（工程力学专业论文）单盘转子同步全周碰摩运动的分析.pdf

论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：糊! 刍日期：! 丝z ：盘 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：趟导师签名：i 丛蹶幽6 ；量 摘要 本文主要工作是采用不同的转子系统模型和不同的碰撞模型，对单盘转子的 同步全周碰摩现象及其稳定性进行了理论分析和数值计算。 首先，在转子为柔性定予为刚性的情况下，对带有不平衡量的j e f f c o t t 转 子，在碰摩处的局部变形采用当量线性弹簧模型，利用摄动法，分析了转子系统 的同步全周碰摩运动；获得了同步全周碰摩运动的参数存在区，求出了该区域内 同步全周碰摩解的解析表达式，解析分析了同步全周碰摩解的稳定性。 其次，改进转子系统模型，采用了柔性定子柔性转子系统模型，对带有不平 衡量的j e f f c o t t 转子系统的同步全周碰摩运动进行了分析；获得了该系统同步 全周碰摩解的解析表达式，用数值方法讨论了系统同步全周碰摩解的稳定性。 最后，采用刚性碰撞模型，仍然在转子和定子均为柔性的情况下，对带有不 平衡量的j e f f c o t t 转子系统的同步全周碰摩现行进行理论分析；获得了系统同 步全周碰摩解的近似解析表达式，解析分析了系统同步全周碰摩解的稳定性。 关键词：j e f f c o t t 转子系统，同步全周碰摩，运动稳定性 中图分类号：0 3 1 a b s t r a c t d i f f e r e n tm o d e l so f r o t o r - s t a t o rs y s t e ma n dc o l l i s i o nb e t w e e nr o t o ra n ds t a t o ra r e u s e dt os t u d yt h es y n c h r o n o u sf u l la n n u l a rr u bm o t i o no fj e f f c o t tr o t o ra n di t s s t a b i l i t y i nt h ef i r s ti n s t a n c e ，t h er o t o ri sf l e x i b l ea n dt h es t a t o ri sp r e s u m e dr i g i d , a n dt h e l i n e a rm o d e lo f t h ec o n t a c tf o r c ei sa c c e p t e dt or e p r e s e n tt h el o c a li m p a c t - d e f o r m a t i o n c h a r a c t e rb e t w e e nr o t o ra n ds t a t o r 1 1 e q u i v a l e n ts t i f f n e s sc o e 伍c i e n to ft h el i n e a r m o d e li se v a l u a t e db ya na n a l y t i c a lf o r m u l a t h ep e r t u r b a t i o ns o l u t i o n so ft h e s f a r ma n dt h er u ns p e e dr e g i o n si nw h i c ht h ep h e n o m e n o nh a p p e n sa r eb o t h o b t a i n e d as i m p l i f i e dc r i t e r i o nf o r m u l af o rd y n a m i cs t a b i l i t y i sd e r i v e dw h i c h m a t c h e st h er e a ls i t u a t i o n so f i n d u s t r ya n dc a nb eu s e dc o n v e u i e n t t yi ne n g i n e e r i n g i nt h en e x t p l a c e ，u n d e rt h ec o n d i t i o no fe l a s t i c a l l ys u p p o r t e d s t a t o r , t h e p e r t u r b a t i o ns o l u t i o n so ft h es f a r ma r es o l v e da n dt h ed y n a m i cs t a b i l i t yo ft h e f l e x i b l er o t o ra n ds t a t o rs y s t e m s f a r mi sd i s c u s s e dn u m e r i c a l l y i nt h ee