e dt os o l v et h ep r o p o s e dm o d e l e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ep r e s e n t e d m o d e lc a nr e m o v en o i s ya n dr e m a i ne d g e s ，w h i l et h e “a l i a s i n ge f f e c t s s u c ha s p s u d o g i b b se f f e c t s ， w r a pa r o u n d e f f e c t sa n dt h e c u r v e l e tl i k e a l i a s e dc u l w e sa r e s u p p r e s s e de f f i c i e n t l y , w h e nt h ef i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r ma n dt h ec u r v e l e tt r a n s f o r ma r e a p p l i e dr e s p e c t i v e l y 4 i nt h ec l a s s i c a lm i n i m i z a t i o n d e p e n d so nt h ep r i o r ii n f o r m a t i o n e n e r g yf u n c t i o n a l ，t h eb a l a n c ep a r a m e t e ro f t e n o ft h e o s c i l l a t o r yc o m p o n e n t t or e d u c e t h i s d e p e n d e n c e ，f i r s t l y , am o r eg e n e r a ld e c o m p o s i t i o nm o d e li sd i s c u s s e d ，w h i l et h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o na b o u tt h i sm o d e la r e p r o v e d a n dt h e n ，t h eb a l a n c e p a r a m e t e ri st a k e na ss c a l e i n s t e a do f rs p a c e ，w ed i s c u s st h eo s c i l l a t o r yc o m p o n e n ti n d i s t r i b u t i o ns p a c ew 一1 r t ot h i se n d ，am u l t i s c a l eh i e r a r c h i c a ld e c o m p o s i t i o nm o d e li s e s t a b l i s h e d ，w h i c hs t i l lo b t a i n sam u l t i s c a l er e p r e s e n t a t i o no fi m a g e ，a tt h es a m et i m e ， i t sc o n v e r g e n c ei sa n a l y z e d f i n a l l y , an e w a l g o r i t h mi sp r o p o s e db ya p p l y i n gb vt o a p p r o x i m a t e 肜l t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h em u l t i s c a l eh i e r a r c h i c a l d e c o m p o s i t i o nm o d e lh a sw e l la p p l i c a t i o ni nm a n yi m a g ep r o c e s s i n g 5 i nt h et w od i f f e r e n tv i e w p o i n t s ，w ei n v e s t i g a t es t a i r c a s i n ge f f e c ta n d l o s i n go f s m a l ls c a l et e x t u r ew h i c ha r ec a u s e db yt v r e g u l a r i z a t i o ni nt h ec l a s s i c a lm i n i m i z a t i o n e n e r g yf u n c t i o n a l ，a n dp r e s e n tt w os o l u t i o n sa sf o l l o w s ： ( 1 ) an e wm i n i m i z a t i o ne n e r g yf u n c t i o n a lw i t ha d a p t i v er e g u l a r i z a t i o ni sp r o p o s e d ， w h i c hd e c o m p o s e si m a g ei n t os t r u c t u r ec o m p o n e n ta n do s