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东北大学硕士学位论文摘要 广义系统的l y a p u n o v 分析 摘要 广义系统由于深刻的实际背景已引起了广泛的关注，并取得了丰 硕的研究成果。稳定性、能控性与能观测性是客观世界及工程实际中 不可缺少的问题。它们是控制系统的结构属性。而l y a p u n o v 方法在稳 定性的研究中起着至关重要的作用。本文基于l y a p u n o v 方程研究了广 义系统的稳定性与能控、能观之间的关系，得到了有关的判据。 本文共分四部分。 首先简述了广义系统的研究背景，及在研究广义系统问题时，稳定 性、能控制性与能观测性的地位和作用。 其次针对广义系统稳定性进行综述。稳定性是系统分析与系统设计 的前提条件，也是实际系统正常工作的基本保障。本文将正常系统与 广义系统，连续广义系统与离散广义系统进行对比，阐述了广义系统 稳定性的判据之间的区别与联系。第三部分的重点是广义系统的能控 性、能观测性问题。能控性问题是研究系统的内部状态能否由控制输 入完全影响的问题，而能观测性问题是研究系统的输入和输出是否完 全反映系统状态的问题。这一部分综述了能控性与能观测性的研究方 法，分析了不同类型的能控性( 或能观性) 之间的关系。 最后是本文的主要工作。由于广义系统的稳定性的些判据是在能 控或能观测的前提下提出的，给出了能控性、能观测性与系统稳定性 之间的关系，所以本章对离散广义系统的能控性、能观测性与系统稳 定性之间的关系进行了研究，分别得到了有关的判据。 关键词：广义系统；稳定性；能控性；能观测性；l y a p u n o v 方程 容许性 i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t a l y a p u n o va p p r o a c h t oa n a l y s i so f 一 一一一 s i n g u l a rs y s t e m s a b s t r a c t s i n g u l a rs y s t e m s h a s p r o f o u n db a c k g r o u n d a n d h a sm e a n i n g f u l r e s u l t s i tisw e l lk n o w nt h a ts t a b i l i t y ，c o n t r o l i a b i l i t ya n do b s e r v a b i l i t y p l a yi m p o r t a n tr o l e si nt h ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fc o n t r o ls y s t e m s a n d l y a p u n o ve q u a t i o na p p r o a c hh a s b e c o m eap o w e r f u lt o o li n s o l v i n g d i f f e r e n tp r o b l e m so fs i n g u l a rs y s t e m ss t u d y i nt h i sp a p e r ，ag e n e r a l i z e d l y a p u n o ve q u a t i o nf o rd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m si sa p p l i e dt os t u d yt h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n s t a b i l i t y a n d c o n t r o l l a b i l i t y ，s t a b i l i t y a n d o b s e r v a b i l i t y t h e r ea r ef o u rp a r t si nt h i sp a p e r t h ef i r s tp a r ti n c l u d e st h es t u d yb a c k g r o u n do fs i n g u l a rs y s t e m sa n d t h ep o s i t i o no fs t a b i l i t y ， c o n t r o l l a b i l i t y a n do b s e r v a b i l i t yi n s i n g u l a r s y s t e m sp r o b l e m s a n dt h es t a b i l i t yo fs i n g u l a rs y s t e m si ss u r v e y e di nt h es e c o n dp a r