（应用数学专业论文）browder型变分不等式和变分包含问题的研究.pdf

b r o w d e r 型变分不等式和变分包含问题的研究 摘要本文在实自反b a n a c h 空间中研究b r o w d e r 测集值变分不簿式，用补 绥豹方法讨论了这类滔题翳熬存在蛙，疑褥瓣结果是一热熟知结果的敬进和撞广 用单调映射的预解算子与y o s i d a 近似技巧和拓扑度方法讨论b r o w d e r 型集值变 分包含怒豹存农性闯题，改遴翻推广了【6 ，7 ，8 ，9 ，1 3 的相关结果+ 最后，在 致凸和一致光滑b a n a c h 空间中建立了遗类变分包含解的一个i s h i k a w a 型迭代 算法全文分旋节第一节是引言第二节是预备知识+ 第三节讨论实自反 b a n a c h 空间中广义b r o w d e r 凝集值交分不等式问题籀褡节讨论实鑫反b a n a c h 空间中b r o w d e r 型集值变分包含解的存在性问题第五节在一致凸和一致光滑 b a n a c h 空阕中讨论ti s h i k a w a 鳖迭我程黪静收敛往。我销戆结栗臻广了【2 霹牵 的相应结果 关键词g r o w d e r 型集值变分不等式；集值变分包含；极大单调映射；补 偿簿孑；y o s i d a 近织；预解辫予 s t u d yo np r o b l e m so fb r o w d e rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a n dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s a b s t r a c ti nt h i sp a p e r , w es t u d y1 3 r o w d e rs e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s i nr e a lr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s ，a n dw ed i s c u s sa l le x i s t e n c et h e o r e mo fs o l u t i o n s b yu s i n gp e n a l t yt e c h n i q u e o u rr e s u l t si m p r o v ea n dg e n e r a l i z em a n yk n o w nr e s u i t s b yu s i n gt h et e c h n i q u eo ft h er e s o l v e n to p e r a t o ra n dy o s i d aa p p r o x i m a n to f m o n o t o n em a p p i n g sa n dt o p o l o g i c a ld e g r e em e t h o d si n r e a lr e f l e x i v eb a n a c h s p a c e s ，w ed i s c u s s a l le x i s t e n c et h e o r e mo fs o l u t i o n sf o rb r o w d e rs e t v a l u e d v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s ，i m p r o v ea n de x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so f 6 ，7 ，8 ，9 ，1 3 1 f i n a l l y , 靴s u g g e s tr ni t e r a t i v ea l g o r i t h mf o rf i n d i n gt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no ft h i s c l a s so fi n c l u s i o n si nau n i f o r m l yc o n v e xa n du n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of i v es e c t i o u s ，t h ef i r s ts e c t i o ni sa ni n t r o d u c t i o n ，t h e s e c o n ds e c t i o ni sp r e l i m i n a r i e s 。