（基础数学专业论文）（11）维（21）维孤子方程的分解及其拟周期解.pdf

摘要 本文给出一个新的谱问题，并且导出与之相联系的一族非线性微分方程利用对特征 值问题非线性化方法，得到了个r 2 n 上的新的有限维h a m i l t o n 系统借助母函数方法，证 明守恒积分的两两对合性及其函数独立性并引入a b e l - j a c o b i 坐标来对h a m i l t o n 流进行 直化然后，借助于代数曲线理论知识，通过对椭圆坐标反演和求解常微分方程，分别求得 了驻定方程( 4 2 ) 与( 1 + 1 ) 维孤子方程( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 及( 2 + 1 ) 维孤子方程( 1 2 0 ) 的拟周期解 关键词；非线性化；孤子方程；母函数；h a m i l t o n 系统；守恒积分；拟周期解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，an e ws p e c t r a lp r o b l e mi s p r o p o s e d a n dn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h e c o r r e s p o n d i n gh i e r a r c h ya o b t a i n e d w i t ht h eh e l po ft h en o n l i n e a r i z a t i o na p p r o a c ho fe i g e n - , r a l u ep r o b l e m s ，an e wf i n i t e - d i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a ns y s t e mo nr 2 ni 8o b t a i n e d a g e n e r a t i n g f u n c t i o na p p r o a c hi si n t r o d u c e dt op r o v et h ei n v o l u t i v i t yo fc o n s e r v e di n t e g r a l sa n di t sf u n c t i o n a l i n d e p e n d e n c e , a n dt h eh a m i l t o n i a nf l o w sa r es t r a i g h t e n e db yi n t r o d u c i n gt h ea b e l - j a c o b ic o o p d i n a t e s a tl a s t ，b a s e do nt h ep r i n c i p l e so fa l g e b r a cc u r v e ，t h eq u a s i - p e r i o d i c l u t i o n s 妇t h e s t a t i o n a r ye q u a t i o n s ( 4 2 ) a n dt h e ( 1 + 1 ) 一d i m e n t i o n a is o l i t o ne q u a t i o n s ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) a n d ( 2 + 1 ) d i m e n t i o n a is o l i t o ne q u a t i o n ( 1 2 0 ) a o b t a i t e db y l v 岖t h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n di n v e r s i n gt h ea b e l - j a c o b ic o o r d i n a t e s k e yw o r d s ：n o n l i n e a r i z a t i o n ；s o l i t o ne q u a t i o n ；g e n e r a t i n gf u c t i o n ；h a m i l t o ns y s t e m ；c o n - s e r v e di n t e g r a i ；q u a s i - p e r i o d l cs o l u t i o m 0引言 可积系统的研究是当代非线性科学的主流之一，它经历一个曲折漫长的发展过程最 早的一系列可积模型，如j a c o b i 椭球测地流【l 】，球面上的谐振子( c n e u m a n n 系统) 【2 】， 几种可积的经典陀螺【3 ，4 】等这些例子( 常微分方程组的可积模型) 最终被纳入著名的 l i o u v i l l e - a r n o l d 理论，其关键在于通过寻求作用一角变量( 圣，i ) 使得可积的h a m i l t o n 系 统，在此坐标下可写成简单拉直。