（基础数学专业论文）高阶非线性常微分方程边值问题的正解.pdf

山东师范大学硕士学位论文 高阶非线性常微分方程边值问题的正解 艾露露 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘 要 本文主要利用非线性泛函分析的方法研究高阶常微分方程正解的存在性 主要包括以下三个方面的内容： 第一章，研究了一类含参量非线性三阶三点微分方程边值问题 ju ( t ) = = 入口( t ) ，( t ，t 正( t ) ) ， o t 0 ，并应用非线性泛函中的锥拉伸锥压缩不动点定理得 到一个解和多个解的存在性结果 第三章，研究了一类2 n 阶常微分方程边值问题 f ( 1 ) n u ( 2 n ) ( ) ：a ( t ) 。厂( t ，u ( ) ，u ，( t ) ，札( 2 ( n 一1 ) ) ( t ) ) ，o 亡 0 ，0 i 佗一1 本文中，我们假设a ( t ) ：( 0 ，1 ) _ 【0 ，。) 是连续函数，：1 0 ，1 ( 0 ，+ 。) x 1 山东师范大学硕士学位论文 ( 一。o ，0 ) x ( 一1 ) 一1 ) ( o ，+ 。) _ 0 ，+ c o ) 是连续的，其中 c 一1 ，一1 ，e 。，+ o 。，= 三三葛；： 佗= 2 m + 1 ，m z ， 佗= 2 m ，m z 这里口( 亡) 可以在t = 0 ，1 处奇异，f ( t ，v l ，也，口n ) 可以在v i = 0 ， = 1 ，2 ，n ) 处奇异在条件m 詹k n 一1 ( s ，s ) a ( s ) d s ( 定义见后) 下应用非线性泛函中的锥拉 伸锥压缩不动点定理得到两个解的结果 关键词：高阶；奇异边值问题；正解；多重正解；锥；不动点定理 2 分类号：0 1 7 5 8 山东师范大学硕士学位论文 p o s i t i v es o l u t i o no fh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a bs t r a c t nt h i sp a p e r , w es t u d yt h eh i g h e ro r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mb yu s i n gt h ek n o w l - e d g eo fn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s t h i st h e s i si n c l u d e st h ef o l l o w i n gt h r e ec o n t e n t s c h a p t e rjw es t u d yt h ep o s i t i v es o l u t i o no fas i n g u l a rt h i r d - o r d e rt h r e e - p i o n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp a r a m e t e r s ju t ( 亡) = a ( t ) f ( t ，牡( 亡) ) ，0 t 1 ， l 钍( o ) = u ( 1 ) = ( 7 7 ) ：0 b ym e a n so ft h e 缸e dp o i n tt h e o r e m so nc o n e sa n dv e c t o rf i e l da n a l y s i s 。w eo b t a i n o n ep o s i t i v es o l u t i o na n dm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n s c h a p t e r2w es t u d yt h e1 0 u ro r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m , i n c l u d i n gp o s i t i v e s o l u t i o nf o rac l a s so fs i n g u l a rf o u r t h o r d e rn o n l i