（基础数学专业论文）单形多维角与内外径性质的研究.pdf

摘要 本文利用距离几何与凸几何的理论与方法，主要研究与单形相关的角和与单形 的内外径相关的性质问题，获得了单形的一些度量性质，其主要内容如下 第一章介绍单形的多维角与相关的概念，给出了单形一种形式的正弦定理，并 给出了单形第二余弦定理和b ”t 曲正弦定理的新证明 第二章着重介绍了怎样用多维角去表述不同维数的超平面所成的角，并以此为 基础给出了更为一般的单形体积公式，最后定义了一种新的角并给出了个新的单 形体积公式，得到了单形内，外二面角角平分面的性质定理 第三章考虑到不同维数的多维角间的联系得到了个关于多维角角组的几何不 等式，应用它得到了许多重要的结果 。 第四章建立了个关于单形外接超球半径和内切超球半径的个几何不等式， 应用它可得到一些重要不等式 关键词：单形；多维角；余弦定理；正弦定理；体积公式；角组；几何不等式 英文摘要 a b s t r a c t b yu s i n gt h et h e o r ya n dm e t h o do fd i s t a n c eg e o m e t r ya n dc o n c e xg e o m e t r y , t h i s t h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h e 锄l g ka n di n r a d i n s - c i r e n m r a d i n sp o r p e r t i e sf o ras i m p l e x a n do b t a i n e d8 0 m em e t r i cp r o p e r t i e so fas i m p l e x t h em a i nc o n t e n ta 8f o l l o w c h a p t e r1i n t r o d u c e st h ec o n c e p to fm u l t i - d i m e n s i o n a la n g l ea n ds o m ec o n c e p t sr e - l a t e d ，g e t sas i n el a wi na n o t h e rw a yf o ras i m p l e xa n do b t a i n san e ww a yt op r o v et h e s e c o n dc o s i n el a wa n dt h eb a r t o ss i n el a wf o ras i m p l e x i nc h a p t e r2w ef o c u so t t re n e r g y o nh o wt ou s es o m ed i i f e r e n tm u l t i - d i m e n s i o n a la n g l e st oe x p r e s sas o r to fa n g l e sw h i c hi s c o n s t i t u t e db yt w od i f f e r e n td i m e n s i o n a lp l a n e s ，a n dg e tak i n do fv o l u m ef o r m u l a s a t t h ee n do ft h ec h a p t e rw e g e t8n e wv o l u m ef o r m u l af o ras i m p l e xa n dt w ot h e o r a m sa b o u t t h eb i s e c t i o np l a n e so fi n n e r - o u t e rd i h e & a la n g l e so fas i m p l e x i nc h a p t e r3w ec o n s i d e r t h er e l a t i o n so ft h ed i f f e r e n tm u l t i - d i m e n s i o n a la n g l e sa c q u i r eag r o u pa n g l e si n e q u a l i t y , f r o mt h eg r o u pa n g l e si n e q u a 肛t ym a y g e ts o m ef a l n o t i sg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s i nc h a p t e r 4w es e t u pag e o m e t r i ci n e q u a l i t ya b o u ti n r a d i n s - c i r c u m r e d i n so fas i m p l e xf r o mt