（基础数学专业论文）自然数分解指标的均值问题.pdf

山东师范大学硕士学位论文 自然数分解指标的均值问题 吕梅梅 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 对于每个铊2 的整数，令a ( 钆) ：= 厩l o 而g ni 为自然数n 的指标分解，其中 ，y ( n ) ：= p 我们记a ( 1 ) = 7 ( 1 ) = 1 自然数分解的指标均值问题是数论中的重要 p l n 问题之一，许多人对这一问题进行了深入的研究d ek o n i n c k 和d o y o n ： 首先研 究了a ( 佗) 的均值他们得到了关于a ( 凡) 的渐近公式 l ) = z + c 去+ d ( 去) n x 。o 一v bw 和 久。( 佗) = z + d ( 去) ， n x 。o 。 其中c 2 莩瓦l 两o g p 0 , 7 5 5 3 6 这两个渐近公式表明久( 几) 的阶平均是1 d ek o n i n c k 和k 舀t a i 2 1 证明了关于a ( 佗) 均值更好的结果，他们证明了渐近公式 h a ( 他) 2 耖+ d ( 去) x n s x + ” 和 a一1(n)2耖+d(面y)xn x + y 。 当y = l 0 9 3z 时成立当影= 红，他们证明了对于任意的整数7 l ，存在可计算 的c 1 ，c r ，也，西使得 1 s z + z j = 。 和 ， 一一 一r 1 ( 妒正+ 奶最+ 0 ( 最) x n x + v 5 j 2 1 。 山东师范大学硕士学位论文 厩立，嗬且他们证明j ， 乏狮一十萎弓泰州卉)竹 王j = l 。b w v b w 和 芝r 1 ( 垆z + 若弓去+ 0 ( 奔) ， n z j = 1 。口一6 其中弓，弓0 1 ) 是可以计算的常数 翟文广两利用s e l b e r g 方法研究了a ( n ) 的高次均值，并证明了渐近公式 妒( 佗) = z 厶( 日，z ) l 。g kz d z + d ( z 和 三一( 啦z + 驴k h i ( o ) z z 最圳扪， 礼茎 j = l 。 v 6 其中 ： 日( 乱) ：= l 。- i ( 1 一三) ( 1 + ；= 三再) ( 一1 乳u 0 是正常数，而瓯t j l ，( 歹1 = 1 ，2 ，七) ，瓯j 。，仇= i ，2 ，惫一1 ) ，都是可计算 的常数 令上式中 z x ( z ) ：z _ 。1c - - c l o g x ( 1 0 9l o gx ) 一 定理2 若黎曼假设成立，则 扛) = d 0 鸯+ c ) 2 山东师范大学硕士学位论文 关键词：自然数分解的指标，指数和，解析方法 分类号：0 1 5 6 4 3 山东师范大学硕士学位论文 o nt h em e a nv a l u eo ft h ei n d e xo fc o m p o s i t i o no fa n i n t e g e r l i im e i - m e i ( t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t f o re a c hi n t e g e rn 2 ，l e t 入( 佗) ：= w h e r e7 ( 礼) ：= 1 - i p w ew r i t ea ( 1 ) = p i n l o g 他 l 0 9 7 ( n ) 7 ( 1 ) = 1 b et h ei n d e xo fc o m p o s i t i o no fn ， t h ei n d e xo fc o m p o s i t i o no fa n i n t e g e rm e a s u r e st h em u l t i p l i c i t yo fi t sp r i m ef a c t o r s d ek o n i n c ka n dd o y o n 【1 l f i r s ts t u d i e dt h em e a nv a l u eo f 入( 扎) t h e yp r o v e dt h ea s y m p t o t i cf o r m u l a s 薹一+ c 面x 圳硒x )n z u。