形式。 毒= ，( j ) ，j = 0 因而可明确表示其解； 圣( t ) = 西( o ) + w t ，z ( t ) = j ( o ) 再对相空间坐标反演，即给出原问题的解 在上世纪7 0 年代人们又注意到了无穷维可积系统紧密的联系着有限维可积系统曹 策问教授在1 9 8 9 年从孤子方程的无反射位势与特征函数的关系得到启发，提出了一个从 无穷维可积系统构造有限维可积系统的有效方法zl a x 对非线性化方法【5 6 ，7 】，这一方 法是构造有限维可积系统的重要方法；另一重要应用是将( 1 + 1 ) 一维孤子方程分离成相容 的常微分方程 在非线性化方法的发展过程中，曹策问教授首先对a k n s 特征值问题引入b a r g m a n n 约束【8 】，导出了一类共焦对合系；接着，又在随后的文章【9 l o ，1 1 ，1 2 ，1 3 】中对a k n s ，k d v 族及离散t o d a 链等孤子族进行非线性化，给出对应的n e u m a n n 系统或b a r g m a n n 系统， 并在1 9 9 0 年的文章【9 】中给出非线性化方法的框架结够，并对一批孤子系统列出了其对应 的n e u m a n n 系统或b a r g m a n n 系统，此后，使得大批可积系统被发现 对于经非线性化得到的b a r g m a n n 系统，其l i o u v i l l e 意义下可积的关键在于守恒积分 的对合性和函数独立性而b a r g m a n n 系统守恒积分系的函数独立性最干净的证明是将流 在a b e l - j a c o b i 坐标下拉直，直接用线性无关性来证明函数独立性计算可得有限维可积 系统的l a x 矩阵。由l a x 矩阵引进椭圆坐标，再利用代数曲线理论知识构造黎曼曲面恰 当选取黎曼曲面上的阿贝尔雅可比坐标，由黎曼定理，根据口函数可写出孤子方程的代 数几何解( 或称之为拟周期解，有限带势解) 全文框架如下；第一节引入谱问题并且获得与之相关的孤子族第二节在特征函数与 位势之间的b a r g r a a u n 约束下。谱问题( 1 1 ) 被非线性化为( 2 5 ) ，并得到( 2 5 ) 的积分母函 数，进一步证明了原谱问题对应的h a m i l t o n 守恒积分 最) 的对合性第三节借助于椭圆 坐标及拟a b e l - j a c o b i 坐标，证明了守恒积分的函数独立性，从而证明了此h a m i l t o n 系统 的完全可积性第四节通过引入一族新的多项式积分 h k ) 达到了对孤子方程的分解第 五节引入a b e l - j a c o b i 坐标，流得以直化第六，七节通过a b e l - j a c o b i 坐标反演，反演到 原来的位势坐标，从而得到了孤子方程的拟周期解 2 1 非线性孤子族 此部分通过引入谱问题，借助零曲率方程获得非线性孤子族 考虑谱问题， 其中 定义映射 则谱问题中的u 其中 则 ( 小( ：) ， ( 1 1 ) 矿= ( 。= 伽a 0 曲黻 m z ， ( 2 ，d ) ， e 加卜徽 考虑谱问题( 1 1 ) 的时间部分：( 以下简记( 1 n v + r 1 ) ”为) ( 护( ：) ， y = 以( 三) = ( 三 3 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 、lili 您 哪 研 n n +， 吨， 斗 为(、一、一1n 您您陵口，。一口 、l 口 彤 记 v = - t r , v l = ( 羔三) 一( 础2 v a 制- 2 b ，4 v 砌c + 枷2 ( - a + 口u 徊) = 以 ：釜) 2 以 2 以 1 0 + 2 u 耳：l o l f 一2 v ( a i j 兰_ “) a z ! + u ，一4 v ) ( 三) p 蚓一) f ，2 oo 1 j = 10 20l ， i 。 。 。j ( g d 的母函数鲰：+ o o g j _ l a - j ， j = o l 砖 毋= l 考 i 谚 f k a j ) g x =k g x a j g x + + c o - - r g j i a - j 一，乃一i a l - j j = 0j = o + o o + o o 如一l a - j 一，鲫a - j j = oj = 0 4 a b c 鲰= ( ；) ( 1 6 ) 、 蚣 铀 a u o q 尬 a 列j 于j ， 耐、-、 o t o o 4 l， 虑 i i 考 d 若 乒 有 取 亦 并 则 故y = 呶溉) 满足驻定方程z k 一姒明= 0 ( 1 7 ) 如= 赫砒- l _ 2 哔1 籼 ( 1 8 ) 【靠= 一 a 皖一1 + t 靠一1 2 v 9 3 m l 又由鲰= 塞毋一1 a 一，一鳅鳍一( 氓) 2 = 一l ，比较a - j 的同次幂系数得， 碾一；砩一1 十碥一l 一2 ”9 景一1 ( 1 1 0 ) l 靠一什三一。