（工程力学专业论文）平面曲管Stokes流问题中的哈密顿体系方法.pdf

大连理1 ：火学硕士学位论文 摘要 在生物力学：环境工程、化学工程等领域，许多问题都可以归结为s t o k c s 流动问题， s t o k e s 流作为其中一个典型的流动形式，一直备受关注和研究。虽然研究该问题的方法 很多，但存在某些局限性。因此，研究此类问题有科学意义和工程应用价值。 本文将环向坐标模拟为时间，借助于耗散能原理将哈密顿体系引入到极坐标系下 s t o k e s 流问题。在哈密顿体系下，将问题归结为本征值和本征解问题。利用辛本征解空 间的完备性和共轭辛正交归一关系，使得原问题的解由本征解展开得到。对于简单边界 条件可得到原问题的解析解，对于复杂边界条件问题可用其表达式对问题进行半解析求 解。从而针对原问题建立了一套封闭的求解问题方法。 在哈密顿体系下，讨论板驱动腔体的流动和管道内的入口流动问题。借助于辛本征 解的辛共轭辛正交归一关系，将微分控制方程和边界条件的基本问题化为代数方程问 题，从而形成一种辛数值方法。通过数值计算，得到了流场的流线图、速度矢量图、绝 对速度等高线及涡量等高线，在此基础上，分析了曲管内s t o k e s 流动机理、端部效应等 特点。 研究表明，零本征值本征解描述了基本的流动，而非零本征值本征解描述了出入口 边界对内部流动的影响。研究结果同时说明哈密顿体系方法能够有效的解决平面曲管内 s t o k e s 流问题。 关键词：曲管；s t o k e s 流；哈密顿体系；辛本征值；辛本征解 平面曲管s t o k e s 流问题：；| 的哈密顿体系方法 am e t h o do fh a m i l t o n i a ns y s t e mf o rs t o k e sf l o wi nt h e p l a n a rc u r v e dt u b e a b s t r a c t t h e r ea r em a n yp r o b l e m s ，w h i c hc a nb er e d u c e dt os t o k e sf l o w ，i nb i o m e c h a n i c s ， e n v i r o n m e n te i l 百n e e r i n g ，c h e m i c a li n d u s t r ye t c n es t o k e sf l o wi nat u b ei sat y p i c a lm o d e l a n d h a sb e i n ga t t r a c t e dw i d e l ya t t e n t i o na n ds t u d y s of a r , t h e r ea r em a n ym e t h o d sf o rs o l v i n g t h ep r o b l e m ，h o w e v e r , t h e s em e t h o d sa r el i m i t e di ns o m ep r o b l e m t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n t t oi n v e s t i g a t et h ep r o b l e mi ns c i e n c ea n de n 酉n e 料i n ga p p l i c a t i o n i nt h i sp a p e r , t h ea n g u l a rc o o r d i n a t ei st a k e ni na n a l o g yt ot h et i m e ，a n dh a m i l t o n i a n s y s t e mi si n t r o d u c e dt ot h es t o k e sf l o wp r o b l e mu n d e rp o l a rc o o r d i n a t e s ，w h i c hb a s e do nt h e e n e r g yd i s s i p a t i o n i nh a m i l t o n i a ns y s t e m t h ef u n d a m e n t a lp r o b l e mi sr e d u c e dt ot h e p r o b l e mo fe i g e n v a l u e sa n de i g e n s o l u t i o n s b e c a u s eo ft h ec o m p l e t e n e s so fe i g e n s o l u t i o n s p a c ea n ds y m p l e c t i cr e l