（工程力学专业论文）含参系统及共振系统的最简规范形的研究.pdf

中文摘要 规范形理论是简化常微分方程的一种十分有效的方法，在研究非线性动力系 统在平衡点附近的分叉和稳定性等非线性动力学行为方面扮演着重要的角色。它 为非线性动力学问题的求解，开辟了一条新的道路。 本文简述了几种计算常微分方程规范形方法的特点及规范形理论的推广应 用。对l s 方法、中心流形理论与规范形理论几种化简常微分方程的方法进行比 较，对已有的中心流形的m a t h e m a t i c a 电算程序进行优化，实现了程序简洁化、 通用化和高效化。 将参数视为状态变量，在不截断的情况下，研究了非共振含参双h o p f 分叉 系统的最简规范形。在采用非线性恒同变换时引入了变参数尺度变换函数，借助 于计算机代数语言m a t h e m a f i c a ，推导出一般情况下含有参数的非共振双h o p f 分叉系统的最简规范形的前5 阶系数的表达式，并根据其中的规律推导出该系统 高阶最筒规范形的通式。 基于李代数方法，对几种常见的共振双h o p f 分叉系统的规范形进行了详细 分析，得出了共振双h o p f 分叉系统的最简规范形系数和非线性恒同变换系数与 原动力系统系数之间关系的直接表达式。并利用符号运算语言m a t h e m a t i c a 编制 出了一套通用的程序，该程序不仅适用于计算各种常见的共振双h o p f 分叉系统 的最简规范形，同样可以用于计算非共振情况下双h o p f 分叉系统的最简规范形。 关键词：最简规范形，非线性恒同变换，双h o p f 分叉，参数尺度变换 a b s t r a c t n o r m a lf o r mt h e o r yi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d sf o rr e d u c i n go r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o d e ) i tp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo ft h ed y n a m i c a l b e h a v i o ro ft h eo r i g i n a ls y s t e mi nt h ev i c i n i t yo ft h ec r i t i c a le q u i l i b r i u m t h i sm e t h o d c a r v e so u tan e ww a yf o rs o l v i n gt h en o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h ec h a r a c t e r i s t i co ft h eb a s i cm e t h o d sf o rc a l c u l a t i n g n o r m a lf o r mo fo d ei sg i v e ni nt h i sp a p e r e x p a n s i o na n da p p l i c a t i o no ft h i st h e o r y a r ea l s od i s c u s s e d t h el i a p u n o v s c h m i d tr e d u c t i o n 、t h ec e n t r a lm a n i f o l dt h e o r e m a n dn o r m a lf o r mt h e o r ya r ec o m p a r e dw i t he a c ho t h e r t h ef o r m e rp r o g r a mf o r c a l c u l a t i n gt h ec e n t r a lm a n i f o l do fn o n l i n e a rs y s t e m sw a si m p r o v e di n t h i sp a p e r t 上1 i sp r o g r a mb e c o m e sm o r eu n i v e r s a l 、s i m p l e ra n dm o r ee f f i c i e n tt h a nt h ef o r m e r o n e t h es i m p l e s tn o r m a lf o r m so ft h en o n r e s o n a n td o u b l eh o p fb i f u r c a t i o nr d h b ) w i t hp a r a m e t e ra r eo b t a i n e dw i t h o u tt r u n c a t i n gt h eo r i g i n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i e t h ep e r t u r b a t i o np a r a m