i ns e c t i o nt h r e e ，v e ed i s c u s sg e n e r a l i z e db r o w d e r s e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e si nr e a lr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e s i ns e c t i o nf o u r , w ed i s c u s sa de x i s t e n c ef l a e o r e mo fs o l u t i o n sf o rac l a s so fb r o w d e rs e t v a l u e d v a r i a t i o n a li n c l u s i o n s i ns e c t i o nf i v e ，w ed i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo ft s h i k a w a i t e r a t i o np r o c e s si nau n i f o r m l yc o n v e xa n du n i f o r m l ys m o o t hb a n a c h s p a c e o u r r e s u l t sg e n e r a l i z es o m er e s u l t si n 2 7 k e y w o r d b r o w d e rs e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ；s e t - v a l u e dv a r i m i o n a l i n c l u s i o n s ；m a x i m a lm o n o t o n em a p p i n g ；p e n a l t yo p e r a t o r ；y o s i d aa p p r o x i m a n t ； r e s o l v e n to p e r a t o r 独创健声明 零人声臻掰墨交熬学位论文楚零人在浮萍捂簪下进行既研究王作及取得豹 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方岁 ，论文中不包含其 佳人已经发表或撰写过驰研究成果，也不瞧含为获褥直墨态堂袋箕毡教肖掇 梭静学霞藏诞书嚣使用避兹毒季辩。 学位论文修者签鑫：签字髫鬻：枷年是f 8 自 学位论文版权使用授权书 本学袋论文终者旁全7 簿塞篓太掌袁关辍簦、蹙建学锭豫文懿麓定， 卷权傈霪并向霜豢有关帮船或杭梅送交论文静复印件移磁纛，兔诲论文被套溺和 借阅。本人授权随昌态燮可以将学能论文的全部戴部分内容编入有关数据艨谶 行检索，以聚熙影印、缭窜或翅描等复制手段保存、汇缓学位论文。 ( 僳密豹攀艇论文程瓣密岳逶搿零授投书) 虢盖掰 籀字目期：硝蕊年6 月( g 露 学位论文作兹毕弛后去向 工作单位： 遘 嚣途趣 导师签名： 别缆耩 签字甜期：a 卯舞6 月( 细 电话： 鼙缡； b r o w d e r 型变分不等式和变分包含问题的研究 一弓 言 、 变分不等式不仅推动与非线性偏微分方稷脊关新结果的出现，而且在力举、物理学、最 优化与控制、非线性规划、经济、金融、建筑、运输和工程科学等许多问题中广泛应用最 遥死年，学者 j 镬鬻一些薮戆簸掰锭变势不等式磺究蠹它蠡冬瀑发窝广整发震，德囊亨诲多毒 罔的结果另外，有用而重要的推广就是变分包含，吸引了许多学者的关注，已成为变分不 等式问题研究中嫩活跃的课题之一 设盖 f f lz 鑫b a n a c h 空离，x 秀x 酶对德空蓠0 ) 衰承茁与盖蘸舞然酝霹， 1 9 6 5 年，b r o w d e r 【l 】提出了以下问题：设蔗c x 是非空闭凸集，t ：k 一置是单调 棼予t 嵇盖，袋接趸，壤褥 ( n 。一出，v - r o ) 急0 ， v v 嚣( 1 1 ) 农强制条件下，得型一个存在矬定理。 1 9 6 7 年，m o s c o 2 对b r o w d e r 的结果作了遴步的改进 + 1 9 7 8 年，p a s c a l i 和s b u d a n 【3 】将上述问题进行了推广：委找“o 世，使得 t u 。一留，v - - u 。) 羔，& 。一，( p ) ，v v 茗， ( 1 。2 ) 其中，：z 一只u + 。) 是一凸下半连续泛函，鼠，( o ) = o ，并指出阿题( 1 2 ) 可以归为问 题( i 。1 ) 1 9 9 7 年，v e r m a 等【4 1 把阿题( i ，1 ) 推广为以下形式：设膨c x 是一稚空瀣凸集， s ，t ：k 一盖+ 是单值映射，盖，要找g 麒，使得 s u o 一妇。- - a ，v 一“。) 