t s t a b i l i t yi st h ei m p o r t a n tc o n d i t i o nt oa n a l y z ea n dd e s i g nc o n t r o ls y s t e m s s ov a r i o u ss y s t e m sa r ec o m p a r e da n dt h ed i f f e r e n c e sa n dr e l a t i o n sa r e s t a t e dh e r e n e x t p a r t i sa b o u tc o n t r o l l a b 订i t ya n do b s e r v a b i l i t yo fs i n g u l a r s y s t e m s c o n t r o l i a b i l i t yist h ep r o b l e mt h a tw h e t h e rt h ei n t e r i o rs t a t ei s e f f e c t e db yo u t p u tc o n t r o lw h o l l y h o w e v e r ，o b s e r v a b i l i t yi st h ep r o b l e m t h a tw h e t h e rt h e i n p u ta n do u t p u t r e f l e c tt h es t a t eo ft h e s y s t e m c o m p l e t e l y a n db o t h o ft h e m a r ei m p o r t a n ts t r u c t u r ep r o p e r t i e so f c o n t r o l s y s t e m s i nt h i sp a r tt h es t u d y m e t h o do fc o n t r 0 1 1 a b “i t ya n d o b s e r v a b i l i t yi sp r e s e n t e d t h ef o u r t hp a r ti st h em a i np a r ti nt h ep a p e r t h e r ea r es o m ec r i t e r i a 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t b a s eo nc o n t r o l l a b i l i t yo ro b s e r v a b i l i t ya n dg i v et h e r e l a t i o n s h i p so f c o n t r o l l a b i l i t y ( o b s e r v a b i l i t y ) a n ds t a b i l i t y ，s ot h e i re q u i v a l e n tc o n d i t i o n i ss t u d i e di nt h i sp a r t k e y w o r d ：s i n g u l a rs y s t e m s ；s t a b i l i t y ；c o n t r 0 1 1 a b i l i t y ；o b s e r v a b i l i t y ； l y a p u n o ve q u a t i o n ；a d m i s s i b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：门博 日 期：m 研r 耳叫) d a 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名；否则视为不同意。) 学位论文作者签名： 签字目期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文第一章广义系统简介 第一章广义系统简介 1 1 广义系统理论的发展概况 广义系统是一类比正常系统更具广泛形式的动力系统，广义系统理论是2 0 世 纪7 0 年代才开始形成并发展起来的现代控制理论的一个分支。1 9 7 4 年，英国学者 r o s e n b r o c k 在研究复杂的电路网络系统时，首次提出广义系统的问题，在控制领 域和数学领域引起了广泛关注，拉开了对广义系统理论研究的帷幕， 在广义系统理论发展阶段的初期，即2 0 世纪7 0 年代，研究进展较慢。进入 2 0 世纪8 0 年代，越来越多的控制理论工作者对广义系统产生浓厚的兴趣，广义系 统理论也进入了一个新的发展阶段，在之后的十年中，广义系统理论取得了蓬勃 的发展。在广义系统理论的最后发展阶段，即从2 0 世纪9 0 年代初至今，作为现 代控制理论的一个分支，广义系统的研究已从基础向纵深发展，取得了丰硕的成 果。 