n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m s f 鲁= a g ( t ) f ( u ，) ，0 t o ，h e r eg ( t ) i sa l l o w e dt ob es i n g u l a r a tt = 0 ，t = 1 b ym e a n 8o ft h e 血e dp o i n tt h e o r e m so nc o n e s ，w eo b t a i no n e p o s i t i v es o l u t i o na n dm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n s c h a p t e r3w es t u d yt h eh i g h to r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，t h eo r d e ri s 2 n ( 一1 ) n 牡( 2 n ) ( 亡) = a ( t ) f ( t ，u ( 亡) ，u t t ( 舌) ，u 2 ( n 一1 ) ( 亡) ) ，0 t 1 ， 口 u ( 2 ) ( o ) 一屈仳( 2 件1 ( o ) = 0 ， 文u ( 2 ) ( 1 ) + 7 i u ( 2 件1 ) ( 1 ) = 0 ，0 i 视一1 3 山东师范大学硕士学位论文 i sc o n s i d e r e d , h e r ea m 诂a l l o w e dt ob es i n g u l a ra tt = o , t = l ，f ( t ，仇，忱，) 话 a l l o w e dt o b es i n g u l a ra tv i = o ( i = 1 ，2 ，死) w ec 口死o b t a i ne x i s t e n c e 盯 t w op o s i t i v es o l u t i o n sb yg u o k r a s n o s e l s k i i s 缸e dp o i n tt h e o r e m a tt h ec o n d i t i o nm k l ( s ，s ) a ( s ) d s ； k e yw o r d s ：h i g h e ro r d e r ；s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；m u l t i p l ep o s i t i v es o l i t i o n s ；c o n e ；f i x e dp o i n tt h e o r e m 4 c l a s s i f i c a t i o n ：0 17 5 8 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 导师签字：刁臣苎争 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期2 0 0c 1 年。月龋 导师签字：衫簪 签字日期：2 0 0 7 年钥1 妇 山东师范大学硕士学位论文 第1 章一类含参量非线性奇异三点三阶微分方程 边值问题的正解 1 1引言 常微分方程起源于各种应用学科中，例如核物理，气体动力学，流体力学，边 界层理论等由于广泛的应用背景，文献【1 】研究了下列三阶三点边值问题 f u ”( t ) ：口( t ) ，( t ，u ( ) ) ，0 t 1 ， 1 乱( o ) ：u ( 1 ) = 乱，( 叼) = o 的正解，在7 7 ( 簧，1 】时通过构造一个特殊的锥并应用锥拉伸锥压缩不动点定理 和v e c t o rf i e l d 分析得到正解的存在性，文献【1 】要求非线性项，( 亡，z ) 在z = 0 和 z = + o o 是超线性的，即 l i i l l i n f 地型：o ，1 血地型：+ ， o _ 0 +zo _ + 茁 或者在z = 0 和z = + 。是次线性的，即 1 曲地型：+ o 。1 h 1 1 i n f 地型：o x - - - - + o +z 。z + 。z 本文研究含参量非线性三阶三点边值问题 p ) _ 她 沙 川 ”，0 “， ( 1 1 1 ) 1 让( o ) = 让( 1 ) = 乱，( 叼) = o 。