麓0 ，￥v 髹， ，( 1 。3 ) 他得到了一个充分必要条件 2 0 0 3 年，c h o 等1 5 】引进并研究更为一般的，他们称之为广义集值强非线性交分不等式 问题：设x 是实国反b a n a c h 空间，定c x 是一非空闭凸集，s ，t ：k 一2 楚粲值映射， ( ，) ：盖x x + 一x + 是单值映射，：k 一只u + 。) 最舆凸泛函这个问题是： v 船盖+ ，要我“o x ，使褥 s u p ( n ( x ，w ) 一口，v 一) + ( v ) 一( ) - 0 ， v v e f ( i 4 ) x e s u o w e t u n 德靛褥蔓；解存在弱个充分必要条裁：积l 个存簌缝定理。 。 我们知道，若泛函厂：x 砷心u + o o 是次可微的，则问题( 1 4 ) 可猷葛成以下形式 c oe n ( x ，w ) + o f ( u ) ( 1 5 ) 麓中o f 表示，f 辱次微分，称它为焚分包含闯题变分包含闯熬簸旱是由n o o r 6 在h i l b e r t 空间引进并研究的，以后有不少人研究( 参见 7 8 ，9 ，1 0 ，1i ，1 2 j ) 本文戆嚣麴楚：( 1 ) 我粕褥继续臻究影鲡 ，f 6 ，7 ，1 0 ，1 3 ，1 4 j 等凌h i t b e r t 空两中讨论遘 2 0 我们此处的变分包含与【1 1 ，1 2 】等讨论的变分包含是不一样的，他们涉及的缺射是 菇期z 静，两藏处静映射楚彤掰石+ 后者疆究静少 本文我们将作如f 安排；第节是引言第二节是预备知识第三节在安自反b a n a c h 空翅中讨论b r o w d e r 型集值变分不等式闽题第趣节在实自反b a n a c h 空间中讨论集值变分 包含解的存在瞧问题我鲥健翻的方法是补偿方法、荜调簿子的鞭解算予技巧、襁羚度方法， 我们的目标是希姐在较为宽松的条件下，得到解的新的存谯性定理第五节，我们给出 b r o w d e r 型变分不等式的一个赫姻算法 ：预备知识 零交慈鬏定岩建实雪& 羟船自爱瓣，z 隽舅鑫孽瓣稿空惩，t 表示z 与彭。齄垒熬琵嚣 设，：z 寸2 。是由 j ( x ) = n ( 薯力= 晰= 孵 定义的正规对偶映射众所周知，菪x 是光滑的，则，是单值的，单值正规对偶映射记为t ， 幽肖是一致光滑时，j 在有界集上一致连续( 参见 3 ，p 1 】0 j ) 对任何集0 0 搿，我们定义 蚓。“留“扎篡强彩 定义2 1 吲设r ：d ( r ) c 峥2 。是集值映射 ( t ) 映射丁是单调的，如果坛，y d ( 了1 ) ，肖 ( “一v x - y ) _ o ， u e t x ，v 黟 ( 2 ) 映射t 悬髓一强单调的，如聚存在连缕严格增加的实函数 搿磐) ：，+ ) 【o ，。) ，搿( o ) = o ，g ) 争+ 当f 手十。，v x ，y d r ) ，宥 ( , - - v ，x y ) 口( | | x y l ) i x - y l i ， “s t x ，v z y 蔷岱0 ) = k t ，k 0 ，n n t 照囊一强单调懿。 ( 3 ) 映射r 是极大单调的，如粜v 丑 0 ( 或菜个五。 0 ) r ( t + a j ) ；+ 建义2 2 p ，1 5 1 缓设名是实( 严格凸) 是反嚣勰础空翔，没t ：d ( t ) c x - - 2 f 是 极大单调映射设五0 对“，设工是方程 o j ( x - o + z r 的解t 即存谯解f 墨，】g ( r ) ，使j ( x - u ) + a f = o 。令厂= 瓦融x = j u ，剥 瓦：x _ x + ，j ：x 叶d ( t 1 分别称为t 的，饥f 出近似和预解算子 滏 五，l 祷鞋下性质( 露f 1 5 ，p l o s ) ： ( 1 ) 乃是极大单调的和d e m i 一连续的单调映射( 见定义2 3 ) + 是有界、靠m f 一连续、单 调的且满足 k = k 群( 户) = 尹) 。p 盖：p x 。0 则称p 为k 的补偿算子( p e n a l t yo p e r a t o r ) 洼2 2 可以骏溅，若& ：彤一发为五上豹投影算予，则映射户= ，( ，一) 为墨上 的补偿算子( 参觅f 3 ，p 2 6 7 ) 定义2 5 ( 1 ) 称映射r ：d ( r ) x 寸2 是强制的，如果存在c ：以峥r ， e ( r ) - - ”v ( r 斗，使得 ( 厂，x ) - c ( i n i ) i n i ，v k 】g ( r ) ( 2 ) 棼浃嚣：移p ) c 盖。2 关予蠢石+ 楚强翻戆，擞象存在常数，o ，爱零当 i x l l - r ，x ed ( r ) 时，有 f - h ，x ) 馥 v 致 d 注2 3 若映射r 是强制的，则它关于任意的h x 也熄强制的另外，若映射 于：d ( r ) c x - * 2 。