（基础数学专业论文）w算子和umt整环.pdf

，- c 。一算子和：l c u m t 整环 基础数学专业 研究生蒲永燕指导教师王芳贵 近年来关于星型算子的研究见诸于不少文献，一直受到人们的关注本文主要 运用 。算子，研究了多项式环上的 。一理想，p 屯m d 和p u m t 整环首先，讨论 了模和紊子模上+ r 算子的一些基本性质利用理想理论的方法，证明了当m 是 无挠模，a ，b 是m 的子模时，a 。= 鼠。，当且仅当对任何m 。一m a x ( r ) 有 a 。= 晟。利用模理论的方法，证明了每个投射模是s ，模此外，若f 是平坦模， 则f 是 。一模其次，运用 。一算子来研究多项式上的一理想和u t z 证明了当 q 是r 【圈的极大 。一理想，p = q n r 0 时，q = p t x 且p 还是r 的极大* w - 理想；证明了p 是r i x 中的u t z ，则p 是 r 可逆理想当且仅当p 是极大的t 。- 理想当且仅当c ( p ) 。= r 当且仅当c p ) 是$ 乱广可逆理想当且仅当存在g p ，使 得c ( g ) 。= 兄给出了 r 整环的概念，证明了旯的任何理想f ，l 。( 髓、。当 且仅当由j 一v v ( r ) ，能推出j t 一6 v ( t 1 当且仅当对? 的任何理想素 。理想p ，p nr 是月的* t o - 理想当且仅当t 是r 上的4 乜广整环最后，给出 p 蚝m d 和# u m t 概念，证明r 是p t m d 整环当且仅当r 是p t m d 整环当且仅 当冗是p m d 整环同时，在搴- u m t 整环中，$ 。= 乜证明了r 是一个 一u m t 整环，p 是r 的一个素 。一理想，t 是整环且t 是月上的代数扩张q 是t 的一 个索理想且满足q n r = p 则q 是r 的+ 。理想 关键词：算子* w - 理想 容度多项式环u t zp 车t m d # u m t 整环 第i 页，共3 2 页 t h e , w - o p e r a t i o na n d 木一u m td o m a i n s b a s i cm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：p uy o n g y a ns u p e r v i s o r ：w a n gf a n g g u l s t a r - o p e r a t i o n sh a v er e c e i r e dag o o dd e a lo fa t t e n t i o nc o n t i n u o u s l yi na n u m b e ro fl i t e r a t u r ei nr e c e n td e c a d ey e a r s i nt h i sp a p e r ，w es t u d y i d e a l so f p o l y n o m i a lr i n g s ，p 4 t m da n d 扣u m td o m a i n sm a i n l yb yu t i l i z i n g * w - o p e r a t i o n s f i r s t l y , w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so f * w - o p e r a t i o n si nm o d u l e sa n dp r i m es u b m o d - u l e s u s i n gi d e a lt h e o r ym e t h o d s ，w ep r o v et h a tm i sat o r s i o n f r e em o d u l e ，a a n d ba r e s u b m o d u l e o f m ，a 。= 鼠。