h i si n - e q u a l i t yw ec 蛆g e ts o m ei m p o r t a n tg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s k e y w o r d s ：s i m p l e x ；m u l t i - d i m e n s i o n a la n g l e ；c o s i n el a w ；s i n el a w ； v o l u m e f o r m u l a s ；g r o u pa n g l e s ；g e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s i i 独创性声明 本人声明所呈突的学饿论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发袋或撰写适的研究成果，也不包含为获蝴或篡他教育梳构 懿学位或专王书嚣使攥过戆麓辩。与蔽一弱王俸酶舞态对本磷宠爱彀戆任嚣羹簸均 已盛论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：淼瓣 签字日期： 砷年牛月p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了怒辙必雾 有关倦留、使用学住论文酌规定， 奏权傣餐劳瓣蓬家密关罄霜或瓿魏运交论文戆复窜 串务磁巍，龛谗论文被套骥彝 借阃a 本人授捉努j i ：弘以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描簿复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适膈本授权书) 学馘文瓣叛獬恕零簿鹳：桫闺 签字日期：川年牛月t 扩日签掌日期：二，旷7 年群月却日 学位论文作者毕业擞向： 工住单位：嘞 黼 毫诺： 通讯地址： 郯荣：2 宴如3 0 第o 章绪论 第。章绪论 o 1 引言 凸体几何是以凸体为主要研究对象的现代几何的一个重要分支著名数学家陈 省身在祝贺我国自然科学基金设立十周年的讲话中指出t “凸体几何是个重要而 困难的方面，c e o 的研究( 1 9 9 6 年获诺贝尔化学奖) 显示了它在化学中的作用，它 当然对固态物理也有重大作用【l 】由此可见，凸体几何的研究不仅具有深刻的理 论意义，也有广泛的应用价值 高维单形是凸体几何的主要研究对象，研究这些几何体的度量理论【2 l 以及相 关的几何不等式问题，成为凸体几何研究的重要内容在国外，近年来在凸体几何 领域内有一批活跃并且卓有成就的数学家，他们以v k l e e ，p m e m u l l e n ，r s c h n e i d e r 及 c m p e t t y 等为代表在我国，著名数学家吴文俊曾因在2 0 世纪5 0 年代圆满地解 决了复合形在欧氏空间嵌入这一凸体几何难题而举世瞩目，杨路教授及张景中院士 则因从2 0 世纪8 0 年代初起在凸体几何的高维不等式与几何极值，初等图形的嵌入 等方面做了许多开创性的工作而获得了国际数学界的广泛好评近2 0 年来我国的 数学工作者在凸体几何和高维不等式研究中获得了不少深刻的结果f 3 ，4 闸已引起了 国内外同行的关注 1 单形多维角与内外径性质婚研究 可喜的是，最近凸体研究又有新进展，在本文将要结束之际个由1 8 位数学家 组成的国际专家组完成了素有。数学上的人类基因组计划4 之称的e 8 的结构图 这一成果有望促进几何学，数论和弦理论等众多领域产生突破性进展 5 0 2 研究对象和主要结果 下面介绍本文研究的问题及获得的主要结果 第一章主要围绕着多维角和单形的正余弦定理来展开作为平面内角的概念的 推广，首先给出了多维角的概念，多维角的概念在很多文献里都出现过，但这些文 献主要关注的是多维角的正弦值该如何表示，而忽略了多维角的几何属性，而多维 角的几何属性正是其概念的根本本文所给出的多维角定义的着眼点恰好是它的几 何属性，把角作为一种几何图形来处理而不是仅考虑该几何图形的某个局部属性， 比如正弦值，这也是理解本文的一把钥匙第一二、三章的内容都以多维角为核心 来展开有了多维角的概念，便可得到单形的个体积公式，从同个单形的关于 不同顶点多维角的体积公式便可得到单形的一种形式的正弦定理作为平面内角的 概念的另一种推广便是单形两个侧面所成的内二面角，关于单形的内二面角有第一 余弦定理和第二余弦定理，它们都刻划了单形的内二面角与其侧面面积间的关系， 借助g r a 镕m a n n 代数本章给出了单形第二余弦定理的一种新的证明方法，应用该种 证法的第二余弦定理给出了单形b a r t o j 正弦定理的一种新的证明方法 第二章主要讨论了用多维角来表示不同维数的超平面所成的角分为两种情 2 第o 章绪论 况，一种是两个不同维数的超平面的公共部分只有一点即角的顶点；另一种情况是 