（基础数学专业论文）模李超代数w（mnt）上的左超对称结构.pdf

摘要 本文给出了左超对称代数等概念，进一步讨论了e t a l e 超仿射表 示的相关性质讨论了李超代数上的左超对称结构与其上的1 维上同 调群的关系对于一类具体的c a r t a n 型模李超代数w ：= w ( m ，n ，曲， 通过引入平移同构，诱导出彬上的左超对称结构，并且决定出w 上 的左超对称结构同时通过平移同构推广了混合积定理 本文的主要结论是： 定理1 ：设工。是李超代数9 t i s ，f ) 的子代数，l 是关于位移咿 的伸张p 是l o 在易一阶化空间y 中的表示将p 扩充为瓦芦是 q 0 上。在邑一阶化空间q o y 中的表示，则口：a _ a 0 1 。+ 芦( 妒( a ) ) 是l 在易一阶化空间q v 中的表示 定理2 ：设l = l oo l t 是n 维李超代数，并且满足阮l 1 = l ，d i m l 6 d i m l i 如果对于任一v = l 的l 一模结构，有日1 ( 上，v ) = 0 则l 上无左超对称结构 定理3 ：设f 是特征数p 3 的域，则1 ) w 有左超对称结构 2 ) 若域f 是无限维的，w 有无限多个左超对称结构 关键词：位移，平移同构，左超对称代数，左超对称结构 i a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e ss o m ep r o p e r t i e sa b o u te t a l es u p e r a f f i n er e p - r e s e n t a t i o nb yd e f i n i n gl e f t s u p e r s y m m e t r i ca l g e b r a i td i s c u s s e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nl e f t s u p e r s y m m e t r i cs t r u c t u r e so nl i es u p e r a l g e b r a a n di t s 1 t h c o h o m o l o g yg r o u p l e tw ：= ( m ，n ，蓟b et h eg e n e r a lm o d u l el i es u p e r a l g e b r ao fc a f t a nt y p e u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ， t r a n s l a t i v ei s o m o r p h i s m si n d u c el e f t s u p e r s y m m e t r i cs t r u c t u r e so f fw o nt h eo t h e rh a n d ，t h em i x e dp r o d u c tt h e o r e m sa r eg e n e r a l i z e d t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e ra r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m l ：l e tlb et h ee x t e n s i o no fas u b a l g e b r al 0o fl i e s u p e r a l g e b r ag l ( s ，f ) w i t hr e s p e c tt oad i s p l a c e m e n t 妒，p ar e p r e s e n t a - t i o no fl oi nt h ez 2 一s p a c ev a n d 芦t h er e p r e s e n t a t i o no fqo l 0i n z 2 一g r a d e ds p a c eq o ve x t e n d i n gp t h e n 盯：a 4 圆i v + 芦( 妒( a ) ) i s ar e p r e s e n t a t i o no fli nt h e 易一g r a d e