e t e ro ft h es y s t e mi st r e a t e da so n e d i m e n s i o n a ls t a t ev a r i a b l e t h ec o m p u t a t i o no ft h es i m p l e s tn o r m a lf o r mi sn o to n l yb a s e do nn e a r - i d e n t i t y n o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s ，b u ta l s ob a s e do np a r a m e t e rr e s c a l i n g t h ee x p r e s s i o n so f t h es i m p l e s tn o r m a lf o r m sf r o mo r d e rt w ot oo r d e rf i v ef o rn o n r e s o n a n td h bf o rt h e s y s t e mw i t hp a r a m e t e ra r eg o t t e nw i t ht h eh e i po fc o m p u t e ra l g e b r ap r o g r a m m a t h e m a t i c a f r o mw h i c h ，t h es i m p l e s tn o r m a lf o r m so ft h i ss y s t e mu pt oa n yh i g h o r d e ri sd e d u c e d t h es i m p l e s tn o r m a lf o r mo fr e s o n a n td h bw a ss t u d i e db a s e do nt i eo p e r a t o r t h ec o e f f i c i e n t so ft h es i m p l e s tn o r m a lf o r m so fr e s o n a n td h ba n dt h en o n - l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n si nt e r m so ft h eo r i g i n a l s y s t e mc o e f f i c i e n t s a r eg i v e ne x p l i c i t l y a g e n e r a lp r o g r a mw a sa c h i e v e dw i 廿lt h eh e l po ft h ec o m p u t e ra l g e b r al a n g u a g e m a t h e m a t i c a t h i s p r o g r a mc a nn o to n l yc o m p u t et h es i m p l e s tn o r m a lf o r mo f r e s o n a n td h bb u ta l s oc a nc o m p u t et h en o n r e s o n a n tf o r m 1 1 1 i sp r o g r a mc o u l d c o m p u t et h es i m p l e s tn o r m a lf o r m so f d h bu pt os e v e n t ho r d e r k e yw o r d s ：t h es i m p l e s tn o r m a lf o r m ，d o u b l eh o p fb i f u r c a t i o n , n e a r i d e n t i t y n o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ，p a r a m e t e rr e s c a l i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨生盘茔或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：桶孝军签字日期：如。多年? 月1 4 - 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盘盗盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权丕注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名名可_ 喾强 签字日期：即手年7月j 4 日 导师签名：涨碳弓v ，、7 l 签字日期：2 鲫筘j 月，4 日 大津大学硕士学位论文 第一章绪论 引言 第一章绪论 振动是物理学、技术科学中广泛存在的物理现象。但从严格意义上说，描述 这些振动现象的微分方程大多是非线性的。