1 j j7 在叩( 簧，1 】时，讨论a 的取值范围，当a 取值范围不同时，我们得到b v p ( 1 1 1 ) 的一个或多个正解在本文中，不需要上述超线性或次线性条件 5 山东师范大学硕士学位论文 1 2预备知识 考虑b a n a c h 空间c o ，1 】，其范数定义为叫l = m 口z j u ( t ) l ：0 t 1 ) ，并令 c + 【o ，1 】= _ 【u c o ，1 】：u 之o ) ，则易知c + o ，1 是c o ，1 】中的一个锥 选取叩( 努，1 】和一个实数口，使得1 一哲即 口 ； 非砰，则 1 7 7 口 r 令 = “c + 【o ，1 】：u ( o ) = o = u ( 1 ) 卸m i n ，明u ( 亡卜蚝m 加a ，x 1 】u ( 亡) = u ( 砒 则易知是c o ，1 】中的一个锥 考虑齐次线性三阶边值问题： i u ( t ) = 0 ，0 t 1 ， lu ( o ) = u ( 1 ) = ( 叩) = 0 引理1 2 1 1 】边值问题( 1 2 1 ) 只有平凡解 引理1 2 2 b v p ( 1 2 1 ) 的g r e e n 函数为： 当s 叼时， = 肇，三嚣兰 当8 ? 7 时， 6 一= 等鬈暑 经过计算易知当s 卵时， m a x g ( t ，s ) ：t 【0 ，1 】) = 0 ， 胁s ) i 蚓0 1 】 - 一与翌一学_ g ( t 1 + r 2 州 ( 1 2 1 ) 山东师范大学硕士学位论文 当s 7 7 时 m 溉 g ( ，8 ) ：t 【0 ，1 】) = 0 ， m 缎懈s 【o 1 】 = 掣华_ g ( 字 引理1 2 3 【1 1 令! ，：( 0 ，1 ) _ 【0 ，o 。) 是一个可积函数，在( 0 ，1 ) 上连续，且满足 贝4b y p 部，n 吲y ( 亡) 5 锄m a ，l j x y ( t ) 2 ( 叩) ， 嚣= 二蒜t 。l 2 固 有唯一的非负解乱( 芒) = 詹g ( t ，s ) y ( s ) d s 且“( t ) k o ，u 在 o ，明上是凹的，在 刀，1 】 引理1 2 4 【1 】令可如引理1 2 3 定义，则( 1 2 2 ) 有唯一解u ( t ) k o ，并且满足 其中口4 = d ，0 p + s ism a , x r 1 ，r 2 ) 证明不失一般性，假设r 1 r 2 令 1 1 1 = “c o ，1 】：i i u | | 冗1 ) ，q 2 = c o ，1 】：| | u i j r 2 ，设q 1 = 让c o ，1 】：j f 珏| i 月2 ) ，q 2 = _ 铭c o ，1 】：i j 让l l 0 使得 高入砀南 a 0 便得，( t ，z ) ( 盯+ e ) z ，v z 【0 ，r 1 j 设q l 2 u 三k ：陋| | r 1 ) ，则半乱k na q l 时i | 钍| f 冗l ， i i t u i i2 置躏入j og ( t ，s ) 。( s ) 坤，u ( s ) ) 如 = 入z 刀丁( 2 8 - - 8 2 ) 2 n ( s ) ，( s ，u ( s ) ) d s 暂( 2 $ - - 8 2 ) 口( s 腑刊u 如 害( 矗+ 洲) i i i z 叩( 2 s - s 2 ) 口( s ) 出 = a a ( 对+ e ) i i l u l l ， 即i i z 钆| i l u l l ，v u kna q l ( 1 3 3 ) 由危的定义，存在正数扇使得f ( t ，z ) ( 乞一) z ，比恳，。) 今 1 0 r ：= m a x 2 乩缸 q 2 = 乱c o ，1 】：l i u i i r 2 ) 山东师范大学硕士学位论文 当u knt ，p 2 时， = r 2 螂m i m l l u ( s ) p + i i u i i 岛， 这样 ，1 i i t u l l2 啪m a x l 】入上g ( t ，s ) 。( s ) m ，u ( s ) ) 出 = 入z 叩下( 2 s - s 2 ) 2 巾u ( s ) ) d s 汀( 2 s - s 2 ) 2 a ( s 胝叫吣) 凼 鲁( 仨一e ) z ( 2 s - s 2 ) 2 口( s ) u ( s ) d s 鲁( 仨一e ) z ( 2 s - s 2 ) 2 。