ds p a c eqo v t h e o r e m 2 ：l e t l = 岛ol i b ea nn d i m e n s i o n a ll i es u p e r a l g e b r a w h i c hs a t i s f i e s l ，l 】= lw i t hd i m l 8 d i m l i i ff o ra n y 工一m o d u l es t r u c t u r eo ni = l w eh a v eh 1 ( l ，v ) = 0 t h e nt h e r e i s n ol e f t s u p e r s y m m e t r i cs t r u c t u r eo nl t h e o r e m 3 ：l e tt h eg r o u n df i e l dfb ea r b i t r a r yo fc h a r a c t e r i s t i c p 3 t h e n1 ) wa d i m i t sl e f t s u p e r s y m m e t r i cs t r u c t u r e s ；2 ) i ffi s i n f i n i t e ，t h e nw a d m i t si n f i n i t e l ym a n yl e f t s u p e r s y m m e t r i cs t r u c t u r e s k e yw o r d s ：d i s p l a c e m e n t ，t r a n s l a t i v ei s o m o r p h i s m ，l e f t s u p e r - s y m m e t r i ca l g e b r a ，l e f t s u p e r s y m m e t r i cs t r u c t u r e i i 独创性声明 本人声明；所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师范 大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 签名：塾塑日期：盘生! 堇：2 兰 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论文 被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其它复印手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：耋鱼红 日 期：皇啦：妄：! ! 指导教师签名 垂童鱼 建盟生：1 1 1 引言 左对称代数是近年来从微分几何，l i e 群的研究中提出的一种代 数体系，而且当基域变成任意域时，它与l i e 代数也有密切关系独立 地研究左对称代数不仅有益于它的发展，而且也会促进与它相关领域 ( 微分几何，李群，李代数包括模李代数) 的发展近年来在李代数基础 上研究左对称代数，左对称结构变成当今活跃课题( 2 1 ， 3 1 ，将它作为 一个独立的代数体系来研究，讨论了它的基本理论 【剐将李代数上的左对称代数，左对称结构的概念和部分性质推广 到了李超代数上，即在李超代数上引进左超对称代数和左超对称结构等 概念，并且对于某些李超代数提出了，存在左超对称结构的充分或必要 条件但是关于李超代数上的左超对称代数大量性质、结构、分类等相 关结果还是很少，特别是关于具体李超代数上的左超对称代数、左超对 称结构所以仍有很大的研究空间 本文给出了左超对称代数等概念，进一步讨论了e t a l e 超仿射表 示的相关性质讨论了李超代数上的左超对称结构与其上的1 维上同 调群的关系对于一类具体的c a r t o n 型模李超代数w ：= w ( m ，n ，t ) 通过引入平移同构，诱导出1 1 7 上的左超对称结构，并且决定出w 上 的左超对称结构同时通过平移同构推广了混合积定理 2 左超对称代数的基本性质 如果d ( 工) 出现在本文中的某些个表达式中，认为x 为忍一阶化 齐次元，d ( x ) 为z 2 阶化中的次数用h g ( w ) 表示w 中的所有齐次 元 定义2 1 ：若a = a 0 0 a i 是超代数v x ，y ，z h g ( a ) ，有下面 等式成立： ( z y ) z z ( z ) = ( 一1 ) 。