是极太孳调敬鼹且是强裂熬，刘r 是满射显瑟，p 1 2 1 】 定义2 6 1 6 设c 是自反曰口h a c h 空间z 中的闭凸集，映射t ：c - - - 2 r 称为伪单调 的，如果满足条件： ( 只) 对每一x 若e 强是z + 中的非空麓函禁。 ( 昱) 若 ) c c ，x c ，兰呻x ，且z 玩使得1 1 臀“p ( ，_ 一x ) o 翻对簿一y g 存在每之穗应麓五t x ，蕊是 ( ，x y ) _ c l i m i n r ( ：o ，矗一y ) ( 霞) 霹羔静穗豢莓疆维予空瀚f ，t ：c q f 兮2 。+ 按f 申翁搀羚羁舅。书翁弱拓豁 是上半连续的 容易验证：m o ( r ) = x 对，极犬单调殃射丁：d ( ，) 斗2 f 是伪单调的( 见1 3 ，p 1 0 6 ) 定义27 闭称粲值映射f ：d ( r ) c x 斗2 f 其有广义伪攀调性质，如果对任意序列 f ，五 ) c g p ) ，兰哼z 并，z 二哼厂x + ，1 i m 。s u p o ，存在常数口o ，使得当【x ，】g ( 丁) ，( ，x ) 蔓 4 f 且 蔓 f 时，有9 ，s c 一 ( i v ) 髂集蕊浚瓣r ：d p ；c x - 2 r 在聋菇鲣是届帮在嚣耱，掘鬃存纛x 嚣一个 邻域玑使得丁在，上有界 蒗2 5 设疆射r ：廖p ) c 爿。2 x 是极大攀调映射 ( 1 ) 若p ：d p ) c z 甘+ 趋h e m i - 连续、宥界的单调箨子，且d ( ? ) - - x ，则 s = r + 户是极大单调跌射( 见f 3 ，p 1 2 3 ) ( 2 ) 若尹：口( p ) c x 哼x h e m i 连续、蠢券、强潮静攀调箨予，显d ( e ) - - x ， 则矗( r + j d ) = ( 见【3 ，p 1 2 0 ) ( 3 ) 善8 o ( r ) 登尹：口p ) 。羔哼盖。是纛翔、强裁映戆，箬，p 孛透露一个莛 准育界的，qr ( t 十p ) = x + ( 见 3 ，p 1 3 9 j ) ， 建义2 。1 习( i ) 疑瓣s ：d ( s ) = x - 2 篁。豁为关手袭嚣( 。，。) ：x x 盖。盖的蓥 一变元是矽一p 一单调的，如果存在脯数妒：足十见和常数p l ，使得 ( 乳- ) 一) ，帮一岭2 妒酗一哟一v | | 8 ，沌，v 看p $ ，善黝，s v ( i i ) 映射丁：d ( r ) c x 寸2 一称为关于映射( ，- ) ：z x 爿+ 峥z 。盼第二嶷元是松 弛妒一p 单调的，如果存在函数：也峥丑和常数p 1 ，使得 ( ( t ，叻一“# ) ，砧一哆( 肛一啦肛一v 萨，v 壤v d ( r ) ，w 魏，z 孙 ( i i i ) 单值映射r ：d ( r ) c x 呻z + 称为矿一芦一单调的，如果存在函数伊：段甘r 霸翥激p t ，使褥 ( t u - t v ，“一v ) 矽( 1 l u v 1 1 ) l l u - v l l 9 ，v u ，v e d ( 丁) 0 ，p 1 ，使得 6 得 ( m 一儿，“一v ) r 肛一v n v u ，v k ，乃s u ，y 2 s v ( i i ) 映射r ：k c x 哼2 r 称为s p l i p s c h i t z 型，始袋移磋常数s 筑p - l ，往 ( z 1 一z 2 甜一v ) s l 虹一v | 9 ， v u ，v e k ，z lt u ，2e t v 我们需要如下； 壤，v a t 总设搿楚鸯反& 撒翻蛹空简，x 为蔟对镁空阕 日j 理2 1 【16 】设是实自反b a n a c h 空间，设映射r ：x 寸2 r 是单调的，凰对每一 羔j 乙t x 廷x + 孛静肆空嚣繁凸集篱最f 由舅孛瓣线段爨羔。齄弱羯羚是主拳连续簿，尉 丁是极丈单调映射 g l 理2 ，2 【3 1 ( i ) 设丁：d ( 丁) c 彤崎2 7 是极大单调映射，鼹。琶d p ) ，尸：彤4 2 。1 是正则的准有界映射管存在某一常数 0 ，使得 ( g ，y ) - - e 1 1 v i i ，v y ，g e g ( p ) 弱，十p 是正赠浃翁。 ( i i ) 设7 ：d ( t ) c x 专2 r 悬藏则映射，在岜x 处强制，鼠满足：存在常数七 0 ， 馒褥 ( 厂，x ) - - 七l l x l f ，v x ，厂l g ( ，) ， 则丁是满射 s l 理2 。3 d 设菇禚x + 是窦( 严将舀) 垂反鸯。# 搿雅空阕，设浚瓣：p f r ) c 菇峥2 f 是极大单调映射，映射p ：d ( p ) c x + 2 。具有广义伪单调性廪若可翳成如下 形式 f = 矗“l + 邑，v i ( o ，a o ) ， 其中乳p u j ，且满足 版嘞忙膨且她怿眠 v 2 e ( 0 ，矗】。 