（基础数学专业论文）离散空间中正交小波的完备性.pdf

摘要 摘要 函数空间l 2 ( r ) 中的小波分析已取得了丰硕成果2 0 0 1 年，l “g e s e n 给出 了其中小波完备性的充分必要条件本文研究了e 2 ( z ) 中正交小波的完备性， 给出一些简单的判别方法，它们适合于判别常见小波的完备性 本文是按如下方式组织的第一章给出了本文所用的记号、概念及研究 背景和主要结论；第二章推广了护( z ) 中的小波构造理论；第三章研究了e 2 ( z ) 中小波的完备性；第四章讨论了离散正交小波的插值性及对称性 关键词；正交小波，完备性，插值性，对称性 a b s t r a c t g r e a ta c h i e v e m e n t sh a v eb e e nr e a c h e do nw a v e l e t si nl 2 ( r ) i n2 0 0 1 ， l a u g e s e no b t a i n e da s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ec o m p l e t e n e s so f 、a n e l e t si nt h a ts p a c e i nt h i st h e s i s ，t h ec o m p l e t e n e s s o fo r t h o g o n a lw a v e l e t s i nt 2 ( z ) i sd i s c u s s e d i nf a c t ，w es h a l lg i v es o m es i m p l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s ， w h i c hc a nb eu s e dt ov e r i f yt h ec o m p l e t e n e s so fm a n yo r t h o g o n a lw a v e l e t si n 2 ( z ) t h et h e s i si s o r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s t c h a p t e r ，s o m en e c e s s a r y n o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n s ，t h eb a c k g r o u n da n dt h em a i n r e s u l t sa r eg i v e n ；i nt h e s e c o n dp a r t ，w eg e n e r a l i z et h ec o n s t r u c t i v et h e o r yo f w a v e l e t si n 2 ( z ) ；i nt h e t h i r do n e w es t u d yt h ec o m p l e t e n e s so fw a v e l e t si n 胪( z ) ；i nt h e l a s ts e c t i o n ， w ed i s c u s st h ei n t e r p o l a t i n ga n ds y m m e t r i cp r o p e r t i e so fo r t h o g o n a lw a v e l e t s i n 2 ( 刁， k e y w o r d s ：o r t h o g o n a lw a v e l e t s ，c o m p l e t e n e s s ，i n t e r p o l a t i n g p r o p e r t y ，s y m m e t r i cp r o p e r t y i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：骚曩舂 日期 关于论文使用授权的说明 枷呼? 