9 3 一g k u j u k ，9 3 = o 舯埘卯= 舻( a 翟 ， f u z + 2 u 2 4 ( h + r 1 ) + ( 警) 2 】垣专b + 丁1 - 1 n u - - r t t m 。“t h + 誓) 一豢 9 2 = 【扭一- - 。u z v + 2 u 2 拙v - - 4 。虹v ( l n v + r 1 ) 警- - 2 毗j 一2 堕等：l t k + 4 u ( 1 n ”+ r 1 ) + 警 5 1 嘞 一4 彩 k 佃舢仉 = = 1 ) , n - j 。= 鲫一 “+ l o l ， j = o li 肛”跫譬) 若令= 以( g 。) ，由 则l a x 方程 与 的相容条件 等价于 即 ( k # 一暇碥】= 以( ( 耳一a ，) g k ) ， ( 弘( ：) ( 廿k ( ：) 卦降g n i a i n v + r l a i ) 6 ( 1 1 1 ) “ 碾妃孥 _ 删 妣扣赤 = = 似 似 ! 篙) ( 圳一仙 其中。p 是投影映射( r l ，r 2 ，r 3 ) t q = 令t o = $ ，t l = ，t 2 = t ，则有， i = 弱= j 。( 卜= 恐 ( 1 1 2 ) ( ：) ，。( 柳5 篇掣二警墨蒜。， ( ：) t = 令v 为( 1 直接计算知 1 l ，= i n 口+ 7 l 嘶= 詈= a 【2 ( 1 n v + r t ) u + 量掣】， 筇1 嘶：2 ( 1 n + r 1 ) “+ 虹学型， ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 - 1 7 ) 露1 1 = ；。伊照号：l + 【2 ( 1 一l n v r 1 ) “口一警】护照等：丑+ 4 ( 1 n v + r 1 ) 2 - 6 ( h + n ) 】寸u v 2 + 掣耻产。+ 虹斋芦+ 生塑警址 ( 1 1 8 1 + 8 ( 1 n + r t ) u u x 一2 卫翌三：；旦卫“t k + 4 u 24 1 望3 i 咀t k ， 7 ： 抄俨 矗_ 伍 = 场 量句史定以可比因 鼍 ：。一 h 枷矿 ，一，一 0 一 魄阳啡一帆书 - 3 q 咖薰 一地氟日。 篡慧一 爱 柳 肄 由( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ： 毗2 警= ”a 3 毕+ ；u ”护虹i 扭+ 也型掣+ 3 争 ( 1 1 9 ) + 6 0 n v + r 1 ) u t k 一6 迪掣咀t k + 堕暑手l 一2 堕号厶 t b z 将( 1 1 5 ) ，( 1 1 8 ) 代入( 1 1 9 ) 可得如下( 2 + 1 ) 维非线性发展方程； 毗= ；露1 嘶+ ( 去一i 3 ”2 k 8 2 特征值问题的非线性化及守恒积分的对合性 本节的主要任务是在b a r g m m m 约束下，通过母函数流的方法，证明了守恒积分的对 合性 考虑谱问题的分量形式， ( 小( 。品：，。0 。) ( ：) ， ( 2 1 ) 设a l ，a n 是谱问题的n 个互异特征值，( 劬，巧) t 是相应的特征函数，记a = d i a g ( c q ，a m ) ， 构造映射n ， n ：俨_ g = 毋= ( l ，咖，如) t c 3 i l 也+ 楞= o ) ， 制h 斟 甜卧， 则 命题2 1 若 耻) 、g - t + g o + 薹瓮 啡。+ ：g ，：圭v q ， n + 云肌。备 ( k a j ) g x = j ( g x 一2 w j ) = 0 j f t 9 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 由r l 弘1 + 5 9 l = 墨v q ，整理得b 删约束为， ：三! ：q ) + n 一”( g q ) e 一帆砷+ ( p p ) e p 栅 c z t ， 由( 2 1 ) 中的位势u ，”满足b a r g m a n n 约束，将( 2 4 ) 代入( 2 1 ) ，则谱问题被非线性化为， j q z = - 加+ 【( ) + n - 1 ) ( 刚) e 曲面+ 伽，p ) e 缸神”2 扣面p 一謦 ( 2 5 ) lm = 却+ 2 ( ( p ，曲+ r 1 ) e 一p ，q ) q 一【( ( p ，g ) + r l 一1 ) 口，口) e 一( p ，叮) + p ，p ) e ( p ，神】p = 等 其中 1 1 1 = ( a g ，p ) + ( r 1 g g ) + p ，口) 佃，g ) ) e 一加，口) 一伽，p ) e ( p 劫， g = ( q l ，鲫) t , p = ( p i ，p ) t ，a = d i a g ( a l ，a ) 由前述( k a ，) g = 0 知，驻定l a x 方程k 一暇明= 0 滑x 流有解； 玖= 以( g ) 其中记 = +薹n巫a-aja-(ag-i g o j ) = + + 竺盟) j = l = ( ：州：章知0 ) + j = l 旦a - a j = a + j = l 互a - a j f a + 2 q ( p ，q ) 2 v 一2 q a ( q ，q ) 1 2 虹产+ 2 q ( p ，p ) a 一2 q ( p ，q ) i l 洲：牟：) 一一= ( 等i ) ， 眦护薹= 薹卿 由驻定l a x 方程k 一暇明= 0 可知；最= d e t v a 沿x 流是不变的，因此可得( 2 5 ) 的积分母函数为： 最= d e t v ) , = 卜a 2 + 4 a q ( p ，q ) 一4 q i ( p ，q ) 一4 ( 1 n v + r 1 ) + 4 堕3 芋盐q ( 叮q ) - 4 v q a ( p ，p ) + 4 仉p ，p ) q a ( q ，g ) j = 一( 譬+ r t ) 一慨口) + 孽掣一誉由( ( a i p 口) ( p ，g ) ) ( 2 6 ) k = 0 “ k = 0 “ l + ，= 七一l + 幻e 叱神k 萎= 0 钭+ r l e - 如 q k 孽= o 帮一e k 罄= o 辨 ， ， + o o + 由( a i p ，p ) ( a j q ，口) ) k = 0 一 i + j = k - 1 = 一( 譬+ r 1 ) + + c o a 一 一1 最， 其中- f o = ( a p ，q ) + 白，q ) e 一p ，口) ( g 口) + r l e 一( p ，叮) ( 口，q ) 一e ( p 灯) ( p ，p ) ， 最= ( a + 1 p ，g ) 一 三( 西，q ) ( a j p ，口) + ( p ，g ) e 一饥口) ( a g ，神( 2 7 1 十，= 0 一l + t i e 一饥神a g ，曲一e o a ) ( a k p ，p ) +a p ，p ) ( a g ，g ) 在辛空间( r 2 n , d p a 由) ，考虑h a m i l t o n i a n 流最，设最的流变量为h ，直接计算给出 最流的正则方程z 旦d t 。( p 瓠k ) = ( 誊) = c 盎，( ：) 一毗，( ：) ，仁s ， 其中 一( ：三) ， 一号竽薹禹+ 嘻啬 由 铲( 小m ，( ：1 1 ) 可得t 丢“= 杀( ：) t 靠，m ，( ：) + ( ：) c 杀c 弧，m 一 一抽t ，( ：) c ， + f ，弧1 ( 弛，张) 哪) p k = ( a ，a ) ，k 】 命题2 2 沿圾流，l a x 矩阵k 满足工方程 证明：由于 旦上： d t p 一口j 瓦d = 【( a ，p ) ，】 去【( 枘) ， 10 1 ( q k ，m ) 取。l k 1o ( 弧，p i ) = 志+ 器，勺i【似一叼) d q ) p 一”j = 南焉一去，勺 + 器，叫a p 【p n a q 。j 【p q 。j l 、i 乓 o x 一。 = 姆堋地惫 一岛尚】 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 、， d o 0 l 弧 鲰 ，i一， 南 + 、 。“刊 o 1 甄 m 一 以。 吣 渤 o l ，【 、 ，t纠 胁 骓 m 似，_ 一 则 击= 在( 2 1 1 ) 式中。 而 等+ 氛j _ 兰1 2 - - - t - - d e 。 等+ 睁盏岛脚一悱岛，纠 = 箬警+ 【( a ，p ) ，】一 亲| l + k ( ) ，川一 亲珐，v x - a a = 【( a ，p ) ，】+ 等+ 搀，入一p 】一【( a ) ，埘 v _ _ 岛, a a - a 川一t c ”，川= 惫， 其中； 一苫”圳一l ( ： 一0 一。黯2 v ( 1 - ) 警) 二) 叫 百d a p = 旦d t x ( 。毕- p 小( 毒老誓) ， 丢e 饥砷和国丢 匿c 勘+ 荟nc 瓦d 如 = 2 v 2 q ( p ，p ) + 2 ( b y + n ) q ( 口，q ) 。“j _ _ la - 丑a j 刊l n v - 1 - r 1 ) 薹焉 ( 2 1 2 ) i f 生舐 等g t x = z ( ；：) ， i口nj a = z 瞧名+ z ( 1 n v + r l ，喜告， 卢= 。( 1 - h - ) 曼岛+ z 业掣黑禹 由( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 可知，在( 2 1 1 ) 中 坐d t x + 【毪，一q o ，l 一肛一1 ” 故( 2 1 1 ) 变为- d v ：【( a ，p ) ，v i 口dt x 。”