（天体物理专业论文）静态弯曲时空中粒子运动的相平面分析.pdf

摘要 本文利用等效势能曲线和相平面方法，研究了实验粒子在几种弯曲 时空中的运动。我们将粒子所在的时空从s c h w a r z s c h i l d 时空扩展到具有 质量四极矩盯的时空和具有任意的耦合参数q 的球对称d i l a t o n 时空。我 们推导出了粒子的运动方程，给出了稳定的圆形轨道的存在条件。我们 还讨论了粒子的能量e 、角动量b 、质量四极矩仃及偶合参数q 对粒子 运动及其稳定性的影响。通过数值计算，我们得到了粒子的最小稳定圆 形轨道的半径及其相应的最小角动量。对于所研究的s c h w a r z s c h i l d 时空、 质量四极矩时空和球对称d i l a t o n 时空中的粒子的运动，我们研究的主要 结果如下： ( 1 ) 在s c l l w a r z s c l l i l d 时空中，存在着稳定轨道与不稳定轨道。轨道的稳 定性和种类与能量e 和角动量6 都有关。我们用相平面方法，通过数值计 算得到了一些结果，这些结果与文献中已知的结果一致。对于6 3 4 6 4 m ( m 是s c l l w a r z s c h i l d 时空的a d m 质量) 的粒子，不可能有稳定的轨道， 最终只能旋进引力中心。相应的最小稳定半径为r = 6 m 。对于角动量满 足3 4 6 4 m 6 4 m 时，既有椭圆型的稳定轨道又有双衄型的稳定轨道。 ( 2 ) 在质量四极矩时空中，同样存在稳定轨道与不稳定轨道。轨道的 稳定性和种类不仅与粒子的能量e 、角动量b 有关，而且还与质量四极 矩盯有关。当6 3 7 6 0 m 时，粒子不可能有稳定的轨道，最终将被引力中 心所吸引。所对应的最小稳定半径为r = 7 4 3 9 m 。若选取b = 8 m ，对于 仃23 4 1 0 的粒子，也不存在稳定的轨道，最终也将被引力中心所吸引。与 s c h w a r z s c l l i l d 时空比较可见，由于质量四极矩的存在，粒子存在稳定轨道 的最小角动量6 增大，粒子圆型轨道的最小稳定半径也增大。 ( 3 ) 在d i l a t o n 时空中，能量e 、角动量6 和耦合常数a 等参数的变化 均会影响粒子的运动。若选取耦合常数= 2 及电荷q = o 8 彳，我们得 到，当6 3 1 5 9 m 时，不存在稳定的轨道，粒子最终将旋进黑洞。相应的 最小稳定圆形轨道的半径为j d m m = 6 0 7 m 。此外，我们还考察了耦合系 数对粒子运动的影响，发现稳定轨道和不稳定轨道的半径都随着的 增大而减小。 关键词：测地线，稳定性，相平面，s c h w a r z s c h i l d 时空，质量四极矩 时空，球对称d i l a t o n 时空。 p a c s ： 9 7 6 0 l f ，0 4 7 0 d y 0 a b s t r a c t i n 七h i sp a p e r ，吧i n v e s t i g a t et h em o t i o no fat e s tp a r t i c l ei nc u r v e ds p a c e t i m e s u s i n gt h ee 行e c t i v ep o t e n 七i a l sa n dt h ep h a s e p l a n em e t h o d w 色e x t e n dt h et r e a t m e n t s f r o mt h a to ft 1 1 es c h w a r z s c h i l ds p a c e t i m et os p c e t i m e sw i t hm a s sq u a d r u p o l e s 口a n d s p h e r i c a l l ys y m m e t r i cd i l a t o ns p a c e t i m e sw i t ha na r b i t r a r yc o u p l i n gp a r a m e t e r a w 色d e r i v et h ee q u a t i o n so fm o t i o na n dt h ee 妇s t e n c ec o n d i t i o n sf b rs t a b l ec i r c u l a r o r