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非负矩阵与算子方程 郑艳萍 摘要本文研究的内容分别涉及到非负矩阵和算子方程的有关内容非负矩阵 理论产生于2 0 世纪初，随着这一理论的迅速发展，现在已成为现代数学中的一个 重要分支它与物理学，线性系统，经济学和概率统计甚至社会科学以及其他一 些数学分支都有着密切联系近年来，国内外诸多学者对非负矩阵理论深入研究 和推广，并不断提出与非负矩阵相关的诸多新的研究方向例如，完全正矩阵， 完全负矩阵，余正矩阵等概念先后被引入，目前这些有关非负矩阵的课题得到了 相当广泛的研究 算子方程历来是数学研究中较活跃的分支之一对于算子方程，人们较多关 注的是算子方程的求解问题以及方程解的性质等这些对于解决实际问题有很重 要的意义 本文共分四章，具体内容如下： 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和以后各章要用到的一些 定理等第一节介绍了不可约非负矩阵，置换矩阵，外围谱，谱子集及有界线性 算子等概念第二节主要给出一些熟知的定理如著名的p e r r o n - f r o b e n i o u s 定理 等 第二章首先给出了具有p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质的矩阵的刻画，即：若a 耙“，则下列性质等价( i ) a 和a t 具有强的p e r r o n - f r o b e n i u s 性质；( i i ) a 是 最终正的；( i i i ) a t 是最终正的其次，讨论了上述矩阵中类似于不可约非负矩 阵的一些性质最后讨论了具有p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质的矩阵的扰动问题 第三章首先对完全正矩阵进行了讨论，得到双非负矩阵是完全正矩阵的一个 充要条件，即，设a = ( o 订) d n n n ，如果a = 了叮t ，那么a g r 当且仅当存 在m 个非零向量z l ，z 。s ；使得下式成立。2 1 z + z 2 霹+ + z 。茹。t = 厶， 其中，t 是k n ( k = r a n k ( a ) ) 实矩阵其次，给出一定条件下，a = a ”的充要 条件，其中a 是可约非负矩阵即：若a 0 是可约的且r ( a ) = 1 ，则a a n = 0 当且仅当存在一个置换矩阵p 使得下式成立： fa n 0 0 尸a p t ：1 0 a 2 2 o i 1 i o “j 其中，对所有的1 i r ，a “是不可约的且满足勰= a 协 第四章研究了无穷维h u b e r t 空间上算子方程x a a x = x pf 1 p o ) 而a r 表示 矩阵a 的转置n 维向量z = 慨) p 是非负的( 正的) 是指6 0 慨 o ) 定 义s g n 。= ( s g n 矗) ，其中， ，j 1 靠= 0 ， 测产i 禹6 0 向量e 表示舯中的单位向量( 1 ，1 ，1 ) ，e 表示单位元的h 次方根( h 1 ) 而 向量 1 0 向量h = ( i & i ) 中m 一， 一1l 毫i 向量h = ( | 矗i ) 中m = 一， 其中，m = ：s g n x 且 = 0 ，1 ，h 一1 用符号 表示由z 。生成的理想在坐 标相乘和相加运算下，是具有单位元e 的可交换的b a n c h 代数而中的 理想是具有如下形式的向量空间；j n ：= z c ”：矗= 0 ，i 日 ，其中日是集 合 1 ，2 ，n ) 的任一子集 设h 是复可分h i l b e r t 空间，层) 表示咒上的全体有界线性算子设算子 a 8 ( m ) ，a ( a ) ，( a ) ，n ( a ) 和r ) 分别表示算子a 的谱，零空间，值域和谱半 径设朋为h 的闭子空间，则用符号川上表示其正交补子空间如果a a ( a ) 是a ( a ) 的一个开闭集，则称它是算子a 的谱子集e _ ( 盯) 表示算子a 关于谱 子集盯的谱投影显然，o - 是a 的谱子集当且仅当a ( a ) a 也是a 的谱子集 3 1 1 基本概念 p t a p ( a 1 三) ， p t a p = ( a l 二) ， c + ， 脚) = 熹l ( a i - a 尸氓 4 其中a ( o ) 是闭的可求长曲线且使得盯在a ( o ) 的内部并且a ( a ) 盯在a ( o ) 的外 部 众所周知，如果盯0 ，那么点_ ( 盯) 是非零幂等元 1 2 基本定理 命题1 2 1 【1 1 设a 0 和r = r ( a ) 则下列条件等价： ( a ) a 是不可约的； ( b ) p 是不可约的； ( c ) r 是a 与a r 的单特征值，并且a 与a t 都有属于r 的正特征向量； ( d ) 对任意的z 0 ，a r 7 ( a ，一a ) - 1 z 0 命题1 