7 7 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 巳，最) = 0 ，v 入，p q ( 2 1 5 ) ( 最，乃) = 0 ，w ，k = 0 ，l ，2 ( 2 1 6 ) 证明方程( 2 8 ) 暗含最= d e t v # 沿着最流是不变的，又因为函数昂沿着f x 一流 恰好是p o i s s o n 括号。则有 ( 昂，毋) = d 地f p = 。， 故由( 昂，最) = 0 有( 乃，最) = 0 ，k = 0 ，1 ，2 e l 因此 最 是原谱问题对应的h a m i l t o n 系统的对合的守恒积分 1 4 击南 。一一 + + n n 妒i 妒i = = 最 为因 3 椭圆坐标与函数独立性 易知b ，暇2 ，昭1 都是 的有理函数，并且暇2 ，堙1 在q 处有单一极点，故可设t 暇2 = 2 v 一2 q ( q ，q ) = 2 错， ( 3 1 ) 嵋1 = 2 半瑚地p ) = 2 警器， ( 3 2 ) 其l - il - i 协一q ) ，则 肌) ， 硌) 被称为其) =n 一心) ，n ( a ) = n o 一吩) ，a ( ) =协一q ) ，则 肌) ， 硌) 被称为 j = lj = lj = l h a m i l t o n 系统的两族椭圆坐标若将暇2 ，曙1 按a - 1 的幂进行展开，并比较 的系数可 卜卜蔓”暑? 叫 ( 3 。) 【饥p ) = 2 虹芦黑( 唧一峪) 。 另一方面，由于f = d e t h = 一射( 暇1 ) 2 + 暇2 曙1 】仅以a l ，a 为一级极点，因 为在毋中协一哟) 2 的系数为0 故可表示为； 最= 一i 器、1 瓣r ( a ) ， n + 2 其中i 6 ( a ) 2 噩( 1 一岛) ，r ( a ) 2 。( a ) 6 ( 1 ) ，d e g r ( a ) = 2 + 2 则 r ( a ) = o ( a ) 6 ( ) = d ( a ) ( 一缸( a ) f ( a ) ) = n ( ) 2 ( 暇1 ) 2 + 4 ( 1 n v + r 1 ) m ( a ) n ( a ) ( 3 4 ) 利用r ( a ) 的l a u r a n t 展式可得到t 命题3 1 椭圆坐标沿h 流满足演化方程t = 萨赫 2 一西；再颠同而 n f 柚 1 5 ( 3 5 ) 岛膨 警恐暑 = = q 碍 学触 ，_l_i-i_l 虹蛾纽蛾 幸而 证明由( 3 1 ) ，( 3 2 ) ，分别令a = p 女，观，我们得到 咄= 智，睹= 需 在前面的讨论中，我们已知k ，r 沿h 一流演化的方程是t ( 3 6 ) 式的第2 第3 个分量为t 盟d t x = 阿( a ，p ) ，吼 芸_ 2 ( 篙确昭2 一。向v , 1 2 曙1 ， 罢= z 篙2 1 曙1 叫咎均曙1 ， 分别令s = p ，p = h ，经过计算可得( 3 5 ) t - i 因为 毋一5 n p ) m ( p ) 11 一万耳酉f 可_ f 丽 当j 1 时，l a u r a n t 展式中p - 1 的系数是0 ，则由柯西积分定理得t 耋群= i 1 孟乏( a p t ) m ，( p t ) 2若蒜+ 丽a n - j = 焉， ( a p ) l ( p ) m ( a ) ”i ( a ) 对于某一固定的a o ，引入拟a b e l - j a c o b i 坐标 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 而= 薹若斋咖，西= 砉c 若杀拟 c s 脚 命题3 2 ( 最一流的直化) ， 证明 面l p j 武5 丽 西t 舻一j 武2 _ 丽 要=亟dl凯盟dtx=k芒=l坐垫dt。dtx2 x r - 丽d t x = 器量而筹= 寄 舐 n ( a ) 售( a 一舰) 删( 纵) o ( a ) 同理s 衄d t x = 一籽 口 1 6 ( 3 1 0 ) 推论3 1 ( 风一流的直化) t 设“是最- 流的变量，那么 ，嘶却嘶、 面石面忑j 2 且老= 一老 其中如是下式的展开系数： a o1 1 1a z a 2 a n 一1 1 a i a n 一2 。 a l 1 如可以通过o l k 的幂和表示t ( 3 1 1 ) 1 2 砉( 1 + a j a 。) ， ( 3 1 2 ) j = l 却= n ， a 1 = s t , 也= 五1 ( s 2 + s 1 2 ) ，a 3 = ：( 2 s s + 3 。