i f a n d o n l y i f f o re v e r y m 埘一m a x ( r ) ， a m = b m u s i n gm o d u l et h e o r ym e t h o d s ，w ep r o v et h a te v e r yp r o j e c t i v er o o d - u l ei ss w m o d u l e f u r t h e r m o r e ，w ep r o v ei ffi saf i a tm o d u l e ，i ti s * w - m o d u l e s e c o n d l y , w es t u d y * - i d e a l so fp o l y n o m i a lr i n g sa n du t zm a i n l yb yu t i l i z i n g * w - o p e r a t i o n s w ep r o v et h a tq i sam a x i m a l 一i d e a lo fr 【x 】，p = qn r 0 ， t h e nq = p 【圈，a n dpi sm a x i m a l , - i d e a lo fr w ep r o v et h a tpi su t zi nr 】， t h e npi 8 * 埘- r e v e r s i b l ei d e a li fa n do n l yi fpj sm a x i m a l * 埘- i d e a li fa n do n l yi f c 如) 。= ri fa n do n l yi fc i s , , - r e v e r s i b l ei d e a li fa n do n l yi ft h e r ee x i s t sg p s u c ht h a tc ( g ) 。= r w ei n t r o d u c et h en o t i o no f * , n - d o m a i n ，a n dp r o v et h a t ，i s a n i d e a l i n r ，l 。( i t ) i f a n do n l y i f j ，一g v ( r ) ，t h e n j t $ 一g v ( t ) i f a n do n l y i f f o re v e r y p r i m e * w - i d e a i p i l l t p n r i s , - i d e a l i n r i f a n d o n l y i f ti sa * w - d o m a i no f 冗m o r e o v e r w ei n t r o d u c et h en o t i o no fp , m da n d - u m t d o m a i n s ，a n dp r o v et h a tr i sap 屯m dd o m a i ni fa n d o n l yi fr i sap * m dd o m a i n i fa n do n l yi fri sap m d d o m a i n ，a n dp r o v e = 乜f o rt h e 书- u m td o m a i n s w ep r o v et h a tri s8 一u m td o m a i n s ，pi sap r i m e * , - i d e a li nr ，ti sad o m a i n a n d t i s a l g e b r a i ce x t e n s i o no f r ，q i s ta p r i m a r y i d e a la n d q n r 2 p ，t h e n q i s 一i d e a lo f t k e yw o r d s ：一o p e r a t i o n s ；* - i d e a l ；c o n t e n t ；p o l y n o m i a lr i n g s ；u t z ； p 扎m d ；阜- u m td o m a i n 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 奶缓、 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师王羞蚩熬援指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注ne j i 用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索：2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名 菇参 训卜川7 日 蓊 刖舌 在环模理论中，用星型算子来研究各类整环是交换代数中一个非常活跃的 研究课题自2 0 世纪8 0 年代以来，由于星型算子工具的引入，人们对整环的关 注越来越多所谓整环冗上的星型算子，指的是r 的非零分式理想集f ( 硒上 的一个映射+ ：a a ，它满足以下性质： ( 1 ) 对任何a f ( 励，口k o ，有( 旬。