扛) 4 ( ，( ( g z ) z 一口( z z ) ) ( 2 1 ) 则称a 为左超对称代数a 的乘法称为a 的左超对称运算 定义2 2 ：若l = 0 l i 是李超代数，如果l 上存在一个左超 对称双线性运算，使得 x ，y = x y 一( 一1 ) 4 ( 2 ) d y ) y x ，其中z ，y h g ( l ) 称在l 上定义了一个左超对称结构 引理2 1 ：任一左超对称代数a 生成李超代数a l ，括号运算如下 定义： 【x ，y 】= x y 一( 一1 ) 烈。m ( y ) y x ( 2 2 ) 证明略 定义2 3 ：l 是一个李超代数，v 。是一个邑一阶化向量空间 h ( v ) = v o g l ( v ) 是李超代数，运算 x + 。y + b l = 【a ，b + a g 一 ( 一1 ) “( 4 ) “( b ) b x 其中茁，y 9 ( v ) ，a ，b h g ( g l ( v ) ) ，则任一李超代数 同态p ：l _ 咒( v ) 称为l 的超仿射表示若令q = p 1 p ，：p 2 - p 这 里p l ，p 2 是自然投射，则有p = q + ，对于v z l ，有p ( z ) = 口( z ) + 丸 定义2 4 ：若p ：l _ 爿( 矿) 是工的一个超仿射表示如果存在 使得 币。：l v z _ q ( x ) + 厶( ”) 2 是同构，则p 称为工的e t a l e 超仿射表示，称v 为超正则元特别地， 若l = vq = i d v ，则p 称为l 的典型超仿射表示 引理2 2 ：设p ：l - + “( y ) 的映射，p ( x ) = q ( x ) + 厶，z l ，则 p 是l 的超仿射表示的充分必要条件是： 1 ) q ：l 斗v 是0 次线性映射 2 ) f ：l 一9 l ( v ) 是李超代数同态 3 ) g ( k9 ) = 厶( q ( y ) ) 一( 一1 ) 。( 。) 。( ”矗( q ( 茁) ) ，z ，y h g ( l ) 证明 必要性由于d ( p ) = 6 ，显然有d ( q ) = o ，d ( f ) = 6 口为0 次 线性映射由p 是l 的超仿射表示可知，p ( 。，圳) = ( z ) ，p ( ) 即 g ( k f 】) + ， 锄 = q ( 茁) + 丘，q ( v ) 十矗 = f 厶，矗 + 厶( q b ) ) 一( 一1 ) 4 2 4 9 凡( 目( z ) ) v o g l ( v ) 于是有f e = 厶，凡 ，q ( k ， ) = l ( q ( 可) ) 一( - 1 ) 4 ( 。) “( v 凡( g ( z ) ) 可见f 为李超代数同态，3 ) 成立反之亦然 引理2 3 ：李超代数l 有一个e t a l e 超仿射表示的充分必要条件 是上有一个左超对称结构 证明略 注记：以上在特征数为p 3 的代数闭域f 上的定义和结论，与 特征数为0 的代数闭域f 上相似参见吼引理( 2 3 ) 中给出了一个李 超代数存在左超对称结构的充要条件是存在一个e t a t e 超仿射表示下 面给出了e t a l e 超仿射表示的相关性质 定理2 4 ：设p ：l 矗爿( y ) 是李超代数l 的一个e t a l e 超仿射表 示，p ( x ) = q ( x ) + 丘，口k 是超正则元若芦：l _ w ( l ) ，芦( z ) = x + l 。， 其中l = 町1 丘饥，则芦也为李超代数l 的一个典型超仿射表示，且0 为超正卿【元 3 证明 首先说明芦为李超代数同态显然d ( - ) = 石由引理2 2 ， 对于比，y h g ( l ) b = 一( - 1 ) 。( 。) 4 ( i v ) 2 ，f 。 = 妒f 1 厶 一( 一1 ) 4 ( 。) 8 ( v 妒i 1 厶饥 = 蛎1 ，【】饥 = x , v 1 k ( 口) 一( 一1 ) “( 。；) “b ( 。) = 妒i 1 丘妒。( 9 ) 一( 一1 ) 4 扛) 4 ( p 4 i 1 妒。