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东北大学硕士学位论文摘要 广义系统的极小极大控制 摘要 本文研究的主要问题属于最优控制的范畴，将正常系统的极小极大控制问题 推广到了广义系统。主要内容概述如下： 首先介绍了广义系统的结构特征和极小极大控制问题的研究背景及意义。阐 述极小极大控制问题的研究现状以及本文的主要工作。 其次讨论了连续广义系统的极小极大鲁棒控制问题。利用局部检验取极值的 方法得到求极小极大控制器的矩阵不等式条件。并提出广义系统。次优鲁棒调节 器的定义。在此基础上讨论了极小极大鲁棒控制问题同h 。次优鲁棒调节器问题的 关系。 然后分别针对具有范数不确定性的离散系统和广义线性离散系统讨论了极小 极大鲁棒控制问题。通过构造局部检验函数求极小，得到局部极小极大控制器的 形式。控制器的具体的未知参数可利用解线性矩阵不等式得到。 接着研究了广义时滞系统的极小极大控制问题。得到使闭环系统容许的极小 极大控制器的形式以及矩阵不等式形式的判别条件。并将此结果推广到了含有不 确定项的广义时滞系统，得到了判别其广义二次可稳的条件。最后针对状态、控 制和时滞均含有不确定性的广义时滞系统讨论了可状态反馈咒控制的r i c c a t i 不 等式条件及控制器的形式。 最后一部分研究了关于广义系统极小极大控制的反问题。得到判别给定的广 义系统的控制器是极小极大控制器的充要条件，并讨论了此方面问题的另一种等 价条件一频率条件。同时讨论了咒次优控制的反问题。 关键词广义系统极小极大控制反问题圮控制矩阵不等式( l m i ) 东北大学项士学位论文 a b s t r a ( 玎 m i n i m a xc o n t r o lo f d e s c r i p t o rs y s t e m s a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i d e r st h em i n i m a xc o n t r o lo fd e s c r i p t o rs y s t e m s t h em i n i m a x c o n t r o lp r o b l e m so fn o r m a ls y s t e m sa r ee x t e n d e dt o d e s c r i p t o rs y s t e m s t h et h e s i si s s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s t ，t h es t r u c t u r ec h a r a c t e r so fd e s c r i p t o rs y s t e m sa r ei n t r o d u c e d t h eb a c k g r o u n d a n dt h em e a n i n go ft h er e s e a r c ho nm i n i m a xc o n t r o la r er e v i e w e d a n dt h er e s e a r c h w o r ka b o u tm i n i m a xc o n t r o li nt h i st h e s i si sg i v e n a n d t h e n ，t h em i n i m a xr o b u s tc o n t r o lo f t h ed e s c r i p t o rs y s t e m si sd i s c u s s e d t h e l m ic o n d i t i o n st og e tt h em i n i m a xc o n t r o l l o ra r ed r i v e nb ym e l l r l so fl o c a lc r i t e r i o n a l s o ，ad e f m i t i o no fh 。s u b o p t i m a lr e g u l a t o ro fd e s c r i p t o rs y s t e m si sp r e s e n t e d a n d b a s eo nt h a tt h er e l a t i o n s h i po fm i n i m a xr o b u s tc o n t r o la n d h 。