对于那些非线性因素很弱的，而又不 能从根本上影响计算结果的问题，可以用线性方程代替非线性方程，称为线性化 方法。对于很多的非线性问题，这种简化会产生很大误差，甚至会带来本质变化， 因此研究非线性振动系统的性态是非常必要的。 从上世纪2 0 年代开始，非线性振动理论1 1 - 7 1 得到了迅速发展。但是由于描述 动力学系统的非线性微分方程 8 - 9 1 除了极少数可以求出精确解以外，目前还没有 适用于各类方程的通用的精确解析解法。因此，对各类非线性振动系统建立相应 的近似分析方法是完善非线性振动理论的首要任务。分析法是非线性振动理论研 究的最基本的方式。它的根本任务是从理论上揭示各类非线性系统振动的基本规 律及特性。非线性振动理论分析基本的方法有两种：第一种是定性分析法，又称 几何法或相平面法。定性法基本上是根据微分方程本身的特点对其在相空间的积 分曲线做出定性的分析，并据此判断系统的运动规律与振动特性。第二种是定量 分析法，又称解析法。基本思想是，首先建立各种求解非线性微分方程的近似解 析方法，然后根据求得的近似解析解去研究系统的运动规律与振动特性。常见的 有k b m 法、多尺度法、普通小参数法、谐波平衡法、慢变参数法等。 规范形是化简常微分方程的一种十分有效的方法，它的产生与发展为非线性 动力学理论的研究开辟了一条新的道路。然而规范形的计算是一个复杂而繁琐的 过程，在没有计算机的帮助下，高维复杂系统的规范形研究几乎是不可能的。随 着计算机技术的发展，近年来许多优秀的计算机代数语言软件应运而生，这为非 线性微分方程的化简、求解提供了契机。研制高效实用的计算程序，将节省相关 研究者大量的时间和精力，这将为深入地研究高维复杂非线性动力系统的动力学 特性奠定良好的基础。在众多学者的努力下，规范形理论正日趋走向成熟与完善。 许多国内、外许多学者已经逐渐将规范形理论应用于非线性动力学问题的研究 中。随着时间的流逝，相信规范形理论必将把非线性动力学理论的研究推向新的 高度。 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 规范形理论研究的历史及现状 规范形理论最早是由p o i n c a r e 提出来的，l i a p u n o v ，d u l a c ，b i r k h o f f 等人都 为规范形理论的发展做出了卓越的贡献。在a r n o l d ，b e l i s t k i i ，c h o w ，c u s h m a n ， t a k e n s 等众多数学家的努力下，近年来规范形理论得到了迅速发展。规范形理 论的基本思想是，通过引入系列近恒同的非线性变换，将非线性微分方程化简。 由于经规范形简化后的微分方程仍然包含原系统在平衡点附近的所有动力学特 性，因此通过该理论的应用，人们可以更容易研究非线性动力学系统的分叉及稳 定性等动力学特性。 规范形理论的研究主要分为两类： ( 1 ) 给定矩阵，确定满足规范形定义的所有可能的矢量场集合，即所谓规范形 类的问题； ( 2 ) 给定具体非线性系统( 即常微分方程组) ，确定相应的规范形系数。 规范形就其简化过程和结果的简洁程度而言，又可分为传统规范形 ( c o n v e n t i o n a ln o r m a lf o r m ) 和最简规范形( s i m p l e s tn o r m a lf o r m ) 或称唯一 规范形( u n i q u en o r m a lf o r m ) 。由于传统的规范形的非线性变换算子的补空间 的选取不唯一，因而得到的规范形的形式和系数并不是最简的。最简规范形的计 算与传统规范形有较大区别，传统规范形计算中k 阶非线性变换仅用于化简与其 同阶的规范形系数，没有用到的非线变换直接设为零。因此对于传统规范形而言， 低阶变换根本不会在高阶规范形求解中出现。而最简规范形求解则不同，在化简 t 阶规范形未用到的非线性变换并不设为零，保留到高阶规范形计算中，用于化 简更高阶规范形。因而最简规范形的形式比传统的规范形更加简单，而且仍然保 留了系统在平衡点附近的动力学特性。最简规范形也可以由原动力系统经非线性 恒同变换直接得到；也可以是建立于传统规范形的基础上，由传统的规范形进一 步简化得到。经过多年的研究工作，传统的规范形理论已经日臻完善，许多国内 外著名学者已经开始将研究重点转向高维复杂系统传统规范形以及低维系统最 简规范形。下面将从这两方面对目前国内外的研究成果作以简要概述。 1 1 1 传统的规范形的研究 在传统规范形方面，第一类问题( 规范形类的问题) 已经得到了很好的解决。 d u ow a n g u o l ，s ，yc h o w , c z l i ，d u ow a n g 1 。j 对研究规范形的常用的三种方法 ( 矩阵表示法、共轭算子法及李代数方法) 作了全面介绍，g u e k e n h e i m e r 给出 了各种余维1 和余维2 系统规范形的形式。 对于第二类问题，美国的n a y f e h 【1 2 1 详尽地介绍了利用多尺度方法计算自治 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 及非自治的单自由度系统、参激振动系统、两自由度系统规范形。