（基础数学专业论文）广义armendariz环(1).pdf

摘要 本文中，我们对a r m e n d a r i z 环进行了推广和研究分别研究了斜a r m e n d a r i z 环、弱a r m e n d a r i z 环及c a r m e n d a r i z 环的性质引入了g - 拟 a r m e n d a r i z 环的概念，刻画了这种环的性质，得到了一些比通常意义下 a r m e n d a r i z 环更加广泛的结果 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，a r m e n d a x i zr i n g s a r eg e n e r a l i z e da n di n v e s t i g a t e d s k e w a r m e n d a r i zr i n g s 、w e a ka r m e n d a r i zr i n g sa n dg - a r m e n d a r i zr i n g sa r ei n v e s t i g a t e dr e s p e c t l y t h ed e f i n i t i o n so fg q u a s i a r m e n d a r i zr i n g sa r eg i v e n a n dp r o p e r t i e so fi t sa x ec h a r a c t e r i z e d ，w h i c ha x em o r eg e n e r a lt h a nu s u a l a r m e n d a r i zr i n g s ， l l 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 - k 一 签名： ! 型鱼望日期：迦生i ! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：图兰垩导师签名：童! i ! 里! 垒日期：型丝! 笸 引言 己i 言 jl 口 1 9 6 5 年，k a p l a n s k y 在对a w + 代数和v o l ln e u m a n n 正则代数的研究中引入了b a r e 环 的概念在b a r e 环的研究中，a r m e n d a r i z 2 1 注意到r e d u c e d 环r 满足这样的性质：如 果，( 。) = a l x ，9 ( z ) = b r x 】且f ( x ) g ( x ) = 0 ，则对任意0s i sm ，0sj n ，啦6 ，；0 在文【l 】中，r e g e 和c h h a w c h h a r i a 称具有这种性质的环为a r m e n d a r i z 环从 此开始了对a r m e n d a r i z 环的系统研究( 见【1 , 3 ，4 ，5 ，8 ，9 ，l5 j ) 本文对a r m e n d a r i z 环从四种不 同的角度进行了进步的研究和推广 本文分为四部分除特殊声明外，凡是提到的环均是有单位元的环，提到的模均指酉 模 mn 设a 是环r 的自同态，称环月是。一斜a r m e n d a x i z 环如果p = a i x 2 口= b j x r k ，若p q = 0 ，则对任意0 i m ，0s j t t ，有a l o c ( 如) = 0 易知如果如是r 的恒 等自同态，则r 是a r m e n d a r i z 环当且仅当兄是如一斜a r m e n d a r i z 环【5 ，例2 指出存在 a r m e n d a r i z 环r 的自同态n ，使得五不是a 一斜a r m e n d a r i z 环，f 5 】中对斜a r m e n d a r i z 环 进行了系统的研究，本文在第一部分继续研究斜a r m e u d a r i z 环文( 5 】提出了一个公开问 题：设。是f 交换) r e d u c e d 环的r 的单同态( 或自同构) 且r 是斜a r m e n d a f i z 环，问 r 是否是o r i g i d 环? 