= ( 口) ，( o a ) 。= a a 。 ( 2 ) 对任何a ，b f ( 兄) ，若a b ，则有止及 ( 3 ) 对任何a f ( r ) ，有a a ，且( a ) 。= a 。 众所周知，t 卜算子，乒算予，廿算子是三个常用的星型算子，它们在 理想理论中起着重要的作用，它们对模范畴的研究也有丰富的结果2 0 0 0 年 a n d e r s o n 和c o o k 在文【1 1 中建立了一种新的星型算子4 。算子即 4 0 = 互k 圆m i 存在， 一g y ( 固，使得儿m 它不仅对整环的理想理论 有如争算子，厶算子，t l 卜算子一样的刻画，而且对模范畴的研究也有丰富的结 果c h a n g 在文f 2 】中，用 。- 算子对一n o e t h e r i o n 整环进行研究，证明了r 是 - n o e t h e n a n 整环当且仅当月的每个 r 理想是有限型的 本文主要给出证明了 。算子和素子模上。算子的一些基本性质，对多 项式环的t ，理想和p t 。m d 进行了一些研究，引入了# u m t 整环的概念并得 出了一些结果下面大致的谈一下本文的结构以及讨论问题的有关研究工作的 历史与现状 本篇毕业论文共分两章 第一章讨论了理想上的 算子，模上的算子和素子模上的算 子的某些性质在【1 】中，已证明了，m 是极大+ 。理想当且仅当m 是极大 f - 理想，本文用另外一种方法证明了此结果，是r 的理想，( 询- = 以： 由 3 1 知，每个投射模是t 加模于是，每个投射模是t ，槐，从而，若f 是平 坦模，则( 1 ) 对任何 一g v 无挠模 f q 是 一g v 无挠模；( 2 ) 设m 是 $ r 模，则f 圆m 是 一g v 无挠模；( 3 ) f 是 r 模若p 是兄的素# 理 想，则( 知) 。= ( ( 地。) ，) 。，于是，对兄的任何素* w - 理想p ，= ( 地。) p 第l 页，共3 2 页 前言 从而，设m 是无挠模，a ，b 是肘的子模时，a 。= b 。，当且仅当对任何 m 。一m a ：r , ( r ) 有= 巩；其次证明，设p 是r 的素r 理想，q 是r 的 p - 准索理想，m 是有限型的 。一模，是m 的 。一子模，且( n ：m ) q ( 1 ) ( ( i v + p m ) 。，：m ) = 尸 ( 2 ) 令a = 扛m l 存在s r p ，使得跗n + q m ，则 砑硒= p ，且a 是m 的准素予模特别地，若q = p ，则( a ：m ) = p ，且4 是的素 子模 ( 3 ) 若p 是( n ：m ) 上的极小素理想，则a = 伽m i 存在s r p ， 使得s z n + p m 是上的极小素子模 因此，m 是有限型的 。一模，a 是m 的所有非有限型，。子模中的极大元 素，则a 是m 的素子模 第二章先讨论了多项式环的。一理想，接着讨论了u p p e rt oz e r o 最后讨 论了p 屯m d 与# u m t 由【3 】知，b 是兄罔的有限生成理想，则b g v ( r ) 当且仅当b n r 0 ，且c ( b ) g v ( r ) 但是，在多项式环的 r 理想上，我们得 到了如下的结果：( 1 ) 设b 是n x i 的有限生成理想若b t a v ( r 陇】) ，则 c ( b ) + 一g y ( 只) ；( 2 ) 设g 冗且c ( 9 ) 。= r ，则对任何b 昱 b 0 ，我们 有a = ( 6 ，g ) $ 一g v ( r 陋】) ；( 3 ) 设b 是r 【别的有限生成理想，若b n r 0 且c ( b ) 一g v ( r ) ，则b 一g y ( 冗【捌) ；( 4 ) 设q 是r x i 的极大 。理 想，若p = q n r 0 ，则q = p j 且p 还是r 的极大 。理想 在多项式环的u p p e rt oz e r o 中，运用 。算子我们得到了如下的结果： ( 1 ) 设p 是r l 中的u t z ，则p 是 。可逆理想当且仅当p 是极大的 。理想 当且仅当c 0 ) 。= r 当且仅当c ( p ) 是 。可逆理想当且仅当存在g p ，使得 c ( g ) 。= r ( 2 ) 设p 是r i x 】中的u t z ，且p k x = a k 1 ，a p 是k p q 中的既约多项式若c ( q ) 。= r ，则p = d r 闭( 3 ) 设p 是冗】中的u t z ， 且p k i x j = a k 】，口p 是g x l 中的既约多项式若c ( 口) 是r 可逆理想， 则p = c ( n ) a r x 1 另外，我们给出了+ 。