陈予恕和张琪 昌于1 9 9 0 年旧“】在国内最早提出了用规范形理论研究非线性振动问题；法国的 j e z e q u e l 和l a m a r q u e 1 5 1 于1 9 9 0 年在国外最早提出用规范形理论研究非线性振动 问题。加拿大的p y u 【l6 l 利用摄动法推导出一种计算般形式的”维h o p f 分叉 系统规范形系数的方法；张琪昌【1 3 】、a n d r e wl e u n g 17 1 、韩景龙【1 8 】及张伟亿1 1 9 1 证 明了平均法与规范形方法的等价性，并利用该方法，借助计算机代数语言 m a t h e m a f i c a ，编制成用于计算h o p f 分叉系统高阶规范形的通用程序。张伟口o j 计算了具有z 2 对称性的非线性动力系统的3 阶和5 阶规范形；用共轭算子法田1 计算了具有幂零线性部分和不具有z 2 对称性的非线性动力系统直至4 阶的规范 形：张伟 2 2 】研究了含有参数激励的非线性动力学系统的高余维系统的规范形； w z h m a g 和k h u s e y i n 2 3 】研究了具有两对共轭纯虚根和单零实根的五维动力系 统的规范形。吴志强和陈予恕f 2 4 】提出了一种求解规范形的直接方法，利用该方法 计算了具有双零特征值系统和双h o p f 分叉系统的规范形。张琪昌和a n d r e w l e t m g 2 5 2 6 】利用单步非线性变换方法，并对计算和程序方法进行了优化，利用 m a t h e m a t i c a 符号运算语言给出了经中心流形降维和不经中心流形降维计算高维 半单系统规范形的通用计算程序。而对于非半单系统，由于问题比较复杂，关于 此类系统规范形研究的文献还很少。吴志强【27 j 提出了求解非半单问题规范形的直 接方法，并运用该方法计算了具有双零特征值系统的传统规范形。 1 1 2 最简规范形的研究 最简规范形的概念是由日本的u s h i k i e 28 首先提出的。法国的g u o f i n g c h e n 2 9 1 、 北京大学的x i a o f e n g w a n g 和d u o w a n g 【3 0 j 基于l i e 代数方法，对二、三、四维幂 零系统的规范形类问题进行了深入的研究，给出在某些情况下其最简规范形的表 达式。加拿大的p y u 【3 1 1 利用p o i n c a r e 规范形理论，通过引入三个定理证明t h o p f 及广义h o p f 分3 l 系统的传统规范形可以进一步简化，得到极坐标形式的最简规范 形只含有三阶和五阶项；p y u 等 3 2 - 3 4 1 利用同样的方法计算了具有单零特征值和 一对纯虚根、双零特征值以及三零特征值的非线性系统的最简规范形，并利用计 算机代数语占m a p l e 给出了相应的运算程序；p y u 等【3 5 确】提出了在不截断的前 提下，基于l i e 变换方法计算了含有参数的具有单零特征值以及h o p f 分3 l 系统的 最简规范形。 1 1 _ 3 计算机代数系统在规范形理论研究方面的应用 随着计算机技术的发展和工程计算的需要，从上世纪六十年代开始，一些优 秀的计算机代数系统( 符号运算软件) 相继出现。如早期的r e d u c e 、m a c s y m a 天津大学硕士学位论文第一章绪论 及非自治的单自由度系统、参激振动系统、两自由度系统规范形。陈予恕和张琪 昌于1 9 9 0 年吡”】在国内最甲提出了用规范形理论研究非线性振动问题；法国的 j e z e q u e l 和l a m a r q u e ”1 于1 9 9 0 年在国外最早提出用规范形理论研究非线性振动 问题。加拿大的p y ui l ”利用摄动法推导出一种计算一般形式的, 维h o p f 分叉 系统规范形系数的方法；张琪昌1 1 3 1 、a n d r e wl e u n g 1 7 1 、韩景龙f 1 8 1 及张伟亿证 明了平均法与规范形方法的等价性并利用该方法，借助计算机代数语言 m a t h e m a t i c a ，编制成用于计算h o p f 分叉系统高阶规范形的通用程序。张伟口 计算了具有z ：对称性的非线性动力系统的3 阶和5 阶规范形；用共轭算子法1 计算了具有幂零线性部分和不具有z 2 对称性的非线性动力系统直至4 阶的规范 形：张伟 2 2 1 研究了含有参数激励的非线性动力学系统的高余维系统的规范形； wz h a n g 和k h u s e y i n ”1 研究了具有两对共轭纯虚根和单零实根的五维动力系 统的规范形。吴志强和陈予恕1 2 4 提出了- t o e 求解规范形的直接方法，利用该方法 计算了具有双零特征值系统和双h o p f 分叉系统的规范形。张琪昌和a n d r e w l e u n g 2 矧利用单步非线性变换方法，并对计算和程序方法进行了优化，利用 m a t h e m a t i c a 符号运算语言给出了经中心流形降维和不经中心流形降维计算高维 半单系统规范形的通用训算程序。而对于非半单系统，由于问题比较复杂，关于 此类系统规范形研究的文献还很少。