本文证明了设a 是r e d u c e d 环r 的单同态且q f ( r ) 则r 是a 一 斜a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是a - r i g i d 环( 5 ，例1 1 说明存在a b e l i a n 环r 的自同构a ， 它的素根p ( r ) 是完全半素理想，使得r p ( r ) 和p ( r ) 分别是a 一斜a r m e n d a r i z 环和 斜a r m e n d a r i z 环，但r 不是a 一斜a r m e n d a r i z 环另一方面，f 5 ，例1 2 1 说明存在环r 的 非恒等自同构o l ，使得对非零真理想，r i 是丘一斜a r m e n d a r i z 环，是斜a r m e n d a r i z 环，但r 不是m 斜a r m e n d a r i z 环我们证明了设a r ( r ) ，且对兄的某个理想，r z 是 匦斜a r m e n d a r i z 环如果，是r e d u c e d ，则r 是o 斜a r m e n d a r i z 环对 5 ，例1 8 】给出的 环岛，虽然当n 4 时，岛不是丘一斜a r m e n d a x i z 环，但是我们证明了岛的子环- 可以成 为a 一斜a r m e n d a x i z 环受此问题启发，证明了更为广泛的一类环可以成为斜a r m e n d a r i z 环 文9 1 引入了弱a r m e n d a r i z 环的概念称环兄是弱a r m e n d a r i z 环，如果r 中任意 两个线形多项式的积为零，则它们的任意系数乘积为零彳艮明显，每个a r m e n d a r i z 环是弱 a r m e n d a r i z 环，并且f 9 ，例3 2 1 指出存在是弱a r m e n d a r i z 环但不是a r m e n d a r i z 环的例子，因 此弱a r m e n d a r i z 环是a r m e n d a r i z 环的真推广本文在第二部分中，证明了( 1 ) 设r 是整 环，m 是且模，则冠om 是弱a r m e n d a r i z 环当且仅当m 是弱a r m e n d a r i z 模( 2 ) 假设存 在环r 的古典右商环q ，则r 是弱a r m e n d a r i z 环当且仅当q 是弱a r m e n d a r i z 环这两个 结论分别推广了f 3 ，定理1 2 1 和【8 ，定理1 2 】 1 第三部分研究相对于幺半群的a r m e n d a r i z 环按照f 1 5 1 ，设g 是幺半群，称环r 是g a r m e n d a r i z 环，如果o l = o 。吼，卢= b b r i g ，若。序= 0 ，则对任意0 i m ，0 曼 j n ，有a i b ，= o ，如果g = ( n u0 ，+ ) ，则r 是g a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是a r m e n d a r i z 环这部分首先推广了m c c o y 定理，然后证明了若g 是幺半群，则r 是g - a r m e n d a r i z 环 当且仅当r 和幺半群环r 【g 】的子集的零化子间存在双射 受文f 1 6 1 给出的拟a r m e n d a r i z 环概念的启发，第四部分我们引入了g 拟a r m e n d a r i z 环的概念设g 是幺半群：称环r 是g 一拟a r m e n d a r i z 环，如果。= a i g 。，p = b j h ， 仁= o j = o r 【g 】1 若q 兄i g ) 卢= 0 ，则对任意0 i m ，0 jsn ，有a l r b j = o 我们证明了 设g 是u p 幺半群，r 是环则以下两条等价：( 1 ) 对任意a r ，k ( 兄a ) 作为甩约左理想是纯 的( 2 ) 对任意q r i g ，f r g 】( _ r 【g 】q ) 作为r 【g 】的左理想是纯的满足上面条件的环是g 一拟 a r m e n d a r i z 环b i r k e n m e i e r 在f 1 3 ，定理1 2 1 中证明了设r i g 是u p 幺半群环，则( 1 ) r 是左主 拟b a r e 环当且仅当月f g 】足左主拟b a r e 环，( 2 ) r 是拟b a r e 环当且仅当r f g 】是拟b a r e 不易知此 结果是上面结论的一个推论我们得到g 。拟a r m e n d a r i z 是m o r i t a 不变性证明了若 g 是幺半群m 是u p 幺半群如果r 是r e d u c e d 环且r 是g a r m e n d a r i z 环，则r 是 g m 一拟a r m e n d a r i z 环 对a r m e n d a r i z 环的系统研究开始于1 9 9 7 年，所阻这是一个比较新的研究方向，还有大 量的问题有待于我们潜心去研究戒们相信，这方面的研究将会取得长足的发展 2 1 斜a r m e n d a r i z 环 1 斜a r m e n d a r i z 环 r e g e 和c h h a w c h h a r i a 1 j 入了a r r a e n d a r i z 环的概念设r 是环，记r 上的多项式环 为r i x l 称环r 为a r m e n d a r i z 环，如果对于y ( x ) = 0 i 一，g ( x ) = 6 j 一r n ，若 i = 0 j = o f ( x ) g ( x ) = 0 ，则对任意0 ism ，0sjs 礼，a i 畸= 0 名称“a r m e n d a r i z ”被采 用是因为a r m e n d a r i z 在f 2 ，引理1 1 中发现r e d u c e d 环满足这样的条件a r m e n d a r i z 环在文 献m 2 ，3 ，4 ，8 】中被广泛研究 上面引入的a r m e n d a r i z 环是在考虑一般的多项式环时得到的，文献| 5 1 考虑比一般 的多项式环更广的一类多项式环，即斜多项式环设口是环r 的自同态，环r 上的斜多 项式环记n r x ；口 是在一般的多项式环兄m 上定义新的乘法嚣r = a ( r ) z ( 任意r r ) 而 得到设n 是环r 的自同态按照文献f 5 1 称环r 是d 一斜a r m e n d a r i z 环，如果对于 p = a l x 2 ：g = b y r 印；q 】，若p q = 0 ，则对任意0 ism ，0 j n ，有 a i a i ( b ，) = 0 易知如果如是r 的恒等自同态，则r 是a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是 ，r 斜a r m e n d a r i z 环| 5 j 例2 】指出存在a r m e n d a r i z 环丑的自同态o ，使得r 不是a 一斜 a r m e n d a r i z 环设0 = 是环r 的自同态，称a 是r i g i d 的，如果任意r r ，若r a ( r ) = 0 ， 则r = 0 称r 是c f - r i g i d 环，如果存在r 的r i g i d 自同态由6 ，命题5 1 ，o - r i g i d 环是 r e d u c e d ( 没有非零的幂零元的环) 由【5 ，例1 和例5 】及【6 ，命题6 】知，o 一斜a r m e n d a r i z 环 是。一r i g i d 环的真推广易知。一斜a r m e n d a r i z 环的子环也是斜a r m e n d a r i z 环记环r 的自同态环为e n d ( r ) 这部分继续f 5 1 对a 一斜a r m e n d a r i z 环进行研究 设ae e n d ( r ) ，i 是r 的理想，a ( j ) i ，卿由丘( 口+ d = n ( o ) + j r 定义的同态a ：r i r i 是商环r x 的自同态【5 】指出，如果p 是r 的完全素理想，则对任意ne e n d ( r ) ，r p 是a 一斜a r m e n d a r i z 环但在一般情况下，【5 ，例7 1 指出存在r 是弘斜a r m e n d a r i z 环，r z 未必是西斜a r m e n d a r i z 环的例子但是我们有下面的结论 命题1 1 设de e n d ( r ) 如果r 是。一斜a r m e n d a r i z 环，j 是r 的右零化子理想且 o ( ，) i ，则r z 是丘斜a r m e n d a r i z 环 证明：不妨设，= r r ( j ) ，j r 记詹= n i ，对任意a r ，记a = a + 1 r 设 p = a o + 5 1 x + + c t m x m ，口= 1 0 + 5 1 z + - + k z “真；a 】且p q = 6 ，则对任意0 k s m + n ，面酽( 岛) = 6 ，即n t 口4 ( 6 ) i = r n ( j ) ，因此对任意”j ，v a i o r ( 幻) = 0 ， i 埘= i 却= k 4 却2 所以有 ( u a o + 口。1 z + + v a m 2 7 m ) ( 6 0 + 6 i + - + k 扩) = 0 ， 但是r 是舡斜a r m e n d a r i z 环，故对任意0 i m ，0 jsn ，有v 0 4 a ( b ) = 0 ，因此 i 。酽( 5 f ) = 6 ，这就证明了n i 是a 一斜a r m e n d a r i z 环 3 5 l 斜a r m e n d a r i z 环 mm 设ne e n d ( r ) ，则a i x 一a ( o 。) 定义了r x 的一个自同态，很明显它在r 上 i = 0i = 0 的限制是o ，我们仍记为，即n ：r 陋 一r 引理1 2 【5 】设ne e n d ( r ) 则r ；o 是r e d u c e d 环当且仅当r 是n r i g i d 环 下面的命题是f 5 ，命题8 】的推广 命题1 3 设n 是环r 的单同态，且。