s u b o p t i m a lr e g u l a t o r i sd i s c u s s e d t h i r d l y , t h ed i s c r e t es y s t e mi sc o n s i d e r e d ，i n c l u d i n gt h ed i s c r e t es y s t e mw i t ht h e m o d u l au n c e r t a i n t ya n dt h el i n e a r d e s c r i p t o rs y s t e m s a c c o r d i n gt ot h ed r i v e nl m i c o n d i t i o n s ，t h ec o n t r o l l e ri so b t a i n e d ，w h i c hm a k e s t h ep l a n tg e tt h em i m m u m f o u r t h l y , t h ed e l a yd e s c r i p t o rs y s t e m sa r ed e a l t 、i t h a n dt h em i n i m a x c o n t r o l l e ri s g o tt om a k et h ec l o s e - l o o ps y s t e ma d m i s s i b l ea n dt h ej u d g m e n ti se x p r e s s e db yl m i f u r t h e r m o r e ，t h i sk i n do f r e s u l ti se x t e n d e dt ot h ed e s c r i p t o rs y s t e m sw i t hu n c e r t a i n t y a n dl a g a n dt h ec o n d i t i o n s ，w h i c hi su s e dt od e t e r m i n ew h e t h e rt h eq u a d r a t i cs t a b i l i t y w i l lr e a c ho rn o t a r ep r o p o s e d l a s tb u tn o tt h el e a s t ，t h ei n v e r s ep r o b l e mo f m i n i m a xc o n t r o la b o u tt h ed e s c r i p t o r s y s t e m s i sd i s c u s s e d t h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n i so b t a i n e dt oj u d g et h a tt h e c o n t r o l l e ro f t h eg i v e n d e s c r i p t o rs y s t e m s i st h em i n i m a x c o n t r o l l e r a l s o ，t h ee q u i v a l e n t c o n d i t i o no ft h ep r o b l e m s ，i e t h ef r e q u e n c yc o n d i t i o n ，i sg i v e na sw e l la st h ei n v e r s e p r o b l e m o f h 。s u b o p t i m a l c o n t r 0 1 k e yw o r d s ：d e s c r i p t o rs y s t e m ，m i n i m a xc o n t r o l ，i n v e r s ep r o b l e m ，h 。