（控制理论与控制工程专业论文）基于小波分析的矩特征和神经网络的图像识别.pdf

摘要 图像识别是模式识别的一个重要分支，经过数十年的发展，现在已经渗透到 了军事、空间探索、医学、邮电等各个领域，具有很大的实用价值和重要意义。 本文主要研究了矩函数和神经网络分别在图像识别的特征提取和模式分类 方面的应用。 在特征提取方面，利用矩算法提取图像的不变性特征，并详细讨论了h u 矩 及其修币算法、z e r n i k e 矩和小波矩。针对其它基于h u 矩的算法没有统一的形式， 不利于某些应用本文通过计算机仿真说明了相对不变矩更具有普遍性。针对连 续小波矩在工程中不宜使用，本文提出了一种实用的离散化方法，并通过计算机 仿真与z e r n i k e 矩和相对不变矩做了比较，证明了离散小波矩特征在抗噪性和识 别能力上是较优的。 在模式分类方面，针对k 均值聚类算法要受到初始聚类中心的选择及特征 的几何性质的影响，标准b p 算法收敛速率较慢及易于收敛到局部极小点的缺点， 本文采用小波b p 网络作为图像识别系统的分类器，并描述了相应的算法和程序 设计步骤。仿真结果说明小波b p 网络比k 均值聚类算法的分类效果好，比b p 算法的学习效率高。 关键词：图像识别小波分析h u 矩相对不变矩z e m i k e 矩小波矩 f f tb p 神经网络小波b p 神经网络f a b s t r a c t a sw ek n o w ，i m a g er e c o g n i t i o ni sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fp a t t e r nr e c o g n i t i o n t 1 1 r o u g h f e wd e c a d e s ，i th a sb e e n a p p l i e ds u c c e s s f u l l yi nt h em i l i t a r y ，s p a c e e x p l o r a t i o n ，m e d i c a ls c i e n c em a dp o s t ，e t c s oi th a sg r e a t l yi m p o r t a n c ea n dp r a c t i c a l v a l u e i nt h i sp a p e rw el o o ki n t ot h ea p p l i c a t i o no f m o m e n tf u n c t i o na n dn e u r a ln e t w o 盘 i nf e a t u r ee x t r a c t i o na n dp a t t e r nc l a s s i f i c a t i o no f i m a g er e c o g n i t i o n r e s p e c t i v e l y , w eu s em o m e n ta l g o r i t h mt oe x t r a c tt h ei n v a r i a n tf e a t u r e so fi m a g e ，a n dd i s c u s s z e m i k em o m e n t s ，w a v e l e tm o m e n t s ，h um o m e n t sa n di m p r o v ea l g o r i t h mo fh u m o m e n t si nd e t a i l ，b e c a u s et h eo t h e ra l g o r i t h m sb a s e do nh um o m e n t se a no n l yb e u s e di nd i f f e r e n tc i r c u m s t a n c e s ，t h i si st h ed i s a d v a n t a g ei na p p l i c a t i o n ，e x p e r i m e n t s s h o wt h a tt h er e l a t i v em o m e n t sc a ns u b s t i t u t et h eo t h e ra l g o r i t h m sb a s e do nh u m o m e n t su n d e rs o m es i t u a t i o n s 。b e c a u s et h ew a v e l e tm o m e n t st h a ts h e np r o p o s e d c a n n o tb ea p p l i e di nc o m p u t e r , w ep u t f o r t had i s c r e t em e t h o do fw a v e l e tm o m e n t s 。 