b i t s f b rs p a c e t i m e sw i t hd i 矗e r e n t 盯a n daw ed i s c u s st h ee h e c t so ft h ee n e r g ye a n da n g u l a rm o m e n t u mbo fat e s 七p a r t i c l eo nt h eo r b i t a lm o t i o na n di t ss t a b i l i t y 、宅o b t a i nn u m e r i c a u vt h ei n n e r m o s tc i r c u l a ro r b i t sa n d t h e i rc o r r e s p o n d i n g 龇l g u l a r m o m e n t u mb t h em a i nr e s u l t sa r e ： f11t h e r ea r es 七8 如1 ea n du n s t a b l eo r b i t si ns c h w a r z s c h i l ds p a c e t i m e s t h et y p e s o ft h eo r b i t sa n dt h e i rs t a b i l i t yd e p e n do ne a n dbo ft h et e s tp a r t i c l e 1 v v bu s et h e p h a s ep l a n em e t l l o dt oo b t a i nn u m e r i c a lr e s u l t sw h i c ha r ec o n s i s t e n tw i t hk n d w n r e s u l t so fs c l l w a r z s c h i l ds p a c e t i m e si nt h e1 i t e r a t u r e ：0 r b i t so fp a r t i c l e sw i t h 扫 3 4 6 4 mf w h e r emi st h ea d mm a s so ft h es c h w a r z s c h n ds p a c e t i m e 。) c a n n o tb e s t a b l e ；t h e yc a no n l ys p i r a li 1 1 t ot h ec e n t e ro fg r a v i t y t h ei n n e r m o s ts t a b l ec i r c u l a r o r b i ti sa tr ：6 mi 1 1s c h i w a r z s c h i l dc o o r d i n a t er f o r3 4 6 4 m 6 4 a 彳，t h e r ea r es t a b l ee l l i p t i c a la n dh y p e r b 0 1 i c a lo r b i t s ( 2 ) 工nas p a c e t i m ew i t hm a s sq u a d r u p 0 1 e s ，b o 七hs 七a b l eo r b i t sa n du n s t a b l eo r b i t s e x i s t t h et y p ea n ds t a b i l i t yo ft h eo r b i t sa r er e l a t e dn o to n l yt oe n e r g yea n d a n g u l a rm o m e n t u mb ，b u ta l s ot ot h em a s sq u a d r u p o l em o m e n t 盯 w h e nb 3 7 6 0 m n os t a b l eo r b i te x i s t ，a n dt h ei n n e r m o s ts t a b l ee i r c u l a ro r b i to c c u r s a t r ：7 4 3 9 订w h e n6 ：8 n 彳a n d 仃3 4 1 0 ，t h e r ei sa l s on os t a b l eo r b i t s