a t i o n s h i p so fa d j o i n to r t h o - n o r m a l i z a t i o nf o re i g e n s o l u t i o n s ，t h e s o l u t i o nc a nb ee x p a n d e db yal i n e a rc o m b i n a t i o no fe i g e n s o l u t i o n s f o rs o m es i m p l e b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e dd i r e c t l y a n df o rs o m e c o m p l i c a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h es e m i - a n a l y t i c a ls o l u t i o no f t h ep r o b l e mc a nb ee x p r e s s e d t h ec l o s em e t h o do ft h es y m p l e c t i cs y s t e mi sp r e s e n t e d i nh a m i l t o n i a ns y s t e m ，p r o b l e m so ft h el i d - d r i v e nf l o wi nt h es e c t o r i a lc a v i t ya n d e n t r a n c ef l o wi nt h ec h a n n e la r ei n v e s t i g a t e d b a s e do ns y m p l e c t i cr e l a t i o n s h i p so fa d j o i n t o r t h o - n o r m a l i z a t i o nf o re i g e n s o l u t i o n s ，t h ep r o b l e mo ft h eg o v e r n i n ge q u a t i o n sa n dt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n si sr e p l a c e db ya l g e b r ae q u a t i o n s a tt h es a m et i m e ，as y m p l e c t i c n u m e r i c a lm e t h o di sp r e s e n t e d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h es t r e a m l i n e s ，t h ev e l o c i t yv e c t o r s ， t h ev e l o c i t yc o n t o u r so fa b s o l u t ev e l o c i t ya n dt h ec o u n t e r so fv o r t i c i t y t h em e c h a n i s m ， c h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ee n de f f e c t so ff l o wa r er e v e a l e db yn u m e r i c a la n a l y s i s n er e s e a r c hr e s u l t ss h o wt h a tz e r oe i g e n v a l u es o l u t i o n sd e s c r i b et h ef u n d a m e n t a lf l o w a n dn o n z e r oe i g e n v a l u es o l u t i o n sr e v e a lt h el o c a le f f e c to ft h ef l o w n er e s u l t sp r o v e dt h a tt h e m e t h o do fh a m i l t o n i a ns y s t e mi se f f e c t i v ef o rs t o k e sf l o wi nt h ep l a n a rc u r v e dt u b e k e yw o r d s ：c u r v e dt u b e ；s t o k e sf l o w ；h a m i l t o n i a ns y s t e m ；s y m p l e c t i c e i g e n v a l u e ；s y m p l e c t i ce n g i n s o l u t i o n i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 学位论文题趴一叠! 