e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ed i s c r e t ew a v e l e tm o m e n t sa r es u p e r i o rt ot h et r a d i t i o n a l m o m e n t s b e c a u s eo ft h ed i s a d v a n t a g eo fk m e a n sa n db pa l g o r i t h m ，w eu s et h ew a v e l e t n e u r a ln e t w o r ki ns y s t e mo fi m a g er e c o g n i t i o n w ed e p i c tt h ea l g o r i t h ma n dd e s i g no f w a v e l e tn e u r a ln e t w o r k 。e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h ew a v e l e tn e u r a ln e t w o r ki sb e t t e r t h a n 也et r a d i t i o n a lb p a l g o r i t h m k e y w o r d s ：i m a g er e c o g i f i t i o n ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，h um o m e n t s ，r e l a t i v ei n v a r i a n t m o m e n t s ，z c m i k em o m e n t s ，w a v e l e tm o m e n t s ，f f 鼍b pn e u r a ln e t w o r k ，w a v e l e t n e u r a ln e t w o r k 塑兰三些查堂婴! ! 兰堡丝兰 第一章绪论 1 1 引言 随着人类社会的不断发展，图像议别已经迅速发展成为一项重要的科技手 段；它需要综合运用计算机科学、机器视觉、模式识别及图像理解等学科的知识， 并随着这些学科的发展而前进。现在，图像识别技术已被广泛应用n f f ：多领域当 中，例如：宇宙探测、遥感技术、生物医学工程、交通、邮电、军事及公安等等 4 】。可见，图像识别技术的研究具有很大的实用和经济价值，具有广阔的前景。 1 2 图像识别技术的发展1 1 1 1 4 1 1 5 】 针对不同的对象、不同的环境，可以有不同的识别方法。目前的识别方法主 要有：图像识别、光谱识别、运动参数识别等等。由于图像可以提供十分丰富且 有效的信息，这给识别带来极大的方便，因此，图像识别技术一直受到人们的重 视，是模式识别领域的研究热点之一。一般来说，图像识别技术大体经历了三个 主要阶段，即：文字识别、图像处理和_ i 别、物体识别。文字识别开始于1 9 5 0 年前后，首先是识别字母、符号及数字，后来发展到文字识别，从印刷字体到手 写文字，并研制了相应的文字识别设备。从1 9 6 5 年开始，人们开始图像处理和 识别的研究，最初主要利用成像技术、光学技术等。后来人们把e t 新月异的计算 机技术结合进来进行，获得了巨大成功。物体识别以图像处理和识别为基础，是 对三维世界的感知认识，属于计算机视觉范畴，在结合了人工智能科学、信息科 学和计算机科学之后，成为图像识别研究的又一重要方向。 1 3 图像识别系统的构成【2 11 4 1 i s 】 图像识别是关注分析图像内容的算法。图像中可能包含一个或多个目标对 象，并且每个对象属于若干个事先定义的类型、范畴和模式之一。在给定一幅含 有多个对象的数字图像的条件下，基于图像的模式识别一般由四个阶段组成( 如 图l 一3 1 ) ：第一个阶段为图像的预处理阶段，在该阶段可对质量不高的原始图像 进行增强和复原处理，以有利于提取感兴趣的信息：第二阶段为图像分割阶段， 在该阶段中可检测出图像中的各个对象，并把它们的图像和其它对象或背景分 离：第三个阶段为特征提取阶段，在该阶段可对图像分割后的物体进行度量而产 生一些描述图像的特征，把特征组合在一起，就形成了一组可用于识别的特征向 量；第四个阶段为分类和识别，它的输出是一种决策，最终确定每个图像对象应 塑坚三些查兰塑! 兰堡堡苎 该归属的类别。近些年，随着小波分析理论的出现和发展，在图像识别的各个环 = 肖如何利用小波分析的优越特性以提高识别的效果和效率已成为人们研究的重 要课题。 图1 3 1图像识别系统基本框图 1 3 1 图像预处理【3 】1 4 】【6 】 在实际应用中，图像识别系统获取的原始图像不是完美的，由于噪声、光照 等因素的影响，图像的质量不高，需要进行预处理，这有利于提取感兴趣的信息。 其主要包括图像的增强和复原。 图像增强可以改善图像的视觉效果，并把图像处理成为适于计算机分析或控 制的某种形式。图像增强需要采取各种技术手段综合处理，而且针对不同用途， 处理手段也大相径庭。图像增强包括的内容广泛，如去掉图像的噪声、抽取图像 中一些目标的轮廓、图像的勾边处理、提取图像中的特征等。图像增强不考虑图 像质量下降的原因，只将图像中感兴趣的特征有选择的突出，而衰减不需要的特 征，目的是提高图像的可懂度。