( s ) 旷i i u l i d 8 = a 口+ b ( 仨一e ) i i 乱i i | l 乱j f ， 即l i t t , i l l l 铭l i ，v u kna q 2 ( 1 3 4 ) 由( 1 3 3 ) 和( 1 3 4 ) ，应用引理1 2 6 ( i ) 知算子t 在k n ( 孬2 q 1 ) 中有一个不动 点，从而b v p ( 1 1 1 ) 有一个正解 由定理1 3 2 ，我们有如下推论： 推论1 3 1 设( i - 1 1 ) ，( 1 - 1 2 ) 成立，又设对= 0 ，危= o 。，即，是超线性的，则对 任意a ( 0 ，o 。) ，b v p ( 1 1 1 ) 至少有一个正解 推论1 3 2 设( 皿) ，( h 2 ) 成立，又设危= 。，0 对 0 0 ，则对任意入( 0 ，南) ， n v p o 1 1 ) 至少有一个正解 推论1 3 3 设( 盈) ，( 1 - 1 2 ) 成立，又设对= o ，0 怎 0 使得 南a 巧南 一 m a x 2 r a ，r 0 ，且满足f ( t ，z ) f ( t ，r 2 ) ，v t 0 ，1 】，v x 【0 ，r 2 】 设q 3 = 仳k ：i l u l | r 2 ) 当u kna q 3 时，l i u i i = r 2 ， i t t 缸i i = 。1 t i 【o a ，x 。】久f 0 1 g ( ，5 ) 。( s ) ，( s ，u ( s ) ) d s = 入z 叼学0 ( s 5 州s ) ) d s s 言z 叩( 2 s - s 2 ) 2 。( 5 ) ，( s ，r 2 ) d s 1 2 山东师范大学硕士学位论文 含z 7 ( 2 8 - - 8 2 ) 2 口( 砖刊黝s = 入a ( 站+ e ) 冗2 r 2 = i ， 即j f 丁k i f i i , 卫1 1 ，v u kn a q 3 ( 1 3 7 ) 由( 1 3 5 ) 和( 1 3 7 ) ，应用引理1 2 s ( i i ) 知算子t 在k n ( 缟q 1 ) 中有一个不动 点，即b v p ( 1 1 1 ) 有一个正解 推论1 3 4 设( - 1 ) ，( - 2 ) 成立，又设f o = o 。，珐= 0 ，即，是次线性的，则对 任意a ( 0 ，o 。) ，b v p ( 1 1 1 ) 至少有一个正解 推论1 3 5 设( - 1 ) ，( 日2 ) 成立，又设芘= o o ，0 f g 粤，则对任意入( o ，寿) ， b v p ( 1 1 1 ) 至少有一个正解 推论1 3 6 设( - 1 ) ，( h 2 ) 成立，又设f o = 0 ，0 惑 0 对a ( 0 ，a 1 ) ，存在常数c 1 ，c 2 ( 0 c l 7 7 1 0 c 2 o 。) 使得h ( c 1 ) = h ( c e ) = 入，从 而 坤，z ) 丽a l ，v ( t ，z ) 【0 ，1 1 【o ，c 1 ， 弛，z ) 丽c 2 ，v ( t ，z ) 【o ，1 】【o ，c 2 】 1 3 丽 嘉一埘o 山东师范大学硕士学位论文 另一方面，由石= 危= o o ，我们知道存在常数c f l ，如( o d l c 1 c 2 d 2 。) ，使得 这样 掣志心水【o ，1 】( 0 砌】u 【0 1 】p 。o ) m ，z ) 殛d l ，v ( 删【o ，1 】旧d 1 ，d 1 】， f ( t ，x ) 殛d 2 ，v ( 纠【0 ，1 】矿c f 2 ，吼 由定理1 3 1 可知存在正解u l ， u 2 k 且d l i l u l l c l ，c 2 l l u 2 1 i d 2 定理1 3 5 设( t 1 ) ，( 凰) 成立，并设f o + = 惑= 0 ，则对任何a ( 入2 ，o 。) ，b v p ( 1 1 1 ) 至少有两个正解，其中 证明定义一个函数： 易知：p ：( o ，o 。) 呻( o ，o 。) 是连续的，并且，p ( 仇) = 竹：骢p ( m ) = o o 这样存在m o ( 0 ，。o ) 使得p ( m o ) = i n ，f 。危( m ) = a 2 ，对任何a ( a 2 ，c o ) ，存在常 m ) u 数d 1 ，d 2 ( o d l 咖 d 2 。