c o n t r o l l m i 声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取 褥觞研究成果除加以栎注帮致 毒| 的遗方外，不惫含萁链人已经发表戴 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与 我一同工作的丽志对本研究所作的任何贡献均己在论文中 乍了明确豹 说明并表示谢意 本人签名喜团 鞠期：2 0 0 3 。1 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1广义系统的发展及实际应用 广义系统也称奇异系统或微分代数系统，是七十年代初由英国著名控制论专 家h h r o s e n b r o c k 针对互联系统首次提出的，可用如下的微分代数方程描述 e ( x ，b v 。，“，! ) ，( 1 1 ) g ( x ，“，r j 其中，z ，“和r 依次表示状态向量、输入向量和时间变量，i ( x ，“，f ) 和g ( x ，“，f ) 表 示x ，u 和，的 一维向量函数：e ( x ，f ) r “”尤其是线性时不变广义系统有较为简 单的形式，可表示为 e x ( t ) = 爿x ( f ) + b “o ) y ( f ) = q o ) ( 1 2 ) 其中，x ，“和y 依次为月一维状态、m 一维输入和卜维输出；e ，a ，b 和c 为具有适 当阶数的实矩阵。为了保证广义系统( 1 2 ) 对给定的允许初始状态有唯一解，总假设 广义系统( 1 2 ) 是正则的，即存在使矩阵( e 一4 ) 的行列式不等于零。w e i e r s t r a s s 1 早在1 8 6 7 年就证明了对于正则的广义系统( 1 2 ) ，总存在可逆矩阵p 和o 使得 q e 只= 研e g c ，。，只。工= ： ，x e r ”，x ：r ”一g ，9 占= 考： 此时系统受限等价于 文。= a t x ，o ) + b 。”( f ) 0 = x 2 ( f ) + b ：“( f ) 相应地，定义在无穷区间上的离散广义系统可表示为 ( + 1 ) = a x ( t ) + b u ( t ) ) ，o ) = o ) ，扛0 , 1 ， 其中，x ( f ) ，“o ) 和y o ) 依次为，时刻的n 一维状态、m 一维输入和，一维输出。 广义系统与正常系统相比不仅具有形式上的差别，而且本质上也相去甚远。 垄些查兰婴圭堂堡垒茎苎二兰堑堕 人们发现广义系统结构更加复杂，在经济、网络、化工、航空、机械、能源、电 力、石油和通讯等领域有着更广泛的应用。由于对广义系统的研究困难且富有挑 战性，所以吸引了国内外数学界、工程界、物理界、经济界等许多学者的极大兴 趣。广义系统具有的不同于正常系统的特点具体表现为： 广义系统( 1 2 ) 的解中通常不仅含正常系统所具有的指数解( 对应于有穷 极点) ，而且含有正常系统解中所不出现的脉冲解和静态解( 对应于无穷极点) ， 以及输入的导数项。在离散情况下，广义系统( 1 2 ) 的解不仅需要r 时刻以前的 信息，还需要r 时刻以后的信息，即离散广义系统不再具有传统的因果性。 正常系统的动态阶为一( 等于系统的维数) ，而广义系统的动态阶仅仅为 q = r a n k e $ 正常系统的传递函数阵为真有理分式阵，而广义系统的传递函数阵通常包 含次数大于l 的多项式矩阵。 正常系统的齐次初值问题的解存在且唯一。但对于广义系统，齐次初值问 题可能是不相容的，即可能不存在解；即使有解，也不一定唯一。 广义系统具有层次性，一层为对象的动态特性( 由微分或差分方程描述) ， 另一层为管理特征的静态特性( 由代数方程描述) ，而正常系统没有静态特性。 广义系统的极点，除了有q ，( = d e g d e t ( s e 一4 ) ) 个有穷极点外，还有正常系统 不具有的一玑) 个无穷极点，在这些无穷极点中又分为动态无穷极点和静态无穷 极点。 在系统结构参数扰动下，广义系统通常不再具有结构稳定性。 在最优控制中，许多正常系统的性能指标在广义系统中没有意义或根本不 存在。 以上可知广义系统具有正常系统所不具有的特点，且许多实际系统或者是不 能简化成币常系统、或者是化简后的系统与原系统相去甚远，使得简化后的系统 不能完全反映实际现象。因此对广义系统理论的深入研究是十分有必要的。近几 十年来，国内外控制理论家发表了不少论文，主要将已有的控制系统中的能控性、 能观性、调节和优化等问题相应的推广到广义系统中来。 