图像增强的方法分为空域法和频域法：空域法主 要是对图像中的各个像素进行操作，例如灰度直方图修正、图像灰度变换、空域 图像平滑和滤波处理、伪彩色增强等；而频域法是在图像的某个变换域内，对图 像进行操作，修改变换后的系数，例如傅里叶变换、d c t 变换等的系数，然后再 进行反变换得到处理后的图像。 图像复原的目的在于消除或减轻在图像获取及传输过程中造成的图像品质 下降即退化现象，恢复图像的本来面目。退化包括由成像系统光学特性造成的畸 变以及噪声和相对运动造成的模糊等情况。图像复原技术与增强技术不同，它需 要了解图像质量下降的原因，首先要建立“降质模型”，再利用该模型，恢复原 始图像。 、 1 3 2 图像分割1 3 1 1 6 】 图像识别在预处理后一般还需经过分割处理。图像分割是实现图像分析与理 解的基础。图像分割就是将图像划分为若干互不相交的小区域的过程。小区域是 浙江工业大学颂。j 。学位论| 义 某种意义下具有共同属性的象素的连通集合，如物体所占的图像区域、天空区域、 草地等。图像分割也可以理解为将图像中有意义的特征区域或者需要应用的特征 区域提取出来，这些特征区域可以是像素的灰度值、物体轮廓曲线、纹理特性等， 也可以是空间频谱或直方图特征等。 从分割依据的角度来看，图像的分割方法可以分为相似性分割和非连续性分 割。相似性分割就是将具有同一灰度级或相同组织结构的像素聚集在一起，形成 图像的不同区域；非连续性分割就是首先检测局部不连续性，然后将它们连接在 一起形成边界，这些边界将图像分成不同的区域。 图像分割方法又可分为结构分割方法和非结构分割方法两大类。结构分割方 法是根据图像的局部区域象素的特征来实现图像分割，如阈值分割、区域生长、 边缘检测、纹理分析等，这些方法假定事先知道这些区域的特性，或者在处理过 程中能够求得这些特性，从而能够寻找各种形态或研究各像素群。非结构分割法 包括统计模式识别、神经网络方法或其它利用景物的先验知识实现的方法等等。 1 3 3 图像特征提取 9 1 1 0 1 1 】 为了达到识别的目的，一般在分割后须提取对识别有效的图像特征。如果将 图像看作是一个矩阵，则可以认为，图像的特征提取就是通过数学变换将二维图 像转换成一个多维列向量。对于识别而言，由于目标图像的多样性及复杂性，寻 找具有良好描述和分类性能的图像特征，以及如何提取这些特征就成为解决图像 识别问题的关键。良好的特征应具有4 个特点： 1 可区别性 对于属于不同类别的对象来说，它们的特征应具有明显的差异。 2 可靠性 对同类的对象特征值应比较相近，且具有某种不变性。 3 独立性 所用的各特征值应彼此不相关。 4 数量少 根据不同的特征描述可选择不同的特征提取方法，如果能选择具有高度准确 描述能力的特征，无疑对图像的识别具有重要意义。到目前为止，用于图像识别 的特征大概可归纳为如下四种： 浙江下业人学硕i ：学位论义 1 扶度的直观特征。例如；图像中的边缘、轮廓、纹理和区域等。 2 扶度的统计特征。例如：图像的扶度直方图特征、统计示性数特征，其 中统计示性数特征包括均值、方差、峰值以及熵特征等。 3 变换系数特征。例如：用傅里叶描绘子对于图像轮廓描述、用傅里叶变 换进行纹理特征提取。 4 代数特征。由于图像可以表示为矩阵形式，因此可以对其进行各种代数 变换，或者作各种矩阵分解。例如：k l 变换、矩阵的奇异值分解等。 由于不同种类的图像，不同的应用场合，需要提取的图像特征是不同的，当 然对应的图像特征提取方法也就不同，因此并不存在一种普遍适应的最优方法。 但为了在复杂情况下图像能够可靠和正确的识别，人们希望提取的特征具有平 移、旋转和尺度不变性。矩及矩函数正是这样种全局不变量。图像的矩特征是 以图像分布的各阶矩来描述灰度的统计特性的矩描述方法，在图像分类、目标识 别和景物分析中得到了广泛的应用。 1 3 4 图像识别0 1 1 2 1 1 8 i 在提取特征之后就是识别阶段。图像识别属于模式识别的范畴，传统的模式 识别方法有统计模式识别和句法模式识别，近年来基于模糊集理论的模糊模式识 别和基于神经网络理论的神经网络模式识别越来越受到人们的重视。 统计模式识别是受数学中的决策理论的启发而产生的一种识别方法。它一般 假定由特征提取得到的特征向量是符合一定分布规律的随机变量。其基本思想是 将特征向量定义在一个特征空间中，这个空间包含了所有的特征矢量。不同的特 征矢量，或者说不同类别的对象，都对应于此空间中的一点。在分类识别阶段， 则利用统计决策的原理对特征空间进行划分，从而达到识别不同特征的对象的目 的。目前主要的统计模式识别方法有两类，一类是基于是然函数的模式分类方法； 另一类是基于距离函数的模式分类方法。 句法结构模式识别着眼于对待识别对象的结构特征的描述。它将一个识别对 象看成是一个语言结构，例如一个句子是由单词和标点符号按照一定的语法规则 生成的，同样，一个图像是由点、线、面等基本元素按照一定的规则构成的。分 析这些基本元素，看它们是以什么规则构成图像，这些基本元素相当于句子中的 单词，它们如何构成图像就相当于语法规则。此时，图像识别就相当于检查图像 浙江t 业人学硕i 。学位论义 所代表的某一类句型是否符合事先规定的语法，如果语法正确就识别出结果。 