整环的概念，得到了整环的的等 价刻画，即l ，( 1 t ) 。当且仅当由j 一a v ( 固，能推出j t 一a v ( t ) 当且仅当对? 的任何理想素 。一理想p j p n 只是r 的 。理想当且仅当t 是 r 上的t r 整环 p u y o n g ，a n l 9 8 2 y a h o o c o n l c n第2 页，共3 1 页毕业论文 前言 最后给出了p u m t 的概念，即指r 陇l 中的每个u t z 都是极大的一理 想在对 u m t 整环研究时，我们发现每个素 r 理想是 t 理想设兄是一个 事u m t 整环，p 是r 的一个素 r 理想，t 是整环且t 是r 上的代数扩张q 是? 的一个素理想且满足q n 兄= a 则q 是t 的 。，理想同时，r 是p 帆m d 整环当且仅当兄是p , m d 整环当且仅当是p 。m d 整环从而推广了【1 】的 结果 p u y o n g y a n l 9 8 2 y a h o o t o m c n 第3 页，共3 2 页毕业论文 第一章星型算子理论与木。一模 本文恒设r 是具有单位元的交换整环但不是域，k 是r 的商域设a 是 耳的戽子模，若存在非零元素d r 使得a a r ，这等价于说存在非零元素 c k ，及兄的非零理想，使得a = c i ，则a 称为冗的分式理想从分式理想 的定义可以看出，每个非零分式理想等价于一个非零理想，因此在很多关于整 环的讨论中，用非零分式理想与非零理想互换，其等价刻画的结论依然成立用 f ( 冗) 表示冠的非零分式理想的集合，f ( n ) 表示是的非零有限生成分式理想的 集合所谓整环r 上的星型算子，指的是兄的非零分式理想集f ( r ) 上的一个 映射 ：a a ，它满足以下性质： ( 1 ) 对任何a f ( 兄) ，口k 一0 ，有( 口) = ( o ) ，( a a ) = a a 。 ( 2 ) 对任何a ，b f ( 固，若a b ，则有a 鼠 ( 3 ) 对任何a f ( r ) ，有以也，且( a ) 。= a 对a f ( r ) ，若a 。= a ，则a 称为r 的搴- 分式理想若a 是r 的理想 且a 。= a ，则以称为r 的# 理想如果对任何a f ( 兄) ，恒有a 。= u8 ， 其中b 取遍a 的一切有限生成子分式理想，则称为具有有限特征的星型算 子若a 是r 的分式理想，存在a 的有限生成子分式理想b ，使得a = 鼠， 则a 称为奉- 有限型分式理想对a f ( r ) ，令d ( a ) = a ，这就是一个星型 算子，记为d 这是一个平凡星型算子，每个理想都是击理想设a 是k 的 舜子模，定义a 以= z k l z a 妄r ) 如果，是r 的非零有限生成理想， 且j 1 = 冗，则称，是兄的g l a z - v a s c o n c e l 0 6 理想( 简称为g v 理想) ，并用 | ，g v ( r ) 表示若，是r 的非零有限生成理想，且 = 足则称，是兄的 * - g l a z v a s c o n c e l o s 理想( 简称为+ g v 理想) ，记j 一c v ( r ) 设i f ( 兄) ， 定义映射为：j 一l 。= 伽k i 存在j 一a v ( 冗) ，使得t ，z n ，由 【1 1 知l 。是星型算子如果i = l 。，称，是 。理想若j 是无挠品模，则f 称为t r 模在f ( r ) 上，映射定义为屯：i 一k = u 五i 了，( r ) ，j 0 且 ，由( 1 】1 有k 是星型算子若，= k ，称f 是 t 理想，显然有k 是 。 理想若，是无挠岳模，则，称为 r 模若a f ( r ) ，存在b f ( r ) ，使得 第4 页，共3 2 页 第一章里型算子理论与+ 。模 b ) = r ，则称a 为- 可逆 设m 是无挠b 模如果由j 一a v c r ) ，z k q m ，和如m 能 推出z m ，则m 称为。模若m 是r 的分式理想，则m 称为 r 分式理 想定义坂。= 卫k o m i 存在j 一c v ( r ) ，使得j z m ，称之为m 的 。，包络我们自然地把m 作为虬的子模由【l 】 我们知道算子具有 有限特征关于一般奉- 算子和妒算子的详细讨论，可以参见文【3 1 ，【4 】，f 5 】， 6 1 ， 【7 | 等 1 1 预备知识 九i 命题1 1 1 “( 1 ) 若工= 冗，则工。