（基础数学专业论文）高阶plaplace方程的解的存在性与多重性问题.pdf

摘要 摘要 变分法是一个古老的数学分支，它在积分方程、偏微分方程以及许多物理问题中 都具有广泛的应用，其基本思想是：把求非线性算子方程解的问题归结为求某泛函的 临界点问题。经典的变分法主要是通过确定极值点来寻找临界点；而近代变分法依靠 拓扑方法，研究一般的、未必是极值点的临界点近代变分法主要包括极小极大理论和 m 。r s e 理论，其成功应用的典范是关于l 印f 口c e 方程的研究。本文将运用极小极大理 论来研究高阶p l 印口f c e 方程解的存在性与多解性，全文分为三章 第一章给出了本文所用的记号、概念及研究背景 卜旷纨芝= 裂 ( | 衅_ 2 u ) 叫讣小p 竺：翥呈 的解的问题，其中“埘9 ( n ) nw 2 ，( n ) n 口) ，qc 副7 ( 1 ) 是有界光滑区 北京工业大学理学硕士学位论文 证明了对va o ，越 0 ，所研究方程在负能量处有无穷多个解；其次证明了对充分 大的a 与“，所研究方程在正能量处无解；最后证明了对ps 矿与足够小的a 、“， 所研究方程在正能量和负能量处分别存在一组解 关键词：临界点，非平凡解，拟线性椭圆方程，渐近线性，亏格 i i a b 8 t r a c t a b s t r a c t t h ev a r i a t l o n a lm e t h o d ，w h i c hh a db e e ng e n e r a u y 印p l i e dt oi n t e g r a la n dp 缸t m d i f f e r e n t i de q u a t i o n s ，i sa na c i e n tm a t h e m a t i c sb r a n c h i t sm 缸ni d e ai s ：s 0 1 v i n gn o m 1 i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n si 8r e d l l c e dt of i n dt h ec r i t i c 出p o i n t so fc e r t a mm n c t i o n a l s t h e c l a s s i cv 壮i a t i o n dm e 七h o di n v 0 1 v e 8t h ee x t r e m ep o i n ti n c l u d i n gm a ) c i m u ma n dm i n i m m b u t t h em o d e r nm e t h o du s e st h et o p o l o g i c 以l e t h o dt of i n dt h ec r i t i c 以p o i n t sw h i c ha r e n o tn e c e s s a r i l yt h ee ) 【t r e m ep o i n 七s t h em o d e r n 、w i a t i o n a lm e t h o dm 缸n l yi n c l u d e st h e m i n i m a xt h e o r e ma 皿dt h e o r s et h e o r e m ，m o r e o v e r ，i th a sb e e ns u c c e s s f u u ya p p l i e dt o s t u d yt h el a p l a c ee q u a t i o n i nt l l i st h e 8 i sw e 、】l ，i uu 8 et h em i n i m a xt h e o r 锄t os t u d y t h e 嘲s t e n c ea n dt h en “t i p u c 附o fs o l u t i o n sf o r h i g ho r d e rp - l a p l a c ee q u a t i o n t h e r e a r et h r e ep a r t 8i nt h ed i s 8 e r t a t i o n i nt h e 矗r s tp 射t ，w eg i v e8 0 m en e c e s s a d 7n o t b t i o n s ，d e f i n i t i o n s ，a n dt h eb a c k 铲o u n d i nt h es e c o n dp 砒，w e8 t u d yt h ea s y m p t o t i c a n yl i n e a rn a m e rb o u n d a r yp r o b l e mo f n o m i n e 盯b i 一1 a p l a c i a no ft h ef o r m ( i 训”2 三兰云二兰i 。