譬 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：燃导师签名：日期：铆彤石。j 一 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 概念与记号 表示正整数集；z 表示整数集；r 表示实数集 定义9 2 ( z ) 为满足l lzi l = ( l z ( ) 1 2 尸t 。的所有序列z 构成的b a n a c h 空 k e z 间，而。1 ( z ) 为满足l lz1 1 2 磊i 。( 。) i 。的所有序列z 的全体- 易见，1 ( z ) 为 2 ( z ) 的子空间 定义l 2 【_ ”，”】为满足i i ，i i = ( 击厶i f ( o ) 1 2 d 口) o 。的所有函数，构成的 b a n a c h 空间对z f 2 ( z ) ，定义f o u r i e r 变换2 ( 口) = ：g ( n ) e 砌那么( 口) n z l 2 - ”，” 且i il1 1 = 1 1z 叭其中i j 21 1 2 = 丽i ：二i ( 口) 1 2 d o 众所周知，l 2 _ ”，州的逆f 0 u r i e r 变换，( n ) = ( ，e 枷) = 去卫，( 口) e 一砌枷 对z ，u 2 ( z ) ，定义卷积z + u ( n ) = ：z ( n 一) u ( ) 容易验证下述结论成立( 见 七z 【l 】) ： ( 1 ) 若彳1 ( z ) ，“j 2 ( z ) ，则名 u 孽2 ( z ) ( 2 ) 若z 1 ( z ) ，u e l ( z ) ，贝0z + u e l ( z ) ( 4 ) 若z 孽1 ( z ) ，u 2 ( z ) ，贝0 ( z + u ) “( 口) = 童( 口) ( 2 ，( 日) 8 e 下述定义均取自文献【l 】如无特殊声明，本文的符号和术语均与 1 1 相同 对z e 2 ( z ) ，定义共轭反射为可 ) = j f 两 对z e 2 ( z ) ，定义平移算子风：( 凰z ) ( n ) = ：z ( n 一) ，则 ( 风z ) “( 目) = e i k 0 2 ( 口) 北京工业大学理学硕士学位论文 n 为偶数 则 n 为奇数， 定义上2 ( r ) 为满足i i ，1 1 2 = ( 厶i ，( 圳2 出) 。的所有函数，构成的b a n a c h 空间对，l 2 ( r ) ，j ，k z ，定义，( z ) = 2 f ( 2 z 一女) 易见 易，t ( f ) = 2 一 e 等，( 刍) n e 为叙述方便，我们还需引入下面的概念和定理，它们均取自m n 。i 。的书 ( 1 ) 定义1 1 设“，u 2 ( z ) ，若b = ( r 2 k , ，u ) 挺z 构成驴( z ) 的完全标准正交 集，则称b 为铲( 刁的阶小波基 定义l - 2 设p 是一正整数，丸，2 ，厶“靠，霸护( z ) ，若 b 2 ( r 2 c k 矗：z ，= l ，2 p ) u ，k 9 p ：k z ) 构成护( z ) 的完全标准正交 集，则称b 为z 2 ( z ) 的p 阶小波基 定义l ，3 设矗p 2 ( z ) ，j v ，若b = o ； 则u 可以作为一个多尺度分析的尺度序列 1 2 本文背景 1 9 8 6 年，法国数学家y m e y e r 成功地构造出具有一定衰减性质的光滑函数，这 个函数的平移与伸缩构成工2 ( r ) 的小波基( f 2 】) 继m e y e r 小波提出后，d l e m a r i e 和g b a t t l e 叉分别独立地构造出了具有指数衰减的小波函数此后，s m a l l a t 提出的多尺度分析的概念成功地统一了y m e y e r ，d ，l e m a r i e 和g ，b a t t l e 等人的 小波构造方法( 【3 ，4 】) 1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e s 基于多项式函数构造出具有紧支集 的正交小波基( | 5 1 6 ) 从9 0 年代开始，人们基于样条函数构造出了正交小波函 数，并讨论了具有较好局部化性质的尺度函数和小波函数的构造方法( 7 - 2 0 1 ) 。