2 2 【1 l 设a r “”，若a 0 是不可约的恤2 ) ，则r ( a ) 0 及 r ( a ) 1 a 对角相似于一个随机矩阵 命题1 2 3 1 1 设a 靴“，且a 0 是不可约的2 ) ，则 r ( a ) m a x t 0 或a 20 ，就称矩阵a 是最终正的( e v e n t u a l l yp o s i t i v e ) 或最终非负的( e v e n t u a l l yn o n n e g a t i v e ) 引理2 1 4 1 1 】设a 是谱半径为1 的r l 阶矩阵若 = 1 是a 的豫解式r ( a ) 的 一阶级点，且a 的外围谱只有1 这一点，则a = p + b ，其中，p = 1 i m h l ( a 一1 ) 只( a ) 是a 关于a = 1 的r i e s z 投影，且满足p b = b p ，r ( b ) 1 7 证明由于r ( a ) 是豫解集上关于a 的解析函数，且谱中孤立点a = 1 是 r ( a ) 的奇异点，因此，r ( a ) 能在a = 1 处展成关于a l 的罗朗展式即： 00 r ( a ) = ( a 一1 ) ”a n + ( a 一1 ) - n b n ， 01 其中 a 。= 熹上( a - 1 ) “。( a 卜妒1 氓 取= 丽1 上( a - 1 ) ”1 ( a i - a ) _ 趴 这里的f 是以l 为圆心，h 为半径的逆时针闭曲线l a 一1 l = h ，0 h 6 ，其中 6 是使得盯( a ) e e l , 了a = l 外其他点都落在i a 一1 1 = 6 上或者其外那么 ( a 一1 ) r ( a ) = ( a 一1 ) 协 0 1 ) “a + ( a 1 ) ( a 1 ) 一”b n 又因为a = 1 是a 的豫解式r ( a ) 的一阶级点，所以 ( a 一1 ) r ( ) = q 一1 ) q 一1 ) ”a 。+ b t 0 因此。h m 一1 ( a 一1 ) r ( a ) = 1 i m - + 1 茅( a 1 ) n + l a 。+ b 1 = b 1 显然，b 1 是a 关于a = 1 的r i e s z 投影令b 1 = p 在空间分解= r ( p ) 4 - n ( i p ) 下( 阜 指代数直和) ，容易看到 p = ( ：) 根据 a p = h m 1 【一( a 一4 ) + 州( a 1 ) r ( a ) = p 和 p a = l i m 。1 ( a 一1 ) r ( a ) 【一( a a ) 十刈= p 在与p 相同的空间分解下，- i 得 a = ( 名1 三。) 8 直接计算，知 a = ( ：n 因此， a = ( ：) + ( ：三。) 设( ：乏) 姐又因 = 是与豫解式的一阶级点，并且谱中模为的点只 有a = 1 这一点所以，r ( b ) 0 1 引理2 1 5 设a r “，则r ( a ) 一r ( a r ) 并且如果a 是盯( a ) 中唯一模为 r ( a ) 的点，则a 是盯( a r ) 中唯一模为r ( a ) 的点 引理2 1 6 设。，础，那么z 0 y 是幂等矩阵当且仅当x t y = 1 定理2 1 7 设a 时“，如果a a t = a r a ，则下列性质等价； ( 1 ) a 具有强p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质； ( 2 ) a 是最终正的 证明( ( 1 ) = ( 2 ) ) 因为a 具有强p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质，所以它的特征值 能进行如下排序： a l l a 2 i i a 。i 由a a t = a t a ，可得 a = 九只， 其中，只是从到a f ( a 一九j ) 的投影，对所有i 五1si ，j 几，有只弓= 蜀只= 0 取 只且对所有1 is 几，令i l i d l = 1 可取 0 ，使得 a l l = a l l l 令 勺) 譬- 是c ”的正规正交基对所有的1 j n 和某一正整数 惫，我们考虑a e j ，对每个j ， 勺一窖 ， 其中= ( e j ， ) 由于 0 ，故c = ( 勺， ) 0 于是当一o o 时， a 勺一c 故存在瑞使得警 0 若取k 0 = m a x l 0 由正矩阵的p e r r o n - f r o b e n i o u s 定理，由a k 0 ，我们可得到 r ( 4 七) 是正的，并且小的外围谱只有r ( a ) 由谱映射定理，可知，a 具有强 p e r r o n - l y o b e n i o u s 性质 证毕 注2 1 2 对一个实的n n 矩阵a ，由a 具有强p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质，并 不能由此断定a r 也具有强p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质 例如：我们令a = ( 。