曼三 w h e r ep1a n du w 曙p ( q ) n l 矿2 ，p ( q ) a n dqi 8ab o u n d e dd o m a i ni nr ( _ 1 ) w i t hs m o o t hb o u n d a r ya q ，a n d ，i sa s y m p t o t i c 础l yl i n e 盯w i t hr e 8 p e c tt oua ti n 士i n i t y f i r s t l y w eo b t a j na na b s t r a c tr e s u l t 矗o mt h ev i e v 叩o i n to fn o n l i n e 船a n a l y s i s s e c o n d ， w es h o wt h ee 虹8 t e n c e0 fs o l u t i o n 8f o rt h en o 工l l i n e a rh i g ho r d e rp l a p l a c ee q u a t i o nb y m o u n t a i np a s st h e o r e ma n dw ec o n 8 i d e rt h ec a s ew l l i c hi sa s y m p t o t i c 出l y1 i n e 缸 i i i 北京工业大学理学硕士学位论文 i n 七h et h i r dp a r t ，w ed e v o t et od i s c u s s i o no fm u l t i p l i c i t yr e s u l t so fq u a s i l i n e a r e m p t i ce q u a t i o n sw i t hc o n m c t i i l gn o n l i n e a r i t i e so ft h ef o r m ( | 婶_ 2 沪小r 舭u 竺三纛 w h e r e 让嘲伊( f 2 ) n w 2 ，9 ( q ) n 工9 ( q ) 趿dq i sab o l u l d e dd o m a i no f 彭。耐t hs m o o t h b o u n d 缸ya q ，1 0 ： p p o a r et w 0r e a lp a r 眦e t e r s i ti s p r o v e dt h a tt h ep r o b l e mh a si 墟n i t e l ym a n ys o l u t i o n sa tn a g a t i v ee n e r g y f o r1 a r g e 入 o 盯l d 盥 0a n dh a sn os 0 1 u t i o n sa tp o s i t i v ee n e r g yf o rl a r g eaa n d 肛a tt h es a m et i m e ， i ts t i l lh 醐o t h e rt w o 虹d so fs o l u t i o n sa tn e g a t i v ea n dp o s i t i v ee n e r g yr e s p e c t i v e l yf o r ps 矿a n d8 m 8 uaa n d 舻 k 钌唧o r d s ： c i r i t i c a lp o i n t ，n o n - t r i 访a l8 0 1 u t i o n ，( 驰a s i l i n e a re u i p t i ce q u a t i o n ， a 8 y m p t o t i c a l l y1 i n e 时，g e n l l s i v 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：远墨鱼日期丝生：至：望： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即；学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的 全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 第1 章绪论 叭川。