( z ) = 砂i 1 厶( q ( ) + 矗( u ) ) 一( 一1 ) 8 ( 。) “( y 妒i 1 矗( q ( z ) + 厶( u ) ) = t 1 彳1 ( 丘( q ( g ) ) + 丘( 矗( ) ) 一( 一1 ) “( 2 ) 4 ( f ( q ( z ) ) 一( - 1 ) 4 ( 2 ) 。v 矗( 厶( u ) ) ) = 妒i 1 ( q ( 陋，1 ) + ， ：，扪( u ) ) = k y 】 另外， 芦( z ， ) = z ，y l + f 陋，p 】 【- ( z ) ，芦( ) = p + k ，y + b 】 = 【k ，2 v 】+ f 。( 9 ) 一( 一1 ) 8 2 。4 ，f v 渖) 于是可以得到芦( k 引) = - ( z ) ，芦( ) 1 ，即芦为李超代数同态 砂o ：l _ l z 工+ f z ( o ) = z 可见妒0 = i d l ，从而可得芦为典型超仿射表示，0 为超正则元 推论1 ：设p ：l _ n ( v ) 是李超代数的一个e t a l e 超仿射表 示，p ( 。) = q ( x ) + 丘，u 是超正则元芦：l _ n ( l ) 是r 诱导的上 4 的典型超仿射表示芦( z ) = z + l ( 与定理2 4 - 构造相同) ，则李超代数 p ( l ) 与芦( l ) 是同构的，即“万是等价表示 证明由定理2 4 可知芦为典型超仿射表示，令： t ：芦( l ) _ p ( l ) z + f 。oq ( x ) + 厶 显然由d ( t ) = o ，丁芦= p 又若f r ( z + f 。) = 0 = g ( z ) + 厶，即有q ( 石) = 0 ，厶= 0 于是有 k = 母彳1 厶饥= 0 ，讥( z ) = q ( x ) + 厶( u ) = 0 由于讥可逆，故z = 0 因此，t 是( l ) 到p ( l ) 上的线性同构显然有下等式成立， 丁芦( z ) ，r 芦( ) 】= f p ( z ) ，p ( 可) 】= p ( z ，】) = 丁芦( 茁，可】) = 丁( 芦( z ) ，芦( y ) ) 即t 为李超代数同态，所以p ( l ) 与p ( l ) 同构 引理2 5 ：设p ：l 一7 ( l ) ，p ( z ) = x + k 为李超代数上的典型 超仿射表示，0 为超正则元。y 为由0 诱导的左超对称代数的乘积 若v l o 为超正贝i j 元，满足( x y ) v = z ( y v ) ，v x ，yel ，则由 诱导的左 超对称代数乘积与原乘积茹g 一致 证明 关于0 诱导的左超对称代数的乘积：x y = ( 町1 红砒) ( ) = f 。( f ) 关于u 诱导的左超对称代数的乘积：x y = ( 町1 k 妣) ( ) ，则由 妒。( z ) = z + z 。( f ) = 。十z 可知 z y = ( 妒i l k 讥) ( ) = 1 f t i l ( f 。( 掣+ 可 ) ) = 掣i 1 ( x y + z ( 口) ) = 妒i 1 ( x y + ( x y ) v ) = z 9 因而命题得证 5 定理2 6 ：在引理2 5 的条件下，特别的，若由0 诱导的左超对称 代数为结合超代数，则v v 超正则元，由口诱导的左超对称代数为 结合超代数，且与原结合超代数同构 证明由引理2 5 易得 3 左超对称结构和上同调群 首先回忆李超代数的上同调群的概念设l = l 6ol 是李超代 数，v = kok 是易一阶化的双l 一模，并且有o - u = 一( 一1 ) 8 ( ”) 4 ( 。) ” 对于va h g ( l ) ，v h g ( v ) l 关于v 的上链空间定义为： c “= 矿 c 1 = ，：l _ + 1 7l ，是阶化线性映射) c 2 = ，：工l v1 ，( z ，可) = 一( 一1 ) 烈。) 武。，( 可，z ) ，v x ，y h 目( 工) ) 其中l l 有自然阶化，即( l l ) o = l o ( l l ) i = l i l i 注：其中的，保持阶化 定义3 1 ： d o ：c o _ c 1 ， 一d o ( u ) d o ( ) ：上 k z 手d o ( u ) ( ) = ( 一1 ) 4 ( 。