n d t h ef l e x i b l er o t o ra n ds t a t o rs y s t e mi ss t i i ic o n s i d e r e d ，b u tt h ec o l l i s i o n m o d e li sc h a n g e dt or i g i d i tn l e a n st h a tt h ei n l a i dq u a n t i t yi si g n o r e d i nt h i ss i t u a t i o n , t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n so f t h es f a r ma r ef o u n d e da n dt h ed y n a m i cs t a b i l i t yo f t h e s y s t e m ss f a r m i ss t u d i e da n a l y t i c a l l y k e y w o r d s ：j e f f c o t tr o t o r - s t a t o rs y s t e m ，s y n c l l r o n o u sf u l la n n u l a rr u b ，d y n a m i c a l s t a b i l i t y c l c ：0 3 1 4 一、研究碰摩现象的意义 引言 随着人类社会的进步，生产活动的发展，旋转机械越来越广泛地应用于电力 能源、石油化工、生命科学、空间技术等民用工业和国防工业领域。旋转机械作 为现代化生产的重要工具为国民经济的发展发挥着不可替代的作用。现代旋转机 械，例如发电机组、电动机、高速压缩机、高精度机床等等，正日益朝着高速、 轻型、大功率、大载荷方向发展，这就在速度、效率和安全方面提出了越来越高 的要求。因此，对于旋转机械动力学即转子动力学的研究也愈加受到重视。 旋转机械转子系统由于其复杂性、支承条件的特殊性和存在多种非线性因素 影响，在工作中经常会产生各种故障。如果不能及对发现和处理，可能会导致重 大事故和损失【1 1 。在转子系统的各种故障中，转子与定子之间的碰摩是比较常见 的主要故障之一。美国交通运输部的一项统计表明，在1 9 7 2 年到1 9 7 6 年问。航 空发动机在4 亿多个发动机飞行小时中，有1 0 2 的故障是由于转子与定子碰摩 引起的【2 】。在旋转机械中，转子与定子发生碰摩，很有可能会破坏转子系统的正 常运转，严重的碰摩甚至可以直接导致整个机械的破坏失效。 为了旋转机械转子的优化设计、提高效率、减少事故、保障安全、延长寿命， 转子系统的“碰摩”是旋转机械研究必然重视的问题。在力学上，转子系统的碰 摩是一个典型的非光滑非线性动力学问题，是小扰动下也不能线性化的本质非线 性问题。研究旋转机械在发生碰摩时的动力学行为是具有理论价值和实际意义 的。 二、转子系统的碰摩现象及其形式 旋转机械在正常运转时，转轴( 包括与该轴相联的各旋转部件) 的主要运动 形式表现为以一定的自转速度绕某一轴线旋转，并伴随着转子在一定范围内的横 向振动以及定子( 不旋转) 部件的振动 2 1 。旋转机械中的碰摩现象指的是原本不 接触的转动部件( 转子) 与静止部件( 定子) 发生物理接触的现象。 转子与定子间的碰摩通常是由其他故障导致的转子和定子的位移引起的，属 于二次故障形式。现代机械为了提高性能，转子与定子间隙设计的越来越小，使 得转子不平衡量过大，装配不对中，转子热弯曲、热膨胀，油膜自激振荡等因素 更容易导致转子与定子闻发生碰摩。转子与定子发生碰摩，会使转子系统受到法 向接触力和切向摩擦力的作用，出现摩擦、碰撞、扭矩振动、耦合效应、刚化效 应以及由热效应引起的热不平衡等现象。这些现象会导致旋转机械的运行工况进 一步恶化，以至于影响机械的正常运作。在一定的条件下，由碰摩产生的突加激 励甚至可以使得转子产生逆向涡动，造成不堪的后果。 碰摩往往发生在转子外表面与定子内表面之间或者轴颈与轴承内壁面之间。 根据碰摩接触的不同特点，碰摩可以分为局部碰摩和全周碰摩【3 】，局部碰摩是转 子在一个转动周期内只有部分弧段和定子接触，全周碰摩是碰摩发生后，转子与 定子始终保持接触。碰摩过程中，转轴的进动方向可以与转子的自转方向相同或 相反。 通常，带有不平衡量的转予，转速升到接近第一临界转速时，不平衡响应的 转子就有可能与定子发生碰摩。碰摩发生后的运动发展主要有三种可能：一种是 转子脱离碰摩，回到无碰摩状态下的常规不平衡响应，这种碰摩对机组的正常运 行不构成威胁；另一种是碰摩发生后，经过一段瞬态响应过程，转子与定子持续 碰摩，并以自转角速度贴着定子内壁打滑回旋，这是在碰摩状态下的转子的不平 衡响应运动，称为“同步全周碰摩”，见图( b ) ；还有一种是转子盘心运动轨迹 呈“花瓣形”的运动，文献【4 】指出这是h o p f 分岔，见图( c ) 。 ( a ) 瞬态碰撞的盘心运动轨迹 ( b ) 全周碰摩的盘心轨迹( c ) “花瓣形”盘心轨迹 图转子碰摩运动发展的数值模拟 三、碰摩现象研究的现状 转予定子之间的碰摩现象及其复杂，最早的关于碰摩现象的文献是 n e w k i r k 睁j 在1 9 2 6 年介绍的涡轮机械中碰摩的热效应问题。