两个不同维数的超平面的公共部分不止一点这两种情况都可用多维角来表示不同 维数的超平面所成角的大小，以此为基础得到了单形或超平行体的个新的体积公 式接下来我们定义了一种不同维数超平面所成的角，并得到了一个新的单形体积 公式，该体积公式的特例即是我们熟知的两个单形体积公式最后我们考察了单形 内, l - - 面角角平分面的性质，从而得到了单形内、# 1 - - 面角角平分面的性质定理， 它是平面内三角形的内、外角平分线性质定理的推广 第三章考虑了同一个向量组所成的不同维数多维角，提出了角组的概念，建立 了角组不等式若把角组不等式和单形相结合可得到许多已有的重要不等式第四 章建立个关于单形内切超球半径和外接超球半径的一个几何不等式 3 单形多维角与内外径性质的研究 第一章关于单形的多维角与单形正余弦定理 1 1 单形另一形式的正弦定理 单形的正弦定理是b a r t o j 在1 9 6 8 年给出的，1 9 7 8 年e r i k s s o n f 在文献嘲超 平行体的体积来定义单形顶点角的正弦，使该正弦定理成了个自然的结果，为了 对单形的正弦定理有一个完整的印象，下面我们给出相应的内容先给出单形的顶 点角的定义 定义1 1 1 m 在n 维欧氏空间驴中，由点集昂，p l ，r 生成的n 维单形， 记为n ，在驴中任取一点p ( 为了讨论的方便该点通常都在单形的内部取) ，过该 点作单形n 的侧面 “= 0 ，1 ，2 ，n ) 的单位法向量q o = 0 ，1 ，2 ，t 1 ) ，定义由法 向量勺0 = 0 ，1 ，i 一1 ，i + 1 ，1 ) 构成的g r a m 行列式的算术根，称为和单形的 顶点最o = 0 ，1 ，2 ，n ) 对应的顶点角的正弦，记为s i na i 为表述的方便下面仅给 出s i n n o 的计算公式，其余类似即 s m 咖2 曰 e 2 + e 1 ： e l e 1 。e 2 谚 ： e n e 2 有了上面单形顶点角正弦的定义，b a r t o j 给出了下面的定理t 4 ( 1 1 1 ) h 7 品 e e 第一章关于单形的多维角与单形正余弦定理 定理1 1 1 ( 单形顶点角正弦定理) n 维欧氏空间e ”中由点集昂，r ，晶生 成的n 维单形q 的体积记为v ，n 的侧面记为 o = 0 ，1 ，2 ，n ) ，对应的n 一1 维体 积记为只o = 0 ，1 ，2 ，t 1 ) ，单形的顶点角为啦a = 0 ，1 ，n ) ，则 警：訾：下s i n a n ：盟n ( 1 1 2 ) 百2 百2 百2 丽劭 文献i r , s 均对上面的定理给出了证明，但比较繁，在后面作者给出个简单的 证明关于单形的内二面角有下面冷岗松建立的内二面角正弦定理 定理1 1 2 ( 单形二面角正弦定理【g 】) n 维欧氏空间驴中由点集岛，r ，r 生成的n 维单形n 的体积记为v ，n 的侧面记为，i o = 0 ，1 ，2 ，n ) ，对应的n 一1 维体积记为最o = o ，1 ，2 ，n ) ，由两个不同的侧面 ，j a j ) 所成的内二面角为 ，去掉顶点只，马后由n 一1 个顶点昂，只，只一l ，r + l ，弓“p j + i ，r 构 成的l 一2 维单形的n 一2 维体积为j b 则 牮：当( o i j s n ) (3)1 只j n 一 “。7”7 显然。关于单形不同的角有不同的正弦定理，为了给出另形式的正弦定理让 我们先从角的概念说起，回忆平面内角的概念，在平面内共顶点的两个向量形成的 图形叫做角以此为出发点来展开n 维欧氏空间点”中多维角的定义 设点p 为f 。中的点，以点p 为始点的k os 女sn ) 个的向量为p i ( i = 1 ，2 ，) ，这k 个向量所形成的图形称为驴中的个维角，记为巩2 k ( 1 n ) 若k = 2 ，这个二维角就是通常意义下二维平面内的角若k = 1 ，此时该图形就是一 个向量，我们把它视为一维欧氏空间一直线上的角若k23 ，通称为多维角下面 单形多维角与内外径性质的研究 给出点_ 中的维角正弦值的定义 定义1 1 2 【1 0 6 1 在俨中，以点p 为始点的k ( 1sksn ) 个向量乒磊( = 1 ，2 ，k ) 所形成的图形称为五”中的一个维角，与这女个向量同向的单位向量 的g r a m 行列式的算术根称为这个k 维角的正弦，即 s i n 以2 ，击2 l o ( 1 ，2 ) c o s ( 1 ，女) 0 0 8 ( 2 ，1 ) 1 8 ( 2 ，) i； c o s ( ，1 ) ( ，2 ) 1 其中( 1 , 2 ) 表示角z r p 恳，其余类似由h s m a d a r d 不等式，显然s i n o n 础介于0 和1 之间，当这个向量线性相关时该角的正弦值为0 ，此时称其为退化的维 角，当这个向量两两正交时该角的正弦值为1 ，此时称其为直维角本文中的 维角均是非退化的。