o a n d a 一1 ( 佗) = z + d ( 面x ) ， n z u w h e r ec2 车而l o g p o 7 5 5 3 6 t h e s et w oa s y m p t o t i cf o r m u l a si m p l y t h a t t h e a 、他r a g eo r d e l ro fa ( 他) i s1 d ek o n i n c ka n dk 毛t a i np r o v e das e r i e so fr e s u l t sa b o u tt h em e a nv a l u eo f a ( 礼) t h e yp r o v e dt h a tt h ea s y m p t o t i cf o r m u l a s a ( 扎) = y + d ( 去) a n d e 入- 1 ( 佗) 2y + d ( 老) x 1 ，t h e r ee x i s tc o m p u t a b l ec o n s t a n t sc 1 。c r ，d 1 ，d rs u c ht h a t 坳) = 历+ 勺最+ 0 ( 最) x n 5 x + v 伍 j = l 。 。 “ a n d ，互层r 1 = 历+ 如最删最) j = l z n 卫+ 面 v b 。 4 山东师范大学硕士学位论文 t h e nt h e yd e d u c e d 一+ 弓毒+ d ( j = l 。o l o g 件1 z 三r 1 ( 啦z + 善1 去删赤) ，n 气z = v u w h e r ec ；，弓0 1 ) a r ec o m p u t a b l ec o n s t a n t s z h a iw e n g u a n g ni m p r o v et h er e s u l t so fd ek o n i n c ka n dk 螽t a i ，u s i n gt h e s e l b e r gm e t h o r ds t u d i e dt h eh i g h e rm o m e n t so fa ( 佗) 入知( 佗) = ( ，z ) l o g 七z d z + d ( z 扣) n z ，2 a n d ，一=z+妻玳。)zz硒dz+d(疹气nx1 j = 。o 。 w h e r e h ( u ) 珥( z 一扣+ p p p 一札 )( - 1 跪u 0i st h ep o s i t i v ec o n s t a n t ，a n d 瓯，j l ，( 歹1 = 1 ，2 ，后) ，c i ，j 2 ，( j 2 = 1 ，2 ，k 一1 ) ，a r ec o m p u t a b l ec o n s t a n t s l e tt h eu p w o r df o r m u l a s z x ( z ) ：z 丢e - - c l o g 鲁z ( 1 0 9 l o g x ) 一 5 m 疃 佗 一 一 疃 y dul ls t h e o r e m2i ft h er h i st r u e t h e n ( z ) = d ( z 5 - - ，+ 5 ) k e y w o r d s ：t h ei n d e xo fc o m p o s i t i o no fa ni n t e g e r ，e x p o n e n t i a ls u m ，a n a l y t i c m e t h o d 6 c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 6 4 山东师范大学硕士学位论文 符号说明付丐说明 文中未加说明的字母均表整数以下是文中用到的符号的通用意义，个别地方 有不同含义则将明确说明 n ， z i l q 0 p n x i 磊r 1 t l 佗一v nx p ( 扎) d ( n ) ， ) g ( z ) 跪u 全体自然数，即正整数组成的集合 分别表示实数。的整数部分和小数部分 表示实数q 离最近整数的距离 表示对不超过实数z 的正整数n 求和 n 2 表示1 1 m s a 2 x i 导i 表示n 佗2 n 表示c l n 仡c 2 n ，c 1 ，c 2 为正常数 表示m s b i u s 函数 表示除数函数，即n 的正除数的个数 表示任意小的正常数，在不同式中不必相同 表示存在正常数c ，使得，( z ) c 1 9 ( z ) l ，即，( z ) = o ( 夕( z ) ) 表示u 的实部 7 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特 别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：呈栖掏 导师签字： 胡易 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适 用本授权书) 学位论文作者签名：g 柚栖 签字日期：2 0 毋年 铷粹撕 争月l 日签字日期：2 。