下面简单的列举几个反映广义系统在当代科学技术中应用背景的实例。 例1 h o p f i e l d 神经网络模型的输入包括两部分，一部分是模型的外部输入， ， 东北大学硕士学位论文 第一章绪沦 另一部分是神经元输出信号的加权和。模型可表示为 c 10 o0 00 oo 0 0 oo 00 oo 一形 0 0 ， 0 一g b ) 一f b 一，g ，) y = 【o 0 o k ，x = kx ；、x ；利 + 马 0 0 o 其中，彬和是两个加权矩阵；厂k ) 和一g g ) 是非线性函数。这是一个非线性 广义系统模型。 例2 线性动态经济系统的靶路能控性 线性动态经济系统可用差分方程表示 欧 + 1 ) = a 4 k ) + b u ( k ) y ( ) = c 4 k ) + d “僻) ，k = 0 , 1 ，n 1 其中，e ，a ，b 和c 为具有适当阶数的实矩阵；x ( 女) ，“ ) 和y ( 女) 依次为n 一维描述 经济状态向量、m 一维经济政策向量和卜维经济目标向量。 例3 单机多产品批量调度中的时间平衡方程可以表示为 0 oo 100 l10 - 0 lid l ，一1 o ii o 0 阮+ 1 ) ：f 0 一l一1 一- 一1 d 2 ，一1 1 一一1 0 d m 一1 - - 一1 0 00 - d 。一1 其中，d 。表示单位的，种产品在一个循环生产周期平均的满足市场需求的时间， x ( f ) 中的分量表示循环生产中的产量，也表示生产时间。“表示生产准备时间总和。 这是一个离散广义系统模型。 1 2 极小极大控制问题的研究背景及现状 极小极大控制问题属于最优控制的范畴，它所考虑的性能指标都是二次型的。 在工程实际中应用二次型性能指标的最优控制是非常普遍的。这是因为，二次型 性能指标有较多的物理概念；而且采用二次型性能指标在数学处理上比较简单， 可以得到构成晟优控制器的解析形式，即可用状态的线性反馈构成闭环系统的最 优控制。 通常的二次型性能指标形式为 o o ，o。，。 吕o o 0 一 o 1lii卜rlj 堕些查堂要兰兰堡鲨茎苎二主竺堡 j = 寺x 7 0 ，) q ，工( f ，) + i 1 f 7 1 0 ) q ( f ) x ( f ) + u t o 冰o h ( f ) 】讲 其中，q ( ，) ，尺o l q ，均为对称阵，且q ( r ) 0 ，q ，0 ，r ( t ) 0 。它的物理意义是： 在整个时间区间内综合考虑过程中偏差、控制消耗能量和终值精度三方面总的结 果要最小。而极小极大控制问题所考虑的性能指标形式为 j ( u ，w ) = r ( x 7 q x + 1 2 1 r u 一出。s o ) t i t ( 1 3 ) 其中，q = q ，0 ，r ：r 7 0 ，s = s 7 0 ，w 表示系统所有的干扰和容许的 不确定性。它的物理意义是在整个时间区间内综合考虑过程中偏差、控制消耗能 量、干扰以及不确定性三方面总的结果要最小。 具有二次型性能指标的控制系统可视为一个调节系统。所谓调节就是使偏离 平衡位置的状态在控制变量的作用下尽可能地回到平衡位置上。若把零状态作为 平衡状态，调节的目的就是使x 尽量接近于零状态，这就相当于使积分 f x 7 o ) q o b ( f ) 斫尽可能地小。另一方面在调节的过程中又不希望所消耗的能量过 大，这就相当于要求积分f 7 “7o 扯( f h o ) 出尽可能的小。而这里的极小极大控制问 题又考虑到了干扰和不确定性，它的目的就是希望在干扰和不确定性尽可能大的 情形下寻求一个最好的控制。 在极小极大控制问题中求得极小极大控制器的方法不同于以往的最优控制器 的求法( 变分发、最小值原理、动态规划和数值算法) ，它引入了局部检验。这个 检验是通过状态的二次函数的增量和现今意义下的控制和干扰确定的。( 其中干扰 是受f ，中约束的) 。这样对于积分函数的性能指标最坏的干扰和极小极大控制总是 对应局部最坏干扰和局部的极小极大控制。 极小极大控制理论早在7 0 年代就被充分研究过。在现代控制理论中比较积极 的研究方向是将鲁棒稳定性和调节器的设计以及不确定性的兄次优控制理论联系 起来。近年来俄罗斯的著名学者k 0rahm m 针对线性正常系统的极小极大控制 问题进行了充分讨论。