（基础数学专业论文）多复变数的抛物星形映射.pdf

河南大学硕士学位论文 中文摘要 本文中，我们分别在伊、复h i l b e r t 和复b a n a c h 空间中研究了：抛物星形映射、p 次 的抛物星形映射、抛物形的p 型螺形映射和p 次的抛物形的p 型螺形映射其中抛物 星形映射可以统一于j 9 次的抛物星形映射，抛物形的p 型螺形映射可以统一于p 次的 抛物形的p 型螺形映射，而前三类映射又都可统一于j d 次的抛物形的p 型螺形映射这 样就可以仅研究| | d 次的抛物形的卢型螺形映射，而把前三类映射的结果作为它的推论 得出 在本文中，我们主要研究：各类推广的r 卵e r - s u 脏i d g e 算子可以保持我们新定义 的四种映射类的性质不变，即单位圆盘上的上述四类函数经由r d p e r - s u 册i d g e 扩张算 子作用之后，可以得到高维复空问中相应的映射类，这就为构造高维复空间中上述 四种映射类的例子提供了可能这些具体的例子，又为我们研究映射类的其它性质 提供了思路和方法 所有这些结果都是以前所没有的，本文的结论丰富了多复变几何函数论的的内 容 。关键词：抛物星形映射，p 次的抛物星形映射，抛物形的p 型螺形映射，p 次的抛物 形的卢型螺形映射，r 0 p e r s u 雠d g e 扩张算子 河南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt l l i sp 印e r ，w ei i l 、髑t g a t e d ：p a r a b o l i cs t 盯1 i k em 印p i n 9 8 、p 盯a b o l i cs t 村h k em a p p i n g so fo r d e r 小p 盯a b o l i ca n ds p i r a l i k em 印p i n g so ft y p ep 、p a r a b 0 1 i ca n ds p i r a h k e m a p p i n g so ft y p epa n do r d e rp a m o n gw h i c hp 盯a b o l i cs t a r l i k em 印p i n g sc a j lb ei n t e g r a t e di nt h ep a r a b o l i cs t a r l i k em 印p i n g so fo r d e rp ，p a r a b o l i ca n d8 p i r a l l i k em a p p i n g so f t y p e 卢c a nb ei n t e g r a t e di np a r l b o l i ca n ds p i r a l i k em a p p i n g so ft y p e 卢a n do r d e rp ，a n d t h ef o r m e rt l l r e et y p e so fm 印p i n gc a nb eu n m e di np a r a b o l i ca n ds p i r a l i k em a p p i n g so f t y p e 卢a n do r d e rj d t h u 8 、 r ec a no n l ys t u d yp a r a l b o l i ca n ds p i r a l i k em a p p i n g so ft y p ep a n do r d e rp ，t h ef o r m e rt h r e em 印p i n g s sr e s u l t sc a nb er e g a r d e da st h ec o r o l l 8 哪o fi t s e l f i nt h i sa r t i c l e ，r em a i n l yr e s e a r c h ：t h ev 甜i o u 8o fr o p e r s u 册i d g ee x t e 璐i o no p e r a - t o r sm a i n t a i nt h a tt h en a t u r eo ft h ef o r m e rf o u rt y p e so fm 印p i n gc l a s s e sw h i c h r en e w l y d e 丘n e di si n v a r i a b l e ，t h a 七i st os a 矾行o mt h er o p e r s u 任t i d g ee x t e n s i o no p e r a t o r ，r ec a n o b t a i nt h ec o r r e s p o n d i n gm 印p i n g sc l a s s e si nh i 曲d i m e 瑚i o n a ls p a c eb yt h ef u n c t i o 璐i n t h eu n i td i s c 。