但 3 北京工业大学理学硕士学位论文 是由于正交小波无法同时具有某些重要性质，从而工2 ( r ) 中的双正交小波研究引 起了人们的兴趣( 2 1 2 5 ) 由于工程领域中出现的许多信号都是能量有限的离散 信号，因此近年来，离散空间1 2 ( z ) 中的小波分析吸引了人们的注意力( 2 6 3 9 ) 但相对于l 2 ( r ) 中的小波分析，z 2 ( z ) 中的理论远不如l 2 ( r ) 那样丰富本文的 主要任务就是在借鉴工2 ( r ) 中有关结果的基础上研究z 2 ( z ) 中正交小波的完备 性 m & l l a t 定理告诉我们，给定一个多尺度分析，利用其尺度序列u 定义”( ) = ( 一1 ) “1 可r = 可以及咖( 。) = ”( k ) 曲l ， ( z ) ，则 奶，k ：j ，k z ) 为l 2 ( r ) 的小波 z 基我们自然会问，是否五2 ( r ) 中的每一个小波基都是由一个多尺度分析得到 的? 1 9 9 5 年，a u s c h e r 在【1 5 中对此给出了明确的回答，三2 ( r ) 中足够好的小 波都是从一个多尺度分析得到的进一步， 咖，k ：j ，e z ) 的完备性可以由多尺 度分析中的nk = o ) 和i 旷丐= l 2 ( r ) 来保证2 0 0 1 年，l u u g e s e n 在【4 0 】中 j zj z 给出了l 2 ( r ) 中( 奶，k ：j ，k z ) 完备的充分且必要条件 2 ( z ) 中的小波构造是通过迭代方式实现的：即给定u 1 ( z ) 满足 r 2 女“) 。z 在# 2 ( z ) 中标准正交，令 ( ) = ( 一1 ) 2 1 可r = 可，则 r 2 女 ，r 2 k u ) z 构成庐( z ) 的 一阶小波基再令9 c = u + u ( “) * u 。1 ( “) ， = u t u ( u ) + u i - 2 ( “) 沙一1 ( 口) ， 则 | r 2 c k ：k z ，= 1 ，2 ，p ) u 月2 ，女绵：k z ) 构成乎( z ) 的p 阶小波基由 于空间2 ( z ) 是无限维的，上述过程可以无限地进行下去一个自然的问题是， r 2 c k ：k z ，z ) 在2 ( z ) 中是否完备? 【1 】中给出了下述判据； 设u = ( 2 ( 女) 吃c k g e ：z 2 ( z ) ) ，则 兄c t h ：k z ，n ) 的完备性等 七e z 价于 u = o ) 但是条件nu f = o ) 的验证并不容易事实上【1 】中只对 眶眭 h a a r 情形给出了证明，而对d 4 ，d 6 等常见小波均未作讨论 4 第l 章绪论 从上述构造过程可以看出，2 ( z ) 中的小波构造实际上只依赖于“，所以在 本文中，若“无限迭代下去能够构造出完备小波，则称u 对应的小波系是完备 的 另一方面，对l 2 ( r ) 中的正交小波，紧支性和对称性基本不能兼容，由此 引出了双正交小波的研究相应地，本文也讨论了2 ( z ) 中正交小波的性质兼容 性结果表明：研究2 2 ( z ) 中的双正交小波是必要的 1 3 本文结构 本文是按如下方式组织的第1 章给出了本文所用的记号、概念及研究背 景；在第2 章里，我们取消了2 ( z ) 小波构造中对“1 ( z ) 的限制( 只假定 u 2 ( z ) ) ，从而推广了文献【1 中的主要结论；第3 章给出离散小波完备性的 一些简单判别方法，主要结果为 定理31 设u 护( z ) 满足细分方程( z ) = “( 七) 1 , k ( 。) ，而毋l 2 ( r ) 满 三 足0 n j 函( 日+ 2 k ”) 1 2s 卢 o 。，则u 对应的小波系是完备的 h 6 z 定理3 2 设u 2 ( 牙) 满足 兄2 k u ) 女z 在2 ( z ) 中标准正交，若一l i r a 。o i 彘( 口) l = 0o 息，则“对应的小波系是完备的 利用上述定理，可以判别几乎所有常见的尺度序列然而不幸的是，我们无 法知道u = 6 0 + 乎6 1 对应的小波系是否完备为此引入。 