9 年细l 日 i 山东师范大学硕士学位论文 问题介绍 自然数分解的指标的均值问题 1 引言 对于每个几2 的整数，令a ( 佗) ：= 近l o 写g 两n 为自然数他的指标分解，其中 7 ( 仡) ：= h p 我们记a ( 1 ) = 7 ( 1 ) = 1 自然数分解的指标均值问题是数论中的重要 p i t , 问题之一，许多人对这一问题进行了深入的研究d ek o n i n c k 和d o y o n 1 1 首先研 究了a ( 几) 的均值，他们得到了关于入( n ) 的渐近公式 坳)=z+c硪x+d(i毫)nx uo 和 三r 1 ( 垆时叫去) ， n 茁 一 其中c 2 莩而l o g p 0 7 5 5 3 6 这两个渐近公式表刚啪阶平均是1 d ek o n i n c k 和k 吞t a i 2 】证明了关于入( n ) 均值更好的结果，他们证明了渐近公式 h 入( n ) = u + o ( 1 0 - 基) x n z + 暑， 和 ，薹。入。( 咒) 2 + d 硒y ) z 孔s 筇+ u 当y = z l 0 9 3x 时成立当y = 面，他们证明了对于任意的整数，y l ，存在可计算 的c l ，c r ，d l ，d r 使得 ，羔一) = 历+ 薹勺最+ d ( 最) o n s x - i - v - i j 2 1 。 和 ， 一一 薹石r 1 ( 啦历+ 善嘭豪+ 0 ( 最) o r i s z + 、面 ，= l uu 8 山东师范大学硕士学位论文 成立，而且他们证明了 三h + 喜弓赤+ d ( 赤)n 气z = l v v 和 一(啦z+三弓丧+d(南)，nx = 工 u 一 其中弓，弓0 1 ) 是可以计算的常数 翟文广f 3 】利用s c l b e r g 方法研究了a ( 佗) 的高次均值，并证明了渐近公式 a 七( 扎) = z 。i k ( h , z ) l o g kz d z + o ( z + 8 ) 其中 日( u ) ：= l - 。i ( 1 三) ( 1 + 石= 之i ) ( 一1 瓣让 0 是正常数，而瓯，歹。，( j l = 1 ，2 ，七) ，嚷，j 2 ，( 歹2 = 1 ，2 ，k 一1 ) ，都是可计算 的常数 注：定理1 改进了翟文广【3 l 中的结果由于余项中z 的指数；是由( s ) 函数的非 零区域决定的在黎曼假设没有被证明的情况下我们很自然地考虑在黎曼假设下， 令上式中a ( x ) ：= z 主1e 吖1 0 9 钆( 1 0 9 l o g x ) ，a ( x ) 会有怎样的上界 9 0 d+ 旦毗z 肚v 砖触 + i i 啦 和 山东师范大学硕士学位论文 本文利用解析方法和指数和估计的方法，证明了 定理2 若黎曼假设成立，贝l ( z ) = d ( z 。备+ e ) 2 基本引理 下面是本文需要用到的一些基本引理 引理1 设佗一时，( z ) p ，7 ( z ) a ，则 暑蛐( 。，南) ( 尸+ 1 ) ( d + a - 1 ) l o g ( 2 + a - a ) 证明见c 。h 。j i a 【8 】 引理2 设f ( u ) 为【a ，6 】上三次连续可微函数，则 一 ，dp d 伽) 2 ( 伽) 如叫6 ) 帅) 州8 ) 始) 蝴( w 如) 呐( 彬，( 口) 一疋州缸) 广( 珏) 妣 a n b jnj 口 这里 帅) 却) - 丢，州归譬二斜+ 西1 证明见潘承洞，潘承彪【1 9 1 引理3 对任意的h o 2 ，有 帅) 1 篆协擗( 胁) + d ( 1 h h o6 ( 懈啪+ d ( 匆l 川s 协 一一 ” 这里 n ( ) 元1 ，瓦1 证明见j d v a a l e r 1 4 1 0 引理4 设f ( t ) = e ( ，( 托) ) ，钍= 泥村+ i v 为复变量，则 n n t 几- 2 “e ( m ) ) t - - 2 豫u m a x 2 jf ( 圳 n n 一 山东师范大学硕士学位论文 证明由a b e l 求和公式，得 善佗。2 m 胪- 2 瓢厶厂2 斑烈日力 倒 ：_ 2 鼽f ( t ) t - 2 v ii 妒+ n - 2 瓣u 2 v i f ( t ) t 。