c i l l a t o r yc o m p o n e n t ，w h e r e t h er e g u l a r i z a t i o nf o rt h es t r u c t u r e c o m p o n e n ti so b t a i n e db yi n t e r p o l a t i o no ft v r e g u l a r i z a t i o na n di s o t r o p i cs m o o t h i n g ，n a m e l y , t a k ea d a p t i v er e g u l a r i z a t i o ni nt e r m so f t h el o c a lf e a t u r eo fi m a g e ；t h eo s c i l l a t o r yc o m p o n e n t i si n v e s t i g a t e di nd i v ( b m o ) s p a c e i na d d i t i o n ，w ep r o o ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ep r e s e n t e dm o d e l f i n a l l y , t h e c o r r e s p o n d i n ge u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n sa r ed e r i v e dt o n u m e r i c a l l yi m p l e m e n t e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa n dc o m p a r i s o n sd e m o n s t r a t et h a tt h ep r o p o s e dm o d e lh a sa n a d v a n t a g eo fi m p r o v i n gv i s u a le f f e c to fi m a g ed e c o m p o s i t i o n ，n a m e l y , b o t he d g ea n d t e x t u r ea r ew e l lr e m a i n e d ，w h i l et h es t a i r c a s i n ge f f e c ti sa v o i d e de f f i c i e n t l y ( 2 ) u s i n go s c i l l a t i n gp a t t e r n st h e o r yi ni m a g ep r o c e s s i n gp r o p o s e db ym e y e r at o t a l v a r i a t i o ni m a g ed e n o i s i n gm e t h o di sp r e s e n t e d ，w h i c hb a s e do ns m o o t h i n gf l o wf i e l d f i r s t l y , t h r o u g ha p p l y i n gh i l b e r t s o b o l e vn o r mt om e a s u r ef i d e l i t y t e r m ，at o t a l v a r i a t i o nf i l t e ri su s e dt os m o o t ht h en o r m a lv e c t o r so ft h el e v e lc u r v e si nn o i s ei m a g e a n dt h e n , am o d e l i sc o n s t r u c t e dt of i n das u r f a c ew h i c hf i ts m o o t h e dn o r m a lv e c t o r s f i n a l l y , f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e sa r eu s e dt os o l v et h ee u l e r - l a g r a n g ef u n c t i o n s d e r i v e df r o ma b o v em o d e l s t h ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ea p p r o a c hn o to n l yc a n r e m o v en o i s ye f f i c i e n t l y , b u ta l s oc a l lr e t a i ne d g e sa n dt e x t u r ea n dt h es t a i r c a s i n ge f f e c t a l s oi sa v o i d e d a b s t r a c t v k e y w o r d s ：m u l t i - s c a l eg e o m e t r i ca n a l y s i s m i n i m i z a t i o n e n e r g y f u n c t i o n a l m o n o s c a l er i d g e l e t sc u r v e l e t sw a v ea t o m r e g u l a r i z a t i o n t o t a lv a r i a t i o n a l n o n l i n e a rt h r e s h o l d i n gg e n e r a l i z a t i o nf u n c t i o ns p a c e i m a g ed e n o i s i n gi m a g e d e c o m p o s i t i o ni m a g ed e b l u r r i n g 西安电子科技大学 学位论文独创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：圭丛丛日期兰! ! ：! 