t h i sn a t u r eo 虢r 璐t h ep o s s i b i l i t yt os t r u c t u r ee x a m p l e si nm g hd i m e m s i o n n o mt h e s ec o n c r e t ee x a 刀1 p l e s ，w ec a na 1 8 0r e q u i r ei d e a sa n dm e t h o d st o8 t u d yt h e m a p p i n g s o t h e rn a 七u 工e a 1 1o ft h e s er e s u l t 8 、) l 陀r en o tk n o w np r e v i o u s l y ，t h ec o n c l u s i o nw eg o te n r i c ht h e c o n t e n to fg e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r yi ns e v e r a lc o m p l e xv a 口i a b l e s k e y w o r d s ：p a r a b o l i cs t 甜1 i k em 印p i n g s ，p a r a b 0 1 i c8 t 盯l i k em 印p i n g so fo r d e rp ， p 甜a b o l i ca n ds p i r a l i k em 印p i n 铲o ft y p e 卢，p a r a b o l i ca n ds p i r a l i k em 印p i n g so ft y p e 卢 a n do r d e rp ，王己o p e r s u f f r i d g ee x t e n s i o no p e r a t o r i i 关于学位论文独立完成和内容创薪的声明 蘸爹鬣；鬣缎 慧关于学位论文著作权使用授权书，爹 j 。私”1 j 囊矗。溉，h ? 曩毫。 “、氐骜 奄嘶f 矗 。氓j o 一诹一i 。媾j ? t ? r 。 ? i 一移 孝住获得者( 学位论文作者) 釜名：拯鐾：露 2 0 汐孑年6 月7 日 学位论文指导教师签名：三翻亟亟 2 0p 驴年6a7a 第一章内容概要 1 1引言 纵观人类数学的发展史，它都是在沿着这样的思路前进：从一维到高维、从实 变量到复变量、从有限到无限、从已知到未知多复变函数论研究的是多个复变量 的一门学问，也即它是符合了数学发展的客观规律、顺应了数学发展潮流的学科，因 而也就得到了长足的发展 之所以把多复变函数论单独列为一门学问研究，是因为它与单复变有很大的差 别例如在单复变不会发生而在多复变中非常普遍的h 眦o g s 现象，单位球与单位多 圆柱不全纯等价等，这些这些现象使得多复变函数论的研究显得特别有意义 中国多复变事业的开创者当推一代宗师华罗庚教授，他的专著多复变函数论 中的典型域的调和分析一书直是这个方向的经典文献由于有着这样优良的传 统和由华老培养的一大批优秀的科研工作者，中国在这个领域中取得了领先世界先 进水平的研究成果同时，每年也有越来越多的对这个方向感兴趣的青年投身到这 个领域 我们在这个方面的工作主要集中在几何函数论方面，从事这方面t 作的思想 是因为单复变几何函数论方面有许多丰富和优美的结果，这方面的详细内容可参 看 d u r l 【g o l l p o m l 等，能否将这些结果平行的推广到多复变中，数学家们一直考虑 这些事情，但是众多的反例如 c 村1 】 f i t l 】等指出，仅要求映射是双全纯的条件是不够 的，必须加上其它的限制很自然地想到的是加上几何上的限制：如凸映射和星形映 射等 事实上，当映射加上这些几何性质之后，就得到了一系列十分有趣的结果 1 9 8 8 年龚升教授和c h f i t z g e r a l d 教授等首先在多复变数几何函数论的研究上 取得突破性进展以来，一批国内外学者，例如t j s u m i d g e ，王世坤，余其煌，郑学安， 刘太顺，i g r a h a m 和g k o h r 等，在龚升教授的带领下，对多复变数的几何函数论进行 河南大学硕士学位论文 了系统深入的后续研究，得到一些重要的成果。