（工程热物理专业论文）往返式冷凝器中两相流流场及液阻的研究.pdf

东北人学颤上学位论文 摘要 往返式冷凝器中两相流流场及液阻的研究 摘要 采用两流体模型建立了往返式冷凝器中的两相流体流动的数学模型，通过分 析和推导得出了适用于冷凝管为圆管并在垂直状态下的液阻计算方程组，并将计 算结果和试验结果进行了比较和分析，证明在这种状态下，计算结果与试验结果 吻和的很好。并进一步对发生液阻前一瞬间的流场进行了数值计算，得到了汽相 速度，液相速度，截面汽相占有率和其它参数的分布曲线。 关键词：两相流液阻流场往返式冷凝器 查! ! 查兰堡主兰竺丝兰 塑矍 s t u d y o nf l u i df i e l da n df l o o d i n gr a t ei na n r e c i p r o c a t i n gc o n d e n s e r a b s t r a o t m a t h e m a t i c a lm o d e lo f t w o p h a s ef l o wi n ar e c i p r o c a t i n g c o n d e n s e ri se s t a b l i s h e d t h r o u g ht w o 一1 i q u i d m o d e ii nt h i s t h e s i s f l o o d i n g r a t e e q u a t i o n s a r e d e v e l o p e d w h i c hi s a p p l i c a b l ef o rv e r t i c a lr o u n d p i p e s ，i n a r e c i p r o c a t i n g c o n d e n s e rt h r o u g ha n a l y s i sa n dd e d u c i n go ft h em a t h e m a t i c a l m o d e l c a l c u l a t i o nr e s u l t sa r ei n g o o da g r e e m e n t w it ht h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s t h r o u g hc o m p a r i n g a n d a n a l y z i n g t h e i r r e s u l t s i nt h es a m e t i m e ，d i s t r i b u t i o n c h a r t so f v a p o r v e l o c i t y ，c o n d e n s a t ev e l o c i t y ，日a n d o t h e r p a r a m e t e r s a r e o b t a i n e db yn u m e r i c a lc a l c u l a t i o na tt h et i m eo fa p p e a r a n c eo f f l o o d i n g k e yw o r d s ：t w o p h a s ef l o w ；f l o o d i n g ： f l u i df i e l d r e c i p r o c a t i n gc o n d e n s e r 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成 果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包括本人为获得其它学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示谢意。 本人签名： 日期： 玛喇庇 。j _ o 辱) | o 东北大学硕士论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 两相流及其基本概念 异种物体或系统中，各存在分界面的独立物质称之为相。