t h e d a r t i c l ew i l lf a l l i n t ot h eb l a c kh 0 1 ee v e n t u a l ly c o m p a r i n gw i t ht h ec a s eo f 七h e s c h w a r z s e h i l ds p a e e t i m e ，t h ee x i s t e n e eo ft h em a i s sq u a d r u p o l ei n c r e a s e sb o t ht h e c r i t i c a lv a l u eo ft h ea n g u l a rm o m e n t u mba n dt h er a d i u so ft h ei n n e r m o s ts t a b l e c j r c l 】a ro r b j t ( 3 ) f o rd i l a t o ns p a c e t i m e ，t h eo r b i tt y p ea n d i t ss t a b i l i t yd e p e n do nt h ee n e r g y e 、a n g u l a rm o m e n t u mb a n dc o u p l i n gc o n s t a n 七q w h e n 乜= 2a n dq = 0 8 a 4 j i i i t h ei n n e r m o s ts t a b l ec i r c u l a ro r b i to c c u r sa tp m i n = 6 0 7 订 w h e n6 3 15 9 汀， t h e r ei sn os t a b l eo r b i t ，a n dt h ep a r t i c l e sw i l lf a l le v e n t u a l l yi n t ot h eb l a c kh o l e f b rt h ec a s eo fq ：= 2 ，w es t u d yh o wt h ea n g 吐l a rm o m e n 七u m6a f f 色c 七st h ec r i t i c a l v a l u eo ft h eo r b i t a lt y p ea n dh o wt h ec o u p l i n gc o n s t a n taa 王f b c tt h em o t i o no r b i t s o fp a r t i c l e s w ef o u n dt h a tt h er a d i u so fb o t hs t a b l ea n du n s t a b i eo r b i t sd e c r e a s e w h e n ( 卫i i 】c r e a s e s ：k e yw b r d s ： g e o d e s i c ，s t a b i l i b ，p h a s e p l a n e ，s c h w a r z s d l j l ds p a c e 七i m e ，s p a c e t i m e w i t hm a s sq u a d r u p o l e s ，s p h e r i c a l l ys y m m e t r i cd i l a t o ns p a c e t i m e i v 第一章绪论 1 1引言u 在地球上，我们仰望苍穹，可以看到太阳、月球以及各种各样的星 星，包括闪烁的恒星、明亮的行星和轮廓模糊的星云。有时候，我们还可 以看到划破夜空的流星和拖着长尾的彗星。通过天文望远镜和其他空间 探测手段，还可以观测到更多的恒星和星云，环绕行星公转的卫星，以 及存在于星际空间的气体和尘埃一一星际物质。所有这些，通称天体。 宇宙间的天体都在运动着。运动着的天体因互相吸引和互相绕转，而形 成天体系统。 宇宙中天体的运动一直是物理学工作者感兴趣的课题。研究天体的 运动，不仅有学术上的意义，而且有实际应用的意义。它可以帮助人类 防御小天体撞击地球，面对可能袭来的小天体，人类可以寻求保护自己 的方法。长期以来，天文学家对小行星和彗星等小天体的轨道、运行特 点等都进行了精细的观测和研究。