：j l 岳l d p 讲一l 墓悃1 ，扣) 一e d ，叫) 此时，只能达到“近似极小值点”，若，满足( p ) 条件，则可达到极小值点。 为了从泛函本身的形态判断出未必是极值点的临界点，经典的变分理论就无能为 力了。要寻找一般的临界点，我们首先确定临界值，一个临界值至少对应一个临界点， 对一个既无上界又无下界的泛函，怎样寻找临界值? 这就需要用到极小极大原理极 小极大原理是寻找泛函临界值的基本手段之一，它的依据是形变引理，即若函数在两 个不同水平集之间没有临界值，那么在一定条件下，其中个水平集便可以形变收缩 到另一个水平集中去，且其拓扑性质不变。 定理1 3 3 ( 定性的形变引理) 【9 1 设x 为b 。礼o c 九空间，伊，r ) ，且，满足 s ) 条件，c 不是临界值，则对v 弓 o 阁，及叩g 僻x 0 ，1 】，z ) ，使得： 1 ) 町( 让，1 ) = 钍，v u 隹，一1 ( 【c 手，c + 司) ； 2 ) 叩( ，c + 。，1 ) ，c 一。， 其中厶士。= x 1 ，( 茁) se 士) 廿码作水平集 北京工业大学理学硕士学位论文 定理1 3 4 ( 定量的形变引理) 【1o 】设x 为b 血几n c 空间，a 1 ( x ，r ) ，若对v 札 ，- 1 ( ( c 一2 e ，c + 2 j ) n 6 ，有 ，( 钍州2 等，则j7 7 g ( o ，1 x ，x ) ，使得： 1 ) q ，让) = 缸，t = o 或u 岳，一1 ( 【c 一2 ，c + 2 叫) ； 2 ) 卵( 1 ，c 机n s ) ，c 一。 其中s x ，e r ，、6 o ，s 筇表示半径为2 6 的球面 与定性的形变引理相比，定量的形变引理只是加以局部限制，局部地从一个水平 集形变到另一个水平集，且其拓扑性质不变。在形变引理的基础上，又提出了一系列的 寻找临界点的极小极大原理。 近十年来，变分理论又有了重大的发展它不仅被更多地应用到微分方程问题中， 而且在超线性椭圆边值问题、超线性弦震动的周期解问题以及日。竹说j 幻n 组的周期轨 道问题的研究中取得了很有意义的新成果。 定理1 3 5f 9 】设x 是口a 仃。曲空间，m 是距离空间，是m 的闭子空间， r o a ( ，x ) ，r ：= n g ( m ，x ) i7l 蛳互r o ) ，妒g 1 ( x ，r ) 满足： o 。 c ：= ! s u ps u p 妒( 1 ( t 正) ) 口：s u ps u p 妒( ，y 0 ( 乱) ) ， 丁i “肘叫i b “m d 则对v5 ( o ，警) ，6 o ，及，y r 0 ，满足s u p 妒h ( “) ) c + s ，j 乱x 使得： u e m 1 ) c 一2 e 茎妒) c + 2 s ； 2 ) d s t ( t 上，一y ( 彳) ) o ，e x ，l r ，使得： & 第1 章绪论 1 j ，l a 日20 f o ； 2 ) ，( e ) o 兰s u p 妒， z ? 蒜 c2 藉潞( ，y ( 乱脚= n e ( m ，x ) i7 i 梳2 琵) ， 若妒满足( ps ) 条件，则c 是临界值。 鞍点定理也是定理1 3 5 的一种特殊情形，只要取r o = d ) 定理1 3 8 【13 j 设x 为b n o c 忍空间，妒g 1 ( x ，r ) ，a q 与s 是环绕的，定义 5 = 5 萨妒 。2 嚣妒， 。2 措溜妒( ，y ( u ) ) ，r ：= 7 g ( q ，x ) l 7k t d ) ， 若妒满足s ) 。条件，则c 是临界值。 此定理中运用了环绕的条件，由环绕的定义，我们易知集合a q 与s 环绕与否并 不依赖于给定的，所以在应用时可以不顾及具体函数，但若把函数，自身的值的分 北京工业大学理学硕士学位论文 布情况也考虑在内，a q 与s 环绕限制却是可以放松的，这给寻找临界值增添了活动 的余地。 定理1 3 9 ( 喷泉定理) 【14 】设g 为紧的拓扑群，x 是b 帆口c 空间，g 等距作用在 x 上，x = 0 玛，v 工玛是g 一不变的，且存在空间v 出m y n o ， 骼帆2 嚣州鲫乩b 。i 煞州_ 。o r 。? ；州卜“i = 、 3 ) ( 尸s ) 条件3 则l p 有临界值序列。 前面4 个定理都只能确定一个临界值，而此定理砌可以找到一个临界值序列，从 而可以找到一个临界点序列，即找到多个临界点。 