塑塑塑竺壅兰唑塑垡鍪塑塑兰 作者签名： 查鳞 日期：二竺五年上月l 日 大连理r t 大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：翌塑丝竺竺型丝塑塑壁兰 作者签名：壅燮日期：丑年三月乙日 导师签名 ：毛隽毒g 卜 日期：迦幸年1 月一日 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1引言 随着化学工程、环境工程、采矿工程、物理化学、生物力学、地球物理、气象学等 领域科学技术的发展，s t o k e s 流理论得到更加广泛的应用，同时科学技术的不断进步对 s t o k e s 流理论的发展提出了更高的要求。 早在1 8 5 1 年，英国力学家s t o k e s 就解出了圆球在无界粘性流体中作缓慢运动的精确 解。然而在此后的一百多年间，能够求解的s t o k e s 流问题的数目依然相当有刚1 1 。尽管 在此期间，s t o k e s 流问题也一直是诸多学者的研究对象，但是除了少数简单的问题可以 对s t o k e s 方程组直接求解以外，大部分的解析方法都是采用消元法，是一类变量解法。 从数学体系的角度来看，一类变量的求解属于拉格朗日体系的解法，因此不可避免的导 致高阶偏微分方程求解困难，使得分离变量法以及本征函数展开法等有效的数学物理方 法未能对此问题妥善的解决。 哈密顿体系具有无限维相空间特征，是数学和力学中的经典理论，向许多现代物理 问题的研究注入了新的活力。近年来哈密顿体系方法被广泛应用于多个学科的研究工作 中，如弹性力学、量子力学、最优控制、流体力学等，并取得了可喜的成绩。钟万勰【2 3 】 将哈密顿体系引入到弹性力学的研究中，建立了弹性力学求解辛方法，开辟了弹性力学 问题直接求解的新途径。徐新生【4 】将哈密顿体系引入到浅水波问题的研究中，并在其后 的研究工作中【5 - 7 1 和王尕平”1 进一步讨论了哈密顿体系在流体力学中的应用。 基于上述理论基础，本论文开展了对平面曲管内s t o k e s 流动问题中哈密顿体系方法 的探讨。 1 2 s t o k e s 流概述及研究意义 在粘性不可压缩均质流体问题中，特征雷诺数的定义具有重要的意义，其表达形式 为：r e = u l v ，其中u ，l 分别表示所研究问题中的特征速度和特征长度，z 表示流 体的运动学粘度系数，公式表征迁移惯性力与粘性力的大小比值，所以在特征速度和特 征长度的乘积极小而远小于粘度系数，也即是r e o 时，问题可简化为准定常，而对于 定常或准定常问题，我们可以进一步忽略局部惯性力项，也即是认为速度不随时间变化， 这样一来就得到了s t o k e s 方程，通常将满足此方程的流体运动称作s t o k e s 流动。 尽管s t o k e s 流方程的是n s 方程在r e o 的极限情况下得到的，但是任何真实的流 动其雷诺数都不能够严格的等于零，也就是说其中总会或多或少地有惯性力的影响。科 学家们实验表明，对于单个微粒在无界流体中的定常运动来说，s t o k e s 流动理论的结果 平面魏管s t o k e s 流闷题中的哈密顿体系方法 在r e ( o 1 时即能较好的成立疆】。所以s t o k e s 方程的应用范围并不像其严格简化的那样保 守。 由于精确解和解析解在稳定性分析、验证数值方法的精度、推动数学方法的研究等 方面的重要作用，同时也可以对许多流动现象和规律作更深入的分析和解释，因此研究 s 幻k e s 方程的精确解和解橱解具有重要意义。在流体力学的研究孛，寻找s t o k e s 流问题 的精确解和近似解直是一个困难但又是令人感兴趣的问题。 。3s t o k e s 流及其相关问题的国内外研究进展 从1 8 5 1 年至今，s t o k e s 流问题的求解方法得到了较为广泛的发展，但大致可分为精 确解析解法、纯数值解法、半解析半数值解法三类。其中纯数值解法包括有限差分法【i o 1 1 1 、 有限元法【1 2 - 玎】、谱方法、有限体积法等。精确解析解法发展相对缓慢，至今人类能够得 到的精确解析解数目依然相当有限 i a 8 , 1 9 2 0 1 。对于半解析半数值解法，从2 0 世纪7 0 年 代开始发展起来的有四种处理流体力学强干扰的新方法，即是多级子配点法、边界积分 方程法、体内无奇点分配法及多级子矩法【l 】。这四种方法主要研究液体中存在运动或静 止的微粒、气泡、液滴时流场的特性或者流场中粒子的运动翻动力学特性，取得了较好 的效果。