（工程力学专业论文）纤维混凝土中纤维结构的耗能原理研究.pdf

摘要 摘要 混凝土结构广泛应用于土木工程，因此提高混凝土结构或构件的动态性能一 直以来深受科研工作者的关注。国内外的各项研究均表明，通过纤维增强能够加 大混凝土结构在受动荷载下的能量耗散，提高混凝土结构的各项动态性能，因此 研究纤维结构的耗能作用对材料设计有着积极的意义。 结构或构件的耗能是结构或构件其本身动态性能的直接反映，本文基于之前 的相关研究工作，主要研究了有较多设计变量的波纹纤维结构在其组成动力系统 中对动态性能的作用与影响。首先建立了适用于不同纤维结构系统的弹性波传播 模型，并为此提出了数值解法和编写了计算机程序，从波动传播( 能量传播) 的 角度研究了不同纤维结构对波动( 平面应变波) 传播特性的影响，因此研究结果 不但对振动现象的能耗有意义，也对扰动弹性波，甚至声波、地震波、冲击波等 等的传播耗散有重要指导意义。其次考虑了不同纤维结构不同阻尼方向的因素， 引入粘滞阻尼模型，用a n s y s 有限元软件分析并对比了不同纤维结构对悬臂梁 构件固有动态参数的影响。最后通过补充的试验研究，在试验范围内验证了理论 分析的正确性及其所做的推断。 通过上述工作，本文的主要结论有：( 1 ) 纤维结构在其组成动力系统中对 动力性能，包括扰动波传播的影响同系统激发起的模态有关。( 2 ) 纤维结构的 不同改变了各阶模态出现的顺序，并直接影响到系统在动力载荷作用下的最终响 应。( 3 ) 波纹纤维结构增强复合材料中波的传播具有频散性，从总的趋势上 看，波传播符合“刚度原则”。( 4 ) 波传播和固有动力特性的分析结果都一致 表明，当参与的振型节点之间的距离( 或扰动波的波长) 远小于纤维波长时，纤 维结构的影响符合“刚度原则”。但如果与纤维波长相差不大或大于纤维波长 时，存在一个振动波与纤维波组合的问题。( 5 ) 波纹连续纤维结构纤维角度的 影响要大于波长的影响，因此纤维曲线角更具有可控制性和优化性。 关键词：混凝土；纤维结构；波动传播；耗能；动态性能 ：变三些奎兰：= 堡二兰竺兰奎 a b s t r a c t c o n c r e t es t r u c t u r e sa r e c o m m o n l yu s e d i nc i v i l e n g i n e e r i n gi n f r a s t r u c t u r e s t h e r e f o r ei th a sb e e n d r a w i n g r e s e a r c ho n i m p r o r i n g o ft h e i r d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s m a n yi n v e s t i g a t i o n sh a v es h o w nb o t ha ni n c r e a s e i n e n e r g y d i s s i p a t i o na n da ni m p r o v i n go fd y n a m i cp r o p e r t i e so ft h o s ec o n c r e t es t r u c t u r e s u n d e rd y n a m i cl o a d i n gw i t h a d d i t i o no ff i b e r s t h u sc o n d u c t i n gr e s e a r c ho nt h e r o l e sp l a y e db yt h ef i b e rs t r u c t u r e p a r ti nt h ee n e r g yd i s s i p a t i o np r o c e s s i so f s i g n i f i c a n c ei m p o r t a n c et om a t e r i a ld e s i g n i n g t h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s l i c so ft h es t r u c t u r eo rt h es t r u c t u r ee l e m e n ta r ead i r e c t r e f l e c t i o no fi t se n e r g yd i s s i p a t i o na b i l i t y b a s e do nt h ep r e v i o u sr e l a t e dw o r k s ， t h i st h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h ew a v yf i b e rs t r u c t u r e st h a th a v er e l a t i v e l y m a n yd e s i g nv a r i a b l e s ，a n d t h e i re f f e c