近一个世纪来，许多 学者在转子系统的碰摩问题上作了大量的实验研究和理论探索，在碰摩力模型、 稳定性分析、非线性振动特征以及故障诊断技术等方面取得了丰富的成果。 m 哪z y i l s k a l 2 j 在她的综述中讨论了碰摩转子系统中存在的各种物理现象以及振动 特征，包括碰撞、摩擦、热效应等等，并介绍了二十世纪九十年代以前与转子系 统碰摩相关的大量文献。 1 碰摩转子系统 除了一些文献讨论了多盘转子的碰摩问题 6 - 9 1 之外，现有的大部分工作是针 对单盘转子系统展开的。多数研究者采用j e f f c o t t i l o 】转子系统进行分析研究，分 析研究中，经常采用转子质量偏心的假设 1 6 - 1 s 1 ，而重力则往往被忽略不计【1 9 , 2 0 1 ， 在考虑定子支承方面一般分为两种情形，一种是刚性支承 4 , n a 2 1 ，另一种是柔性 支承陋闱 y n a n b e 等【2 1 屿丁千等嘲采用了弹性支承的转子系统模型；j i a n g 等【1 9 1 建立了 具有横向刚度的j e f f c o t t 转子系统模型；g o l d m a n 等【2 3 】提出了一个支承是各向异 性的模型；有文献讨论了转子，机匣，叶片系统 2 4 - 2 7 1 和悬臂盘p 8 , 2 9 1 的碰摩闯题； c h o i z 3 0 】等考虑了转子系统中的密封作用力；还有文献采用油膜轴承支承的转子系 统 3 1 - 3 3 】，在分析研究时考虑了油膜力的作用。 研究者大多同时考虑系统中的摩擦与阻尼效应，一般文献中往往采用 c o u l o m b 摩擦力模型坫j 4 1 ，也有文献考虑较为复杂的摩擦力模型 3 s i 。 随着计算技术的发展，研究者根据有限元方法【3 刀或者模态综合技术【3 8 1 建立 了更为复杂的碰摩转子系统，在这两种方法中均可以考虑非线性效应，基于这些 方法的分析工作主要通过数值计算来开展。 2 碰摩力学模型 描述转子与定子之间碰摩过程的力学模型是深入研究碰摩问题的理论基础， 模型的合理与否不但直接关系到对转子系统碰摩现象的本质和其他动力学行为 的认识，而且关系到安就成果的实际工程应用价值。 在对转子碰摩现象的研究中，碰摩的力学模型大体上可以分为两类：刚性约 束模型和分段光滑模型【3 9 】。刚性约束模型，是指将转子与定子的接触郁分看成 是刚性的，转子与定子接触后立即弹开，由此认为碰摩过程是瞬间完成的，不考 虑撞击过程的细节，受定子冲量作用，转子的速度分量是不连续的，通过恢复系 数去反映碰撞前后的速度变化和能耗。分段光滑模型，是指将转子与定子的接触 部分看成是弹性的，碰摩时产生弹性变形，并对转子施加接触力和摩擦力；碰摩 过程需要一段短暂的时间才能完成，碰摩力连续但非光滑，碰摩作用通过在转子 运动方程中以接触力和摩擦力的形式得以体现。 刚性约束模型能够反映转子与定子的接触点的剐度很大时的转子系统碰摩 的特点，表达亦比较简单。不少文献 4 0 - 4 2 1 采用这个模型对转子的碰摩运动进行分 析研究。其中，g o l d m a n 4 3 1 提出的考虑了碰撞时间，忽略碰撞细节，给出碰撞前 后转子速度关系的模型，本质上也是一类刚性约束模型。 分段光滑模型将转子与定子的接触部分看成是局部弹性的，但对局部弹性有 着不同的建模手段。b e 嘶【3 4 】采用了碰摩力分段线性刚度模型，认为转子与定子 发生碰摩，法向接触力与转子定子之间的嵌入深度成正比关系。e h r i c h i l 。7 l 利用双 线性振子模拟转子与定子之间存在非对称径向闻隙产生的局部碰摩过程。 g o l d m a n 2 3 l 在碰摩力中加入了与转子定子碰摩处的相对速度有关的阻尼作用。晏 砺堂等】根据h e r t z 接触理论建立了模型，在碰摩力与转子定子接触时的嵌入深 度之间引入非线性关系，认为法向接触力与嵌入深度的3 2 次方成正比关系。杨 树华等【3 3 , 4 5 1 对三种分段光滑模型：双线性刚度模型、h e r t z 接触模型和当量刚度 模型进行了理论分析和数值仿真的对比。林富生等m 利用一个无穷次可微且可 无限逼近阶跃函数的实函数将不连续的j e f f c o t t 转子碰摩系统进行了光滑处理， 使之成为光滑的非线性系统。 从应用的角度来看，刚性约束模型相对于分段光滑模型简单许多，且易于进 行理论分析。由于忽略了碰摩的时间过程，刚性约束模型只适用于进行刚性壁面 碰摩的研究。而分段光滑模型相比于刚性约束模型更合理，但模型也相对复杂了， 给理论分析带来了困难。 3 碰摩转子的动力学特性 转子定子之间的碰摩会引起各种非线性现象，很多文献对此迸行了讨论研 究，取得了丰富的研究成果，使人们对于转子系统碰摩现象及其分析手段有了更 多的了解和认识。 不少文献关注解释了转子系统碰摩中的亚谐与超谐运动，即转子系统的第一 阶固有频率为外激励的整数分之一或者为外激励的整数倍时发生次共振。 