吴志强田3 提出了求解非半单问题规范形的直 接方法，并运用该方法计算了具有双零特征值系统的传统规范形。 1 1 2 最简规范形的研究 最简规范形的概念是由日本的u s h i k i t 2 w 首先提出的。法国的g u o f i n g c h e n 口w 、 北京大学的x i a o f e n gw a n g $ 口d u ow a n gp w 基- - l i e 代数方法，对二、三、四维幂 零系统的规范形类问题进行了深入的研究，给出在某些情况下其最简规范形的表 达式。加拿大的p y u t 3 1 l 利用p o i n c a r e 规范形理论，通过引入三个定理证明f h o p f 及广义k l o ! o f j 子叉系统的传统规范形可以进一步简化，得到极坐标形式的最简规范 形只含有三阶和五阶项；py u 等 3 2 - 3 4 利用同样的方法计算了具有单零特征值和 一对纯虚根、双零特征值以及三零特征值的非线性系统的最简规范形，并利用计 算机代数语言m a p l e 给出了相应的运算程序；p y u 等 3 5 - 3 6 j 提出了在不截断的前 提下，基t l i e 变换方法计算了含有参数的具有单零特征值以及h o p f ：分j l 系统的 晟简规范形。 1 1 3 计算机代数系统在规范形理论研究方面的应用 随着计算机技术的发展和工程计算的需要，从r 世纪六十年代丌始，一些优 秀的计算机代数系统( 符号运算软件) 相继山现。如早期的r e d u c e 、m a c s y m a 秀的计算机代数系统( 符号运算软件) 相继出现。如早期的r e d u c e 、m a c s y m a 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 及非自治的单自由度系统、参激振动系统、两自由度系统规范形。陈予恕和张琪 昌于1 9 9 0 年旧“】在国内最早提出了用规范形理论研究非线性振动问题；法国的 j e z e q u e l 和l a m a r q u e 1 5 1 于1 9 9 0 年在国外最早提出用规范形理论研究非线性振动 问题。加拿大的p y u 【l6 l 利用摄动法推导出一种计算般形式的”维h o p f 分叉 系统规范形系数的方法；张琪昌【1 3 】、a n d r e wl e u n g 17 1 、韩景龙【1 8 】及张伟亿1 1 9 1 证 明了平均法与规范形方法的等价性，并利用该方法，借助计算机代数语言 m a t h e m a f i c a ，编制成用于计算h o p f 分叉系统高阶规范形的通用程序。张伟口o j 计算了具有z 2 对称性的非线性动力系统的3 阶和5 阶规范形；用共轭算子法田1 计算了具有幂零线性部分和不具有z 2 对称性的非线性动力系统直至4 阶的规范 形：张伟 2 2 】研究了含有参数激励的非线性动力学系统的高余维系统的规范形； w z h m a g 和k h u s e y i n 2 3 】研究了具有两对共轭纯虚根和单零实根的五维动力系 统的规范形。吴志强和陈予恕f 2 4 】提出了一种求解规范形的直接方法，利用该方法 计算了具有双零特征值系统和双h o p f 分叉系统的规范形。张琪昌和a n d r e w l e t m g 2 5 2 6 】利用单步非线性变换方法，并对计算和程序方法进行了优化，利用 m a t h e m a t i c a 符号运算语言给出了经中心流形降维和不经中心流形降维计算高维 半单系统规范形的通用计算程序。而对于非半单系统，由于问题比较复杂，关于 此类系统规范形研究的文献还很少。吴志强【27 j 提出了求解非半单问题规范形的直 接方法，并运用该方法计算了具有双零特征值系统的传统规范形。 1 1 2 最简规范形的研究 最简规范形的概念是由日本的u s h i k i e 28 首先提出的。法国的g u o f i n g c h e n 2 9 1 、 北京大学的x i a o f e n g w a n g 和d u o w a n g 【3 0 j 基于l i e 代数方法，对二、三、四维幂 零系统的规范形类问题进行了深入的研究，给出在某些情况下其最简规范形的表 达式。加拿大的p y u 【3 1 1 利用p o i n c a r e 规范形理论，通过引入三个定理证明t h o p f 及广义h o p f 分3 l 系统的传统规范形可以进一步简化，得到极坐标形式的最简规范 形只含有三阶和五阶项；p y u 等 3 2 - 3 4 1 利用同样的方法计算了具有单零特征值和 一对纯虚根、双零特征值以及三零特征值的非线性系统的最简规范形，并利用计 算机代数语占m a p l e 给出了相应的运算程序；p y u 等【3 5 确】提出了在不截断的前 提下，基于l i e 变换方法计算了含有参数的具有单零特征值以及h o p f 分3 l 系统的 最简规范形。 1 1 _ 3 计算机代数系统在规范形理论研究方面的应用 随着计算机技术的发展和工程计算的需要，从上世纪六十年代开始，一些优 秀的计算机代数系统( 符号运算软件) 相继出现。