模糊模式识别和神经网络模式识别是不同于传统模式识别的两种新方法。它 是随着计算机科学、模糊集理论、人工智能的迅速发展和相互融合而产生的。 人类对客观事物的认识带有模糊性，如通常所说的“高矮、胖瘦”、“青年、 老年”等等，都是带有模糊性的语言，人类利用这些模糊语言进行交流，并通过 大脑分析和决策。模糊模式识别就是根据人类辨识事物的思维逻辑，吸取人脑的 识别特点，将计算机中常用的二值逻辑转向连续逻辑，利用模糊信息进行模式决 策分类，使计算机或机器带有接近人类的智能。模糊模式识别的理论基础是模糊 数学。模糊数学就是研究如何利用模糊信息对确定事物进行定量分析。模糊模式 识别的结果是用被识别对象隶属于某一类别的程度，即隶属度来表示的。模糊模 式识别的主要方法有：最大隶属原则识别法、接近原则识别法和模糊聚类分析法。 由于神经网络的高速并行处理、分布存储信息等特性符合人类视觉系统的基 本工作原则，具有很强自学习性、自组织性、容错性、高度非线性、高鲁棒性、 联想记忆功能和推理意识功能等，能够实现目前基于计算理论层次上的模式识别 理论所无法完成的模式信息处理工作，所以，采用神经网络进行模式识别，突破 了传统模式识别技术的束缚，开辟了模式识别发展的新途径。在某种意义上，网 络本身的自学习就是实现模式变换与特征提取，即只要待识别的模式在所表示域 里具有一定的差异，网络就可以通过自适应聚类学习，找到不同模式的特征信息 进行识别。神经网络用于模式识别，其优点主要表现在：神经网络的特征内部表 示能力使其可以在一定程度上，自动获取用常规的启发式和变换方法很难提取的 目标特征：神经网络的泛化能力使其可以通过适当增加网络容量来获取目标信息 的多模式分布特性，从而在一定程度上提高了系统对多场景的适应能力；神经网 络对非线性连续函数的一致逼近能力使得神经网络识别系统可以提供简单易操 作的训练算法，自动构造接近最佳的判别函数。由于这些优点，使其在目标识别 领域得到了大量的应用。 1 4 本文的主要内容 本文总共分六个章节。主要内容如下： 第一章为绪论，主要介绍了图像识别的发展及系统构成。 第二章介绍了傅里叶分析和小波分析的概念。 浙江工业大学碗i j 学位论义 第三章首先给出了矩不变量的一些基本概念：矩的定义和性质、图像的几何 矩形状描述及矩函数的各种变换：接着介绍了h u 矩及其修正算法：最后介绍了 一种基于正交基函数的z e m i k e 矩不变量。通过计算机仿真验证了相对不变矩比 其它h u 矩修正算法更具普遍性，及z e m i k e 矩特征的旋转不变性。 第四章在介绍了一种新的基于小波分析的矩不变量的基础上，作者提出了一 种对离散数字图像计算小波矩的离散亿算法，并采用结合离散度和j 顿序前进法来 选择较优的识别特征。在计算机仿真研究中，分别对无噪和有噪图像提取矩特征， 并用k 均值聚类算法分类，验证了小波矩在抗噪性和识别能力方面是较优的。 第五章主要讨论了图像识别中经常采用的神经网络分类器，针对b p 网络的 缺陷，作者采用y 4 , 波b p 神经网络，并描述了相应的算法和程序设计步骤。仿 真结果说明该小波网络比b p 网络学习效率高，比k 均值聚类算法分类效果好。 第六章对前几章进行了总结，并针对作者在研究中碰到的问题，提出了一些 展望。 6 浙江工业人学颅l 学位论文 第二章小波分析方法 2 1 引言 傅里叶( f o u r i e r ) 分析和其之后的小波( w a v e l e t ) 分析都是信号处理领域 中极其重要的分析方法。傅里叶分析是小波分析的基础，虽然有其局限性，但在 某些方面仍有不可替代的作用。特别是快速傅里叶变换( f f t ) ，是许多算法得 以实用的有力工具。 小波分析克服了傅里叶分析的局限性，由于其优良的特性，自出现以来一直 是人们关注的焦点，现已广泛应用于图像处理、语音处理、数字信号处理等领域， 是信息科学研究中不可或缺的手段。 2 2 傅里叶分析1 1 2 1 1 1 3 j 傅里叶分析的根本思想是将时域变化的信号通过选取一定的正交基经正交 空间变换分解为频域上的信息。傅里叶变换频率域包含的信息和原来函数所包含 的信息完全相同，从而得到对信号的另一角度的观察。 假设，( f ) 在全实轴r 上是以2 丌为周期的函数，( f + 2 疗) 一i ( t ) ，且在( o ，2 万) 上平方可积，即：( 磊1f 。f 0 1 2 出1 2 cm a 设在全实轴上以2 石为周期且在( o ，2 厅) 上平方可积函数全体组成的空间为f ( o ，2 厅) 。在空间l 2 ( o ，2 万) 中，定义内积为： ( 胁) = 去4 f ( t ) g 翮d t ( 2 - 1 ) 由内积导出的范数： ：圹，f t = f 瓤。槲前) i z ， 对于厂o ) r ( o ，2 厅) ，( f ) 的f o u r i e r 级数为： ，( r ) 曩c t e “ ( 2 - 3 ) 如果取纸( r ) 。p 一，k ；一m ，0 ，n ，( n 、m 为正整数) 则移。o ) ) 在内积下 是两两正交的。记圪。印口月* 一“，一，l ，e # ，e i t “t ，则圪cr ( o ，2 n ) 。