o ) 使得p ( d 1 ) = p ( d 2 ) = 入，且 1 4 f ( t , x ) 殛d l ，v ( t ，z ) f 0 1 】x 【口+ d 1 ，d 1 】； f ( t ，x ) 殛d 2 ，v ( 矧f o ，1 】矿如，阱 一救 嘉蕊 一b翳 沁 山东师范大学硕士学位论文 即 令 易知 另一方面，由s o + = 0 ，存在常数c 1 ( o c 1 d z ) 使得 掣击心小【0 1 o c 1 】 m ，z ) 丽c 1 ，v ( 孟，z ) o ，1 1 【0 c l 】 由堪= 0 ，存在常数c ( 也 c o o ) ，使得 掣击胞水【o ，1 】【c 吼 m = s u pf ( t ，z ) ，c 2 m a x a m a ，c ) ， ( t ，茹) i o ，l lx o ，c 】 邢，z ) 丽c 2 ，v ( t ，z ) 0 7 1 】【o ，c 2 】 由定理1 3 2 知b v p ( 1 1 1 ) 存在两个正解u l ，乱2 k ，且c 1 l d l ；d 2 l l u l isc 2 应用举例 考虑边值问题 j 钆”硌) = a 击孤万f 习，o 孟 1 ， i 仙( o ) = “( 1 ) = 让( 叩) = 0 显见非线性项f ( t ，x ) = 识i 了= 在t = 0 ，+ 。是次线性的，且关于x 是不减的， 而函数o ( t ) = 去是( o ，1 ) 上正的连续可积函数，由推论1 3 4 知方程至少存在一个 1 5 山东师范大学硕士学位论文 第二章一类四阶非线性微分方程特征值问题的正解 2 1引言 弹性梁的形变在数学上是由四阶常微分方程 垒：砟，u，)，dr4 2 八亡，u ，让j ， 来描述的近些年来，国内外许多学者对该方程进行了广泛的研究在，不含弯矩 型的特殊情况下，对该方程的边值问题的解的存在性和唯一性已经有了广泛和 深入的研究本文研究，含的非线性奇异边值问题： l 鬻= a g ( t ) f ( u ，) ，o 0 文献 5 】研究此方程得到至少有一个正解的结果， 本文利用锥拉伸和压缩不动点定理获得( 2 1 1 ) 有两个正解的存在性结果 2 2预备知识 设c o ，1 】，c 2 【o ，1 】为通常的函数型b a n a c h 空间，c o ，l 】中的范数为f = o m 。a x 1l u ( 亡) j ，c 2 o ，1 】中的范数为1 1 乱1 1 = 21 1 钍1 1 + i | i l = o m 。a x 1i 乱( 0 1 + 罂嚣l u ( 亡) j 引入下列函 1 6 0 s t 1 0 t s 1 0 8 t 1 ， 0 t 0 贝00 ，且有 g ( 抽) 2c r d g ( ) ， 言芒善，os s 1 ( 2 2 3 ) 记 如2 蚓揣，疗2 髂端，f + = h l i 啪r a s m u p + 端， 扣i z i 觏二端，名2 i 三糕端= l i 啪r a s u p 端 下面列出本文需要的一些假设： ( 日1 ) g ：( 0 ，1 ) 一【0 ，+ o 。) 连续且9 ( ) 在( 0 ，1 ) 的任何子区间上不为0 ， ，： 0 ，0 0 ) ( 一鬻o 】_ f o ，。) 连续 ( h 2 ) 0 0 ，d = 0 时，u ( ) 是b v p ( 2 1 1 ) 的c 2 o ，1 】nc 4 ( o ，1 ) nc 3 【o ，1 】解； ( i v ) 当b 0 ，d 0 时，u ( 亡) 是b v p ( 2 1 1 ) 的c 2 【o ，1 】n c 4 ( o ，1 ) n c 3 o ，1 】解 引理2 2 2 1 5 设( h 1 ) ，( 凰) 成立，则a ：c 2 【o ，1 】一c 2 f o ，1 】是全连续算子 引理2 2 3 i s 设e 是b a n a c h 空间，p 为e 中的锥，q 1 ，q 2ce 为有界开集， 口q l ，吼cq 2 a ：p n ( q 1 ) _ p 为全连续映射，满足下列条件之一 ( i ) l l a u l i l i t , 1 1 ，v u p n 8 9 1 ，i i a u i i i l “| l ，v u p n o i 2 2 ； ( i i ) l l a u l f l i 铭f 觇尸n 锄i ，f i a u l jsj i 铭 f ，比尸n a q 2 ， 则a 在p n ( m q 1 ) 中至少有一个不动点 为应用引理2 2 3 ，取e = c 2 f o ，i i ，并构造e 中的锥p 为 p 亍 uec 2 o 1 ，】：u 叩。