自然界常见的物 质可分为三相：气相，液相和固相。由任意两种存在分界面的独立物质组成 的物体或系统都称之为两相物体或两相系统。两相物质的流动称之为两相流。 例如，水和冰在一起流动是两相流，蒸汽和水在一起流动也是两相流。另一 种情况，如盐和水的溶液，尽管存在着两种物质，但它们在一起就不是两相 流，而是单相流，因为盐在水中溶解形成均匀的流体，没有明确的分界面； 气和水在一起是双组分的两相流；蒸汽和水在一起是单组分的两相流，因为 蒸汽是由同一种物质水蒸发而成的。 在两相流中，两相之间不仅存在分界面，而且这一分界面是随着流动在 不断变化的。因此，两相流定义为存在变动分界面的独立物质组成物体的流 动。 根据两相流的定义，可以将两相流大致分为三类：气体和液体共同流动 的气液两相流；气体和固体颗粒共同流动的气固两相流；液体和固体颗粒共 同流动的液固两相流。此外两种组分不同的液体的共同流动也属于两相流的 范畴。 气液两相流根据物质组分的不同又可分为两种。由同一组分的两种相组 成的气液两相流称为单组分汽液两相流。如由水蒸气和水组成的两相流。由 不同组分的两种相组成的气液两相流称为双组分气液两相流。例如由空气和 水组成的两相流。在不发生相变的流动过程中，单组分汽液两相流和双组分 气液两相流适用同样的物理规律，但在存在相变的流动过程中，单组分汽液 两相流和双组分气液的流动物理规律是不同的，应该采用不同的数学模型【l 】。 1 2 汽液两相流研究的进展和应用 汽液两相流的流动工况在动力，化工，核能，制冷，石油，冶金等工业 中经常遇到。在这些具有热交换的工业设备中普遍存在着两相流动的传热和 相变问题。例如，在核点站和火力发电站中的各种沸腾管、各式汽液混合器、 汽液分离器、各种热交换器、精溜塔、化学反应设备、各种凝结器以及其它 设备中都广泛存在着汽液两相流体的流动、换热和相变问题。因而要经济可 东北大学硕士论文 第一章绪论 靠的研制和运行这些设备必须具备汽液两相流的相关知识。 汽液两相流的研究和发展是与工程技术的发展密切相关的。自1 8 世纪瓦 特发明蒸汽机以来，因为缺少汽液两相流的相关知识曾发生过不少工业事故。 早先的一些工业锅炉爆炸事故促使人们去研究锅炉的水循环和传热问 题。在1 9 世纪初和2 0 世纪末，已有一些文献论述了船用锅炉中的水循环和 传热问题。有的还论及了汽液两相流体流动时发生的脉动问题l i j 。 在上世纪3 0 年代，发表了一些研究锅炉水循环汽液两相流动以及与汽液 两相流不稳定性相关的文章。当时研究的参数一般都在中压以下。上世纪5 0 年代，不仅对双组分汽液两相流的流动阻力等问题进行了研究，而且还将研 究深入到具有热交换的单组分汽液两相流领域。研究参数也逐渐趋向高压。 上世纪5 0 年代后，由于工业技术的飞速发展，( 例如，动力工业中商温高 压参数的引入和宇宙航天工业及商用核点站的发展。) 促使汽液两相流的研究 工作进一步深入。1 9 5 0 - - 1 9 6 0 年期间，在工业生产和居民生活中开始采用直 流锅炉，在这种锅炉中，蒸发管的进口工质为具有欠热的水，出口工质是干 度为1 0 的干饱和蒸汽或过热蒸汽，因而其中的流动和换热工况与一般自然循 环锅炉蒸发管中低干度蒸汽的流动和换热工况大不相同。此外，在核反应堆 中的热负荷要比锅炉中的高几倍到几十倍，为了避免换热面烧损也必须深入 研究高干度、高热负荷下的具有热交换的两相流问题。因而，对当时的工程 实际而言，只考虑整根蒸发管中汽液两相流的平均特性已不能满足工程发展 的需求，必须更加详细地研究关于汽液两相流的流动结构以及在整个干度范 围的传热特性从而推动工业的发展，所以在此期间许多学者对汽液两相流的 流型以及传热恶化问题进行了较为深入的研究j 。 近三十年来，西方发达国家建立了功率达兆瓦级的实验台，不少实验能 用实物在运行压力下进行，同时，对汽液两相流和传热也进行了较为深入的 理论分析。