定理1 3 1 0 ( 比较原理) 【1 目设qc 尉7 ( 21 ) 是有界光滑区域，u g 1 ( q ) 满足： 1 ) l ( q ) ； 2 ) “0o e 于q ； 3 ) p u p ( u ) n - e 于n ，其中卢：【o ，o 。】一r 是连续的、非减的，且卢( o ) = o ， 对某s o ，p ( 5 ) = 0 或者对vs o ，卢( s ) o ， 进一步 z 1 ( j ( s ) ) 一；d s = o 。，j ( s ) = z 3 卢( d 亡， 如果珏在q 内不恒为o ，则u 在q 内恒为正数 定理1 3 1 1 ( 亏格临界点定理) 【10 】设x 是一个b n n n c 忍空间，m 是x 中的g 2 一。对称子 流形，e 1 ( m ，r 1 ) 是一个满足( 尸s ) 条件的偶函数，记k 一 p mld ，) 。， 一1 0 。 第1 章绪论 段= k n ，_ 1 ( c ) ，c r 1 ，若令 则 。m 一。( 埏。戮他) ，m = 1 ，2 1 ) 当一o o + 时，c m 是，的临界值 2 ) 若一o 。 c = + 1 = = c m 十时，7 ( 垃) 七； 3 ) 钸+ 1 定理1 3 1 2 ( s 0 6 0 f 删嵌入定理) 1 1 6 1 对3 ，当2 p 2 + 时，下述嵌入是连续的： h 1 ( r ) 一护( r ) ， 当1 冬p 2 + 时，上述嵌入是局部紧的。 定理1 3 1 3 ( 冗e 胁c 嵌入定理) 【1 q 当iqi o ，那么由山路定理【1 1 】可得到问题( p ) 有关 解的存在性的许多结论，参看文献 1 8 2 2 】中的例子。 在本章中，我们仅仅考虑问题( 尸) 的解的存在性，当，( $ ，t ) 满足下列条件口3 l ： ( ，1 ) ，扛，t ) g ( qx 固；，( z ，t ) o ，v t o ，o e 茁q ；，( z ，亡) 三，( ，o ) 三o ， vt o ，n e z q ； ( ，3 ) 舰，( z ，t ) t 9 = o ：跫，( z ，t ) t p 一1 = ( 2 o ) ，o b z q 一致成立 由( ，1 ) 一( ，3 ) 得：，( 石，t ) 舻，n ez q ，t o ，则存在g o 使得。 ，( z ，t ) e 护一1 + c 之t 口一1 ， 1 2 - 第2 章 高阶p 一工母讲。c e 方程的渐近线性o 钯r 边值解的存在性 且v o ，当 p 时，q ( p ，p ( 一p ) ) ，当1 冬p 时，q ( p ，。) 。 易知，在u 3 ) 条件f ，a m 打喇t r 口觇n o 叫t 娩一t 卯e ( 即a 确条件并不成立。 文献 2 4 中作者用下面的( 砑) 、( 巧) 及( f 1 。) 条件取代了( a 冗) 条件，在此基础上来 研究问题( p ) 的解的情况： 。j i 翼一丛墨垒与掣。 o 对n e 。n 一致成立，( 磅) h _ 。“ 一 。 一一 ”。7 l 弛里丛生塑车罟里堕旦一。 p 时，肛 ( 2 ) ( g p ) ) ；当1 p 时， “ q p 文献【2 4 中假设了一个类似于( ，3 ) 的条件。 显然，由条件( ，1 ) 并不能推得( 巧) 成立，进一步，( 砑) 蕴含着： 1 2 哩 ，( 。，t 一p f ( z ，t ) ) = + 。对盘- ez f 卜致成立 ( ，f ) l 引o o 如果，不满足( 砖) 或( ，f ) 时，问题( p ) 是否还有解? 在第二部分中，我们回答了这 个问题，另外，对，( 置) 加上其他类型的条件，也可得到有关问题( p ) 解的存在性的 许多结论，参看文献【2 5 3 0 】 众所周知，寻找问题( p ) 的一个非平凡弱解等价于寻找泛函： j ( u ) = ；( f u l d z 一( f ( z ，“) d z ( 2 ) 的一个非零临界点，其中j g 1 。进一步，由条件( ，1 ) 一( ，3 ) ，泛函j 的一个非平凡 临界点就是问题( p ) 的一个解( 参看本章定理2 2 1 的证明) 。 本章中，我们定义u t = 哪9 ( q ) n w 2 ，( n ) 的范数为忆i | = ( 如l u i d z ) ；定 义u 汐( q ) 的范数为 钍 ，一( 矗i u l 矗z ) ；。 1 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 令a l 为：在t 上的第一特征值，即： 龆蜷等。 