广义系统又称为奇异系统、描述器系统等。广义系统与正常系统相互对应， 既存在内在的联系又有着本质的区别。 考虑如下线性时不变广义系统： 线性时不变连续广义系统通常表示为 j 麓( r ) = a x ( t ) + b u ( t )( 1 1 a ) y ( ，) = c x ( t ) + d u ( t )( 1 1 b ) 其中，e r “”一般为奇异矩阵；工( r ) ，u ( t ) ，y ( t ) 分别为适当维数的状态、输入、 输出向量，t 为时间变量。 线性时不变离散广义系统通常表示为 e x ( k + 1 ) = a x ( k ) + b u ( 1 c ) ( 1 2 a ) y ( i ) = c x ( k ) + o u ( k ) ，k = 0 ，l ，- ( 1 2 b ) 广义系统与正常系统的联系在于：如果上述各式中的占非奇异，则广义系统 成为一个正常系统，因此，如果从矩阵e 的广泛取值的意义来考虑，广义系统是 对正常系统的推广。其分别在于数学模型中是否含有代数约束，即广义系统的模 型同时含有微分( 或差分) 方程和代数方程，而正常系统仅含有微分( 或差分) 方程。由于正常系统理论的研究基本成熟，已形成一套较为完善的理论体系，所 东北大学硕士学位论文第一章广义系统简介 以，为了与广义系统容易区别，习惯上以e 为奇异矩阵作为广义系统的明显标志， 从而使广义系统理论成为一个独立的研究分支。除上述矩阵e 的明显差异之外， 广义系统与正常系统还存在许多本质的区别。 ( 1 ) 广义系统( 1 1 ) 的状态响应中通常不仅含正常系统所具有的指数解( 对应 于有穷极点) ，而且含有正常系统的状态响应中所不出现的脉冲解和静态解( 对应 于无穷极点) ，以及输入的导数项，从而使广义系统出现了正常系统所不具有的脉 冲行为。在离散时间情况下，广义系统( 1 2 ) 的状态x ( k ) 不仅需要k 时刻以前的信 息，还需要k 时刻以后的信息，即离散广义系统一般不再具有因果性，而正常系统 都具有因果性。 ( 2 ) 正常系统的动态阶等于系统的维数，而广义系统的动态阶仅仅为 q = r a n k ( e ) a ( 3 ) 正常系统的传递函数为真有理分式矩阵，而广义系统的传递函数通常还包 含多项式部分。 ( 4 ) 正常系统的齐次初值问题的解存在且惟一。但对于广义系统，齐次初值问 题可能是不相容的，即可能不存在解；即使有解，也不一定惟一。 ( 5 ) 广义系统具有层次性，一层为对象的动态特性( 由微分或差分方程描述) ， 另一层为管理特征的静态特性( 由代数方程描述) ，而正常系统没有静态特性。 ( 6 ) 广义系统( 1 1 ) 的极点，除了有r = d e g d e t ( s e a ) 个有穷极点外，还有正 常系统不具有的m r ) 个无穷极点，在这些无穷极点中又分为动态无穷极点和静态 无穷极点。 ( 7 ) 在系统的结构参数扰动下，广义系统通常不再具有结构稳定性。 广义系统的这些特点反映了广义系统比正常系统在结构上变得复杂而富于新 颖性，在理论研究上变得困难而更具挑战性。因此，在正常系统理论日趋完善成 熟的基础上，广义系统理论也逐渐吸引着国内外许多学者的极大关注。 广义系统理论的研究思路大多是参照已有的正常系统理论向广义系统推广和 移植，其研究方法主要是几何方法、频域方法和状态空间方法。 几何方法是将广义系统化为状态空间中的几何问题进行研究。它的优点是对 系统结构有着独到的刻画，例如：广义系统的能控性结构、能控性子空间以及不 变子空间的刻画等。而且，几何方法简洁明了，避免了状态空间方法中大量繁杂 的矩阵推导运算，且所产生的结果都可化为矩阵运算。其缺点是对系统鲁棒性问 题的分析显得无能为力。多变量频域方法( 简称频域方法) 是对状态空间描述的广 义系统采用频率域的系统描述和频率域的计算方法进行研究。频域方法具有物理 2 东北大学硕士学位论文第一章广义系统简介 直观性强、便于设计调节等优点。至于状态空间方法( 或称时域方法) ，是对状态 空间描述的广义系统主要采用矩阵运算和矩阵变换的计算方法，直接对时域系统 进行研究，是广义系统理论中最常用的方法。状态空间法所刻画问题的方式简洁 直观，所得结果清晰明了，且可设计相应的软件支持而适宜在计算机上进行运算， 因而该方法应用最广，已深入到了广义系统的分析与综合的方方面面，深受广大 的控制工程师们所偏爱。里卡蒂( r i c c a t i ) 方法和目前流行的l m i ( 线性矩阵不等式) 方法，由于具有能揭示系统的内部结构且易于计算机辅助设计等优点而成为时域 状态空间的两个基本方法。 广义系统有线性和非线性之分，在模型描述中含有非线性微分或差分环节的 系统称为非线性广义系统，而在其模型中仅含有线性微分或差分环节的系统称为 线性广义系统。对于线性广义系统可分为连续和离散系统，分别用微分方程和差 分方程描述。根据模型中系数的特点，线性广义系统又分为定常系统和时变系统。 凡是模型描述中含有时变参数的系统称为时变系统，而模型描述中全部参数均与 时间无关的系统称为定常系统。