这些基本问题的解决，为几何函数论 的发展开辟了一条新的路径中外学者在这个领域的研究工作，使得这个方向日益 活跃起来，成果也更加趋于完善为了总结成果和为后学者铺路，龚升教授连续多次 将一些系统和成熟的成果整理成专著出版，这些著作现在已经成为这个领域的基本 文献详细内容可参看【g o n 9 1 g o n 9 2 儿g o n 9 3 】 g o n 9 4 】【g o n 乎y u z h e n 9 1 】等 由于 映射和星形映射已经有较为完整的结果，中外研究多复变几何函数论的 数学工作者开始把研究的目光转向对它们的子类的研究研究的思路是先定义出 单位圆盘上的映射类，然后想办法将之推广到多复空间中，在高维空间中研究这些 映射的性质在此思想的指导下，f r 姗n i n g 于1 9 9 1 年引入抛物星形函数和p 次的抛 物星形函数的概念，a l i 定义了修改参数后的上述两种映射类，h h a m a d a ，t h o n d a ， g k o h r 将a 1 i 的定义推广到伊中的单位球b n 上 本文中，我们先是对a 1 i 原来在单位圆盘上定义的抛物星形函数和p 次的抛物星 形函数的定义作合理的修改，并在此基础上引入抛物形的卢型螺形函数和j d 次的抛 物形的卢型螺形函数的定义，再利用r d p e r - s u 册i d g e 扩张算子分别在俨、复b a n a c h 和 复h i l b e r t 空间中研究了新定义的各种映射类的性质并证明了r d p e r - s u 册i d g e 扩张算 子可以保持我们新定义的四种映射类的性质不变 1 2 本文的核心定义 抛物星形函数的定义最先是由f r 茹n i l i n g 砌n 1 】于1 9 9 1 年引入的 设，是单位圆盘u 上正规化的解析函数，称，是抛物星形函数，如果 i 搿一1 i r e 搿飞z 以a 即川 后来，为了研究一致凸函数的需要，f r 衄n i n g 【砌n 2 】将抛物星形函数的定义修改 设9 是单位圆盘u 上正规化的解析函数，称g 是抛物星形函数，如果 i 搿一l i 冗e 搿，名矿 2 河南大学硕上学位论文 在文献【a l i l 】中，r m a 1 i 对f r 舾m l i n 9 1 9 9 1 年定义中的参数做了适当的修改，定义 了p 次的抛物星形函数 o ，1 ) ) ： 设h ( z ) 是单位圆盘u 上正规化的解析函数，称九是p 次的抛物星形函数，如果 i 鬻一1 f o ，由星形函数的判定条件，( z ) 还是星 形函数，从而也是双全纯的记尸s + ( u ) 为单位圆盘u 上正规化的抛物星形函数的全 体 它的几何意义是：等裔将单位圆盘映过去的像落入右半平面由抛物线 叫= u 十 驯口2 = 4 u ) 所围成的抛物区域中，并且此区域相对于抛物线的焦点e = 1 还是星形域 本文中我们就将这类域称之为抛物星形域如果将此抛物线的开口缩小为4 ( 1 一p ) ， 并将抛物区域向右平移p 个单位，使得平移后的区域仍相对于焦点e = 1 是抛物星形 域，就可以引入抛物星形函数的子类 定义1 2 2 设，是单位圆盘矿上正规化的解析函数，如果有 l 端一，i p ，p f o ，1 ) ，并且 卜端_ ( 1 娟；n 卢) l p ，p o ，1 ) ，贝0 砟) = ( m 1 ) ，( 掣心，( 掣p ) 7 ， z 拶 ( 1 1 1 ) 是b n 上正规化的p 次的抛物形的型螺形映射，这里竹 o ，1 】，幂级数取分支使得 ( 掣) b 。= 1 ，( 2 歹礼) 利用算子( 1 1 0 ) ，我们在俨中的r e i n h a r d t 域岛上证明了 定理2 2 1 0 设，是单位圆盘u 上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形函数，卢( 一号，吾) 并且c o s p p ，p o ，1 ) ，贝0 砟) = ( 北1 ) ，( 掣，( 掣) 7 ， z ( 1 1 2 ) 河南大学硕士学位论文 是砩上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形映射，这里【o ，1 】，幂级数取分支使得 ( 名碧) i ：。