（基础数学专业论文）紧致秩1对称空间上一类极小子流形的数量曲率.pdf

中文摘要 摘要 利用s i m o n s 公式，得到了复射影空间一卜的紧致极小余迷向子流形和四元射 影空间上的紧致极小四元余迷向子流形的刚性定理，推广了h b l a w s o n 的结果； 用类似的方法，还得到了c a y l e y 射影平面上紧致极小超曲面的刚性定理。 关键词：秩1 对称空间，极小子流形，余迷向，数量曲率，刚性 中图法分类号：0 1 8 6 1 2 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eg i v es o m er i g i d i t yt h e o r e m sw h i c hc o n c e l t iw i t hc o m p a c t m i n i m a lc o i s o t r o p i cs u b m a a i f o l d si nc p c o m p a c tm i n i m a lq u a t e r n i o n i cc o i s o t r o p i c s u b m a n i f o l d si nq pa n dc o m p a c tm i n i m a lh y p e r s u r f a c e si np ( c 嘞 k e yw o r d s ：r a n kls y m m c t d cs p a c e , m i n i m a ls u b m a n i f o l d ，c o i s o t r o p i c ，s c a l a r c u r v a t u r e ，r i g i d i t y c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o nn u m b e r ：0 1 8 6 1 2 - - 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：趟盘查日期 论文使用授权声明 】叼，6 6 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：圭壅查导师签名日期：望王! ：i ： 引言 己i吉 ，1日 1 9 6 8 年，j s i m o n s 计算了极小了流形的第二基本形式的l a p l a c e 的一般公式， 运用b o c h n e r 技巧给出了球面上极小子流形的刚性定理川：令m 为等距浸入到 栉印维单位球面s ”p 的n 维紧致极小子流形，若m 上每一点处均有第二基本 形式长度的平方i i b l l 2 7 l ( 2 9 则 1 ) j i f 为全测地子流形 或 2 ) 1 2 = n ( 2 0 接着，s s c h e m ，m d oc a r m o 和s k o b a y a s h i 2 1 得到了卜述定理中的等号 成立条件：m 为c l i f f o r d 超曲面或s 4 中的v e r o n e s e 曲面。1 9 9 3 年，李安民和 李济民p 1 证明了一个代数引理，将p 2 时的条件改进为i i b l l 2 ；7 l 。 另一方面，1 9 7 0 年，h b l a w s o n l 4 1 通过对复射影空间与四元射影空间的性 质的研究，得到了这两个空间i ：超曲面的刚性定理： 定理1 令m 为等距浸入到知维复射影空间c p n 的紧致极小超曲面，若m 上每一点处均满足以下两个等价的条件： a ) p ( m + 2 ) ( m 一1 ) b ) l i b i l 2 m 一1 则p = ( m + 2 ) ( m 一1 ) ，i i 引1 2 = m 一1 其中，p 是肘的数量曲率，m = 2 n 一1 是m 的维数。 定理2 令m 为等距浸入到和维叫元射影空闻q p ”的紧致极小超曲面，若m 上每一点处均满足以下两个等价的条件： c 1p m 2 + 7 m 一6 d ) 口2 m 一3 则p = m 2 + 7 m 一6 ，i i b i l 2 = m 一3 并且给出了相应的等号成立条件。在这篇论文中l a w s o n 没有直接运用s i m o n s 的公式。 此后，关于球面上的极小子流形，还有复射影空间、四元射影空间上一些特 殊的子流形，如全实极小子流彤、复子流形等，大量的刚性定理得到了证明。 y o n g - g u e no h 在辛几何的研究中引入了余迷向子流形的概念c 5 1 ，他们是复 引言 流形中实超曲面的一种高余维数推广。本文首先研究c 即上紧致极小余迷向子 流形，将l a w s o n 关于极小超曲而的刚性定理推广到高余维数极小余迷向子流形 的情形： 定理a设m 是c p “一卜的一个辨维紧致极小余迷向子流形，余维数 p = 2 n m 且满足m p 。