定理3 3 对任意的t = n + 晒也，a b 0 ，若 矗2 u ) k z 在2 ( z ) 中标准正 交，则u 对应的小波系是完备的 在第4 章，我们研究了p 2 ( z ) 中正交小波的插值性及对称性，主要结果为 北京工业大学理学硕士学位论文 定理4 1 设“乎( z ) 满足 ( 1 ) “具有有限支集； ( 2 ) r 2 k k z 在2 ( z ) 中标准正交 ( 3 ) 具有插值性质，即( 2 ) = a 6 k ，d 缸0 ) 则“只有两个非零坐标 定理4 2 设“9 2 ( z ) 满足 ( 1 ) u 具有有限支集； ( 2 ) r 2 a “ k z 在2 ( z ) 中标准正交 ( 3 ) u 具有实对称性或反对称性； 则“只有两个非零坐标 在本文的最后，我们将列出尚未解决的问题 第2 章2 ( z ) 中的小波构造 第2 章f 。( z ) 中的小波构造 本章将推广f r a z i e r ( 1 ) 关于( z ) 中小波构造的主要结果具体地，我们将 取消u 1 ( z ) 的假设，而只假定u 2 ( z ) ，但得到了和1 中相同的结论 2 1 两个引理 本节推广了 1 】中的两个引理，在此基础上给出2 ( z ) 中一阶小波基的构造 方法 引理2 1 设“， ，u # 2 ( z ) ，则有 ( 1 ) 吼k u ) 。z 在2 ( z ) 中标准正交甘莹i 。( 口+ 学) 1 2 ：。e ； ( 2 ) ( r 船n ，r ”) = o ，对坳，2 z 甘k = o 也徊+ 学) 。( 口+ 学) = 0 。e ； 证明：注意到钍，r 幻口) = 蟊( 口) ，2 旬。o ( 8 ) ) = 磊1 。缸( 口) 石丽e 卅，8 d o ：击莹a rn ( 们丽。删 k = 0c 记 一1 = 丽1 厶蟊 k = o ( 一”+ + 学) 。( 一7 r 十 + 孚) e - - 订e 咖( h 螂 目( 妒) ：e 玎”( _ 1 l - 1 也 k = o ( $ 一”+ 暑+ 学) o ( 一”+ + 每8 ) 则9 ( 曲) 具有2 r 周期且( u ，r j v ) = 击仁。9 ( 咖) e 一巧4 影( 2 1 ) 下证9 ( 币) 1 【一”，- j ，因为 仁i g c ) l d 戛仁| 。( 一”+ 罩+ 学) 州 一”+ + 学) i 螂 船：u 。 s 去笺。 一”+ i + 芋) 1 2 彤+ 刍邑2 - 1 巴m 北京工业大学理学硕士学位论文 = 卫n ( 日) 1 2 d o + l i o ( o ) 1 2 d o o o 所以9 ( 曲) l 1 一”，”】 为证明( 1 ) ，在( 2 1 ) 中令“= 口= u ，则 丑剧) k z 在f 2 ( z ) 中标准正交 铮u ，r 巧u ) = 如，o 亭1 i 。9 ( ) 一i j 币d = 匹，。 静击”( 量州一”+ 量+ t 2 础) 1 2 1 ) e - i j 4 d 咖= o , v j z ，g - - i f 一1 甘 磊 。( - t r + + 学) f 2 = 1 。e k 妻= 0 j 。( 日+ 学) 1 2 = “ 类似地，由( 2 1 ) 可知： ( 兄拙，勘口) = 0 ，v j ，k z 箨( u ，勘 ) = 0 ，巧z 甘击j 二9 ( 声) e 一巧d 咖= 0 ，w z 甘g ( 曲) = 0o - e 甘心+ 学) o ( 日+ 警) = 0 一证毕 推论2 1 设g ，u 2 ( z ) ，则 ( 1 ) r 2 女z ) 妊z 在z 2 ( z ) 中标准正交静1 0 ( p ) 1 2 + i 徊十7 r ) 1 2 = 2 。e ； ( 2 ) ( r 2 k z ，丑玎u ) = 0 ，对v ，j z 甘2 ( 口) ：玎可+ + 7 r ) 石巧i 干可：0 e ； 引理2 2 设u ， 2 ) ，则b = 月2 ，r 2 女“) k z 构成2 ( z ) 的一阶小波基 一系统矩阵刖印5 去( 。：。，。：三2 ，) 几乎处处为酉矩阵o p + 7 r ) o 徊+ 7 r ) 7 证明：由推论2 1 知，b 为标准正交集甘 几乎处处为酉矩阵，所以 只需证a ( p ) 几乎处处为酉矩阵可以推出b 完备即可而要证b 完备，只需证明 e 。