（基础数学专业论文）一类hermite样条小波.pdf

摘 要 摘要 应用小波基求解微分、积分方程已经取得了许多重要成果j i a 和l i u 构造 了s o b o l e v 空间硪( o ，1 ) 的h e r m i t e 样条小波，并应用它们求解了一类s t u r m - l i o u v i l l e 方程本文借鉴上述工作，利用h e r m i t e 三次样条构造了另外一对支集 含于【一1 ，1 的小波，其中一个对称另一个反对称进一步，应用j i a 和l i u 的方 法得到了s o b o l e v 空间硪( o ，1 ) 的小波基，且具有简单的边界小波构造我们尝 试应用这种小波基求解一类带边值的四阶常微分方程本文最后一部分给出两个 负面结论，它部分地解释了本文第二部分中小波构造的思路 关键词小波，h e r m i t e 样条，s o b o l e v 空间，微分方程 i 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t m a n ya c h i e v e m e n t sh a v eb e e nm a d ei ns o l v i n gi n t e g r a la n dd i f f e r e n t i a le q u a o t i o n sw i t hw a v e l e tb a s e s r q j i aa n ds t l i uc o n s t r u c tah e r m i t es p l i n e w a v e l e t sf o rt h es o b o l e vs p a c e 明( o ，1 ) ，w h i c ha r eu s e dt os o l v et h es t u r m - l i o u v i l l e e q u a t i o nw i t ht h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n m o t i v a t e db yj i aa n dl i u sw o r k ， w ec o n s t r u c tap a i ro fw a v e l e t sw i t hc o m p a c ts u p p o r t s0 n - 1 ，1 】，b yu s i n gh e r - m i t ec u b i cs p l i n e s o n eo fo u rw a v e l e t si ss y m m e t r i c ，a n dt h eo t h e ri sa n t i s y m - m e t r i c s i m i l a rm e t h o d sa r eu s e dt oc o n s t r u c taw a v e l e tb a s e sf o rt h es o b o l e v s p a c e 础( o ，1 ) ，w i t hs i m p l ec o n s t r u c t i o no fb o u n d a r yw a v e l e t s w et r yt od i s c u s s t h es o l u t i o no fad i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ef o u r t ho r d e rw i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n ， b yu s i n go u rw a v e l e t s t h el a s ts e c t i o ng i v e st w on e g a t i v er e s u l t s ，w h i c he x p l a i n s p a r t l yt h ei d e ao ft h ew a v e l e tc o n s t r u c t i o n si nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r k e y w o r d sw a v e l e t s ，h e r m i t es p l i n e s ，s o b o l e vs p a c e ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i i ；i 由命l i j 件声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获 得北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 貅夕搁日期加穸 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇夕嗍一稿。