t so nt h e d y n a m i cp r o p e r t i e s o ft h e i r r e i n f o r c i n gs y s t e m sw e r es t u d i e d f i r s tag e n e r a lw a v ep r o p a g a t i o nm o d e lt h a tc a n m o d e lw a v ep r o p a g a t i o ni nc o m p o s i t e sr e i n f o r c e dw i t hd i f f e r e n tf i b e rs t r u c t u r e si s i n t r o d u c e d 。f o rw h i c ht h e nn u m e r i c a ls o l u t i o ni s d e v e l o p e d a n dw r i t t e nw “h c o m p u t e rl a n g u a g et os t u d yt h ef i b e rs t r u c t u r e se f f e c to nt h ep r o p a g a t i n gw a v e s t h er e s u l t sa r e e x p l a n a t i v e t ot h e e n e r g yl o s sd u r i n gv i b r a t i o na s w e l la sw a v e p r o p a g a t i o nt h a tc a ni n c l u d es e i s m i cw a v e s ，u l t r a s o n i cw a v e sa n di m p u l s ew a v e s f o i i o w e d af i n i t ee l e m e n tc a n t i l e v e rr e i n f o r c e dw i t hd i f f e r e n tf i b e rs t r u c t u r e sw a s m o d e l e du s i n ga n s y sp r o g r a m ，i nw h i c ht h ev i s c o u sd a m p i n gw a sc o n s i d e r e dt h a t h a sd i f f e r e n td a m p i n gd i r e c t i o nf o rd i f f e r e n tf i b e rs t r u c t u r e s t h e nt h en a t u r e d y n a m i cp r o p e r t i e sw e r ec o m p u t e df o rt h e m o d e lt o s t u d yt h er o l e o ft h ef i b e r s t r u c t u r e i nt h ee n do ft h i st h e s i s ，t h e a n a l y s i sr e s u l t s a n di t sc o n c l u s i o n sw e r e v e r i f i e db yt h ec o m p l e m e n t a r ye x p e r i m e n t a lr u s e i t s b yt h ew o r k s a b o v eh a v ed o n e ，t h i st h e s i sh a v et h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ：( 1 ) f i b e rs t r u c t u r e s e f f e c t so nt h e d y n a m i cp r o p e r t i e sa n dw a v ep r o p a g a t i o nd e p e n d u p o nt h em o d e se x c i t e d ( 2 ) f i b e rs t r u c t u r e si n f l u e n c et h eo r d e ro fm o d e se x c i t e d t h u s f i n a l l y t h e r e s p o n s eo ft h es y s t e mu n d e rd y n a m i cl o a d i n g ( 3 ) t h ew a v e p r o p a g a t i o ni nc o m p o s i t e sr e i n f o r c e dw i t hw a v yf i b e rs t r u c t u r e si sd i s p e r s i v e a sa g a t i o ni nc o m p o s i t e sr e i