三：笪 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保留 送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后结合 学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 日期z 竺翌：! 三：差 日期上d q & ：1 2 ：占。 第一章绪论 第一章绪论 1 1 图像的确定性模型 数学图像处理是应用数学学科的一个新兴分支，是信息技术时代的产物，也 是多学科交叉的产物，更是图像处理领域研究的基石。数字信息化的普及极大地 推动了数学图像处理的空前发展，并使其应用已经渗透到工业、医疗、航空、航 天、军事等各个领域。目前，以脊波、单尺度脊波、曲线波和波原子等为代表的 多尺度几何分析和以变分法、偏微分方程( p d e ) 为基础的极小化能量泛函方法， 是该领域最具影响的两类研究范式，二者孰优孰劣，一直是学术界有争议的问题。 在以往的研究中，它们作为不同的研究方向独自发展。近年来，为弥, b - 者各自 的不足，越来越多的学者致力于这两类范式的结合。然而，这两类范式首先都必 须要考虑图像的建模问题。 从数学角度看，图像处理可被视为某种算子【1 3 6 。1 3 9 】，一幅灰度图像可被定义为 一个有界可测函数( x ) 。函数值f ( x ) 表示点x 处的灰度级，( x ，厂( x ) ) 被称作一个 像素。然而，一方面，图像厂( x ) 实质是三维客观场景在平面上的投影，客观场景 所含目标物将导致厂( x ) 在目标边缘处呈现跳跃不连续性，而这一不连续性却蕴含 着图像中最重要的信息；另一方面，如同一个随机字母序列不能形成一首诗或一 段散文，大多数有界可测函数都不对应于自然图像。所以，用有界可测函数表示 图像并不合适。那么，用怎样的数学模型才能准确刻画图像呢? 一般而言，一个 好的图像表征模型除了能够反映三维世界的素材信息、几何信息和位置信息，更 重要的是能够捕获图像的内在视觉特征。 d a v i dh u b e l 等一些神经生理学专家的研究表明，在哺乳动物的初级视觉皮层 中，有一些神经元专门检测图像中有一定意义的最简几何实体，还有一些神经元 专门检测图像中有一定方向的直线段【2 】。这一研究成果为神经生理学和图像处理之 间架起了一座桥梁，促使人们着重围绕图像的内在视觉特征进行建模。从而形成 目前最常用的两类图像表征模型【3 】：确定性模型和非确定性( 或随机) 模型。本文 将重点讨论确定性模型。 1 1 1 分布图像 利用分布或广义函数对图像建模是确定性模型中普遍采用的一种方法【4 】。 令q 表示二维有界l i p s c h i t z 开区域，定义检验函数集 d ( q ) = c ”：s u p p 口k c ( 1 - 1 ) 2 基于多尺度几何分析和极小化能量泛函的图像处理算法研究 每个检验函数矽d ( n ) 可被认为是用于捕获图像信号的线性传感器，这一传感器 可以是c c d 摄像机、人类视觉系统和小波等。 在分布意义下，定义于q 上的图像厂，实质是一个定义于d ( n ) 上的线性泛函： 厂：矽一( f ，) ，于是，图像空间就是分布空间d ( q ) 。此时，图像厂是一个分布( 或 广义函数) ，其输出( f ，) 是对任意传感器矽d ( q ) 的响应，即该传感器能够感知 图像厂的存在及其特性，且这一感知是线性的，即 ( f ，口矽+ 妙) = 口( 厂，) + 6 ( 厂，y ) ，v ，少d ( a ) ，口，b r 分布的概念是极其灵活的，人们可以定义其任意阶导数【5 j 。令和口，是两个 非负整数，则定义图像f d ( q ) 的任意阶导数g = 铲矿f 为： 对v 矽d ( n ) ，( g ，) = ( 一1 ) 印啦( 厂，a q a 4 矽) ( 1 2 ) 由于检验函数空间d ( n ) 对微分算子是封闭的，所以g = 铲铲f 是一个新的分布 ( 或线性泛函) 。 分布图像模型的优点： 分布( 或广义函数) 是对数学分析中常规函数的扩展和补充，在图像 处理中，它能满足各类图像的要求。 分布的定义同图像的物理解释是非常一致的。 分布图像模型的缺点：由于分布图像的广泛性，使其难以导出图像的一些重 要特性。为此，还需为其加入一些正则性条件，其中正定性是图像分析中最重要 的一个条件。 定义1 1 称分布图像是正定的，如果对v d ( a ) ，0 ，都有( 厂，) 0 。 定理1 1 假定厂是q 上的正定分布图像，则对任意紧集k q ，必存在一个 常数c = o ( f ) ，使得对v d ( q ) ，s u p p 矽k ，有( 厂，矽) - c l ：l 。 由于。不受矽的导数控制，所以正定性意味着分布图像将不涉及的任何导 数。