对于定常系统和时变系统，又都有确定和不确定 之分，凡模型完全确定、参数已知的系统称为确定性系统，而模型描述中含有未 知因素的系统称为不确定系统。 广义系统理论的研究迄今有二十几年的历史，已取得了极大的发展，并逐渐 形成一个内容丰富的理论体系，已成为现代控制理论的一个重要组成部分。那么， 广义系统理论研究将朝哪个方向发展，换句话说，广义系统理论在今后的研究重 点是什么，这是我们目前所关心的问题。追踪广义系统理论的研究现状看出，下 面的几个方面可以作为我们今后研究的重点工作。 ( 1 ) 复杂的广义大系统控制。工程实际情况通常是复杂的，由此产生的广义系 统控制问题也不能不考虑其复杂因素的影响，如：时变性、不确定性、时滞性和 分散性等。另外，非线性广义系统更是复杂和困难的。在广义系统的基本理论日 趋成熟的今天，对这些复杂的广义大系统的研究显得尤为重要。 ( 2 ) 易于工程实现的广义系统控制设计。广义系统模型来源于工程实际，所以 广义系统理论的研究最终也要为实际应用服务，因此一个好的设计方法应该易工 程实现，即能够提供一个利用现有的软件所实现的计算机仿真实验。 ( 3 ) 广义系统控制软件的编程。控制工程研究的各种设计方法的实现都离不开 计算机的帮助，编制通用的广义系统控制软件是非常必要的，它对广义系统理论 的发展必将起着积极的推动作用。 ( 4 ) 广义系统的应用。发掘广义系统的实际应用背景，将广义系统理论用于解 3 东北大学硕士学位论文第一章广义系统简介 决工程实际问题，从而实现广义系统的应用，才能真正体现广义系统的价值。 总之，作为一门新兴的研究领域，广义系统理论仍处于不断完善、不断发展 之中。以它广泛的工程背景，相信无论从理论本身，还是在工程实际中的应用， 都将取得更加辉煌的成果。 1 2 广义系统的稳定性的概述 随着控制理论的不断发展，稳定性理论也倍受重视。有关稳定性的类别，研 究方法不断更新。 稳定性是系统的一个重要特性。一个系统要能正常工作，它首先必须是一个 稳定的系统，即系统应具有这样的性能：在它受到外界的扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，它有能力自动地返回原平衡状态或者趋于另一新 的平衡状态继续工作。换句话说，所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界 扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。可见，稳定性是系 统的一个动态属性。 在控制理论中，无论是调节器理论、观测器理论还是过滤预测理论，都不可 避免地要遇到系统稳定性问题。因为不稳定的系统通常是不能付之实用的，所以 在控制工程和控制理论中，稳定性问题一直是一个基本的和重要的问题。因此， 稳定性是控制系统的一种结构属性，是系统分析与设计的前提条件，也是实际系 统正常工作的基本保障。 按照系统设计的不同要求，系统稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定 性和基于状态空间描述的内部稳定性。而对于线性时不变广义系统，内部稳定即 为渐近稳定，也是稳定性理论中最具重要性和普遍性的研究问题。 广义系统的稳定性理论较正常系统的更为复杂。广义系统的解既包含如正常 系统的指数解，又含有脉冲解，后者经常会破坏系统的正常运行。因此，线性时 不变广义系统的内部稳定性已不止是通常意义下的渐近稳定，还要求保证正则性、 无脉冲，这种稳定性称为容许性。 对于稳定性的研究，无论是从正常控制系统到广义控制系统，还是从连续广 义系统到离散广义系统，l y a p u n o v 函数、l y a p u n o v 方程或l y a p u n o v 不等式都起 到了举足轻重的作用。有许多关于系统稳定性的判据都是通过l y a p u n o v 方法得到 的。在连续系统中，当取l y a p u n o v 函数为v = x t 玩时，得l y a p u n o v 方程 一7 矿+ v 7 a = 一w 而取l y a p u n o v 函数v = z 7 e 7 v x 时，则有 d 东北大学硕士学位论文第一章广义系统简介 a 7 v e + e 7 v a = 一e 7 w e 离散系统中，若取v = x 7 e 7 v x ，有l y a p u n o v 不等式 a 7 v a e 7 v e - 0 若v ( e x ( | j ”= x t ( 七) e 7 x e x ( k ) 时，习b 么 a x a 7 一e x e 7 = 一e b b 7 e 7 有时还可以用到v = x t ( e “1 ) 7 v e x 与v = x 7 ( e 6 ) 7 v e x 这样的l y a p u n o v 函数来解决 问题。 