对于汽液两相流的流动和传热机理、流动结构型式及其影响因素、 流动时各相的分布及摩擦阻力计算、流动时的动态不稳定性及沸腾传热和强 化传热问题都进行了比较深入的研究和分析，并得出了许多关系式【4 ，5 ，。关于 汽液两相流流动和传热研究成果的专著也大量出版，使汽液两相流流动和传 热的研究达到了一个新阶段。 近十几年来，与汽液两相流流动和传热相关的研究更加深入和广泛。同 时使用计算机对汽液两相流流动和传热问题进行数值模拟和数值计算得到了 长足的发展，已深入到研究领域的各个方面，编写了大量的计算机应用程序， 开发了许多应用软件f 7 j 。 在汽液两相流动中，汽液两相的流速是不同的，流动的结构又是多种多 东北大学硕士论文 第一章绪论 样的，而且是带随机性的，因而要全面而准确地描述汽液两相流体的流动状 况是相当困难的。因而，研究汽液两相流动要从汽液两相流的结构及两相流 的一些基本参数入手。 1 3 管内汽液两相流的有关参数 1 截面含汽率a 及截面含液率( 1 一口) 在汽液两相流作一维流动的管道中，若管道流通截面积为彳，汽相和液 相所占截面积分别4 为和a g ，则汽相所占截面积与总流通截面积之比为截面 含汽率，用口表示；液相所占截面积与总流通截面积之比为截面含液率，用 ( 1 一口) 表示。即： 口：生 a ( 1 1 ) ) = 鲁 ( 1 - 2 ) 2 - 质量流量m ，汽楣质量流量脚。和液相质量流量 每秒流过管道流通截面积的汽液两相流体质量称为质量流量，用m 表示； 每秒流过管道截面积的汽体质量及液体质量称为汽相质量流量和液相质量流 量，分别用坍。和脚，表示。并有： 朋= m g + m f ( 1 t 3 ) 3 质量含汽率x 和质量含液率( 1 - x ) 汽液两相流体中汽相质量流量所占两相质量流量的份额称为质量含汽 率，用芏表示：液相质量流量所占两相质量流量的份额称为质量含汽率，用 ( 1 - - x 、表示。质量含汽率对单组份汽液两相流而言也称为干度a 质量含汽率和 质量含汽率用数学式表示时分别为： x ：9 l g ( 1 a ) 一3 一 东北大学硕士论文第一章绪论 ( 1 - x 、；堕 ( 1 5 ) m 4 质量流速g 质量流量除以管道流通截面积为质量流速，用g 表示。即： g ：里 + ( 1 6 ) a 质量流速g 和汽相质量流量肌。及液想质量流量m ，之间存在着这样的关系： m g = g a x ( 1 7 ) m ，= g a ( 1 一z ) ( 1 8 ) 5 体积流量q ，汽相体积流量皱和液相体积流蜴 每秒流过管道流通截面积的两相流体体积称为体积流量，用q 表示；每 秒流过管道流通截面积的汽相体积和液相体积分别称为汽相和液相体积流 量，分别用绞和9 表示。并有： a = 绞+ q f 耿和9 可分别表示为： 绒2 薏 q f ：m l p | 式中：以一汽相密度k m 3 ： n 一液相密度k g m 3 。 6 汽相真实流速“s 和液相真实流速甜， 汽相真实流速“s 和液相真实流速“，可分别表示为： 驴凳 ，- - 。：鱼 彳， ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 东北大学硕士论文第章绪论 式( 1 1 0 ) 及( 1 1 1 ) 分别代入式( i 1 2 ) 及( 1 1 3 ) 可得： ：! l 8 p e , a g n ，：l 1 以a g 式( 1 7 ) 及( 1 8 ) 分别代入式( 1 1 2 ) 及( 1 1 3 ) 可得 x g 驴面 ”：( t - x ) g ( 1 一a ) p ， ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 。1 7 ) 7 汽相折算速度厶和液相折算速度五 汽体体积流量和管道截面积之比为汽相折算速度，用j g 表示：液体体积 流量和管道截面积之比为液相折算速度，用_ 表示。 驴鲁 ，。， 2 鲁 8 滑动比s 汽相真实速度和液相真实速度之比称之为滑动比，用s 表示。即： s ：皇 ， ( 1 2 0 ) 9 滑动速度“s 汽相真实速度和液相真实速度之差称之为滑动速度，用“s 表示。