7 ，吼 第1 章绪论 第1 章绪论 小波分析产生于八十年代中后期，第一个现代意义上的标准正交小波由 y m e y e r 发现( 1 9 8 5 ) ，但这一小波没有紧支集借助于s m a l l a t 的多尺度分析 概念，d a u b e c h i e s 构造了直线上具有紧支集的光滑正交小波【1 1 1 在此基础上， c o h e n ，d a u b e c h i e s 和v i a l 构造了适用于区间【o ，1 】的d a u b e c h i e s 正交小波 9 1 其后，c h u i 和w a n g 构造了半正交样条小波 7 1 ，c h u i 和q u a k 的样条小波适 n ：f k n 0 ，1 t 6 1 在文献 16 】中，w a n g 研究了s o b o l e v 空间的三次样条小波 基正交多小波的例子可在文献 1 2 】中找到，h e i l ，s t r a n g 和s t r e l a 考虑了利用 h e r m i t e 三次样条函数构造小波的可能性【1 3 1 在文献f l o 】中，d a h m e n ，h a n ， j i a 和k u n o t h 利用h e r m i t e 三次样条构造了区间 o ，1 】上的双正交多小波，但边 界小波的构造非常复杂有鉴于此，j i a 采用新的思路给出了h e r m i t e 三次样条 小波基f 1 i ，小波关于内积 正交，而不是通常的内积 另一方面，自从小波分析出现以来，它已被广泛地应用于众多领域在数学 上，应用小波基求解微分、积分方程也取得了许多重要成果九十年代中期以来， t r e g i f i s k a 、l e l d a n 、c l f u 和c y q i u 等人利用m e y e r 小波正则化 方法求解单边热传导方程 x s - 2 s 和l a p l a c e 方程的柯西问题( 2 4 】另外，还有许 多其它小波被用来求解方程，如x f s h a n gim q c h e n 、j y x i a o 、 k m a l e k n e j a d 、a p a n i o u t i n e 、e a b o l i a n 和y m a h m o u d i 等人分别利用 l e d g e n d r e 小波 2 5 - - 3 0 、d a u b i c h i e s 小波 a t - a 3 l 、s h o n n o n 小波 3 4 1 、线性b 样 条小波【3 5 1 、c o i f m a n 小波【3 6 】和c h e b y s h e v 小波刚数值方法求解积分、微分 方程特别需要指出的是：2 0 0 4 年，c h h s i a o a 8 1 利用直接法结合h a a r 小波 北京工业大学理学硕士学位论文 的紧支性求解变分问题，与传统的方法 3 9 - 删相比，解的精度有很大提高文献 1 】利用所求的h e r m i t e 三次样条小波研究了带边界的s t u r m - l i o u v i l l e 方程 所谓h e r m i t e 三次样条函数是指 ( z + 1 ) 2 ( 1 2 x ) ，z 【一1 ，o 】； ( 1 一z ) 2 ( 2 x - b1 ) ，z 0 ，1 】； 0 ，其它 z ( z + 1 ) 2 ，z 【- - 1 ，o 】； z ( z 一1 ) 2 ，z 0 ，1 】； 0 ，其它 乏 ，6 4 i 幢i l ( z ) 0 1 0 八 0 0 5 - j 2 hq l2 l x 、一o 0 5 i 一0 1 谚- u 众所周知西：= ( - ，2 ) t 满足下面的向量细分方程： 咖2 ( z ) 西( z ) = 。( 歹) 圣( 2 z - j ) ，z r ， ，ji【，j_， i i = 、l，、， z z 九 如 第1 章 绪论 _ _ 一i i ! ! _ _ ! ! _ _ _ o ! ! 口c 一1 ，= 1 2 3 4 ) ，8 c 。，= 1 i1 0 2 ) ，。