当p = 1 时，若l i b i l 2 s m 一1 或等价地， p ( m + 2 ) ( m 一1 ) 则i i b i l 2 = m 一1 ，p = ( m + 2 ) ( m 一1 ) 。当p 2 时，m 上存在一点x ，在该点i i b i l 2 ；( ( m 一4 p + 1 ) + 、厂丽再忑歹了可f 面，或 等价地，p ；( ( 3 m 2 + 5 m - - 5 p 一1 ) - d ( m + z p + d z - a 2 p ) 。 然后，仿照c 砂上的情形，我们定义q p “上的四元余迷向子流形，得到 定理b ； 定理b 设m 是口p “上的一个m 维紧致极小四元余迷向子流形，余维数 p = 4 n r n 。当p = 1 时，若i l u l l 2 m 一3 或等价地，p m 2 + 7 m 一6 则 l | 8 1 1 2 = m 一3 ，p = m 2 + 7 m 一6 。当p 2 时，掰上存在一点聋，在该点 1 1 8 1 1 2 = 1 ( ( m 一4 p 一5 ) + ( m 一4 p s ) 2 + 3 6 p ( m p 一2 ) ) ， 或等价地， p ( ( 3 m 2 + 2 3 m 一2 3 p + s ) + ( m 一4 p s ) 2 + 3 6 p ( m p 一2 ) ) 。 最后，对于c a y l e y 射影平面上的极小超曲面做类似计算，得到定理c 定理c 设j l f 是p 2 ( c a y ) i ：的+ 个紧致极小超曲面，则肘上存在一点x ， 在该点i i b u 2 2 ，或等价地p 5 7 4 。 第一章准备工作 1 1 c a y l e y 数 第一章准备工作 c a y l e y 数【6 ，7 l ，或称为八元数，是满足交错率的8 维非结合实可除代数，记 作o 或c 町。这是一个赋范代数，范数满足i l a b i = l l a l i l # b l l ，相关联的内积 记为，- ) 。乘法单位元为1 ，将1 张成的一维线性子空间记作r e o ，其正交补记 作l m o ，每一个c a y l e y 数a 可以分解为a = a t + a o ，其中a 咒，咖i m o 。 定义a 的共轭a + = a l a o ，有( 曲) = b + 矿。进一步有a a = 他n ) ， 1 缸厶) = = ( 口b + b + 这里不加证明再给出一些后面计算重要用到的公式和性质，具体可以参见m 。 若( n ，b ) = 0 ，则 ( a b ) b = a l l b l l 2 珥b c ) = ( a c + 曲) = b 珥c ) ( c b ) 口= - ( c a + ) 6 a ( b c ) = - b ( a + c ) a c , b d ) = - ( a d ，b c ) c a y 上可以取到一组基 1 ，o ，s 1 ，2 ，“，5 ，5 6 ) ，其中 l m o1 日j = 1 f q + 1 = f + 3 ( m o d 7 ) 1 2曲率张量 在后面的计算巾我们需要用到c p 、 q p “、和p 2 ( c n y ) 上的曲率张量 表达式。 设c p “为2 ”维常全纯截面曲率c = 4 装备f u b i n i s t u d y 度量的复射影空 问，为c p n 上的近复结构，曲率张量瓦可以用以下公式表示嘲： r ( x ，r ) z = x ，z ) l ，一 ( 仉x ，z a v 一饥y , z 阢x 一2 x ，厶y 巩z ) ( 1 2 2 ) ；= i 其中x ，y ，z 瓦( q p “) 设p 2 ( c a y ) 为最大截面曲率c = 4 装备标准度量的c a y l e y 射影平面， x 为p z ( g a y ) 上一固定点，可把瓦( p 2 ( c 缈) ) 看作c a yoc a y ，曲率张量瓦 可以用以下公式表示嘲： 豆( ( 五y ) ，( 4 w ) ) ( 坞妒) = ( 4 五t 1 ) z 一4 五u ) x 一( u w ) y + ( u y ) w 一( x w z y ) v + ， - - x ( 邪) + z ( 即) + 4 ( y j v ) w 一4 w ，v ) y + u + ( x w z y ) )( 1 2 3 ) 其中0 ，y ) ，c z ，w ) ，( 珥p ) e 瓦( p 2 ( c 口y ) ) = c a y o c a y 1 3 子流形基本公式 设m 是一个维黎曼流形，肘是等距浸入到m 中的一个m 维黎曼子流 形，记p = n m 为m 的余维数。t m 与n m 分别表示m 的切丛和法丛， 约定用x ，y ，z ，w 表示m 上的切向量场，用“v 表示肘上的法向量场。肘 上的黎曼联络记为可，相关联的曲率张量记作豆，其诱导的联络和相应的曲率 算子分别记作v 和r ，b 和a 分别表示m 的第二基本形式和w e i n g a a e n 变换。