“”卫 一训z d 1 ：c 1 _ e 2 ，_ d 1 ( ，) d 1 ( ，) ：l l k ( z y ) _ d 1 ( ，) ( z ，y ) 其中d 1 ( ，) ( z ，y ) = ( 一1 ) 4 ( ，) 8 【。) z f ( y ) 一，江f ) + ，( 。) y 令 z 1 ( l ，v 7 ) = k e r d l ，b 1 ( 工，y ) = i m d o ，h 1 ( l ，y ) = z 1 ( l ，v ) b 1 ( l ，v ) 则称h 1 ( l ，v ) 为李超代数l 的1 维上同调群，z 1 ( 厶v ) 中的元素称 为1 维一上循环，b 1 ( l ，v ) 中的元素称为1 维一上边界 6 引理3 1 ：1 ) 若f c 1 是1 维上循环的充分必要条件是v 。，y h g ( l ) ，( k ，y 1 ) = ( 一1 ) 嘶7 ) 叫。) z ，b ) + ，( 。) y ( 3 1 ) 2 ) f c 1 是1 维一上边界的充分必要条件是存在u h g ( v ) 使得对于 v z l 有 ，( z ) = ( - - 1 ) 8 2 4 ( ”) z - 一u 惯 ( 3 2 ) 证明1 ) 由于，c 1 是l 维一上循环，有d 1 ( ，) = 0 ，即 d i ( ，) ( z ，9 ) = 0 = ( 一1 ) 。( 7 ) 8 ( 。) z - ，( 3 ，) 一( i x ，y j ) + ，( 。) y ， 故，( z ，】) = ( 一1 ) 4 ( ，) 8 ( 。) z f ( y ) + f ( x ) y 反之亦然 2 ) 由于f e 1 是1 维一上边界，则3 v h g ( v ) 使得f = d o ( ) 于是f ( x ) = d o ( ) ) = ( 一1 ) 4 ( ”) “( 。) z 口一 - 。反之亦然 引理3 2 ：设f z 1 ( 厶v ) 是可逆元，则存在l 上的左超对称结 构定义如下： x y = f 。( ，( z ) ) ，v x ，y 工 证明 对于v z ，l ， ( - 1 ) 4 ( ，) d ( 2 ) z f ( y 1 = 一( 一1 ) d ( ，) d + 4 ) ，( ) x = 一( 一1 ) “( 。) 4 ( ”，( 可) z 由( 31 ) 式可得： 陋，y = ( f _ 1 f ) ( k 引) = f - i ( ( 一1 ) 4 ( 刖。z ，( ) + ，( z ) ，) = f - 1 ( 一( 1 ) 4 ( 。) d ( y f ( y ) z + ，( z ) ) = ( 一1 ) 4 ( 2 ) 8 ( ，可z + x y 7 此定义乘法运算容易验证为左超对称对称双线性运算，则在l 上存在 左超对称结构 任一李超代数l 能看作由伴随表示构成的l 一模这种情况下， d z 1 ( l ，v ) 意味着： d ( k 鲥) = ( 一1 ) 8 ( d ) 6 ( 。) z d ( ) + d ( z ) - y = ( 一1 ) 4 ( d ) 4 ( 。p ，d b ) 】+ 【d ) ，】 也可知d 是l 的超导子再由引理( 3 2 ) 我们有： 定理3 3 ：若李超代数l 有一个可逆超导子，则l 有一个左超对 称结构 定理3 4 ：设l = oo l i 是n 维李超代数，并且满足瓯l = l ，d i m l o d i m l i 如果对于任一v = l 的l 一模结构，有日1 ( 工，v ) = 0 ，则l 上无左超对称结构 证明假设l 上存在左超对称结构，李超代数同态f ：l _ g l ( l ) 由k 映射诱导k ：l 一，y - z g 满足等式： 【x ， - f ：( g ) 一( 一1 ) 4 。出9 f ”( z ) 显然恒等映射i d ：l _ 三是i 维上循环，即i d z 1 ( l v ) 所以i d _ 日1 ( l ，v ) 这样可以选取 = l o ，使得t = 。叫一也v x h g ( l ) 由于a d v ( x ) = - 。一z = 一x ，于是a d v = 一。d 由于( 工l = 有 s t r ( a d v ) = 0 ，同时s t 7 ( a d v ) = 一s t r ( i d ) 0 矛盾于是上无左超对 称结构 8 4 w ( m ，n ，童) 的平移同构和混合积定理 令f 是特征数p 3 的域简单描述模李超代数w ( m ，n ，t ) ”1 假设n ，n o 分别为自然数集和非负整数集令仇，ne n ，并且m 2 ，n 2 如果。