2 仉- 1d t ( 2 1 ) = n _ 2 瓣u f ( 2 n ) ( 2 n ) _ 2 们+ n - 2 跄u 2 v i f ( t ) t _ 2 优d t 令f ( t o ) = f m a x ( t ) ，对( 2 1 ) 式中积分利用拉格朗日中值定理，得 n - 2 u e ( ，( n ) ) tn 一2 鼽lf ( 2 n ) l + 吨鼽if ( t o ) il o gn t 捌un 猫l 荆l 引理得证 引理5 设( 扎) 为任意复数，l q n ，则 in n 2 n 洲2 等壹q = 0 ( 1 一护 三0 佗) 而 。 s 缸s 2 一g 证明见c h j i af 8 】 口 引理6 假设，( 佗) 为定义在区间【，1 】( 其中2 n n i 2 n ) 上的实 值函数若i ，o ) ( 挖) ix 久1 n 一什10 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) ，则 e ( ，( 扎) ) 入f 1 + 埘一， n n 0 ，7 是实数，s ( h ，n ，7 ) 是满足不等式 i 1 砖一h 2 n 7i ，h i ，h 2 日；t 1 , 1 ，r t 2 一 的解数，则 s ( h ，n ，7 ) h n l 0 9 2 2 h n + 日2 证明见d r h e a t h b r o w n 【9 】 引理9 设，( 佗) = m ( x ) + d ( 扩托) ，其中m ( x ) c 1 【1 ，o o ) 则对于任意固 n s 王 定的j ，我们有 ，( 诧) l 耐珏= 7 ：+ o ( z 帆) o m ( = ) l o g sd z n r ”。 证明使用a b e l 求和公式易证 引理1 0 f ( z ) = l o g n = z 最( 1 0 9 z ) + o ( 1 0 9 七z ) ， n 茁 其中最( z ) 是z 的k 次多项式 证明使用a b e l 求和公式， f ( z ) = l o g 后他 n z g x = ，l o g 七t d ( t 一砂( ) ) j 1 = f l x l o g k t 疵一1 $ o g k t 却( t ) = z 。，。g 七z 出一妒( t ) - 。g 七t 慝+ 是z z 学班 = t 。g 忌亡曙一尼f l x l o g c - 1 t 出一砂( z ) l o g k x + k f t 学班 = x l o g 七z k x l o g 七一1z + k ( k 一1 ) x l o g 七一2z + 一妒( z ) l o g 知z + 七厂z 业嵝班 ，1 石 = z 最( 1 0 9x ) + o ( 1 0 9 詹z ) 1 2 引理1 l 设“为复变量，则 铲= ( ( 一珏) + 而+ 妒( z ) z u + d ( z 扯1 ) 巾1 + t i n z 口 山东师范大学硕士学位论文 证明使用a b e l 求和公式易证 引理1 2 设a ，b i j a i j b 是正数，q 1 ：q 2 是实数且0 o l j 口 p 0 令 危( 佗) = ，( m ) 9 ( z ) ， n n = m l 则 3 ( 扎) = 吃z 叼+ o ( x 口) n s 霉j = l 证明见a i v i d 4 3 指数和的估计 指数和的估计是本文的关键步骤，所以先来证明以下四个引理 引理1 4 设 韪= s t ( 日，m ，) = p ( m ) 三e 丽h x ) ， m m 。譬：炙。 则有 s i l 一1 m ( h n ) 1 2 + f 1 4 m 1 2 ( 日) 3 4 + f 1 6 m 4 6 ( 日) 5 6 ， 其中f = 日( 赤) ，l = l o g x ，a h 1 证明 设q 是一待定正整数，因为0 矿h 矿2 h ，所以我们将所有数组( 亿，尼) 山东师范大学硕士学位论文 一 构成的集合分成q 个子集毛( 1 q q ) ；当( 佗，h ) t q 时，满足 掣 嘉 高 v vv 。v 。v 因此，我们有 q， 研= ( 懈) 8 孵( 舞) 朋 m 2 m q = l n ，h ) e t q 利用柯西不等式。得 其中 sm q 肛( 仇) i e h x ，) f 2 朋 m 2 mq = l m ，h ) e y ； n p ( m ) 壹 e ( 石烈并h 一鲁) ) ( 3 1 ) m m z m q = l 1 ，h i ) ，【m ，h 2 ) e 7 j 。 m q ie ( 嘉入) i ， 丢咖加z州a=鲁一急川f篇1( ) 1 。 对( 3 1 ) 式中的和式，利用引理6 取( k ，入) = ( 1 2 ，1 2 ) ，得 2 m q 吾m i l l ( m 百m 3 + ( 豢) 1 2 呐 m 2 q 爱：1 + m 驯x a ) l 2 m 1 2 蔷1 + m q m z 3 m a 等x - 1 轰l ( 1 ) ( 1 ) 一二ho 1 s 警 ”4 s 一m 2 q ( 日? + 等日4 ) + m q ( 蔷) 1 2 ( 日+ 入h n 4 ) + m q 等嚣! 