c 1 ，= 1 2 - 3 4 ) 满足+ 1 ，仇z 文献 1 】中得出一对小波 砂1 ( z ) = - 2 1 ( 2 x + 1 ) + 4 1 ( 2 x ) 一2 1 ( 2 x 一1 ) 一2 1 咖2 ( 2 x + 1 ) + 2 1 2 ( 2 x 一1 ) ， 如( z ) = 6 ( 2 z + 1 ) 一6 ( 2 x 一1 ) + 9 2 ( 2 x + 1 ) + 1 2 2 ( 2 x ) + 9 2 ( 2 x 一1 ) 它们的整平移生成的小波空间彤满足s l = s oow 且 = - - 0 具体做法是假设砂( z ) = b l ( k ) l ( 2 x k ) + 6 z ( 忌) 2 ( 2 z k e z 詹) 】，z r ，通过计算 = 嘉 - 2 1 6 l ( 2 j 一2 ) + 4 2 b l ( 2 歹) 一2 1 6 l ( 勿+ 2 ) 以及 则 一3 6 2 ( 2 歹一2 ) + 4 b 2 ( 2 j 一1 ) 一4 b 2 ( 2 j + 1 ) + 3 b 2 ( 2 j + 2 ) 】 ：= 去 3 3 b 1 ( 2 j 一2 ) 一6 0 6 1 ( 2 j 一1 ) + 6 0 h ( 巧+ 1 ) - 3 3 b l ( 2 j + 2 ) 4 - 4 b 2 ( 2 j 一2 ) 一1 2 b 2 ( 2 j 一1 ) + 2 8 b 2 ( 2 j ) - 1 2 b 2 ( 2 j4 - 1 ) 4 - 4 b 2 ( 2 j4 - 2 ) 】 = 0 ，m = 1 ，2 营b ( z ) ( 9 1 1 ( z ) q 1 2z ) q 2 1z ) q 2 2 ( z ) ) t = 0 ，v z cz 0 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 其中 b ( z ) 记 o - 6 0 z + 6 0 z 一1 - 2 1 2 2 + 4 2 2 1 z 一24 z 一4 z 一1- - 3 2 2 + 3 z 一2 3 3 2 2 3 3 z 一2 - - 1 2 z 一1 2 z 一14 2 2 + 2 8 + 4 z 一2 q n ( z ) ：= b 1 ( 2 j + 1 ) z 巧+ 1 ， j e z 9 1 2 ( z ) ：= b l ( 2 j ) 乒， j z q 2 1 ( z ) ：= b 2 ( 2 歹+ 1 ) 乒+ 1 ，q 2 2 ( z ) ：= b ( 2 歹) z 巧 j e z j z 然后，作者要求砂，妒2 的支集含于 一1 ，1 】以及妒t 具有对称性，讹具有反对称 性，进而求解上述方程组得到了妒1 ，妒2 的具体表达式进一步，记 皿n ：= 妒1 ( 2 n 一歹) ：歹= 1 ，2 n 一1 ) u 妒2 ( 2 n - i ) l ( o ，1 ) ：歹= 0 ，2 仉 ， 且为皿n 生成的线性空间那么，文献 1 】的作者证明了 弼( o ，1 ) = o 眦0 w 2o 这里，砺( o ，1 ) 为( 0 ，1 ) 上具有零边值的s o b o l e v 空间 月吾( o ，1 ) = u ：u ，u l 2 o ，1 】，u ( o ) = u ( 1 ) = o ) 利用上述分解中得到的小波基，文献 1 】还研究了微分方程 r i u ( z ) + u ( z ) = ( x ) z ( 0 ，1 ) 1 l 乱( o ) = u ( 1 ) = 0 、 的g a l e r k i n 解注意到上述方程对应的刚性矩阵a 礼= ( + ) l g ，k 2 n + l i 我们自然希望按照 + 矽，m ( 一j )_ - - 0 的标准构 造小波然而，本文第四章的结论表明这是不可能的为此，我们将在第二章构 垂 第1 章绪论 最嚣吲叭， 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章直线上的样条小波 在本章中，我们利用h e r m i t e 三次样条l ( z ) ，咖2 ( z ) 并借鉴文献 1 】的思想 构造一对支撑在 - 1 ，1 】上的对称及反对称小波砂l ( z ) ，也( z ) ，它们满足 + - - - - + - - 0 这一对小波将在下章中扮演关键角色为此，先引入一个引理设 同文献 1 】，记 矽( z ) = 6 1 ( 尼) ( 2 x 一七) + 6 2 ( 七) 2 ( 2 x 一忌) 】& ， k e z q n ( z ) ：= b 1 ( 2 j + 1 ) + 1 ，q 1 2 ( z ) ：= b 1 ( 2 歹) ， j zj e z q 2 1 ( z ) ：= b 2 ( 2 j + 1 ) + 1 ，q 2 2 ( z ) ：= b - ( 2 歹) 乒 j zj e z 引理2 1 ：设妒的支集含于 - 1 ，1 】，若妒( z ) 为对称函数或反对称函数，则 ( 9 1 1 ( z ) ，9 1 2 ( z ) ，q 2 1 ( z ) ，口2 2 ( z ) ) t = ( b l ( 1 ) z + b l ( 1 ) z 一1 ，c 1 ，b 2 ( 1 ) z b 2 ( 1 ) z 一1 ，o ) t 或 ( g l l ( z ) ，9 1 2 ( z ) ，眈1 ( z ) ，q 2 2 ( z ) ) r = ( b 1 0 ) z b l ( 1 ) z 一1 ，0 ，b 2 ( 1 ) z + 6 2 ( 1 ) z 一1 ，c 2 ) t 证明：因为( z ) ，2 ( z ) 支集含于 - 1 ，1 】上，所以1 ( 2 z 一尼) ，2 ( 2 x k ) 的支集 含于 孚：k + l 】据已知条件矽( z ) = 6 1 ( 后) l ( 2 z k ) + b 2 ( k ) 2 ( 2 x 一七) 支撑 在【一1 ，1 上，故有- 1s 孚学1 从而k = 0 ，4 - 1 ，且 矽( z ) = b l ( 一1 ) 1 ( 2 z + 1 ) + 6 1 ( o ) l ( 2 x ) 4 - 6 1 ( 1 ) l ( 2 z 一1 ) + 6 2 ( 一1 ) 2 ( 2 x + 1 ) + b 2 ( 0 ) 2 ( 2 x ) + b 2 ( 1 ) 2 ( 2 x 一1 ) 由定义 q l l ( z ) = 6 1 ( 1 ) z + 6 1 ( 一1 ) z ，q 1 2 ( z ) = c l ，q 1 2 ( z ) = 6 2 ( 1 ) z + b 2 ( 一1 ) z ，q 2 2 ( z ) = c 2 第2 章直线上的样条小波 若妒( z ) = 砂( 一z ) ，则 b l ( 一1 ) 矽1 ( 2 z + 1 ) + 6 1 ( o ) l ( 2 z ) + 6 1 ( 1 ) l ( 2 z 一1 ) + 6 2 ( 一1 ) 2 ( 2 z + 1 ) + b 2 ( o ) 2 ( 2 z ) + b 2 ( 1 ) 2 ( 2 x - - 1 ) = b l ( 一1 ) 1 ( 2 x - - 1 ) + 6 1 ( o ) 妒1 ( 2 z ) + b 1 ( 1 ) 1 ( 2 z + 1 ) - b 2 ( 一1 ) 咖2 ( 2 z 一 1 ) 一b 2 ( o ) 2 ( 2 z ) 一b 2 ( 1 ) 咖2 ( 2 x + 1 ) 等式两边比较系数得b 1 ( 1 ) = b l ( 一1 ) ，b 2 ( 1 ) = - b 2 ( - z ) ，b 2 ( o ) = 0 ，从而 ( 9 1 1 ( z ) ，9 1 2 ( z ) ，匏1 ( 2 ) ，q 2 2 ( z ) ) t = ( b l o ) z + b l ( 1 ) 2 ，0 1 ，6 2 ( 1 ) z 一6 2 ( 1 ) z ，o ) t 类似地，若妒( z ) = 一妒( 一z ) ，则 6 1 ( 一1 ) l ( 2 z + 1 ) - b b l ( o ) 咖l ( 2 x ) + 6 1 ( 1 ) l ( 2 z 一1 ) + 6 2 ( 一1 ) 2 ( 2 z + 1 ) + 6 2 ( o ) 咖2 ( 2 z ) + b 2 ( 1 ) 2 ( 2 x - 1 ) = 一6 l ( 一1 ) 咖l ( 2 z 一1 ) 一b ，( o ) 1 ( 2 z ) 一6 ( 1 ) 1 ( 2 z + 1 ) + 6 2 ( 一1 ) 2 ( 2 x 一 1 ) + 6 2 ( o ) 咖2 ( 2 z ) + 6 2 ( 1 ) 2 ( 2 z + 1 ) 进一步，b l ( 1 ) = - b i ( - 1 ) ，b 2 ( 1 ) = 6 2 ( 一1 ) ，b l ( o ) = 0 从而 ( 口1 l ( z ) ，9 1 2 ( z ) ，他1 ( z ) ，q 2 2 ( z ) ) t = ( b l o ) z b l ( 1 ) z 一，o ，b 2 ( 1 ) z + b 2 ( 1 ) z - 1 , c 2 ) t 证毕 推论：在引理2 1 的假设下，若对v j z ，m = l ，2 ， = ：由于s u p p l ( 2 x - k ) 譬，k + 2 l 。1 ，s u p p 矽l ( z - j ) s 日一1 ，歹+ 1 ， 第2 章直线上的样条小波 一i iii| i 一 所以 = 4z 一。“k - - - 2 j 一2 6 1 ( 七) + 6 2 ( 七) 】另一方面，从痧- ( z ) ，2 ( z ) 的表达式可知： ：cz，：=萝二：，6耋1，；i；cz，：=6x+4,x e - 1 , ，；l 通过简单计算可知 故 = ：( 2 z4 - 2 ) ：( z ) d z = 一3 j 1 r - 1 2 = 咖：( 2 z + 2 ) 咖：( z ) d z = 一3 - - - - = = c | c | 。 - - = - - 钟( 2 z + 2 ) 钟( x ) d x = 0 咖! ( 2 z + 2 ) 矽：( z ) d z = 0 ? ( 2 z + 2 ) ：( z ) 如= 6 趟( 2 z + 2 ) 鳄( z ) d z = 0 1 根2 x + 2 胀) 如- 0 1 矧2 z + 2 ) 根州z = 。 ，工 ：( 2 z + 2 ) 矽：( z ) d 。= 一3 ，l 2 = 咖；( 2 z + 2 ) ：( z ) d z = 3 ，土 j 1 2 = 4 一3 6 1 ( 巧一2 ) + 6 6 1 ( 2 j ) - 3 b 1 ( 2 歹+ 2 ) 一3 6 2 ( 2 j 一2 ) + 3 6 2 ( 2 歹+ 2 ) 】( 2 1 ) 9 - o 0 1广l 广厶 北京工业大学理学硕士学位论文 类似地， = 3 2 ， = 1 = 0 ， = 0 = 0 ， - - 4 - - 0 ， = 0 = - 3 2 ， = 1 故 = 4 姜6 l ( 2 歹一2 ) 一b 1 ( 2 j + 2 ) + b 2 ( 2 j 一2 ) + 4 b 2 ( 2 歹) + 6 2 ( 2 歹+ 2 ) 】( 2 2 ) 由文献【1 】可知 = 嘉 一2 1 6 l ( 2 歹一2 ) + 4 2 6 1 ( 2 歹) 一2 1 6 l ( 2 歹+ 2 ) 一3 b 2 ( 2 j 一2 ) + 4 b 2 ( 2 j 一1 ) 一4 b 2 ( 2 j + 1 ) + 3 b 2 ( 2 j + 2 ) 1 ，( 2 3 ) = 1 上么u1 3 3 b 1 ( 2 j 一2 ) 一6 0 6 1 ( 2 歹一1 ) + 6 0 h 1 ( 2 歹+ 1 ) 由( 2 。1 ) 一( 2 4 ) ， 一3 3 b 1 ( 2 j + 2 ) + 4 b 2 ( 2 j 一2 ) 一1 2 b 2 ( 2 j 一1 ) + 2 8 b 2 ( 2 j ) 一1 2 b 2 ( 2 j + 1 ) + 4 b 2 ( 2 j + 2 ) 】 + = 去 一2 6 1 6 1 ( 2 j 一2 ) + 5 2 2 b 1 ( 2 歹) 一2 6 1 6 1 ( 2 歹+ 2 ) 一2 4 3 6 2 ( 2 歹一2 ) + 4 6 2 ( 勿一1 ) 一4 b 2 ( 2 j + 1 ) + 2 4 3 b 2 ( 2 j + 2 ) 】， 1 0 ( 2 4 ) 第2 章 直线上的样条小波 + = 上么1 u 7 5 3 b l ( 2 j - 2 ) 一6 0 6 l ( 2 歹一1 ) + 6 0 b 1 ( 2 歹+ 1 ) 一7 5 3 6 1 ( 2 j + 2 ) + 4 8 4 b 2 ( 2 j 一2 ) 一1 2 b 2 ( 2 1 1 ) - t - 1 9 4 8 b 2 ( 2 j ) 一1 2 b e ( 2 j + 1 ) 4 - 4 8 4 b 2 ( 2 j + 2 ) 】 这样，v z cz 0 ，m = l ，2 ， + = 0 【 + z 2 j = 0 b ( z ) ( q l l ( z ) q 1 2 ( z ) 9 2 l ( z ) q 2 2 ( z ) ) t = ( 一6 。z 三6 。z 一。一2 6 7 1 5 2 3 2 z + 2 5 2 7 2 5 - 3 2 2 6 2 1 z - 2 1 4 2 z z - 一4 1 2 2 - z i 一， ( 口1 1 ( z ) ，q 1 2 ( z ) ，9 2 1 ( z ) ，9 2 2 ( z ) ) t = ( 6 1 ( 1 ) z + 6 1 ( 1 ) z ，c 1 ，b 2 ( 1 ) z b 2 ( 1 ) z - 1 , o ) r 从而，方程b ( z ) ( 口1 1z ) q 1 2z ) ( 2 1z ) 9 2 2 ( z ) ) t = 0 等价于 上述方程组的解为b l = 一言c t ，6 2 = 等c z 类似地，小波的反对称性蕴含 ( 9 1 1 ( z ) ，q 。2 ( 力，9 2 1 ( z ) ，9 2 2 ( z ) ) t = ( 6 1 ( 1 ) z b l ( 1 ) z 一1 ，0 ，6 2 ( 1 ) z + 6 2 ( 1 ) z 一1 ，c 2 ) 丁 从而，方程b ( z ) ( 口l lz ) q 1 2 ( z ) q 2 1 ( z ) q 2 2 ( z ) ) t = 0 等价于 怯邕! 之。 