n f o r c e dw i t hw a v yf i b e rs t r u c t u r e si sd i s p e r s i v e a saw h o l e ， i to b e y st h e “s t i f f n e s sl a w ”( 4 ) w h e nt h ed i s t a n c eb e t w e e nt w on e i g h b o r i n gn o d e s o fv i b r a t i o n ( s t a n d i n gw a v e s ) o rt h ew a v el e n g t ho fap r o p a g a t i n gw a v ei sf a r l e s s t h a nt h ew a v yf i b e r sw a v el e n g t h ，t h e n “s t i f f n e s sl a w ”h o l d s ，b u ti ft h eo t h e rw a y a r o u n d ，a n dt h e ne x i s tac o m b i n a t i o np r o c e s sb e t w e e nt h ev i b r a t i o n w a v e sa n dt h e w a v yf i b e rw a v e s ( 5 ) t h ec u r v e da n g l ev a r i a b l eo ft h ew a v yf i b e r s t r u c t u r eh a v e m u c hm o r ea p p a r e n te f f e c t so nt h ed y n a m i cp e r f o r m a n c eo ft h es y s t e mt h a nt h e f i b e rw a v el e n g t hv a r i a b l e ，t h u si t i sm o r ec o n t r o l l a b l e a n dh a sm o r ep r a c t i c a b i l i t y o fo p t i m i z a t i o n k e y w o r d s ：c o n c r e t e ；f i b e r s t r u c t u r e ；w a v ep r o p a g a t i o n ；e n e r g yd i s s i p a t i o n ； d y n a m i cp r o p e r t y i i i 独创性声明 独创性声明 秉承学校严谨的学风与优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，不包 含本人或其它用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明，并表示了谢意。 本学位论文成果是本人在广东工业大学读书期间在导师的指导下取得的，论 文成果归广东工业大学所有。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任，特此声明。 论文作者签字：林福采 指导教师签字： 功d 7 年歹月埠日 1 1 研究背景 第一章绪论 混凝土是土木工程中最常用的建筑材料，其抗压强度较高，但其抗拉强度却 很低，一般只有抗压强度的1 2 0 1 8 ，同时混凝土材料破坏时具有明显的脆 性性质。在受动荷载作用时，混凝土阻尼一般都较小，结构消耗能量或通过骨料 接触界面之间耗散，或以混凝土裂缝间摩擦产生机械能转换为热能的方式进行。 混凝土结构或构件大量运用于人类的各项建筑、交通工程，这些工程的建设 和发展在极大的推动人类进步的同时，也给人类的生存环境带来了许多负面的 影响，比如建筑噪音，交通噪音等等。它们已经成为了环境污染的最重要来源， 也已经逐渐开始制约了混凝土材料的发展，因此提高混凝土材料自身的吸波降噪 性能就显得格外急迫。另外，人类的生存环境也迫使人们对土木工程结构抵抗强 烈地震，风振以及其它外部激励而引起的结构破坏提出了要求。相关的研究也在 结构抗震抗振、隔震隔振、耗能、控制等领域取得了长足的进展。由于地震、风 振、爆炸冲击等外部激励均属于随机广谱外激励，因此，现有的改变结构自振周 期的抗震抗振、减震减振手段对于这些广谱外激励的有效性受到制约，而有效提 高结构自身的整体阻尼性能、能耗能力则能在更广的频率范围内抵御地震等的冲 击作用。显然，结构或构件材料本身性能的提升和智能化是未来结构抵御地震、 振动、爆炸等外部冲击的重要途径。 作为现代材料科学研究领域上的一个重要分支，纤维增强复合材料以其优异 的物理机械性能和可设计性取得了飞速的发展，并已经广泛地应用于各个产业领 域。在脆性材料混凝土中添加纤维，可以提高混凝土构件的多种力学性能，如 抗拉抗裂、抗磨损、抗冲击、韧性刚性、流变、抗振抗震等静、动态性能。