这有两方面的科学价值：一方面小行 星和彗星的相关研究对于太阳系的起源有重大意义；另一方面，小天体 特别是近地小行星撞击地球会造成气候环境的灾变和人类的灭绝。寻找 防御小行星撞击地球的技术和方法，是研究天体运动规律一个很重要的 焦点。近年来，人类频繁地向太空发射人造卫星、宇宙飞船、航天飞机、 天空实验室。2 0 0 5 年我国成功地发射了神舟六号载人飞船。这些空间科 学技术都是建立在人们对天体运动规律研究的基础上的。 从开普勒的行星运动三定律到牛顿的万有引力定律，人们对天体运 动的认识又前进了一大步。牛顿引力理论的成就，是它第一次揭开了天体 的运行之谜。我们可以用牛顿的引力理论定量地分析天体的运动轨道。 自从利用牛顿的引力理论找到了海王星之后，经过若干科学家的推算和 搜寻，在1 9 3 0 年又找到了太阳系的第九颗行星一一冥王星。海王星、冥 王星这两颗铅笔底下算出来的星，曾使牛顿理论的威望增长到了顶峰。 但牛顿的引力理论后来遇到了一些无法克服的困难，例如，牛顿的引力 理论无法解释水星的运动规律。爱因斯坦用超人的智慧建立了广义相对 论，成功地解释了水星轨道进动效应。爱因斯坦广义相对论的提出，使 人们对于时空和引力有了一个全新的认识，引力场的研究获得了前所未 硕士学位论文 有的发展，新的观念也不断地涌现。当人们研究广义相对论引力场中粒 子的运动时，发现了它的运动不总是稳定的。早在十九世纪初，法国物理 学家松泊就推广了拉格朗日和拉普拉斯有关行星轨道稳定性的研究，还 计算出球体和椭球体之间的引力，他用行星内部质量分布表示重力的公 式，对2 0 世纪通过人造卫星轨道确定地球形状的计算仍有实用价值 1 。 引力场的研究也吸引了大量物理学家和物理学爱好者 2 8 。 对天体运动的研究，一个非常重要的方面是天体运动的稳定性问题。 例如，通讯卫星( 人造天体) 绕地球作圆周运动，它能否稳定的运动是 一个极为重要的问题。只要有适当的初始条件，质点在有心力场都能做 圆轨道运动。但是，这些圆形轨道运动是否是稳定的，以及在什么条件 下稳定，都是值得研究的。对于轨道稳定性的研究，常用的方法的有微 扰法和相平面法等。微扰法是将有关的物理量逐级近似，在数学、物理 等方面被广泛应用。相平面法是比较直观的几何方法，在非线性物理中 是常用的方法。前人在研究天体的运动及其稳定性这方面做了大量的工 作。例如，n o n n a nc r u z ，m a r c oo l i w e s 和j r v i l l a n u e v a 通过对等效势能曲 线的分析，研究了s c l l w a r z s c l l i l da n t i d e s i t t e r 时空中粒子运动的稳定性，并 找出了所有可能的运动轨道【2 。w 址d 研究了椭圆轨道的一个微小振动 情况f 9 】。2 0 0 1 年，王永久和陈菊华用相平面的方法研究了极端荷电黑洞 引力场中天体运动的轨道动力学问题 1 0 】。2 0 0 3 年，y a s u s h im i n o 系统地 研究了超大质量黑洞周围轨道的演化【1 1 。 本文我们从广义相对论中粒子的运动方程出发，利用相平面法，借 助于有等效势能的分析，研究s c h w a r z s c h i l d 时空中、质量四极矩时空中和 d i l a t o n 时空中粒子的运动及其稳定性。本文的结构如下：在第一章中， 我们给出了研究弯曲时空中粒子的运动所需要的背景知识。首先，我们 用拉格朗日的方法，推导出粒子在引力场中的一般运动方程，并给出了 粒子在球对称引力场中的运动方程。然后，我们仿照牛顿引力理论中等 效势能的方法，将粒子的运动分类。最后，我们介绍了相平面方法。第 二章，我们用相平面方法，利用等效势能研究了s c i 研a r z s c h i l d 时空中粒子 的运动及其稳定性。第三章，研究了具有质量四极矩的时空中粒子的运 动及其稳定性。第四章，研究了具有任意耦合参数的球对称d i l a t o n 时空 中粒子的运动及其稳定性。由于方程的复杂性，我们还使用了数值计算 和作图的方法。第五章是全文的总结以及本人对这一研究领域的一些展 望。 2 静态弯曲时空中粒子运动的相平面分析 本文采用g = c = 1 的自然坐标。 1 2自由粒子在弯曲时空中的一般运动方程 根据爱因斯坦的设想，当空间的几何知道后，自由粒子( 除了引力之 外，不受其它力作用的粒子) 的运动便由空间的几何完全确定了。爱因斯坦 将引力几何化，他假设在引力场中，自由粒子沿测地线运动。