有著名的g a u s s c o d a z z i r i c c i 方程，关于予流形的有关公式见参考文献 9 】。 g a u s s 方程 r ( x ，r ) z = ( 瓦r ) z ) 7 + a b c x , z ) ( y ) 一 b c 聊 ( 1 3 1 ) c o d a z z i 方程 ( 矿口) ( y ，z ；幻一( 矿b ) 暖，z ；y ) = 一( 局( x ，y ) 刃 ( 1 3 2 ) 第一章准备工作 r i c c i 方程( p 2 ) ： ( r ，y ) “v ) = ( 霄c 墨y ) “v ) + 似p 暖) ，a ，( y ) ) 一( a 。) j a p ( y ) )( 1 3 3 ) j l f 上固定一点的附近，选取的组局部单位正交标架场( 吼l f = 1 ，m ) ， 若平均曲率 h 皇三y 即瑚三o m 厶 则称j l ，是m 的一个极小子流形。若m 是极小子流形，根据高斯公式，可知 其数量曲率 p = 酏e j ) e e j ) - 2 o - 3 4 ) 对于极小子流形，j s i m o n s 1 1 证明了以下著名公式： v 2 b = 一啻一旦+ 詹+ 旦 其中： 旦y ) = 2 百( 匕啪b 暖，勺) + 2 瓦 ，e j ) b ( y ，e j ) 1 = 1 一b ( l 勺) 勺) 7 ) 一b f f , ( 百( x , 0 0 7 ) + 瓦( b ，y ) ，e j ) e j 一2 b ( 勺， ，勺) y ) 7 ) 】 对于对称空间，詹= 0 当p = 1 时，垦= 0 ，詹，b ) = i i b l l 4 当p 2 时，李安民和李济民3 1 证明了( 垦+ 雪，曰) ；i i b 0 4 ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) 第二章c p ”上的余迷向r 流形 第二章c p 月上的余迷向子流形 2 1 定义及基本公式 定义c p “上一个2 形式n ： 刁= ( ，_ ，_ ) 其中_ j 可是c p n 上的切向量场 设j l f 是等距浸入到c p 的一个黎曼子流形，若( 了 m ) “t - t m ，则称 f 是c 印的一个余迷向子流形吼其中，口m ) m 定义是对于m 上一点z ： ( 7 m ) = 1 ，er x ( c p n ) i ( 矽，w ) 兰0 ，v w f ) 易知，对于余迷向子流形，必有m p ，且上述定义等价于对于m 上任意 一点x ，有： ，( 帆m ) t - 瓦m 对于m 上任意的切向量场置y 以及法向量场肛，可作如下分解： i x = p x f x j 隹= t g 其中，蹦，m t m ，f x n m 。 于是有： p x , y ) + x ，p y ) = 0 f x , p ) + 置舡) = 0 r p 2 = - e t f ；f p = o ；p t = 0 t f c = 一e 其中e 为恒同变换。 ( 2 1 i ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 下面设m 是c 砂上的一个m 维紧致极小余迷向子流形，余维数 p = 2 n m 。由于m 是余迷向子流形，易得： b ( x ，舡) = 一f a “x ( 2 1 6 ) 厶咿) 2a v ( ，“) ( 2 1 7 ) m 上固定一点的附近，选取的一组局部单位正交标架场( 旬l i = 1 ，m ) 以及法丛的单位正交标架场 e a l a = m + 1 一m + p ) ，且满足： 第二章c p ”上的余迷向+ r 流形 e l = ，e m + 1 ，e p = ，8 m + p 在本节中，约定下标的范围： l ，五是= 1 ，m i l ，j 1 = 1 ，p f 2 2 。p + 1 一。7 ，l 诉口= m + 1 一，m + p 根据曲率的表达式( 1 2 1 ) ，可得m 的数量曲率 p = l r t t 2 + 2 m 一3 p i i b i l 2 c o d a z z i 方程： ( v b ) f f ，z ；x ) 一( 矿b ) 暖，z ；y ) = 一( 豆( 墨功z ) 。 = p y ，z ) f x 一p x , z ) f v + 2 置p y ) f z 2 2定理a 的证明 定理2 2 1 l i v b i l 2 2 p ( 仇一p ) 证明：令了 ( x ，y ，z ) = ( v b ) ( y ，z ；x ) + p x , z ) f y + ( p z y ) f z ， 利用c o d a z z i 方程( 2 1 9 ) i i t i l 2 = i i v b i l 2 + ( i i ( p e 。