翌a - i ( 日+ 日4 ) 一 m 2 q h 日n 霭篙( h n 掣h z n zy 删4 ) 慨2 ， + 肘q ( 蔷) v 2 + 丁 m 2 q h n + m ( 淼) v 2 q v 2 q 。h n q h n 4 对( 3 2 ) 式利用引理1 2 ，选取q ，1 qsh n ，得 s l 一2 m 2 h n + m f l 2 ( 日) 3 2 + ( ( h n m 2 ) 1 2 m f l 2 h 2 n 2 ) ) 2 7 3 m 2 h n + m f i 2 ( 刚v ) 3 2 + f 1 3 1 1 1 4 3 ( h n ) 粥 1 4 山东师范大学硕士学位论文 引理得证 则有 引理1 5 设 & = 岛( 日，m ：) = 弘( m ) a h e ( m m _ l “日。呈：煲。 h x l 2 m 几l 2 & l 一1 m ( h n ) 1 2 + f 1 4 m 1 2 ( h ) 3 4 + f 1 6 m 4 6 ( h ) 5 6 ， 其中f = 日( 意扬) ，l = l o g x ，1 证明引理1 5 的证明完全类似于引理1 4 则有 引理1 6 设 岛= s i ( h ，m ，) = p ( m ) m m 一h 口h e ( 鬲h 孬x ) ， 研m 1 4 h 5 4 2 1 4 + m 1 3 n 1 6 h 7 6 2 1 6 + m n l 2 h 这里 2 n 证明首先，令 h ( h x ) i 2 h m 3 2 nh ( h z ) 1 4 。m l 2 n。f h x ) l 4 。n i 4 s l ( h ) = p ( m ) 竹i m 对( 3 3 ) 式利用柯西不等式及引理5 ，得 令 s l ( h ) 1 2 = lp ( 仇) 1 2 i m m n ( n m 2 n 3 mr z j t r l m n n ， m 2 n 3 2 ，施、 e ( 瓣) 口h e ( 磊h 语x ) 。 c 等薹c l 一弓，吩n n n 。t - q e c 等c 去一 竿+ 可4 m n ( 苎q = o ( 1 一虿q ) 乳 m , v mn _ n n i - q + g ) 2 e l m h x 。( n l i e lm 。n i 一 ) _ 。丢萎， e im h x 啊( 1 一南) ) ， m 一 彳 n 7 - q 。 、 17 + 口) 2 口 口 ( 3 3 ) ) ) ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 1 5 髫 n ”豁 山东师范大学硕士学位论文 对( 3 5 ) 式应用引理7 ，得 踯，2 荟m 咿炯磊m ，e 耥v 他 m 。r 1r m l r n f m 、 一，i 其中 f ( m 川刁h x ( _ - 1南) ，关似删孔g = 堕o n 2 帆顽删， s ( m ，r ) = f ( m ，9 ( m ，r ) ) 一姐( m ，r ) ，r 。( m ) = 篆( m ，) ，r z ( m ) = 荔( m ，2 一g ) ， r l ( 仇) ，r 2 ( m ) 一丽h x q ， r 2 = m a x ( t 2 ) ， r = 。( 1 0 9 x + 面m 2 n 4 ) + 砒( m 、，n 例s 2 ，斋) + 妇( 1 、，i n 例5 2 ，高) ( 3 6 ) 利用上式及引理1 ，得 ， 一耋蒹。rmnlogx+e。兰，(1+器nxq八、(等+等111。i、，=灿gzlmm 一r + + 舻4 ，、筹嘉+ 瓦了) l o g z 口= m 2口= 1 。 - 11 m n l o gx + x l 2 h 1 2 矿2 n 一3 2 m l o g x 所以 nv，、 薹踯) q - - - - 1 1 1 r r 2i 量e ( 湍i i 卅删l o g z ( 3 - 7 ) o 一1 m ，r v 。， o o ， + z 1 2 h 1 2 q 3 2 n 3 2 m 一1l o gx ， 。