此外，还有许多近似的解法，如点力法、反射法、加权残值法、摄动法及自然 边界积分方程法【2 1 艘】等。 对于平面域内s t o k e s 流问题，从研究对象来说可划分为两个主要方面的问题：板驱 动的空腔内流动及入口流动。以下就s t o k e s 流动中的两类经典问题分类概述。 1 ) 板驱动空腔中的s t o k e s 流 板驱动空腔中的s t o k e s 流这一简化模型不但具有重要的理论意义，而且具有很强的 工程应用价值。它不仅提供了一个简化的流动模型，能够从理论上分析空腔内赡流动状 态，而且能够将理论、实验和计算结果进行有针对性、全面的比较。其次，板驱动空腔 流被用来作为测试新的计算流体力学方法的标准【2 3 1 。为此学者专家们对此类阀题展开了 一系列的研究和讨论。 早期的研究是考虑单板驱动问题，b u r g g r a f i l 0 莉l p a n 掣1 1 】采用有限差分法给出了该 问题的数值结果。m o f f a t t 2 4 , 2 5 】用级数展开法研究了板驱动劈尖附近的s t o k e s 流动闻题。 1 9 7 8 年，j o s e p h y f 1 s t u r g e s 2 6 2 7 】借鉴s m i t h 2 8 1 建立的弹性薄板问题的双难交关系，将s t o k e s 流问题中的流丞数与薄板的挠度进行比拟，从而提出了s t o k e s 流平面闯题的双燕交本征 函数展开求解方法，该方法以流函数为基本函数，通过引进共轭函数建立一种证交关系， 并在此基础上讨论了单板驱动空腔流动问题。但是这种方法需要构造共轭函数，且本征 人连理下大学硕士学位论文 函数及其共轭函数不具有明确的运动及动力学特性，并且在应用边界条件时，必须再次 对本征函数进行求导运算。l i u 和j o s e p h 2 9 】运用本征函数展开法，研究了锥形深沟内的轴 对称s t o k e s 流问题，建立了极坐标系下s t o k e s 流问题的本征函数展开形式，讨论了该域 内弧形板驱动问题。与此同时y o o g i j o s e p h t 3 0 1 用同样的方法，研究了同心环形柱体内热 传导过程中的s t o k e s 流问题，得到了圆环不同半径比时的流场情况。s t u r g e s 引j 利用双正 交关系研究了双板驱动空腔中的流动问题，讨论了空腔的几何外形比值对流线类型的影 响。1 9 9 3 年，s h a n k a r t 3 2 】讨论上述问题时，采用本征函数展开法求解，在确定展开系数 时采用最小二乘配点法。s h a n k a r 的方法较j o s e p h 的方法简单，对误差函数平方总和进行 变分即可得到一个方程组，求解方程组可得到流函数的展开系数，从而得到原问题的解。 但是这种方法的计算精度依赖于边界上配点数的取值，较少的配点数可能导致较大的误 差，尤其是边界条件复杂时，则需要选取较多的配点。而j o s e p h 的方法求解结果比较稳 定，随着截取级数项数的增加，解的精度随之提高。 此后许多学者在此基础上，对板驱动空腔内或槽内s t o k e s 流问题的流动问题进一步 展开研究。k h u r i 等【”】将j o s e p h f l t j 方法推广到极坐标中，对径向单板驱动的扇形区域中 的流动进行了研究，得到了较好的结果。林长圣【3 5 3 7 】采用边界元法研究了板驱动空腔中 的流动问题，讨论了驱动板速度和空腔外形比对漩涡的强度和分布的影响。另有一些学 者 1 0 - 1 7 】采用纯数值法研究了了s t o k e s 流在矩形腔内的流动情况，得到了较好的结果。 y o u n g 等t 3 8 l 研究了内部有圆柱旋转的矩形空腔内在板驱动下的s t o k e s 流动问题，并给出 了数值模拟算例。 徐新生、王尕平等【7 ，9 】采用哈密顿体系方法研究了直角坐标系下双板驱动空腔内的流 动问题，并以数值算例说明了空腔内的流动特性。王艳等l j 列在研究空腔内的s t o k e s 流问 题时，推导出极坐标系下的哈密顿体系形式，采用配点法处理边界条件，并给出了板驱 动环扇形空腔的s t o k e s 流动算例。 2 ) s t o k e s 流的入口流问题 1 9 6 9 年l e w 和f u n 誊删首次研究了半无穷长圆管内的s t o k e s 入口流问题，并得到了级 数形式的解析解。为了避免数值计算复杂的傅立叶积分的麻烦，他们用傅立叶级数近似 的代替傅立叶积分，这在物理上等价于用有限长的逼近半无限长的管子。1 9 8 2 年，d a g a n 等 4 1 l 用匹配法处理了粘性流体经过有限长小孔的s t o k e s 流问题，将一个复杂的流场分解 为两个简单的流动区域，在每个简单的流动区域内都找出合适的级数展开形式，然后让 这两组解在交接面上满足运动学和动力学匹配条件，从而确定级数展开式中的待定系 数。