则矗( r + p ) 7 三广义b r o w d e r 型集值变分不等式解的稃在性 3 1b r o w d e r 型集值变分涿等式解的存在性 这一节我们将使蹋斡偿方法讨谂b r o w d e r 鍪榘馕交分不等式( 辩f = o 露集德变努不等 式问题( 1 6 ) ) 解的存在性问题 楚毽3 1 ，1 设菇是窭( 严捂凸) 1 复b a n a c h 窆翅，羔+ 为箕辩驾空霹，k x 是菲 空闭凸子集，o ek 设最r ：_ 2 。是巢值映射，d ( s ) = d ( r ) = 搿，还设 ( ，) ：鼻x _ + 整 # 线性映射，且满足： ( i ) s 关于映射( ，- ) ：工+ 爿+ 峙x 的第一鼗元是妒一p 一单谲的： ( i i ) 丁关于映射( ，) ：并+ x + 专x + 的第二变元是松弛矿一p 一单谢的， 妒( f ) 矿( ) ，f o ； ( i i i ) i - o ( 鼽l ，t u ) 是有界的具有紧凸值鼠从z 中的线段到x 中的弱拓扑是上半 连续敬； 如策( s 玩7 b ) 是强制的，则对任意的功并，存在甜k ，x e s “和w 1 e t u ，使得 帮五) 搿，y 一封) o ， v v x 。 ( 3 。1 ) 证明由( i ) ( i i ) 和定义( 2 9 ) 知，对任意“，v 芒，x s u ，y 踟，w t u ，z t v ，有 n ( x ，奶一似z ) ，甜一v ) = ( 墨z ) - n ( e ，：) ，跖一v ) + ( f 薯w ) 一n ( x ，：) ，“一v ) ( 妒( 0 t z - - v 1 1 ) 一( i l u - v i ) ) l b v i r o 嚣j 琏：，p - ) ，z ( ) ) 避集擅草谖蔽掰基缓设( i 女) 秘； 理2 i 翔r p f 一) ，r ( 弦跫掇太单 调的由d ( ( s ( ) ，r ( 。) ) j 2 知，( s ( ) ，r ( 1 ) ) 是伪单调的一由注2 4 知( s ( ) ，7 t ( ) ) 其有“义谯单调性质 设p = ，p 一东) 其中最：x 峥k 为置上的投影算子设s e ，考虑骧下方程 甜畦n ( s u ，砌) + 去眠 氓：， 罄先注意菇p ( - ) ，( - 势愚镄肇诵浚葑，叉巍尹h e m i 一连续( 函莨夜定义城内 1 6 部魁如m f 一连续【3 ，p 1 0 4 ) 有界单调算子，d ( p ) = ，由定义23 ( 2 ) 知，亡p 是极大 单溺醣，扶磊圭p 羲蹙传孳调驰，予是o ，r ( ) 十妄尹是伪攀淫浃封还淀意捌，由 注2 5 ( 1 ) 知( s ( ) ，r ( ) ) + lp 是极大单调映射 出p 的定义知p o = 0 及户的尊调性，我们有 ( 五w 十妻助，“) = ( 酬) ，甜+ 喜p “一咒鲜一o ( ( 托w ) ，“) ， v u z t x s u ，_ h ，砌 舀子( ，z k ) 蹩强镶耱，知 于蹙露 般产= 螂 赢( ( 卟咖) 十i i ( 酬) 一 当- - ) o o 印p ( ，) ，r ( ) ) + p 是强制的，又因为p ( ) ，r ( ) ) + p 蹙极大单调懿t 刚出注2 3 知，对v 占 0 ，方程 商勰壤丑 知 毋s ( ( s ( ) ，丁( - ) ) 十当p ) “ 设t 阮，瑰，使函( ，畦) + 詈p 由( s ( - ) ，r ( ) ) + 詈p 怒强制的可 ( 嗽 = ( ( 毪，) 丢杈，唣) 。删) m 其中c ：心斗皿，c p ) 呻o 。p c 。) 由此可知， 4 ) - - - 1 1 n 1 1 ，g a c ( t ) 的憾磺知，当 s 斗0 时， 。 。o 傈持有界，献谣出 p u 。= s ( c o - n ( x 。，) ) 及p ( ) ，f ( t 辩熬套赛毪彝存在豢数筋 o ，嫠l 户籍。| | 掰 9 因为z 是自殿的，故可选取序列 ) c 爿， ， ) c ，x n = h ，= ，当 一辩，唆与赫x ，屯与x 车要+ ，山w x 。下证据爱 事实上，由p 的单调性及p u o 有 。茎1 挚 p v p u , ，v 一蚝) = p v , v - u ) ，怕x 取v 一“+ t h ，其中t 0 ，h 羔，则谢 又南予p 是h e m i 一遴续的，稻 ( p ( u + t h ) ，五) 2o ， v h a x ( p u ，矗) 0 ， v h x 这衰弱p u = 0 ，帮“k ( 壶定义2 9 及往2 2 霹躲) 。 予最 最后证明一“，l w 满足( 3 1 ) 设吐s u ，t u ，由( 3 2 ) 及p 的单调性宥 ( ( 矗，) 鸭甜一) = 妄泓一扩兰。 l 雩u p ( 靠，魄) ，一”) 驻哗u p 。，吒一秘# 。t 因为| v p ( ) ，( ) ) 具有广义伪单调性质，则有 n ( x ，w ) n ( s u ，豫) ， x 瓤，律巍， ( ( 矗，) ，“。) 