另外，由正定性还可得到r a d o n 测度下的r i e s z 表示定理1 6 j 。 定理1 2 ( r a d o n 测度下的r i e s z 表示定理)厂是q 上的正定分布图像，当 且仅当，存在一个q 上的r a d o n 测度，使得对v d ( n ) ，有 ( f ，矽) = l ( x ) 础 定理1 2 的物理意义是，正定图像各点的值可被视为投影在各像素上的光子 数。另外，根据定理1 2 ，正定分布图像也可被称为r a d o n 测度图像。下面我们来 讨论分布图像所含信息的量化问题。 令u 是q 的任意开子集，厂在u 上的总信息量定义为： l i f l l u - s u p ( f ，) ：c 。，s u p p # c _ _ q ；l i 矽0 。1 ( 1 - 3 ) 一般而言，0 州u - 0 0 。若限定厂是正定的，且u 的闭包是紧的，则l l 州u - - o ( 1 - 4 ) 其中约束条件( 1 ，矽) = 0 ，说明一定是振荡的。此时，对无特征常值图像厂而言， 8 厂旺= o 。类似地，人们通过选择别的微分传感器，又可定义新的信息量度量。比 如，令v 是分布意义下的梯度算子，选微分传感器为， d ( n ) - - v g ，g = ( g 。，g ) d ( q ) d ( q ) ，i l g l l 。1 ) ( 1 - 5 ) 如同上述定义，可以定义一个新的信息量度量0 耵旺。当厂如( q ) 时，可旺实 质就是t v 半范i v 厂i ( u ) 。 1 1 2 图像 f 图像要比分布图像或r a d o n 测度图像具有更多的结构信息。对跏【o ，0 0 】， l e b e s g u e 函数空间p 定义为， f = 厂：l ) i p 出 o 。 ( 1 - 6 ) 当p = 0 0 时，r 图像可以理解为是一个本性有界函数。若为空间赋予如下范数， 帆f m x ) h 形 ( 1 - 7 ) 则口为b a n a c h 空间。 图像的显著特性也可通过如下r i e s z 表示定理得到体现【3 1 。 定理1 3 ( p 图像上的r i e s z 表示定理) 嘲假定1 p ，p 与q 是共轭的， 即土p + 吉= 1 ，则( q ) 的对偶空间为口( q ) ，即p ( q ) 上的任意连续线性泛函都 可由如下积分形式给出， 三( 厂) = l g l ( z ) 厂( x ) 出( 1 - 8 ) r l 的算子范数和鼠( x ) 的口范数是相等的，即i = i 旧l 虬。 4 基于多尺度几何分析和极小化能量泛函的图像处理算法研究 x f fp - - - o o ，z 是等距地被嵌入到r 的对偶空间( r ) ，即口c ( r ) 。 由于图像域q 是有界的，若令“= 1 i n ，v = l ，p = p 2 p , ，则根据h o l d e r 不等 式：i “( x ) v ( x ) d x l - p 。l ，必有 l p 2 ( q ) p ( q ) 。于是，在此意义下，z 是所有中最一般的函数类。 对1 q o o ，由于d ( n 1 在口中是稠密的，而任何p ( 1 f l 表示集合 x ：厂 ) f 上的l e b e s g u e 测度。由于q 是有界的，所 以，w ( t ) = f x ：( x ) ， 也是有界的。于是，( 1 - 9 ) 式的收敛性可由w ( t ) 的收敛性 ( t 专o o ) 所确定，进而，对图像厂而言，若其具有口阶多项式衰减性，即 w ( t ) = x ：f ( x ) 小= d ( f 吨) ，则口 p 。 现讨论p 图像厂所含信息量的度量问题。对q 的任意可测子集u ，其l e b e s g u e 测度l u i o ，首先定义厂在u 上的均值为，i 厂l 5 f 1 l f x ) 出。于是，厂在u 上 的信息量可定义为p 一均值振荡( 厂l u ) ， 洲咖圳ip 出 彤 ( 1 1 0 ) 由h o l d e r 不等式不难得到，对任意l 昂p ：，有( 厂i u ) ：( 厂i u ) 。 若图像厂满足，恕( 厂i u ) 1 ) 范数取代r 范数，则所得s o b o l e v 图像常常被记为w “p 。 1 1 4b v 图像 从一般的分布图像到p 图像，进而再到”图像，每前进一步都是加入了更多 的正则性，从而，使图像空间变得越来越具体和易于操作。然而，正则性的添加 并非是随意的，还需考虑图像空间的正则性和图像建模的忠诚度之间的平衡。而 最佳平衡点的寻求，应从两个角度审视：从数学角度看，所考虑图像空间应易 于理论分析；从实际应用的角度看，所考虑图像空间对图像重要特征的表征应 该是可靠的。 b v 图像空间正是权衡了正则性和忠诚度两方面的因素。r u d i n 、o s h e r 和 f a t e m i 开创性的工作【9 】，又使b v 图像成为图像分析和处理领域最普遍和最具影响 的图像模型。 从分布的观点讲，z 图像f b y ( q ) ，当且仅当，其分布梯度夥应满足： s u p ( v f ，矽) t ( 1 1 5 ) 再令矿q ，是q 。的简约边界，砸) 是h 1 ( 矿q ，) 的一维h a u s d o r f f 钡j 度，则有 i i s l l 曰矿= i ：砸渺( 1 - 1 6 ) 粗略地讲，d eg i o r g i 所完成的这一漂亮结果说明了，任何b v 图像厂都能够被 表示成可求长边界区域的示性函数的一个凸组合。 b v 图像的两个重要特性： 所有形l 1 图像都是b v 图像，但1 ，1 图像不允许边缘( 即沿曲线的强度 跳跃不连续) ，而b v 图像允许边缘。在人工智能领域，边缘是图像感 知和理解的最主要线索】。 