如早期的r e d u c e 、m a c s y m a 天津大学硕士学位论文第一章绪论 以及八十年代出现的并流行至今的m a p l e 、m a t h e m a t i c a 等符号运算软件。他们 已被广泛用于力学、物理学、天文学、数学、生物科学等诸多领域，同样也为规 范形理论的深入研究提供了必要的条件。随着规范形理论研究的深入，计算机代 数系统已经成为必不可少的工具。同时，他们也为规范形理论研究带来了新的活 力。 1 1r e d u c e 于上世纪6 0 年代，由a c h e a r n 用l i s p 语言开发，最初用于力 学和高能物理中的计算，后来成为一个广泛应用的通用软件。它具有较强的符号 运算能力。到了8 0 年代，它与m a c s y m a 等软件是当时十分流行的计算机解 析软件。这正值规范形理论发展的初级阶段，早期的用于计算传统规范形系数的 程序大都是由该软件编制而成的。 2 ) m a p l e 是在1 9 8 0 年9 月，由加拿大滑铁卢大学( w a t e r l o ou n i v e r s i t y ) 的符 号计算研究小组研制的一种计算机代数系统。经过近2 0 年的不断发展，数学软 件m a p l e 已成为当今世界上最优秀的几个数学软件之一，它具有良好的使用环 境、强有力的符号计算能力、高精度的数字计算、灵活的图形显示和高效的可编 程功能。 m a p l e 的大部分数学函数和过程是用m a p l e 自身的语言写成的，存于外部函 数库中。当一个函数调用时，在多数情况下，m a p l e 会自动将该函数的过程调入 内存，一些不常用的函数才需要用户自己将它们调入。另外有些特别的函数包 也需要用户自己调入，如线性代数包、统计包，这使得m a p l e 在资源的利用上具 有很大的优势，只有最有用的东西才留住内存，这是m a p l e 可以在较小内存的计 算机上正常运行的原因。m a p l e 目前已有大量的专用软件包。很适合进行符号运 算，最近这些年的关于计算规范形系数的电算程序大多数是利用m a p l e 软件编写 而成的。由于该软件有较强的符号运算能力及内存消耗小等优点，很适合用于规 范形理论的研究，尤其在求解高维非线性系统的高阶规范形方面有较明显的优 势。 3 ) m a t h e m a t i c a 系统是美国w o l f r a m 研究公司开发的一个功能强大的计算机数 学系统。它提供了范围广泛的数学计算功能，支持在各个领域工作的人们做科学 研究和过程中的各种计算。这个系统可以帮助人们解决各种领域里的涉及比较复 杂的符号计算和数值计算的理论和实际问题。从某种意义上讲，m a t h e m a t i c a 是 一个复杂的、功能强大的解决计算问题的工具。它可以完成许多复杂的计算工作， 如求一个表达式的积分、作一个多项式的因式分解等等。 m a t h e m a t i c a 是一个集成化的计算机软件系统。它的主要功能包括三个方面： 符号演算、数值计算和图形。m a t h e m a t i c a 可以完成多种符号演算及数值计算的 工作。例如，它可以作各种多项式的计算；有理式的计算。它还可以求多项式方 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 程；做数值和般表达式的向量和矩阵的各种计算。m a t h e m a t i c a 还可以求解一 般函数表达式的极限、导函数，求积分，做幂级数展开，求解某些微分方程等等。 使用m a t h e m a t i c a 可以方便地作出以各种方式表示的一元和二元函数的图形，可 以根据需要自由地选择画图的范围和精确度。通过对这些图形的观察，人们可以 迅速形象地把握对应函数的某些特征，这些特征仅仅从函数的符号表达式般是 很难认识的。这就给非线性系统的分叉、浑沌等非线性动力学特性的研究带来了 极大方便。m a t h e m a t i c a 输入、输出程序有多种格式，二维输入法据有较好的可 读性。m a t h e m a t i c a 所具有的这些优良的特性，足以保证它可以胜任规范形系数 计算这一繁琐而艰巨的任务。但是，与m a p l e 软件相比，m a t h e m a t i c a 对计算机 的内存要求相对较高，对于复杂问题的求解，其运行速度较m a p l e 要慢。 1 2 研究规范形的基本方法及规范形理论的推广 1 矩阵表示法 矩阵表示法的原理比较简单，很容易被人接受，但是随着系统的维数 及需 求解的规范形的阶数k 的增大，研的维数将迅速增大。例如，当n = 4 、k = 4 时， 由d i m h k = n c 2 一= m ( n ，+ k - ，1 ) f 可知，d i m h ：= 1 4 0 ，从而计算量相当大。随 l 门一l ，! 托! 着计算机技术的发展，许多优秀的计算机代数系统软件( 上世纪6 0 年代初的 r e d u c e 以及现今流行的m a t h e m a t i c a 、m a p l e 等) 相继问世，为规范形理论的 深入研究提供了条件。这些软件逐渐被应用到规范形理论研究中，这不仅大大提 高了相关研究人员的工作效率，同时也使得高维系统规范形的研究成为可能。 