：o = 1 ，( 2 歹n ) 利用算子( i 1 0 ) 在h i l b e r t 空问中的形式，我们在h i l b e r t 空间中的单位球b 上证 明了 定理3 1 5 设，是单位圆盘矿上正规化的p 次的抛物形的型螺形函数，p ( 一号，蓦： c 0 8 p j d ，| d 【o ，1 ) ，贝0 砟h 淞e ) ”( 料) 1 ( 叫础) e ) ， 舢 ( 1 1 3 ) 为b 上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形映射，这里e 为日中的单位向量，7 o ，1 ，幂 级数取分支使得( 鼍瓣) 7 1 名：o = 1 利用算子( 1 1 0 ) 在h i l b e r t 空间中的形式，我们在h i l b e r t 空间比单位球更广泛的 域q 0 1 ，p 2 ，肌+ 1 ) 上证明了 定理3 2 1 设，是单位圆盘u 上正规化的p 次的抛物形的卢型螺形函数，p ( 一豸，蓦) c o s p p ，p o ，1 ) ，贝0 聊) 钏e 1 ) ) e 1 + 妻( 帮) 者砒 f ( z ) =，( ( z ，e 1 ) ) e 1 + ( 土辫) 叫( z ，勺) 勺 + ( 帮) 一塾e 炯】 是q p l ，p 2 ，鼽+ 1 ) 上j d 次的抛物形的p 型螺形映射，这里勺( 1 歹n ) 是日相互正交 的单位向量，乃 1 ，( 1 歹n ) ，骱+ 1 1 ，幂级数取分支使得( 鼍掣) 万i z ：o = 1 ， j 、2 j 几十l ，。 以上结果我们都是利用r d p e r - s u 册i d g e 算子得到它可以保持新定义的四种映射 类的性质不变在研究的过程中，我们还发现另外一种形式的算子也可以保持我们 定义的映射类的性质不变，利用它的这种性质，也可以得到高维复空间中相应的映 射类 定理3 1 9 设，是单位圆盘u 上的正规化的单叶全纯函数，定义f ( z ) = z 鼍卿， 7 河南大学硕士学位论文 e 为日中的单位向量，则f ( 名) 为复h i l b e r t 空间单位球b 上p 次的抛物形的p 型螺形映射 的充要条件是，为矿上p 次的抛物形的卢型螺形函数 很自然地，我们想知道在复b a n a c h 空间中，是否也有类似于定理3 1 9 的结论呢? 我们证明了 定理4 2 1 设，是单位圆盘u 上正规化的单叶全纯函数，定义f ( z ) = z 删， 乱为x 中的单位向量，则f ( z ) 是复b a n a c h 空问单位球b 上p 次的抛物形的p 型螺形映射 的充要条件是，是u 上p 次抛物形的p 型螺形函数 8 第二章伊中的结果 2 1b n 上的结果 记c n = 名= ( 名1 ，z 2 ，锄) i 勺c ，1 歹佗) ) ，对c n 中的元素z = ( z 1 ，纫，) 7 ， 伽= ( 切1 ，伽2 ，) ，名和加的内积表示为( z ，叫) = 乃- j 由此内积可以诱导出c n 中 标准的e u c l i d e a n 范数恻1 2 ：苎i 勺1 2 ，记磅：_ z c n i | r 】，为c n 中以。为中 心，以7 为半径的开球当r = 1 时，b 记为b 竹设g 为c n 中的连通开集记日( g ) 为g 到俨的全纯映射的全体v ，日( 聊) ，用出( z ) 表示，在z 点处的j a u c o b i 矩阵映射，称 为局部双全纯的如果v z 鄙，的j a c o b i 矩阵 讹，= ( 甏) 蚴艇他 都是非奇异的映射，称为正规化的，如果，( o ) = 0 ，以( o ) = ，这里，表示单位矩阵 下面给出c n 中所讨论的几类映射的定义 定义2 1 1 设，是c n 中正规化的局部双全纯映射，称，是单位球b n 上的抛物星 形映射，如果 i 赤( 乍1 ( 彬( 巩名) 一l i l + 赤酬丐1 ( 班( z ) ，z ) ，z 砂 ( 2 1 ) 记尸舻( b n ) 为b n 上正规化的抛物星形映射的全体 定义2 1 2 设，是g n 中正规化的局部双全纯映射，称，是单位球b 竹上p 次的抛物 星形映射，如果 j 赤( 丐1 ( z ) 化) ，扩1 l ( 1 2 p ) + 赤酬丐1 ( z ) m ) ，z ) ，名砂 ( 2 2 ) 记p 影( b n ) 为b n 上正规化p 次的抛物星形映射的全体 9 河南大学硕士学位论文 定义2 1 3 设，是伊中正规化的局部双全纯映射，称，是单位球b n 上抛物形的p 型 螺形映射，卢( 一考，吾) ，如果 卜赤( 百1 ( 彬( 捌_ ( 1 确i n p ) i p ，j d 【o ，1 ) 并且 卜赤( 丐k ) 化) ，沪( 1 确i n p ) f j d ，p 【o ，1 ) ，贝0 f ) = ( ( 名1 ) ，2 ( z 2 ) ，厶( ) ) 7 ( 2 5 ) 是c n 中单位球b n 上的p 次的抛物形的p 型螺形映射 证明：由 可得 厂以( 名。) 西( z ) ：i l 巩加( 南 1 0 、 i ( 2 6 ) i 默z 心) ( 2 7 ) 、l， 赢 钇 j 池 l 尼 乃 塑壹叁堂堡主堂垡笙壅 硼一( 揣，糍，糕) 7 仁8 ， ( 巩枇加) = 磐1 2 躺 ( 2 9 ) 由于乃( 乃) ( 1 j 冬礼) 是单位圆盘u 上正规化的j 9 次的抛物形的p 型螺形函数，所 以有 卜躺却国l ”2 卅m e 卅躺，勿 从而 p p ( 石1 f ( z ) ，z ) 一2 ( 卜淄n 卢) l = 跏2 躺邓娟邳，) l 洳2 ( ”2 卅觑e 卅躺) p ，p 【o ，1 ) ，贝4 心) = ( m 1 ) i ( 掣心，( 掣) 7 ，名旧 ( 2 1 5 ) 是b n 上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形映射，这里竹 o ，1 】，幂级数取分支使得 ( 掣) b 乩( 2 歹n ) 证明：由于 石1 ( z ) = ( 2 1 6 ) 簧?一他。毪，一， c 2 1 7 ， ( 掣) 一 其中= ( 赢一南) 乃，2 歹n ，因此 础枇) = ( 怒，舢刊+ 竹揣) ，) 7 2 伽，( 2 1 8 ) 1 2 p 掣 0而 他 从 掣 孤 豇； v i ( d 一 0眈 心 肠? ：钳 、iill一妁 = 生d 眦 错 竹 、i ， 、 匦以 ，一 竹 l i 勺 中其 上协抛 一f 竺l 苎型主堂焦笙塞 从而 ( 硼哟社k 1 2 端+ 参| 2 ( 1 刊+ 竹端 协1 9 ) 由，是单位圆盘u 上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形函数，可知 卜p ( 石1 ( z ) f ( z ) ，z ) 一2 ( 1 一测n p ) j = f | 刮2 e 卅端+ 鼢刊e 邓协郦揣 而 ：列2 ( e 卅端- ( 1 嘞t n 聊) + 妻啪( 1 刊e 一妒 + 竹( e 一印i 一( 1 一z s i n p ) ) + 竹( 1 一i s i n p ) 一( 1 一i s i n ) 】l p ，所以1 一c o s 1 2 p + c 0 8 p 由( 2 2 0 ) 、( 2 2 1 ) 及定 义2 1 4 知f ( 名) 是b n 上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形映射 特别地，当p = o 时，有 推论2 1 1 0 设厂是单位圆盘u 上正规化的p 次的抛物星形函数，则 砟) = ( 化1 ) ( 掣m ，( 掣m 他) 7 ，z 旧 ( 2 2 2 ) 是b n 上正规化的p 次的抛物星形映射，这里 o ，1 】，幂级数取分支使得 ( 丑掣) 1 名，：o = 1 ，( 2 歹礼) 当p = o 时，有 推论2 1 1 1 设厂是单位圆盘u 上正规化的抛物形的p 型螺形函数，卢( 一考，詈) ，则 砟) = ( m 1 ) ，( 掣脚，( 掣m n ) 7 ，z 旧 ( 2 2 3 ) 是b 竹上正规化的抛物形的p 型螺形映射，这里竹 o ，1 】，幂级数取分支使得( 掣) 1 名。：o ： 1 ，( 2 j 礼) 更特别地，当p = 0 并且p = 0 时，有 推论2 1 1 2 设，是单位圆盘u 上正规化的抛物星形函数，则 砟) = ( 北1 ) ，( 掣陬，( 掣) 7 ，z 旧 ( 2 2 4 ) 是b n 上正规化的抛物星形映射，这里竹 o ，1 ，幂级数取分支使得( 掣) 竹f 。