即： = 驴驴鲁一击 1 0 汽液两相流体平均密度成 汽液两相流体分开流动时的平均密度以可用下式求得： ( 1 2 1 ) 东北大学硕士论文第一章绪论 p ，= a p g + ( 1 一a ) p 汽液两相流体均匀混合流动时的平均密度可用下式求得： m 成2 否2 1 1 汽液两相流体平均流速“m 汽液两相流体分开流动时的平均流速甜m 可用下式求得： u = g l u g + ( 1 一a ) u ， 汽液两相流体均匀混合流动时的平均流速m 可用下式求得： g 3 亏 应用式( 1 6 ) 和式( 1 1 1 ) 可将式( 1 2 5 ) 改写为： 驴g l k p , 爿日j 1 4 液阻和回流现象及其研究的进展 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 - 2 5 ) ( 1 2 6 ) 在反应堆的瞬态过程或往返式冷凝器的运行工况中，存在着汽液两相流 动方向相反的情况( 例如在大破口失水事故中，应急冷却水注向压水堆压力 容器下行通道时，会与从堆芯及下腔室冒出来的蒸汽相遇，两者流动方向不 同，形成相向流，又叫汽一液逆向流) 。最常见的逆向流是垂直方向的( 例撕， 垂直的往复式冷凝器，冷却水塔和降模式化学反应器都为垂直方向) ，但在小 破口失水事故中，其两相流动是水平方向的，此时，由于自然循环中断，在 蒸汽发生器管内的蒸汽冷凝而形成的凝结水，当它通过主管道的水平部分返 回堆芯时，与通过蒸汽发生器的蒸汽相遇，就形成了水平方向的逆向流动。 在汽一液逆向流动过程中存在着两种极限情况，一种称之为液阻，另种称 之为回流。对于液阻和回流现象虽然已进行了许多实验研究，得出了+ 一些经 验公式瞵9 i ，但是它们的适用范围很小，关于理论方面的研究更加欠缺。 1 液阻和回流现象的描述 一个实验装置如图1 1 所示，一根垂直的管子上方开有许多小孔，从小孔 - - - - 6 - - 东北大学硕士论文 第一章绪论 中注入液体。实验开始时下方没有气体进入，注入的液体在一定的流量下， 形成液膜向下流动。随后从下部开始通入气体，如果气体以较低流量向上流 动时，在管内就形成了逆向流动，如图1 1 a 所示。当气体流量增加但还不是 很大时，液膜厚度保持不变，其值等于n u s s e l t 数，用e 表示，假定是层流时 ( 液体的r e 4 0 0 0 ) ，有： e ： 丝l 3 ( 1 2 7 ) l7 啦j 式中v ，液体运动粘度；q 液体容积流量； d 管径； g 重力加速度。 ab cdef g 图1 1 液阻和回流试验中的各种工况 f i g 1 1p h e n o m e n o no ff l o o d i n ga n dc i r c u m f l u e n c ei ne x p e r i m e n t a t i o n 当气体流量继续增大时，液膜开始变得不稳定，出现大幅度的波动，此 时，在液膜的波峰处不断有液滴脱落，被气流携带到注射孔平面以上，这些 液漓离散在气流中心部，同时又有一些液漓沉积到液膜中，从而使该处的液 膜厚度有所增加，如图1 1 b 所示，此时在注射孔平面以上的管子中压力急剧 增加，这种现象称之为液阻。如果气体流量继续增加，则在注射平面下方的 流量变得更少，当气体的流量增大到一定值时，向下流动的流体流量变为零， 如图l ，1 c 所示。再增大气体流量时，在管子上部将出现有液条的环状流或单 东北大学硕士论文 第一章绪论 纯的环状流，如图1 1 d 所示。此时，如果减小气体流量，减小到一定值时， 液膜开始出现不稳定，在交界面上又出现大幅度波动，压降增加，液膜向下 移动到注射孔平面的下方，这种现象称之为倒流，如图1 1 e 。当气体流量继续 减小时，液膜又开始向下流动，如图1 1 f 所示，管子上部形成干燥区，如图 1 1 9 所示。 2 经验公式 w a l l i s 通过试验和推导，总结出了一些有用的关系式，具体表述如f ： ( 1 ) 液阻时： w a l l i s 将无因次折算速度定义如下： 口访 ：。