众所周知a l 0 ，且由极大值原理知，a 所对应的特征函数在q 里不会改变符号，参 见文献【3 l ，3 2 】不妨设h 对应的特征函数为妒l o 本章中，我们主要用下列形式的山路定理来寻找( 2 ) 的临界点 命题2 1 1 ( g o s t 凸。礼dm 可凹n ) 【3 3 l令e 为实b 帆口c 九空间，其对偶空间为驴， 设j g 1 ( e ，冗) 满足； m a x j ( o ) ，( u 1 ) p ； i u | | 兰p 令c 卢，定义为： c 2 藉蹲，( 1 ( r ) ) ， 其中，r = n a ( 【0 1 1 】e ) ：7 ( o ) = o ，7 ( = 乱1 ) 是所有连接。与叭的连续路径的 集合，则j ) ce 使得； ，( ) 一c p ，( 1 + lj “圳) f f ，( 钍。) f f e 一o 一。) 引理2 1 1 令n 0 为a 1 对应的个特征函数，且i l 吼i i = 1 ，设条件( ，1 ) 一( ，3 ) 成 立，则有； ( j ) 习p ，卢 o ，使得j ( 乱) 卢，对vu t ，且| | 乱1 1 = p ； ( j j ) j 0 p 1 ) _ 一o 。，t _ + o o ，2 ( a 1 ，+ o 。】 证明- ( j ) 由( ，1 ) 、( ，3 ) 与( 1 ) 得，对v o ，| a = a ( s ) o ，b = b ( ) 与g 使得， f 扛，s ) ；s s p + a s 叮， 1 垂 第2 章高阶p 一二0 p 2 b 方程的渐近线性钯r 边值解的存在性 他固譬- ：三 ( 3 ) 对v 净，s j s2 r 成立，其中当 p 时，g p ( 一p ) ) ，当1 茎p 时 q 。，o 。) 取= a 1 劬，利用p 。饥c 血r d 不等式与s 。6 0 f e 口不等式川3 恻r 得 j ( 钍) ；l i u 垆一；i u l ；一a l 乱i ； 2 扣u 垆a 硎札旷， 所以，选取恻i = p 充分小，则( ，) 成立 ( f ，) 如果l ( a 1 ，+ 。) ，取 o 使得2 一s 1 ，由( 3 ) 得： m ) = ；上阻l lf ( z 出扣卜字川；删q l ， 因为f s a 1 ，i i 妒1 i | = 1 ，易得： j ( u ) 茎；( 一与) 护+ b h 一一o 。， t 一+ o 。， 所以，此时结论成立， 当j = + o 。时，又p 1 ，由( 3 ) 得： ；五阻卜，珏) d z 扣i 9 一划砩+ g 吲， 所以， t ，( t 妒) ；妒一a 妒i 妒喀+ e i n l = ；护一护+ p i q l = ( ；一1 矽+ e q 一一o 。， t 一十。， 北京工业大学理学硕士学位论文 即此时结论成立； 引理2 1 2 如( 2 ) 定义j ( u ) = ；矗l u i 一f ( z ，u ) 如，若 一o 一。o ) ，则存在一个序列，仍记作 ) ，使得： j ( t ) 半+ j ( 。) ，踟t o ，礼。 撕 证明因为( ，( u 。) ，札。) 一o ，( 札一。) ，所以有： 一： a 1 ，且z 是；在t 上的任一个特征值，( 这种情况称作问题( p ) 的共振问题) ，设条件( ，f ) 成立，( z ，t ) g ( 磊r ) ，问题( p ) 有非平凡解。 注2 2 l 在文献【3 4 】中，n 和z h d 札研究了p l 。p l o c e 方程。他们利用文献【3 5 】 中的定理5 证明了所得到的解是正解。遗憾的是高阶p 一三印j o c e 方程不满足比较原 理，我们不能证明是正解文献【3 6 讨论了二维平面的双调和的情形；文献【3 7 】研究 了平面上的p 双调和方程解的完全正解；文献【3 8 】研究了外区域上的双调和问题。 推论2 2 1 当f = + o 。时，问题( p ) 仍然有一个非平凡解。 下面就来证明定理2 2 1 证明( ，) 2 ( 札+ o 。) ，由引理2 1 1 ，| t o o 充分大，使得j 妒1 ) o ，由命题2 1 1 知，己 乱。) ct ，使得； j ( ) 一；z l u 舻如一上f ( z ，u 。) 出一c 。， ( 5 ) zl u 胛- 2 乱。妒d 茁一上，( z ，) 妒如一氓n o 。，v 妒z ( 6 ) 取妒= u 。，由( 6 ) 式得： 上l “水如一上，( z ，) 札。出一。， ( 7 ) 我们断定 ) c t 是有界的。 事实上，( 反证) 若不然， 缸。) ct 无界，即1 i u 。l l 一十o o ，n o 。