， 蛩iu ( 亡) 扣憾m s s x 牡( t ) 一) ，( 2 2 5 ) 其中由( 2 2 2 ) 给出 易知p 为e = c 2 【o ，1 】中的闭凸锥，并且 ) f 斗f ( ) i - - - 仃o i u ( 三，扣3 u p 引理2 2 ，4 1 5 在条件( 月1 ) ，( 日2 ) 下，由( 2 4 ) 定义的算子a 满足a ( p ) cp 且 a ：p _ p 全连续 2 3主要结论 定理2 3 1 设( h 1 ) ，( 凰) 成立，并且存在两个整数r 1 r 2 ，使得 1 8 山东师范大学硕士学位论文 ( a 1 ) f ( x ，爹) 蛊， v ( ，影) 仁，秽) ：0 l z l + i v l r 1 ) ； ( a 2 ) f ( x ，可) 是凳， v ( z ，秒) ( z ，3 ，) ：o o t 2 i = 1 + i v lsr 2 ， 则b v p ( 2 1 1 ) 至少有一个正解u + p 且r a i n r 1 ，r 2 i l 矿1 1 2 m a x r 1 ，兄2 ) 证明不失一般性，可设r i r 2 令 知， f z i = 让c o ，1 】：1 1 1 1 2 r 1 ， q 2 = 乱c o ，1 】：肌1 1 2 冗2 ) 由于对任何u pna q l ，有0 0 对任何给定的t ( 0 ，1 ) ，取6 ( 0 ，；) ，使得t 喊1 一司，此时易知g l ( t ，s ) 2 5 s ( 1 一s ) ，v s 【0 ，1 】，于是 铭( 亡) = ( a u + ) ( 亡) = a 【g l ( 南s ) g ( s ，丁) 9 ( 7 - ) ，( 牡奉( 丁) ，( u 木) ( 丁) ) c 打】d s ，ot ，0 i 1 t l a 占 8 ( 1 一s ) g ( s ，丁) 夕( 丁) ，( 乱木( 7 ) ，( 扎) ，( r ) ) c 圳d s 5 1 l ( a u ) + l i 刚矿i i 0 ， 由此可知牡 0 ，即矿为b v p ( 2 1 1 ) 的正解 定理2 3 2 设( 日1 ) ，( 凰) 成立，则对任意入( 石糖，面1 ) ，b v p ( 2 1 1 ) 至少有 一个正解 证明 首先构造集合q l ，q 2 来应用引理2 2 3 令入( 石杀，击) ， 则对 万1 而取e 0 充分小，使肘 0 充分小，使得 于是 m ，3 ，) 0 使得 则 ( 2 3 3 ) 使得仨 面1 而+ e 1 ，这样由仨的定义 f ( x , y ) ( 去+ 刚( 1 z i + i 蛐， v ( 舢) ：扇例+ 1 秒i 醇 令r 2 = m a x 2 r 1 ，r _ z ) 设集合1 2 2 = 札p ：1 2 - o o l l 1 1 2 = o r o r 2 = r 2 ，差 s j j 牡l | 2 故有 i i a 训2 i i ( a 钍) ，( 丢) i i2 1 2 ， 即i i a , * 1 1 2 1 1 1 1 2 ， 缸尸n0 f 1 2 ( 2 3 4 ) ， 由( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 应用引理2 2 3 得到a 有一个不动点u + pn ( 啦a 1 ) ，且矿 2 1 山东师范大学硕士学位论文 是b v p ( 2 1 1 ) 的正解 由定理2 3 2 的证明，我们有下面的推论： 推论2 3 1 设( 日1 ) ，( 凰) 成立，并设f o = 0 且厶= 。即，是超线性的，则对 任何入( 0 ，o 。) ，b v p ( 2 1 1 ) 至少有一个正解 推论2 3 2 设( 日1 ) ，( 日2 ) 成立，并设危= 0 , 0 付 o 。