因此 在创建节约型社会、环保型社会、安全稳定、以人为本的社会中，对纤维增强混 凝土( f r c ) 耗能方面研究的意义也显而易见，国内外针对此的研究也屡见不鲜， 其中涉及的行业包括纺织业、军工业、航天业、建筑业等等，如文献【2 1 3 】。 作为一种两相或多相结构体，复合材料的结构设计无疑会对材料的性能产生重要 广东工业大学t 学硕士学位论文 的甚至决定性的影响，从这些文献研究的结果中我们也不难发现，不同的纤维结 构显然对纤维复合材料耗能有着不同的影响。 为此，以姚立宁教授为首的课题组，在国家自然科学基金项目“纤维混凝土 中纤维结构构成的耗能作用研究”( 编号：5 0 4 7 8 1 2 3 ) 、广东省自然科学基金 项目“具有智能耗能结构的纤维混凝土与应用研究”( 编号：0 0 0 0 3 7 ) 和“混 凝土介质中纤维结构的阻尼耗散仿真研究”( 编号：0 3 4 7 9 4 ) 的资助下开展了 理论和试验等多方面的研究工作。本文所做的工作也正是这一系列研究中的一组 成部分。 1 2 研究现状与意义 正如前面所述，f r c 结构耗能相关领域的研究非常活跃，但是同时我们也发 现，几乎所有的研究都是针对各种具体纤维结构的f r c 耗能减振的研究，实际 上，在所有复合材料研究领域也是如此，如文献【1 2 】，【4 6 】，【1 4 - 2 0 等等， 而真正把纤维结构当成一种影响耗能的因素，或者说单独把它列出来研究分析 的，却是少之又少，更没有对其耗能原理做一个解释和综合的评价。虽然一些学 者对此有研究，但也是文献中常见的如：纤维编织结构、纤维方向角、纤维外形 结构的机械锚固、体积结构比例、相结构复合，或具体针对某种产品结构形式， 或只是简单地进行结构比较的研究，没有对纤维结构的耗散原理、影响做一个系 统的解释。 研究纤维结构在构件动态性能中所扮演或参与的角色，相当于提供了一种独 立于传统复合材料设计，或相互补充的结构设计方案。由于目前对纤维混凝土耗 能上的研究很大一部分都是针对组成相材料性能的研究，因此，对纤维结构耗能 影响的研究，除了弥补研究领域上的一块空白外，也是对现有基于材料上研究的 一个补充。 另外，在此研究的基础上，实现弹性波和声波的强力衰减，将混凝土的“改 性”推向更广泛的领域，实现从单一功能向多功能方向的发展。同时，这项研究 也将进一步深化脆性基体复合材料理论的研究，推动纤维微结构动力学的进展， 改善传统的纤维混凝土设计理论，除了将在土木工程结构混凝土工程上有应用之 2 外，对城市道路和高速公路路面铺装的消能降噪以及公路、铁路周围的建筑物等 等也都有重要的应用价值。 1 3 研究目标 目前很多文献关于耗能的研究都是集中在材料进入弹塑性时消耗的能量，或 者由于粘弹性时滞性本构产生的能量循环消耗，比如混凝土结构在破坏时产生大 量裂缝使结构阻尼会有所增大，但这是以牺牲某些构件的结构功能为代价的。某 些建筑中的精密仪器设备对环境要求比较高、对振动比较敏感，在振动发生时也 需要正常工作1 3 1 ，因此本文的主要目标是希望通过研究纤维结构的影响，在未 来时期最终实现一种复合材料纤维结构设计方案，来提高结构或构件在这些线弹 性工作阶段内的动态耗散性能。具体任务为： ( 1 ) 选取至少一种类型的连续纤维结构进行其耗能原理研究，可基于之前 的相关研究工作1 0 一1 2 】【2 卜22 1 ，首先选取具有较多设计变量的波纹连续纤维结构 分析； ( 2 ) 在线弹性范围内，给出波动传播的理论描述，研究不同纤维结构对弹 性波扰动传播的影响； ( 3 ) 计算反映构件的动态性能的固有参数，至少应对纤维结构的影响做到 定性的认识； ( 4 ) 通过试验研究，对理论分析及其所做的推断进行初步验证，研究出具 有科学性和实用性的成果。 3 广东t 业大学t 学硕十学位论文 2 1 引言 第二章波传播模型的建立 弹性波的传播向来都是科学工程领域研究的一个热点，如文献【2 3 。4 2 】。研 究波的传播对了解结构或构件的动态性能有重要意义，可以用于解释现实出现的 各种现象，反过来还可用于指导试验，优化设计，预测扰动传播、能量分布f 2 3 】 等等；也可以用于结构或构件计算理论和方法正确性的验证 2 4 1 ，一套计算理论 和方法的提出必须能在预定的精度范围内，很好地预测结构或构件的动态性能， 如t i m o s h e n k o 梁计算模型由于能比b e r n o u l l i - e u l e r 梁计算模型预测更多的 波传播模态，因此用t i m o s h e n k o 梁计算模型比用b e r n o u l l i e u l e r 梁计算模 型算出的结果更精确；实际应用上波传播的研究还大量应用于无损检测领域、材 料参数反演】【2 6 1 等等。因此，波的传播研究属于构件或结构动态性能的一个基 础性研究。实际上，一些方法例如统计能量法等，也都需要事先知道波数、群 速、波衰减和模态密度等波传播的信息【23 1 。 