，勺) f + ( p e ，e m ) f 勺i j 2 + 2 ( v 曰) ( e 如e ；e f ) ，( p e 扣e j ) f e k + p e l ，) f e j ) ) = i i v b i l 2 + 2 慨f 2 je j ) 1 1 2 + 4 ( ( ( 珊) ( e i 。, p e a ；) 眠 ) 2 ，j ，口f t ，j 2 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) t 1 = i i v b i l 2 + 2 p ( m p ) + 4 ( ( v 日) ( ，p e a ；e i ，) 一p ，p e a ) f e i ，f e t ，) ) f 1 如 7 一 d ef p p m p 勺 p ，l 4一 ) ) p p 一 一 m m p p z 2 + 一 2 2 b 8 e 窜 = = 第二章c p ”上的余迷向子流形 命题2 2 1 f ( ( a v p e i ，p a p q ) ) = f ( ( p 钆e i ，p a p q ) ) 一驯 p ，a a i l 2 证明： t 1t 1t 1 ( ( p p e i ，p a t , e i ) = ( ( p a p e i ，e j ) ( p a v e l ，e j ) ) = ( ( e i ，a p p e j ) ( e 1 a _ i l p e j ) ) l 1 , 1 。i , j t 1 = ( ( a # p e i ，a t , p e ) ) f ；o p ，_ 。圻= ；( p e l , p e ；) ) + ；( p 以p e 。) ) if 一( 如p e l , p a t , q ) ) = ( p p 唧，p a v e l ) ) 一( ( 月。p e 。p a e t ) ) f 命题2 2 2 f 工k ( 2 r ( e k ，e j ) b ( e t e j ) ，口( 8 “8 k ) ) z ( 1 一p ) i i b i l 2 特另地，当p = 1 时，l j 皿( 2 r ( e ne i ) b ( e i ，e d ，b ( e i ，e d ) = 0 证明： 一 ( 2 r ( e k ，e j ) b ( e t ，e j ) ，b ( e i ，e k ) ) f ，七 = 2 ( f p 跏口( e “e j ) ) ( r e j ，口( p “p k ) ) 一( f e j ，口( 龟，勺) ) ( f e ，b ( e t ，钆) ) ) = z ( t 伽讪训啪，一；晖t 嘞即甜、l m f f 8 孤( 磊慨似喇2 叩沙即啪p ) 、1 4 j 11 4 当p = 1 时， 原式= z a ( e x ) a ( e 1 ) ) - ic t 即幽m 2 、) 第二章c p ”上的余迷向。r 流形 t 1 = 2 ( 1 i b ( e “e 1 ) i 1 2 一归( p t ，e 1 ) 1 1 2 ) j _ 一 f = 0 一 ( - b ( e t ， ( ，勺) 勺) 7 ) 一口( 吼， ( 勺) 勺) 7 ) 一2 b ( p j ( e j ) e r ) 7 】，b ( e t , e d ) - z m l l b i l 2 等号成立条件为i | 【p ，4 屯】2 = 0 ，勺) 勺) t = ( 仪，e j ) e j - ( e j ，e j ) x + ( p x , e j ) p e j q e j ，e j ) p x z ( x , p e j ) p e j ) t _ 1 = x m x 一3 x + 3 墨e j ) e j ， t 1 = 一( m + z ) x 十3 _ e j 。 一b ( 阮，勺) 勺) t ) 似 脚= w ( e j ，( e l ，e k ) e j 一( e k ，e ) e t + ( p e i ，e k ) p 勺一p 勺，e q p e l j ，七 一2 ( e i ，p e i ) p e k ) ，b ( e i ，) ) 一- i i b i f + 3 a a 酬) = z l l b l l z - 3 似缸p p ，似钆，) ， = z i i b i i - - 3 善t ”川 一s e ( p a e a e b p a e u e t ) + ；钆】| | 2 1 3 a 钮q ， 龟) + 3 龟p j 勺，) 2 ) t 1i 一3 1 1 b i l 2 + 3 ( b ( e t ，e j ，) ，b ( e l ，e j 。) ) l j， = - 4 1 1 b l l 2 + 6 b ( p ，勺。) ，日( 日，唧，) ) 故 一b ( e i ，正( 嘶) 勺) 7 ) 一b ( ( ”) 勺) 7 ) l ，j 岸 一2 b ( p j ，( 瓦( e 。