= r ( 2 ) 设，是r 的理想，j 0 = r 当且仅当存在工一r ，使得， ( 3 ) 设，是月的真 r 理想，则对任何j 一a v ( n ) ，有，垡， n 1 命题1 1 2 一设m 是无挠模，a 且是肘的子模 ( 1 ) 若a b ，则a b ( 2 ) 若j 是月的理想，则( f 吖) 。= ( l 。旭。) 。= ( l 。m ) 。 ( 3 ) 旭。= u 。l m ，且是有限生成的) ( 4 ) ( m n ) = 坛。n 肌。 f 3 l 命题1 1 3 ”r 中高度为1 的素理想是r 理想 命题1 1 4 ( 1 ) 设j 是r 的真。理想，则对任何j 一a v ( 固，有 ，垡， ( 2 ) r $ 一a v ( 两 ( 3 ) 设而，j l 都是兄的有限生成理想，且而 若j o $ 一g v ( r ) ，则 一g v ( 厨 ( 4 ) 若五，厶厶是 一g v 理想，则五五厶也是 一g v 理想 证明 ( 1 ) 由命题i i 1 即知 ( 2 ) d 一a v ( r ) ，则r = 以c 见= r ， p u y o n g y a n l 9 8 2 y a h o o c n 第5 页，共3 2 页毕业论文 第一章星型算子理沧与+ 。模 ( 3 ) j 0 s 见= 冗，所以以。一g v ( r ) ( 4 ) ( j 2 j _ ) = ( j l 。五一k ) = r 我们知道伽，扣，铲，击算子是四个星型算子伽算子：l = ( i - i ) ， 则仇( ) 是t ) 算子击算子是f ( 固上的恒等映射，即对任意，f ( 兄) ，有 如= j 显然有d = 磊= 缸设宰， l 是冠上的星型算子且 1 ，则对任意 i f ( 冗) ，有r ，“显然， 。机 ，因此d w t 同理，若 + 1 ， 则 i + “和 。+ i 。特别地，因为d s 口，所以d 龟t 和d s 。 例1 1 5 设8 l ，眈，戤是霆上的非极大正则序列，从雨有 ( a l ，a , z ，a k ) 。c ( a l ，o , 2 ，o i ) 证明 由于a l ，n 2 ，是正则序列，由1 3 】有，( a l ，a 2 ，) 1 = r 从 而( 0 , 1 ，a 2 ，戤k = r 。设$ q 1 ，8 2 ，a k ) 。= 兄，若z ( a l ，a 2 ，敏) 。， 则( a l ，a , z ，) 。= r 故存在j * - g v l 【r ) ，使得j ( 8 l ，0 2 ，a k ) 从而 r = 工( n l ，a 2 ，毗) r ，即( m ，啦，口t ) 。= r a l ，n 2 ，“不是极大 正则序列，由【3 】，可以将它扩充为一个极大正则序列d 1 ，a 2 ，啦，m + 1 ，吼， ( 口1 ，a 2 - 一，d 膏) 一1 = r ，( d l ，n 2 ，- 一，o ，a + 1 ，) 一1 = 兄从而 r = ( n 1 ，a 2 ，) c ( a l ，a 2 ，o t ，a k + l ，a o ) 。；r ， 矛盾故有z 隹( 0 , 1 ，a 2 ，口 ) 。，即( 。1 ，d 2 ，a k ) 。，c ( a l ，口2 。，a k ) 。 m 是r 的极大凹理想，当 = d 时，m 不是冗的极大理想， 命题1 1 6 设m 是无挠模，ab 是m 的子模 ( 1 ) ( a + b ) 。= ( a 。+ 鼠。) 。 ( 2 ) 若m 足，则坂。g k 证明 ( 1 ) 设z ( a 。，+ b 。) 。则j - g v ( r ) ，使得如a 。+ 鼠。 设j x = a a x + b 1 z ，其中a l 。a b l z b 从而，存在以，以十一g v ( r ) ， 使得 j l = j 1 j 2 a l x + j 1 j 2 b l x a + b 因此z ( a + b ) 。，即( a 。+ 鼠。) + b ) 。相反的包含关系显然， ( 2 ) 对m 的任何有限生成，。( m 。) 。= 心，从而 厶。肛。 p u y o n g y a n l 0 8 2 y a h o o t o m c n 第6 页，共3 2 页毕韭论交 第一章星型算子理论与。模 命题1 1 7 设 尬 是一簇无挠模 ( 1 ) ( n 尬) 。= n ( m ) 。 ( 2 ) ( o ) 。= 0 ( 尬) 一 ii 证明 ( 1 ) 记m = n 坛，有( 必) 。版。，从而有n ( 劭。尬。反 之，设霉地。，则存在| 7 一g y ( 固，使得如m = n 舰用分量来表 示n 坛中的元素，可记z = 陋】，其中8 尬，于是我们有j 尬，因此 z i ( ) 。，放z n ( 坛) 。 ( 2 ) 类似于( 1 ) 命题1 1 8 ( 1 ) j s c v ( r ) ，则( j m ) 。= 舰。 ( 2 ) 设m 是有限生成的，是m 的子模，则( n ：m ) 。= ( 。：坛。) 证明 ( 1 ) 把命题1 1 2 ( 2 ) 用于i = j 利用工。= r 即证 ( 2 ) 设r ( 。：从。) ，则r m cr m 。i v , 。由于m 是有限生成的，则 有j 一g v ( r ) ，使得j r m g n ，因此办( ：m ) 从而有r ( ：肘) ” 反之，设r ( n ：肘) 。，则存在j 一g v ( r ) ，使得打( n ：肘) ，因此 j r m n 由( 1 ) 有，r m 。 定理1 1 9 设j 是r 的理想，则( 厕。= 、，因此，若，是r 的一 理想，则以是 ，理想 证明 若r 瓦，则有正整数n ，及j 一g v ( r ) ，使得j r n ，因此 ( 打) n = ，p ，则有j r ( 以) 。 反之，若r ( v q ) 。则存在， 一g v c r ) ，使得j r 7 因此，有正整 数n ，使得p p j 由于，一g v ( r ) ，我们有r n k ，因此，r 厄 引理1 1 1 0 设m 是有限型的+ ，模，r 是m 的$ r 真子模，则存在m 的极大 。一子模a ，使得v a 从而r 的每个真 r 理想，包含在一个极大 。理想中，且r 的极大，r 理想一定是素理想 p u y o n g y a n l 9 8 2 y a h o o c o m 6 1 1 第7 页，共3 2 页 毕业论文 第一章星型算子理论与 。模 证明 记m = 鼠。，b 是m 的有限生成子模m ，令7 = a i n a ，b 呈 ，显然bgn ，故ner ，r 非空若a 是r 中的一个链，我们有a = u ；a 是m 的- 子模且b 垡a ，故a r 由z o r n 引理，r 中的极大元a ，则a 就 是m 的极大 乜广子模 引理1 1 1 1 设j 是r 的理想，则l 。= 冗当且仅当l 。= r i e 由l 。理想有，l 。( l 。) 。= l ，若l 。= r ，显然有l 。= r 反之，设l 。= r ，则有i 的有限生成子理想b ，使得r = b 因此 b 一c v ( r ) ，从而有冗= 反。l 。冗故l 。= r 定理l 1 1 2 设m 是冗的素理想，则m 是极大+ 。理想当且仅当m 是极 大 f 理想 证明设m 是r 的极大$ t 理想，则m 是。一理想若，是真包含m 的 。一理想，则由m 的极大性知厶= r ，则由引理1 1 1 1 有l 。= r ，因此m 是极 大 。理想反之，设m 是极大一理想，由引理1 1 1 1 知m 1 r 由于m 。 是$ 。一理想，则由僻的极大性知m = m 。从而m 是极大 r 理想 1 2 牛矿模一些基本结果 我程】将 r 算子用于一般的模上，得到以下的一些结果 命题1 2 1 设 m ) 是一簇无挠模则9 舰是+ r 模当且仅当玎坛是 tt f 模；当且仅当每个尬是 。- 模。 证明 设每一舰是 。一模记m = 0 ，f 设j + 一g v ( r ) ，z k p m = 0 僻。脱) ，如m 设z = ，以k q 版于是有如坛 因此盈尬故o m 记n = n 强注意k o ( n 磁) i - i 悸o 毛) 于是霉k o n 时，有 z l q ( 0 坛) 类似可证是t 。一模 p u y o n g y a n l 0 8 2 y a h o o c o m e l l 第8 贞，共3 2 贞 毕业论文 第一章星型算子理论与+ 。模 设m = 0 舰是 。一模设， 一g v ( r ) ，z k o 慨，j x 帆另 口是k o m 中第k 个分量是z ，其余分量是零的元素则k 圆m ，乃cm 因此m 故z 慨即m k 是k 模 类似可证若n = h 尬是女r 模，则舰是 。一模 命题1 2 2 ( 1 ) 设a 是的子模，则a - 1 是模 一一 ( 2 ) 每个投射模是+ 。模 证明( 1 ) 若有j 一c v ( r ) ，z k ，z a ，则对任何a a ，有 j a x r 因此口z j - 1 = ( 工) 1 = r ，从而有z a 一故a - 1 一定是* w - 模 ( 2 ) 由( 1 ) 得冗是 一模再由命题1 1 7 即得投射模是 。一模 f m 定义1 2 3 “设m 是r 模若由， 一c v ( r ) ，z m ，, i x = 0 能推出 z = 0 ，则m 称 一g v 无挠模 引理1 2 4 设m 是无挠模，则下列各条等价： ( 1 ) m 是。