1 3 广义系统的能控性、能观性的概述 在发展阶段的初期，广义系统理论的研究进展较慢，除美国学者l u e n b e r g e r d g 分别在：e e et r a n s a c t i o no na u t o m a t i cc o n t r o l 和a u t o m a t i c a 上发表文章， 对线性广义系统解的存在性和惟一性等问题展开研究之外，这一时期的突出成果 还有l u e n b e r g e rd g 关于非线性广义系统的研究。进入2 0 世纪8 0 年代，越来越多 的控制理论工作者对广义系统产生了浓厚的兴趣，广义系统理论也进入了一个新 的发展阶段，从2 0 世纪8 0 年代初到8 0 年代末的1 0 年中，广义系统理论取得了 蓬勃的发展，这一阶段的代表性成果有：c o b bd 提出了广义系统的能控性、能观 性及对偶原理；进一步地，d a il 将其推广到离散广义系统；y a n gc 等提出了广义 系统的最小实现问题；f a h m ym m 等进行了观测器的设计；f l e t c h e rl r 等分别研 究了广义系统的干扰解耦及特征结构配置等问题；d a il 分别关于连续及离散广义 系统设计了动态补偿器；b e n d e rd j 等分别关于连续及离散广义系统研究了线性 二次型最优调节器问题；l i nj 和工血x 分别讨论了时变和时不变广义系统的最优 控制问题。综合上述各基本问题的一系列研究成果，d a il 于1 9 8 9 年出版了广义 系统理论的第一本专著，系统地介绍了广义系统的基础理论，从而标志着广义系 统的基础理论已经形成，广义系统理论研究又将进入一个新的发展阶段。广义系 统理论的最后发展阶段，即从2 0 世纪9 0 年代初至今，已经过了十余年的发展， 广义系统的研究已从基础向纵深发展，涉及了从线性到非线性，从连续到离散， 从确定性到不确定性，从无时滞到时滞，从线性二次型最优控制到凰和乙控制 等各个专题，取得了丰硕的成果。 系统的能控性、能观性是1 9 6 0 年由卡尔曼最先提出的。它们已经成为控制系 统中的两个基础性概念，是控制理论中的两个重要问题。比如，在设计最优控制 5 东北大学硕士学位论文第一章广义系统简介 爿7 陋+ e 7 v a = 一e 7 陟匹 离散系统中，若取v = x 7 e 7 v x ，有l y a p u n o v 不等式 a 7 以一e 7 v e 0 ，都对应的 存在一个实数8 ( e ，气) 0 ，使得满足下列不等式 i i x o 一五l l 兰6 ( c ，t 。) ，r b ( 2 4 ) 的给定的任一初态肖。出发的受扰运动都满足不等式 8 m o ；j j ，岛) 一爿：8 s 占，f f 0 ( 2 5 ) 则称_ l 为在l y a p n o v 意义下是稳定的。 如果从几何上解释这个定义，则可这样来理解：当在胛维状态空间中指定一个 以原点( 即平衡点j 乞假定已经通过坐标变换将所要考察的平衡状态z 。变换成 为坐标原点) 为球心，任意给定的正实数s 为半径的一个超球域s ( e 1 时，若存在 另一个与之对应的以j l 为球心，占( s ，t 。) 为半径的超球域s ( 8 ) ，且有由s ( 8 ) 中的 9 东北大学硕士学住论文第二章广义系统的稳定性 任一点出发的运动轨线面( f ；x o ，t 。) 对于所有的t t o 都不超出球域s ( e ) ，那么就称 原点的平衡状态x 。是l y a p u n o v 意义下稳定的。参见图( 2 1 ) 所示。 定义2 5 0 1 渐近稳定如果平衡状态z 是l y a p u n o v 意义下稳定的，并且对 8 ( e ，岛) 和任意给定的实数u 0 ，对应的存在实数， ，万，t 。) 0 ，使得由满足不等 式( 2 1 ) 的任一初态j ，n 出发的受扰运动都满足不等式 i i 中( f ；，t o ) 一e f j u ，v t + r ( ，j ，t o ) ( 2 6 ) 则称平衡状态五是渐近稳定的。随着呻0 ，显然有r 寸c 。，因此，当原点的平 衡状态五为渐近稳定时，必成立 j 。i m 。( f ；x 0 t o ) = 0 ，v x o s ( 占)( 2 7 ) 如果实数6 和r 的大小都不依赖于初始时n t 。，则称平衡状态彳。是一致渐近稳定 的。 定义2 6 “不稳定性如果平衡状态既不是稳定的，更不是渐近稳定的，则 称此平衡状态为不稳定的。即在不稳定平衡状态的情况下，对于某实数s 0 和任 意一个无论多么小的实数j 0 ，在超球域s ( 占) 内始终存在状态x o ，使得从该状 态开始的受扰运动要突破超球域s ( 曲。 ( ) 图2 1 ( a ) 平衡状态为稳定时初始扰动所引起的轨迹 f i g 2 1 ( a ) t h e l o c u s a r i s i n g o u t o f i n i t i a lp e r a l r b a t i o n w h e n t h ee q u i l i b r i u ms t a t ei ss t a b l e 1 0 东北大学硕士学位论文第二章广义系统的稳定性 图2 1 ( b ) 平衡状态为渐近稳定时初始扰动所引起的轨迹 f i g 2 1 ( b ) t h el o c u s 础i n go u to f i n i t i a lp e r t u r b a t i o nw h e nt h e e q u i l i b r i u ms t a t ei sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e 图2 1 ( c ) 平衡状态为不稳定时初始扰动所引起的轨迹 f i g 2 1 ( c ) t h e l o c u sa r i s i n g o u t o f i n f f i a lp e r t u r b a t i o n w h e n t h e e q u i l i b r i u ms t a t ei su n s t a b l e 东北大学硕士学位论文第二章广义系统的稳定性 上面三个图是稳定、渐近稳定、不稳定在二维情况下的图形表示，图中取平衡 状态置= 0 。图2 1 ( a ) 、( b ) 、( c ) 分别表示平衡状态为稳定、渐近稳定和不稳 定时初始扰动所引起的典型轨迹。s ( 占) 是e h 初始状态z 、所引起的运动轨迹，而 s ( 巧) 则表示弱的取值范围。 以上所述的并非就是关于平衡状态稳定性的唯确定的概念。实际上，在经 典控制理论中，只有渐近稳定的系统才叫做稳定系统，而把在l y a p u n o v 意义下是 稳定的，但不是渐近稳定的叫做临界稳定系统或不稳定系统。此外，还有所谓有 界输入、有界输出稳定( b m o ) 等等。 2 1 2l y a p u n o v 稳定性理论 系统的稳定性可以由l j , a p u n o v 第一和第二方法来判定。第一方法又称间接法， 是解出系统的状态方程，然后根据状态方程解的性质判别系统的稳定性的。这一 方法在非线性系统中尤为适用。第二方法又称直接法，它的特点是不必求解系统 的状态方程，就能对其在平衡点处的稳定性进行分析和做出判断。此方法中通常 需要构造一个广义能量函数，再通过这一函数的性质来判定这个系统在平衡状态 的稳定性。由于l y a p u n o v 第二种方法概念直观，方法具有一般性，物理意义清晰， 在1 9 6 0 年前后被系统的引入到系统与控制理论中后，就得到了广泛的应用。不管 是理论上还是在应用上都显示出了它的重要性。本文中，只涉及第二方法。 考虑状态方程 量= f ( x ，f ) ，( o r ) = 0 ( 2 8 ) 定理2 1 1 1 1 对系统( 2 8 ) ，如果存在一个具有连续偏导数的标量函数v ( x ，f ) ，并 且满足条件： 1 ) v ( x ，t ) 是正定的； 2 ) 旷h 是负定的。 那么系统( 2 8 ) 在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果随着_ m ， 有v ( x ，f ) 斗o o ，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。 定理2 2 1 】对系统( 2 8 ) ，如果存在个具有连续偏导数的标量函数v ( x ，t ) ，并 且满足条件： 1 ) v ( x ，t ) 是正定的； 1 2 东北大学硕士学位论文第二章广叉系统的稳定性 2 ) p r z ，f j 是半负定的。 那么系统( 2 8 ) 在原点处的平衡状态是一致稳定的。 定理2 3 【1 】对系统( 2 8 ) ，如果存在一个具有连续偏导数的标量函数v ( x ，t ) ，并 且满足条件： 1 ) w ( x ，f ) 在原点的某一邻域内是正定的； 2 ) 矿仅叫在同样的邻域中是正定的。 那么系统( 2 8 ) 在原点处的平衡状态是不稳定的。 虽然l y a p u n o v 方法一直为人们所重视，但就一般而论，还没有一个简便的寻 求l y a p u n o v 函数的方法，从而寻求新的方法。 定理2 4 f i j 设系统的状态方程为 量= a x ( 2 9 ) 其中x 为力维状态变量，a 为聍 常数非奇异矩阵，其在平衡状态x = 0 处是大范 围渐近稳定的充要条件是：给定一个正定的实对称阵q ，存在一个正定的实对称 阵p ，它们满足 一7 p + p a = 一q 定理2 5 1 1 1 设线性离散时间系统的状态方程为 x ( k + n = x x ( k ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 其中x 为一维状态变量，4 为聆刀常数非奇异矩阵，原点x = 0 是平衡态。系统在 原点为渐近稳定的充分必要条件是给定任一正定的实对称阵q ，存在一个正定的 实对称阵尸，它们满足 a 7 p a p = q ( 2 1 2 ) 2 2 连续广义系统的稳定性 广义系统的稳定性理论较正常系统的更为复杂。广义系统的解既包含如正常 系统的指数解，又含有脉冲解，后者经常会破坏系统的正常运行。在工程实际中， 脉冲行为可能引起广义系统不正常运行，所以往往不希望出现，但是这种现象又 是不可避免的。