所谓测地线， 是弯曲时空中连接两个给定点的最短的线。爱因斯坦最先利用广义相对论 的两条基本原理一一等效原理和广义相对论原理，建立了引力场自由粒子 ( 质点和光子) 的运动方程。后来，爱因斯坦、i n f e l d 和h o 胁a n n 【1 2 ( 1 9 3 8 ) 、以 及v a f o c k 1 3 ( 1 9 3 9 ) 独立地证明了运动方程可以由引力场方程导出 1 4 】。 下面我们利用广义相对论的基本原理，从变分原理出发导出自由粒子在 弯曲时空中的一般运动方程【1 4 。 众所周之，在惯性系中，自由粒子的运动方程是直线方程，即闵可夫 斯基时空中的测地线方程。闵可夫斯基时空线元为 d s 2= 7 7 “v d z p d z ” 由变分原理 = 6 ( 钆芸著) v 2 址。 所确定的直线即闵可夫斯基时空中的测地线方程。式中a 为沿着测地线 的某一参量。上式所对应的拉格朗日函数为 l 三( 枷芸芸) v 2 由变分原理所得到的拉格朗日方程 阜f ，罢、一罢：o 石i 丽j 一面2 u 给出测地线方程为 罴( 华) = 壶杀芸芸 3 ( 1 4 ) 硕士学位论文 对于质点，可选取扒= 幽，此时l = 1 ( 类时测地线) ，则上式化为 d ，d z 丁、 1a 7 7 。丁如”d z 7 忑( 珊r 百) 2 乏赢五百 变换到加速系后，按广义相对论原理，自由粒子的运动方程应该是协 变的，所以有 = 6 儿芸芸) v 2 扯。 d ，d z 丁、 1a 9 l ，丁d z vd z 7 五百j2 互面百i 对于光线，即类光测地线，有d s = o 。即 跏警芸= o乳v 面丽。u ( 1 8 ) 式还可以写成较为对称的形式 箬+ 警警：。， 式中 r 铸= 等+ 箬一等 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 为时空联络。按等效原理，加速场即引力场。所以测地线方程( 1 8 ) 式或 ( 1 1 0 ) 即为引力场中自由粒子的运动方程。我们知道，联络描述了空间的 几何结构，由上面的讨论又看到，引力场的存在通过联络反映。可见， 引力场化为了时空几何。引力场中自由粒子的运动应该看作是一种沿测 地线所作的m 陨性运动”。 4 静态弯曲时空中粒子运动的相平面分析 1 3 粒子在球对称时空中的运动方程 球对称天体是宇宙中最简单的、也是最普遍的天体。最早发现的爱 因斯坦引力场方程解就是球对称的s d l w a r z s c h i l d 解。由于引力场由度规确 定，所以球对称引力场所对应的时空即为球对称度规描述的时空。球对 称度规定义为：在三维空间正交变换( 转动或反射) 下，线元d z s ( 或度规张 量夕“v ) 的形式不变。 用球坐标表示的空间两点之间的距离为出出，= 打2 十r 2 ( 硼2 + s i n 2 口d 妒z ) 。 因为在三维空间正交变换下，径向距离r 及其微分和时间t 及其微分都是 不变量，线元d 2 s 应该由这些不变量构成，所以球对称度规最普遍的形式 为 9 7 1 4 d s 2 = b ( r ，t ) d t 2 一o ( r ，t ) d 7 2 一r 2 ( d p 2 + s i n 2 臼矗妒2 ) ， ( 1 1 2 ) 其中b ( r ，t ) 、a ( r ，t ) 是未知函数。我们只考虑了度规场的几何对称性和坐 标选取的任意性，故不能把度规完全确定下来。要确定b ( r ，t ) 、a ( r ，t ) 的 具体形式，必须要通过求解爱因斯坦引力场方程。对于静态球对称引力 场，b ( r ) 、a ( r ) 与时间t 无关。我们主要研究静态球对称引力场中粒子的 运动。 在球对称引力场中，只需考虑粒子在臼= 丌2 的赤道面上运动就足够 了。我们用拉格朗日方程来推导粒子的运动方程。一个质量为m 的中性 实验粒子在球对称时空中运动的拉格朗日函数为 去m ( 害) 2 去仇 ) ( r ) z 2 一去m 。( r ) 于2 一三m r 2 眵2 ， ( 1 1 3 ) 式中丁为固有时，扛出抚矿= 咖d 丁，驴= d 妒d 丁。由于拉氏量三不显含t 和妒，由e u l e r _ l a g r a n g e 微分方程 昙( 昙) 一券= o ，爵i 面j 一面。u ， 可得两个运动常量 豢= 。号筹= 砌( 州) = ， 5 硕士学位论文 嚣= 。爿一嚣2 驴= z 式中是粒子的总能量，j 为粒子的总角动量。