，：o = 1 ，( 2 歹n ) 河南大学硕士学位论文 2 2r e i n h a r d t 域d p 上的结果 我们先给出i n l l 盯d t 域的定义 定义2 2 1 设q 为c n 中的域，若对任意的z = ( z 1 ，锄) 7 q 和p 1 ，冗， 都有( e 口l z l ，e t ) 7 q ，则称q 为冗e 饥九。记碱 记b = z = ( z 1 ，名2 ，) c n l i 勺i 乃 o ， 1 歹礼，显然，岛是c n 中的r e i n h a r d t 域记危( z ) 是d p 上的m i n k o w s k i 泛函，则 ( 名) 是c 礼 中的b a n a c h 范数，在此范数下，d 口是c 叫j 的单位球 下面我们再来给出d 口上各种映射的定义 定义2 2 2 设，是c n 中正规化的局部双全纯映射，称厂是d p 上的抛物星形映射， 如果 i 志跏c 础彬一一，l 1 + 志笔( 名) r e ( 丐1 ( 名) ，( 巩名) ，z 岛 0 ( 2 2 5 ) 定义2 2 3 设，是伊中正规化的局部双全纯映射，称厂是珥上p 次的抛物星形映 射，如果 i 南跏c 础z 巩炉1 l p ，p o ，1 ) ，并且 卜志黝( 础彬纠_ ( 1 确i 蜊i p ，j 9 o ，1 ) ，则 f ( z ) = ( ( 名1 ) ，如( 钇) ，厶( z n ) ) 7( 2 3 0 ) 是d p 上的p 次的抛物形的p 型螺形映射 证明：由第一节定理2 1 5 的证明可知 硼阱( 糕，糕，糕) 7 ， 3 1 ， 所以由引理2 2 1 可得 志跏 2乃_ j i 南l 功一2 办( 乃) 鲁 ( z ) 2 ( z ) 【妻m i 箍川形( 勺) f l = f j ：1 ， j = 1 三p 一褊 凫= 1 、 1 6 j o z 心 z j i ；0 z j l i 河南大学硕士学位论文 由定理条件，乃( 1sj n ) 是单位圆盘u 上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形函 数，从而 p 南静( 巩z 刖一邓一p ) | 鳓i 南l 珩 = 1 i 三p 刘南降 i 惫= l 、7 i 暑功i 南i 鳓 l 三p 划褊降 lk = 1 、一7 e 胁i 南l p j p ，p o ，1 ) ，贝0 砟) = ( 化1 ) ，( 掣心，( 掣h ) 7 ，名珥 ( 2 3 5 ) 是岛上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形映射，这里竹【o ，1 ，幂级数取分支使得 ( 掣) wj 。：o = 1 ，( 2 歹扎) 证明：由定理2 1 9 的证明可知 巩枇) = ( 怒栩( ( 1 刊+ 他揣) i 一枷刊+ 端j ) 7 记训。量p 七i 南i 孤，可得 e 卅南跏( 砒z 删瑚 = 丢p 静e 卅揣+ 势种”栌+ 端，) 1 8 而 田疋埋条件，是早位圆盘u 上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形函数，从而 卜南笔( 础妒_ ( 1 吨i n p ) f = 扣f 帮1 e 卅端+ 勃南m 刊e 邮+ 端， 咱f 蠢忡- s i n p ) 一功f 南忡幽i n p ) ) | = i 扣i 南l p l 旷印揣_ ( 1 - i s i n 鲫 + 薹乃i 南m 刊e 卅州e 川端_ ( 1 嘞t n 剐 + 竹( 1 一i s i n p ) 一( 1 i s i n p ) 】 f p ，所以1 c o s p 1 2 尸+ c 0 8 p 显然，由( 2 3 6 ) 、( 2 3 7 ) 及定 义2 2 5 可知f ( z ) 是岛上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形映射 特别地，当p = o 时，有 推论2 2 1 1 设厂是单位圆盘矿上正规化的p 次的抛物星形函数，则 砟) = ( m 1 ) ，( 掣心，( 掣) 7 ，z b ( 2 3 8 ) 是b 上正规化的p 次的抛物星形映射，这里竹 o ，1 j ，幂级数取分支使得 ( 互掣) w i z 。：o = l ，( 2 歹礼) 当p = o 时，有 推论2 2 1 2 设，是单位圆盘矿上正规化的抛物形的p 型螺形函数，( 一墨，弓) ， 则 球) = ( 北1 ) ( 掣心，( 掣h ) 7 ，名砩 ( 2 3 9 ) 是岛上正规化的抛物形的型螺形映射，这里竹【0 ，1 】，幂级数取分支使得 ( 避掣) 竹f 。