对于简单的、均匀的、各向同性的初级几何构件，如圆形截面，椭圆截面杆 可以得到其波传播问题的解析解，但是对于复杂几何体，如异形截面，另外还有 各项异性、非均匀的构件，如功能材料，大多都是无解析解或得到其解析解较困 难，为了满足日益发展的工程要求，在很多情况下数值解将是唯一的选择，目前 各相关研究都是基于数值解法，主要的有三种方法：( 1 ) s a f e ，此方法为半解析 有限元方法，它在波传播方向取解析解形式，而在与波传播方向垂直的其它两个 方向取数值解形式，如文献【2 4 】【2 7 3 2 】；( 2 ) f e m ，这种方法主要思想是用传递 矩阵把波传播中相邻质点( 或结点) 间的状态量联系起来，它的最大优点是其推 导的最终状态方程可以充分利用现有的有限元商业程序来计算，其推导与应用可 见文献【2 3 】【3 3 】；( 3 ) 傅立叶变换，用任何数值方法得到空间和时间域响应曲 线，然后对其做二维傅立叶变换即可得到波传播的信息，典型的如文献【3 4 】。其 中，前两种方法仅适用于材料性能独立于波传播方向的情况，而最后一种方法计 算代价花费高。 4 第二章波传播模型的建立 本章首先给出复合材料中波传播的控制方程，然后根据波传播问题的复数域 变分原理，综合考虑简谐波传播和本构关系的周期性非均匀，对弱形式的波动控 制方程提出了解方程波传播问题的数值方法。 2 2 弹性动力学问题的基本方程 对于任何在空间求解域q ，质量密度为p ，表面为s 的连续弹性介质，其质 点的动力学控制方程为4 3 】【4 4 】 运动方程( 在。内) ： d i v t 7 + f = p i i ( 2 1 ) 几何方程( 在q 内) ： = 吾 v 。口+ ( v 。) 7 ( 2 2 ) 本构方程( 在q 内) ： 仃= c ： ( 2 3 ) 力的边界条件( 在s o 内) ： p = o n ( 2 4 ) 位移边界条件( 在e 内) ： 取= 球( 2 5 ) 上式中，盯为对称的c a u c h y 应力张量，g 为对称的小应变张量，“为三维位移 场向量，露为应力边界的法向方向向量，为体积力。c 为四阶线弹性本构张 量，它满足以下关系： = - - c , m = ( 2 - 6 ) 一般来说，c 为位置坐标的实函数，但严格来说，c 应为一关于频率的复函数 张量，比如耗散介质2 8 1 1 3 6 l 。 如果考虑的物体是均匀、各向同性的弹性介质，那么可以借助矢量场的 h e l m h o l t z 分解定理对以上波动方程所表达的常系数偏微分方程组进行势函数分 解求解43 1 。 5 查三些奎兰三兰霉圭兰堡兰銮 2 3 弹性波的传播问题 对于在域q 中波传播的问题，位移场，应变场，应力场具有如下简谐波形式 的解 u ( x ，f ) = i ( z ，c o ) e x p ( 一i e x ) e ( x ，f ) = 手( x ，c o ) e x p ( 一i o ) ( 2 7 ) a ( x ，t ) = 烈z ，c o ) e x p ( - i 鲥) 这里t 为时间单位，i = 一l 为复数单位，瓦亏厅分别为位移、应变、应力复振幅 向量和张量，其中有意义的物理量是其实数部分： 瓦，弓，元】= r e 叵，乏，互1 ( j c o ) ) ( 2 8 ) 上式中，( ，屯，x 3 ) = = j 为描述q 域所采用的坐标系，在本文中，除非特殊说明， 则它可以是任何正交的广义曲线坐标系，如：笛f ：尔坐标系，柱坐标系，球坐标 系等等。 y 岛 h 黪 m a t r i x 石 矗w a v ed i r e c t i o n 圈21 二维周期结构示意圉 f i g 2 一i ，s c h e m a t i cr e pr es e n t a t i o no fa2 dp e rl o d i cs t r u c t u r e 这样，不计体力，且忽略任何耗散力，在空间求解域q 内系统的齐次波传播 的微分方程为： d i v 厅+ p o f l e = 0 手= ； v 。面+ ( v 。i ) 7 ( 2 9 ) 于= c ：e 6 譬 厅 第二章波传播模型的建立 由上式可见，对于波传播问题，所有涉及的量都为复数，在本章下面的内容中， 涉及的也都是复数运算。 现在考虑一周期结构，它沿i p ，卢= l 2 ，3 向量方向上呈周期性，以二维纤维增 强复合材料周期结构的为例，如图2 1 所示，p = l ，2 ；娟，o o ) - - ：1 1 ；( o ，之，o ) z f 2 ， 即每隔一个周期其材料属性，几何形状都一样，但在各周期段内，物体可以是各 项异性，或非均匀，或者两者都有。对这样的周期结构，根据f l o q u e t 周期定 理，式( 2 9 ) 中的位移场向量也呈现准周期性3 9 】1 4 ，即 面( 工+ f 9 ) = i ( x ) e x p ( i k f 9 ) ( 2 1 0 ) 式中，k 为物体中波传播的波数矢量，为频率0 3 的函数，如果0 2 正比于k ，则系 统中相速度与波数k 无关，这时波动在传播过程中速度不变，形状不变，即非弥 散系统；如果它们呈非线性关系，则系统为弥散系统43 1 。 这样，由式( 2 1 0 ) 可得一周期单元q 的f l o q u e t 准周期力和位移边界条件， 即 位移边界条件： i ( 参+ 矿) = a ( # ) e x p ( k 护)( 2 11 ) 力的边界条件： 烈善+ 矿) = - f f ( f ) e x p ( k f 4 ) ( 2 1 2 ) 上式中，善和善+ 矿表示所分析周期单元的周期边界；式( 2 1 2 ) 右边的负号是由于 两个周期边界面上法方向矗的反向引起的。