2 枷也( 目) ，e i 2 k o o ( 口) ) 妊2 在三2 卜7 r ，叫中完备： 设，( p ) 上2 卜7 r ，7 r 】，且i f ( o ) e i 2 k o 砬( 日) ) = ( ，( p ) ，e t 2 t 。o ( 口) ) = 0 ，对v z 下 第2 章2 ( z ) 中的小波构造 o ( p ) 丽十。徊+ ”) 碌币万= 0 o ( 口) 1 2 + i o 徊+ , 0 1 2 = 2 a e ( 22 ) ( 23 ) ( 2 4 ) 由( 2 2 ) 和( 2 3 ) 知：存在2 7 周期函数m ( 8 ) 使得o ( 8 ) = m ( 8 ) 面歹干而口e ，其 邮，薯翟：， 则当也( p ) 0 时，o 徊+ ”) = 一m ( 日) 石而，把它代入( 2 2 ) 得： o ( o ) = m ( 口) 碌币百 当心( 日) = 0 时，直接由定义得：o ( 口) = m ( 口) 可歹干可n n 下证( 2 5 ) ：若吐( 日) 0 ，铽8 + n ) 0 ，把o ( 8 ) = m ( 8 ) 面啊8 e 代入( 2 2 ) 直 接可得( 2 5 ) 若吐( 9 ) o ，血( p + ”) = o 由定义，m ( 口) = 一等铲，r e ( e + ”) = 等茅， 由( 2 4 ) 和( 2 5 ) 知l m ( p ) i = 1 a e ，从而m ( p ) l 2 f 一”，” 进一步( 2 5 ) 蕴含 着存在2 7 r 周期函数p ( p ) 使得m ( 日) = e i 。p ( 2 0 ) ，i p ( e ) l = ln ，所以a ( o ) 几乎处处 为酉矩阵可以推出o ( p ) = e i 8 p ( 2 0 ) 可万干而o e ，其中p ( 口) 为2 7 r 周期函数，且满足 0 = i f ( o ) ，e i 2 k o o ( 日) ) = 磊1 仁，( 口) 石两e _ i 2 。d o 北京工业大学理学硕士学位论文 击。，( 口) 石丽e - i 2 k o d o + 击盯，( 日) 石丽e 一 8 础 = 击置 ，( 口) 丽+ ，徊+ ”) 硒了_ e - i 2 k o d o 所以，( 口) 丽+ f ( o + ”) 丽而i = 0 一 同理， 8 ) 硒+ f ( o + ”) 丽雨i = 0 把o ( 口) = e 徊p ( 2 0 ) 砸万再) 代入( 2 6 ) 得 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ，( 日) n ( 日+ 7 r ) 一f ( o + r ) a ( o ) = 0 e ( 2 8 ) 由( 27 ) 吐( 口) + ( 2 8 ) 可弭i ) ，我们有，( 日) ( i 也( p ) 1 2 + p ( o + ”) 1 2 ) ：0o e ，进一步 ，( 口) = 0 。e ，故 e i 2 k o 缸( p ) ，e 2 k o o ( 日) ) t z 在二2 【_ ，州中完备，从而b 在e 2 ( z ) 中 完备证毕 推论2 2 设“2 ( z ) ， r 2 k “) z 在p 2 ( z ) 中标准正交，定义 ( k ) = ( 一1 ) 扣1 u ( 1 一k ) ，则 r 2 k v ，r 2 k u k z 构成2 ( z ) 的一阶小波基 注；对任意满足p ( o ) 1 2 + l e ( o + ) j 2 = 2o z 的u e 2 ( z ) ，若令o ( p ) ； e i e p ( 2 0 ) 血( 日+ ”) ，则a ( 日) 几乎处处为酉矩阵，所以从 兄2 女t ) z 在护( 2 ) 中标准 正交出发构造p 2 ( z ) 的一阶小波基的方法很多，但是利用”( ) = ( 一1 ) k 一- 可r = 可 去构造是最简单的一种，因为此时对应的p ( ；1 2 2 9 2 ( z ) 中的小波构造 本节利用2 1 节中的两个引理，从一阶小波基出发构造出p 阶小波基及无限 阶小波基为此，先引入两个引理： 引理2 3 设u ，”p 2 ( z ) 构成2 ( z ) 的一阶小波基若g 是一个正整数，9 一。 