文献【2 ，3 】中分别解决了最优控制和最优调节器的反问题，文 献 4 针对线性离散系统讨论了最优控制的反问题。针对整体函数引进辅助局部检 验确定了局部最坏干扰和局部极小极大控制，并且确立了它们同最坏的干扰和极 小极大控制的一致性。得到针对范数有界的线性不确定系统鲁棒风次优调节器的 设计是以解决系统中的控制、干扰和不确定性之间某种微分关系为基础来实现的。 其中这样的线性调节器的反馈参数是用j 1 yp be 却1 4k1 4ath 矩阵不等式或者线 性矩阵不等式表示的。在研究的某类不确定动态系统的线性反馈的设计问题中， 东北大学硕士学位论文第一章绪论 反馈保障对于给定的，消去内部干扰，并且在没有干扰时在状态平衡点渐近稳定。 与此同时学者k 0rah 还针对由微分方程确定的线性动态系统讨论了极小极 大控制的反问题。它是在最坏干扰反问题的辅助研究基础上得到的。在对这两个 反问题的解决中都是应用 5 , 6 】中的局部方法，这个局部方法在本质上是n 7 中用 l y a p u n o v 方法寻找最优控制紧密联系的。这里对整体函数一样引进辅助局部检验， 它所解决的问题同总次优控制有着直接联系。 针对上述极小极大控制的直接问题和反问题的研究现状，我们试着将上述部 分问题推广到广义系统上来。以下是本文所作的主要工作。 1 3 本文主要工作 本文的主要工作如下： 首先，在第一章中，针对广义系统概念、背景及方法做了综述，并介绍了极 小极大控制的发展背景及研究现状。 第二章讨论了连续广义系统的极小极大鲁棒控制问题。利用局部检验取极值 的方法得到局部最坏干扰和局部极小极大控制器的形式。根据文献中它们同最坏 的干扰和极小极大控制的一致性，结合广义系统的特点我们给出了获得广义系统 极小极大控制器的矩阵不等式条件。并提出广义系统h 。次优鲁棒调节器的定义。 在此基础上讨论了极小极大鲁棒控制问题同日。次优鲁棒调节器问题的关系，即指 定的广义系统和性能指标在满足广义约束的条件下，反馈参数由秒= j d 1 z 和一个 线性矩阵不等式确定的鲁棒控制器“= 一o r x 就是h 。次优鲁棒调节器。 有关离散系统的极小极大控制问题在第三章中被充分讨论。分别针对具有范 数不确定性的离散系统和广义线性离散系统讨论了极小极大鲁棒控制问题。通过 构造局部检验求极小得到极小极大控制器的形式。针对所考虑的积分二次型性能 指标极小极大控制和最坏的干扰总是对应局部极小极大控制和局部最坏干扰。控 制器的具体的未知参数可利用解线性矩阵不等式得到。 第四章考虑了广义时滞系统的极小极大控制问题。得到了使闭环系统容许的 极小极大控制器的形式以及矩阵不等式形式的判别条件。并将此结果推广到了含 有不确定项的广义时滞系统，得到了判别其广义二次可稳的条件。最后针对状态、 控制和时滞均含有不确定性的广义时滞系统讨论了可状态反馈圮控制的r i c c a t i 东北大学硕士学位论文第一章绪论 不等式条件及控制器的形式。 本文第五章讨论了关于广义系统极小极大控制的反问题。基于文献 s q o 中反 问题的讨论，我们把分析的观点转向广义系统的极小极大控制的反问题上。这个 问题就在于寻找所需条件，在这个条件下所给定的广义系统的控制器和干扰对应 极小极大控制器和最坏的干扰。并讨论了此方面问题的另一种等价条件一频率 条件，它是使用固定的频率不等式表达的。最后简单的讨论了亿次优控制的反问 题，关于广义系统极小极大控制反问题结果也可用于解决h 。次优控制反问题。也 就是说在一定的条件下，所得到的控制器“= 一k7 x 对于给定的y 和某些输出形式 是h 。次优控制器。 最后针对上述极小极大控制问题推广的充分讨论，总结了本文的主要研究结 果，并指出了有待研究和完善的方面。 - 6 东北大学硕士学位论文 第二章广义不确定连续系统的极小极大鲁棒控制 第二章广义不确定连续系统的极小极大鲁 棒控制 考虑不确定连续广义系统的极小极大鲁棒控制问题。将不确定线性定常连续 系统的极小极大鲁棒控制问题推广到了广义系统。通过解线性矩阵不等式( l m i ) 给出要设计的极小极大鲁棒控制器的形式。提出了广义系统圮次优鲁棒调节器的 定义。由此讨论了圮次优鲁棒调节器问题同极小极大鲁棒控制问题的关系。 2 1 预备知识 近年来，在控制理论中又重新提出了极小极大控制的问题。这里所谓的极小 极大控制属于最优问题的范畴。但最优问题通常都是施加一控制使某一性能指标 泛函达到极小即可。