勺) e t ) 7 ) ，b ( 岛，e k ) ) f 2 ( m + 2 ) i i b l 2 6 ( 8 ( e i ，勺，) ，b ( e t ，) ) 一4 1 1 b i l 2 + 6 2 ( b ( e t ，p n ) ，b ( e i ，p n ) ) = 2 m l l a l l 2 整个计算过程中仪一处出现不等号，等式成立条件即为0 【p ，a i l l 2 = 0 。 定理a设 f 是凹n 上的一个m 维紧敏极小余迷向子流彤，余维数 p = 2 n m 且满足m p 。当p = 1 时，若i i b l l 2 m 一1 或等价地， p ( m + 2 ) ( m 一1 ) 则b i l 2 = m 一1 ，p = ( m + 2 ) ( m 一1 ) 。当p 2 时，j l f 2 2 2 i i i 日 口 口 ，、，、 z 2 2 = = 第二章c p “上的余迷向r 流形 上存在一点z ，在该点i i b i l 2 ；( ( m 一4 p + 1 ) + 、( m + 2 p + 1 ) 2 - 1 2 p ) ，或 等价地，p s ；( ( 3 m 2 + 5 m 一5 p 一1 ) 一1 ( m + 2 p + 1 ) 2 - 1 2 p ) 。 注：若m = p ，则m = t t ，m 是c p 上的一个仝实子流形，关于全实子流形 的刚性定理已被研究。( 参见【l o 】) 证明：利用命题2 2 2 、命题2 2 3 以及 p y ) ，勺) 勺) ” j 一 = 2 ( 一勺，e j ) b ( x ，n + ，b ，】，) ，e j ) f e j 一2 但y ) ，f e ) ) f e j ) j = 一( m + 3 ) b 皤，l ，) 可得 ( 旦，b ) 4 ( 1 一p ) i i b i l 2 + 2 m 1 1 8 1 1 2 一( m + 3 ) i i b i l 2 = ( m 一4 p + 1 ) 1 1 8 1 1 2 汪蒽剑定理2 2 1 ，有 当p 2 时 。= ；p 哪+ ，= l i i v 硎2 t + v z b , b m l ( 2 咖刊+ ( m - 4 p + 1 ) 1 1 日1 1 2 一扣1 1 4 ) t l 由m p 及二次方稗求解可知，m 上必存在一点x ，在该点 l l s l l 2 ；( ( ，n 一4 p + 1 ) + 百磊j - 鬲7 干1 了r = 1 i _ ) 。 当p = 1 时， 。= ；p 哪+ 1 厶( 2 ( m 1 ) + ( m _ 3 ) 2 _ 训协l = l 一1 _ l i 硎2 ) ( 2 + 刚2 得到i i b i l 2 m 一1 时必有i i b i l 2 = m 一1 ，与h b l a w s o n l 4 1 的果一致。 第三章q e ”上的明元余迷向子流形 第三章妒以上的四元余迷向子流形 3 1定义及基本公式 仿照c p n 的情形，设m 是等距浸入到q p “的一个黎曼子流形，若对于 j l f 上任意一点x ，有： l ( k 肘) c 瓦ms = 1 , 2 ，3 定义这样的m 为q p 上的四元余迷向子流形，易知对于四元余迷向子流形， 必有m 3 p 。 对于肼上任意的切向量场置l ，以及法向量场p ，五可作如下分解： 厶x = b x + 最x j s i l 2 t s i l 其中，b 置pe t m ，乓x n m 。 于是有： b x ，l ，) + ( 置b l ，) = 0 乓x ，p ) + x ，k 肛) = 0 r b = 一e 一岛最；e b = o ；b k = o l 耳t s = 一n e ip 2 p 3 + t z b = p l ，p 3 p 2 + t 3 f 2 = 一p l p 3 p 1 + 3 丘= p 2 ，p 1 p 3 + h b = 一p 2 ip 1 p 2 + t t 兄= p 3 ，p 2 p 1 + t 2 日= 一p 3 i 疋p 3 = 一f 3 p 2 = f 1 ，f 3 p 1 = 一f 1 e 3 = 兄，最p 2 = 一兄p 1 = f 3 慨t 3 = 一p 3 t z = h ，p 3 t l = 一p 1 t 3 = t 2 ，p 1 t z = 一e 2 t l = c 3 其中e 为恒同变换。 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 下面设m 是q p ”的一个维紧致极小四元余迷向子流形，余维数 p = 4 n m 。由于肘是四元余迷向子流形，易得： b ( x ，k 肛) = 一f s a “x 气仉1 ，) = a v ( i s ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) j l f 上固定一点的附近，选取的一组局部单位正交标架场 e d i = 1 一，m ) 以 及法丛的单位正交标架场( e 。