1 0 第2 章2 ( z ) 中的小波构造 9 2 ( z ) 满足 r 2 t - 1 k g g 一1 k z 在2 ( z ) 中标准正交定义 = 胁1 ( 口) o ( 2 2 1 口) 】， g t = 吼1 ( 也( 2 。一1 日) 】。，则 r 2 c k ，r 2 c k 卯) z 在俨( z ) 中标准正交 证明：首先注意到2 兰1i ) d e + 等) 1 2 ：毫1f 彘l ( p + 喾) 1 2 j 。( 2 e 一1 p 十。女) 1 2 k = 0 一 k = 0 。 一j 11 = 卜1 8 ) 1 2 垂i l - 1 ( 9 + 黔) 1 2 + 8 + ”旷暑1 盼1 ( 8 十狩+ 蠹) 2 m = um = n 。 = 2 。一1 ( f o ( 2 o ) 1 2 + d ( 2 e - , o + 7 r ) f 2 ) = 2 o 息， 则利用引理2 1 得： r 2 r k y f k z 在e 2 ( z ) 中标准正交同理可证 r 2 t k 9 t k z 在 t 2 ( z ) 中标准正交其次，下面的计算及引理21 表明( r 2 c , j t ，r 2 t j g ) = 0 ，v k ，j z 1 五( 8 + 攀) 瑟确 5 虹( 等) 卜l 目+ 州五丙事丽嘶 。善( 口+ 开2 1 r r n j v ( 2 卜1 口) 五而幕丽硒两- + 。觑一t + ；磐+ j 岛) o ( 2 2 1 0 + ”) 盈二l ( 万了i 耍雪r ； 暮；再i i = i i 两 m = 。 。 = i 如一1 ( o + 多等) 阳2 “p ) 硒i = 呵+ e 队l ( p + 狩+ 赤) 陬2 0 + ”) 砸酉而百 = 2 。一1 【。( 2 一1 p ) 五i j 7 = i 万+ 。( 2 。一1 0 + 7 r ) 石t j i = t i i ：同：0o e ， 引理2 3 证毕， 引理2 4 设v - t = 量z ( ) 兄2 f 女9 f ：z 2 ( z ) ) ，矸，- f = 。( 女) r 2 。 ：z z 恐。 2 ( z ) ) ，其中u ， ，9 t l ， ，g t ，满足引理2 3 的条件，则亿。肌：n “1 证明：易见v - e + l ，v - ! 和彬一是萨( z ) 的子空间注意到引理2 3 ，我们只需 证明： 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 1 ) 儿和肛f 是亿+ 1 的子集 ( 2 ) v - e + 1 亿o w 一 先证( 1 ) ，因为e 2 2 ( 口) = ( r 2 t u ) “( p ) = ( ( 尼 ) “( 口) ，e i m p ) e i m 口 t n z = ( ( r 2 k u ) “( 日) ，。( 口) ) e 2 ”9 = ( i r 2 k 口，e 。) e m 。， m z m z 其中e 。( n ) = k 。所以 ( r 2 k v ，e m ) = 月2 女口( n ) e 。( n ) = ( m 一2 ) ( 2 9 ) n e z 从而，e 2 k e 0 ( 0 ) = v ( m 一2 k ) e w 进一步，我们有 m z e i 2 t k o g ( 2 2 1 口) m 一1 ( 目) = ( m 一2 k ) e i 2 “m 8 彘一1 ( 口) m z = ( m 一2 ) ( 吃c - l m g t 一1 ) “( 口) m 2 上式两边同时取逆f o u r i e r 变换得z r 2 c = ( m 2 k ) r 2 。女肌“v 后z m z 所以肌n “1 ，同理可证n 亿+ 1 下证( 2 ) ：因为 r 2 k v ，r 2 k u k z 构成2 ( z ) 的一阶小波基，所以z 勺= e ( 勺，r 2 k u ) r 2 k u + ( 勺，r 2 k u ) r 2 女u k e z k z 。 