= g c l l 1 0 f r a ) n 。“令川= i 曼= 1 。i 假设u ( m ) 是 由生成元素 护i “n 0 4 ) 生成的除幂代数令= ( t l ，) n ” 7 f = ( t t i ，7 r m ) ，其中l r i = p “一1 ，i = 1 ，m 令 a ( m ) = o l = ( q l ，一，q 。) n o ”ln ，7 r 。，i = 1 ，- ，m ) u ( m ，) = 则u ( m ，) 是u ( m ) 的子代数我们记矗= z “，i = 1 ，m ，其中e 。 = ( 民，d 。) n o ”a ( n ) 是由x m + 1 ，生成的外代数，其中 s = m + nq = u ( m ，) o a ( 九) ，简记x o q ，其中z u ( m ，t ) ，f a ( n ) 于是有3 2 。0 1 = z 。，x i 0 1 = z 。，1 0 奶= q ，其中q a ( m ，) ， i = 1 m ，j = m + 1 ，s 在f 2 中下列等式成立： 2 t a x 2 = _ ( 。三卢) z n + 口， n ，口a c m ，蓟 z 。x j = x j x 。，4 ( m ，) ，j = m + 1 ，一，s o i z j2 - - x j 2 2 i 2 ，j2 仃l + 1 ，。，s 其中( 。吉卢) = 。基( 左屈) 令 b 女= ( i l ，一，“) lm + i i 1 z = j d ( k 们) ( z ) = ( p ( 茁) p ( ) 一( 一1 ) 8 ( 。) 。( v p ( 掣) p ( 。) ) ( z ) = z ( z ) 一( 一1 ) 4 ( 。) d ( y ) y ( z z ) 满足( 3 1 ) 式 引理5 2 ：若万是w 的平移同构( 基向量空间w 与前面相同) ，垆 是位移，w 虿是w 的左超对称结构的充分必要条件是 妒( a ) ( b ) 一( 一1 ) d ( a ) 8 b 妒( b ) ( a ) = 0 ( 5 1 ) 证明必要性由于w 可是w 的左超对称结构，就有w 中的 乘法运算”- ”= a b = 尹( a ) ( b ) 1 4 ，b ) ：4 b 一( 一1 ) 。( 4 ) 4 ( b ( b a ) ：( a ) ( b ) 一( 一1 ) 4 ( 4 4 ( 8 ( b ) ( a ) = ( u ( s ( a ) + 妒( a ) ) ( b ) 一( 一1 ) 4 “日( 钉8 1 ( 口) + 妒( 口) ) ( a ) = f a ，b 1 + 垆( a ) ( b ) 一( 一1 ) “舢8 b ( b ) ( a ) 由命题51 中( 52 ) 式知妒( a ) ( b ) 一( 一1 ) 4 4 4 且妒( b ) ( a ) = 0 反之亦 然 定义5 1 ：若位移妒满足等式( 5 1 ) ，则称妒是左超对称位移 由引理5 2 ，一个左超对称位移诱导了w 上的一个左超对称结 构在下面引理可以构造一个左超对称位移，从而得到一个左超对称结 构 引理5 3 ：设g = ( 弓 ) 9 2 ( s ，q ) ，i = 1 ，s 如果d ( c ) 2 d ( d ：) 并且满足以下等式： c ，e j = ( 一1 ) 7 ( ) t ( j q g ， i ，j = 1 ，s ( 5 - 2 ) 1 6 n ( c a = ( 一1 ) 7 帅功( g ) ， i ，j = 1 ，s ( 5 3 ) 则妒：a = 圭吼d 。_ 量c ，是w 的位移若 嗉= ( 一1 ) 7 。i ，：1 ，s f 5 4 1 则妒为左超对称位移 证明设a 2 i 壹= 1 。d r , b = 重b i d i 幻( ) 显然d ( 妒) ：o2 = 1 一。 l 妒( a ) ，妒( b ) 】 = 妒( a ) 妒( b ) 一( 一1 ) “a ) 8 ( b 妒( b ) 妒( a ) 2 蓦( n c c f ) ( b j c j ) 一暑( 一1 ) 4 ( a ) 4 ( 司( b g ) ( 口。q ) 2 吾( 一1 ) t ( ) a ( b 3 ) a t b j c t c j 一( 一l j 州) 叫司”。) d ( n t ) b j 。q g 。写( 一1 ) 州”4 如。6 ，g q 一聂(