尽管图像允许边缘，但其对局部振荡的非正则性不能进行专门的跟 踪，而b v 图像却可以办到。 由此可见，b v 图像的确在惩罚非正则性和兼顾图像内在特征之间取得了很好 的平衡，通常，非正则性是由噪声引起的，边缘是图像的重要内在特征。 1 1 5b e s o v 图像 由于b e s o v 图像内在的多尺度性，以及小波能对其进行强有力表征，使b e s o v 图像倍受关注。 在r 上的b e s o v 类可记为砑( f ) ，其三个指标口、p 和g 解释如下6 1 ，7 1 ： 口是正则指标，用于度量光滑性； p 是外尺度指标，用于控制各尺度下的有限差分； g 是内尺度指标，用于控制所有尺度上的总体正则性。 假定正则指标口 o ，1 】，厂l p ( r ) ，对任意尺度h 0 ，定义厂的连续p 一模 为： e o p ( f ，办) 2f f $ 1 s ( x + 口) 一厂( x ) 0 ( r ) ( 1 - 1 7 ) 根据范数的三角不等式，( ，h ) 一致有界于20 忆。 称图像厂属孤s o v 类嘭( 吵如果阽竽钟 口 ( 1 - 1 9 ) 定理1 5 b e s o v 范数( 1 18 ) 有如下等价关系 l 厂、= 1 1 1 骘( 胪) h 矿+ 【丢2 脚( 厂，) 9j 1 ( 1 。2 0 ) 现以小波为工具来刻画b e s o v 图像。令母小波为缈r ( r ) ，若y c ，则称 其为y 一正则的。关于母小波的光滑性和消失矩之间有如下重要结论。 定理1 6 1 2 1 假定母小波y ( x ) 是厂一正则的，且( i ) ( x ) 有7 阶矩；( i i ) 存在 固定常数c ，x r ，有l ( x ) | 0 表示是多尺度的， 口= 0 表示不是多尺度的； 用于索引其支撑域是否为各向异性的。= 口表示支撑域是各向同 性的， 0 ，吒x 是一个有界序列，即满足l 吒i k ，则存在z x 和吒的一个子列h ，使得h 弱收 敛于x ，即h 等i x ( 门专) 。 令x 是一个b a n a c h 空间，j - l 是赋予x 上的范数，f ：x 斗r 是定义于x 上的 一个泛函。对于变分问题：i ，n 。x f f ( x ) ，在变分法中，通常按照如下步骤来证明解的 存在性： 构造一个极小化序y ox , e x ，使其满足：，熙f ( ) = i ，n 。f f ( x ) 。 证明，是强制的、z 是自反的。 若证得f 是强制的，即。1 i mr ( x ) = + o o ，则可知序列吒是一致有界的，即 堋。_ - i o o i x o l c ；再若证得x 是自反的，则根据定理1 8 可知，存在x 和的一个子 y ox , ，使得弱收敛于而，即等o x ( 刀寸) 。 证明f 是弱下半连续的。 若证得f 是弱下半连续的，则当，等o x ( 刀一) 时，就有 粤f ( 而，) r ( x o ) ( 1 - 2 5 ) ，_ 而 、7 第一章绪论 于是，证得是f 的一个极小值点。 这里仅给出了证明变分问题解的存在性的一般过程。在实际应用中，我们可 根据具体问题，适当地再加以变通。 ( 二) r o f 模型的一些重要结论 r o f 模型旨在将一幅图像厂分解为两个分量之和”+ ，。分量”捕获了厂的主 要几何特征，是的一幅草图，从数学图像处理的角度讲，分量u 就是一幅b v 图 像。相对而言，分量v 要复杂的多，它包含了厂的纹理和噪声。在r o f 模型中，v 分量不是直接用一个b a n a c h 泛函空间进行表征，而因厂和u 都是平方可积的，所 以v 分量是用r ( r 2 ) 表征，耳o ve l 2 ( r 2 ) 定义1 2 网令厂r ( r 2 ) ，厂的r o f 分解是指，在的所有分解厂= 材+ 1 ， ( ue b v ，1 ，e ( r 2 ) ) 中，求泛函， ) = i 口y + 训v 忆的极小值点。 从数学角度看，r o f 分解是个不适定( i 1 1 p o s e d ) 反问题，其中的b v 范数用 以保边正则化。 定义1 3 【8 1 令g 是由广义函数( x ) 构成的一个b a n a c h 空间，即 g - - s ( x ) ：( 石) = q 蜀( x ) + a ：g ：( x ) ，g l ，9 2 r ( r 2 ) ) ( 1 - 2 6 ) 现定义赋予g 的范数为： = i n f t l g l p ( r ：1 = p 船s u p 如) i ：f = a 。g l + a 2 9 ：，g = ( g l ，g ：) ( r ( r 2 ) ) z 、j c c r 2 j 其中l g l = g ；+ g ；。 定理1 9 嘲令厂r ( r 2 ) ，若0 州击，则厂的r o f 分解结果为：甜= o ，v = f ； 1 1 1 击，则的r o f 分解结果满足：5 瓦1 ，p ( x ) v ( x ) d x = 0 2 允) 甜虬矿。 由定理1 9 可得两个重要的注，这也是ym e y e r 重新审视和改进r o f 模型的 出发点所在。 注1 ：r o f 分解算法中平衡调节参数兄实质上也是一个阈值参数，如下文所述。 注2 ：r o f 分解算法是依赖于平衡调节参数名的，其分解结果会使尺寸小于音 的目标信息从u 分量中消失，而混入 ，分量，被误认为纹理信息。 注3 ：若l l 州音，则厂是一幅不含任何目标的( 含噪) 纹理图像。 例：令dcq 表示中心在原点，半径为尺的圆面。我们不难想见，对一幅二值 1 6 基于多尺度几何分析和极小化能量泛函的图像处理算法研究 图像f = z d ( 2 0 表示d 的特征函数) 来说，