吴望一等【4 2 】借鉴d a g a n 的方法，运用匹配法和配置法求出了粘性流体从半无穷平面 到半无穷长圆管的s t o k e s 流动的无穷级数解。王鲁男和王敏中【4 3 1 导出了一种不含无穷积 平恧蘸管s t o k e s 滚溺题中熟哈密顿俸秉方法 分的s t o k e s 滚阏题静级数解，并丽配点法避行数毽计算，褥粼与溺中霹祥酶结果。是长 餐1 4 4 1 研究了有限长因管中的s t o k e s 流蠢题，警流函数震开成特解的无穷级数聪，采周配 点法来满足褶荚边界条释，数鳘计算说骥了医差和管长存在着近镁关系。 徐耨生和王尕平箝】运用辛方法：姘究了平面直角坐标系下s t o k e s 流的入蹬闽题，王尕 平在【羽中进一步讨论了剿管入爱流中豹入蹋长度与入翻半径之闻的关系。 1 。4 哈密顿体系的研究现状 西前，睦赛顿体系邑被广泛魔雳子众多的薪究镁域，翔弹性力学、天体力学、几何 光学、量子力学、最优控制、流体力学等。 2 0 世纪9 0 年代，钟刀勰1 2 】氆鉴了哈鬻顿体系、状态空翔法在现代控制论巾的应溺理 念，根据结构力学与现代控制论的模拟关系，将凑原变量和蕻对偶变量组成酶辛空间孳 入到弹性力学，从而使分离变量及辛本征函数展开的直接解析解法得以实施，形成了弹 性力学闯题的辛求解体系。锋万勰的研究王佟意义不仅酲予弹性力学本身，丽且对纛鼹 力学体系，数学物理方法以及其他相关学科都有缀大的癌示。 在辛对偶体系下，钟万勰磺究了平露向霾性闯题帮多屡层舍扳河题数及极坐标暴 下弹性力学闻题【麓，姚伟岸转5 鼬1 研究了平面弹性楔博、电磁弹性圆体簿问题。以上所述 的研究工作都绘嫩了全郝圣维南润题的解，并指出了圣维豫闯题的解就是零本征值本缝 解。之蔗，钟万勰又将遮饔求解方法应爝予振动瑗论，建立了振动理论的啥密顿求解体 系f 棚。在流体力学方荫，徐新生等泌吲运用哈密顿体系方法研究了浅承波闯鼷和平面斑 管流动阉题。 1 5 本文主要工作 将掇坐标系下i 捻s t o k e s 流方程导向蹬密顿体系，讨论了平面越篱漆s t o k e s 流简题， 得到了该问题的半解析表达形式，并以数值算例讨论了板驱动空腔流动闯题和管道入翮 流动阕题，证蜜了啥蜜顿体系方法解决平面遗管蠹s t o k e s 流闯题熬寄效性。魏磷究穗关 润题提供了理论渗考。 薰3 章在掇坐标系下，将臻囱坐标模拟为薄阗，借助予耗散熊将飧密顿体系弓l 入烈 平面曲管s t o k e s 阀题中，建立了该闽题的哈密顿正则对偶方程，采用分离变羹法展开臻 解，嫂得原闯题归结为求解对偶方程的本征值和本征解。讨论了该阅趣中的零本征谯本 征解及其约当型解，并分析其物理意义。对于菲零本征值，采震数德计算褥到了不同半 径比值下的结聚，进而求樽非零本证值本征解豹解析表达形式，无薰纲化得到非零本征 大连理工大学硕士学位论文 值本征解的模态。给出了辛本征解的展开方法和速度边界条件下的表述形式，运用共轭 辛正交归一关系处理边界条件，得到了该问题下解的一般形式。 第4 章讨论了板驱动腔体的流动问题和入口流动问题，并分别给出数值算例，得到 了各自情况下的流场。数值计算结果表明零本征值本征解描述了基本的流动，而非零本 征值本征解则显示着边界条件对内部流动的影响。 平面曲管s t o k 髓流问题中的哈密顿体系方法 2 基本理论与知识 2 1 哈密顿体系理论简介 2 1 1辛几何空间简介 一切守恒的真实物理过程都能表述成适当的哈密顿体系，它们的共同数学基础是辛 几何空耐4 6 1 。为此，这里首先对辛几何空间的一些概念和性质作一下简单的介绍。 定义2 1设y 是实数域r 上的一个力维线性空间，矿为其对应的刀维线性空间，定 义 = y 矿= ( ： ig y ，p y 0 c 2 ， 则称线性空间矽为由矿与y 组成的域尺上的2 ，z 维相空间。 定义2 2 设形是实数域火上的一个2 ，2 维相空间，对形中的任意两个向量口，依一 定法则对应着一个实数，这个数称为辛内积，记作 ，并且辛内积 运算 满足下列四个条件： ( 1 ) = 一 ( 2 1 2 ) ( 2 ) = k ，k 为任意实数 ( 2 1 3 ) ( 3 ) _ + ，7 是w 中任意向量 ( 2 1 4 ) ( 4 ) 若向量口对w 中任意向量均有 = 0 ，则口= 0 ( 2 1 5 ) 定义2 3 若l 为，z 维单位矩阵，则 小 亿， 称为单位辛矩阵，简记为厂，单位辛矩阵的行列式值是1 ，且具有如下性质 ，2 ：一j ，t ：厂= ，( 2 1 7 ) 定义2 4若向量口，的辛内积 _ 0 ，则说口与辛正交；否则，则说口与 辛共轭。 大连理1 ：人学硕士学位论文 2 1 2 哈密顿矩阵及其本征问题 定义2 5设是2 刀维辛几何空间，如果线性算子日对中的任意向量口，满足 = ( 2 1 8 ) 则称线性变换日为辛几何空问形的哈密顿算子。 