，则对任何a ( o ，赤) ，b v p ( 2 1 1 ) 至少有一个正解 推论2 3 3 设( h i ) ，( - 2 ) 成立，并设s o + = 0 , 0 0 ，使得 ，( z ，y ) ( f o e ) ( i z i + i 暑，i ) ，v ( z ，y ) ( z ，y ) ：0 i z l + i y i r 1 ) 设集合q 1 = | 让p ：i l u l l 2 冗1 ) ，则对v u pna q l 有 所以 且有 0 盯0 1 1 u 忱丢s 差 山东师范大学硕士学位论文 这样， i f ( 删( 2 1 - ) 1 1 = i az 1g ( 矿1 ) 如) m ( s ) ，乱，( s ) ) d s 】i a z 2g ( 知( s ) ( 石训吣) + j 州s 入_ ( 石圳u l l 2z 2g ( 扣如) 出 = a m a r d ( 石一) j | u f l 2 4 i i 乱1 1 2 故有 l l a u l l 2 i i ( a u ) ( 去) i i i l u l l 2 ， 即 i i a u l 2 i l u l l 2 ，v u p0 0 s 2 1 现在构造集合q 2 ，由珐的定义，存在凰使得 ( 2 3 5 ) ， ，y ) ( 范+ s ) ( f z i + l 可1 ) ，v ( o ，y ) ( z ，y ) ：r o l zj + l yj o 。) 我们考虑两种情况：，有界或者，无界 ( i ) 若，是有界的，则可设，l ( l 为一常数) 令r 2 = m a x 2 r 1 ，a l m 设q 2 = u p ：1 1 u 1 1 2 m a x 2 r z ，凰】- ，并且满足 f ( x ，y ) ( 玷+ e ) r 2 ，v ( x ，y ) ( z ，y ) ：0si z l + l y i 总) ( 2 3 6 ) 设q 3 = u p ：1 1 1 1 2 r 2 ) ，贝0 对v u pn a 2 3 有 0 1 1 , l + i u l l l u l l 2 r 2 ，f ( u ，) ( 砧+ ) r 2 从而 一1，1 i i a u l i2 置躏入上 上g l ( ，s ) g ( s ，7 - ) 9 ( 7 i ) ，( u ( 丁) ，( 7 - ) ) 打 d s 一 t 【o m a ，x l 】入上t o g 1 ( 如) g ( s ，7 ) 夕( ，r ) ( 惑+ e ) r 2 d r 】d s 4 工上 a s ( z s ) g ( 7 - ，丁) 9 ( r ) ( 工圭+ ) l f u l l 2 d 7 _ 】6 泌 j 0，0 去入( 玷+ s ) l l u l l 2 g ( r ，t ) g o ) d r ， u ，0 i i ( a u ) l l2 t 【m u a l j x i ( a u ) ( t ) l2 置躏i 一入上g ( 亡，s ) 9 ( s ) ， ( s ) ，( s ) ) d s 】l 一雄m a x l 】卜a 上g ( 亡，s ) 夕( s ) ( 站+ ) 2 d s l 入( 芯+ e ) i i u 1 2 g ( s ，s ) 9 ( s ) d s ， ，上 ，0 l f a u l l 2 = l i a , z i l + i l 牡) = 扣协( 珐叫z 1g ( 丁，丁) 如) d r + a ( 珐刊：o l g ( s ，s ) 如) d s s 去a ( ，去+ ) f 锃l 2 g ( s ，s ) 9 ( 5 ) c 妇 u 0 冬訾丢z 1 g ( s 咖( s ) d 5 _ z ， 即i f a u f f 2s1 1 乱1 1 2 ， u p ( o e 3 ( 2 3 7 ) 由( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) ，并应用引理2 2 3 可得算子a 至少有一个不动点矿 尸n ( 也q 1 ) ；由( 2 3 5 ) 和( 2 3 7 ) ，并应用引理2 2 3 可得算子a 至少有一个不动点 山东师范大学硕士学位论文 t + pn ( q 3 q 1 ) 推论2 3 4 设( 研) ，( h 2 ) 成立，并设i o = 0 0 且，矗= 0 即，是次线性的，则对 任何a ( 0 ，o o ) ：b v p ( 2 1 1 ) 至少有一个正解 推论2 3 5 设( h i ) ，( t - 1 2 ) 成立，并设珐= 0 , 0 石 o o ，则对任何入 ( 磊杀，+ o 。) ，b v p ( 2 1 1 ) 至少有一个正解 推论2 3 6 设( 日1 ) ，( 玩) 成立，并设石= o 。