由该定义可以看出，当= 1 时，一维角的正弦值为1 该定义最早出现在文献【1 q 中，文献【6 】引用之，称为极正弦，以后的许多文献 【1 1 1 2 】都引用了该定义，称之为正弦在这里我们为了和已有的许多文献在内容上表 述尽可能一致，仍旧称其为正弦在这些文献中对k 维角的定义都限定2 ，并 未提及；1 的情形，这一点很重要在此我们特别规定一个点可以看作零维角， 规定它的正弦值为1 我们在后面还会提及这一点 从定理1 1 1 定理l 1 2 看出，不同的角和单形结合可得到不同的正弦定理，只 要把n 维角正弦的定义与单形结合便可得到下面的一个正弦定理 定理1 1 3 ( 单形n 维角正弦定理) n 维欧氏空间酽中设单形n 的体积为y ，顶点 为蜀，p l ，r ，援长记为1 只马i = p , a o j sn ) ，以p 0 为始点最“= 1 ，2 ，n ) 6 第一章关于单形的多维角与单形正余弦定理 为终点的向量记为萌o = 1 ，2 ，n ) ，它们构成顶点p o 的n 维角为o o ，同理有 巩a = 1 ，2 ，) ，则 s i n o o s i n 0 1s i n 靠sinon-tv 历2 ：历2 2 ：丽1 7 p t i2 2 ：厨 l s i 勺s n 蜓l ( j 蔓n ，i 1畦i 勺n 一鼬蝼 西量n l o s 马g 册 ( 1 1 5 ) 即关于单形顶点最的n 维角哦的正弦值比上所对n 一1 维侧面单形所有棱长的积 为定值，等于该单形的体积与它的维数阶乘的积比上单形的所有棱长的积 为了证明该定理先给出一个引理 引理1 1 1 1 7 , 1 目n 维欧氏空间驴中，k e o 发出的n 个线性无关的向量记为最： 鼽o = 1 ，2 ，t 1 ) ，这n 个向量p 1 ，船，p n 生成的n 维平行体的体积为r i p l ，p 2 ，州 刚 y 【p l ，p 2 ，】= i p l a p 2 a 加l = p ip 1 p 2 1 0 1 砌 见p l 胡 p 2 加 鲰p 1 耽 碡 ( 1 1 6 ) 这，1 个向量p l ，p 2 ，加生成的，l 维单形n 的体积为y ，点只( o i s n ) 对的f l i 维侧面单形为 相应的体积为毋，从点只向侧面单形五引垂线，垂足为日，记h = l b 凰i 则 7 y = 萧1y 【p 1 ，p 2 ，】= ：晟 ( 1 1 7 ) 下面来证明定理1 1 3 7 单形多维角与内外径性质的研究 证明驴中以p o ，乃，晶为顶点的单形f t ，其体积为y ，对某个固定的 ( 例 如i = 0 ) 用引理1 1 1 ，有 y = 甭1 卉p l p 2 p l p 2 p l谚船 p l 加仡碡 = 刍( ，塾。p o # ) s i n o o ( 1 1 8 ) 其中p i = p o 最g = 1 ，2 ，n ) 由g r a s s m a n 代数 1 4 1 和g r a m 行列式( 1 1 8 ) 式易证该 式变形得，n w = ( np 町) s l a o o = (n p l j ) s i n o a 一一( 丌 胁) s i n o i = l j n 0 j _ n d # l o g n j i = ( np n j ) s l u o 。只要把上式都除以n肋即得( 1 1 5 ) 式，定理t 1 3 证 叼s “一1o s ，5 “ 毕 特别当n = 2 时，( 1 1 5 ) 式即为三角形之正弦定理因此( 1 1 5 ) 式可视为单形 的一个正弦定理 从角的定义上看，无论是定理1 1 1 单形的顶点角，还是定理1 1 3 的单形的，l 维 角本质上都是一种n 维角，故在角的定义上二者没有本质区别，区别在于该定义应 用于单形时的# t t t t 青况前者是角的顶点取在单形的内部，当然取后”中任意一点也 可以，向量是单形的n + 1 个侧面上的单位法向量，而g - 单位法向量用了n 次；后 者的n 维角的顶点是单形的n + 1 个顶点，而向量是单形的棱向量证明方法都是用 相应的角构造单形的体积公式，再由体积公式变形得到相应的结果在t ；= 2 的二 维情形二者相同都是我们熟悉的三角形的正弦定理文献【6 】虽然由单形的顶点角的 定义直接得到该正弦定理，显然角的那种定义方式没有体现出它应有的几何直观 8 第一章关于单形的多维角与单形正余弦定理 1 2 单形余弦定理与正弦定理的新证明 平面内两个共点向量所成的角当然也可以理解为二维平面内两个半超平面所成 的角，自然我们联想到n 维欧氏空间内两个半n l 维超平面所成的角为了文章 的紧凑，我们对它的讨论与单形结合起来，但应注意到相应的结果是独立的不依赖 于单形的 在n 维欧氏空间e ”中由点集昂，马，r 生成的”维单形，记为n ，从单形n 的顶点局发出的n 个向量记为只只= 张0 = l ，2 ，n ) ，这n 个向量n ，p 2 ，的 g r a m 行列式记为p ，即 尸= g r a m ( p 1 ，p 2 ，) = 研 p l p 2 p l p n p 2 p x 建 庇如 p n p lp n p 2 碟 ( 1 2 1 ) ( 1 2 1 ) 中元素p i 彩的代数余子式记为岛( ，j = 1 ，2 ，n ) 点最0 = o ，1 ，2 ，1 ) 所对的n 一1 维面为 g = 0 ，1 ，2 ，n ) ，每一对侧面五，厶( i ，j = 0 ，1 ，2 ，n ) 作为两 个超平面组成两个互补的二面角，其中包含。