这时，若 ，( ，) r ( o ，2 ：t ) ，则，o ) 在圪中的最佳平方逼近元素为： 浙江工业人学硕j j 学位论文 ”娶t 扩 ( 2 - 4 ) 拂铲器。知4 舻容易髁几) 咧o ，2 批 则只”，”( ，) 平方收敛于d ) ，即： ，1 。i r a 一矿一s 毗”f i ( o ：，) e 0 ，由此得到厂( ，) 的f 。u r i e r 级数平方收敛于厂( f ) 。进而，如果厂( f ) 三2 ( o ，2 石) ，则其f o u r i e r 变换定义为： 厂( w ) 一确p d t ( 2 - 5 ) 在实际应用中，处理的对象可能是大量的离散数字信号，这时只能采用离散 f o u r i e r 变换( d f t ) 的形式，且一般采用快速傅里叶变换( f f t ) 算法进行处理。 在许多情况下，对一个给定信号厂0 ) ，人们感兴趣的是在局部时间信号的频 域含量。傅里叶分析的局限就是只知道在时间段内有哪些频率成分，有多大，但 不知道这些频率成分在时间段内的分布。因此，对于一般的平稳变化的信号，傅 里叶分析能够充分起到分析的作用，可是对于那些突变的或暂态变化的信号，傅 里叶分析就不能满足要求。这时，人们提出了短时f o u r i e r 变换( s t f t ) 。 s t f t 的基本思想是给时域信号加窗1 2 1 函数，以此来获得规定时间内的信号 频域信息。定义砸) 为一个窗函数，且w ( f ) 三2 恹) 。窗函数的中心s 与半径r 分 别定义为： 舾志肼( f 1 2 斫 6 ”赢) 2 m 2 击) 2 沼7 窗函数的宽度为2 a w 。如果作f 的一个定位切片厂0 f f 刁，再取它的 f o u r i e r 变换：j e 一( ，黟矿：面，则称为短时f o u r i e r 变换。 如设k ，一( r ) = e w ( f 一6 ) ，则可得j 二厂( f 痧劢t 帆j 。) ，这样就给出了 ，在时间窗_ + b r ，s + 6 + r 上的局部信息。 短时f o u r i e r 变换仍有局限：加密会有部分频率失真：一旦选定了窗函数， s 浙江t 业大学硕一 二学位论文 那么信号在任何频域内窗口大小都是一样的，这也意味着所能得到的频域精度是 有限的。但人们有时希望理想的情况是：在信号变化较慢( 低频) 时，可以要求 频率精度小一些，在信号变化剧烈时( 高频) 要求频率精度高些，总之，希望有 一定的灵活性。 2 3 连续小波变换1 1 2 1 1 1 4 1 1 1 5 l 小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，小波分析与f o u d e r 分析的 本质区别在于：f o u r i e r 分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射，它以单个 变量( 时间或频率) 的函数表示信号；小波分析则利用联合时间及尺度函数分析 非平稳信号，即在所谓的时间和尺度平面上分析非平稳信号。在小波分析中，人 们可以在不同尺度上来观察信号，这种对信号分析的多尺度观点是小波分析的基 本特征。 小波分析用通俗的说法就是用一合适的基本小波( 母函数) y 0 ) 通过时间轴 上的位移与放缩和幅度的变化产生一系列的派生小波，用这一系列小波对要分析 的信号进行时间轴上的平移比较，从而获得用以表征信号与小波相似程度的小波 系数。由于派生小波可以达到任意小的规定精度，并可以对有限长的信号进行精 确的度量，因此可以获得相对于傅里叶分析所不能获得的局部时间区间的信息。 假设x 0 ) 是平方可积函数( 记作x ( f ) r 伍) ) ，把基本小波的函数( f ) 位移r 后，在不同尺度a 下与待分析信号x ( f ) 进行内积： 呱( 叩) = 击弘叫等卜( x ( 慨( f ) ) 沼s ， 式中，a ，0 是尺度因子，f 是位移因子，其值可正可负，符号( x ，y ) 表示内 积，上标+ 表示共轭。 上式等效的频率域表示是： 胛：( 叩) 。尝p 归+ 0 甜k d w ( 2 _ 9 ) z 厅j 曲 式中，爿) 、掣) 分别是x ( f ) 、( f ) 的傅里叶变换。尺度因子口，0 ，其作 用是将基本小波p ( f ) 作伸缩，当日越大矿f 三1 越宽，即可以表征小波频率的大小； 、口， 9 浙江工业人学硕一1 二学位论文 位移因子f 的值可正可负，表示基本小波在时问轴上的平移，如图2 - 3 i ；这样 可用r 。) 。忑i 妒( 等) 来表示对基本j 、波i 圭彳亍位移与尺度 串缩而获得的一个 族。若满足容许条件，则可以由小波系数纬t ( 盯，f ) 来重构x ( r ) 。在这里若物理 量r ，r ，x 都是连续的，则相应的小波变换称为连续小波变换( c w t ) 。 j。 y ( f ) 、7 7 y ( 卜f ) 八 l l 7 j- p 吲 。 7 j- p i 了 i 。 7 图务3 1小波的位移与伸缩 如果y o ) 是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信 号频域局部性质的能力；对于小波函数，采用不同尺度因子口作处理时，各妒( 琊) 的中心频率和带宽都不一样，但品质因数却不变。