上式两边同时取f o u r i e r 变换得： e j ( o ) = 娶e j ，r 2 女t ) ( r 2 u ) “( 口) + ( 勺，兄k ) ( r 2 ) “( 口) 女z 压z 又由( 2 9 ) 可得( e ，r 2 女“) = 讼2 一j ) ，勺，r 2 女口) = 石( 2 一j ) ，故 e ”8 = ，娶在( 2 女一j ) e 2 枷缸( 日) + 石( 2 女一j ) e t 2 捌嘧徊) ，( 2 1 0 ) 女z k e z 。 。 7 从而磊矗( 2 。一j ) 毋啪删+ 恳石( 2 女一j ) e i 2 k a f t ( o ) 1 2 。 第2 章2 ( z ) 中的小波构造 = 面( 2 一j ) e 。2 。吼一1 ( 目) n ( 2 。一1 口) + g ( 2 k j ) e i 2 t k o # 一1 ( 目) o ( 2 i - - 1 日) zz = 面( 2 七一，) e 2 2 枷也( 2 。一1 口) + eg ( 2 k j ) e i 2 t k o o ( 2 t - 1 口) 】彘一1 ( 口) k zk z = e i 2 t - j j 。虬一1 ( p ) ( 利用2 1 0 式) 上式两边同时取逆f o u r i e r 变换得： r 2 t 一1 3 9 e 一1 = g ( 2 k j ) r 2 f 9 + eg ( 2 k j ) r 2 k k 6 zk z 所以n “l ow o 证毕 利用前面建立的引理，我们可以证明下面的定理 定理2 1 设“，w z 2 ( z ) 构成2 ( z ) 的一阶小波基h ，仇由下述公式定义； g 2 一l a = n 也( 2 ，8 ) i ( 2 。一1 口) ，= na ( 2 j o ) ， 则 r 2 z k h ，k z ，= 1 ，2 ，p ) u 嘞，k g p ，kez ) 构成2 ( z ) 的p 阶小波基 证明：由 i n 2 2 知，l a ( o ) t ，i o ( 口) i 均有界，从而五，彘l 2 【一7 r ，”】利用引理 2 4 ，我们有 2 2 ( z ) = w - i v - 1 = w - i 。w 一2 ( 9 v - 2 = = 叽1 。肌2 。s w _ p s v _ p ， 所以结论成立证毕 如无特殊声明，本文中们的定义均与定理2 1 中的相同 定理2 2 设u ， 驴( z ) 构成2 ( z ) 的一阶小波基令 五：t n - 2 也( 2 j 8 ) 。( 2 t - 1 0 ) ，忙f ： ez ( ) r 2 。女驰：z 2 ( z ) ) ， j = o女z 。 则 岛。矗，k z ，) 构成护( z ) 的小波基铸n 让f o ) 证明： “仁”由定理2 1 ，我们只需证明 岛c k ，k z ，) 的完备性 ，1 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 设ze 2 ( z ) 满足( z ，r 2 女 ) = 0 ，v n ，女z 令 肛= z ( k ) r 2 女f e ：g f 2 ( z ) ) ， z 贝0z 上w - 而孽2 ( z ) = w l lon 1 ，所以z v - 1 现在假设2 v - t + 1 ) 再利用u ow 一= 让f + 1 及2 上w 一知z u ，所以 ze n 让，从而z = 0 ， 兄2 c 女 ，女z ，n ) 构成2 ( z ) 的小波基 “ “j ”对v ze nv - t ，因为u z 上肌，所以z 上肌f ，从而( z ，恐 ) = o ，vz 川 n ，k z 又因为 吃r ，k z ，en ) 构成2 ( z ) 的小波基，所以z = o ，从而 nn = ( o ) 证毕， 2 3 本章小结 文献i l j 中的小波构造均假定, 1 ( z ) ，原因是：在时间域上进行卷积运算， 两个z 2 ( z ) 元索做卷积不能保证仍然属于2 ( z ) 因此s h a n n o n 小波未被包含在【1 1 中的理论内基于此，我们推广了 1 中的构造方法，使我们的结论包含s h a n n o n 小波作为特例 ，1 4 - 第3 章离散小波的完备性 第3 章离散小波的完备性 3l 尺度序列的完备- 陛 在本节中，我们将证明l 2 ( r ) 中任一多尺度分析的尺度序列对应的小波系是 完备的首先引入下述引理，它取自文献【5 引理3 ，1 设铲( r ) 满足0 d i 参徊- 4 - 2 k ) 1 2 口 o 。