方程( 2 9 ) ，( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 构成了波 在周期结构中传播的所有控制方程。 2 4 周期结构的基本复变分原理 对于周期结构的五个控制方程，因其具有线性和自伴随的性质，可以建立起 与原问题等效的复数位移场变分泛函 3 9 1 4 1 】 1 ( u - - ) = 肛厅：矿d q + j i r 面础q ( 2 1 3 ) nn 对式( 2 1 3 ) 进行一阶复数位移场变分得 7 广东t 业大学工学硕士学位论文 田( u - ) = ，( 面+ 0 画) 一，( i ) = - 厅：铲d q + 厅e 矿d f 2 + “ 2 1 4 ) no 这里( ) 表示( ) 的复共轭，c , c 表示前面各项的复共轭。由分部积分定理或高斯积 分，散度定理【4 4 1 肌删y = ( s 圆席) ：i d a = s n d a ( 2 1 5 ) 可得： f f - 于渲o q = 肿：万吾lv 固矿+ i v c ) 7l d q nn 。一一 = 强d 得蹄d q 一瓠孤6 g d s t 2 1 6 ) = j 弘谚蹄d q 一，- - 绷c - - - - , k i + 1 因此由式( 2 1 4 ) 可得 8 1 ( u - ) = 职讲俯十p 矿面) 蹦d q p s a + c ( 2 1 7 ) 这样只要复位移函数丽和其一阶变分掘( 蹄) 满足在域q 内连续可积条件，和 式( 2 1 1 ) 的准周期边界条件，则对于任意的变分蹄， 曰( u - 3 = 0( 2 1 8 ) 给出了全部的控制方程( 2 9 ) 和自然边界条件( 2 1 2 ) 。 2 5 广义变分原理( 边界条件的引入) 上节中，式( 2 1 8 ) 变分成立的先决条件是泛函中的位移场必须事先满足规定 的f l o q u e t 准周期边界条件( 强制边界条件) ，因此属于自然变分原理范畴。然 而，我们将在随后的数值解法中看到，如果采用自然变分原理，要位移场函数事 先满足f l o q u e t 准周期边界条件不易做到，因此需要建立起对应的约束变分原理 或广义变分原理将f l o q u e t 准周期边界条件引入泛函。 引入附加条件构造修正泛函常用的有两种方法，即拉格朗日乘子法和罚函数 法【4 5 1 。为此我们用m a t l a br 2 0 0 6 a 编写了小范围程序进行试验，数值测试结 8 第二章波传播模型的建立 果表明，采用罚函数法很难把握好罚数的取值范围，特别是对不同的工况，当工 况间材料性能差别较大时，在一种工况下能取得正确解，但在另一种情况下却不 一定能。因此，尽管采用罚函数法在推导和编写程序上都比较简便，本文中没有 采用。 将f l o q u e t 准周期边界条件式( 2 1 1 ) 及其复数形式 矿( f + 矿) 一矿( f ) c x p ( 旋i a ) = o ( 2 1 9 ) 引入泛函( 2 1 3 ) 式中得修正泛函 ，( 瓦力= j 犷厅：矿d q + 明矽面矿d q + 刀p ( 善+ 护) 一 oo ( 2 2 0 ) 蠢( f ) e x p ( 琅z 4 ) + 名矿( 手+ f 4 ) 一矿( f ) e x p ( 一k t p ) 由上式可见，这时原问题多了个未知场变量a 。这里兄应为一与厅同维的向量， 这样以保证泛函取得标量值。 正如文献【4 5 】所述，直接使用拉格朗日乘子求解将会遇到两个问题： ( 1 ) 方程组阶数将随附加条件数的增加而增加； ( 2 ) 计算机在求解过程中将会遇到数值求解困难。 解决方法就是事先利用甜( 西a ) = 0 的关系得到i 和五的关系( 由此关系还可 识别拉格朗日乘子a 自身的物理意义) ，再代入修正泛函，使修正泛函中只包含 原未知复位移场函数面。 因此，对修正泛函( 2 2 0 ) 式进行一阶变分可得下式 甜( 瓦a ) = j ( i + 。，玩a + 觑) 一( 9 2 ) = j j 疗：劳d q + j i j 矽i 贸d q + 五 贸( 参+ 矿) 一万( 善) 竺( - 豫州+ 鼠p ( f + t a ) 一矿酬一珑删慨 ( 2 2 1 ) = j m d i v 厅十p 矿i ) ，矿d q + a 一万( 孝+ j 9 ) 6 矿( 善+ f 9 ) + 【烈善) 一 。 2 e x p ( 】i 纛f 9 ) ，矿( 善) + 魏f 矿( f + f 4 ) 一矿( 善) e x p ( 一k f 9 ) + c l = 0 这里的推导我们利用了式( 2 1 6 ) ，和周期边界面方向余弦向量反向的关系。上式 对于所有的蹄( f + 矿) 和冒( 善) 都成立，因此可得： 9 广东t 业大学t 学硕士学位论文 铭勺等 a ：笔淼 工取值 ja = f ( f + f 4 ) ( 2 2 2 ) 一声( 善) e x p ( 次i p ) 歹( 善+ f 4 ) 一声( 善) e x p ( 汝1 4 ) 2 这样，a 可以取三个值，它们本质上都一样，文献【4 l 】取第一个值，文献【3 9 】则 取第三个值。 