b e 删少7 1 在实验中发现了l 2 次和l 3 次亚谐共振现象；c h i l d s e 4 8 l 采用小参数法对 b e n t l y 发现的亚谐共振现象进行了理论上的解释。m u s z y n s k a l 4 9 j 分析了转子的局 部碰摩现象，通过理论分析与实验验证，讨论了转子在碰摩中存在的i 2 次、i 3 次、1 4 次等亚谐振动。e h r i c h l l 7 1 观察到了1 9 次亚谐共振现象，并在其后续的文 章【5 0 5 l 】中，采用双线性刚度碰摩模型，对j e f f c o t t 转子系统模型在转子与定子之 阂、轴颈与轴承之间的碰摩情形作了详细的研究，分析了在不同的转速和剐度比 下，碰摩引起的转子亚谐、超谐响应和分岔、混沌现象。c h o i 等【3 0 】利用离散的 f o u r i e r 变换及其逆变换的数值方法分析了存在偏心量以及密封作用力的转子系 统模型，其数值结果表明在转子系统的碰摩运动中存在亚谐和超谐运动。 转子系统的碰摩运动是一类本质非线性问题，许多文献对其中的周期运动、 拟周期运动、分岔与混沌现象进行了分析和研究。e h r i c h t 5 1 】发现了碰摩转子系统 在亚谐共振向更低次亚谐共振过渡中发生混沌运动，并对此进行了讨论。a d a m s 等1 5 2 1 讨论了转子碰摩时发生的混沌运动，观察到了转子定子之间的间隙对系统 响应的影响，并发现转子系统中经常会发生拟周期运动和混沌现象。g r o u 等l “j 采用基于谐波平衡的数值方法，计算了定子柔性支承且转子和定子均存在偏心质 量的j e f f c o t t 转子系统在周期激励下发生碰摩的周期解，同时在频域空间讨论了 周期解的稳定性。褚福磊等l l l 】应用f o u r i e r 级数计算碰摩j e 疵。牡转子系统的周期 解，并根据f l o q u e t 理论分析了解的稳定性，研究发现了系统中的混沌特性，并 发现了三种进入混沌的路径。褚福磊等】还利用短轴承油膜力模型，分析了油 膜支承转子系统转子与定子碰摩时的振动特性，利用打靶法求解了系统的周期 解，并结合f l o q u e t 理论分析了解的稳定性，发现在系统运动中具有倍周期分岔 和h o p f 分岔现象。l i n 等p 3 】通过大量的数值仿真计算以及现代非线性理论对碰 摩转子系统进行分析，提出了转子运动通往混沌的路径。张思进等1 5 4 l 研究了一 类转子与定子几何不对中的转子系统碰摩模型，将非光滑运动的研究转化为该映 射的动力学研究，分析了转子系统碰摩的机理，并通过数值模拟发现了该类转子 系统碰摩具有非线性系统特有的分岔与混沌现象。孙政策等刚对带有间隙的 j e f f c o t t 转子系统进行数值模拟，发现了系统超临界转速下由一清晰的周期加一 分岔现象，在亚临界转速下各个超谐响应之间都出现了幅值突跳的现象，研究了 阻尼和非线性刚度对转子系统动态性能的影响。王宗勇等【5 5 】建立了带有支承松 动和碰摩耦合故障的质量慢变转子系统的动力学模型，利用数值积分和p o i n c a r e 映射方法进行了研究，给出了系统响应随转子转动频率变化的分岔图和最大 l y a p u n o v 指数曲线图。张勇等【5 6 】采用有限元方法对转子结构进行动力学建模， 把碰摩作为力边界条件来处理，并对转子的碰摩进行了仿真分析，结果显示转子 系统碰摩有较强的非线性，转子振动表现出混沌运动的一些特征。 另外，碰摩转子系统中的各物理参数对系统动力学行为的影响也为研究者所 关注。c h o i 等【3 0 1 给出了重力因素、摩擦系数、横向刚度、偏心率、阻尼系数等 对j e f f c o t t 转子系统动力学响应的影响，其结果显示大摩擦系数在限制振动幅值 的同时会引起运动失稳或者非周期响应，大阻尼系数会减少甚至杜绝亚谐运动的 发生。c h o i ”】还通过实验与数值分析的方法对转子系统的逆向回转运动进行了研 究，认为摩擦系数与转子偏心质量的作用能够对全周碰摩中的回旋运动加以解 释。c h o y 等【1 6 】对j e f f c o t t 转子模型进行分析，研究了逆向回转运动的发展、轻度 全周碰摩运动以及由此产生的最大碰摩力，并特别讨论了机壳刚度、摩擦系数， 不平衡载荷和系统阻尼对转子碰摩运动的影响以及转子的瞬态响应轨迹。l i i l 等 垆叫通过大量的数值仿真计算，采用p o i n c a r e 截面图、转子运动轨迹图等形式给 出了发生碰摩的j e 彘o t t 转子系统转速、转子与定子间的间隙、阻尼比和摩擦系 数对转子系统运动的影响。罗跃刚等【5 7 l 在研究油膜支承转子的碰摩行为考虑了 转子定子相对速度对非线性摩擦力的影响，并认为这最终导致了对转子分岔和混 沌运动的影响。林富生等脚j 以其建立的碰摩模型为基础，通过数值计算加以分 析机动飞行和飞行器的加速对转子系统碰摩运动的影响。 还有文献研究了碰摩转子的扭转振动闯题。m u s z y n s k a 等i 冽研究了刚性且各 向异性的转轴中的扭转弯曲交叉耦合振动响应，指出转子扭转振动测量是旋转 机械故障诊断中一个很有用的工具。