的那个二面角叫做n 的个内二面 角，记为( i ，j = 0 ，1 ，2 ，t 1 ) 定理1 2 1 ( 单形第二余弦定理 1 5 1 ) 设驴中n 维单形n 的诸二面角为0 0 ( i ，j = 0 ，1 ，2 ，n ) ，则有 一= 溃 上式称为单形的第二余弦定理【“单形的第一余弦定理可表述如下 9 单形多维角与内外径性质的研究 定理1 2 2 ( 单形第一余弦定理f 1 ) 设在由点集扁，只，r 生成的n 维单形n 中，顶点只0 = 0 ，l ，2 ，n ) 所对的n 一1 维面为 0 = 0 ，1 ，2 ，t 1 ) ，其n 一1 维体 积为最0 = 0 ，1 ，2 ，t 1 ) ，l ，办所成的内二面角为，则 砰= 碍一 b 乃c o s j = o j 判o i 勺n 撙j l 其中l = 0 ，1 ，n 显然通过这两个余弦定理和三角形余弦定理的比较可以看出单形有着丰富的 内容，从而深刻我们对空间的认识下面给出第二余弦定理即( 1 , 2 2 ) 式一种新的证 明 第二余弦定理的新证明下面就i o ，i j 证明( 1 2 2 ) 式成立，i = 0 时 利用类似方法也可以证明( 1 2 2 ) 式成立从单形n 的顶点昂发出的n 个共始点 棱向量记为只a = 鼽a = 1 ，2 ，n ) ，从这n 个向量中任取n 一1 个作外积，记n = p l a a l a p + i a a p n ；p = p l a 丹一1 a p j + i a p n ，善乓中i , j = 1 ，2 ，n o j ) 由g r a s s m a n n 代数l 1 4 l 知tn 维欧氏空间驴与由n 个向量p x ，抛，a i 生成n 一1 重 向量空间a n 一1 l n 互为对偶空间，再考虑到单形两个侧面的内夹角和对应的两个侧 面的同向法向量所成的角互补，得两个侧面，i ，j 的内夹角( ，j = l ，2 ，；t j ) 余弦计算公式 一一幽誉等等蒜等锹凳筹赫等亮产 一螋高业= 瀛 i 口旧i饵 f 再 1 0 第一章关于单形的多维角与单形正余弦定理 即( 1 2 2 ) 式得证 第二余弦定理首先出现在文献【1 日中，杨路，张景中两位前辈用度量方程证明了 该定理而上面的证明也不失为一种方法运用( 1 2 2 ) 式可以很简单的证明b a r t 耐 给出的正弦定理，即( 1 1 2 ) 式 b a r t o j 正弦定理的新证明在单形n 的内部任取点p ，过该点作单形n 的侧 面 a = 0 ，1 ，2 ，r i ) 的单位法向量e l o = 0 ，1 ，2 ，n ) ，由单形两个侧面的内夹角和 对应的两个侧面的同向法向量所成的角互补及第二余弦定理得te i 勺= 一。= 溉，再由单形的顶点角正弦的定义得 s i n o o zl e l te 2 a a e n i = 穗穗磅 i! 概概 e i e 1 也e 1 e ，i e 2 e l 磅 e 2 e n e ，l e l e 2 磋 r lp 1 2 马。 昂lr 2 = - - - - - - - - - 1 - _ 一 ( r 1 尼2 r 。) i 注意到是n 个向量p l ，p 2 ，砌的g r a m 行列式p 的代数余子式，并由行列式 的性质得 p 孚 ”咖2 两瓦刀 再由引理1 1 1 得 s i n 。：型单 ( ( n 1 ) ! p ( n 最) t - i 1 1 单形多维角与内外径性质的研究 变形即为 s i n o t o ：f ! 塑： ： l 堡! ! ： 局 ( 一1 ) ! 卜( 疗最)一1 ) ! ( 矗毋) i = 0i - - - - o 其它情况可类似证明，定理1 1 1 得证 第二幸不同维敷超平面所成的角与单形的体积公式 第二章不同维数超平面所成的角 与单形的体积公式 上一章介绍了单形的多维角，单形的余弦定理与正弦定理，并给出了一个新的 正弦定理和单形第二余弦定理及b a r t c s 正弦定理的新的证明一涉及到角就不可避 免地要提到体积公式，我们这一章就主要围绕单形的体积公式来展开，探讨单形体 积公式间的内在联系并最终定义了一类新的角并给出个新的单形体积公式 2 1 不同维数超平面所成的角 空间维数的增加使我们想象力的发挥成为可能前面已经讨论了两个n 一1 维 超平面所成的内二面角，那么不同维数的超平面所成的角又是怎样的呢? 