( 1 ) = 1 ：n n 且n 2 则r = r h ( 矿) 是丘一 斜a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是a r i g i d 环，其中( 护) 是由扩生成的理想 证明：设r r 且q ( r 沙= 0 ，设芦= o ( r ) 一扩_ 1 ，卓= r + i n - l y 詹 ；a 】，其中 牙= z + ( z n ) 矗，因为( r ) 孟”一1 = = 牙“一1 n ( r ) ，：i n - 1 丘( 孟“一1 ) = 露n - 1 0 ( 。“1 ) = ( 孟“一1 ) 2 = 石， 所以 p 叮= ( o ( r ) 一孟“一1 纠) p + 孟”一1 可) = d ( r ) r + ( q p ) 莹”一1 一牙“一1 q ( r ) ) 掣一主”1 a ( 孟n - - 1 ) 掣2 = 石， 因为矗是舀斜a r m e n d a r i z 环，所以b ( r ) 妒_ 1 = 6 ，故q ( r ) = 0 ：由的单性可得r = 0 下证r 是r e d u c e d 设r 2 = 0 则o = a 2 ( r ) d ( r ) a ( r ) r = q ( 。( r ) r ) a ( r ) r ：故a ( r ) r = 0 ，因 此，r ：0 从而由r a ( r ) = 0 可得a ( r 、) r = 0 ，由上面证明有r = 0 ，故r 是q r i g i d 环 反过来，设声= 五以口= 易矿矗丘】，且两= 6 ，不妨设 = 。；。+ q ，牙+ + n 。一，茁n 一1 ，协= 6 j 。+ b ，牙+ + 吩圣“一1 r ，因为y x = 丘( 牙) 可= 牙可，所以芦= h o + 1 雪+ + 。一1 牙n l ，叮= + 七1 孟+ + 七。一l 牙“一1 ，其中h o = 口如矿，h i = n 1 y ，一，h n - 1 = i = 0o = 0 。tt 壹b 。旷，k o = 妻矿，乜= b 。y j ，k 一1 = 量垓一，矿r m ，因为两= ( o + h l 牙+ + ”l 孟n 一1 ) ( 七o + k l x + + k 一1 牙n 一1 ) = d ，且当i n 时，= o ，所以 h o = 0 o l + h l k o = 0 h o k 2 + h i h + h 2 k o = 0 h o 一2 + h l k 一3 + h o k 一1 + l 一2 + + h 。一3 h + 7 h 一2 = 0 + k 一2 h + 。一1 o = 0 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( n 一1 ) ( 礼) 对i + j 进行归纳，由引理1 2 知r b ；a 】( r 陋；a ) 是r e d u c e d 环，由( 1 ) 可得k o h o = 0 ， ( 2 ) h o 得0 = h o k l h o + h l k o h o = h o k l _ h o ，所以有( h o k l ) 2 ；0 ，由r b ；q 】的r e d u c e d 性得 h o k l = o ，( 3 ) h o 得 o 十 l h h o + h 2 k o h o = 0 ，因为h = 0 ，k l h o = 0 ，所以也= 0 ， 因此( 3 ) 式变为 1 h + h 2 = 0( 3 7 ) 4 l 斜a r m e n d a r i z 环 ( 3 7 ) h i 得h i l h l + 2 k o h l = 0 ，因为h l ；0 ，所以h i k l = 0 从而 2 k o = 0 假设对任 意i + j = 0 ，1 ，2 ，n 一2 都有h ；砖= o ，( n ) h o 得 h o l h o + h l k - 2 h o + + h 。- 2 k l h o + 7 h 一1 k o h o = 0 由假设及上式得h o k 。一。= 0 ，这样( n ) 式变为 h 1 。一2 + h 2 k 一3 + - + h 。一2 h + h n l k o = 0( 几) ( n ) 1 得0 = h i 一2 h 1 + k k 。一3 h 1 + + k 一2 1 h 1 + 。一1 h l = h i k n 一2 h 1 ，因此h l k 。一2 = 0 ， 继续这样下去，( n ) 式中每项都为0 ，由前面计算及r 是d 斜a r m e n d a r i z 环得，对任意 f + r = 0 ，1 ，、n 一1 ，( 1 q o l 4 ( b j ，) = 0 ，又因为对任意2 + r 他，o q 。( b ) 孟m = 0 ，所以对任 意0 墨iss ，0sj 茎t ，五口( 亟) = 6 ，因此n l x ( z “) 是丘- 斜a r m e n d a r i z 环 按照文献n 设r 是任意环，记e n d ( r ) 为r 的自同态环，令r ( 兄) = 西e e n d ( b ) i 西( “) ”= ( m ，) = u 驴( ) ，v u ， r ) ，则r ( n ) 对通常映射的加法和合成作成环，是e n d ( r ) 的含单位元的结合子环 在文献f 5 】中，作者提出一个公开问题：设。