一模； ( 2 ) 对任何正合列0 一m f 与一0 ，其中f 是 。一模，则是 一g v 无挠模； ( 3 ) 存在一个正合列0 一m f 与一0 ，使得f 是 r 模，是 一g v 无挠模 证明 ( 1 ) 昔( 2 ) 设m 是 。一模，设j 一g v ( r ) ，z f ，使得在 中，如 ) = 0 ，于是如m ，z k ，从而有z m ，故9 p ) = 0 ，即是一g v 无挠模 ( 2 ) 爿( 3 ) 显然 ( 3 ) 号( 1 ) 是 一g v 无挠模，设如肘，j + 一g v ( r ) ，z k 由 于m f 及f 是 r 模，故z f 于是在中为0 ) = 0 ，因此g ( x ) = 0 ，有 z m ，从而有m 是矿模 对任何j 一c v ( r ) ，及任何b 模，设，= ( a 1 ，a 2 ，a t i ) ，令j 表 示n 个的直和定义 届：，胁，描( z ) = ( 口l z ，z ) ，z p u y o n g y a n l 9 8 2 y a h o o c o m c o 第9 页，共3 2 页毕业论文 第一章里型算子理论与t 。摸 则易得模n 是 一g v 无挠模，当且仅当对每一个j 一g v ( r ) ，上面定义的 同态搿是单同态 定理1 2 5 设f 是平坦模 ( 1 ) 对任何 一g v 无挠模i f o 是 一g v 无挠模 r ( 2 ) 设m 是r 模，则f p m 是 一g v 无挠模 且 ( 3 ) f 是$ 。模 证明 ( 1 ) 对任何j 一g v ( 劢，由于眉：n 一册是单同态，由于 f 是平坦模，故，如凡。= 1 0 搿：f q f p n j = ( f o ) j 也是单同态 因此f q 是 一g v 无挠模 ( 2 ) 取正合列0 ，m 柏& m ，一0 由于k o m 是 r 模， 因此是一g v 无挠模由f 平坦模，有0 - + f o m 一膏o f o m 一 f o ，o 是正合列由于k f o m 是 模，矗警( 1 ) 有f 曷1 麓辜- g v r rr 元 无挠模，因此有f o m 是 。模 。 一 ( 3 ) 取m = 是，则f 掣f 兄是$ r 模 命题1 2 6 设m 是无挠犀模， ) 是m 的一簇，子模 ( 1 ) n 尬也是 ，的 。- 子模 ( 2 ) 设 磁 是的+ r 子模的定向集，则u m , 也是m 的+ ，子模 证明 ( 1 ) 记n = n 脱，设j 一c v ( 固，。k ，使得t ，z 磊， 从而对任何i ，。脱，故? ( 2 ) 记n = u 觚，设t ， 一c v ( 固，z k ，由于，是有限生成的， m 是定向集，我们可选取适当的 ，使得，z 磊，从而有$ 磊n ，故是r 模 定理1 2 7 设m 是无挠甩模 ( 1 ) 眠。是- 模 ( 2 ) f 是r 模，m f ，则 l 。f ，于是肛。是包含m 的最小 。模 p u y o n g y s n l 9 8 2 y a h o o c o d 2 c n第1 0 页。共： ! 页 毕业论文 第一章墨型算子理论与 。一模 ( 3 ) 若m 是，。一模，则坛。= m ( 4 ) ( 坛。) 。= 地， ( 5 ) n 是肘的子模，则肌。尬。 证明 ( 1 ) 设如坂。，j 一a v ( 励，k o m ，记j = ( r l ，n r m ) ，r l ，r 2 ，r m ，于是n 版。，故对每一矗五 一c v ( r ) ， 使得 r z m ，因此， 如厶z m ，故z 坛。 ( 2 ) 设z 肌。，则存在， 一a v ( r ) ，使得如m f ，因此z f ( 3 ) 由( 2 ) 知 ( 4 ) 由( 3 ) 即知 ( 5 ) 设z 。，则存在j 一c v ( r ) ，使得妇m z k 圆n k o 吖，故善地。 命题1 2 8m 是有限型的当且仅当从。是有限型的 证明设m 是有限型的，则i v , = 尬，其中是m 的有限生成子模 从而( 尬。) 。= 版。= 虬。，故尬，是有限型的 反之，设尬。是有限型的，则尬。= 。，其中是肌。的有限生 成子模，故有j 一c v ( n ) ，使得，r m ，由州是有限生成的，且 ( j n ) 。= 。= 眠。，故m 是有限型的 命题1 , 2 9 设f 是无挠模，肘是f 的子模若m 是有限型的，f m 是有 限生成的，则f 是有限型的， 证明 设眠。= ( r z l + 肋2 + + r z 。) 。