在文 献【1 6 1 7 , 1 8 1 中都讨论了这类问题，并给出了两个超平面所成角的定义和计算方法， 他们都做出了卓有成效的工作接下来我们从另个的角度对这个问题进行讨论 思路是借助前面定义的多维角来计算不同维数的超平面所成的角，并结合单形来展 开 过n 维单形n 的顶点局的两组棱向量p o p , = 以0 = 1 ，2 ，) 与p o p t = a 0 = k + l ，k + 2 ，n ) ，这两组向量中任何两个向量皆不相同两组点集 p o ，p l ，恳，r ， 与 p o ，p k + l p k + 2 ， 所生成的两个不同维数子单形所成的角是指两个不同的 向量组所在的超平面形成一对互补的角，其中单形n 所在的那个角，即是两个不 同维数的子单形所成的角，沿用上面的称呼，仍称之为单形的一个内二面角记 1 3 单形多维角与内外径性质的研究 为o 1 2 k 斛2 n ，若上下文无歧义理解，则简记为砖却显然，当= l ，n = 2 时，一 一维内二面角即退化为平面内的二维角即平面内的角；当= 1 ，”= 3 时，一二维 内二面角即为四面体中一条棱和相应底面所成的角单形内二面角的正弦可通过多 维角的正弦来计算下面给出上面所述的单形内二面角正弦的定义- 定义2 1 1由向量组p l ，p 2 ，m 和p k + 1 ，肌+ 2 ，生成两个不同的子单 形，所成的内二面角口薄矗+ 2 。的正弦等于生成这两个单形的所有向量所成的多维 角0 1 2 t 斛1 一的正弦与生成这两个子单形的向量所成的两个多维角0 1 2 础和靠+ 1 i + 2 。 的正弦的积之比，即 s i n 嗽弘。= 面瓦丽s i n 0 丽1 2 五- n 石： ( 2 1 1 ) 上面的向量组，若生成两个不同的子单形的向量有相同的部分( 其中生成个 子单形的向量不得是生成另个子单形的向量的子集) ，例如生成子单形的两个向量 组分别为p l ，纯，以，乳+ 1 ，m 和p 1 ，p 2 ，p a ，m + 1 ，陬那么它们所成的内二 面角的正弦值定义如下， 定义2 1 2 由向量组p l ，p 2 ，仇，p e + l ，p k 和p 1 ，p 2 ，p e ，“+ 1 ，h ( 其中 t “+ 1 ，m ) n ( m + l ，) = 0 ) ，生成两个不同的子单形所成的内二面角口1 1 2 2 - - 。s , s + + l l - - - 。k 的正弦等于生成这两个单形的所有向量所成的多维角0 1 2 。的正弦，乘以生成这 两个单形的公共向量所成的多维角巩2 。的正弦再比上生成这两个子单形的向量组 所成的两个多维角0 1 2 b 和o x 2 础+ l 。的正弦的积，即 s i n o 撂1 2 。 - s m , s + l - - 。k ；面i s i 石n 0 1 忑2 n 面s i n o i l 2 i , 焉 ( 2 蚴 1 4 第二章不同维数超平面所成的角与单形的体积公式 下面说明定义2 1 1 和定义2 1 2 的合理性为此从文献【l q 引入下面的定义和 引理， 定义2 1 3 【1 q 设h 是n 维内积空间，z l ，$ 2 ，h ，记g ( x l ，观，z 。) 一 出( 慨，奶) ) ，又设s c 日为子空间，h ，记d ( z ，s ) 2 藉忙一”o 引理2 1 1 f l q 设h 是t l 维内积空间，z l ，砚，h ，s 是x l , z 2 ，z 。 张成的线性子空间，若x l , 2 ：2 ，z 。线性无关，则 d 2 ( 邢，= 甏舞等窘 定义2 1 4 1 1 q 设h 是n 维内积空间，设s 是它的子空间，0 z 日，定 义( z ，研是满足 嘶跏箐 的在【0 ，别中的角 引理2 1 2 【1 qt c s 设，都是n 维内积空间h 的子空间，v 0 z h ，有 s i n 缸，s ) s i n ( = ，d 引理2 1 3 1 1 9 1 设a 是n 阶复方阵，行向量z l ，。2 ，则 f d e t a i = 慨s i n ( z 2 ，毋) 咖，& 一1 ) 其中鼠是由z 1 ，钇，生成的线性子空间 定义2 1 1 中( 2 1 1 ) 式显然是大于0 的，下面证明 皇旦业一1 s i n o t z k s i n o k + 1 i + 2n 一 1 5 单形多维角与内外径性质的研究 证明考虑分别由向量组p 1 ，p 2 ，p k 和p k + l , m + 2 ，鲰及p l ，p 2 ，肌构成 的超平行体的体积，分别记为v i q ，一叫和y 阳，由引理2 1 3 得， = l 加l 。