是( 交换) r e d u c e d 环的只的单同态( 或自 同构) 且r 是q 斜a r m e n d a x i z 环，问r 是否是q r i g i d 的? 我们虽未完全解决：但有下面 的命题成立 命题1 4 设。是r e d u c e d 环r 的单同态且n r ( r ) 则兄是8 一斜a r m e n d a r i z 环当 且仅当r 是一r i g i d 环 证明：我们只需证明必要性设，= a o + a l x + + n 。x n 只陆；口】且，2 = 0 ， 因为兄是斜a r m e n d a r i z 环，所以对任意0 兰，j n ，有口。( q ) = 0 ，特别地有 q 硝( 啦) 一0 ，0 i n ，因为d r ( r ) ，故舒( o ) = 0 ，又因为口是单的，所以? = 0 ，由兄 的r e d u c e d 性知a = 0 ，因此，= 0 ，由引理1 2 知，r 是口一r i g i d 环 【5 ，例1 l 】说明存在a b e l i a n 环r 的自同构q ，它的素根p ( r ) 是完全半素理想，使 得r p ( r ) 和p ( r ) 分别是a 一斜a r m e n d a r i z 环和a 一斜a r m e n d a r i z 环，但兄不是o - 斜 a r m e n d a r i z 环另一方面，【5 ，例1 2 说明存在环r 的非恒等自同态o ，使得对任意非零真理 想i , r i 是丘斜a r m e n d a r i z 环，是q 一斜a r m e n d a r i z 环，但r 不是口一斜a r m e n d a r i z 环但是我们有下面的结论 定理1 5 设o r ( r ) ，且对r 的某个理想j ，r ，是a 一斜a r m e n d a r i z 环如果，是 r e d u c e d ，则r 是q 一斜a r m e n d a r i z 环 证明：设= 8 0 + 口1 。+ + 工m ，窖= b + 6 1 z + + k z ”且k ；。 且p q = 0 ，因 为n z 是画一斜a r m e n d a r i z 环，所以对任意05i m ，0sjs 扎，有啦( 幻) ，要证 n t ( b ) = 0 下面对= i + j 进行归纳 5 1 斜a r m e n d a r i z 环 当k = 0 时，a o b d = 0 设k 1 ，假设对任意i + j k 一1 ，有 。；酽( 如) = 0 ，因为o t ( b ) j j ，( q 2 ( b ) n i ) 2 = 0 7 而，是r e d u c e d ，所以q 4 ( b j ) i a t = 0 在p q = 0 中看矿的系数，有0 = 0 0 6 k + a l c y ( b k 1 ) + 十c t k l o “1 ( b 1 ) + o k n 2 ( b o ) = n t o ( b k 一，) + n n ( b o ) ，因为( a k d ( 6 0 ) ) 2 a ( b k 一。) n k 血( b a ) i a i a ( 6 t ) = i = o k 一1 n 女女一i ( o ( b o ) j 啦) d t ( b k t ) = 0 ，所以0 = ( 毗q ( b ) ) 2 。( b k 一 ) + ( a k o , ( 6 0 ) ) 3 = ( a k o ：2 ( 6 0 ) ) 3 ，又因为n a ( b o ) 且，是r e d u c e d ，所以a k o z ( b o ) = 0 ，从而0 = a o b + 口i a ( b k 1 ) + + o t 一2 a k - 2 ( 6 2 ) + a k - 1 0 2 1 ( b 1 ) = d ，( k i ) + a k 一1 q k - i ( b 1 ) ，因 为( 。一1 8 2 1 ( b 1 ) ) 2 口 a 2 ( b k t ) 8 k l o l k - - 1 ( b 1 ) 工n 。0 2 ( 6 一 ) = 。一l n 一1 2 ( q 。( b 1 ) i a l ) a ( b k ) = 0 ，所以0 = 心女一1 c e k - 1 ( 6 i ) ) 2 啦o ( b k 一。) + ( n 一1 1 ( b 1 ) ) 3 = ( o 卑一1 s 1 ( 6 1 ) ) 3 ，又因为 一i a b l ( b i ) 且，是r e d u c e d ，所以a k - i o e “1 ( 6 1 ) = 0 ，继续这样下去，对任意 i 十7 ：k ，啦) = 0 从而对任意0si m ，0 j n ，有a l c t ( 如) = 0 因此r 是( 】= 斜a r m e n d a r i z 环 推论16 【8 j 设冗是环，对r 的理想j ，n ：是a r m e n d a r i z 环如果i 是r e d u c e d ，则 r 是a r m e a d a r i z 环 证明：在定理1 5 中取。