从( 2 2 2 ) 式可以看到，a 是以边界力的形式出现的，因此它的物理意义就是 周期边界上原本是内力的力暴露为外力时，在泛函中必须包含这部分，这样使得 单独取出的周期单元组成一个独立的封闭系统。 如将第三个a 的值代入修正泛函式( 2 2 0 ) ，则可以得到与文献【3 9 】中所给出 的等效结果 ，( 刃= j 俨厅：矿d q + j j j p 旆- 面+ d q + 矿( 善+ p ) 一矿( f ) e x p ( - k f 4 ) qn _ 础) - 确e x p ( 引，) h 础m ( 珈x p ( k ) ( 2 2 3 ) p ( 善+ 护) 一矿( 孝) e x p ( 一请1 4 ) 在此，修正泛函中拉格朗日乘子名已不再出现。如用上式的变分求近似解，原则 上场函数的近似函数就可以随便取值，不必考虑周期边界上的f l o q u e t 准周期边 界条件。 2 6 数值方法求解 2 6 1 基本方程的矩阵形式 采用笛卡儿坐标系( 工，y ，z ) - - - - 2 j 描述域q ，则位移向量，应变、应力张量的矩 阵形式分别为 1 0 第二章波传播模型的建立 u x l m = ih ，i ，【引= 蚓 ，阿】- 吒 吒 r 2 2 4 ) 式中，【】表示对应张量的矩阵表达形式。本构关系和几何方程的矩阵表达形式 分别为 黑2 竺1 ， ( 2 2 5 ) 陋】= v m 】 、 式中，v 为一定义于笛卡尔坐标系下6 x 3 微分算子矩阵 v = 喜oo 出 。三o d v oo 三 o z 式( 2 4 ) 中的边界法线方向余弦矩阵定义为 i 他0 0 0 他n yi 【n ( 工) 】_ l0 九，0 飑：0 i ( 2 2 7 ) 【00 玎：n y 吩0j 由( 2 2 4 ) 、( 2 2 5 ) 和( 2 2 7 ) 式可得变分泛函式( 2 2 0 ) 的矩阵表达形式 甜( 刃= 刖v 研矿】) 7 【c 】司d q + j 饵矿r 【司d q + 诃矿( f + f 4 ) 】r 【n ( 孝十f 9 ) 】f ( 善+ f 4 ) 】v 【面( 善+ f 9 ) 卜研矿( 乎) r 【栉( 善+ f 9 ) 】【c ( 善+ f 4 ) 】 v 【面( 善+ f 声) 】e x p ( 一k i a ) + 研陬善+ z ，) 】r 【c ( 善+ f 卢) 】【n ( 善+ f ，) r ( 2 2 8 ) 陋( 乎+ 矿) 】一研v 瓦( f + 矿”眵够+ j 9 ) 】伽g + j 4 圹暖( 釉既p ( 豫i a ) = o 式中，【】r 表示【】的矩阵转置。为方便推导，以及便于编写程序，式中我们取了 a 的最简形式a = 盯( 孝+ 护) 雄( f + 护) 。 622 ( 口，。，。j a一砂a一孤 o a 一砣 o a 一孤 o a一跳a一砂 广东工业大学丁学硕卜学位论文 这样，只要选定了未知场的试函数，就可以方便地从式( 2 2 8 ) 中建立起一 维，二维或三维的简谐波传播数值模型。 2 6 2 可传播波的传播 假设波沿z 方向传播，即( 0 , 0 ，七，) 号量，考虑在波传播方向上材料性质非均匀 的情况，借助于傅氏级数的概念，则可以取复数场模式为【4 0 】1 4 2 】 【i ( j ，研j _ 【a ( x ，w , k ：) e x p ( i k 。z ) 【手( 工，功】= 【季( 工，c o , k ：) e x p ( i k = z ) ( 2 2 9 ) 【疗( j ，却j _ 【方( z ，峨t ) 】e x p ( 哎z ) 上式中，波数七，可取值为实数对t ，复数对，琥，和纯复数对腩， 三种值，它们分别代表沿+ z 方向可传播的携带能量的行波，振荡传播衰减的 波，不可传播的衰减的驻波，或文献中常称的边缘波【4 3 1 。 由于复数对的波不传播能量，对频率无贡献，它们的出现主要是为了满足行 波传播在边界上反射后所要满足的边界条件”1 ，因此在本文中，只考虑k ，为实 数的情况。 p ，弋爪- k w a v e d i r e c t i o n | | l 矧豳p ( 0 1 _j 如) i |豳f i i 1 l - ij j u j ， a j ， z 图2 2 所分析的周期单元图 f i g 2 - 2 u n i tc e l lo fap e r i o d i cs t r u c t u r ec o n s i d e r e d 如果知道了和k z ，就可以根据脚和k ：的关系求出波传播中的相速度和群速 度值： 国 c p 2 i c l ：i d o ) ， ( 2 3 0 ) 。出 1 2 第二章波传播模型的建立 这样，式( 2 2 9 ) 中的国，露：及其对应的复振幅阿亏疗】给出了可传播波在物体中沿 z 轴传播的全部描述。 现取一周期单元如图2 - 2 阴影部分所示，周期方向沿波传播方向z 方向，周 期单元体的坐标原点位于周期长度的2 处。