l l p k l l s m ( p 2 ，s 1 ) 咖饥，鼠一1 ) ( 2 1 3 ) 其中甄是由向量m 生成的线性子空间，岛是由向量组p 1 ，p 2 生成的线性子空间， 依次类推，瓯一1 是由向量组p l ，p z ，p k 一1 生成的线性子空间 一蝴= i i p k + l t l u p n t ls m ( p k + 2 + 1 ) s i n 协，一1 ) ( 2 1 4 ) 其中+ l 是由向量m + 1 生成的线性子空间，+ 2 是由向量组p k + l , p k + 2 生成的线 性子空间，依次类推，晶一l 是由向量组m + l ，阱2 ，一1 生成的线性子空间 = ij r lj 1 慨f i 咖幻，毋) s i n 饥，鼠一1 ) s i n 饥+ l ，瓯) 虹n 饥+ 2 ，瓯+ 1 ) 8 i n ，晶一1 ) ( 2 1 5 ) 其中鼠是由向量组p l , p 2 ，p k 生成的线性子空间，依次类推，岛一1 是由向量 组p l ，仇，p ，i 一1 生成的线性子空间所以 一嗣；i | p l i i 恢0s m 锄，) 8 h 1 饥，鼠一1 ) 咖饥+ 2 ，鼠1 ) 血钒，一1 ) ( 2 1 6 ) 再根据引理2 1 2 ，当+ lc 鼠+ l 时，有咖饥+ 2 取+ t ) s h l 饥+ 2 ，+ 1 ) ，同理依次 类推有s i n ( p k + s ，瓯帕) s i n ( p k + 3 ，+ 2 ) ，s h l ( 鲰，晶一1 ) 8 h 1 ( p 1 ，一1 ) 显然有 s i n ( 巩+ l ，瓯) 1 ，再比较( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) 两式的右端，可得y 幽sm q 一捌( 其实这就 是文献中s z a s z 推广了的h a d a m r d 不等式) 再由引理1 1 1 超平形体的体积公 式得， 1 6 第二章 不同维数超平面所成的角与单形的体积公式 = 衍 p l p i p l p p 2 p l 胡 p 2 p k p k np k p 2 最 同理可得一嘲和y 阳的表达式 = 忱”i 帆0s i n 0 1 2 n 一明= 0 p k + l “1 1 j h 0s i n o k + 1 ，k + 2 一m 再由一目，便得 即 】- n | 卜i i is i n 0 1 2 一 s i n o l 2 m s i n 0 1 2 k s i n 如+ 1 b + 2 一m 坐乌三一1 s i n 0 1 2 k s i n 巩+ 1 k + 2 m 一 证毕 下面说明定义2 1 2 的合理性，即证明 面瓦s i n 0 1 1 2 m 8 s i n i n 吼0 1 2 2 。a + 1 。一 1s m f l 2 j + 1 七8 m 乩2 + l m 和上面的证明类似，考虑由向量组n ，p 2 ，“，“+ l ，m 和p 1 ，p 2 ，p a ，p k + l ，砌 p l ，i 2 ，p a 和a ，p 2 ，p n 生成的超平行体的体积，分别记为v 阳，+ s - k ，钿 由引理2 1 2 ，引理2 1 3 得一耐1 1 ( 这当然可以视为h a d a m a r d 不等式 的进一步推广) ，再由由引理1 1 1 超平形体的体积公式便得证 1 7 单形多维角与内外径性质的研究 2 2 单形( 超平行体) 一个新的体积公式 在平面内有三角形的面积公式s = ；曲s i n 口，即用三角形的两条边和所夹角的正 弦刻划三角形的面积，该式在在高维欧氏空间中有相应的推广，即有下面的定理t 定理2 2 1 1 6 1n 维欧氏空间e n 中以点集昂，只，r 为顶点的单形记为n ，其 体积记为y ，以点集昂，最一1 ，最+ 1 ，r 为顶点的n 一1 维单形记为 ，以点 集昂，弓一1 ，弓+ l ，r 为顶点的n 一1 维单形记为乃，它们的n 一1 维体积分 别记为最，f a i ，j = 0 ，1 ，n ；i j ) ，由它们所成的单形的内二面角记为，由点集 岛，b 一1 ，县+ l ，马“- p j + l ，r 所确定的n 一2 维单形的体积记为，则 y = 与学s i n o i j 汹， 定理2 2 1 要求夹内二面角的两个侧面的维数比单形的维数少1 ，这显然不是必 需的，下面我们凭借上面的定义2 1 1 和定义2 1 2 给出较公式( 2 2 1 ) 更一般的单形 体积公式，即下面的定理2 2 2 与定理2 2 3 定理2 2 2 对驴中的n 维单形n 有体积公式 n w = 削日扣 ( n k ) ! f k + 1 n 咖+ 9 1 2 + - 1 哪k( 2 2 2 ) 或 磷v = 最晶一 s i n 鲒一( 2 2 3 ) 其中f 1 2 ，最+ 1 。分别表示由单形n 过顶点岛的棱向量组7 1 ，p k 和p k + l ，p n 生成的两个不同维数子单形的体积再考虑到超平行多面体的体积与生成它的单形 】8 第二章不同维数超平面所成的角与单形的体积公式 的体积之间的关系，显然可得超平行多面体的体积计算公式。 y 扣1 ，欺1 = y h ，州y 阢+ 1 ，加】如畿一女 ( 2 2 4 ) 由上文( 2 2 ，2 ) ，( 2 2 4 ) 两式是易证的 定理2 2 3 对驴中的，l 维单形n 有体积公式 删= 些坐篆尝竽绁业酬1 。2 = = ：h 。 或 袋y ：等掣如破洲 ( 2 2 6 ) c ：“b ” 其中f 1 2 女，f 1 ”。 + 1 。f 1 2 。或屁，r + ，i ，b 表示过顶点局相应的棱向量组生成 的对应单形的体积显然可得超平行多面体的体积计算公式。 