对于稳定性的研究，无论是从正常控制系统到广义控制系统，还 13 查! ! 查兰翌主茎堡垒查釜三主兰垦丝塑整奎竺 是从连续广义系统到离散广义系统，l y a p u n o v 函数、l y a p u n o v 方程或l y a p u n o v 不等式都起到了举足轻重的作用。有许多关于系统稳定性的判据都是通过 l y a p u n o v 方法得到的。 2 2 1 连续广义系统的稳定性的有关概念 考虑如下正则的广义系统 戡( f ) = 血( d( 2 1 3 ) 其中，x ( t ) r ”为系统的聆维状态向量；e ，a r 为定常矩阵；e 为奇异矩阵满 足r a n k ( e ) = ， 0 ，使得f 0 时， 广义系统( 2 1 3 ) 满足 f i x ( 4 ：凹i i x ( o ) l l ， 则称广义系统( 2 1 3 ) 是( 渐近) 稳定的，或称( e ，一) 是稳定的。 定义2 8 嘲如果广义系统( 2 1 3 ) 稳定且无脉冲，则称广义系统( 2 1 3 ) 是容许的， 或称( e ，彳) 是容许的。 定义2 9 嘲如下关于未知矩阵z 和y 的矩阵方程 苍x 七y t a ：一m e 7 z = y 7 e 0 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 或关于未知矩阵z 的矩阵方程 a 7 x e + e 7 x a + e 7 m e = 0( 2 1 6 ) 均称为标准的广义l y a p u n o v 方程。其中，m 0 。 2 2 2 连续广义系统的稳定性的判据 同正常系统一样，l y a p u n o v 方法在广义系统稳定性问题的研究中也起着至关 重要的作用。由于广义系统较之正常系统具有复杂性，在广义系统中利用l y a p u n o v 方法构造l y a p u n o v 函数得到l y a p u n o v 方程或不等式的形式也多样化。 定理2 6 【6 系统( 2 1 3 ) j e 则，渐近稳定，无脉冲的充要条件是任给w 0 ，存在 1 4 东北大学硕士学位论文第二章广义系统的稳定性 矩阵矿使 f 矿7 爿+ a r v ：一w 1e r v ：v r e o ( 2 1 7 ) 成立。 定理2 7 【5 】系统( 2 1 3 ) i e 贝, t j ，渐近稳定，无脉冲的充要条件是l y a p u n o v 方程 a 7 v e e 7 f a ：一e 7 w e 对于任意给定的w 0 ，有满足 r a n k ( e 7 w 3 = r a n k ( g 、= ， ( 2 1 8 ) 的唯一半正定解矿。 以上两个定理是在对系统没有进行任何假设的情况下讨论系统的正则渐近稳 定性、无脉冲与方程的等价条件，使用范围广泛。当构造l y a p u n o v 函数为v = x t v x 形式时，得式( 2 1 7 ) ，而取v = x t e 7 v x 时，得式( 2 1 8 ) 。这两个定理相比，定理2 6 在使用充分性问题上比较灵活，而定理2 7 考虑与稳定性相关的问题中使用必要性 比较方便。 定8 2 8 【7 】系统( 2 1 3 ) 正则，无脉冲且渐近稳定的充要条件l y a p u n o v ) 椎( 2 1 7 ) 对于任意给定的矩阵w 0 ，存在解v 满足 r a n k ( e 7 n = r a n k e 。 ( 2 1 9 ) 定理2 9 【刀系统( 2 1 3 ) 正则，无脉冲解且渐近稳定的充要条件是l y a p u n o v 函数 v ( e x l = x e 7 v x ( 2 2 0 ) 当x 0 时，d v ( e x ) o ，r a n k ( e 7 嘲= r a n k ( e ) = ，( 2 2 1 ) 1 5 东北大学硕士学位论文第二章广义系统的稳定性 时，l y a p u n o v 方程但1 8 ) 有对称解满足 e 7 陋0 ，r a n k ( e 7 v e ) = r a n k ( e ) = r( 2 2 2 ) 定理2 1 0 与定理2 8 所构造的l y a p u n o v 函数是相同的，与之不同的是在判断 系统渐近稳定、无脉冲时，定理2 1 0 对w 增加了限制条件，其解得结果y 同样有 限制。 在稳定性的问题上，赊了用l y a p u n o v 方程，也可利用l y a p u n o v 不等式处理， 如下面定理。 定理2 1 1 9 1 系统( 2 1 3 ) i e 贝u ，渐近稳定，无脉冲的充要条件是 e v ，r y a ：+ a r ，v 0 ，r a n k ( e 7 = d e t d e g ( s e 一一)( 2 2 4 ) 时，l y a p u n o v 方程( 2 1 8 ) 有解v 0 满足 e 7 v e 0 ，r a n k ( e 7 r e ) = d e t d e g ( s e 一4 )( 2 2 5 ) 定理2 1 3 1 2 1 线性正则广义系统( 2 1 3 ) ，渐近稳定的充要条件是l y a p u n o v 方程 ( e “) 7 a 7 v e “1 + ( e “1 ) 7 v a e h = - ( e “1 ) 7 w e “ ( 2 2 6 ) 对于任意给定的w 0 有正惯性指数r 的解v 0 。