l s 2 + s z s ) ， 递归公式为， 钆：；( s + s 山) ( 3 1 3 凌： 证明根据p o i s s o n 括号的定义 生d t x = ( 事，乃) = 耋六c 五最) = 薹南墓， 记 堂d t k = ( 鞋d t k ，坐d t k ) ， 、， 豢：丽1 n - i t ：妻匀一一， 面2 丽2 刍彤一 比较展式委中a 一 一的系数则有， 玺= ( 五，最) = 也一外l ，l 5 o ， 定义a i = 0 ，似= 1 ，2 ，) 因此，我们证明了以上结论，其中石= ( 五，西) t a ! 带 口 命题3 3 由( 2 7 ) 给出的局，f 1 ，j i 一l 是函数独立的 证明只需要证明d f o ，d f l ，抒一1 是线性独立的因为在辛结构下p o i s s o n 括号的 表达式为t ，2 = d p 由：( h l ，h 2 ) = 舻( i d h 2 ，i d h l ) 假定n - 1 佻识：0 ，则有 n - 1 0 = 7 k d f k ( i d + j ) k = 0 ( 3 1 4 ) 由( 3 1 1 ) 可知系数行列式为1 ，则7 0 一= 协一l = 0 ，因此凡，f l ，j i 一1 是函数独立 口 1 8 蹦 妨从 m占l = 嘲娜 r o 形 以亟机 他 帆 二m 盖 = = 4 孤子方程的分解 由于线性算子j 的核的维数为1 ，生成元为乳i ，把j - 1 k 作用于( 2 2 ) k 次。每次产 生一个积分常数c j 9 1 得， ni + 2 2 q v a j = g k + 1 + 蛳一l - i - c 3 9 k 一2 + + c k + 2 9 l = q 弧+ 1 一， ( 4 1 ) j f f i l i = 0 其中c o = 1 ，c 1 = 0 ，0 2 = 2 r 1 ，镪是常数 命题4 1 设q ( z ) ，p ( 刁是b a r g r r m n n 系统( 2 5 ) 的解，则 ( ：) = ，。，a ，= ( ( p 川) + n 一”乙：i 饥叮) + 佃 p ) e 缸酊) 满足定态方程： x n + c n i x l v i + + c n n x n = 0 t 4 2 _ 证明定义多项式 把( 4 1 ) 乘以d 一t ，并且关于k 从0 到n 求和即 其中 ( 4 3 ) 0 = 2 n ( c o ) v o 了= g n + l + c n ，l 鲫+ + c n ，n + 1 9 0 + c n , n + 2 9 l ， ( 4 4 ) j = l + l 曲，n + 2 = a n + l _ k c k + l k = 0 u = 0 ，1 ，2 ，) ，c o = 1 ，c l = 0 ，c 2 = 2 r l 用q p 作用于( 4 4 ) 即得结论 口 命题4 2 在约束( 4 1 ) 下，函数g 和鲰有如下直接的关系 其中 g = a “鲰， c a - ：- l + 量一一2 k = o 1 9 ( 4 5 ) i 七 一 d = q 一 协 触 l | 砷斫 山蛳 m 崎 = + 将线性算子以作用于( 4 5 ) ，并取行列式，得到； 玖= a 奴以( 肌) ， 蛾= 一a 2 喀 借助锻= 1 2 风，引进另一母函数峨，则有 借助予 不难得到 上k ) ： 妒( 1 2 峨) 2 = 一4 最 风= 矾a 4 一， k = 0 t o = 一r l ，噩= f o ，日2 = 见+ f 0 2 ， 凰+ l = 凰日t + 最， 0 ) + j t ，t = k 0 - 1 命题4 3 凰 满足刘维尔可积条件， 1 ( 现，风) = 0 ，坝，z g ( 吗，风) = o ，= 0 ，1 ，2 2 日1 ，日2 ，h n 是函数独立的 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 证明，因为最只有极点 哪) ，故一4 只= a 2 + 4 r l 一4 登最a 一一1 在圆环 # = u m t i m | i ，i n i ) 之外是绝对收敛的故充分大时，我们有 瓜= a ( 1 2 风) ， 据波松括号的莱布尼慈法则，当，充分大时，有 ( 吼，风) = 而而1 ( 耳，毋) = 。 椐解析延拓原理，v ，p 均成立，从而有( h i ，h k ) = o ，w ，七= 0 ，l ，2 从方程( 4 8 ) 我们得 到d 最= 炉( 1 2 三h ) 珊h ： d 昂 d f l d f 2 d f 3 d f n 一1 1 01 2 日o 01 2 王h- 2 1 - 1 0 0 1 2 日一3 2 月k 一2 一2 日i 01 d i 巩 d l t 2 d h 3 d h 4 d t t n 由此知d i l l ，d h 2 ，d h n 的线性独立性等价于d f o ，d f l ，d f n 一1 的线性独立性，由此知 历，凰，日是函数独立的 口 记方程( 2 5 ) 与( 4 2 ) 的解族分别为 厂，川，则由命题( 4 1 ) 知，f 将映入朋，考 虑风一流的正则方程t ( 剐川( ：) ， 特别的，n = 。