y 由，加】= ! 照二坐出笼等号塞i 里! ! 二二生生s m 砖。一t ( z _ 2 ” 由上文( 2 2 5 ) ，( 2 2 7 ) 两式是易证的显然公式( 2 2 3 ) ，( 2 2 6 ) 式都可视为三角形 面积公式8 = 曲s i n p 在高维欧氏空间中的推广 2 3 单形另一新的体积公式 本章第一节不同维数的超平面所成的角有一种简单的情形：n 维欧氏空间正n 中 以点集岛，p 1 ，r 为顶点的单形记为n ，我们考虑由点集昂，只，p k ( 1 n 1 ) 生成的k 维单形所在的k 维超平面和去掉顶点马后的点集局，恐，最，屁+ 1 ，晶 1 9 单形多维角与内外径性质的研究 生成的n 一1 维单形所在的n 一1 维超平面，这两个超平面所成的内二面角，称为 一n 一1 维角，记为硝一l ( 1 n l ，n 22 ) ，上下标分别表示构成一n 一1 维角 不同子单形的维数下面给出s i no 嚷一l 的定义， 定义2 3 1 过点p l 向由点集局，尼，p k ( 1 s k n 一1 ) 生成的一1 维单形所 在的一1 维超平面引垂线，垂足为日1 过点p 1 向由点集局，马，最，最+ 1 ，r 生成的t l 一1 维单形所在的n 一1 维超平面引垂线，垂足为珥记h l = i p l 皿l ， _ 1 1 2 = i p l 研i ，显然有7 1 2 h 1 点集p o ，p 1 ，马，p k ( a 茎f l 一1 ) 生成的维单形 和点集昂，忍，最，凫+ 1 ，r 生成的n 一1 维单形，这两个单形所在的超平面所 成的内二面角为畦- 1 ，则定义n ：一l 正弦值为t 8 i n - l _ 丝h x ：倒i p 。h x l ( 2 3 1 ) 定理2 3 1 驴中以点集昂，p l ，r 为顶点的n 维单形记为n ，单形。中关 于顶点岛的”维角记为0 1 2 。；以点集岛，只，最为顶点的女维单形关于顶点岛 的维角记为0 1 2 女；以点集局，b ，最为顶点的女一1 维单形关于顶点昂的一1 维角记为如以；以点集p 0 ，p 2 ，r 为顶点的n 一1 维单形关于顶点昂的t l 一1 维 角记为如。则有 s m a ：r 舞耋舞茏 ( 2 s 2 ) 证明单形n 的体积记为矿，点集岛，p l ，a ( i 女sn 一1 ) 生成的维单 形的体积记为玛1 2 k ，由点集岛，马，p k ( 1 k n 一1 ) 生成的一1 维单形的体 2 0 第二章 不同维敷超平面所成的角与单形的体积公式 积记为局弘i 应用引理1 1 1 得。 f 0 1 2 k 击( 邝- 肋胁) s i n 口1 2 - - - ki i f 一, 砒 ( 2 _ 3 3 ) 点集岛，岛，r 生成的，l 一1 维单形的体积记为f 0 2 。，则有， y = 币1 ( 邝l 彻胁) s i n o l 2 。= ：如。圯 ( 2 3 4 ) 再对女一1 维单形的体积j 磁i ，和n 一1 维单形的体积昂2 。应用引理1 1 1 得， 1 如i2 币芒可( 肋朋p o k ) s i n 一 耽m = 矿1 可舳p o , ) s i n 0 2 a n ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 将上面的( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 两式分别代入( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 两式，再由定义2 3 1 即( 2 3 1 ) 式，便可得到定理2 3 1 的证明 定理2 3 1 只是定义2 1 2 中的一种特殊情形，即t l 维单形的k ( x k n 一1 ) 维 子单形与个与它共1 个顶点的n 一1 维子单形即t l 一1 维侧面所成的角，显然它 与定义2 1 2 在表述上是完全一致的 另外，在定义2 1 1 中若多维角0 1 2 i 褪化成只由一个向量构成时，仍由多维角 正弦的定义( 即定义1 1 2 ) ，该多维角的正弦值为1 ，此时定义2 1 1 的( 2 1 1 ) 式变为 咖枷。= 竺兰鼍 此即为定理2 3 1 中点集昂，恳，p k ( 1 女n 一1 ) 褪化成一点的情形，此时 h l = i 岛尸l i ，对应的定理2 3 1 中( 2 3 2 ) 式的s i n 0 1 2 k 和s h l 砖都褪化为1 ( 多维角 单形多维角与内外径性质的研究 口1 2 i 褪化成一维角，多维角如k 褪化成零维角，它们的正弦值均为1 ) ，即此时的 ( 2 3 2 ) 式为t s i n 畦一- = 丽s i n 石o l , c + 1 n 显然此两式在表述的内涵上完全一致 由证明过程可得单形的一个新体积公式 定理2 3 2 采用定理2 3 1 中的记号，单形有下面的体积公式， y ：k f o “2 3 n f 0 1 2 kg i n a ：一l (