，令 一皆弼= 辔， ( 8 ) 1 8 - 第2 章高阶p l 酬o c e 方程的渐近线性口”e e r 边值解的存在性 则 删。) ct 是有界的，故刍叫t 使得：在t 中，一伽；训。一 ， 礼一。 口e 于q 成立；在l 9 ( q ) 中，伽。_ ，n _ o o 。 我们断定 。o 。 另一方面，由引理2 1 2 ，取t = ( 印c ) 钿j | 得： 讹) 等州n o 。， 由| | 叫毒i i = ( 2 p c ) ；知，叫毒一 + ，祀一o 。，由( ，1 ) 得。 p 0 ，蝣) d 茁= f 扛，伽。) 出， nn 所以，删+ o ，由( 6 ) 与( 8 ) 得，对v 妒丁有。 上l 训一- 2 叫。妒如一上( z ) ( 叫嘉) 严1 妒如一。，n o 。， 嘶，= 垆 ：翼 在l ”( q ) 中，p 忭( 。) 一九( 。) 弱+ 1 9 一 ( 1 1 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 由( 9 ) 与( 1 1 ) 得 在l ，( f 2 ) 中，p 。( z ) ( 叫妄) 一1 d 茁- 危( z ) ( t u + ) 9 1 d z ， ( 1 2 ) 其中，p ，= p p 一1 ，进一步，我们有 上m ( z ) ( 叫毒) 9 出一上 ( z ) ( 训+ ) 9 出，n o o ， ( 1 3 ) 再由( 6 ) 、( 7 ) 、( 1 2 ) 与( 1 3 ) 得： 互i 阳z = 上 ( z ) ( 矿) 出+ 。( 1 ) ， 上伽胛以曲= 上) ( ”1 叻+ 。( 1 ) v 妒凹 由( 1 4 ) 与( 1 5 ) 得： ( 1 叫。i 一2 伽n i 枷1 9 2 叫) ( 伽。一 ) ，o - 竹_ o 。， j n 由勘与m 凸r 抚d 【1 9 】的引理2 7 和( 1 6 ) 得： 在酽f 刚中讹_ ，n _ 。， 所以 上伽r 2 叫咄一上叫坳茁_ 0 ，v 妒e 在( 1 7 ) 中，令妒= 叫+ ，则有矗i 划一1 9 如= o 即训一eo ，故训i 训+ o 令n 毒q 1u q 2 ，其中n 1 = 茹n ：叫( z ) = o ) ，n 2 = z n ：叫( z ) o ) ， 贝0 对n 1 ，有h ( 。) t ”+ ( z ) = o = o f ； 另一方面，对z q 2 ，因为叫( 。) o ，由( 8 ) ，u 。( z ) 一+ 。，n 一。，o e 于n 2 2 0 ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 第2 章 高阶p 一印2 a c e 方程的渐近线性t e r 边值解的存在性 所以，九( z ) 兰f ，v 盘q 2 ，贝0 九( z ) z u + ( z ) 三2 叫+ ( z ) 。e 于q ，由( 1 7 ) 得； 上伽r 2 咄= 2 上( ”1 咄， 这与 不是；在7 上的特征值相矛盾，所以 ) ct 是有界的，即日e o ，使 得； 1 | 让n | | g ，由s d 6 0 2 e ”嵌入定理知：存在 u 。 的一个子列收敛到问题( p ) 的 个解让t 沁o ) 。 ( f dc 如( f ) 中的定义，c p o ，类似于( 5 ) 一( 7 ) ，由命题2 1 1 知：j 趾。) cr 使得： 扣川k 上胁( 瑚如= c + 。( 哦 ( 1 8 ) 1 l 乱。1 1 p 一，( 。，u 。( 。) ) 让。d z = o ( 1 ) ，( 1 9 ) j n 类似于( ，) 的证明，为了证明( j j ) 的结论，我们也只需证明 u 。) ct 是有界的 但 是，在( j j ) 中f 是；的特征值，( ) 的方法不再适用，但条件( ，f ) 克服了这个困 难，参见s t u a r t 与z h o u 的文献【3 9 下证明 ) c t 是有界的： 1 ) 当 p 时， 取k = p c ( 2 f ) 苦s ，s o 为最好s 0 6 。j e 常数，则由( ，f ) 条件，j t o ，使得； ，( z ，t ) t p f ( z ，t ) k ，v t e 口e z n ， 对上述的t o ，v 扎1 ，令钆= p q ：i u 。i t ；鼠= 如q ：l u 。i t ， 由条件( ，2 ) ，对v ( z ，t ) q r ，成立p f ( z ，t ) s ，( z ，t h ，则由( 1 8 ) 与( 1 9 ) 得， p c + o ( 1 ) t 矗【， ，u 。) ；一p f ( z ，“。) 如 ，k 【， ，u n ) t k p f ( 。