邓小文1 9 1 建立了一个8 自由度的转子系统碰 摩模型，从理论和实践两方面来研究双盘转子碰摩的弯曲和扭转耦合振动响应， 提出了从转子扭转振动的变化来诊断转子系统碰摩故障的方法。 4 同步全周碰摩 全周碰摩对于转子系统具有极大的破坏性，按照转子进动方向与其自转方向 的异同，分为正向全周碰摩与逆向全周碰摩。张文等【6 ，5 9 ，印】采用摄动方法解析研 究全周碰摩，并有实验验证。d a i 等【6 1 1 对转子与限位器之间的碰摩现象进行了分 析，讨论了碰摩响应中存在的周期解的稳定性以及摩擦系数和刚度系数对全周碰 摩运动的影响。 存在质量偏心的转子系统中，会出现正向全周碰摩即同步全周碰摩，它是在 碰摩力与离心力联合作用下的转子不平衡响应。目前有一些文献对同步全周碰摩 现象进行了讨论。刘献栋等 4 i 针对仅考虑质量偏心的j e f f c o t t 转子系统，研究了 其全周碰摩的稳定性以及转子和定子之间的摩擦系数对于碰摩系统稳定性的影 响，发现了同步全周碰摩不稳定时发生的h o p f 分岔现象。孟光等1 6 2 1 对微型机电 系统中的转子碰摩现象进行了数值分析，研究了该类转子系统中存在的同步全周 碰摩现象，讨论了系统参数对转子响应的影响及其分岔行为。j i a n g 等t 1 9 1 讨论了 具有横向刚度的j e f f c o t t 碰摩转子模型，研究了其同步全周碰摩的解以及解的稳 定性。 四、本文的主要工作 在对转子系统碰摩进行了数值仿真和试验的基础上，作者所在的科研小组发 现，在通常的小摩擦、小阻尼情况下，在转子的工作转速附近，转子系统会较频 繁地出现全周碰摩现象，其中同步全周碰摩是主要的全周碰摩现象。本文集中讨 论同步全周碰摩运动。简要介绍各章内容如下。 第一章用摄动法对刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩现象进行了分析 和讨论。在这一章中，转子模型采用的是带有质量偏心的j e f f e o t t 转予模型，碰 摩模型采用的是当量弹簧线性碰摩模型，对于定子的处理，则认为其是刚性的。 在这样的情况下，得到了剐性定子柔性转子系统的同步全周碰摩解，从理论上分 析了系统同步全周碰摩解的稳定性得到了稳定性判据，并根据实际工程情况对该 判据作了简化处理，更符合实际工程应用的需要。 第二章在第一章的基础上，对转子系统模型进行了改进，采用了柔性定子柔 性转子系统，方法上依然用摄动法，在这一系统模型中，系统自由度和参数都比 刚性定子柔性转子系统多了许多，使得模型更加复杂，处理上也更困难了些。在 解析分析的同时，加入了数值分析，得到了柔性定子柔性转子系统的同步全周碰 摩解析解及其稳定性的数值分析结果。 由于第二章中没有能够得到柔性定子柔性转子系统同步全周碰摩解的稳定 性的解析分析结果，作者在导师前期研究的基础上，重新简化碰摩模型，采用了 刚性碰撞模型。得到了刚性碰撞下的柔性定子柔性转子系统的同步全周碰摩解及 其稳定性的解析分析结果。 第一章刚性定子柔性转子系统的同步全周磋摩运动分析 第一章刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 本章针对转予系统的同步全周碰摩这一运动形式，采用刚性定子柔性转子模 型，对碰摩处的局部变形运用当置线性弹簧模型，求得同步全周碰摩的解析解； 用摄动方法对解稳定性进行解析分析，得到刚性定子柔性转子系统同步全周碰摩 稳定区的判别表达式，并考虑实际工程情况该判别式进行简化，得到适于工程应 用的十分简洁的同步全周碰摩稳定区判别式。 第一节刚性定子柔性转子系统碰摩数学模型的建立 1 1 1 刚性定子柔性转子动力学模型 如图1 一l 和图1 - 2 所示，假设在转子系统中，外壳刚性固定；系统静止时， 圆盘与外壳是一对同心圆。系统静止时圆盘与外壳之间的平均间隙为 ，圆盘质 量为掰，圆盘半径为r ，圆盘质心g 与盘心c 阃的偏心距为p ，转轴在圆盘处剐 度为| i ，圆盘转速为q ，并受到线性阻尼力作用，阻尼系数为c 。该模型中忽略 转轴质量。 0 y 豚n 参瀚 心l 勿j 圈卜l 刚性定子柔性转子系统模型图卜2磋摩力 为了建立转子动力学的数学模型，采用以亏和磊为坐标基的极坐标系，其 中昂指向石己方向，磊与弓正交，构成右手系。圆盘扰动时，记质心。的扰动位 移蘅为卢，故圆盘的运动方程为： 第一章刚性定子乘性转子系绕的同步全周碰摩运动分析 册声+ 痧+ 舻= 一层昂一只6 i ( 1 1 ) 其中，和e 分别是碰摩处的法向接触力和切向摩擦力，方向以图l - 2 所示为正。 转子系统没有碰摩时，只和f 都为零。 扰动位移卢在极坐标下的表达式为： 芦= 【，+ p c o s ( q f 一】昂+ e s i n ( d t 一印磊 注意到在极坐标昂磊下，d 写西= 瓴，观匆= 一瓴， 度矢量、加速度矢量分别为： 声= 【，一l ：q s i r i ( f 一d j 昂+ 力+ m c o s ( f t 一回 磊 ( 1 2 ) 由( 1 - 2 ) 得到质心g 的速 ( i - 3 ) 声，一，萨一锄2 c 。