为冗的恒等自同态即可 引理1 7 设r _ 黾环，。6 e n d ( r ) 假设存在u ， r ，使得“2 = 0 = v a ( v ) 且u = v a ( u ) 0 ，则r 不是a 一斜a r m e n d a r i z 环 证明：n n ( u + 茁) ( “一删b ) = u 2 + 扣a ( 也) 一u v ) j c 一 a ( ) 2 = o r b ；嘲，但t 上u 0 ， 因此r 不是o 斜a r m e n d a r i z 环 设r 是环，记螈( 咒) 为兄上的全矩阵环，对于任意a = ( h 一l 如( r ) ，定义丘： 蝎；( r ) 一蝇。( r ) 为( ) 。一啦( ) ) 。则丘是矩阵环a 矗( 励的自同态易知它在冗上的 限制是n 用8 巧表示矩阵单位 设r 是a - r i g i d 环，o _ e n d ( r ) ，记 品= 血n 1 2n 1 3 lo 口3 iooo l ： l 一。 0 00 1 l n ，r j 其中礼n ，【5 ，n 1 8 1 谎n 当n24 时，鼠不是丘一斜a r m e n d a r i z 环但是我们可证r 的子 环眦，( 见下文) 是丘一斜a r m e n d a r i z 环 6 、iilljlil 。 定理1 8 设e e n d ( r ) ，且。( 1 ) = 1 记 肌= 硒0 0 a o 0 0 o o o o 0 8 1 1口2 1 0 a 1 2a 2 2 a oa l ( n 一2 ) a 2 ( n 一2 ) 0 a o a l ( n 1 ) 00 a o a o ，a q r 则当n 2 时，w 。是丘斜a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是- r i g i d 环 证明：很明显暇。形成一个环 必要性：反设r 不是a r i g i d 环，因为 w 0 兰 a o + a l l e l ( n 一1 ) + a 1 2 e 2 ( n 一1 ) + a l ( n 一2 ) e ( n 2 ) ( n 一1 ) + a l ( n 1 ) e ( n 一1 m 4 - a 2 1 e l n + a 2 2 e 2 n + - + a 2 ( n 一2 ) e ( n 一2 ) nl 口o ：a i j r ) ， 所以只需证明后者不是a 斜a r m e n d a r i z 环因为r 不是a - r i g i d 环，所以存在0 v r ：使 得v a ( v ) = 0 ，令u = e 1 。，则“2 = 0 = u q ( u ) ，u = v c y ( u ) 0 ，由引理1 ，7 可得结论 充分性：对于任意 a o0 0a o 0 a 1 1a 2 1 0 a 1 2a 2 2 6 00 0b o 0 b 1 15 2 1 0 b 1 2b 2 2 眠 【|00：a：o“吉(n-a2(n-2)t o o b o 幻蒗：j ( b o ，b n ，b 1 2 ，6 1 m 一1 ) ，6 2 1 ，6 2 2 ，一卅b 2 (2 ) ) = ( a o + b o ，a l l + b n ，a 1 2 + b 1 2 ，a l ( n 1 ) + ( b o ，b 1 1 ，b 1 2 ，一，b l ( n 1 ) ，b 2 1 ，b 2 2 ，一，b 2 ( 一2 ) ) = ( a o b o ，a o b l l + a n b o ，a o b l 2 + a 1 2 b o ，一，a o b l ( n 一1 ) + a l ( n 一1 ) 6 0 ，a o b 2 1 + a n b l ( n 1 ) + a 2 1 b o ，口0 6 2 2 + a 1 2 b l ( n 一1 ) 十 0 2 2 b 一，a o b 2 ( 。一2 ) + a l ( 。一2 ) 6 1 ( ，1 ) + a 2 ( 。一2 ) 6 0 ) ，因此每个p i k k ；耐可表示 为( p o ，p 1 1 ，p 1 一，p l ( 。一1 ) ，优l ，p ，p 2 ( 。一2 ) ) ，其中p 0 ，p q r 睁；a 】 q 2 2 ，q 2 ( 。一2 ) ) w j k ；a x p q = o , n 有下列等式： p o q o = 0( 1 ) 7 1 斜a r m e n d a r i z 环 由引理12 知，r k ；a 】是r e d u c e d 环，从( 1 ) 式可得q o p o = 0 ( 2 ) p o 得0 = p o q l 。