这里厶是【尬2 m 的个子区间， g ( m ) = c ( m ，7 ) ，8 ( m ) = 8 ( m ，r ) ，g ( m ) = g ( m ，7 _ ) 下面证明g ( m ) 单调，且满足 g ( m ) 一蒜，s ( 仇) 一蒜，s ”( m ) 一蒜 因为 篙c ，一万h x qz 1 南， 利用纂m ，g ( m ，r ) ) ：，对m 求导，可得 1 6 9 ，( m ) = 一丽39 ( m ) ( 1 + d ( 昌) ) ， g ( m ) = 丽0 2 ft r m 矧州) = 1 8 两h x 丽q ( 1 + 。( 熹) ) 山东师范大学硕士学位论文 另外 s ( m ) = 一i ( h x q r l 4 m - 3 2 一蒜， s ，( m ) 一一蒜 利用引理6 ，我们取( 托，入) = ( 丢， ) ，可得 墨鲫) 吾q 丽h x q 而m n 5 2 ( 2 旦m 3 2 n 3 2 + 酉m 3 n 3 ) + m n l + x l 2 h 1 2 q 3 2 n 一3 2 m 一1l o gx ( 3 8 ) 篇+ 两m 2 n s 2 q 1 2 + + m n l + x l 2 h 1 2 z - 3 惭。厶 将( 3 8 ) 代回( 3 4 ) ，我们可得 m ) 1 2 字+ 4 m v n ( 朋h x 训q 2 。+ 雨m 2 n 3 2 q 1 2 + + m n l + x l 2 h 1 2 q 3 2 _ 3 2 q ，4 2 1 1 2 2 4 h x q 4 2 1 1 3 n 5 24 m 2 n 2 l4 h l 2 x l 2 q l 2 l r 一l 一二j r 一上一1 一 一 q m n 2 h 1 2 x l 2 q 1 2 qn 1 2 m 2 n 2 l h x q m 3 n s 2 h u 2 x l 2 q u 2 l 丁+ 瓦力萨+ h l 2 x l 2 q 1 2 + 丙可虿一 对( 3 9 ) 式使用引理1 2 ，选取适当q ，1 q n ，得 即 s l ( h ) 1 2 m 1 2 h 1 2 2 1 2 + m 2 3 n 1 3 h 1 3 x 1 3 + m 2 n 。h x m 3 n 2 ( h x ) 1 2 。m 2 。f h x ) i 2 n 1 2 s l ( h ) m 1 4 h 1 4 2 1 4 + m 1 3 n 1 6 h 1 6 2 1 6 + m n l 2 + 五( h 孑x 而) 1 2 + 石m 毋3 2 n + ( h 天x 矿) i 4 由上式对h 求和引理成立 引理1 7 设 岛咧删) 2 点咖) 篆三，吣( 丽h x l 2 m h ) ， 竹t 矗“，。， r ， ( 3 9 ) 口 山东师范大学硕士学位论文 则有 岛m 1 1 2 n 3 1 8 h s 4 x v s + m 1 2 n 5 1 2 h t 6 x l 1 2 + m n l 2 h + 这里 2 n 证明首先，令 h 3 2 x 1 4 n i 4 m s l 4 n s l s h 3 4 + j 7 广。 z 1 ，u s 2 ( h ) = p ( m ) m m a b e ( n ， m 2 n 3 2 对和式( 3 1 0 ) 利用柯西不等式及引理5 ，得 s 2 ( h ) j 2 = ip ( m ) 1 2 m m e ( ，l m 2 n 3 2 h x l 2 m 咒】2) 1 2 对于和式( 3 1 1 ) ，有 s a ( h ) = 对( 3 1 2 ) 应用引理7 ，得 其中 1 8 m m n n n - q h x l 2 m 佗l 2 e ( h x 1 2 ( 1 mn l 2 一 e i 一 、 ( n + q ) 1 2 鲫，。三e c 如7 1 萎。揣仙 m m 。 ( 仇) r l ) vi 。，i ( m ，彬= _ h x l - 2 ( 历1 一 ( 住+ q ) i i 2 ) ) ) ( 3 ，1 0 ) ( n + q ) 1 1 2 ) ) ) ( 3 1 1 ) ( 3 ，1 2 ) ) ，荔( m ，9 ( 哪) ) _ r g ( ) = 筹( 咖( m r ) ) s ( m ，r ) = f ( m , g ( m ，r ) ) 一佃( m ，r ) ，r - ( m ) = 凳( 仇，) ，r 。( m ) = 髦( 仇，2 n q ) ， r l ( m ) ，r 2 ( m ) 。丽h x l 2 q ， 冗= 。( 1 0 9 x + 面h x l 丽2 q ) + r a i n ( r l = m i n ( r 1 ) ，r 2 = m a x ( r 2 ) ， m 1 2 n 7 21 、，m 1 2 n t 2 1 丽丽) + 叫n 丽t l z ( m ) l l 南击 万胆一 一 一竹b 群 丝m 叫警点 山东师范大学硕士学位论文 所以 m i 2 n t 2m 2 n s 2 刁i 霭虿+ 。