1 1 、 以 艺 心 矿 略 & 4 4 卜 丝 + + 镐 扩 均 3 广 船 + 一 心鳃 n = 2 0“ l 一 幻 鸵 + o i 一 + c l 6 0 2 6 一 一 ，j-_， 北京工业大学理学硕士学位论文 上述方程组的解为b l = 一西4 9 c 2 ，b 2 = 2 4 4 3 c 2 这样，我们得到两组解 ( q l l ( z ) ，9 1 2 ( z ) ，9 2 1 ( z ) ，9 2 2 ( z ) ) t = ( - 2 z 一2 z 一，4 ，2 6 1 z 一2 6 1 z - 1o ) t ( q 1 1 ( z ) ，9 1 2 ( z ) ，q 2 1 ( z ) ，眈2 ( z ) ) t = 曼2 ( - 4 9 z + 4 9 z - 1 , o ，7 2 9 z + 7 2 9 z - i , 1 2 ) t 尤其，取c 1 = 4 ，c 2 = 1 2 ，我们得到 妒l ( z ) = - 2 1 ( 2 x + 1 ) + 4 1 ( 2 x ) 一2 1 ( 2 x 一1 ) 一2 6 1 2 ( 2 x + 1 ) + 2 6 1 咖2 ( 2 x 一1 ) ， 也( z ) 兰4 9 1 ( 2 x 十1 ) 一4 9 1 ( 2 x 一1 ) + 7 2 9 2 ( 2 x + 1 ) + 1 2 2 ( 2 x ) - t - 7 2 9 2 ( 2 x 一1 ) 八 3 0 - 2 0 一 1 0 一 ii 一- - i - - - 2一l12 x 妒1 ( z ) 八 1 2 0 1 12 v s o 工 一l o o 一 妒2 ( z ) 下面证明矽l ，矽2 的整平移是稳定的，为此，先证明它们在( 0 ，1 ) 上线性无关 当0 z 1 2 时， 砂1 ( z ) = 2 1 8 4 x 3 一1 1 1 6 x 2 - 4 - 4 ，矽1 ( z 一1 ) = 一2 0 5 6 x 34 - 1 0 2 0 x 2 ， 也( z ) = 6 7 1 2 x 3 3 6 0 0 x 2 + 2 4 x ，砂2 ( z 一1 ) = 5 0 4 8 x 3 2 3 2 8 x 2 1 2 第2 章直线上的样条小波 当1 2 z 1 时， 妒l ( z ) = 2 0 5 6 x 3 5 1 4 8 x 2 + 4 1 2 8 x 一1 0 3 6 ， 妒2 ( z ) = 5 0 4 8 x 3 1 2 8 1 6 x 2 + 1 0 4 8 8 x 一2 7 2 0 ， 妒1 ( z 一1 ) = 一2 1 8 4 x 3 + 5 4 3 6 x 2 4 3 2 0 x + 1 0 7 2 ， 矽2 ( z 一1 ) = 6 7 1 2 x 3 1 6 5 3 6 x 2 + 1 2 9 6 0 x 一3 1 3 6 设。矽l ( z ) + b 矽2 ( x ) + 却1 ( z 一1 ) + d e 2 ( z 一1 ) = 0 ，代入上述表达式并比较系数得 2 1 8 4 a + 6 7 1 2 b 一2 0 5 6 c + 5 0 4 8 d = 0 - 1 1 1 6 a 3 6 0 0 b 上1 0 2 0 c 2 3 2 8 d = 0 4 a = 0 2 4 b = 0 2 0 5 6 a + 5 0 4 8 b 一2 1 8 4 c + 6 7 1 2 d = 0 - 5 1 4 8 a 1 2 8 1 6 b 上5 4 3 6 c 1 6 5 3 6 d = 0 4 1 2 8 a + 1 0 4 8 8 b 一4 3 2 0 c + 1 2 9 6 0 d = 0 - 1 0 3 6 a 一2 7 2 0 b + 1 0 7 2 c 一3 1 3 6 d = 0 该方程组的唯一解为a = b = c = d = 0 ，故矽1 ，矽2 的整平移在( 0 ，1 ) 上线性无 关由于平移的不变性，对v k z ，妒1 ，妒2 的整平移在( 七，k + 1 ) 上线性无关令 u ( x ) = 6 - ( 歹) l ( 一歹) + 6 2 ( 歹) 2 ( 一歹) 】，则存在两个正常数a ，岛使得 j z ，七+ 1 1 6 2 ( 歹) 1 2 】 j k 凫+ 1 u ( z ) 1 2 d x c l 口1 6 t ( 钏2 + | 6 2 ( 邢】 1 3 j = k + 加 m 似 2 1 c 北京工业大学理学硕士学位论文 进一步 2 研驴础) | 2 + | 蚓2 】肚圳2 出2 谚i = k | 6 l ( 删2 啪j 2 】 从而，妒l ，砂2 的整平移是稳定的 本章小结 本章利用h e r m i t e 三次样条( z ) ，2 ( z ) 构造了一对支撑在 一1 ，1 】上的新小 