寸( ( x ，w ) ，“) 注意戮= 瓴，) + 妄淄箍 ( 似w ) ，档一v ) 硼呼n f 心，) ，一v ) 划呼n f ( 国一专p 蚝，蚝一v ) 刊吲n f ( 蛾一v ) 一n 絮u p 妾( p 一脚，一v ) 茎o , , u - v ) ， q v e k 印( 墨拶) 一国，v 一嚣) 毽亨v 裁迁毕 0 推论311 设z 为实( 严格凸) 臼反空间，x + 为其对偶空间，k c x 是非空闭凸子 鬃，0 k 设r ：舅斗x + 是攀毽浃瓣，d ( r ) = x ，虽满是 ( i ) 丁是伊一p 一单调的： ( i i ) t 是鸯器粒具有紧凸谯拦扶j 中的线段到x 中熬弱拓扑是上i # 连续豹 则对任意的彩x ，存在“芒k ，使得 t u - c o ，v - - u ) _ 0 ， v v 仨k 证明取n ( s x ，t x ) = t x ，娜n ( s x ，a ) 满足定理31 1 的( 1 ) 、( ) 、( i i i ) b 1 9 ( 3 3 ) ( n 一脚，“一v ) p ( 肛一圳“一w - 0 辩t 楚疆割貔，蠡定理3 。1 1 熟缡论成立，涯擎 注3 1 1 豳3 2 中定理3 2 1 ，现在可以说我们的工作是义 5 】主要工作( 定理2 4 ) 的 政进与推广，遗是因为： 文搿露攀蠛鼷嚣瓣瓣了下半连续 生条箨，致使映菇在箕肉辩不- t 麓多鏊( 参凳瑟2 + l 霜) ， 我们使用强制性条件取代之裁们的证明方法也与之不周 定理3 ， 2 设x ，x + ，k ，s ，t ，) 如定理3 1 1 所述，熙满足定理3 1 、1 的( i ) 、( i i ) 、 ( j j j ) 如果p ( ) ，丁f ) ) 是弧剥、强制、撼帮界映射且存程膏 o ，使得 ( ( y ，= ) ，p ) 一k l l v i f ， v v e 爿，y e 函，z e t v 姘对任意舱缈仨z ，存在z f 为芏繇张w 芒强，使褥 ( ( 墨w ) 一，v - u ) _ o ， v v k 证鹾浚酸懿p ：d ( 尹；c 菇峥舅莛 穰舞子，o 舀( 尹) ，黧p 是凝丈拳瓣豹。霆筵 由引理2 2 ( i ) 知( s ( ) ，丁( ) ) + i 1j p 是正则的- 再由定理3 1 1 所得( s ( _ ) ，r ( ) ) + l 占p 述是强裁斡，虽 ( m 纠十扣v ) h i i v 肇实， ( ( 炉) 十i 1p v v ) = ( ( 烨) ，v ) + ；1 ( 扎v ) = ( 粥) ，v ) + 喜( 脚一脚一。) ( n i y ，：) ，v ) 一女 予提，由引理2 2 ( i i ) 知，v 8 0 ，以下方程商解“。 缈n ( s u ，翔) + 孝鲰 余下的证明码定理3 1 1 证明一样，从略证毕 推论3 。 2 设膏莛实窦爱b a n a c h 空海，x + 势箕黠强空酒，k c 舅是移窆翔凸子集 设s ，t ：盖一2 是有界、单调的集值映射，d ( s t ) = z + 对任意的x ，s x ，a 是，y 中的弱紧凸爨，鄹剜紧凸集，设s ，r 从x 孛熬线段到x + 中的鹦援羚是上半连续魏，虽s ，f 分j ；| j 是r p 一罐调型、s 。p 工秘c h i t z 型t 其中常数r s 0 ，p 1 则对任意的 甜鞋x ，存在“k ，y 瓤，z e 妇，馊得 y - z 缈，v 一“) 躐 v v k( 3 4 ) 证明取n ( s x ，t x ) = s x - t x , 则由假嫂释易看出s ，t ，n 满足定理3 1 ，t 的( i ) 、( i i ) 霸( i 1 1 ) ，鸯；| 疆2 ，1 鲡s ，t 静为掇大单诵跤瓣，s t 怒鸯莽的( 显然) 其次， v 甜，v 拦k ，y l s u ，j ，2 s v ，z i t u ，2 2 t v ，由定义2 1 0 有 协) 一如哆) ，n v ) p s ) 一v 1 9 o 故对v u ，v k ，* 毯s u ，y z s v ，五t u ，z 2 t v ，由定义2 1 0 有 i 鱼兰：! 盘j 皆= r s ) l i u v 1 i ”lf 陋一叫 一 l 一v v 4 从而知s r 是帮谪的、强制的囚此由定理3 1 ，1 知甜任意的酚x ，存在 “足，y e s u ，o 芒t u ，傻褥( 3 4 袋立。证擎 注3 2 推论3 1 2 是f 4 ，1 4 】主嚣结果的改避军羁推广 2 3 2 广义b r o w d e r 型集傻变分不等式解的存在性 我们来证明广义b r o w d e r 型祭值变分不等贰( 1 。6 ) 与b r o w d e r 型集值变分不等式( 3 。1 ) 谯定意义下的婷价性，腻而凝稻可| 鲞鼠定理3 1 t 和推论3 1 1 、定理3 2 和搓论3 1 。