p o + p l s q o p o = p o q l s p o ，所以加口1 3 = o ，p l 。蜘= o 3 ) 硒得m 勉p o + p u q z ( 。一1 ) p o + p 2 t q a p o = 0 ，因为啦( n 一1 ) 如= 0 ，q o p o = o ，所以p o q 2 t = o ，因此( 3 ) 式变为 p l t 口1 h 一1 ) + p 2 t q o = 0 ，1 t n 一2 ( 3 7 ) ( 3 7 ) xp n 得， p l t q l ( n 一1 ) p u + p 2 t q o p u = 0 ， 因为铀p l t = o , n p a p l q l ( 。一1 ) = o ，p 2 t q o = 0 ，现在设 n g 0 0 8 9 。 ： ： 00 00 0o ，6 舻1 0 0 b 臀 b 料、 ，l ? a 乎6 笋l 。2 j = o l j o 毒h 潞如卜 l oo - - o 6 p b o u ) 。一1 ) i 0 0 0 0 睹 其中p 。：圭n 护矿，p 。：圭a 摇，1 s3sn 一1 ，弛。= 妻a 磐一，ls n 一2 ，9 0 = 妻6 护妒，= 壹v 加l s ，1 墨s n 一1 ，蚴= 叁如，1 st n 一2 ，由前面得到 嵩式及r 是a j = 斜o环得。g(6挈)，ng(6掣)：。amlsarmendariz 0 0a l s t ( b 护) ：0 ，1s 的等式及r 是a 斜环得n # ( 6 宇) = ，n 0 i ( 6 裂) = 。( b ￥) 2 ，1s ssn l ，罐o ( b 墓) = o ，a 露杉( b 臻- 1 ) ) = o ，趔q ( 括) = 0 ，ls t n 一2 ，所以对任 意1 s sn 一1 ，1 t 冬礼一2 ，有 n g 0 0 罐 0 n 置。璺 0 o 控n 望 0 0 n 3 。- 2 ) n 臻叫 0o 0 n 妒n - 1 ) 00 0 0 8 9 因此m 。是a 斜a r m e n d a r i z 环 下面两个推论包含了【5 ，命题1 5 】和【5 ，命题1 7 8 罐0 - 0 酲。 吃， 0 酲- 06 i 。 醍。 0 0 + 醒m 一2 ) 蝗( 。2 ) 00 - 0 6 6 嵋( 。一1 ) 00 00 醒 = 0 矿 、， 嘏固扩炉帮 口 0 l 讣2 雄：犯格。 口 o o；毋o o 。 = p a r m e n d a r i z l 斜环 s = ( | | 小如叫 推论1 1 0 设ae e n d ( r ) ：f i a ( 1 ) = 1 则平凡扩张t ( r ，r ) 是丘一斜a r m e n d a r i z 环当且仅 当r 是n r i g i d 环 证明：因为t c 足兄，g ( ；：) n ，。er ) 所以在定理- s 中取n = z 即可 设凡是环，m 是以 1 ，地，为基的自由且模，且对任意i ：地冗= r v i ，则腑过m 的平 凡扩张f ( r ，m ) = r o m 按照对应分量相加，乘法( n r 挑) ( s ，s i 地) = ( r s ，r ( $ 1 v i ) + n nnn 12 = = 】 = 1 ( r i u i ) 8 ) = ( r 8 ，r s 批+ r i s v i ) = ( r s ，e ( r s 。+ r i s ) t l ，) 形成环设oe e n d ( r ) ，定 义a r ( n ：m ) 一t ( r ，m ) 为a ( ( n n 仉) ) = ( a ( r ) ，a ( n ) 仇) 易证画是t ( 兄，m ) 的自同 态，由矗的定义d t ( r ，r ) = a 易知丁( 兄，m ) 竺 r + r i v i ) r ，n 昱) 在下面的定理中，设a 1 ，2 ，n ) ，西：a 一 1 ，2 ，n 是任意映射 定理11 1 设& = r o o r l o r 2 ，其中r 0 = 0 ，1 ，2 ) 是岛的加法子群，使得对任 意i ，j ，r 吩诧+ j ) 当七3 时，最= 0 并且设r l 是以口l ，吨，为基的自由船模，使 得对任意i ， 地冠o = r o 址，q 吩0 营j = ( ) 集合 地( ，) ii q 形成r 2 的自由基，口e n d ( r ) 且口( 1 ) = 1 坝u & 是丘斜a r m e n d a r i z 环当 且仅当r 0 是d r i g i d 环 证明：设& 是a 一斜a r m e n d a r i z 环首先假设毋( 1 ) 1 ，则口 = o ，记b = r + z 1 & lr ，。n o ) ，n b 是岛的子环周此b 也是蕾斜a r m e n d a r i z 环周为b 垡t ( 风，n o ) ，所 p a t ( r o ，风) 是矗一斜a r m e n d a r i z 环，由推论1 1 0 ，凰是。