其中e a = a e ，姬一a = ，h 为幂 零指数。 定理2 1 4 【1 3 】正则广义系统( 2 1 3 ) ，渐近稳定的充要条件是任给矿 0 ，l y a p u n o v 方程 ( e “) 4 = v 7 e “1 0 彳r ( e 6 ) r 矿+ v r e 6 a = 一( e “) r w e 6 1 6 陀2 7 ) 陀2 8 ) 东北大学硕士学位论文第二章广义系统的稳定性 存在解矿满足 r a n k ( e 柑) 7 v = d e g d e t ( s e 一彳) = r a n k ( e “)( 2 2 9 ) 以上三个定理都是允许有脉冲情况的，定理2 1 2 比定理2 1 0 的条件宽松。当 系统无脉冲时，定理2 1 2 与定理2 1 0 是一致的。定理2 1 3 与定理2 1 4 比定理2 1 2 的假设条件多，形式复杂，但使用上易于求解。 2 3 离散广义系统的稳定性 早在2 0 世纪5 0 年代，由于数字计算机在工程和科学上应用的增加，离散广 义系统的研究就已经引起了人们的关注。尤其是近四十年来，随着系统理论研究 领域的扩大和计算机技术的广泛普及应用，离散控制系统得到了迅速的发展。由 于数字计算机进行计算时在时间上是离散的，因此当一个系统用数字计算机进行 控制或用数字计算机进行模拟、分析和设计时，就需要将时间变量考虑为离散变 量，这时所研究的系统即为离散系统。 2 3 1 离散广义系统的稳定性的有关概念 考虑如下离散广义系统 e x ( k + 1 ) = a x ( k ) + b u ( k ) y ( 七) = c x ( k ) ( 2 3 0 a ) ( 2 3 0 b ) 其中，x ( k ) 为系统的状态，e ，a r “4 ，b r 一，c 五皆为定常矩阵；e 为奇 异矩阵，且满足r a n k ( e ) = q 1 。 定义2 10 嘲对于离散广义系统( 2 f 3 0 ) ，如果 d e g d e t ( z e - 一1 = r a n k ( e ) ， 则称离散广义系统( 2 3 0 ) 是因果的；否则，称为是非因果的。 定义2 i i 。3 如果离散广义系统( 2 3 0 ) 的状态响应对于任何允许初始条件 x ( o ) r “满足 i k ( 后) 0 筇1 1 x ( o ) 1 l ，k = o ，1 ，口；0 1 1 7 东北大学硕士学位论文第二章广义系统的稳定性 则称离散广义系统( 2 3 0 ) 是稳定的。 定义2 1 2 。1 如果离散广义系统( 2 3 0 ) 因果且稳定的，则称离散广义系统( 2 3 0 ) 是容许的。 定义2 1 3 如果( j ) = 0 的离散广义系统( 2 3 0 ) 正则、具有因果性的且稳定的， 则称这样的离散广义系统( 2 3 0 ) 是c 稳定的。 2 3 2 离散广义系统的稳定性的判据 离散广义系统稳定性也是由构造l y a p u n o v 函数得到l y a p u n o v 方程或不等式 加以判断的。其中，许多判据是由正常系统或连续广义系统的判据推广得来的。 定理2 1 5 1 2 1 离散广义系统( 2 3 0 ) 正则，渐近稳定，具有因果性的充要条件是存 在可逆对称矩阵p ，使得下面两个不等式成立。 矿船0 ( 2 _ 3 1 ) a 7 削一e 7 p e 0( 2 3 2 ) 定理2 1 6 圆离散广义系统( 2 3 0 ) i e 贝a ，渐近稳定，具有因果性的充要条件是存 在矩阵矿满足下面两个不等式 a 7 v a e 7 v e 0 ，l y a p u n o v 方程 有满足 a 7 v a e 7 v e ：一e 7 w e r a n k ( e 7 旧= r a n k ( e ) = r ( 2 3 6 ) 的唯一半正定解y 0 定理2 1 7 同前面两个定理一样都是判定系统( 2 3 0 ) 正则、渐近稳定、具有因果 性的结论，但它的解的要求却是唯一半正定的，且满足含有秩的限制条件。 1 8 查韭查兰堕主兰堡笙查堑三主兰垒竺塑鍪查些 定理2 1 8 n 1 离散正则广义系统( 2 3 0 ) 渐近稳定，具有因果性的充要条件是：当 凰0 时，l y a p u n o v 函数 满足 v ( 以f ) ) = x t ( f ) 胁( f ) a v e x ( t ) - d 啦+ 1 ) 卜v e x ( t ) 】 0 ，使 l y a p u n o v 方程 爿7 ex e a x 矿 ( 2 4 5 ) 有唯一正定解x 其中盒= q 台习p 。 定理2 2 3 【2 刀对于离散广义系统( 2 3 0 ) ，若对任意给定的实对称矩阵q ，使得如 下形式