从频域上看，用不同尺度作小 1 0 浙江工业人学硼一l 学位论文 波变换大致相当于用一组带通滤波器对信号进行处理带通的目的既可能是分 解，也可能是检测，此时相当于一组匹配滤波器。 当日值小时，时间轴上观察范围小，而在频域上相当于用较高频率作分辨率 较高的分析，即用高频小波作细致观察；当a 值较大时，时间轴上考察范围大， 而在频域上相当于用低频小波作概貌观察。分析频率有高有低，但在各分析频段 内分析的品质因数保持一致。 由c w t 的定义可知。小波变换同傅里叶变换一样，都是一种积分变换，同 傅里叶变换相似，称为小波变换稀疏，由于小波基不同于傅里叶基，因此小波变 换与傅里叶有许多不同之处，其中最重要的是，小波基具有尺度因子口、平移因 子r 两个参数，因此将函数在小波基展开，就意味着将一个时间函数投影到二维 的时间尺度平面上，并且由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波 变换域后，有利于提取函数的某些特征，从时域分析的角度来看，小波变换是一 种变分辨率的分析方法，当分析低频信号时( 对应大尺度信号) ，其时间窗很大， 而当分析高频信号时( 对应小尺度信号时) ，其时间窗减小。这恰恰符合实际问 题中高频信号持续时间短、低频信号持续时间较长的自然规律。因此，小波变换 在时域分析领域中具有不可比拟的优点，因而，目前正被广泛地应用于数字信号 处理、图像处理及目标识别等领域。 2 4 离散栅格小波变换1 1 2 j 由连续小波变换的概念可知，在连续变换的尺度日和平移f 值下，小波基函 数。，( f ) 具有很大的相关性，因此信号工( f ) 的连续小波变换系数聊：( 口，f ) 的信息 量是冗余的。在很多情况下，希望在不丢失原信号信息的情况下，尽量减少小波 变换系数的冗余度。 减少小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数的尺度因子和平移因子限 定在一些离散点上取值。 尺度离散化：将尺度按幂级数进行离散化，即取口。一簖。此时相应的小波 函数是： m p1 日：i 矿b ，( f f ) 啪一0 , i 2 一 ( 2 - l o ) 位移离散化；当口，n ：= 1 ，r 以某一基本间隔r 0 作均匀采样。0 应适当选 浙江工业大学硕士学位论文 择使信息仍能覆盖全f 轴而不丢失信息。在其余各尺度下由于妒b i ”f j 的宽度是 ( f ) 的玎；倍，因此采样间隔可以扩大口；。即：在某一m2 _ t ，沿r 轴以口孑f o 为 间隔作均匀采样仍可保证信息不丢失。这样，y 。( f ) 就可以改写为： y 硝。口j 詈y b i ”( t - n o ) ( 2 1 1 ) 从而离散栅格小波变换为： 暇妇，) 一j x ( f p ( f 胁 ( 2 - 1 2 ) 2 5 本章小结 本章首先回顾了傅里叶分析、短时傅里叶分析的定义、性质及其局限性，接 着描述了小波分析的多尺度分析特性和连续小波变换、离散栅格小波变换的定义 及性质。 1 2 浙江丁业人学顾l 擘位论文 第三章图像的矩不变量特征 3 1 引言 在实际当中，待识别的图像对象总是处于复杂情况下，为了能够方便和可靠 的识别，人们希望提取的图像特征具有某些不变性，例如：平移、旋转和尺度不 变性 3 0 3 1 】。因此，如何提取不变性特征一直是目标识别和计算机视觉的研究 热点之一【3 7 。矩特征是一种具有不变性的全局不变量，它是以图像分布的各阶 矩来描述灰度的统计特性的矩描述方法，己在图像处理、目标识别中得到了广泛 的应用 4 3 4 4 。 自h u 提出矩不变量后，人们针对不同的识别对象先后提出了种种基于h u 矩的修正算法，但它们构造形式不同，应用条件也不同，这不利于某些应用。仿 真证明了相对不交矩的有效性和更普遍性。 z e m i k e 矩是复数矩，其基函数是正交的，与h u 矩及其修正算法相比，识别 能力更强。由于小波函数是正交的或近似正交的，所以，z e m i k e 矩和小波矩有 相似之处，在小波矩的研究中值得借鉴。本章进行了z e m i k e 矩的旋转不变性仿 真。 3 2 矩函数的发展 第一篇有关矩应用的重要论文发表于1 9 6 2 年。在这篇论文中，m k h u 首先 提出了连续函数矩的定义和关于矩的基本性质，证明了有关矩的平移、旋转以及 尺度不变性；给出了七个矩不变量的算法，并运用于自动特征识别【1 6 】，在h u 矩的基础上，r y w o n g 进一步给出了离散状态下各阶矩的计算方法【3 2 】。这时， 基于几何矩不变量的方法已被人们大量采用，例如：在模式识别中的船只识别、 飞机识别等：模式匹配中的景物匹配等等【2 0 【2 1 】【3 8 】。在引入正交矩的概念后， 人们提出了l e g e n d r e 矩和z e r n i k e 矩的基本定义和应用领域 2 3 【4 7 】。接着，几 何矩被推广至径向矩，这为导出径向和角度旋转不变量提供了通道 2 2 】。