2 共轭算子法 b e l i t s k i i t 和后来的e l p h i c k 等人提出了计算规范形的另一种方法，利用这种 方法可以不通过矩阵计算，而通过计算系统的线性偏微分方程得到其规范形。该 方法基于空间研的一个点积，从而发现算子口彰的共轭算子d d ：+ ，然后根据弗 雷德霍姆定理，对于每一个k ，k e r a d j 是i m a d 的补。由于k e r a d ：是线性偏 微分方程系统的k 阶齐次多项式的解空间：d ：f ( z ) = 0 ，因此不用进行矩阵运 算就可得到i m 积：的补子空间；另一方面，对任意k 2 ，线性偏微分方程系统 是相同的，因此可以通过解同一系统蒯：。f ( z ) = 0 的形式幂级数( 或者多项式) 的解得到规范形。 注：通常要找到一个线性偏微分方程系统的全部多项式解并不容易，王铎f 3 7 1 对此作了具体说明。其中一个难点就是在一些算例中所有线性独立的多项式的一 次积分，通过常见的多项式运算不能生成一个齐次线性偏微分方程的所有的多项 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 式解空间，因此我们不得不去找更多的多项式一次积分。 3 李代数方法 为了避免大量的矩阵运算，c u s h m a n 和s a n d e r s 将l i e 代数s l ( 2 ，r ) 的表示 论引入到规范形理论研究中。根据这种方法，具有幂零线性部分系统的规范形的 计算被简化为，寻找一个标量齐次线性偏微分方程的多项式解的问题。详见文献 3 7 ，3 8 。 为了找到k e rk 生成元，首先要找到齐次偏微分方程k p ( x ) = 0 的线性独 立的一次积分多项式。有些多项式很容易找到，而有些则很难找到，一般有两种 寻找方法。第一种方法是c u s h m a n 口叼中给出的：如果p ，g 都是l m p ( x ) = 0 的一 次积分，则 b q ) = 厶p l 。q “p l 。q 要么为零要么是k p ( x ) = 0 的一次积分， 但我们并不知道p ，q 与 p ，q ) 是否代数独立；第二种方法是用待定系数法去计算 某些特定阶数的本原多项式。 李代数方法的优点： ( 1 ) 该方法提供的计算维数的公式能帮助我们检查已发现的k e r 巧( 或 k e r 硝) 中的线性独立的多项式的数目是否与k e r 砖( 或k e r 磷) 的维数相等， 当不相等时，可得到所需的本原多项式( 或本原矢量值多项式) 阶数的线索； ( 2 ) 解线性偏微分方程组简化到解一个齐次线性偏微分方程； ( 3 ) 利用庞加莱级数可得到规范形( 但利用庞加莱级数的难点是体现 k e rl 。( 或k e ra d 。) 生成元之间的( 条件) 代数独立关系； ( 4 ) 计算较低阶数规范形时，不用检查庞加莱级数，实际上如果已发现 l m p ( x ) = 0 的一些一次积分，它们就生成了整个k e ra d 。空间k = 2 ，就可 得到直至r 阶的规范形。 4 ，计算高阶规范形的周期平均法 源于k r y l o v 和b o g o l i u b o v 变换的平均法，对弱非线性振动系统和线性振子 的摄动法是非常有效的。该方法是目前研究分叉问题的一种重要的方法。张琪 副1 3 1 、a n d r e wl e u n g t l7 1 、韩景龙 1 8 1 及张伟亿1 卅证明了平均法与规范形方法是等 价的。所以，在用平均法计算高阶平均方程时遇到的问题和用规范形法计算高阶 的系数时所遇到的问题也是等价的。 对规范形理论，主要用上述三种基本的方法来计算规范形的系数。通常用矩 阵表示法来计算规范形的系数和高阶平均方程，但它很难实现程序化。对于后两 种方法，则需要很熟练的数学技巧。n a y f e h 【3 9 】提供了一种方法，通过该方法， 在消除永年项的同时可以计算系统的规范形，但是，该方法不适合编程计算。 肿叮l e t m g 和张琪昌l l7 j 提出了一种将经典的平均法与规范_ 形相结合的用于 计算高阶平均方程的新方法。通过计算机代数系统m t h e m a t i c a ，给出了一个简洁 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 而有效的程序。该程序不仅可以计算高阶平均方程，而且可以用于计算高阶规范 形系数。并给出了几个具体算例，并将该程序计算的结果与已有的结果进行了比 较。 5 用规范形理论研究强非线性振动问题 近年来，陈予恕和张琪昌【1 3 1 、n a y y e h 3 9 1 、l e u n g 和张琪昌h o 悃规范形理论 研究了弱非线性振动问题，研究了自治系统、非自治系统及参激系统的退化及非 退化振动问题。张琪昌【4 4 】将规范形方法拓展应用于研究形如：i i + c 0 2 “= f ( u ，n ) 的 强非线性振子的渐近解，其中非线性项f ( u ，缸) 由平方和立方非线性项组成。并 用该方法计算了一般具有平方、立方强非线性系统的规范形及其渐近解和定常 解，得到的运算结果与数值仿真结果吻合的很好。而利用n a y f e h 【39 j 提出的规范 形方法研究该类问题则会出现较大的误差。 