则 ( 五) ，一詈) 号毒 ( o ，o 口) - - 1 ( 2 3 1 ) 把( 2 2 9 ) 和( 2 3 1 ) 式代入式( 2 。2 8 ) ，得与可传播波传播模型等效的泛函变分 甜( 刃2 矿( v 研矿卜啦v z 砸】) 7 【c 】( v 【五】+ 政。v z 研司) + p 矿研矿f a d f l + ( 研矿嗤) 】) 7 【押j a 小。j a ) j ( v 阻【_ a ) 】+ 电v ：瞰兰) 】) 一( 6 i a + ( 一号) 】) 【开嗤) 】 眵哇) 】( v 陋嗤) 】+ 跃：v ：【蠢噬) 】) + ( v o t a + 嗤) 卜玻：v ：研矿( 量) 矿【c ( 詈) 】 ( 2 3 2 ) 协唔圹嗽詈) 卜( v 况五( 薹) 】一玻：v ：研面。唾) 】) 7 【c 哇) 】哳唔灌瞰一争】+ c = 0 这里的推导我们用了复数共轭运算( e x p ( i p o ) ) e x p ( i p o ) = l 的关系式。从( 2 3 2 ) 式中可以看到，这时，修正泛函的附加泛函( 边界条件的引入项) 中也不再包括 e x p ( k i p ) 这一项了，这可以从周期边界条件上得到说明，将( 2 3 1 ) 代入式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，则f l o q u e t 准周期边界条件可直接化简为 2 6 3 数值离散 商( 工) ，詈以t ) = 面( 工) ，一兰织屯) ( 2 ，4 ) p ( 训导戤t ) = 一p ( x , y 。一薹，识t ) 与原问题等效的变分泛函的建立，直接导致了问题的一种标准、近似解法： r a y l e i g h - r i t z 法。文献【3 9 】中就有波位移场函数用试函数r i t z 展开的应用。然 1 3 ) 332 ( r 们副 1 o o o l o o o l o o o 0 o 0 l = ： v 广东1 = 业大学工学硕十学位论文 而对于周期单元内非均匀、各向异性的弹性体，由于求解域比较复杂，如果在整 个域内选取满足边界条件的试探函数( 较理想的试函数) ，比较困难；另外问题 求解的精度要求也对试探函数的项数提出了要求【45 1 ，特别是本文里研究的波传 播问题。这就增加问题求解的繁杂性。因此，同样是建立于变分原理基础的有限 元法就成了离散方程( 2 1 8 ) 的最佳选择。 利用有限元概念，对求解域q 进行有限元划分离散，则在单元域q 。内，位 移复数场用形函数按单元节点复位移展开 t 面c j ，以t ，。= 差 ； 机( j ) 屯 n k ( x ) u 韭t n k ( x ) u 吐t = n ( j ，y ，z ) d ( 2 3 5 ) 式中( ) 表不单兀域内的量，n 表不单兀节点的数目，u 为单兀节点复位移，d 。 为节点复位移向量，n 。“y ，z ) 为3 x 3 n 的单元形函数矩阵，单元及插值函数的构 造同一般有限元法一致，具体可以参考一般有限元教材，如文献【4 5 】 这里值得一提的是形函数矩阵n y ，z ) ，由于考虑传播方向z 向的非均匀， 因此n 。伉y ，z ) 同时也为z 的函数；文献【4 0 】【3 8 】 3 7 】有关于波传播此离散的应 用，但它们是本文的特例：一维情况和二维情况；文献【3 1 】中对扭曲梁的弯曲模 态传播也有类似取法，但与此不同的是，文献【3 1 】是直接通过引入计算因子( z 的函数) 来考虑波传播方向扭曲( 非均匀) 的影响的。 将近似复数场函数( 2 3 5 ) 式代入( 2 3 2 ) 式，得离散模型 甜。( 面) = 盯_ ( 励) 7 ( v n 。i k ：v ：n 。) 7 眵。】( v 胪+ i k ：v ：n 8 ) + ( 跗) 7 p o n ” 西 胪d g + 甜”( 争| ”( 争噬) 】【( 争】( v 胪( 争+ 讹：v ：( 争) ( 争 一砌”( - 2 ) n ”( - 争旷噬) 1 【c 2 ) 1 ( t m 。喝) + 玻：v ：暖) ) 哇) + ( 2 3 6 ) 甜”9 ( v 。噬) _ k z v ：。唔) ) r f 吃a 小n e 气a ) 】r ( 争( 争一砌”唔) ( v 。9 一叱v ( 詈) ) 7 f 9 。( 兰) 】( - 2 ) d 午a + 化= o 1 4 篁三耋鎏箜釜篓耋墼兰三 叠加域内所有的单元得 式中 疥( 动= 硝( 刃 = 萋 ( 砧9 ) 7 0 m ) 一( 甜) 7 【以r ( ) 一( 甜9 唔) ) 7 【置，r ( ( 争) ( 2 3 7 ) = 0 一( 砌9 ) 7 【置，r ( d 8 ( 一争) 一( 励( 一兰) ，【置，r ( ( 量) ) + l 【邑】+ ( 跗i k ：v 。n ) 7 【】( v + i k ：v ：n 。) d r 2 【e 。r 【置二r 【置，r + 一妙州( 争一琅：v ：( 【c 吒m 9 m 。( 争g 球 _ 一一一一 苫= l 砖p n ”n t d f z c ( 2 3 8 ) 将式( 2 3 7 ) 中的各单元自由度转换到整体结构自由度