1 9 8 4 年， 引入了一个更为普遍的复数矩的概念，发展了从复数矩推导出几何矩不变量的方 法，并且分析了复数矩在冗余度和噪声敏感性方面的性质 2 8 3 9 】。这时，一些 新的应用领域，如样本匹配、方位判定等也成为矩函数的很有潜力的应用领域 2 7 】【4 l 】【4 2 】。之后提出的f o u r i e r - m e l l i n 描述子是图像矩函数理论的一个很重要 的发展，为不变量的导出提供了一个总体框架1 2 4 】。图像矩函数的理论和应用在 浙江工业大学硕。【1 学位论文 近些年有了，很大的发展，人们已开始探索把小波分析理论引入矩函数当中 ( 2 5 1 1 2 6 5 0 5 4 。 3 3 几何矩1 4 0 1 1 4 3 l 几何矩是矩函数中最简单的一个，其核为像素坐标的幂。其主要优点是：图 像的坐标变换很容易用矩空间中相应的变换来表达和分析；相对于其它拥有复数 核的矩，几何矩的计算很容易执行和完成。对于图像平面变换具有不变性的几何 矩函数，在目标鉴别和目标方位估计上有很多应用。 3 3 1 几何矩的定义和性质【1 7 】 几何矩定义于基本集扛，y ， 。设几，j ，) 为二维连续图像函数，则它的p + g 阶 几何矩t n ，定义为： 聊。一f f 工y 9 厂( x ，y 皿砂 ( 3 - 1 ) 式中，p 。0 , 1 2 ，g m o ，1 2 一，且f 是图像函数厂沁y ) 定义的像素空间区 域。式( 3 1 ) 具有将函数，0 ，y ) 投影到单项式x e y q 上的形式，而整个基本集 扛，y - 是完备的但不正交。 几何矩唯一性定理：假设图像函数k ，) 是分段连续且限制在区域f 中，则 几何矩序列扣， 由厂( x ，) ，) 唯一确定；反之亦然。 几何矩存在性定理：假设图像函数，g ，y ) 是分段连续且限制在区域孝中，则 各阶几何矩m 。均存在且有限。 对一个m n 的离散数字图像厂( f ，) ，其p + q 阶几何矩和中心矩为： m 一5 善善”，眺，) ( 3 - 2 ) 萋笋；歹，) ， 式中，；一o m 。，歹- m 0 1 m o o 为图像的重心。可以看出肌- 风。，对于灰 度图像，t a o o 相当于图像的质量；对于二值图像，p 。相当于图像的面积。 1 4 浙江l t 业大学硕十学位论文 图像的几何矩和中心矩可用于描述图像的形状，中心矩与图像的平移无关。 用零阶中心矩。对其余各阶中心矩进行归一化可得到图像的归一化中心矩： 卵。2 等门( p + q + 2 ) 2 4 ) 3 3 2 使用几何矩进行图像的形状描述1 1 8 1 1 1 9 j 图像不同阶的几何矩表示了图像灰度分布的不同空间特性。因而，一个几何 矩集可以成为图像整体形状的描述子。 各阶几何矩的物理意义表述如下 1 7 ： 1 零阶几何矩 根据几何矩的定义，图像的零阶几何矩m 。定义为： 川o o h ( x , y 皿咖( 3 - 5 ) 可见，对灰度图像，m 。表示图像灰度值的总和，也可以看作为图像的重量； 当为二值图像时，表示图像的面积。 2 一阶几何矩 搠。，、扰，。是图像关于z 轴和y 轴的灰度矩，可用来确定图像的重心。图像的 重心坐标为仁，歹) ： ；。塑 ( 3 6 ) 埘0 0 i ：勉 ( 3 7 ) m 0 。 对于二值图像，( - ，歹) 给出了图像区域的几何中心。通常，将坐标系原点移 至图像重心的几何矩，称为中心几何矩。这一变化使矩的计算独立于图像的坐标 系。 3 中心几何矩 一幅图像相对于图像重心所计算出的几何矩称为中心几何矩，表示为： 。= g 一；r ( ，一歹y g ，j ，) 姗( 3 - 8 ) 浙江工业大学碱j j 学位论义 式中，p 0 , 1 爿2 “，g n 0 , 1 2 一，且毒是二维图像函数( x ，y ) 定义的像素 空间区域。根据中心几何矩的定义，有：。= 脚。且胁，t “。一0 。 4 二阶中心几何矩 图像的二阶中心几何矩：。、。2 和“，称为惯性矩，它们可以确定图像的 几个重要的特性，描述如下： ( 1 ) 主轴 二阶中心矩常用来确定目标的主轴，主轴有长轴和短轴，分别代表最大二阶 和最d , - - 阶的方向，根据矩理论，主轴方向角矽有计算公式： - 丢删吨熹) 式中，庐为主轴与坐标轴的夹角，其范围在 一号，署 ，如表3 3 1 所示。 注意：仅由主轴角不能确定目标的方向，因为目标旋转1 8 0 度后，主轴方向 不变，这要由三阶中心矩描述。 表3 - 3 1 主轴方向确定表 i j；u 。一p 啦 0 0 + 一霭 4 牵0 + 0 簪( 霄姐 0o 0 + 一程i 4 毒0 0o 0 咖冗f 4 ( 2 ) 图像椭圆 由一阶、二阶中心矩可以确定一个与原图像惯性等价的图像椭圆。所谓图像 椭圆是一个与原图像的二阶矩及原图像的灰度总和均相等的均匀椭圆。如果图像 】6 浙江工业人学碗i 学位论义 椭圆由其长半轴口和短半轴b 表示则有： 一【业车囹1 j i o o j lj 。5 恤车翊 j ( 3 1 1 ) 椭圆的灰度可由，：粤确定。可将椭圆中心与图像重心重合，使其主轴方 刀目口 向与图像主轴方向重合，这样更便于分析图像的性质。 5 三阶矩或三节以上矩 对于三阶或三阶以上矩，使用图像在x 、y 轴上的投影比使用图像本身的描 述更方便。 