l a = m + 1 一m + p ) ，且满足： 龟= h e m + 1 ，e p = h e m + p 第三章q p ”上的四元余迷向，流形 e 口+ 12t 2 e m + l j je 2 p2t 2 e m + p e 2 p + l2t 3 e m + l - ，e 3 p2 3 8 m + p 在本节中，约定下标的范围： j ，= 1 ，m u , p = m + 1 ，m + p r s = 1 , 2 ，3 根据曲率的表达式( 1 2 2 ) ，可得m 的数量曲率 p = 仇2 + 8 m 一9 p i i b i l 2 ( 3 1 8 ) c o d a z z i 方程： c g b ) c v ，z ；x ) 一( r e ) c x , z ； ，) = 一( 屈( 誓l ，) z ) t 1 = 乙( ( b y ，z 乓x 一( b 置z ) 乓y + 2 ( 置b ，) 乓z ( 3 1 9 ) 3 2 定理b 的证明 定理3 2 1 i i v b i l 2 6 p ( m p 一2 ) 证明：令t ( x ，y ，z ) = ( v b ) ( y ，z ；x ) + 。( b x ，z ) s y + b x ，y ) f s z ) ， 利用c o d a z z i 方程( 3 1 9 1 归2 = i i v b i l 2 + 善( 0 莓c t b 唧，勺，乓e t + t b e “e t ，乓勺，0 2 + 2 ( v b ) ( e k , e j ；e 1 ) ，( ( b q ，勺) b e + b p “e k ) f s 勺) ) ) = l l v b l l 2 + 2 i i b 勺) 乓2 + 2 b e l ，勺) 最e 耵耳勺) 辟e “p k ) + 4 ( ( ( v 口) ( ，p s e i ；e 1 ) ，f s e k ) ) 锯 第三章q 尸”上的四元余迷向了流形 = l i v b l l 2 + 6 p ( m p ) 一1 2 p + 4 i , k 5 ( 们胁， 、 一砂蝴e h 蝴( e i 删例删) i j - = i i 阳 2 + 6 p ( m p 一2 ) t 1 4 ( ( 耳p “b e o 耳一( 耳e 幻b e l ) 弓e l f 筋 一2 ( e i ，耳e k ) 耳b e o ，b e d ) = l i w l l 2 6 p ( m p 一2 ) 一 命题3 2 1 y - i 。( 似“b p t ，b 如e t ) ) = ，( ( b 山b p 毛) ) 一；0 【b ， “】l | 2 证明： t11t 1 ( ( b 如e ，b 月p e i ) ) = 。( b 月p e i ，e j ) ( p s a p e l ，e j ) ) = ( e e l ，a p p 。e j ) ( e i ，a p g , e j ) ) 坫t，i5t i 5 = ( 似。蹈，以) ) g s ；圳2 = ；( b 厶识a u e o + 缸髓，月。) ) 一( a 。聃，b a u e i ) ) i , si , s t 11 1 = ( b a p e l ，8 a “e 1 ) ) 一 ( a p b b 月p e i ) ) i jl j 命题3 2 2 e f j , k ( 2 r ( e 如e ) b c e i ，e j ) ，b ( e “) 2 ( 1 一p ) i i b i l 2 特别地，当p = 1 时，i 肚( 2 r ( p 2 ，e j ) b ( e i ，e b ，b ( 。，) = 0 证明： 1 乞( 2 r ( e k , 勺) b ( e t , e j ) ，b ( e i , ) ) 1 1 = 2 ( ( 乓p 七，b ( e “勺) ) 乓勺，b ( e t ，p 七) 一( 层勺，b ( e i ，勺) ) b e 七，口( q ，e 缸) ) ) t ，i j 【； 1 4 第三章q p ”上的四元余迷向r 流形 = 2 ( 以岛印，月印k e 。) 一e 。8 ( e “k e 。) ) 2 ) = z f k a , p ，吣鸭矧一善僖以一) ) ) 2 ) f j 口， 2 ( y 即挪t s 拼2 一p y 似毗训2l i-一_一， 、- p jl ，5 ，“ 2 ( 1 一口1 i i b i i z 当p = 1 时， 原式= 2 ( 似( 岛) ，a ( ) ) 一( 。b ( 岛) ) ) 2 ) 、sf j ， ：2 - ( 1 l b ( e i ，岛) 1 1 2 一忙( e l ，岛) 2 ) ：o _ - 一 命题3 1 3 一叱 ( ) 勺) 7 ) 一口( 阮，o e ) 7 ) f ，j ，七 - 2 b ( e j ，( 画( 日，勺) e k ) 7 1 ，口( 龟，e k ) ) z m l l b i l 2 等号成立条件为0 【墨a 。