对于质点， ( 1 1 5 ) 式和( 1 1 6 ) 式分别解得和眵，代入( 1 1 3 ) 式，得 。 e 2j 21 r5 丽一丽忑两一丽 6 ( r ) o ( 7 )m 2 7 2 口( r ) 口( r ) ( 1 1 6 ) l ：1 。由 因为目寻丌2 ，r 只是妒的函数，故f = ( 打却) p 。则上式可表示为 m 2 r 4 e 2r 2m 2 r 4 一 j 2 6 ( r ) 口( r )o ( r )，2 口( r ) ( 1 1 8 ) 式中e = e m 是单位质量粒子的能量。( 1 1 7 ) 式或者( 1 1 8 ) 式即为在静态 球对称引力场中粒子的广义相对论运动方程。求解此运动方程可得粒子 的运动规律。 1 4 运动的分类 我们知道，在牛顿的引力理论中，质点在有心力的作用下，其运动轨 道可以分为椭圆轨道、双曲轨道和抛物轨道。我们也可以仿照牛顿理论 中质点运动的分类方法，将粒子在弯曲时空中的运动进行分类。首先讨 论牛顿力学中粒子运动的分类 1 5 】。粒子在平方反比引力作用下，牛顿动 力学方程的初积分是 d 三 面一 = e + 半一豢， ( 1 2 0 ) 其中l 和e 是积分常数，分别代表粒子单位质量的角动量和能量。满足 上面方程组粒子的运动可以分为两大类：一类是按椭圆型轨道运动的束 缚态，它对应于e o 时的情形。另一类是按抛物型或者双曲型轨道运动 的散射态，它对应于e o 时的情形。对于l = o 的特殊情形，粒子既不 6 静态弯曲时空中粒子运动的相平面分析 是束缚态也不是散射态，它将被引力中心所吸引，我们把这种情形叫做 吸收态。 这种分类可以从( 1 2 0 ) 式直观地看出。引入径向运动的等效势 附) = 一半+ 嘉 ( 1 - 2 ) 第一项是牛顿引力势，第二项是等效的离心势。其等效势能曲线如图1 1 所示。 l 0 e 0 r 图1 1 ：牛顿的等效势。 利用等效势，粒子径向动力学方程可重新写成 去( 塞) 2 = e y c r ， 因为等式左边恒为正数，可能的运动只能发生在e 芝y ( r ) 的范围内。由 图1 1 可见，当l o ，e 4 ，在r 很小的地方有一个峰值大于1 的势垒，此 外在r 较大的地方仍有一个势阱。这就把可能的状态分为了三类： ( 1 ) e 2 1 ，束缚态； ( 2 ) 1 e 2 嘛。z ， 散射态； 8 静态弯曲时空中粒子运动的相平面分析 ( 3 ) e 2 嘿蚴， 图1 2 ：相对论性等效势。 吸收态。 随着三的减小，中心势垒的高度降低。在3 4 6 4 三4 的范围内， 嘿口。sl ( 如图1 2 所示) 。在这种情况下，出现散射态的可能性消失了， 只有束缚态和吸收态。若 3 4 6 4 ，等效势的峰和谷都消失，这时唯一 的可能性是实验粒子被力心吸收。以上就是相对论性球对称场中的运动 分类情况。这些分析都基于一个假定，即引力源的几何半径充分小，以 至s c h w a r z s c h i l d 外部解对很小的r 仍能适用。 相对论性的结果与牛顿结果的重要不同之一，就是引力场中运动粒 子被引力源吸收的可能性增加了。按牛顿理论，运动粒子的角动量必须 充分小，即运动方向几乎是准确地指向引力源，它才可能落到引力源上 去，否则它在越过双嗌线的近心点后将重新向远处飞去而构成散射态。 按照相对论性的分析我们看到，即使l 很大，只要e 充分大，粒子就会 绕力心回旋多次后坠落。这一点对讨论致密天体对空间粒子的吸积问题 是一个重要的观念。 稳定性要求系统的能量有最小值。因此，稳定的圆形轨道满足条件 警一o ，警。ra r ( 1 2 7 ) 由稳定性条件可知，等效势能曲线最大值对应于粒子的不稳定圆轨道， 而最小值对应于稳定的圆形轨道。另外，按牛顿理论，可以实现半径任 意小的圆形轨道，即结合能任意大的束缚态。从相对论的等效势看出， 9 硕士学位论文 最小的圆形轨道半径是6 g m ，这亦可根据( 1 2 3 ) 式计算得到。 1 5 相平面方法 在经典力学中，系统位置坐标和速度( 或动量) 构成的空间称为相空 间。“相”的英文字是“p h a s e ”，意为状态。因此相图即为系统的状态 图。相空间中任一点代表某时刻系统的运动状态，称为相点。相点连续 变化形成的轨道描述了该系统的运动过程，这条轨道称为相轨道。我们 可以形象地将相空间内的相点想象成一种流体中的质点，相点的运动构 成一种相流，因此相轨道是不会相交的。