， 式中 ( 1 2 9 ) “硝，一气体折算速度和液体折算速度；“茚，与f r o u d e 数相似，代表惯 性力与重力之比。 w a l l i s 用g r a s h o f 数来考察液体的粘度h ： 卟 掣掣 5 。珈， 式中： t 代表重力与粘性力之比。 w i l l i s 用下面关系式来表征液阻点： ”：+ m 村j 5 = c ( 1 3 1 ) 式中的脚和c 分别表示在图1 2 和图1 3 中。 a ) 当重力远远大于粘性力时，此时c 很大，则m = 1 ，c 决定于管子进 口情况： 圊边管予 o 8 8 c 。竿罟= c oq ，+ 忐 眩 由此式可得到用漂移参数c 。，“珂表示的滑速比关系式： s = l = 1 - + 砖案去 由此可知，只要知道参数c o 和，两相界面之间的曳力表达式即可求得。 利用漂移模型的结构条件，可以列出多种形式的两相流热工模型。最简 单的模型是四方程漂移模型。在这种模型中假设弥散相处饱和态，这等于预 先规定了一个相温度，从而减少了相间能量交换的结构特性条件，并可省去 ， 。 单相介质的能量方程。为了简便起见，在后面的章节中省略参数的界面平均 东北大学硕士论文 第二章两相流分析数学模型概述 付号 。 令g = p ，+ & j 。，且假设瓦2o ，由式( 2 1 1 ) ，可得混合物质量方程： 昙h ( 1 一n ) + 岛a 】+ 鲁b 山+ & 矗) + 去b + & 厶) 罢： ( ：御) 堕堕丝 将式( 2 2 0 ) 的右侧第一，二项展开，分离出a f o x 和o x ，带入式： 鲁p 羽一口) 一】+ 昙h ( 1 一“，彳】= 一删和昙h 鲥】+ 昙6 9 。爿】= 蹦，并令 嘶2 芒，2 鲁，妒。三，可以的到下列混合物动量方程： 一罢也( 1 - a ) + p g a 一t 1 - w u w 一悟瑚吲。鼯) 州h 壤。卜rj , ： 枷丢( 剖w 导 泣：， 用与导出动量方程相类似的方法可以得到下列混合物能量方程： 帆一啊f = 学“+ 芸一以口警一以厶警一肿- 口) 鲁一舟 警 ( 2 2 2 ) 由式鲁【p 。鲥峰h 。一】，可得到下列气相质量方程 o a 动g fn8 p gjg a p g jga a o rj 瓠p g p g fp z o xa0 x ( 2 。2 3 ) 式中r 为单位体积凝结率。 式( 2 2 0 ) 一( 2 2 3 ) 即为以漂移模型写出的场平衡方程组。 此外，比较常用的还有一种五方程漂移模型，它适用于气相和液相都不 处于平衡态的情况。该模型以气夜相对速度“，来表示两相间的相对运动： “r 2 一“ ( 2 2 4 ) 算用后屯、谏序“m 来表示气浦混合物的整体运动： 东北大学硕士论文 第二章两相流分析数学模型概述 = 瓦g = a p r u g i + ( 1 _ - a ) p t u ip。p。 式中岛2a p g + ( 1 - a ) p t 。根据式( 2 2 5 ) 得到： a p g g + ( 1 一a ) p l u l = p m u 。 利用式( 2 2 4 ) 可导出 ”2 = “m + ( 1 一a ) p t u ， 几 “l2 ”m 一a p g u ，_ p m 由它们可以导出下列守恒方程组： 混合物质量守恒： 挚+ 昙h l i r a ) ：0 混合物动量守恒： 鲁帆+ 去昙 d f p 一僦l a p g ( 1 一a ) p ，u ； p m 混合物能量守恒； 。一 鲁h s ：) + 昙h 蠢) + 丢 + p 堕o x 以o x i a ( 1 a ) ( p t ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 3 0 ) 卜去芸埘小g 泣。， i 业警 叫哦哦 式中混合物总能e ：为： 岛 p ：a p g e g + ( 1 - a ) p t e _ ： p 。 