瓦刀虿 m nl o gx + x l 4 h 1 2 q 3 2 n 一3 4 m m l o gx qq s 4 ( h ) i q - - - - 1 q = lr l r r 2m e i re ( 湍) j + m n l o g z + z 1 4 h 1 2 q 3 2 n 一3 4 m m l o gx ， 是【m ，2 m 1 的一个子区问， g ( m ) = a ( m ，r ) ，s ( m ) = s ( m ，r ) ，g ( m ) = g ( m ，r ) ， 下面证明o ( m ) 单调，且满足 g ( m ) 。画h x 丽l 2 q ，s 7 ( m ) 一 因为 a 尹，、 丢( m ，佗) = c ，礼 。 羔 s ，( m ) 篇 3 h x l 2 9 4 l 利用甏( m ，g ( m ，r ) ) = r 对m 求导，- - f 得 另外 夕( m ) = 一蕊39 ( m ) ( 1 + d ( 品) ) ， ( t , + q ) 5 2 g 7 ( m ) = 丽o q 2 fl , m ，9 ( m ) ) = 1 8 磊预h x q ( 1 + 。( 导) ) s 7 ( m ) s ”( m ) = 一去( k g r 3 ) 1 4 m 一 h x q m 3 n 3 2 利用引理6 分部求和我们取( 尤，a ) = ( ，圭) ，可得 q q = l甄( 危) q 而h x l 而2 qq = 1 1 7 1 1 1 2 n 7 4 ( m 1 2 h x l 2 q m 2 3 2 + m l + x i 4 h 1 2 q 3 2 n 一3 4 m 一1 2l o gz 、l o g z 篇+ 而m 3 2 n s 4 q + m n l + x l l 4 h 1 2 z 胪_ 1 纥， 1 9 山东师范大学硕士学位论文 将( 3 1 3 ) 代回( 3 1 1 ) ，我们可得 l 岛( 危) 1 2 4 m 2 n 2 q 4 m n ，h x q 2 m 3 2 n 3 4 q t q 、m n 3 2 i h l 2 x l 4 + m 三+ x l 4 h 1 2 q 3 2 n 一3 4 m 一1 2 l ) 4 m 2 n 2 4 h x l 2 q 丁+ 可+ 4 m 2 n 2 l + 矿 4 m s l 2n t 4 h l 2 x l a q l 2 + 4 h 1 2 2 1 4 q 1 2 m 1 2 n 1 4 丁m 2 n 2 l + 可h x z 矿2 q +丁+ 而+ m s l 2 n t a h l 2 x l a q l 2+ h l l 2 2 1 4 q 1 2 m 1 2 n 对和式( 3 1 4 ) 使用引理1 2 ，选取适当q ，1 q n ，得 即 s 2 ( h ) 1 2 m n 3 4 h 1 2 2 1 4 + m n 5 6 h 1 3 2 1 6 + m 2 n + m s 2 n s 4 h 1 2 x 1 1 4 + m l l 2 n w 4 h u 2 2 1 4 m n 3 净h 1 2 净+ m n 与1 6 h z l a x l l 6 + m 2 n + h x l 2 m s 2 n s 4 n 1 2 岛( 危) m 1 2 n 3 8 h 1 4 2 1 8 + m 1 2 n 5 1 2 h 1 6 2 1 ，1 2 + m n l 2 + h 1 2 x l 4a i s 4 n s s n 1 4 上式对h 求和引理成立 4 定理1 的证明 在证明定理之前，我们需要首先证明如下命题： 命题1 我们有 1 。g 詹( ，y ( 佗) ) = p k ( 1 。g x ) x + q ( 1 。g x ) x + d ( z 盖e 6 ( z ) ， n 1 3 + 孚是绝对一致收敛 由( 4 1 ) ，f 4 2 ) ，f 4 3 1 ，f 4 4 1 f 4 5 1 得 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 2 1 掣 山东师范大学硕士学位论文 对( 4 6 ) 式左端求锃的免次导数并令缸= 0 ，得 o 。 一y “( n ) ( 七) 死5 对( 4 6 ) 式右端由莱布尼茨公式，得 ( a b c d ) 忌= i l + t 2 + i 3 + i 4 = 七 i 11 i 21 i 3 1 i 41 i t ：0 a ( i 1 _ ) b ( i 2 ) c ( i 3 ) d ( i 4 ) 其中4 = ( ( s u ) ，b = ( ( 2 s u ) ，c = 豳，d = g i ( s ，乱) ) ，有 ( 等掣g 1 ( s 圳砷 ：淼似一u 严t ) 纰s 一乱z ) ( t l + i 2 鲁讧蠡幽! 