，0 茫 o o ，则对任何a ( o ，去) ，b v p ( 2 1 1 ) 至少有一个正解 定理2 3 4设( 皿) ，( 凰) 成立，并设向= 厶= o o ，则对任何a ( 0 ，a t ) ，b v p ( 2 1 1 ) 至少有两个正解，其中 廿哿k 赢l 两 证明定义一个函数h 以d2 扔z l + 0 i 0 对入( 0 ，a 1 ) ，从而存在常数c 1 ，c 2 ( o c 1 l o c 2 c o ) ，使h ( c 1 ) = h ( c 2 ) = a ， 这样 使得 ，( z ，可) 而c 1 ，v ( 茹，爹) 骶芗) ：o i x l + m c 1 ) ， ( 2 3 8 ) m ，) 而c 2 ，v ( z ，可) 秒) ：o i x l + l y l c 2 ) ( 2 3 9 ) 另一方面，由南= 厶= 。，则存在常数d l ，d 2 ( o d z c 1 c 2 c f 2 。) 端而1 加似m ：。 i 卅训妯) u ：a o e 2 i 卅i 邯i 吼 这样 f ( x ，y ) 丽d l ，v ( z ，矽) 讹y ) ：a r o d lsf z i + i y f 西) ， ( 2 舢) 他，) 丽d l ，v ( z ，秒) y ) ：印d 2s i z i + 1 矽isd = ( 2 3 n ) 对( 2 3 8 ) 和( 2 3 1 0 ) 、( 2 3 9 ) 和( 2 3 1 1 ) 分别应用定理2 3 1 知，b v p ( 2 1 1 ) 存在两个正解t 1 ，u 2 p 且d l l i 缸1 1 1 2 c l ，c 2 i l 缸2 1 1 2 如 定理2 3 5 设( 玩) ，( - 1 2 ) 成立，并设，0 = 厶= 0 ，则对任何入( 入2 ，。) ，b v p ( 2 1 1 ) 至少有两个正解，其中 入2 2 啪i n f 万, 7 o l 丽l = l + m _ l 厕 证明定义一个函数g ： 础卜瓦妇。 易知口：( o ，。) 一( o ，o o ) 连续，并且2 骧危( z ) 2 恕忍( z ) = o 。因此，存在。( 0 , 0 0 ) ， 使得 因此 2 6 q ( z 。) 2 圳n f h ( 1 ) = a 2 对入( 入2 ，o o ) ，则存在常数d l ，d 2 ( o d l l o d 2 co ) 使得q ( d 1 ) = q ( d 2 ) = a i ( x , y ) 而d l ，v ( z ，y ) 溉3 ) ：口。d 1 l z i + 1 秒i d 1 ) ( 2 3 1 2 ) 山东师范大学硕士学位论文 f ( x , y ) 丽d 2 ，v ( z ，) 矽) ：a o d 2 i z i + l 矽i d 2 一 ( 2 3 1 3 ) 由如= 0 ，存在常数c 1 ( o c l d 1 ) ，使得 揣南加：0 | 卅1 秒i - - - c 1 ) 故f ( x ，y ) s 南，v ( z ，y ) ( ( z ，y ) ：0 l z l + l y l c 1 ( 2 3 1 4 ) 由= 0 ，存在常数c ( d 2 c o o ) ，使得 揣，南小他：c 外水砧 令l = s u pf ( x ，y ) 和c 2 m a x ) t l m ，c ) 易知 o i 刮+ i f c m ，夕) ) s 而c 2 ， v ( z ，3 ，) 讹可) ：o i x l - 4 - l y lsc 2 ) ( 2 3 1 5 ) 对( 2 3 1 2 ) 和( 2 3 1 4 ) ，( 2 3 1 3 ) 和( 2 3 1 5 ) 分别应用定理定理2 3 1 知s v p ( 2 1 1 ) 存在两个正解u l ，t t 2 p 且c isi i u x l l 2 d l ，d 2 i l u 2 1 1 2 c 2 2 7 山东师范大学硕士学位论文 第三章一类奇异高阶微分方程边值问题的正解 3 1引言u 二阶和高阶奇异边值问题概括了数学领域内的许多问题，具有很高的应用价 值，是一个人们对之具有浓厚兴趣的问题近年来，许多文献对高阶奇异边值问题 进行研究，见文献f 1 。j ， 2 t 1 本文考察了下列奇异高阶微分方程边值问题( h e p ) i ( 一1 ) n u ( 2 n ) ( 亡) = a ( t ) y ( t ，u ( 亡) ，u ( t ) ，仳( 2 ( n 。) ( 亡) ) ，0 t 0 ，0 i n 一1 本文中，我们假设8 ( 右) ：( 0 ，1