由守恒积分的对合性( 马，玩) = 0 可知 7 与_ i l 是相容的因此，v 三k 可视为 厂上的向量场，而微分 恰好将i v l t k 映为限制在朋上的向量场x k 一1 由( 2 4 ) ，( 2 8 ) 经计算得 丢( 州三篙) ( 2 = 篡邓g - 心埘 命题4 4 l ，( 胛蛾) = 女q 乃 ，a g l ( 刀矾) = 甄一1 ，七= 0 ，1 ，2 ， 证明。由最沿t 的正则方程( 2 8 ) 知， c ，v 最，一 丢( ：) ) = 丢 ，( ：) ) = 丢( ：) = q p g x 瓯 = 、l等等 = 、l，i一一 旦饥 题问直初的 解与 由( 4 8 ) 知zv 风= 嘉v 最+ 2 风v 风， ( 月风) = 高，( 丹最) = 去q p g = 1 q p g ，, 将风与鲰的表达式代入上式。比较a 4 - 1 的系数，即得第( 2 ) 式 r - 推论( 4 1 ) ：当k = 2 时。记 r l = z ，i 2 = ，设( g ( z ，f ) ，p ( z ，们) t 是 ( 小一( ：) y = v ? 的相容解，那么由b a r g m a m l 约束( 2 4 ) 给出的u ( x ，y ) ，v ( x y ) 是孤子方程( 1 1 3 ) 的解 推论( 4 2 ) ：当k = 3 时，记 r l = z ，q = t ，设( q ( x ，t ) ，p ( $ ，t ) ) t 是 。 ( 小一( v 风 的相容解，那么由b a r g m a n n 约束( 2 4 ) 给出的u ( x ，t ) ，v ( x ，t ) 是孤子方程( 1 1 4 ) 的解 命题4 5 设( q ( $ ，t ) ，p ( 善，v ，t ) ) t 是 的相容解，则 ( ：) 。= 刀凰，( ：) ，2 地，( ：) 。2 ，v 风 是( 2 + 1 ) 维孤子方程( 1 2 0 ) 的解 = 扫，q ) - i - 7 1 50 函数与流的拉直 这部分根据r i e m a n n 曲面的基本知识，引入a b e l - j a c o b i 坐标，然后利用前面的椭圆 坐标沿“流的演化方程，得到a b e l - j a c o b i 坐标沿t 一流的演化方程 对于本文中所对应的超椭圆函数曲线r ：e 2 4 r ( a ) = o ，亏格为n 取椭圆曲线r 上 的正则闭链0 1 ，6 l ，d ，b n ，使其满足； a o 叼= 0 ，如o b j = 0 ，a ob j = ， 则r 上的n 个线性无关的全纯微分基底西= 若萧，( 1 = l ，) 令c = ( 岛) 为周期 矩阵( 如) s s 的逆，即 g = ( a “) 晶，a t = 西， ，粕 则西可经线性变换规范为 r 屿= q j 西，o = 1 ，) ，= ( 妍，屹，咐) t = ， 使其满足- l 崎= 量q l 丘；西= 如，f b , = 马，( 幻= 1 ，) ，由瑙e m m 双线性关 系知，矩阵( ) 对称且虚部正定，因而此时可定义r 上的0 函数t p ( ( ) = 唧7 r 行( + 2 ) ，( g ( 5 1 ) z 6 z n 此时，对于固定的 o 点，引入a b e l j a c o b i 坐标如下。 = 薹虑州= f p ( p k c - ， 由于咖冗( a ) = 2 n + 2 ，所以对于同一个a ，在黎曼曲面r 的上下两叶分别存在两点 “( a ) = ( a ，2 扛丽，p 一( a ) = ( a ，一2 扛两， 因此，在0 0 处的局部坐标z = a _ 1 下，r 的仿射方程e 2 = 4 r ( z - 1 ) 在处化为 p = 4 最( z ) ， 其中。于：；+ e ，风( ；) ：z 2 n + 2 r ( z - x ) ：2 苜2 ( 1 一如。) ， j = l 故两个无穷远点可表示为t ，= z = 0 ，彳= ( 一1 ) 5 2 ) = ( o ，( 一1 ) 5 2 ) ，s = 1 ，2 ( 5 2 ) 设研，q ，c n 是矩阵c 的列向量，通过直接计算我们可得到以下结论： 引理5 1 尝= 志( a 舻l + q 舻2 + + 蓑= 志鼢a - 1 + q 扩2 + + 阱 ( 5 3 ) ( 5 4 ) 证明，由于寒= g 老，将嫠= 籽作线性组合，组合系数为q ，仍，c n ，即 得第一方程 由于r ( a ) = 一4 毋0 2 ( 柚= a 2 ( 1 2 h j , ) 2 0 2 ( a ) = a 2 嚷n 2 ( a ) ，则0 匿两= a 以口( a ) ，所以 a 4 , 1酗 瓦2 硪嘲d t a 2 赢( a 舻1 + 伤舻2 + - + 国) 2 南慨a n - i + 以+ c n ) 引理5 2 令船= a + + 鸠+ 2 ，那么 系数满足递归公式 引理5 3 展开系数可记作 羔：妻埘4 瓶两一急“、 a o = 1 ，a t = ；钆 a k = 去( 靴+ es 。) i 幻+ j = l k ( 5 5 ) ( 5 6 ) 、n + i o o 籀丽吼r 1 + + m _ ) - 至r ， ( 5 7 ) 0 i = a t l q + a 一2 仍+ + a t n c n ， 其中定义a 一= 0 ，s = 1 ，2 ， 特别n q = 0 ，n l = c 1 ，n = a t l a + a k 一2 伤+ + a 1 瓯一l + g ，忙= 1 ，2 ，) 因此有如下命题t 2 4 ( 5 8 ) 命题5 1 利用a b e 一j a c o b 坐标，风一流得以直化t 掌： d 靠 掣：一n 。 