气相动量守恒： 导c 峨，+ 昙 ) + 昙 气相能量守恒： a p g ( 1 一a ) p ，u ， p m - - 1 9 - - _ r ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 1j 东北大学硕士论文第二章 两相流分析数学模型概述 昙咖小昙咖蠢) + 昙 华 + p 去( 日“。) + p 去 ! 翌二警 2 9 二+ 。一p 旦o 竺r + r 汀芦 。：，4 ， 2 3 混合物模型 这种模型主要包括三个混合物守恒方程，内容简单，计算工作量小。对 于某些流动形式，例如汽泡分散流动或滴状流，两相介质均匀混合，且处于 热力学平衡态时，这种模型就很适合。混合物模型的特点是能够确定两相流 场的整体参数，在不侧重流动而只研究传热的情况下，用这种模型是很方便 的。即使被研究的问题中包含有复杂的流动问题，如果采用专门的结构关系 式对这些问题进行描述，那么描述过程的主体模型仍然可以使用均匀混合模 型。 混合物模型的动量平衡式是从扩散流速推导出来的。扩散流速 “n2 “s 一虬。它与漂移速度甜一的区别在于“。“s j ，为混合物体积速度， 而“。为混合物质量速度。j = o n g + ( 1 - - a ) 玑，而“m2 c u s + ( 1 - c ) u t , c 为气相质 量份额。 混合物模型的方程有许多等效的形式。由式( 2 1 ) ，( 2 4 ) 和( 2 5 ) 给 出的方程组是其种的一种。由于动量方程对整个方程组的计算性能影响最大， 所以人们对它的研究最多，形式也最多。至于能量守恒和质量守恒方程则差 别不大。在各种动量守恒中，漂移速度表示的混合物动量方程有其独特的特 点。 由式( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 可以导出： 铲詈一击鲁b ( c o - 1 ) 。， 驴瓦g + 告k 一( c o - 1 ) j ( 2 3 6 ) 令： “耵5 ”口+ ( c 0 + 1 ) ， ( 2 3 7 ) 将式( 2 3 5 ) 。( 1 一口) + 式( 2 3 6 ) 口，则可得： 东北大学硕士论文 第二章两相流分析数学模型概述 ，= 旦。亟二鱼立i p。p。 。如一终h ： 2 “+ - j 2 成 ( 2 3 8 ) ，是混合物体积速度，又称体心速度：而“m 是质量速度，又称质心速度。把 式( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) _ 代入方程( 2 4 ) 的中间加速相，则可得到用“口表示的 动量守恒方程式： 詈编s m p 一了l w u w 一拟篇 警叫 ：箜+ 上旦f 坐1 跚缸l 成j ( 2 3 9 ) 式( 2 3 9 ) 左边最后一项是空间漂移梯度，它是由于两相之间相对滑移造成的， 可以认为是一种附加的体积力，类似于湍流中的雷诺应力项。其物理意义是 两相混合物相对于质心速度的净动量通量。如果c 02 1 o ，。one h 式 ： 处理源项时，应对其做线性化处理，对方程( 3 2 ) 的右边积分，可得： f s c , d & l r = f ( s c + 品办) a t + o f x s c + & 九) 。血 ( 3 5 东北大学硕士论文 第三章守恒方程的数值方法 - 式中： ，是一个加权因子，其值在0 和1 之间变化。不同的厂值可以由图3 5 所示的，- t 变化关系来说明。 wwpee 图3 4西的分段线性分布 ，= 0 时的离散化方式被称为显式格式；f = 0 5 时，被称为c r a n k n i c o l s o n 格式；f = 1 时，被称为全隐格式。在实际计算中，大多采用全隐格式。 由式( 3 3 ) 和( 3 5 ) ，采用全隐格式( 为方便起见。略去上标“1 ”) ，可得 离散化方程的通式： 口p 以= 口e 九+ 口。庐。+ 口+ 口s 九+ b ( 3 6 ) 式中： ， = d 。a ( i p , i ) + m a x - f , ，0 ( 3 6 a ) = d 。a ( i p 1 ) + m a x f 。