三阶矩：投影扭曲。 两个三阶中心矩。、。，描述了图像投影的扭曲程度。扭曲是个经典统 计量，用来衡量关于均值对称分布的偏差程度。图像投影在x 、y 轴的扭曲系数 为： s 女，t 岛 ( 3 1 2 ) 啦。鸳 ( 3 _ 1 3 ) 扭曲系数的符号反精图像对坐标轴的扭曲方向。表3 3 2 给出了扭曲系数 符号与图像扭曲的关系。 正如前面所提到的，三阶矩可以解决图像旋转1 8 0 度的主轴方向问题。这是 根据该扭盐系数的符号来判定的。因为扭曲系数的符号仅由。、1 t o ，来确定。 表3 3 2 扭曲系数与投影扭曲方向的关系表 s k l j x 轴投影扭曲方向 s k y y 轴投影扭曲方向 + y 轴左侧 + x 轴下方 0 对称于y 轴 0 对称于x 轴 y 轴右侧x 轴上方 四阶矩：投影峰度。 1 7 浙江工业火学硕i 学位论文 两个四阶中心矩i 。、a 。描述了图像的投影峰度。峰度系数是分布峰度的 经典统计度量。图像在x 、y 轴的投影峰度系数为： 等。 协 k y = 石, j 0 4 3 ( 3 - 1 5 ) 当峰度系数为0 时，表示高斯分布；当峰度系数小于0 时，表示平坦的少峰 分布：当峰度系数大于0 时，表示狭窄的多峰分布。 3 3 3 矩函数的各种变换【1 7 】 矩函数的某些变换描述如下： i 平移变换 若图像( 五y ) 分别在x ，y 方向上平移口，则平移后有如下关系： f 。( x ，y ) = 厂0 一a , y 一) ( 3 - 1 6 ) 在数字图像中，变换后的矩定义为： 朋二= b + 口) 9 ( y + 6 户几，y ) ( 3 1 7 ) 则平移前后的脚。、研二矩有如下关系： 聊二。羹薹( 岁) ( ；) 口p ”5 聊m c ，。s ， 可以通过把图像的重心平移到坐标系的原点来对图像实现平移归一化处理。 归一化后的矩称为图像的中心矩。图像厂0 ，y ) 的( p + g ) 阶中心矩。为： 。2 主p 6 矗q 6 l ，p j i 。q 、x 一；y 9 一，一歹y 9 m m ( 3 _ 1 9 ) 则平移变换后有： 二一月 ( 3 2 0 ) 2 尺度变换 若图像函数厂b ，y ) 在x ，y 方向上尺度分别变化吼卢倍，则有： f 。x ，y ) 一f ( x a ，y ) ( 3 - 2 1 ) 浙江_ t 业大学硕i ：学位论文 变换后的矩m 二与变换前的矩卅。有如下关系： m 二一口“9 m ，g 口卢 ( 3 - 2 2 ) m x = c 2 * p + q 聊，口 口= 卢 ( 3 - 2 3 ) 4 m 。：1 ，可对图像实现尺度归化处理。对于二值图像或灰度平均值为1 的灰度图像来说，即把图像的面积设置为1 。实现尺度归一化的因子为： p ；告 ( 3 2 4 ) 归一化后的矩为： 叫甜”朋。 海z s ， 经过尺度归一化，可以得到具有尺度不变性的归一化中心矩： ”辛p + q * 2 摹陟；歹y ) ( 3 - 2 6 ) 3 旋转变换 若图像，g ，y ) 对坐标原点逆时针旋转毋角度，则有： ( x ，) ；f ( x c o s o ys i n o ，x s i n o + y c o s o ) ( 3 - 2 7 ) 对于数字图像，旋转变换后的矩为： 槐二一g c o s 0 一y s i n 口r g s i n 0 + y c o s 口y ，g ，j ，) ( 3 - 2 8 ) 则旋转变换后的矩州二与变换前的矩脚，满足如下关系： j ，4 5 ；塞；塞( 多) ( ；) ( - - ，) 9 + 5 ( c c ，s 口) ”5 ( s ；r 口户一j + 7 月q 一+ - 一，r + s ( 3 - 2 9 ) 此外，可采用主轴法来实现矩的旋转不变性。该方法是基于这样的观测，对 于一组唯一的分布主轴，可以计算出它的各阶矩，这些矩在分布方向上具有不变 性。一般可通过旋转中心矩的方向使“。0 来得到主轴矩主轴角庐可以由式 ( 3 - 9 ) 求得。 浙江：亡业人学砸l 学位论文 如把图像，( x ，y ) 对x 轴作反射变换，则有 厂1x ，y ) e ，( - x , y ) 则变换后的矩矾；。与变换前的矩m 。满足如下关系： m 二芒( 一1 ) ”州胛 同样，如果把图像对y 轴作反射变换，也可得到上述关系为 删二；( 1 ) q 川。 5 增强变换 若整幅图像i ( x ，j ，) 增强口倍，则有： ，( _ y ) t 矽0 ，y ) 则增强变换后的矩m 二与变换前的矩铆，满足如下关系： ( 3 3 0 ) ( 3 - 3 1 ) ( 3 - 3 2 ) ( 3 - 3 3 ) m 月一硎w ( 3 - 3 4 ) 3 4h u 矩不变量及其修正算法 在许多应用中，文字、指纹纹线、生物细胞结构等可以用单象素的线条和弧 线构成的边界图像来表示。h u 矩不能直接用于计算边界图像的矩，而且由于这 种矩的计算涉及内部和边界的所有象素，耗时较多。所以，c h e n 修正了h u 不变 矩公式，提出了边界矩算法 3 4 】。 由于在离散状态下，h u 矩不具有尺度不变性1 3 3 ，杜亚娟等分别通过两种 不同的归一化处理方法构造了两种新的不变矩算法，使其在离散状态下同时具