定义2 6 如果2 n 2 n 矩阵日对任意2 刀维向量x ，j ，满足 - - - ( 2 1 9 ) 则称矩阵日为哈密顿矩阵。 定理2 7 如2 是哈密顿矩阵日的本征值，重数为m ，则一2 也一定是其本征值， 重数也为m ；如哈密顿矩阵日存在零本征值，则其重数一定为偶数。称的两个本征 值为哈密顿矩阵互为辛共轭本征值。通常将哈密顿矩阵的非零本征值分成两组 ( 口) 鸬，r 秘) o 或r e ( 鸬) = o 1 m ( 鲳) ( 2 。1 1 7 ) 按照勒让德变换的规则，引入变换函数，即哈密顿函数( 动能+ 势能) h ( q ，p ) = p r 蘑一l ( q ，本) ( 2 1 1 8 ) 于是根据勒让德变换有 彪o h l 一= 一一i 却 却( 2 。王1 9 ) 驴万j印j 另外由( 2 1 1 5 ) 可知 所以有 z a l ：要( 璺：多一= 一l l = 玎 铆国、两一l ( 2 1 。2 鳓 大连理工人学硕士学位论文 g = p 2 ( 2 1 2 1 ) 式( 2 1 2 1 ) 就是哈密顿正则方程，其中采用了二类变量：广义位移g 与广义动量p 。 2 2s t o k e s 流问题的基本理论【l 】 对于均质不可压缩牛顿流体，假定所讨论的流体中，温度变化不大，即可认为流体 的动力学粘度为常数，这时流体的运动服从n a v i e r - s t o k e s 方程 v v = 0 1 詈地v 胪一吉跏棚v vf q 2 d 式中v 是哈密顿算子，l ，表示流体速度矢量，厂表示单位质量流体所受的体积力，p 是 流体的密度，p 是流体的压强，y = p 称为流体的运动学粘度。 在( 2 2 1 ) 中第二式的左边两项分别表示由于流场中局部非定常变化以及在非均匀 流场中迁移所引起的流体惯性作用；而其右边三项则分别表示流体中体积力、压强和粘 性的作用。为了讨论惯性与粘性的相对重要性，这里引入问题的特征时间“，特征尺度 上和特征速度u ，并用上标一表示无量纲物理量，可得到 掣o c 华：毒竺丝兰尺e 一 ( 2 2 2 ) 一= = 2 一一兰f ( 么么么， 粘性力v v 2 v 掣髟z 矿。y “一 ( 2 2 3 ) & 三胍r e = l ( 矾o ) ( 2 2 4 ) 式中的表示“正比于 。这里的无量纲参数船，胍，& 分别是雷诺数( r e y n o l d s ) 数、斯 托克斯( s t o k e s ) 数和斯特鲁哈利( s t r o u h a l ) 数。当所讨论问题的雷诺数很小( 胎专0 ) 时， 流体的迁移惯性力远小于粘性力，因而( 2 2 1 ) 中的第二式可简化为 塑百 暑 竺 芘 堡生前 旦玉坐r 詈两 力一 性一力辫盘日一制壁粘 平面曲管s t o k e s 流问题中的哈密顿体系方法 害= 厂一吉跏+ 内2 ， ( 2 2 5 ) 该方程为线性方程，因而可以用线性叠加原理求解。如果流动的& 也不太大，当胎专0 同时也有胍专0 ，则问题就化作准定常。对于定常或准定常问题，可以进一步的忽略 上式左边的局部惯性项，即是 跏= p f + # v 2 ， ( 2 2 6 ) 此式称为s t o k e s 方程。s t o k e s 流动是真实流体的定常或准定常流动在r e - - 0 的极限情形 下的一种近似模型。由雷诺数的表达式可以看出，当流动的特征尺度和特征速度u 的 乘积很小而运动学粘度v 相对很大时，相应的尺p 就很小。 在实际问题中，最常遇到的体积力是重力，若取重力作用方向为z 轴，则有 ，= g = v ( g z ) ( 2 2 7 ) 这里g 是重力加速度，如果引入广义压强多= p 一( + p g h ) ( p o 是z = 0 高度上的压强) ，也 就是把卢定义为流场中实际压强p 与该点流体静压强风+ p 劝之差，就可以把s t o k e s 方 程( 2 2 6 ) 改写为 跖= 胛2 ， ( 2 2 8 ) 这在形式上与体积力= 口的情形是一样的，为了书写方便，把p 写作p ，这时s t o k e s 方程写作 v p = j v 2 l ， ( 2 2 9 ) 在无体积力时，上式中p 表示流体实际压强；在有重力时，式中p 表示流体实际压强与 其静压强之差。 s t o k e s 流动问题常见的边界条件有： ( 1 ) 在无穷远处，1 ，与p 服从给定分布 1 ，= k ，p = 儿 ( 2 2 1 0 ) ( 2 ) 在固壁表面，若固璧以u 运动，则在物面有粘附条件 1 ，：u( 2 2 11 ) ( 3 ) 在两种不同流体的分界面上，界面两侧速度连续而作用力相互平衡 1 ，( 1 ) ：v ( 2 )( 2 2 1 2 ) i 拍s t o k e s 方程组及边界条件可以看出s t o k e s 流动具有如下几个特点： 大连理工大学硕士学位论文 ( 1 ) 由于s t o k e s 方程及其所导出的微分方程都是线性的，因而适用线性叠加原理。 ( 2 ) 在没有体积力或者只有重力作用时，由于在微分方程和边界条件中都不出现密 度p ，因此s t o k e s 流动的速度场、压强场以及物体所受合力都与流体的密度无关。 ( 3 ) 如果物性相对于某一平面对称，考虑垂直于对称平面方向的来流，且设无穷远 处流体压强均匀，则上下游的流线相对于对称面而言是对称的。 2 3 小结 本章首先叙述了哈密顿体系的基本性质、特点及哈密顿正则方程的导出原理。并简 要介绍了s t o k e s 流的一些基本概念及其特点。 平面曲管s t o k e s 流问题中的哈密顿体系方法 3 曲管s t o k e s 流问题的哈密顿体系及其求解 3 1哈密顿体系下的正则方程 讨论平面曲管内不可压粘性s t o k e s 流问题，考虑在极坐标系( r 9 0 ) 下，内、外半径分 别为口，b ，两弧形侧边为固壁，如图3 1 所示 y 0 图3 1曲管平面几何示意图 f i g 3 1 t h ep l a n eg e o m e t r yd i a g r a mo ft h ec u r v e dt u b e 令为动力粘性系数，p 为压强，v 和分别为，和乡方向的速度分量。速度与应 力、压强的关系可以表示为 为 o r 一- - - - p + 2 哮 c r o = - p + 2 c 吾鲁+ 叫吾鲁- r + ，昙c 铷2 肌7 万 万【亨川 ( 3 1 1 ) 令，= p f ，并让p 模拟时问坐标，即引入记号户= a a f 秒。相应的拉格朗日函数可表示 人连理j ：人学硕十学位论文 引入对偶变量 扛争秒2 “一“和y， + 2 q ( 嚣训】一鼍一p r ( f , s + v r ) a = l 以_ l 呐州等训= ， a 2 万吨2 咋+ 万享一) 2 厂l 仍：导：一脚( 如+ v ，) ：， 胪瓦一”印) - j 利用哈密顿原理可得对偶方程 式( 3 1 5 ) 的具体表达形式为 矧 驴瓦l p = 一i l o l 一昙1 o a 芒 。 一1 一旦o 8 芎 4 嘻。 0o oo o1 一旦 8 考 一1 一旦o 8 芎 哆 易 p 2 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) = 叱 涵， 式( 3 1 6 ) 中，h 为哈密顿算子矩阵。令全状态向量w = q t , p t ) t ，则对偶正则方程组 ( 3 1 6 ) 可简写为 w = h w ( 3 1 7 ) 对于哈密顿体系下j 下则方程( 3 1 7 ) ，可采用分离变量法求解，这里令w = k ( 善) p 卯， 则有本征方程 b y e ( 4 ) = 乃k ( f ) ( 3 1 8 ) 、，lr，咋a改 ，、l 平面曲管s t o k e s 流问题中的哈密顿体系方法 这里乃是本征值。从上式知k 是全状态函数向量的本征解。定义泛函 ( w ，l ) = c w jk 蟛( 3 1 9 ) 这里j 为单位辛矩阵。本征值可被划分成两个集合，即 ：r c ( 丸) o o r r e ( 乃) = 0 ，i i i l ( 九) 0 和 如，：如= 一丸) ；本征解存在辛共轭正交归一关系 ( ( 一们) t ，j ，哗) = 瓯肼 1 ( ( 哗) t ，j ，晔) = 一瓯朋 ( 3 1 1 0 ) ( ( v ) t ，j ，晔) = ( ( 衅) t ，j ，哗) = 0 j 因而问题的解可由本征解展丌得到 y = w ：”+ ( 嘭口p 厶口+ 巩e 卢p 一厶口) ( 3 i 1 1 ) 由共轭辛正交归一关系得到 a n - - - - - - ( ( g 励) t j y ) p “一l ( 3 1 1 2 ) 既= ( ( 嘭) t ，j ，y ) p 舻i 应该指出，在得到对偶方程的同时，对应的侧边边界条件也可以得到如下 咋i ，= 口6 = | ，l 口 j = 0 ( 3 1 1 3 ) 3 2哈密顿体系下的本征解问题 3 2 1零本征值的本征解 在哈密顿本征问题中，零本征值是一个很特殊的本征值，这类本征值的解在s t o k e s 流问题中具有特殊的重要意义。 求解零本征值的本征解，即是求解微分方程 h y ( 善) = 0 ( 3 2 1 ) 将其展开得到 1 4 大连理t 大学硕+ 学位论文 0 + 丢a ) v ，亡 4 窘 o 进一步展开得到 + 旦 + o + o 卅 小卜丢她 + 0 + o 一等+ 鲁= 。 t 等= 。 4 警+ 仍一器= 。 一a 一妻= 。 ：= 0 = 0 = 0 = 0 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 对于该方程组，可把第一式与第四式联立求解，把第二式与第三式联立求解，可得解为 v r = c l e f = 一荔c 3p f + p l = c 3 p 吖 p 2 = c 2 e ；+ 2 t c l e 一 但考虑侧边边界条件( 3 1 1 3 ) ，则有 c l = c 3 = c 4 = 0 所以零本征值的基本解为 y ( 0 ) = ( o00p ) t ，w ( = y ( 。) 求其约当型本征解，方程为 h y ( 1 ) ：y ( o ) 解得 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) 平面曲管s t o k e s 流问题中的哈密顿体系方法 q = d l p 一 一堕2 t up 一扣 a = 皿p 一 p 2 = 2 l a d l e f + d 4 e 善 又考虑侧边界条件得解为 u = 0 v疗：一百a2b2(ina-inb)p一手+_a2 l n a - b 2l n b p f 一土孝p f 一1 瓦酉旷+ 1 面酉矿一瓦亏矿 p：了_p一一pfl a 2 b 2 ( 1 n a - - i n b ) 1 2 i j 厂一旷一2 矿 p 2 = 现p 善 此时一阶约当型本征向量已不是原方程( 3 1 7 ) 及侧边界条件的解， 方程( 3 1 7 ) 的解为 叫o = y 1 + 钾o 写成分量形式为 y r = 0 ：一百a2b2(ina-inb)p一善+而a2 i na - b 2l n b e f 一二l 亭p 善 一1 而可旷+ 1 面巧下矿一瓦告矿 珐：a 2 b 2 ( 了i n a - - f i n b ) p 一l e 善a 2 i i 厂一旷一2 p 2 = 见+ 良善 该解是原方程( 3 1 7 ) 的解。求下一阶约当型解，方程为 i - i y t 2 ) = y ( 1 ) 解得 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 但由它可以组成原 ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) 人连理。i ：大学硕十学位论文 _ = w 3 e - f _ r 锗+ + 古船错f 一。哕一挚f a = e - 手_ d 2 a 仍= p f + 2 呢一可a 2 b 2 ( i n a - i n b ) p 1 + ( 尘学一1 ) 乒f +口一d 口一d 。 譬等掣一f 显然第一式不满足侧边界条件( 3 1 1 3 ) ，所以该约当型本征解至此断绝。 3 2 2 非零本征值的本征解 对于本征方程( 3 1 8 ) ，展开即是 。 艄一善儿+ 管 ( + 丢) v ， + o 4 窘 + o 0+ o + o+ o = 2 v r = 弛 + ( 1 一) p 2 = 旯p l + o = 五仍 对于该常微分方程组，设孝方向的本征值为r ，则可以得到 一无1 一，7 1 0 p 一1 一，7 一a0 0 4 刁2 0- 2 l - r 00 - 1 一刁 一五 = 0 展开行列式，可得到其本征方程 r 4 + 2 r 2 ( 旯2 1 ) + ( 名2 + 1 ) 2 = 0 解得 确2 = ( 1 + 见f ) ，仍4 = ( 1 2 i ) 可以看出在五= f 时，本征值刁情况特殊，所以在此单独讨论。 一1 7 一 ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) ( 3 2 1 6 ) ( 3 2 1 7 ) 翻 ff_j， o 旦蟛 刊 一一+ 平面曲管s t o k e s 流问题中的哈密顿体系方法 ( 一) 当本征值为五= f 时的本征解 当五= f 时，方程( 3 2 1 6 ) 的根是2 与一2 以及0 的重根，故通解可表示为 v ，= 4 + 4 孝+ 4 p 2 f + a 4 e _ 2 f = 届+ 垦善+ 马p 2 善+ 日p _ 2 f 1 1 = c l + c 2 孝+ c 3 e 2 善+ c 4 e - 2 善 扔= q + d 2 孝+ d s e 2 + 皿p - 2 善 将该通解代入( 3 2 1 4 ) ，得到 一旯4 + 蜀垦+ 鱼：0 1 l 一名4 + 垦+ 鱼：0 i l 一力呜一b + 鱼：0l l 一五4 + 3 且+ 鱼：0j p ) 4 + 4 + 允蜀= 0 l 4 + 五岛= 0 i 3 4 + 允b = 0l 一4 + 旯8 4 = 0j 一旯c j + q 一0 2 = 0 l 一名c 2 + d 2 = 0 l 1 6 a 3 + 允c 3 + b = 0l 1 6 a a 4 + 见c 4 3 0 4 = 0 j c l + c 2 + 五d 1 = 0 l c 2 + 五d 2 = 0