13 2 ) 通过计算可知a l = 1 ，a 2 = 3 是a 的两特征值显然，( 1 , 1 ) 是特征值a 2 = 3 的一 个特征向量这说明矩阵a 具有强的p e r r 。n - f r o b e n i o u s 性质而a t = ( ：0 3 ) 通过计算可知a 1 = 1 ，a 2 = 3 是a 的两特征值而其a 2 = 3 的所有特征向量都与 向量( 0 ，1 ) 线性相关这说明矩阵a r 并不具有强的p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质 下面的定理说明如果一个实n 死矩阵是正规的，则a 和a t 同时具有强的 p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质 定理2 1 8 若矩阵a 珏2 一”是正规的，则a 具有强的p e r r o n - n o b e n i o u s 性质当且仅当月也具有 证明 由a 具有强的p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质，可知它的控制特征值a l 0 ， 且a 的外围谱只有a 1 并且存在一个正向量z 使得a z = a - 。由谱映射定理可 知，a 1 是a t 的控制特征值，并且a r 的外围谱只有a 1 由a 正规可知a a j 】0 舻o，q 。湖 + 世 薯 世 。：ic 日 = ，q 世 l l ， 一 蠡筒删些岬 = i m 勺 协 一 沁 h 为因 也是正规的因此，一a 丁) = n ( a r 一 n 这表明存在一个向量。 o 使得 若( a a j ) z = 0 ，则( a t m ) x = 0 这就证明了一具有强的p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质 充分性是显然的因为( f ) t = a 证毕 下面的定理2 1 9 ，是 2 】中定理2 2 ，但是在本文中用与【2 】中完全不同的算子 论方法给予其更简洁的证明 定理2 。1 9 设a 舻“，则下列性质等价， ( i ) a 和印1 具有强的p e r r o n - f r o b e n i u s 性质； ( i i ) a 是最终正的； ( i i i ) p 是最终正的 证明 ( ( i ) 辛( i i ) ) 因为a 具有强的p e r r o n - f r o b e n i u s 性质，由定义2 1 2 ， r ( a ) 0 不失一般性，可假定r ( a ) = 1 由引理2 1 4 可知，a = p + b ，其中p 是关于r ( a ) = 1 的i 珏e s z 投影同时，有p b = b p = 0 和r ( b ) 0 ，若a 是谱半径为1 的幂等矩阵，则a = z 圆y ，其中 x ，y 是正的单位向量且满足a x = 。，a 7 y = y 下面我们给出推论2 1 2 的另外一种证明 证明设a = ( ) 。正矩阵，我们用a ( 1 i n ) 表示矩阵a 的列向 量因为a 是幂等的，所以我们有a ( a 1 ，a 2 ，a 。) = ( a l ，a 2 ，a 。) 显然， a a i = a t 因为a 是正矩阵，因而是不可约的所以r ( a ) = 1 是a 的豫解式的一 阶级点且其特征子空间所对应的代数重数是l 因此a 是一秩矩阵由a a = a ； 可知，a = z 0 因为a 是幂等的正矩阵，所以z ，y 是正的单位向量且a x = z ， a t y = ， 证毕 2 2r e 矩阵的性质及扰动 定义2 2 1设a = ( a j ) r ，“”，看对所有i = 1 ，几u = 1 ，扎) ，有 e j l i 啦j = 1 ( ：。啦，j = 1 ) 或等价于a e = e ，( a t e = e ) 那么我们称a 为广义行 ( 列) 随机矩阵 定义2 2 2 【3 】若a p 兄，我们把形如对所有q r ( a ) ，b = j a 的b 称为伪一m - 矩阵( p e s o d u - m - m a t r i x ) 定义2 2 3 1 1 】设a 0 是n n 矩阵，如果理想jcc n 满足a jcz 则称 j 为a - 理想若j o 且j c “，则称j 是非平凡的 引理2 2 4 雌论2 1 1 】设a p “，则a p r 当且仅当在空间分解 c n = 一，) 4 - 冗似一j ) 下a 具有下列算子矩阵形式 a = ( + ( 麓) 其中，r ( a 船) o ) ，若对任意的非零向量y 满足( z ，y ) 0 ，则矩阵 b = a + o ye 0 具有p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质而对于谱半径下式成立 r ( a ) 0 若晚表示以& 为对角线的对 角矩阵，令s = 巧1 r ( a ) a d 。