川= 0 证明： 积，勺) 勺) t = 军( 似唧，勺一t 勺一皿+ 莓c ( p ，x , e j ) & e j - ( & e j , e j ) g x - 2 似b 勺，b 勺) 1 ， 、 s = 0 一觥+ s 莓取) t - 、 = 一( m + 8 ) x 一3 b x - 1 5 - 冈此 第三章q p ”上的四元余谜向f 流形 = 萋t b ( e “c m + e ，e * + s 莓名乓e t ) ，8 c e “， 又 = 一2 b ( 唧，唧，e k ) 勺一e b 勺) 吼 1 j ，七 = 一2 f i i b i f = 2 = 2 = 2 2 = 2 + 莓( ( b e z ，) b 勺一b 勺，e t ) b 龟一2 e “b 勺) b ) ) ，口( q ) ) 一3 - 3 3 9 乏t 螂地彩)1 a j ， ，) 酗) 沙彩一s 篆t 锄m 俐) ( n 口i | z 一9 n b 酽一。篆t 口c e t ，勺l b c 吼，k 乓唧，) 1 6 k 8 0 8 、l ， t 、j 勺 、j 勺 七 p ，l e ，、 b 一 m = k ee ( b 、l， t 、j勺、j唧 e ，l k e ，l b 一 啪 七 ee ( 日 )bk p ( 8 忡 3+ 2 b ) 8 +m ( = 七 pe ( 日 、l ， t 、， 靶 p 、j吩 p ，l r ，l唧 ，i l 口z一 啪 e ( 8 )七 p b e b( b 3+ 2 p 缸 a h p b p b a 1 a b 3 2 +e a b e a b 一 2 2 z 2 b b b b ，、，i一， 勺b k龟( 8 ) 勺 e ( 8 价 6 一 z 86l一 | i 第三章q p ”上的四元余迷向予流形 故 一b ( e l ，( - r ( e k ，勺) 唧) 7 - - b ( e k ，陬，唧) 勺) 7 ) t , 3 - k 一2 丑( 印 ( p “唧) e 。) 7 ) ，b ( ) ) t 1 2 ( m + 8 ) i i b i l 2 + 6 曰( 岛，t s f s e k ) ，b ( e i 。e k ) ) 一1 6 1 1 b i l 2 - 6 e ( b ( p “e d ，b ( e i ，乓勺) i , i j = 2 m l l b l l z 整个计算过程中仅一处出现不等号，等式成立条件即为i | 【岛a 】l | 2 = 0 。 定理b设m 是q p “上的一个m 维紧致极小四元余迷向子流形，余维数 p = 4 n m 。当p = 1 时，若l i b i l 2 1 1 t 一3 或等价地，p m 2 + 7 m 一6 则 i i b i l 2 = m 一3 ，p = m 2 + 7 m 一6 。当p 2 时，m 上存在一点z ，在该点 1 1 8 1 1 2 _ - 2 ( ( m 一4 p 一5 ) + ( m 一4 p 一5 ) 2 + 3 6 p ( m p 一2 ) ) ， 或等价地， p ( ( 3 m 2 + 2 3 m 一2 3 p + 5 ) + ( m 一4 p 一5 ) 2 + 3 6 p ( m p 一2 ) ) 。 证明：利用命题3 2 2 、命题3 2 3 以及 ( b r ) ，勺) 勺) ” 7 = 莩( - ( e j , e j ) b n + 莓觚b v ) , e j ) 乓e j - 2 ( b 功，乓勺，乓勺，) = 一( m + 9 ) b ( 置n 可得 ( 虽b ) 4 0 一p ) i i b i l 2 + 2 m l l b l l 2 一( m + 9 ) i i b i l 2 = ( m 一4 p s ) l l s l l 2 第三章q 尸”上的四元余迷向了流形 注蒽剑定理3 2 1 ，有 当p 2 时 。= ；珈刚2 ，= f m i i v 硎2 + - + v z b , b l ( 印( m - p - z ) + ( m - 4 p - 5 ) 1 1 刚2 一扣驯4 ) “ 由m 3 p 及二次方程求解可知，m 上必存在一点z ，在该点 i i 曰1 1 2 lc c m 一4 p s ) + 石i = 1 石= 1 ，r f i 苟页鬲f = 石面。 当p = 1 时， 。= ；p 啡+ 1 l ( 6 铆_ 3 ) + ( m _ 9 ) 俐2 - l | 刚4 ) 1 = l ( m 一3 一口2 ) ( 6 + i i 口2 ) 1 ，j i f 得到b 2 m 一3 时必有驯1 2 = m 一3 ，与h b l a w s o n 吲的结果一致， 第四章p2 r 印口上的极小超i j 面 第四章p 2 ( c a y ) _ 1 2 的极小超曲面 4 1 基本公式 设j l f 是等距浸入到p 2 ( c a y ) 的一。