d ，飞 经过直化的方程( 5 9 ) 可以很容易被积出 妒= 如+ n t 亿 在一a b e l - j a c o b i 窗口”中观察，五k 流与甄流二者的解都是线性函数 ( x ) h k 流，妒= 如+ q k ， ( 2 ) 凰流；= 如+ 0 l z + 0 他 ( 5 9 ) 6a b e l - j a c o b i 坐标的反演 单位阵( 6 j , ) n 与b 的列向量他) b ) 称为i 的周期向量，张出g 中的一个格 点集t t = s 胆n z 6 1 ，如，b l ，b n ， 商空间j ( r ) = g t 称为代数曲线r 的j a e o b i 簇取r 上一固定点p o = p ( a o ) ，定义a b e l 映射t = 肛 其中iu = l ，眈，岍) t ，p o ，p i a b e l 映射的定义域可经线性扩张到因子群d i v ( f ) 上 a ：d i v ( f ) _ j ( r ) nn a ( ”t m ) = m , a ( p k ) ， k = lk = l 其中，a r m z 重写a b e l - j a e o b i 坐标如下； 妒= a p 锄) ) ， j = l 妒= a p ( 吩) j = l 则由r i e m a u a 定理知，存在常向量k ，。使得， ( 1 ) ：p ( p ( a ) ) 一一k ) 有n 个零点，分别为 = p 1 ，m ( 2 ) ：口似( p ( a ) ) 一妒一k ) 有n 个零点，分别为a = v 1 ，柳 那么由留数定理可得反演公式t ，2 i p = k ( r ) 一r e s x ：。，妒d l n o ( a ( p ( a ) ) 一一j r ) ；1 。 。；1 。 ( 6 1 ) l 哆= k ( r ) 一r e s x ：* a d l n o ( a ( p ( ) o ) 一妒一k ) 其中；t k ( r ) = 薹丘a 畸是一常数 由于 枷) ) - z - 1 ) ) - = 0 - = - - 仁u + 埘， ，= = 1 a西，=1 尼t - ，= 至j 毛a 面 = 学垒q 后了告b 如 = 学詹南+ + c n z n - i ) d z ( 6 2 ) = 丝_ 产s - 1 盯+ 蔓o on z “d z = 学蔓揪， 因此，a ( p ( a ) ) = 一仉+ ( 一1 ) 卜l + 厶v oi in 七名七， 其中，仉= 一j 2 ( ，8 = 1 ，2 故在局部坐标z ：a 一1 下。( 6 1 ) 在o o 。附近的幂级数展开式为 1 n 口( ( a p ( a ) l n o ( ( a p ( a ) 妒一耳) ：l n 口( 妒+ 嚣+ 仉+ 与笋：塞 o 女) + c oq = l n p ( - 4 - k - 4 - r s ) 十髭声 妒吲乩印妒一k 一仉? 挚美渺) 6 3 妒一k ) = l n 口( 一妒一一，h + q 七石。) = i 4 - 0 0 一 = l n p ( 一妒一k r 8 ) + e 髭z o 其中，t a y l o r 展示的系数髭与可露由求导的链式法则计算得到 f 喜砖= i k ( r ) “，；_ 旌 ( 6 4 ) 1 叁唠：i k ( r ) 一女露一露 “ 若记岛= 老，嚷= 彘，那么由e i n s t a i n 求和约定，最终可得。 塞脚= ( r ) + 硝a j l n 舞， 基田= 厶( r ) + f 醪2 0 j i n e 一哨q 啄l n o l _ 0 2 ， 其中- 5 = 1 ，2 ， 0 s = p ( 咖+ k + 仉) = o ( e n t 4 - 如4 - k4 - 仉) ， 睇= p ( 一妒一k t h ) = o ( e o k 豫一讥一k 一仉) 2 7 ( 6 5 ) ( 6 6 ) ( 6 7 ) 呓昕 n 嚷哨 啦 一 监笠呓 h h 嗡嗡 一 一 h 如 = = 吩哼 脚伽 若记z = n ，v = 1 2 ，t = 勺，则由复合函数的求导法则，( 6 5 ) 式n j 被简化为z e ”u j = ( i ) + 以l n ， e n 店：如( r ) + ；岛l n 一 磋l n p ，如， ( 6 8 ) 量吩= 卯) 一弛l