波妒1 ( z ) = - 2 咖1 ( 2 x + 1 ) + 4 1 ( 2 x ) - 2 1 ( 2 x - 1 ) - 2 6 1 咖2 ( 2 x + 1 ) + 2 6 1 砂2 ( 2 x - 1 ) ， 矽2 ( z ) = 4 9 1 ( 2 x + 1 ) 一4 9 咖1 ( 2 x 一1 ) + 7 2 9 驴2 ( 2 x + 1 ) + 1 2 2 ( 2 x ) + 7 2 9 2 ( 2 x 一1 ) 其中，1 ；f ，1 ( z ) 是对称的，矽2 是反对称的 一1 4 - 第3 章区间上的样条小波 第3 章区间上的样条小波 本章利用第二章中的样条小波构造区间( 0 ，1 ) 上的一类小波基，并研究下面 巨f 吲叭， ，1，1 妒? ( 2 n z 一歹) 咖：( 2 n z k ) d x + 僻( 2 n z 一歹) 以( 2 n z k ) d x ，0 j o = 彬( 2 礼z 一歹) 咖：( 2 n z k ) d x + 蟛( 2 n z j ) 砂：( 2 n z 一克) 如= 0 ，rj r 1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 当歹= k = 0 时，因为2 和砂2 反对称，所以钙( z ) 叱( z ) 及2 l k z j 耽i i ( z ) 均 为偶函数，故 ，0 ，- 1 阮( z ) 呓( z ) + 。i i l z ，v 2 i i ( z ) 】如= ( z ) 呓( z ) 如+ 硝( z ) 媚( z ) 】如 j 一1 j0 由第二章中的构造可知。 钙( z ) 叱( z ) + 铹( z ) 螳( z ) 】出= 0 这样，我们 便得到厶1 【妒1 2 k z j v 。i ( z ) + 硝( z ) 媚( z ) 】如= 0 从而由烂( z ) ，皑( z ) 的支集含于 【一1 ，1 】可知f o 4 ( z n z ) 必( 2 n z ) 如+ 铹( 2 n z ) 蠼( 2 n z ) 】如= 2 一n 譬“ 钙( z ) 咣( z ) 如+ 咖g ( z ) 矽! ( z ) 】d z = 0 当歹= k = 2 n 时，注意到 z 1 矽2 ( 2 n z 一2 n ) z ( 2 n z 一矿) d x = 2 - * f o 卯2 ( z ) 也( z ) 如= 2 哪多2 ( z ) 咖( z ) 如= 。 那么，类似于前面的讨论可知片 伽7 ( z ) 可7 ( x ) d x + 叫，7 ( z ) ( z ) 如= 0 这样，我们 证明了( 3 1 ) 式 由定理3 1 可知：若w kn ，则w = 0 这里是生成的线 性空间，而为皿n 生成的线性空间进一步，因为k + 1 k + 以及 d i m ( + 1 ) = d i m k ) + d t m ) 所以k + 1 = o 下面，我们根据上述 讨论得出硪( o ，1 ) 中的一组基 鲰，礼= 1 ，2 ，) 满足i i g l l 羔。( o ，1 ) + i 旧n t t i i l 2 。( o ，1 ) = 1 设 其中， g j ：= l ，j ， 歹= 1 ，4 ； 夕2 n + 1 州：= ，j ，j =1 ，2 n + 1 ， 几z + t ，1 ( x ) ：= 厕t ( 2 x 一1 ) ， 一1 昏 第3 章区间上的样条小波 1 ，2 ( x ) ：= ，3 ( z ) ：= 析习丽。( 2 z 一1 ) ， 咖。，4 ( z ) ：= 川可砸z ( 2 z 一2 ) ， 饥，l(z)：=(2-n2、2940672+2234814208)矽2(2nz)， 饥2n+z(z)：=(2-n2v72940672+2234814208)砂2(2nz一2n)， 矽他，( z ) ：= ( 2 - n 2 、彳虿瑟汀百了i 乒i 耍泛而) 矽t ( 2 n z 一；) ， 歹= 2 ，4 ，2 1 2 ， ，j(z)：=(2一n2、5881344+2269628416)妒2(2nz一学)，j=3，5，2n+l-i 下面讨论方程 隰f 的小波解方程两边同时和 础( o ，1 ) 作内积有 z ( 0 ，1 )( 3 2 ) = 一 = 詹u ( 4 ) v d x 一詹v d x = u ( 3 ) 口皓一片“( 3 ) 口7 出一 u ，口+ l i l y 7 d x = u ，可+ 詹u ，口d x + 詹u ，u 7 d x = + 令 n ( u ，口) ：= f o , u t ( z ) u ( z ) d z + 1 a t ( z ) u 7 ( z ) d z ， 让，口磁( o ，1 ) ， 则方程( 3 2 ) 