2 褥 到广义b r o w d e r 型集值变分不蒋式解的存在性越理 设置是实( 严格凸) 垂爱b a n a c h 空闻，r 楚实数全薅令z = z r ，艘定； 若蜀= 【 ，f ，】耍，墨= 【x ：，：】e 贾，令 置+ 乏= 【气+ 茗：，+ f 2 螨= ，秭j 熟中口为实数，则j 成为线性窝间 对耍= ；x ，f 】碧，援定妻的葱鼗为： = ( 忙1 2 + t 2 ) 则( 童，糖) 成为赋范线性空阐， 由于篇幅问麟，以下三个命避的证明略去( 其实，摄容器诞明) - 命题g21 在上述假设f 以下结论成立 ( 1 ) 碧燕b a n a c h 空阕，魁碧孛静牧敛譬徐予按x r 审坐拣收敛。 ( i i ) 嘉的按轭空间为贾+ m x + r ，即 a ) 够 - 存在瞧一蛹【，】菇发，_ ex + ，馊 夕( i ) = ( ，x ) + r t ，坼； x ，嵋芭耍； b ) v f , d 芒x r ，i = f 墨f ，( ，x ) + “= 于( i ) 浚示了爿r 上的个线性 裔羿泛醢 还有j ”= 彤”r ( i i i ) 设彭。菇是一嚣空翅基篓，痧f 茗) ：x 哼宾是一褰趱。f 泛丞，g 集会 霞m f 】s 贾：庐( x ) 乳x e k , t r ) 娥闭凸囊。 ( i v ) 设j ：x - o x 是正娥对偶映射( 革德) ，则映需尉牙的正规对偶映射歹为 兹= 【a ， ，熟中i = i x ，t i e 膏 ( v ) j 楚鑫爱薅，2 毪燕螽反豹 命题3 2 2 设映射t ：爿呻2 “，其中，z + 同上作映射t ：z 呻2 “为：对 莹t 【毒，f 】贾，令焱- - - r x ，l j ，对经意熬舅= i x ，f 】芒舅，魏寄 ( i ) 若r 是单调的，则彳；也是单调的，且对曼= 卜，t a 2 ，9 = 【j ，5 】需肖 r x - r , ，x - y ) = ( 擞一黟，i 一功o ( 此处为了好看，祧为t 为单德) ( j j ) 若映射r 是有界的，则映射于也有界 ( i i i ) 著骥辩是寝夫单调的，剃映射于穗逶援大单调鲍+ ( i v ) 若映射r ：x - - - 2 f 炼x n ( x + ，口( ，x ) ) u 矗c ，则映射于：2 - * 2 。也是 玲蓬3 2 。3 游凝嚣z 楚魏攀溺静，巍臻舞步瞧莛镑拳调豹。 定理3 - 2 1 设z 是实自反船饿埔空间， 为其对偶空间，世c 是非空闭凸子 集，妒：z 寸霞越舆盎，。c 豹，令露= 【地喳多囊) g ，“k ，f r ，设s ，t ：x - - * 2 r 是 熊值映射， “) ：z z + 砷肖+ 是非线性映射。且满足：“忖n ( s u ，乳1 是具非空闭 傻的 壬意给定的甜毛膏，则存在“k ，x e s u 秘w t u ，使锝 ( b 呐一犯v 一材) 妒( “) 一声， v vk ( 3 5 ) 成立的充分必要菇件是：存在齑； 口，妒0 ) 露，j = f 置1 鼢= f 觑，1 ，谤= f 砒l 】勘 。f 叛，l 】，费暖动= 田，】 露( 氟露) = ( 强) ，1 私西= f 鹞。】岩满足 ( 府( j ，霄) 一c 5 ，口一i ) o ， v i 露 ( 3 - 6 ) 谨鞲必要瞧( = 谈，x ，w t 藏, 2 ( 3 毒) ，g i v e k ，赠弩妒v ) ，鸯 o s ( ( 矗w ) 一妣v 一”) + ( v ) 一( “) ( ( x ，w ) 一, v - u ) + 1 ( s 一和) ) = ( f 善，w ) ，1 一f 戤嘲，i v , s 】一 鹣多f 群) ) = 秀f 乏痧) 痴，；一露) + 4 圆此，i ，访是( 3 6 ) 的解 宠努性( 端) 最鑫= f 蛾t b k ，i = 【x ，q s u ， 】，痞= 【批l l 【氮，i l 燕( 3 6 ，戆瓣 即对妒( “) f ，v = 【v ，s 霞材 。! ( 雾( 戈，茹j 巍i 一) = 鹱( 五w ；，1 一f 积。j ，p ，s j p ，f j ) = ( ( x ，w ) 一曲，1 一o ，【v - - u , s - - r 】) = ( j v ( x ，w ) 一印，v 一”) 十( 1 一o ) ( s f ) = ( ( 工，w ) - - ( d ，v 一“) + s f ( 3 7 ) 瓣f = k ( 0 霞，取j = ( v ) ，删( 3 7 ) 成立郎 o s ( n ( x ，w ) 一甜，v 一“) + ( v ) 一庐( “) 融兢证得h k ，x s u 。