个极小超曲面，对于j i f 上固定一点 ，将k p 2 ( c a y ) 视作c n y o c 口y ，选取一组局部单位正交标架场 吼= ( e “鱼) i f = 0 , 1 ，l s ) ，且满足： e o = ( 1 ，o ) e o 上| i ， 8 = ( 6 f l ，0 ) 1 i 7 e 8 = ( o ，1 ) e f = ( o ，旬一9 ) 9 f 1 5 在本节的其余部分，若无特别说明，约定下标的范围：， k ，i = 1 ，1 5 令b ( e t ，e d = h qe o ，其中h i j = 吗l 根据曲率的表达式( 1 2 3 ) ，可得m 的数量曲率 p = 5 7 6 一i i b i l 2 ( 4 1 1 ) c o d a z z i 方程： ( v 日) ( ( z ，w l ( u ，妒) ； ，y ) ) 一( v 口) ( ，y ) ，( u ，p ) ；( z ，w ) ) = ( 一u y ，w + ( u w ，y ) + 删一z y , 妒) ，0 ) ( 4 1 2 ) 4 2定理c 的证明 定理4 2 1 i i v b i l 2 1 1 2 证明：令 7 ( ，y ) ，( z j w ) ，( 1 l ，妒) ) = ( v 日) ( ( z ，w ) ，( 1 l ，妒) ；y ) ) + ( u ”w ) + ( 研、，) ，o ) 第四章p 2 恸j 上的极小超曲面 利用c o d a z z i 方程 了 2 = v 引1 2 + ( ( t 鱼，自) + ( 白刍，虫) ) 2 ，i , k + 2 ( ( v s ) ( e j ，；e f ) ，( e k 刍，g ) + ( 白刍，曼k ) ，o ) ) ) = 2 + 2 缸蛐) 2 + 4 ( ( 驰) ( 帅；岛) ，( 钮，鱼) 0 ) ) ) t , j t k t , 1 ，k 71 5 = i | v b | 1 2 + 2 7 8 + 4 ( ( 驰) ( 印( 州白蚰垃脚j ( 1 ，0 ) ) ) j = 1i ，r 2 8 71 5 ：i i v s i l 2 + 2 7 8 + 4 y y ( ( v 口) ( 勺，( o ，白刍) ；唧) ，( 1 ，o ) ) ) _ 一_ 一 j 2 1 1 = 8 = h 矿b 2 + 2 7 8 ( ( 矿口) ( ( o ，) ，( o ，白旦) ；( 白，o ) ) 一( ( 白璺，白互) jo ) ，( 1 ，o ) ) = 矿b 2 + 2 7 8 4 7 8 = f | 矿曰2 1 1 2 命题4 2 1 ( r ( e k ，e j ) b ( e i ，e j ) ，b ( e i ，e k ) ) = 0 证明：由于9 五一血_ e 7e l m o 瓦( 8 be j ) b ( e i ，e d ，b ( e i ，) ) = h , j h 投( ( 白区一虫笃，白虫一k 9 ) ，( 1 ，o ) ) ) = h q h 圾( ( 9 五一虫g ，1 ) ) = 0 2 0 坫汹 ，一 4 第四章p 2 r 印口上的极小超曲面 命题4 2 2 一口( ( 唧) 勺) 7 ) 一b ( ，勺) 唧) 7 ) ，b ( e i ，) ) l ，j ，r 1 5 1 5 ：6 4 1 1 b i i z + 6 yy ( ，l 擅) z j ：- - jj 【j 证明： = ( 4 e 如白) 白- 4 ( e j ，白) 缸一( 白9 ) 五+ ( 白鱼) 茑一0 蠼，一白刍) 笃，一篚( 白9 ) + 可( e k g ) + 4 ( 缸，9 ) 9 - 4 ( _ e j ，9 ) 虫+ 可( 缸9 一白虫) ) = ( 4 e k 一2 8 , k 一8 氏，4 e _ k 一3 2 e _ k 一7 毁) = ( - 3 2 e b - - 3 5 e _ k ) 因此 一b ( e i ， ( 哟) 勺) 7 ) 一b ( ( 勺) 勺) 7 ) ，咻e d ) l ，j ，r = 2 ( 日( ( 3 2 鲫5 虫) ) 盹，e d ) 1 51 5 ：6 4 1 1 8 1 1 2 + 6 yy ( ，l k ) 2 j 二j j 命题4 2 3 证明： 71 5 h i k h “a 妲i 恕) 一6 ( _ l 玎) 2 i = 1j = 8 h m h “弛船) = 一h i , h i 艚白 j ，j _ 8k , 正- - - 1 j ik * l - 2 l - 勺、j勺 七 e ，l r ，闩 ，嚣 坫霄 ，y箍川 蛞y 息哟 第四章p 2 r i 圳上的极小超曲面 注意剑基的选取方式，制成乘法表： 血刍虫oe _ l