s ( q 一口) 亏+ 2 力+ ，- e l 2s i n ( 国一 磊 ( 1 4 ) 将( 1 - 4 ) 代入圆盘运动方程( 1 1 ) ，得到圆盘运动方程在极坐标焉磊下的标量 形势： 彬，鬟+篡叫一=鬈cos(q卅-o一)-efmro c r o2 m o c l + + = n p q 2s i n ( q ，一口) 一只 。 1 1 2 碰摩力 转子系统碰摩时，在碰摩处存在法向接触力只和切向摩擦力只。法向接触 力采用当量刚度模型【4 5 , 6 3 6 4 1 ，切向摩擦力采用库仑摩擦力模型，则法向接触力只 和切向摩擦力f 可以表示为： 只： ：。、，：姜| i ： e ：。劬( 眦+ 。彩以0 - 6 ) 只2 亿( ，一， 而 e 列劬( 眦托缈以 这里a 为摩擦系数，k 。为当量刚度，其值由下列理论计算公式决定脚1 ： 乃= 1 矿6 ( 詈2 + 彳 i 2 ) 【, * r 2 2 ，( z n l u 0 2 ) ； ( 1 - 7 ) 其中，置，y ，( i = 1 ，2 ) 分别为接触处转子和定子的杨氏模量和泊松比，是法 向撞击初速度。 分段线性刚度模型中，转子与定子接触处的刚度系数k 。是一个关键的物理 量。长期以来较少文献讨论如何确定当量剐度的值。实际旋转机械中，碰撞材料 的层。值一般比较大，间隙h 比较小，因此当量刚度k 。值一般也都比较大，它与 转轴在圆盘处的刚度系数之比约为1 0 2 量级。 第一章刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 1 1 3 无量纲化运动方程 尹= 云，虿= 云，f = 瓦杀，k s , = 等，国= 去，孬= 罢，f = 甜，= i p = i f = 丽= 幸国= v i “= i f = 甜 代入( 1 - 5 ) 得到极坐标下的运动方程为： 譬f o 端兹嚣孵s i n ( 西i r m s ， i。+ 2 矿p + + 2 尹口= i _ 2一仍一匠 、。7 其中i 代表丢，瓦= k - 1 ) 薯 由1 1 2 中的讨论，我们知道疋的值大约在1 0 ：量级。 第二节转子系统碰摩发生的条件 转子启动后，在阻尼力作用下，圆盘从瞬态响应进入不平衡响应。转速q 较 小时，不平衡响应幅值较小，圆盘还没有与外壳接触。此时，( i - 8 ) 式中的丘= o ， 圆盘的运动微分方程为： z 簇0 翟0 。焉；呶s i n ( 篙 m i f 口+ 2 矿 + 2 f= 万q 2 q f 一口) 、 设圆盘的不平衡响应解为f = 瓦，丸= 五f 一口其中瓦，吮是常数。代入( i - 9 ) ， 解得不平衡响应幅值为 焉：t 号睾署( i - 1 0 ) ”而i 亍丽 对( 1 - 1 0 ) 关于五2 求导，得 等：等雩警察0 - 1 1 ) d 西2 【( 1 一西2 ) 2 + 4 f 2 西2 1 2 由该式知，f i 2 对，对任何的西，( i - i i ) 恒大于零，不单调上升趋于虿。 由于实际问题中阻尼不会很大，本文不考虑f i 2 的过阻尼情况。于是可恒假 第一章刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 设f 1 ，j ，由( 1 1 0 ) 、( 1 1 1 ) 知，焉在五= 西一：1 撕= 虿处达到极大 值磊一= 虿( 2 f 1 一f 2 ) 。如果焉一= 虿必2 f 1 一f 2 ) 1 ，则圆盘不会与外壳发生 碰摩。此时有虿2 4 6 2 ( 1 一f 2 ) 1 或( 1 一l 一虿2 ) 2 4 6 2 ( 1 一f 2 )( 1 - 1 2 ) 而发生碰摩的五的值由髻= 虿2 西4 ，( ( 1 一西2 ) 2 + ( 2 萄) 2 ) = l 或 ( 1 一虿2 ) 西4 2 ( 1 2 f 2 ) _ i 2 + l = ( 1 一p 2 ) ( 孬2 一i 野) ( 孬2 一r 琴) = 0( 1 1 3 ) 解出为 珥=地型翟竽盟，碣=丁1-262+4。2-1+(1-262)2(1-i4) 于是： ( 1 ) 若虿 1 时，有研 0 ，碣 0 ；当_ l 孬s _ 2 时，转子发生碰摩，当西 _ 2 后， 转子重新脱离碰摩。 因此，升速时，发生碰摩必须同时满足以下两个条件： 虿2 4 6 2 ( 1 一f 2 ) ，西 _ l ( 1 1 5 ) 图1 - 3 是各种阻尼比条件下，转子处于非碰摩( 自由) 状态时圆盘的不平衡 响应。当瓦= 1 时，刚性定子柔性转子系统发生碰摩。 j ：f - 0 1 f - 0 1 2 5j 扩” i f 1 陋 f - o 季厂、0 ! b 墨磐，j 一 田卜3 刚性定子柔性转子系统不平衡响应：皇关于磊的曲线 p 第一章刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 第三节刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩解 1 3 1 求解刚性定子柔性转子系统同步全周碰摩解 碰摩发生，( 1 8 ) 式中瓦= 乏扩一1 ) 。求刚性定子柔性转子系统的同步全周 碰摩解，令芦= l + 舌，0 = 西f 一妒，其中善，妒为常数，代入( i - 8 ) 式，得： ( 1 兰勺? ；? 