而极小极大控制考虑到了干扰的影响，在最坏的干扰下它是 最好的，也就是满足下面形式： m i n n ! 黔i - ( x t q x + u t r u 一s c o ) d t x t ( o ) ( _ ( o ) 其中，c = c7 0 。基于三十年前讨论的线性连续系统和离散系统的极小极大控 制问题，许多文献又讨论了含有不确定参数的系统的极小极大鲁棒控带l j 4 , 5 , 1 0 , 1 3 。 这样使得这个问题更接近了实际工程系统的情况。同时俄国学者m m k ora n 基于此又讨论了以上系统的极小极大控制的反问题。由于广义系统能够描述比 正常系统更加广泛的一类问题，因而受到国内外许多学者的关注。然而，对于广 义不确定线性系统的极小极大鲁棒控制的问题还不多见。 本文就基于不确定性为范数有界将线性连续系统的极小极大鲁棒控制的问题 推广到了广义系统。利用线性矩阵不等式( l m i ) 的方法给出了极小极大鲁棒控制 器的设计形式。根据文献 1 1 中有关最优调节器的讨论，提出一个广义系统h 。次 优鲁棒调节器的定义。并通过这个定义讨论了h 。次优鲁棒调节器问题同极小极大 鲁棒控制问题的关系。由此说明h 。次优控制器的设计问题同样也是同由控制和干 扰及不确定性之间的微分作用紧密相关的。 东北大学硕士学位论文 第二章广义不确定连续系统的极小极大鲁棒控制 2 1 1 系统描述 考虑广义不确定系统 e i = i x + e q ( f 汪k + 【b + e q ：( ，) e ：m + 【g + e q ，( t ) e 3 c o ( 2 1 a ) y = 阱+ 阱 亿 其中，x r ”是系统的状态向量，“r 是系统的控制向量，y r t , 国r 。分别是 系统的输出和干扰r q 量，e 为非奇异阵，且r a n k e = ， 0 ，s = s 7 0 ， w 表示系统所有的干扰和容许的 不确定性这罩的容许性表示不确定性满足条件( 2 2 ) 。 2 1 2 问题的提出 本文针对广义系统( 2 1 ) 设计一个状态反馈控制律 “：一0 7 x( 2 4 ) 使得在此控制下对于所有的干扰和容许的q ，( f ) i = 1 ，2 ，3 都有 呼珊x j ( u ，矿) o ) ( 2 5 ) 换句话说就是针对广义系统( 2 i ) 寻找一个极小极大鲁棒控制。这里的式( 2 5 ) 可用 m i n 嗡。( 矿+ x r q x + “7 r “一7 s ) q + ，q + = q + ? e i e l ，r + = r + 2 2 c 2 t e 2 s + = s 一3 2 。3 t e 3 0 0 p ：1 0o oo 2 2 连续广义系统的极小极大控制 果 00 00 ；，0 0 詹， ( 2 1 0 ) 定理2 1 针对辅助系统( 2 6 ) 和性能指标( 2 9 ) ，对于任意的坌 q + ，如 e 。c = c e 0( 2 1 1 ) 且c 是 彳7 c + c a c g r 2 1 8 7 c + c ( a ，f 坶：1 ( g ，f ) 7 c + g 0 ) 利用文献 1 2 】中的求最坏干扰和极小极大控制的方法以及文献 1 3 中引理1 的证明 方法，使式( 2 1 4 ) 关于求导且让导数等于零，使其极大化。其中， 矿：堂7 e7 c x + x 7 e c 2 又因为条件 e c = c e o 10 东北大学硕士学位论文第二章广义不确定连续系统的极小极大鲁棒控制 所以 由上所述 进而有 矿：童7 e 7 c x + x 7 e 7 c y c = 2 x 7 c ( a x + b “+ g c o + f v 、 = 2 x 7 c ( a x + b “+ ( g ，f ) ) 暇= 一s ：1 ( g ，f ) c x ( 2 1 5 ) m a x ：2 x 7 c ( a x + g u ) + ut r + “+ x r c ( g ，f ) s ：1 ( g ，f ) 7 + c x ( 2 1 6 ) w 下面对式( 2 1 6 ) 关于“求导且使导数等于零( 即使式( 2 1 6 ) 极小化) ，求得 所以 其中 “= 一月二1 b7 c x m i n m x = 一x 7 0 x a r c c a + c b r l l b 7 c c ( g ，f 声：1 ( g ，f ) 7 c q + 这样可以有下式成立： ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 矿+ x 7 亘x + u r r + “一w7 s + w = ( “一l d , ) 7r + ( “一“) 一( 一吼) 7s + ( 一暇) 则由条件( 2 1 2 ) 及式( 2 1 8 ) 有 m i n 甲( 矿+ x r q + x + u r r + u - - 7 s + ) 呼m x ( 矿+ x t 函+ u r r + u - - 7 s + 矿) = 0 ( 2 1 9 ) 根据式( 2 1 0 ) 得到 吧i m 汐妒+ x t q 抖“7 月“一c o r s c o 一所们1 1 2 一崦q 1 2 ) 一正0 m 2 9 岛d f ) 一露0 2 6 副1 2 ) o 进而由式( 2 7 ) 有 即有 m i n m a x ( i ? + x t q x + b l t r u c o t s o j ) 0 ，使得 p e 7 ：e p 0 p a7 - a p z b7 1 一b z 7 p p q ： z 7 0 ( g ，f ) 7 0 z ( g ，f ) oo 一只一10 0 一s + 0( 2 2 2 ) 成立，则“= 一o t x 是针对系统( 2 1 ) 和性能指标( 2 3 ) 的鲁棒极大极小控制。其 中，0 = p 。z 可通过l m i ( 2 2 2 ) 的解来表示( 这里的q r ，s + 同式( 2 1 0 ) 中 的形式) 。 证明：由定理2 i 中的条件( 2 1 2 ) 可有下式成立 彳；c + c a 口+ 目7 。r + 0 + c ( g ，f 声：1 ( g ，f ) 7c + q + 0 ( 2 2 3 ) 其中，a 。= a b o ，又因为式( 2 2 3 ) 又等价于式( 2 1 9 ) ，即上式等价于 m i n m a x ( c + x r q + h u r r + b l - - 7 s + 渺) 0 ， 根据式( 2 1 0 ) 上式可写为 m i n n 警a ：l f z + x r q x + u r r u - c 0 7 s o ) 一詹0 | v l | 1 2 一i i e , _ 1 2 ) 一届4 2 一i i e a 2 ) 一层h l l 2 一i l e a l 2 ) ) o 进而可知 h j nr - 掺x ( 矿h - x t q x + i d t r “一s 出) o ， 从而式( 2 5 ) 成立。这说明= 一0 7 x 是系统( 2 1 ) 和性能指标( 2 3 ) 的极小极 大鲁棒控制。由文献 1 4 中的s c h u r 补定理，条件( 2 2 3 ) 可写为 东北大学硕士学位论文 第u - 章广义不确定连续系统的极小极大鲁棒控制 4 7 c + c a o b7 。c c b 0 7 ， 0 7 ( g ，f ) 7 c ，0 c ( g ，f ) 一q ：1 00 0一r 一10 00一s 0 ) 从而得到l m i ： p a 7 - a p z b7 一b z 7 p z 7 ( g ，) 7 pz ( g ，f ) 一q ：1 oo 0一r 一10 0os 而状态反馈的参数可通过式( 2 2 2 ) 和0 = p 。1 z 得到。 o 证毕 2 3 广义系统鲁棒极小极大控制与片。次优鲁棒调节器的关 系 在这部分将讨论有关广义系统h 。次优鲁棒调节器与极小极大鲁棒控制器的 联系。 这里让( 2 3 ) 中的s = y2 ，得到新的性能指标泛函 g ( u ，) = f ( x 7 + “7 r “一2 7 c o ) d r ( 2 3 ) 定义2 3 t l l 】对于线性系统，如果所设计的控制信号能使某一个性能指 标泛函达到极值，则称此调节器为最优调节器。 针对广义系统给出h 。次优鲁棒调节器的定义。 定义2 4对于广义系统( 2 1 ) 和性能指标( 2 3 ) ，如果所设计的控制信 号能使指标泛函( 2 3 ) 达到极小值，且满足：兰州则称此控制器为广义 系统h 。次优鲁棒调节器( 这里w 具有同( 2 3 ) 中一样的意义) 。 下面的定理就是关于h 。次优鲁棒调节器的主要结果。它说明鲁棒h 。次优调 节器也是以解决系统中控制、干扰以及不确定性之间的微分关系为基础的。这正 对应了鲁棒极小极大控制与。