的变分形式为口( u ，口) = ，v v 明( o ，1 ) 所谓的小波g a l e r k i n 逼近是寻找u n 使得 盘( 佐n ，移) = ，v ”k ( 3 3 ) 由于小波集g n ：= 夕1 i 9 2 - + i ) 为k 的基，故可设u n = 七2 n ：+ l lr l k g 七此时，( 3 3 ) 式转化为 七2 n ：+ 1 lo ( 彩，g 七) 讯= ， 歹= 1 ，2 n + 1 1 7 ( 3 4 ) 北京工业大学理学硕士学位论文 方程( 3 4 ) 的系数矩阵通常称为刚性矩阵，记为a b = ( 口( 乃，级) ) 1 9 ，七s 2 n 扎这里， n ( 毋，g k ) = + 由于a 礼的条件数大小对( 3 4 ) 解的稳定性起着关键作用，下面的定理表明a 。的 谱条件数关于礼一致有界 定理3 2 ：设刚性矩阵厶的特征值为丸，i = 1 ，2 2 n + l ，则存在与礼无关的常 数c 使得c 。n d ( a n ) ：= 篙斟簧斜c 证明：若入是如的特征值， u ：= ( b l ，6 2 ，b 2 n + ) t 是相应的特征向量，则 u r a n u = 入u t u 设u = ；兰1 吩缈，因为n ( u ，u ) = + ，所 以 a ( u ，u ) = + = 茎：1e 。2 n + 一1 玩 + 任2 n + 。1 ；兰1b , b j = 誉1e ，2 n + 一1 玩6 j + 1 ，2 + g 州 商 ，2 卜 鳞 h 斫 必 弘 印 鲜 略 _ = 9 + 鲥 鳋 h 鲥 必 鳄 鲳 站 9 + 蜴 ，ff。一 = a 第3 章区间上的样条小波 另一方面，由a ( u ，u ) 的定义可知 n ( u ，“) = 秽慨( 0 t 1 ) + i 至。( 0 1 ) 慨( 0 1 1 ) 故 0 1 1 ) 。( u ，u ) ( i 丌。- f1 ) i i u 0 t 1 ) 将此和( 3 5 ) 结合便有i l u 悒。( o ，。) 入u t u ( 嘉+ i ) b i i 羔。( o ，1 ) 因为u 为特征 向量，所以u t u 0 从而 警入盟糍墼 进一步，由条件数的定义有 咧：= 朵1 + 石1 证毕 本章小结 本章利用第二章中得出的直线上的样条小波构造te i b ( 0 ，i ) 上的小波基并 尝试应用这种小波基讨论一类四阶常微分方程的小波近似解尚未解决的问题是 讨论小波近似解与精确解之间的近似程度 1 9 zd 2 、l ，、l ， z ，k u ， 1 、l ， 1 + 1 ，jl 一 仇痧砂 算 汁 面f 川 七 一 z2 后 k + 七 一 z2 七 限r 勉 = z 矽 没明征 2 2 d d0 仉 第4 章一个注记 所以 故 = 1(2x+2)矽l(x)dxl2 = ，一 ，一1 = = r 似2 川m 如= 州2 州眦1 1 2 3 1 1 2 0 1 7 3 3 6 0 。 = 2 ( 2 x + 2 ) 州州z = 面1 9 = = = z 1 ( 2 x + 2 ) ( z ) d z = 五1 = 2 似2 z + 2 ) 纵州z = 一盖 矽。( 2 z + 2 ) 删拈念 似2 z + 2 ) 删扣一蒜 = 熹 6 9 6 1 ( 2 歹一2 ) + s 4 0 b 1 ( 2 歹一1 ) + 1 5 4 2 b 1 ( 2 歹) 类似地， + 8 4 0 b 1 ( 2 歹+ 1 ) + 6 9 b l ( 2 j + 2 ) + 1 7 5 2 ( 2 j 一2 ) + 7 6 b 2 ( 2 j 一1 ) 一7 6 b 2 ( 2 j + 1 ) 一1 7 b 2 ( 2 j + 2 ) 】 ( 4 1 ) 2 1 1 1 陀l 您 广厶广l广凡 一 z 七 一 z2 m 痧 一 z z 砂 北京工业大学理学硕士学位论文 且 = 一番b ， = 一丽1 = 一杀啬， = 0 ， - - 蒜， - - 丽4 1 ， 故 = 一丽1 = 而1 = 一去 = 一壶 = 否基【一4 1 6 1 ( 2 歹一2 ) 一3 6 4 6 1 ( 2 j 一1 ) + 3 6 4 b 1 ( 2 歹+ 1 ) + 4 1 b t ( 2 j + 2 ) 一l o b 2 ( 2 j 一2 ) 一2 0 b 2 ( 2 j 一1 ) + 6 4 b 2 ( 2 j ) 一2 0 b 2 ( 2 j + 1 ) 一l o b 2 ( 2 j + 2 ) 1 ( 4 2 ) 另一方面，由文献 1 】可知： = 嘉 一2 1 6 1 ( 2 歹一2 ) + 4 2 6 1 ( 2 歹) 一2 1 6 1 ( 2 歹+ 2 ) 一3 b 2 ( 2 j 一2 ) + 4 5 2 ( 2