，让。) 】d z 北京工业大学理学硕士学位论文 k 1 如| ( 2 0 ) 另一方面，对任意固定的r p ，由( 1 8 ) 与( 1 9 ) 得； ( ；一却计一上【f ( 刚。) 一；m ，“水z = c + o ( 1 ) ( 2 1 ) 因为n 是有界的，( 。，t ) g ( 西r ) ，所以| g = g ( q ，t ) 使得。 i 厶 f ( 茹，) m ，“。) 札出拈g ， 由( 2 1 ) 得： c + o ( 1 ) ( ；一) 1 1 “n i l 9 一g k f 扛，乱。) 一；，( 茁，乱。) 乱。 出 ( ；一) i i “n | | 9 一g 一，a 。【；，( z ，u 。) t h 一；，( z ，“。) “。】d z t ( ；一；) l l “n l p g 一管，“，( 。，u 。) d z ( ；一；) i l 乱n l | ，一a 一生掣厶。噱d z ( ；一；) i i “。l l ，一g 止署韭i 钍。罄i a 。1 昔 ( ；一；) l 乱n i l ，一口一立i 碧婴f f “。 ，( 等+ o ( 1 ) ) 斋 = 詈慨胪一g 一号竽。( 1 ) h 所以，当 p 时， 乱n c t 是有界的； 2 ) 当1 p 日寸 取= p c ( 2 j ) 芋s 一，s o 为最好s 。6 。f 删常数，利用( 2 0 ) 与( 2 1 ) ，类似于( j ) 的证 明过程，可证 ) 亡r 是有界的- 再类似于( ，) 的证明中的后一部分，可知存在 札。) 的一个子列，其收敛于问题( p ) 的 一个解，即结论( j n 成立 第2 章 高阶p l 印f o c e 方程的渐近线性a ”诧r 边值解的存在性 2 3 本章小结 在这一章中，我们主要讨论了高阶p l 印z 。c e 方程的渐近线性鲫t 盯边值解的 存在性问题。在第一小节中，首先介绍了研究背景、回顾了山路引理，其次我们给出了 两个引理。在第二小节中，我们给出了本章的主要结论一一定理2 2 1 ，在此定理中我 们讨论了高阶p 一工0 p f 口c e 方程( p ) 在非共振情况和共振情况下的非平凡解的存在性问 题此外，我们也得到了在2 = + 。时，所研究问题仍具有非平凡解一一推论2 2 1 定理2 2 1 的证明主要借助于山路引理，其中共振情形结论与非共振情形结论的证明思 想基本一致，但在共振情形中，f 不是：的特征值，所以在非共振情形下所使用的方 法不再适用，我们利用条件( 厂f ) 克服了这一困难。 2 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章具有冲突非线性性质的高阶p l 叩沁e 方程解的多重性 3 1 引言 本章中，我们要研究具有以下形式的拟线性椭圆方程的解的问题： p 舭p 。2 出= 州训”小垆型竺在裂， 其中u 孵( n ) n w 2 ，9 ( n ) n 五。( n ) ，qc 尉。( 21 ) 是有界光滑区域，边界a n 光 滑，且1 n p 卢 o 是两个实参数。 舣归 | 惫 当p l ，所以，l 札i 出( ，l 乱1 9 如) ；，进而我们有： 卜= 时l 钍l ，d z 妒+ ( ，i 钍i a 如向。 c ，【，u r + ( ，l 训，) ；】 c - ( r i 让卜+ 厂l “h 即l | 1 时，川。+ ( ，i “i ，) c 。恻i 。，c 。、c 。是正常数 同理可证，当i 1 时，i u i 。+ ( ，i u l ，) c 3 i ，c 3 是正常数 取。：m 饥 c 2 ，c 3 ) ，则有：，l 钍l ，+ i 厂川。 刮训| 口 当| is1 ； i ic i ，当l 1 在x 上，我们考虑泛函j = 氓入 0 ，p o 。易知了g 1 ，硒，对v 珏，钳x 舻妒 叫叫 一 ， + p r 妒 数 常 川 正 限 是 口 c 中其 北京工业大学理学硕士学位论文 有 j ( u ) u = l l 一2 让u 一入i u l 。一2 u ”一l u l 8 2 “钉+ p i u l 。一2 让” 特另u 地，( u ) u = ，l 缸 p a ，i 础l 。一j i u l 4 + p - 厂i i 。，v u x 并且，厂与l ，7 在x 的每个有界集上是有界的。 引理3 2 3 对va 0 ，肛 0 ， ( j ) 泛函j = 厶，一在x 上是强制的，即当怯i | 一。o 时，j ( “) 一o o ； ( j d 泛函j 7 ( u ) 札在x 上是强制的。 证明：( j ) 对给定的a o ，