，定义 嵋= e z ( ) 咖， ：z = ( z ( ) ) k z 2 ( z ) ) ，则nv j = o ) k z j c z 定理3 1 设“2 ( z ) 满足细分方程咖( 。) = u ( ) 曲1 , k ( z ) ，其中曲l 2 ( r ) 满 k z 足0 a 1 声妒+ 2 k ”) 1 2 p o 。，则u 对应的小波系是完备的 k z i i e n ：令巧= ez ( ) 奶，k ：z = ( 4 k ) ) k z 2 ( z ) ，j z ，则由于西满足细分 方程，故对v j z ，巧q + 1 注意到0 o ，量l 毒徊+ 2 k ，r ) 1 2 卢 o 。，由引理3 1 知n 巧= o ) ，从而利 七z，f z 。 用上述包含关系知n ，v = o ) 因为南，( 8 ) = 2 - e 一警$ ( 告) ，所以 眶 一 巧一，量z ( k ) 2 一e 警声( 告) ：z z 2 ( z ) ， 。 七2 。 进而有虻f = f ez ( ) 2 e 锄9 乒( 2 。8 ) ：z 驴( z ) ) ，并且n 虻 z 眶_ 。 对v ，( 口) 虻l ，( p ) = z ( k ) 2 e i 2 9 乒( 2 。口) 崩z = 女z = 缸e z j = o ( 2 一j 口) $ 徊 ( p ) ( 8 ) ， 其中m 。( 8 ) 5 击也( 一8 ) 令v - t = ( 磊。( ) 吼c k 9 ：= 铲( z ) ) ，则有 证f = z ( k ) e m e o o d o ) ：z f 2 ( z ) ) k , f i z 1 5 o ) 啪 啪 。n声“n ” 醐 2 2 一 一 ；坨 ：址 啪 啪 z z 北京工业大学理学硕士学位论文 对v 9 ( 口) 证，9 ( 目) ：( ) e - 2 f 8 彘( 口) ：2 ( k ) e i 2 k og 兀- 1 也( 2 j 口) 女2k e z 5 = o ：# ( ) 2 ；e i 2 t k oi 兀- 1m 。( 一2 j 口) z j = 0 因此，对v ( 口) n 证，我们有 ( 一口) 每( 口) n 虻，所以 ( 一日) 毒( 日) ：0 ， 眶n 眶n 。 对几乎所有的0 兄成立，则可得 ( 口) = 0 ，0 e 反之假设 ( 日) 在 - t r ，7 r 上 非几乎处处为零，则存在正测集a 【- ”，7 r 】，使得对0 a ， ( 一目) 0 ，从而 $ ( 口) = 0 ，。e0 a 由于 ( 口) 是2 ”周期的，故$ 徊+ 2 k t r ) = 0 ，0 a ，z 从而对0 4 ，i ( 口+ 2 k r r ) 2 = 0n e - ，这与0 a i $ 徊+ 2 k r r ) 1 2s 芦 _ 蟋l f 矗( 2 。o ) 1 2 d o 厶 竺窖磬i & ( 2 2 口) 2 d o = o 。， 与，l 2 一”，” 矛盾，所以，( 口) 几乎处处为零，定理得证 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 例3 _ 2 ：设“f 2 ( z ) 满足n ( 印= 慨【- 。，一 ) u 唔。】( 日) ，则ux , t 应的f l 、波系是 完备的， 易见， 。( 2 。) 慨 【寿，量】u _ 寺，一i 南) + 菏) 。；。进一步可以证明： s 聊负n ( o ，叫2 【等，迎笋】，对某个m z ， ( 3 1 ) 8 卿吼n 卜”，o 】- 【警，迎妒】，对某个m z ，( 3 2 1 从而有一l i r a 。出( 口) = 0 ，故u 对应的小波系是完备的 下面利用归纳法证明( 3 1 ) 及( 3 2 ) ：当= 1 时，结论显然成立 假设s u p p 9 e n o ，”】= 【等，虹