，：o ：1 ，( 2 歹n ) 更特别地，当= o 并且p = o 时，有 推论2 2 1 3 设，是单位圆盘u 上正规化的抛物星形函数，则 砟) = ( 北1 ) ( 掣心，( 掣) 7 ，名d p ( 2 4 。) 是d p 上正规化的抛物星形映射，这里竹【o ，1 】，幂级数取分支使得( 掣) 竹f ：。：。= 1 ，( 2 歹礼) 第三章复h i l b e r t 空间中的结果 3 1单位球上的结果 设日为复h i l b e r t 窄间，它上面的内积记为( ，) ，由此内积可以诱导出范数1 1 m 记研= z 日：恻i 7 ) ，记b 1 = b 为h i l b e r t 空间中的单位开球qc 日为日中的开 子集，日( q ) 为q 到日的全纯映射的全体设，日( q ) ，称，是正规化的，如果厂( o ) = o ，d ，( o ) = ，这里，为h i l b e r t 窄间的恒等算子d ，( z ) 为，在z 点的一阶f r 娩危e t 导数映 射，称为局部双全纯的，如果d 厂( z ) 有有界的逆算子记伊( b ) 为b 上正规化的双全纯 星形映射的全体；或( b ) 为b 上正规化的p 次的双全纯星形映射的全体 现在我们把所讨论的映射推广到h i l b e r t 空间中，有下面的这几个定义 果 定义3 1 1 设，：召一日为正规化的局部双全纯映射，称，为抛物星形映射，如 i 赤( 研) 。1 m 小) 一1 f 1 + 赤酬( 明z ) ) 。化) ，巩z b ( 3 1 ) 记p ( b ) 为b 上抛物星形映射的全体 定义3 1 2 设，：b 一日为正规化的局部双全纯映射，称，为p 次的抛物星形映 射，如果 l 赤( ( 训纠。化) ，扣1 i ( 1 2 力+ 赤酬( 训纠。1 化) ，破z b ( 3 2 ) 记尸睇( b ) 为b 上p 次的抛物星形映射的全体。显然有p 睇( b ) c 睇( b ) c ( b ) ，因 而上述在h i l b e r t 空间中定义的两种映射都是双全纯的 2 1 河南大学硕士学位论文 定义3 1 3 设，：b 一日为正规化的局部双全纯映射，称，为抛物形的卢型螺形 映射，p ( 一号，署) ，如果 卜赤( ( 训砌。1 化) ，扩( 1 娟i n p ) l p ，p o ，1 ) ，；并且 卜赤( ( 训砌。m 比) - ( 1 确i n p ) l p ，p 【o ，1 ) ，则 砟h ，e ) ) e + ( 料) 1 ( 叫邵) e ) ，z b ( 3 5 ) 为b 上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形映射，这里e 为日中的单位向量，7 o ，1 】，幂 级数取分支使得( 料) 7 i 。：o = 1 ， 证明：令叫= f ( z ) = 厂( ( z ，e ) ) e + ( 旦辫) 7 ( z 一( z ，e ) e ) ，则( 叫，e ) = ，( ( z ，e ) ) ， 即( z ，e ) = 厂1 ( ( z ，e ) ) 将它带入到f ( 名) 的表达式中，有 伽= ( 伽，e ) e + ( 揣) 7 ( 名一厂1 ( ( 叫，e ) ) e ) ， ( 3 6 ) 从上式中反解z ，可得 z = f 一1 ( 叫) = 厂1 ( ( 叫，e ) ) e + ( 叫一( 叫，e ) e ) ( 揣) 一 ( 3 7 ) 河南人学硕士学位论文 从而 又 ( d f ( z ) ) 一1 f ( z ) = d f 一1 ( 叫) f ( z ) = ( 厂1 ) “( 伽，e ) ) ( 伽，e ) e + ( 伽一( 加，e ) e ) ( 尚) 一，y + ( 叫一( 叫，e ) e ) f 一，y ( 尚) 一7 1 鲣型迎掌袅卷碧塑逖业】 ( ，- 1 ( 似，e ) ) ) 2 。 = ( 厂1 ) ，( ( 硼，e ) ) ( 伽，e ) e + ( 加一( 叫，e ) e ) ( 揣) 一7 【1 一，y ( 1 一鱼! 