掌等妒 ( 1 1 6 ) j 2 n ( 1 + d + 肚，善= 虿q 2s i n # 。 解得 磊：生譬乞：生挚 ( 1 1 7 ) 其中 丑= 晦+ l 一孬2 ) 2 + ( 以+ 2 两2 足= ( 1 一q 2 ) ( _ j p + 1 一q 2 ) + 2 ；n ( 肚p + 2 n ) ( 1 1 8 ) 忍= ( 1 一万2 ) 孬4 2 ( 1 2 f 2 ) 五2 + l - - ( 1 - 石2 ) ( 西2 一互p ) ( 孬2 一霹) 1 3 2 刚性定子柔性转子系统同步全周碰摩解存在的区域 只能取( i - 1 7 ) 中孝 0 的解，考察孝 0 的条件。丑恒为正，从( 1 - 1 7 ) 知： ( 1 ) 当b 0 ，乞 0 ，有两个同步全周碰摩解 螽和岛。 ( 3 ) 其余情况没有同步全周碰摩解。 为了对同步全周碰摩解( 1 1 7 ) 有较具体的了解，这里给出极端情况f = = 0 下的 公式。此时由( 1 1 4 ) 和( 1 - 1 8 ) 有 姘= i 0 + 力，- - z 2 2 = l ( 1 一e - - ) ， 置= ( + l 一孬2 ) 2 ，最= ( 1 一五2 ) ( + 1 一孬2 ， b = ( 1 一虿2 ) ( 孬2 一_ 1 2 ) ( 五2 一i - 2 2 ) 代a o 一1 7 ) 得： ( 1 ) 当五2 1 ，仅彘l 0 ，删去缸 0 ；若虿 1 ，则_ 1 2 西2 0 ； 孬2 2 _ 1 2 后发生碰摩，于是知永远为负将其删去。若虿 1 ， 恒有 0 ；若虿 l ，则当k , k + l 虿 1 时，转速在区间吒+ l 1 和孬2 _ l 倩况，此时只 0 ，只 存在一个同步全周碰摩解卣。( b ) 图对应虿 1 和- ls 孬一f 2 2 情况，此时只 0 ， 也只存在一个同步全周碰摩解氧。( c ) 中，瓦西孬：时b o ，最 o ，一b o + 瓦r 二石i o ，6 0 2 4 a o ( 1 - 3 1 ) 由( 1 2 5 ) 知：6 0 = 2 ( + l + 西2 ) 一百k p 磊 o ，显然成立； 由( 1 - 2 7 ) 可知2 州研一毪种叫c m 矧 = ! ! 巴主；i 竽 ( + 一孬2 ) ( - + 磊) 一瓦 当磊喃= 臀时： 第一章刚性定子黍住转子系统的同步全周磋摩运动分析 西= 等p 嘶+ 端署幅卜警 。 羚= 臀时： 所以舍去品= 知= 臀，仅取磊= 知= 譬鬻 b o - 戗z 蚋厕2 一篝惹鱼+ 而2 一蚋固2 + 篝芸塑 = 晦+ 嚼一篙+ 百丽2 = 晦骨一等+ ，秆+ 百等 m s 2 ) = 篙卜舒+ 害川蝴篙瓣+ 害。 所以厶1 2 ) 砧2 在取磊= = 譬等的情况均为负实数，即此时厶的根均 4 厶3 五+ 口1 凡3 + 2 6 0 凡 + c , a o = 0 = 瓦- - g i 1 丽, 0 2 - - i c i 故有：a ：厶+ 巩：厶一。a i c b 面。+ 厢表面) 一+ c i 当取凡2 = ( 一6 0 屑可) 2 时： 五= 气一志 q ( 千6 0 + 瓦雨 要满足z 的实部为负，则要求： 口。( t b 。+ ；蕊) 2 c 。 o 即：6 0 z 一4 矗 ( 6 0 竺l ) ： ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 0 - 3 5 ) ( 1 3 6 ) 0 - 3 7 ) n 3 8 ) 第一章刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 于是有： 等州矾南 ：晦+ t + _ 2 ) 一。南一 4 f o 小等塑咝甓葛避型 叠( 告m q 皲：趣笔髓学劁 1 2( 1 3 9 ) i o j ( 1 - 4 0 ) ( 1 4 1 ) ( 1 - 4 1 ) 式即为彘。的稳定性判据。它是磊乞，瓦f ，这五个参数的一个较复杂的 隐性不等式。 在实际问题中瓦往往很大，而嵌入深度氛。则很小，此时肘。可以简化为： m 。z 2 五2 ，代入( 1 - 4 1 ) 得： 丝 1 b ( 1 - 4 2 ) 这是个非常简洁的稳定区判别表达式，适合工程应用。从这个简洁的不等式 中，我们可以发现，摩擦系数p ，外阻尼f 和转速五才是维持全周碰摩稳定性 的主导因素。 图1 5 是在确定的条件t = 1 0 0 ，虿= 0 9 ，f = o 1 5 下，由刚性定子柔性转 子系统同步全周碰摩解磊，的稳定性判据( 1 - 4 1 ) 和( i - - 4 2 ) 两式画出的和q 的 关系图。图中曲线下方表示系统同步全周碰摩解彘，的稳定区域。从图中可以知 道，对于确定的p ，瓦，虿，f 来说，当西超过某一个特定的l | 缶界值后，同步全 周碰摩运动就不再存在了。从图1 - 5 中，还可以看到，简化后的刚性定子柔性转 子系统同步全周碰摩解盏。的稳定性判据( 1 - 4 1 ) 式，在一般工作转速范围内 ( 西 3 ) 与采用摄动法得到的系统同步全周碰摩稳定性判据( 1 - 4 0 ) 式是十分 接近的。