相流可以用平常处理流体运动 的连续性方程去描述。用相空间里的轨道来表示系统的运动状态的方法 是法国伟大数学家庞加莱( p 0 i n c 甜e ) 于十九世纪末提出来的，现在已成为 广泛使用的一种描述系统运动状态的方法，尤其在非线性物理学中是常 用的方法。若相轨道是一条闭合曲线，则说明系统作周期运动。 对于系统的一维运动，以位置z 和速度圣( 圣= 如班) 为坐标建立坐 标系所构成的平面称为相平面。在相平面上表示系统运动的方法称为相 平面法 1 6 。相平面方法是一种直观的几何方法，它适用于系统的一维运 动【1 7 。一维系统的运动方程一般可写成 这是一个二阶常微分方程，它等价于两个一阶方程 圣= 可，雪= ，( z ，可) 上面二式相除，即得相轨道方程 d 可，( z ，秽) 一= d z 可 ( 1 2 8 ) ( 1 3 0 ) 当方程( 1 2 8 ) 进行解析求解困难时，利用方程( 1 2 9 ) 便于数值求解，并可 作出相轨道图。从相图上可以对系统的运动有直观的、定性的了解。 在相平面上，若某点有圣= o 、1 7 = o ，则这样的点称为奇点。因为对 它有咖如= o o ，即相轨道的方向是不确定的。从力学角度看，奇点即 1 0 静态弯曲时空中粒子运动的相平面分析 平衡点，表示系统处于平衡态。研究系统在平衡点受微扰后的发展情况 是很重要的，可以了解这个平衡态是否稳定及可能如何演化等。 运动方程的解反应了系统的运动性质。只有求解运动方程，才能知道 系统运动的性质和各种形式。而相空间的轨道就是由运动方程得到的， 因此相空间中的轨道是表示运动方程的解和系统运动特征的一种形象方 式【1 2 】。 第二章s c h w a r z s c h i l d 时空中粒子运动的相平面分析 2 1s c h w a r z s c h f l d 时空中粒子的运动方程 爱因斯坦引力场方程的第一个严格解是数学家、天文学家k s c l l w 甜z s c h i l d 于1 9 1 6 年求得的 1 7 。此解的唯一性于1 9 6 7 年由w i s r a e l 给出【1 8 。在所 有引力场方程解中，s d 州a r z s c h i l d 解是最简单的。实验粒子在s c h w a r z s c h i l d 时空中的运动，文献中已有结果 1 9 。本节，我们将相平面方法应用于在 s c h w a - r z s c h i l d 时空中粒子的运动，并将我们所得的结果与文献中已有的结 果比较。 s c h w a r z s c h i l d 时空线元为 1 4 】 d s 2 ：f ，1 一坐h 2 一( ，1 一丝、) 咖2 一r 2 ( d p 2 + s i n 2p d 妒2 ) ( 2 1 ) 它描述质量为m 的静态球对称天体的外部引力场。 我们用拉格朗日( 以后简称拉氏) 方法来建立粒子的运动方程。因为 s c h w 盯z s c h i l d 场是球对称，所以我们只需考虑粒子在p = 丌2 ，即在赤道面 上的运动。一个质量为m 的中性实验粒子在s w c h a r z s c h i l d 时空中运动的拉 氏量为 l= = 式中丁为固有时， _ 出帆矿= 打d 丁，驴= d 妒d 丁。 由于拉氏量l 不显含t 和妒，由e u l e r l a g r a n g e 微分方程 昙( 昙) 一昙- o ， 3 ， 可得两个运动常量 豢= 。号豢= m ( 一半) 涵， 1 3 ( 2 4 ) 妒 m 一2 一 m r 2 一一 竺2 一 o m r 、2一 出磊 一 ， 1 “* 矿m一2 硕士学位论文 薏= o 辛一筹2 驴= zd 是运动粒子的总能量，为粒子的总角动量。由( 2 4 ) 式和( 2 5 ) 式分别 解得和驴，代入( 2 2 ) 式，得 矿2 = 以羔( 1 一半) 一( 1 一半) 6 ， 因为口= 丌2 ，r 只是妒的函数，故矿= ( 打却) 9 。再令2 m r 二r ，上式 又可表示为 ( ，筹卜掣一警+ 警一r 。+ 砂 ( 2 7 ) i 面j2 1 万一一 旷+ 百广一r + r 。 ( 2 7 ) e = e m 是粒子单位质量的能量，6 = m 是粒子单位质量的角动量。( 2 6 ) 式或者( 2 7 ) 式即为在s c h w a r z s c h i l d 时空中粒子的广义相对论运动方程。 