弓芒豁) 】 = 嬲e 坪七，e ) e ) ( ( 1 刊+ 7 躺】， ( 3 8 ) _ | ( 础) 1 2 躺 + ( i i z 胪一i ( z ，e ) 1 2 ) ( 1 一，y ) + 7 石耥 ( 3 9 ) 由厂是矿上正规化的p 次的抛物形的p 型螺形函数，因而当恻1 2 = l ( 名，e ) 1 2 时，结论 显然下设恻f 2 j ( 名，e ) 1 2 ，此时 一p 卢( ( d f ( 名) ) 一1 f ( z ) ，z ) 一2 ( 1 一汹n p ) i = 亿e 炉印踹( 1 墙i n 鲫 + ( i | z l l 2 一i ( z ，e ) 1 2 ) 【( 1 一，y ) e 一妒+ 7 ( e _ 印i ：躺一( 1 一i s i n p ) ) + ，y ( 1 ts i n p ) 一( 1 一t 8 i n 卢) p ，显然有1 一c o s p p ，p 【o ，1 ) ，贝4 即) = 州叩1 ) ) e ，+ 妻( 谢) 专啦， f ( z ) =，( ( z ，e 1 ) ) e 1 + ( 上辫) 叫( z ，勺) 已 + ( 帮) 赤陋一承砒】 ( 3 1 5 ) 是q 1 ，p 2 ，+ 1 ) 上p 次的抛物形的p 型螺形映射，这里勺( 1 歹几) 是日相互正交 的单位向量，聊 1 ，( 1 歹佗) ，肌+ 1 1 ，幂级数取分支使得( 群) 万i 正：o = l ， 2 j 礼+ 1 证明：令 叫_ f ( z ) = 刚叩1 ) ) e - + 妻( 帮) 考忆砒 = 2 、 、7 “7 + ( 帮) 赤卜薹q 扎缸 则知，e 1 ) = ，( ( z ，e 1 ) ) 两边同时作用，有( z ，e 1 ) = 厂1 ( ( 伽，e 1 ) ) 又对2 庇死， ( 删：( 帮) 者似嘲， ( 3 1 7 ) 可得 瓴瞄：( 帮) 咕c 喇：( 意) 嗉c 喇， 因而 河南大学硕士学位论文 叫= ( 叫，e 1 ) e 1 + ( 伽，e ) e 七 十( 煮高) 赤 _ 薹( 煮) 嗉c 删e 惫 朋舯， 由上式可以反解z 得 所以 z = f _ 1 ( 叫) = ( 礼 ， 庇= 1 、 ( 叫，e 1 ) ，_ 1 ( ( 叫，e 1 ) ) ( ，e 七) 鼠 + ( 煮) 靠卜静嘲e ( d f ( z ) ) 一1 f ( z ) = d f 一1 ( 伽) f ( z ) 砉一壶c 煮广去 ( ，e 1 ) ，一1 ( ( 叫，e 1 ) 一( 伽，e 1 ) ( ，一1 ) 7 ( ( 叫，e 1 ) ) ( 叫，e 1 ) ) ( ，一1 ( ( 叫，e 1 “h ，( 硼，e 1 ) ( 奶) e 一喜( 尚庇= 1 。 、7 。7 ( 伽 ( ，_ 1 ( ( 叫，e 1 ) ) ) 2 + ( 踹) 一赤( 叫一 + 1 ) p 竹+ 1 ( 叫一 e 1 ) ) ( 厂1 ) ，( ( 叫，e 1 ) ) ( 叫，e 1 ) 厂- 1 ( ( 叫，e 1 ) ) ( 3 2 0 ) 上巩 一 向 e k eu 炉嗉 南 净 岛 e 馆脚 缸 e 南 e伽 n 脚 1 一胀 + 1 一船 一1 船 e t 、， 岛 e 彬 ，、 土 一 、l ， 一m糍哼 竹脚 上m 一 向 e 七 e加 n脚卯 河南大学硕士学位论文 从而 又 l ( 厂1 ) ，( ( 叫，e 1 ) ) ( 伽，e 1 ) 1 + 1，一1 ( ( 埘，e 1 ) ) 1 = 塾e 舡一去+ 去踹】 他一擎耐瞄卜嘉+ 熹躺 ， ( 3 2 ) ( ( d f ( z ) ) 一1 f ( z ) ，z ) = 争胤炉卜壶+ 去端 仲酽一争 ) | 2 坍一去+ 去躺】 ( 3 2 2 ) = 啻嘲| 2 c 1 一伊+ 打卢端邮一剐 + 去( 1 一汹n 卢) 一( 1 一汹n 酬 仲酽一磐舰汗) 【( 1 一六) e _ 徊+ 六( e _ 印熊 一( 1 一汹n p ) ) + 焘( 1 一汹n p ) 一( 1 一汹n 酬 喜心炉扣嘞m e e 一印蠢熊， + e 七) 1 2 ( 1 一去) ( 1 一c o s 卢) b 一1 r 招 仲| f 2 一喜忍炉) 六( ( 1 嘞m e e - 印端) 十( 2 一萎怖七) 1 2 ) ( 1 一者) ( 1 一s 础 ( 3 2 3 ) 而 河南大学硕士学位论文 三一2 p ) | i z l | 2 + r e e 一。( ( d f ：) 一1 f ( z l2 2 萎怖惫) 1 2 【( 1 2 j d ) + ( 1 一壶) c o s p + 扣一2 p ) 。， p kp 毪 协e 卅若熊，一去c 1 俐 “o 圳尸一善| ( 叩d 1 2 ) ( 1 _ 2 力“1 - 者) c 。s 斛者“1 _ 2 力 协e 卅矗虢，一熹c 1 俐 = 喜恿