，则由a x = r ( a ) x 有s e = e 因此，s 是广义行 随机矩阵 证毕 性质2 2 9设a 础“，若a t 具有强p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质且满足 a r y = 柚( y 0 ) ，若存在向量。0 使得a z = a z ，则a = r ( a ) 证明显然，( a z ，y ) = r ( a ) ( z ，y ) = ( 。，a 勺) = a ( z ，) 因为y 0 且z 0 ， 所以( z ，g ) o 因此，) 、= r ( a ) 证毕 性质2 2 1 0 若a 眇一，如果a 是不可约的，则a t 也是不可约的 证明对于任何理想jcc “和它的极j o = z ：( x ，z ) = 0 ，z j ) 显然， a jcj 当且仅当a t j ocj o 并且，j 是非平凡理想当且仅当j o 也是 】3 证毕 性质2 2 1 1 若a p f n ，如果a 是幂等的，则a 是a f ( a i ) 上的投影 证明 根据引理2 2 5 ，在空间分解c n = a f ( a j ) + n ( a 一，) 下， a = ( 心) 因为a 是幂等的，所以a 2 2 是幂等的由r ( a 2 2 ) 0 因为b p e n ， 所以存在某整数m o 使得对所有整数m r n o ，有b ” 0 取n = m 腻 k o ，m o ) ， 那么对所有整数n n ，有小 0 及b ” 0 矛盾! 证毕 下面的定理2 2 1 3 是【3 】中定理8 但本文应用与 3 中完全不同的算子理论 及算子分块方法给出其证明值得一提的是本文中的方法能更容易看清所研究矩 阵的几何结构 定理2 2 1 3若b 是伪一m - 矩阵，则b - 1 p r 证明因为b 是伪一m - 矩阵，所以存在o r ( a ) 和a p f 使得b = j a 由a p r ，故在空间分解= h ( a 一，) 4 - n ( a 一，) 下，a 具有如下的算子矩 阵形式 a = ( 言n 对任意的a r ( a ) ，显然，c d a 可逆因此 a ，一a = ( 。i 1 a ，! a 2 2 ) 与 卅= ( 寺戈。) 由谱映射足理可知， r ( ( a ，一4 ) 。) 2 击 及 r ( ( 。j a 2 2 ) 。1 ) 击 显然，在上述空间分解c “= ( a 一，) + 冗( a i ) 下， 卜们= ( 皓0r ，喇0 - 1 ) 。) 那么 r ( ( 口卜a ) 。1 ) 2 击 且 r ( ( 。，一a 2 2 ) 。1 ) 0 ) 同时成立，那么 一定存在属于r ( a ) 正向量更进一步，若存在一正向量y o 豫一使得对所有正整 数k ，有( a t ) 。y osr ( a ) 。y o 成立，则a 具有强的p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质 证明由性质2 2 1 1 ，可得a x = r ( a ) x 由引理2 2 5 ，可知由 z ) 生成的理 想是a 一不变的因为a 是不可约矩阵，所以z 0 若存在一正向量y 0 即使 得对所有的七1 ，有( a 了) y o r ( a ) y o 成立，应用c n e u m a n n 展式，可得 ( a r ( a ) ) r ( a ) r y o 墨y o ( a r ( a ) ) 因此，若a r ( a ) 成立，则( a ，一r ( a ) ) r ( a ) 一致有界所以a = r ( a ) 是豫解式 的简单极点因此，a 具有强p e r r o n - f r o b e n i o u s 性质 证毕 下面考虑p r 矩阵的扰动问题 在文【3 】3 中，作者提出了这样一个问题【8 3 】：若a p r ，e 0 ，是否能得出 a + e p r ? 本文对这个问题做出了部分的肯定回答 定理2 2 1 5设a p r ，e 0 ，若满足下列情形之一，则a + e p r 1 若a e = e a = 0 ，则a + e p f n ； 2 若e = y ，其中，a 。= r ( a ) x ，a t y = r ( a ) ； 3 若a e 0 和e a 0 ，则a + e p r 证明( 1 ) 若a p r ，则存在某正整数，使得对所有的整数k k o ， a 2 0 因为a e = e a = 0 ，所以( a + e ) ”= a ”+ 驴对所有的整数k ， 有a b 0 成立因为e 0 ，所以驴0 因此，+ e ) “ 0 所以，由定理 2 1 1 0 ，a + e p r ( 2 ) 由引理2 2 6 可知。