2 2s c h 、豫r z s c h i l d 时空中粒子的运动及其稳定性分析 求解运动方程( 2 7 ) 式，可知道粒子的运动轨迹。文献【1 9 通过对方 程的解析分析，得到了一些精确的结果。例如，粒子运动的最小圆轨道半 径为6 m 。下面我们运用相平面方法，利用有效势能来分析粒子的运动。 令z = r ，可= d r 却，则z 和y 构成了粒子运动的一个相平面。( 2 7 ) 式给出了粒子在相平面上的相轨迹。当d r 如= o 时，由( 2 7 ) 式，等效势 能略，可定义为 l 2l 2 喝，一1 = 一r + 赤r 2 一赤r 3 - ( 2 8 ) 我们可以通过对粒子各相应等效势能曲线的分析，来研究粒子轨道的种 类及稳定性。对于s 出w a r z s c h i l d 时空中粒子的运动，其稳定性条件为 和 掣：卅羔r 一豢肚。， 掣：羔一羔r 独d r 22 m 22 m 2 一一一 1 4 ( 2 9 ) 静态弯曲时空中粒子运动的相平面分析 仿照牛顿力学中运动的分类，e z 一1 = o ( 除去粒子的静能) 将粒子的轨 道分为椭圆型轨道和双曲型轨道。e 。一1 o 为 双曲型轨道。 在图2 1 中，我们作出了当6 = 6 m 时粒子的等效势能曲线和相轨迹。 轨迹1 到5 分别对应于能量e 2 1 ：o 9 0 0 ，o 6 9 6 ，o 5 0 0 ，o ，一o 0 2 0 。根据稳 f 1 4 | t，、 。0 ： ! ；i；彳 雾一- 芯一j ： j 心 图2 1 ：等效势能曲线和运动粒子的相平面图。选取参数6 = 6 m 。 定性条件，由图2 1 可见，轨道2 是稳定的临界轨道。它外面的轨道是不 稳定的( 如轨道1 ) ，而它里面的轨道是稳定的。根据轨道种类分界条件 e 2 1 = o ，轨道4 即为轨道种类的临界轨道，它将轨道分为椭圆型轨道 和双曲型轨道。在它里面的轨道为椭圆型轨道( 如轨道5 ) ，而它外面的轨 道则为双监型轨道( 如轨道3 ) 。 粒子的运动不仅与能量有关，还与粒子的角动量有关。为了研究粒子 角动量对粒子运动的影响，我们在图2 2 中作出了粒子不同角动量的等效 势能曲线。势能曲线中，从上到下所对应的粒子的角动量分别为6 = 6 m 、 6 = 4 m 、6 = 3 7 m 、6 ：3 4 6 4 m 和6 = 3 m 。由图2 2 可见，6 = 3 4 6 4 m 时 的势能曲线是一条临界曲线，若6 3 4 6 4 m ，曲线没有了拐点，意味着 1 5 硕士学位论文 6 3 4 6 4 m 的粒子不可能有稳定的轨道，最终都将被引力中心所吸引。临 界曲线拐点处对应r = o 3 3 ，即r = 6 m ，表示s c h w 盯z s c h i l d 引力场中稳定 圆型轨道的最小半径。 将图2 2 结合图2 1 进行分析，我们可以得到以下结论： ( 1 ) 6 3 4 6 4 m 时等效势能曲线不存在拐点，此时的粒子不再具有束缚态， 也不再具有稳定的运动轨道。粒子最终将被引力中心吸引。 ( 2 ) 3 4 6 4 m 2 m 的范围内，条件尼 o 总能满足。 由图3 1 可知，轨道2 是稳定的临界轨道。它外面的轨道是不稳定 的( 如轨道1 ) ，而它里面的轨道是稳定的轨道。根据轨道种类分界条件 e 。一1 = o ，轨道4 即为轨道种类的临界轨道，它将轨道分为椭圆型轨道 和双曲型轨道。在它里面的轨道为椭圆型轨道( 如轨道5 ) ，而它外面的轨 道则为双曲型轨道( 如轨道3 ) 。 2 1 硕士学位论文 | ， 绷。簪 扑、； 万n 梨、 心多刈 ： 图3 1 ：等效势能曲线和运动粒子的相平面图。选取参数6 = 8 m ，盯= 2 0 。 我们知道实验粒子在s c h w a r z s c h i l d 引力场中运动时，若粒子的角动量 6 3 4 6 4 m ，则不可能存在稳定的轨道，最终将被引力中心吸引“= 3 4 6 4 m 所对应的稳定圆形轨道的最小半径为r = 6 m 2 1 。稳定的圆形轨道存在的 条件为能量有最小值，即满足条件d ( 喝，) d r = o 和d 2 ( 唱，) d r 2 o 。在质 量四极矩引力场中，即 掣：一蒜胪一淼肌蒜m 淼肌蒜咒e d r6 4 0 0 m 2 1 9 2 0 m 2 一8 0 0 m 2 。1 8 0 0 m 2 8 0 m 2 蒜硝+ ( 吾一蒜) r 4 一品r s 一( 三+ 羔妒+ 羔r 一 2 2 静态