w 强楚( 3 5 ) 的解诫毕 推论3 2 1 设z 膏，并+ ，舅，k , k ，妒如庭璎3 2 i 中所述设文r ：爿- 2 x 是具非空 溺傻鹣集谴跌射+ 任意给定靛搿菇，鞠存在k ，x s u 秘w t u ，使褥 ( ( 并w ) 一c o ，v 一“) ( “) 一( v ) ， v v 芒置 ( 3 8 ) 袋立麓充分璺要条势楚：存在* 辑多f ) 耍，堂= f 墨l 】勘= ! & ，l 】，孬= f 城l 】露 * 【托，l l ，帝= v ，( v ) e 露，西= 由，o 】e j 满足 量话一西，争一螽) o ， v 哥霞。 ( 3 ，9 ) _ l 芷明由定理3 2 i 直接可街证毕 下面是集值燮分不等式问题( 1 6 ) 的解的个存在性定理 定理3 。2 。2 竣爿逢实垂爱b a n a c h 空润，冀为萁黠鹬空阕，k c x 是嚣空 l l 凸子集， 0 9 k ，：_ 寸r 是真凸， 。的，且矿( o ) = 0 设s ，t ：一2 是集值映射， o ( s ) - - d ( r ) - - x ，g t ) ：x + x x + _ x 艇线性淤射，虽满是 ( j ) s 关于映射0 ) - x 专x + 的第一变元是p p 一单调的： o ； 1 5 ( i i i ) “hn ( s u ，t u l 悬宵界的具非空紧凸值且从中的线段到爿中的弱拓扑是上 拳连续静， 如果( 瓤，t u ) 是强制的，则对任意的甜岂x + ，存在“k ，x e s u 和w 苣t u ，使褥 ( 3 5 ) 戒立( 即：( n ( x ，呐一街，p 一“) ( “) 一声( v ) ，v v k ) ， 证明令露= f f 群，f 】：庐( “) f ，u e k ，te a 宄 汇f u = n ( s u ，孙) t 我们知道f 是集值极大单调映射时f 也是f 是有界风具有非空弱紧凸值时，易知 户也是。特酃甄f 篷j 牵线段到x 中弱掭挣楚u t s c 露，f 建需孛线段裂舅+ 中弱裕釜 魁u s , o ( 由命题3 2 2 ) l k i n t 臂，卫+ ，霞，f 分别对应地满足定理3 11 中，k ，f 的 垒部条舞，因鼗，耄定理3 1 ， 懿( 3 + 6 ) 鸯解+ 辨攘据定理3 2 。19 餮，存在“k ，善s u 秘 w t u ，使得( 3 5 ) 成立证毕 攫论3 ，2 。2 设盖，碧，并+ ，j ，爱，霞，翔悫灌3 2 。2 中翡述，设曼t ：菇甘2 。是有界 单调的且具非空闭值的集值映射，d ( s t ) = x ，对任意的x e x ，s x ，t x 媳搿+ 中的弱紧 熟巢，即列紧凸集y e k s ，t 双x 孛的线段到z 中的弱拓扑魁上半连续的，还设且s ，t 分别是r p 一单调型、s p l i p s c h i t z 獭。其中常数r s 0 ，p 1 ，剡对任意的 甜告z + ，存在“趸，y s u ，z 毫t u ，使得( 3 8 ) 成立 证疆类骰定建3 2 2 ，蠢螽题3 2 i 3 2 3 茸拜接论3 。i 2 可知( 3 9 ) 或立褥由攫论3 2 。 知，存在“k ，s u ，z t u ，使得( 3 8 ) 成立证毕 洼3 。2 。 我翻匏结果改避靼推广- f 4 ，9 ，1 4 + 1 8 ， 9 】中豹一些主要续絮 毅集藿变势稳会舞翡存农瞧 研究变分能宙解大多数是谯h i l b e r t 空间中通过求迭代算法的极限得到，如 6 ，1 0 ，1 3 t 1 4 】等，但这徒往要对集值单调映射附加苛刻条件，如l i p s c h i t z 连续等这熙我们争取让条 件宽橙望+ 1 6 4 1 濒解算子与y o m d a 似方法 在h i l b e r t 空嘲中谴用单调箨子的预解髯子技巧较多本文我们将尝试在一般的 b a n a c h 空阕串健建单调葬子靛籁辩算子技巧，藏接讨论变势戴岔解的存在瞧 目l 理4 1 1 设x 和x 是露( 严格凸) 自麟嚣朔日曲空间，设a ，s ，t ：爿砷2 r 是集 壤浃! l 孝d ；。o r ) = 羔，( 、- ) ：i x x 呻盖是l # 线撩浃翦t 盈满足 ( i ) s 删c n ( ，) ：_ + x x + 呻石。的第一变元是妒一p 一单调的； ( i i ) r 美予浃封，) ：搿x x x + 魏第二变元避松弛矿一p - 单调豹， 妒o ) 妒o ) ，t 以 ( i 1 1 ) f ：“( f ，t u ) 是省界的具有紧曲值且从并中线段到x 中的弱拓扑是上 串连续的 又设g ：x 崎j d ( 爿) 是单值映射，a o g ：呻2 r 是口一强极大单调的( 建义2 1 ( 2 ) ) ， 螽臻( 移p ( ) ，r ( ) ) j 奠d 名。g ) g ，令f = ( ，) ，尹( ) ) ：x - - ) 2 。， 戴 ( 1 ) v 五 0 ，f x ，方程 厂毫f 墨+ 童。g ) u 2 r 是集值单调映射由假设( i i i ) 和引理2 1 知，f 是极大单调的，由 注2 1 ( 1 ) 和( 4 ) 细只是有界的极丈单调映射，v 五 0 ， b ) 由注2 5 ( 2 ) 及定义2 ,