一r i g i d 环加果曲( 1 ) = 1 , 励j v o ，但( u ) 2 = o , i 己b = p + 。 & ln 。n o ) ，作为& 的子环，b 望t ( r o ，n o ) 是a 斜 a r m e n d a r i z 环，由推论1 1 0 ，风是a - r i g i d 环 反过来，设凰是q - r i g i d 环，要证& 是a 一斜a r m e n d a r i z 环设p = ( o + 吻地+ ”“ j = o i = 0 e b j l v i v 十( 1 ) ) x ，q = ( r ；+ e 畸i v i + v i v a ( o ) x i 岛陋；a 1 t p q = o ，我f 1 1 n 以假 l e a j = o i = 0t a 设t 1 2 i = m 2 ，目的是要证明对任意0 ss ，t s m ， n q 8 ( r ：) = 0 ，口3 ( 吨) + o 。 a 8 ( ) = 0 ，1 兰i 礼( 1 ) n q 3 ( 磁 ) + a s i c y 8 ( 0 0 ( i ) ) + k 口。( r ：) = 0 ，i a ( 2 ) 9 1 斜a r m e n d a r i z 环 可以记 p = p o + p 1 ，v i + p 2 1 v _ v 州) i = 1i e a q = q o + q 曲+ 9 2 刚饰) 其中p o = q ，p a l = a j l x j ，1si n ，p 2 1 = b f i x j ，i j = oj = oj = o mm 知x j ，1 i n ，q 2 ，= 略。q ，i a ，由( 3 ) 和( 4 ) 及舶= o 可得 = d j = o p o q o = u p o q l l + p l i q o = 0 ，i n ， ( 3 ) a ，q o = 呓，q l i = j = 0 ( 5 ) ( 6 ) p o 口2 ，+ p l i q 口( i ) + p 2 q o ；0 ，i a ( 7 ) 因为风是o l r i g i d 环，由引理12 知，r o z ；a 是r e d u c e d ，由( 5 ) 得q o p o = 0 ，( 6 ) 1 9 0 得0 = p o q l i p o + p 1 。q o p o = p o q l ；p o ，因j 2 d ( p o q l ；) 2 = 0 ，从而p o q l 。= 0 ，( 6 ) 得p l i q o = o ，从上面的关系及凰是一 斜a r m e n d a r i z 环得对任意0 s ，tsm ，t s o t 。( ) = 0 ，r s o ：5 ( 屹) = 0 ，( r ：) = 0 ，1 i n ，这就证明了( 1 ) 式( 7 ) p 0 得p o 慨如+ p l ；g 】球) p o + p 2 1 q o p o = o ，因为口0 p d = 0 ，q a c , ( o p o = o 所 以有p o q 2 。p o = 0 ，因l i t p o q 2 t = o ，这样( 7 ) 式变为 p “g i 声+ p 2 i q o = 0 ，i a ( 7 ，) ( 7 ，) p l l 得p l q l 曲( i ) p 1 。+ p 2 t q o p l i = 0 ， 酗q o p l = 0 ，因此p l i q l 币( ，) = o ，m ( r 7 ) 得m i 口0 = 0 ，因 为岛是n 一斜a r m e n d a r i z 环，由上面得出的等式得n ( ) = 0 ，口。i ( ( ) ) = 0 ，( ) = 0 ，i a ，( 2 ) 式得以证明，因此& 是蟊斜a r m e n d a r i z 环 注1 1 2 在上面定理中，如果将n 改为佗一1 ，a = 1 ，2 ，n 一2 ) ，对任意i a ，毋( t ) = n 一1 ，可以看出 既掣 a o 0 0o o 0 0 0 o 0o 0 a l la 2 1 0 8 1 2a 2 2 a oa l ( n 一2 ) a 2 m 一2 ) 0 a o a x ( n 一1 ) 00 a o a o a i j r o 上面定理中有限基的情况可推广到无限可数基在下面的定理中，设a n ，币：a n 是任意映射 定理11 3 设& = 0 r 1 0 忌，其中r 0 = 0 ，1 ，2 ) 是& 的加法子群，使得对任 意i ，j ，r 心r 啊，当3 时，吼= 0 并且设r l 是以u 1 ，口2 ，为基的自由一模，使 1 0 1 斜a r m e n d a r i z 环 得对任意i ， v i r o = r o v l ，u i v j 0 咎j = 咖( i ) 集合“”( 。) ii a ) 形成r 2 的自由基，ae e n d ( r o ) 且q ( 1 ) = 1 则& 是a 一斜a r m e n d a r i z 环