因此，可以认为实际工程应用中使用简化的稳定性判据( 1 4 1 ) 式是可 行的。并且，判据( i 4 i ) 显性地表达了刚性定子柔性转子系统参数在系统同步 全周碰摩中的关系，从某种角度上来说，更深刻地揭示了刚性定子柔性转子系统 第一章刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 的参数对于系统同步全周碰摩的影响。该判据指出：接触刚度瓦和转子的偏心 量虿对于系统的同步全周碰摩不起主要作用，摩擦系数，转子的外阻尼f 和转 速西才是支配刚性定子柔性转子同步全周碰摩稳定性的主要参数；而且，摩擦系 数和转速五是系统同步全周碰摩的不稳定因素，外阻尼f 是稳定因素。 图l _ 5 刚性定子柔性转子系统同步全周碰摩运动解磊l 的稳定区( 曲线下方) 第五节本章小结 本章讨论了刚性定子柔性转子系统同步全周碰摩解的存在性和稳定性。从理 论上论证了刚性定子柔性转子系统在相当广阔的转速范围内存在同步全周碰摩 解，采用摄动方法推导出了刚性定子柔性转子系统同步全周碰摩解的稳定性判 据。对此判据根据实际工程情况进行简化得到适用于工程应用的简洁判据表达 式。 第二章柔性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 第二章柔性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 第一章讨论了刚性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动。从模型本身来 说，不尽完善。在本章中，我们考虑定子和转子均为柔性的情况，这样的情况更 符合工程实际，在碰摩处的局部变形仍然采用当量线性弹簧模型，利用摄动方法， 对柔性定子转子系统的扰动运动进行同步全周碰摩运动的分析，以获得同步全周 碰摩解的参数存在区，求出该区域内同步全周碰摩解的解析表达式，并讨论同步 全周碰摩解的稳定性；寻找稳定范围数值解。 第一节柔性定子柔性转子系统碰摩数学模型的建立 2 1 1 柔性定子柔性转子动力学模型 考虑图2 一i 所示的单盘柔性转子和柔性定子系统，当定子和转子没有扰动运 动时，转子绕自身轴以q 自转，定子静止不动。它们的几何中心q 和q 都在无 扰轴线位置上。此时转盘外壁与定予内壁构成同心圆，两盘间隙为h 。当定子和 转子发生扰动运动时，d i 和d ，偏离原无扰位置，如图2 2 所示。 h 竺。； h 务 多 样，、叭； _ ， 渤 枣i ： 糟，豳 ； 、 醛受 图2 - 1 无扰动状态f 的柔性转予一定于系统圈2 一z 扰动状态下的柔性转子一定子系统 为描述转子和定子的扰动运动，取静止坐标系0 7 ，7 和运动坐标系 o ，一c o ，己，如图2 - 3 所示。其中磊是沿万万的单位向量，c l 是垂直予磊的单 位向量；妒是磊与固定向量7 阃的夹角，以逆时针方向为正；g 为转予的质心， 它到转子几何中心d ，的距离为p ，即圆盘的不平衡偏心量。所，所，分别是定子与 转子的质量。 - 2 3 - 第二章柔性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 j 一( j 掺。专 分别记弓，为定子中心q ，转子中心o r 和转子质心g 的扰动位移向 量，于是，在运动坐标系d ，一己，己里，它们可表示为： 弓= o o , = x c ；+ y c ； 零= 0 0 , = 乏+ 名c ；( 2 一1 ) = 亏+ e ( e o s o c o + s i n e c o 其中0 = f l t 一妒，x ，y ，是描述本系统扰动运动的广义坐标集。 于是有： e = 毒= ( i y 妒) c o + ( 岁+ 彩) e ： = 本= e + c o + o 焰 ( 2 - 2 ) 露= 弓= 砟+ 团( 一s i n s c o + e o s e q ) 元= 或= ( e - 2 多d 一力一筇2 ) 磊+ + 2 筇+ 筇一面2 ) c l 秀= 毒= 秀+ ( 匕一o 2 ) 己+ ( 2 + o ) g ( 2 3 ) 磊= 露= 季一p q 2 ( c o s o c o + s i n o c o 对于接触力，仍然采用线性当量弹簧模型【4 5 知3 脚】； r or h 肛惦( ) r 2 ( 2 4 ) 其中当量刚度k o 由如下理论计算公式畔1 提供： 纠黝1 6 半+ 半) _ ( 钉( 喇) - i ， 这里，耳是圆盘的半径，局，哆o - - i ，2 ) 分别是接触处转子与定子的杨氏模量 和泊松比，是法向撞击初速度。如果是准静态挤压过程，挤压位移为艿，则当 第二章柔性定子柔性转子系统的同步全周碰摩运动分析 量刚度七。计算公式为： 铲胤气半+ 警m ) - 墨 c 2 秭 对于摩擦力，采用库伦模型。于是，在接触点处定予作用在转子上的摩擦力为 f ；一鹏i g 域，；矿+ b f 冷c i ( 2 - 7 ) 其中z 是转子和定子接触处的摩擦系数。 于是，由牛顿定律，定子和转子的扰动运动方程分别为： 私渺呲箍：= 爱! =