次优鲁棒调节器的关系。 查些查兰堡主兰垡垒圣苎三量 墨i ：塑墨堑堡墨塾竺塑! ：堡查墨竖垄型 定理2 3 广义系统( 2 1 ) 和性能指标( 2 3 ) 在满足广义约束( 2 1 1 ) 的 条件下，反馈参数由口= p 。1 z 和l m i ( 2 2 2 ) 确定的控制器“；一o r x 是h 。次优鲁 棒调节器。 证明：由定理2 2 的证明过程，很显然有式( 2 5 ) 成立再令s = y 2 ，进 而定义2 4 中的一个条件成立由式( 2 1 9 ) 及式( 2 1 0 ) 有 m i n m x ( 矿+ x t q x + u t r “一7 s + ) 四n m x ( 矿+ x t q + h u r r + “一矿s + ) o 令 s + = y 2 ，( ，是相应维数的单位阵) ， 所以有 m i n m x f + u t r “一y 2 7 h 工7 ( o ) e 7 c x ( o ) 在零初始条件和任意的不确定性满足容许的条件下有 m i n 珊。fb 7 - u t r “一y 2 w ) d t 0 ( 3 1 0 ) 进而可得到 m v a , x p ，= ( 爿x ，+ b “，+ d c o 。) 7 c ，( 爿x ，+ b “，+ d c o ，) 一x j q 。+ “? “r y 2 脚? 珊 其中 c ，= c + c f ( p 2 ，一f 7 c f ) 一。f 7 c 根据引理3 1 及式( 3 7 ) 我们有 a v , + u r , u ，一7 , 2 出? m ( a x ，+ b u ，+ d q ) 7 c ，( a x ，+ b u ，+ d c o f ) 一x ? c x ，+ u i u 。一y 2 珊? c o ，+ 2 v ? v ( a x f + b u f + d o r ) 。c r ( a x f + b u + d c o , ) - x r c x l + u r u ，一y 2 0 r , c o r + i t 2 x r , n 7 n x ( 3 1 1 ) 现在使不等式( 3 1 1 ) 右边最后部分极大化，关于，求导，并使其导数等于零。 这样就得到了局部最坏的干扰： o g = ( ，2 i d7 1 c ，d ) 一1 d 7 c ，( a x ，+ b u 。) ( 3 1 2 ) 根据式( 3 1 0 ) 显然y2 i - d c ，d o 是成立的。进而有 东北大学硕士学位论文第三章线性离散系统极小极大控制的推广 其中 m a x ( a v , + “? 一y 2 q t c o f ) 讪 ( a x ，+ b u 。) 7 c 爿( a x ，+ b u ，) 一x j q ，+ “j “，+ 2 x ? n n x ， ( 3 1 3 ) c 州= c ，+ c ，d ( y 2 ，一d 7 c ，d ) 一d 7 c ， 接下来针对不等式( 3 1 3 ) 的右边部分，使其极小化。关于“，求导，并且让其导 数等于零，得到局部极小极大控制 令上式写为 “? = 一( ，+ b 7 c i a 口) _ 1b 7 c 川a x “j = 彩x 根据上面所求得的v ? ，q + 以及峨+ 有下式成立 其中 这里记 m i n m a x ( a v , + “j “r 一2 2 ? q ) r0 1 r x t t ( 4 7 c 6 甜a c + 2 n 7 n ) x c 埔d = c 祖一c f b t i + b t c 埘b 丫j b t c 甜 则式( 3 1 6 ) 又可写为 q = c a r c 6 “a u 2 n7 n ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) m i n m a x ( a v , + “? “，一y 2 ? 0 9 。) 一x t 7 q x 。 ( 3 1 7 ) m 下面我们考虑系统的系数矩阵 令a 。：爿+ b o j ，由( 3 1 ) 、( 3 9 ) 、( 3 1 2 ) 和( 3 1 5 ) 构成的闭环系统为 x f 1 = 爿。x ，+ n ( y2 ，一d 7 c ，d ) 一1d c ，4 。x r + f ( 2 ，一f 7 c f ) f r c a 。x + f ( 2 ，一f 7 c f ) 一1 f 7