张琪昌【4 4 1 提出了一种研究强非线性自治振动系统渐近解及其稳定性的规范 形方法。对于给定的非线性系统，只要通过简单的代数运算便可得出稳态的周期 解，很容易判断出它的稳定性。即使在非线性项很强的情况下，利用这种方法得 到的结果也与数值仿真计算结果同样吻合得很好。这种方法还可以进一步推广到 研究非线性非自治振动系统和多自由度的强非线性振动系统。为强非线性问题的 研究提供了新的思路。 1 3 本文工作安排 第一章简述几种常见的计算规范形的方法的特点以及一些优秀的计算机代 数系统的特点及在规范形理论研究中的应用。 第二章对几种常见的简化常微分方程的方法进行比较，对已有的计算中心流 形的电算程序进行了优化，并给出了算例。 第三种对含有参数的双h o p f 分叉系统的最简规范形进行了详尽分析，通过 m a t h e m a t i c a 程序推导出其最简规范形系数与原系统系数的具体表达式。 第四章基于李代数方法研究了共振双h o p f 分叉系统的最简规范形，并利用 符号运算软件m a t h e m a t i c a ，编制出了通用的计算程序，并给出了具体算例。 第五章全文工作总结及前景展望 天津大学硕士学位论文第二章l s 方法、中心流形理论与规范形理论 第二章l s 方法、中心流形理论与规范形理论 2 1l s 方法、中心流形理论与规范形理论 对于非线性动力系统而言，随着维数的增高，其动力学行为将会变得十分复 杂，我们将很难从原始微分方程直接得到系统的所有的动力学特性。因此，首先 要对高维系统进行降维，才有可能进一步对其非线性动力学特性进行研究。l s ( l i a p u n o v - s c h m i d i o 方法和中心流形定理是降低动力系统维数，求解分叉方程的 有效方法。中心流形定理的方法与l s 方法略有不同，l s 方法是对值空间进行 分割，最后研究向量场在值域的补空间上的投影方程；而中心流形方法是利用流 形与对应子空间相切的特性，求出系统在中心流形上的约化方程。从使用范围来 说，l s 不仅适用于自治系统，同样适用于非自治系统；而传统的中心流形理论 仅适用于自治系统，通过增加一维状态变量可拓展中心流形定理的适用范围，使 其可以研究非自治系统。就计算过程而言，中心流形理论较l s 方法更为简单。 运用中心流形理论可将高维系统化简为低维中心流形流上系统，如高维h o p f 系 统经中心流形化简后得到的是二维h o p f 系统。 但是经过上述两种方法降维后的系统一般仍然会比较复杂，对于许多复杂的 高维非线性系统，即使经中心流形降维后，我们也无法从中获得系统在平衡点的 分又及稳定性等动力学特性。而规范形理论解决的恰恰是这个问题，它是一种简 化常微分方程的一种十分有效的工具。更重要的是简化后的微分方程仍然保留系 统原有的动力学特性。将中心流形定理与规范形理论结合起来是一种研究高维复 杂系统的十分有效的方法。 本章对已有的中心流形的m a t h e m a t i c a 电算程序进行优化，使程序更加简洁、 通用和高效。下面对中心流形理论及计算程序作以简要说明。 2 2 中心流形理论基本思想 考虑系统 量= ，( x ) 其中x u r ” 有如下定理： ( 2 2 1 ) 天津大学硕士学位论文第二章l s 方法、中心流形理论与规范形理论 定理2 1 ( 中心流形定理)设厂( x ) 是c 7 0 1 ) 向量场，点o 是系统( 2 2 1 ) 的一个非双曲平衡点，矿，e ”和e 。分别为线性近似系统的稳定子空间、不稳 定子空间和中心子空间。则在d 点的某邻域d 内，存在过d 点并在该处分别与 e 5 ，和e 。相切的c 7 局部稳定流形5 ，c 局部不稳定流形“和c 局部中 心流形。，它们都是局部不变集。3 和“是唯一的，但彤。并不唯一，即 l i m 妒7 y 。方向不定，如图2 1 所示。 心 w j 扔| f 一 舔余： 。f 图2 1 下面介绍中心流形的计算。为此，仍设系统平衡点为原点o ，且线性算子 l = 坟f ( 0 ) 不具有正实部的特征值( 即稳定系统开始失稳的临界状态) 。 设d 为点o 的某个邻域，给定非奇异线性变换矩阵r 将系统( 2 1 1 ) 的雅可 比矩阵a = 见f ( 0 ) 化为对角块形式，即 t - 1 a t = f b0 1 l 0c y 其中：b 和c 分别为”。订。和 。矩阵，它们的特征值分别为零实部和 负实部，h s ：d i m e 5 ，：d i m e 。，+ ：n 。令x ：t y ，其中：y ：f “1 ，“e c 、 l ” y e 5 ，则有 f t = b “朴 ： (22-2)c it = v + g ( u ，v ) 一 由于中心流形w 。存在，且在原点处与e 。相切，因此我们可以在d 内把 w o 表示为 w ：v = h ( u ) ( 2 2 3 ) 其中h ( 0 ) = h ( 0 ) = 0 把( 2 2 3 ) 代a ( 2 2 2 ) ，得到中心流形上流的方程 i = b “十f ( u ， ( “) )( 2 2 4 ) 式( 2 2 4 ) 即为原系统降维后的方程。由于在原点附近，系统( 2 2 2 ) 在稳定流 形上的流与线性流系统有相同的局部性态，故