，0 ( 3 6 b ) 卧= 见爿d 只d + 蚴 - e ，0 ( 3 6 c ) 略= d , a ( z f ) + m a x 以，0 ( 3 6 d ) 东北大学硕士论文第三章守恒方程的数值方法 其中 d 。0 ：p ：a x , y 。 出 b = s c 缸弩+ a 0 呷p 0 a p = n e + n w + n w + a s + o o p - s ；a x a y p 为p e c l e t 数， f 为流动强度， d 为扩散的传导性，d ：三 出 在( 3 6 a ) 一( 3 6 d ) 中，f 和d 分别为： 皿= 簖 于是，p e c l e t 数为： 只= 鲁吨s ) 对于逆风差分格式，函数a 0 p f ) = l ，对于其它格式，参见表3 1 。 ( 3 6 e ) ( 3 6 f ) ( 3 6 9 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 a ) ( 3 1 0 b ) ( 3 1 0 e ) ( 3 1 0 d ) ( 3 1 1 a ) ( 3 1 1 b ) ( 3 1 1 c ) ( 3 1 1 d ) ( 3 1 2 ) 型r 脚 = = p f 妙 妙 缸 触 m，堕矾呐丽呐丽枞刊州制谐酱昔 f 只 只 r 仍 肼 肼 东北大学硕士论文第三章守恒方程的数值方法 显示格式( f = o ) 心 c r a n k n i c o l s o j 格式( f = o 5 )j 1 。- 一 全隐格式( 忙1 ) i f + f 圈3 5 三种不同时间格式对应的变量随时间的变化关系 f i g 3 5r e l a t i o no fv a r i a b l ea n dd i f f e r e n t 一弓p a ：e t i m e 表3 1 各种不同格式的龋数爿( 例) t a b l e3 1 一( 俐) o fd i f f e r e n tf o r m a t 格式 4 0 p 1 ) 中心差分 1 - 0 5 1 e i 逆风l 混合 o ，1 - o 5 1 p i l l 乘方定律 【o ，( 1 - 0 5 1 e 1 ) 5 】 指数 j e l e x p o p i ) - 1 式中的算符 叫表示取括号中值的最大者 3 3 离散化方程的求解 求解离散化方程的主要困难在于压力场的求解。s i m p l e 算法将质量守 恒方程转化为压力修正方程，并以此确定压力场。由于动量方程是非线性 东北大学硕士论文第三章守恒方程的数值方法 的，故需以迭代的方式求解。开始先估算一个压力场尸+ 。并以此求解动量 ， 。 方程，褥到速度场”+ ，v + 之后，用压力修正方程修正猜测的压力场p + ，使， v 逐渐能满足质量守恒方程。 正确的压力场p 由下式求得： p = p + p j 式中： 尸。称为压力修正项。 同样的，由速度修正和v 。可求得速度场： “= 甜+ 材v = v + + v 速度修正“和v 。通过的离散化方程与压力p 。联系在一起。 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 在控制容积u e 上( 图3 6 ) ，对工方向的动量方程积分，便得到对“。 离散化方程： 式中： a e 吒= “。+ 6 + 僻一最h 。 柚 一，为压力作用的面积，对于二维问题，a 。= 6 y 1 ( 3 1 5 ) 下标“n b ”表示相邻的结点( 在图3 6 中以相邻的四个小箭头表示) 。 压力梯度不包括在源项内，而是构成方程( 3 1 5 ) 的最后一项。这样写 出的压力项便于计算压力场。y 方向的动量方程可以类似处理 图3 7 为v 。的控制容积，其离散化方程为： 式中 a n v 。= 口m + 6 + 僻- ? e k ( 3 1 6 ) n b a 。= 血1 从而，由估计的压力场，计算速度场“，v 的离散化方程为 掣：= 一2 n b u 二+ 6 + 僻一e 皿 n b ( 3 1 7 ) 东北犬学颁士论文第三章守恒方程的数值方法 y 缴 黝 ox 图3 6 的控制容积 “：= 口n b v 二+ 6 + 忙一巧1 4 。 