纳4 1 。叫7 、 对上式令u = 0 ， 易见 我们假定 a ( i l ) b ( i 2 ) ( ( 2 5 2 乱) c 薹争) 暑学k 。 r o o l o g h n 4 妒 e 1 = 上 c 薹争) f ( s ；i l ，i 2 ) = a 口( 唑h ( s ；i 3 ) = c ( i 3 ) ， ) ( i 3 ) g 1 ( s ，乱) ( f l 山东师范大学硕士学位论文 所以我们有 由双曲求和公式，得 这里 f ( s ；i l ，i 2 ) = a ( 1 ) b ( i 2 ) f ( 1 ；i l ，i 2 ) z z = l o g n n l o g 赴m n m 2 z l o g n 他l o g 幻m + n x l 3 m ( 署) 1 2 m 正1 3 l o g 缸7 , l o g 如m n _ x a a m x l 3 = 1 + e 2 一3 ， l 0 9 2 27 , i t 2 8 l o g 如m ， m s ( 吾) 1 2 2 = l o g 2m l o g l 亿， m x m m 寿 3 = l o g n 佗l o g 2 n x l a r n _ x l l 3 我们首先计算1 由引理1 0 ，得 这里 ，= n x l l a1 - 他( 荔蹦l 。g 莎x l 2 ) + 0 ( 1 曾荔) ) n 三。警l o g * ln 踯g 荔m c = 尬( z ) + d ( e 1 ( z ) ) e l ( x ) = n x l 3 n x l a ( 4 7 ) l o g hn 1 。g 幻丽x l 2 t ) ( 4 8 ) , 1 ， 坐砌一一丽xl2nl2 k t u e , 1 2 ) ， 1 扎 ， l o g n 耐：荔， 2 3 珏 = g 0 驯n l i 其中只：( z ) 容易计算 = x l o g 2z i 2 x l o g 2 1z + i 2 ( i 2 1 ) x l o g 2 2z + 一妒( z ) l o g i 2z 1 2d 9 9b 蚴( z ) = 一b = o c = o 2 6 2 1 7 21 0 9 b - c x + 2 x u a 2 6 l o g b e z q t 拟亏1 b = o c = o l 0 9 2 ) v i 2 b ff ：，二 b = oc = o 1 2 置( 。) = z 吾 z l 十c 1 2 2扫 2 6 2 2 3j o 矿吖z 磋+ 。咭l o g z ) + o ( x k 2 6 x l o g n + 6 z ) d = l o b = oc = o b f 2 b xl o g i l + b x j ：_ 一 b = oc = o = o ( x kt o g n + 2z 1 。 将( 4 9 ) 代入( 4 8 ) 可得 l = 一 z 丢l o g b - c z p 。+ 。( j 11 0 9z ) 托吾壹( 三) a b z ；j o g i l + c + c ( jl o g z ) + 。( z 丢l o g i x + i 2x b-cx 1 ) ， 托吾( 喜) 6 z ；j 。g+ c ( 互l o g z ) + o ( z 丢 ) ， b = o 。c = o d = l ” 我们接着计算2 由引理1 0 ，得 这里 2 4 2 = m x l a = z l 。g 2m ( 嘉只。( 1 0 9 嘉) + d ( 1 0 9 i 1 嘉) ) m 茹l 3l o 芝仇：m 蚀p ( 1 。g 嘉) + d ( m 2 ( x ) + d ( e 2 ( z ) ) ， m 2 ( x ) = z 励( z ) = 仇 z 1 3 l o g 如m l o g n m x x a i l 0 9 2 2 厂m 局_ ，( 1 。g 嘉) ， 1 。g 如m l o g n 嘉 r n _ # l 3 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 嘉) ( 4 1 1 ) 。咖 赴 地渤 山东师范大学硕士学位论文 容易计算 l lj m 2 ( x ) = 一 j = os = o 易( z ) = 壹2 s x 2 3l o - 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