上述情形成立 ( 3 ) 显然 1 6 第三章完全正矩阵及非负矩阵的n 次幂等性 3 0 引言 完全正矩阵( c o m p l e t e l yp o s i t i v em a t r i x ) ( c p 矩阵) 在组合或图论分析( 1 6 1 ) 的研究中起着重要作用，与它密切相关的余正矩阵( c o p o s i t i v em a t r i x ) ( c o p 矩 阵) 在控制论( 2 0 ) 中也起着很大的作用h a i l 1 7 1 在1 9 8 5 年开创了这两种矩阵 在上述领域的应用完全正矩阵是由m o r d e l l 在 2 6 中提出的，起源于由m o r d e l l 在 2 6 】中提出的问题： 试找出实常数a 1 ，a 2 ，a 。使得对， n n n a l 2 + a 2 x i x i + 1 + - - a n 墨珥n _ l 0 ， i = li = li = 1 所满足的条件，其中，z 。“= 墨并由d i a n a n d a 在【1 3 】中简化为如下形式：对 任意的z l ，z 2 ，z 。c ”，试确定实二次型q ( x 1 ，z 2 ，。) 的非负性 若一个实二次型q ( x l ，z 2 ，。) 对任意的非负向量z = ( z 1 ，地，z 。) t 础( ”r 代表转置) ，满足下列条件t q ( x ) ：= q ( z l ，t 2 ，z 。) 0 ，( 3 0 1 ) 则称式子( 3 0 1 ) 为c o p 形式因此，与其相对应的对称矩阵就叫作c o p 矩阵 若q ( x ) 是正定的且其每个系数都是非负的，就称q ( x ) 是双非负的( d n n ) 而与 其相对应的对称矩阵就叫作d n n 矩阵若q ( z ) 能分解成如下形式： q 0 ) = 三i 0 ) + l 2 ( x ) + + l 轰( z ) ，( 3 0 2 ) 其中，厶( z ) 是关于竹个变量x l ，x 2 ，的非负的线性形式，i e ，l i ( x ) 能写 成 厶( t ) = b i l x l + b i 2 x 2 + + b i n x 。，b q 0v j = l ，2 ，- 一，礼，( 3 0 3 ) 则称它为完全正的( c p ) 与其相对应的对称矩阵就叫作c p 矩阵，并且使得 ( 3 0 1 ) ，( 3 0 2 ) 成立的最小整数m 被叫作q ( x ) 的分解( c p r a n k ) 指标h a l l 和 17 n e m n n n 在【1 8 】证明了c p 类和c o p 类形式是互为对偶的凸锥在1 9 6 2 年， m a x f i e l d 和m i n c 在 2 5 】中应用矩阵理论证明了若一个矩阵的阶数小于5 ，则它 是c p 矩阵当且仅当它是d n n 矩阵同时他们也给出反例说明了一个矩阵在阶 数大于4 时，上述结论不成立1 9 8 8 年，k a y k o b a d 在【2 1 】中已证明所有的对 称非负的对角占优矩阵都是c p 矩阵在1 9 9 4 年，d r e we ta 1 在【1 4 j 中指出 如果一个对称菲负矩阵若其友矩阵是m 一矩阵，则它是c p 矩阵在1 9 9 1 年， a n d o 在 8 中指出一个对称的t o t a l l yp o s i t i v e ( 所有主子式大于0 ) 矩阵是c p 矩 阵同时，b e r m a u 及其研究组在【1 0 - 1 2 给出完全正矩阵的图论解释并指出任 何d n n 实现的图是c p 图当且仅当c p 图中无长度超过3 的奇圈读者可查阅 8 】，【1 9 】，【2 2 ，【2 4 】， 2 7 - 3 0 而对所有a c p , ，其分解指标的确定要比对矩阵本身的 研究要难得多因而也更需要技巧显然，。若a c r ，则c p r a n k ( a ) r a n k ( a ) h a n n a 和l a i f e y 在【1 9 】中已证明下式成立， 。p 。a n k ( 舢坐掣一 其中，七= r 壮k ( ) ，n 是矩阵a 中非对角线的0 元素的个数d r e we ta 1 在 1 4 1 中提出如下猜想： c p r a n k ( a ) s 肖v a g r l o e w y 和t a m 在 1 6 】中证出任何图像不完备的5 5c p 矩阵的分解指标小 于7 另外的关于分解指标的结果可查阅【9 ，【1 5 】， 2 9 设a 舻“，a 指a 的伴随c p n ( d n n n ) 表示所有的c p ( d n n ) 的集合 或锥由( 3 0 2 ) 和( 3 0 3 ) 可知矩阵a c p 当且仅当a 能进行如下分解： a = 6 1 6 + 6 2 磅+ + h 6 三( 3 0 4 ) 其中，6 j 鼢( j = 1 ，2 ，m ) 是非负的把方程( 3 0 4 ) 矩阵a 进行一秩表示， 则 a = b t b 。 ( 3 0 5 ) 其中，b = b 1 ) 一，h 】t 是m n 非负矩阵因此 c p r a n k (