用方程( 3 15 ) 减去( 3 1 7 ) ，可得： 吒“：= a n b u 二+ 6 + 僻一磋地兰似一砭k n b 或 “。= “：+ d 。o ；一砭) 式中 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) d 。：生 a 。 方程( 3 2 0 ) 称为速度修正公式，它表示相应于压力的修正，带星号的速度 甜：应同样修正以便得到“。 同样，对y 方向的速度分量的修正公式为： v 。= v ：+ d 。0 ；一式) ( 3 2 1 ) 对连续方程旦幽+ 黛掣：o 在控制容积上( 图j ；) 。上颖分，得 o xd v 跏l 一切) 。如+ l b ) 。k = 0 ( 3 2 2 ) 将速度修正公式( 3 2 0 ) ，( 3 2 1 ) 代入上式，经整理可得到对压力修正p 得离散方程： 奎i ! 奎兰堡主笙塞 笙三兰主堡查矍竺垫堡查鲨 式中 口p p ；= de p ；+ d 。p 0 + d s p s + a n p q + b y e = , o o d 。a y a 。= p 。d 。a y a s = p s d s a x d n 。p n d n 缸 a p = 0 l ；+ 口w + a s + a n b = 。l 一妇飞如+ 飞一b l k 。，+ f 1 f 匿羽 f ox 图3 7 y n 的控制容积 f i g 3 7c o n t r o lc u b a g eo f 3 4s i m p l e 方法介绍【2 0 】 ( 3 2 3 ) ( 3 2 3 a ) ( 3 2 3 b ) ( 3 2 3 c ) ( 3 2 3 d ) ( 3 2 3 e ) ( 3 2 3 f ) s i m p l e 算法得求解步骤如下( 其流程图如图3 8 所示) ： 1 ) 先估计一个压力场，记为p ； 2 ) 以p 作为已知压力场，求解动量方程，求得速度场，记为”，v ， 如果它们满足要求，则求解与动量方程耦合得其它物理量得离散 方程； _ 3 l 一 东北大学硕士论文 第三章守恒方程的数值方法 3 ) 如果不满足要求，则求解压力修正方程，得p 4 ) 将p 。加到p 上，得到修正压力p ； 图3 8 流程示意图 f i g 3 8f l o wc h a r t 5 ) p 引起速度的变化，记为甜和v ，用它们来修正速度，这样便减 弱了控制容积的不平衡性； 6 ) 将修正过的压力p 作为新的压力估计值，回到第二步，继续迭 代，赢到得到收敛解为止。 东北大学硕士论文 第三章守恒方程的数值方法 3 5 收敛性的判。断依据 当变量的值在两次迭代过程中不再改变时，就认为迭代已经收敛了。 但在实际的计算中，这样的判定是极不合理的。般情况下，当某种收敛 准则得到满足时，就可以终止迭代。适当的收敛准则与问题的性质及计算 的对象有关，通常人们采用所有变量在网格处的值的相对变化( 即两次迭 代的值之差除以新值或旧值) 来作为收敛准则。但这种准则有时会得到不 正确的解。例如，当采用较强烈的欠松弛时，由于： 矿= 口丸。+ ( 1 一口) 丸h ( 3 2 4 ) 所以： i 刽叫监半h 一矧 ：s ， 此时，虽然计算离收敛还很远，但两次迭代间变量的变化由于被人为的减 缓，而给人以似乎收敛的假象。以检查变量的当前值满足离散化方程的完 善程度作为收敛准则，则更为合理些。 对于i 行j 列的网格点，当离散化方程得到满足时，量，可有下式算出： 舻毪譬一秽 ( 3 2 6 ) 显然，当离散化方程得到满足时，r 。= 0 对j 列的各网格点上的所有余数求和，并取其相对值，有： 阮f r = 。2 7 在对全场求和，便得到毋的相对残差： - ，。 五= r 。 当所有的残差r 都满足： r 占 时，便可以认为迭代已经收敛。 ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 东北大学硬士论文 第三章守恒方程的数值方法 3 6 误差分析 对数值方法的误差分析多采