，f m = 谤l + 廊2 + + j z 巩， 其中z l ，z 2 ，m y l ，抛，f 设j , - a v ( r ) ，z k 圆f j x r f 记j = ( a l ，眈，) ，则0 4 x 励1 + r 驰+ + r 鼽4 - m ( m l + p , z 2 + + 鼢机+ r y l + 冗蓦1 2 + + 冗) 。，因此有只。= ( r x l + r x 2 + + + r y ：+ r y 2 + + 冗鼽) 。 p u 聊l 母彻1 9 8 2 y a h o o t o m c n 第1 l 页，共3 2 页 毕业论文 第一章里型算子理论与 。一摸 1 3 素子模上宰扩算子 我们回顾一下星型算子在【3 】中，- 算子是具有有限特征的星型算子，若 a r ，且a = r ，则对兄的每个素 一理想p ，4 = 岛由【1 j 有， 。算子是 具有有限特征的星型算子于是，把此性质运用到* t o o 算子中，将得到素子模的 一些结果设r 互? 是整环扩张，对任何无挠的弘模b ，在引理1 3 1 中，我们 用鼠。表示其作为d 模的 。一包络，以便与其作为b 模的+ 。- 包络相区别 引理1 3 1 这m 是无挠戽模 ( 1 ) 若p 是r 的素 一理想，则( 屿) + ，= ( ( m 。) p ) ，且若m 是有限型 的，则也是有限型的 ( 2 ) 对兄的任何素 。一理想p ，屿= ( 地。) p 且若m 是有限型的，则对 r 的任何 。理想p ，坞是有限生成的墨模 证明 ( 1 ) 由m a 有，( a 知) 。( ( 地。) p ) 。现设z ( ( 地。) p ) 。， 则存在j 一g v ( r ) ，使得如( 尬。) ，由于，是有限生成的，故存在有 限生成理想，使得，= 厶从而，存在c r p ，使得c i x 肛。因此， 一a v ( r ) ，使得 几z m 从而， p j 口= p 易 易由【3 1 3 有 以，= 马，从而 p j 一a v ( 岛) 故( 知) 。 记舰，= m 。，n 是m 的有限生成子模，则( 鸩) 。= ( ( 。) p ) 。= ( ) 。，故 易是有限型的， ( 2 ) 设z ( m 。) p ，则有3 冗一p ，使得鲫从。取j 一a v ( 固， 使得j s x m 由于p 是素 。一理想，我们有，譬p ，因此j p = 蜀从而， 盯五8 z = ( j s x ) p 磊，于是，z d 磊 记耽。= 。，n 是m 的有限生成予模，则屿= ( 旭。) p = ( 。) ，= p ， 故螈是有限生成的 定理1 3 2 设m 是无挠模，a ，b 是m 的子模，则a 。= 且。，当且仅当对 任何m 。二m a x ( r ) 有= 8 m 证明 设a 。= 鼠。，由引理1 3 1 有，对r 的任何极大 。理想m ，有 a m = ( a 。k = ( 鼠。) 。= b 。反之，设a 。，记j = ( b 。：$ ) = r p u y o n g y a n l 9 8 2 y a h o o , c o r n c n 第1 2 页，共3 1 页毕业论文 第一章星型算子理沧与女。一摸 r l r x 夙。) ，则，是$ 。一理想由假设m 一m a x ( r ) ，a 。= 毋。我们有 ( 鼠。) 。= i k = a 。= ( a 。) 。 从而 k = 扣如。i ( b 。) 。) = d ，k i 凹( a 。) m = 足r 。 因此，对r 的一切极大 。一理想m ，igm 由于j 是r 理想有i = r ，则 夙。，即a 。c 鼠。同理可得鼠。a m 故a 。= 鼠。 我们给出定理1 3 2 的另外一种说法设a ，b 是 。一模，：a b 是同 态，则，是同构当且仅当对冗的任何极大。一理想m ，m ：a 。一日。是同构 命题1 3 3 设j 是r 的非零理想，且l 。r ，m 是有限形模，着 以。= ( i m ) 。，则m = 0 证明由于k r ，故存在r 的极大 r 理想m ，使得l ，m 由定理 1 3 2 有，m 。= ( i m ) m 又由引理1 3 1 有，是有限生成的足。一模由【3 】有， j l = 0 ，m 是无挠模，因此m = 0 命题1 3 4 设f 是有限型的 r 模，m 是f 的 r 子模，设1 = ( m ：f ) ，p 是冗的素搴- 理想，则= ( 肘；：昂) 证明 由条件有，p m ，我们有昂 从而有易( ：昂) 另一方面，设r r ，怫，b 是f 的有限生成子模，且取。= f ，于 是有r b r 昂嗨，因此存在s 冗一p ，使得s r b m ，我们得到 s r f = s r b , = ( 卵b ) 。心。= m ，故卵，r ，因此( 易：昂) 引理1 3 5 设尸是兄的素。理想，m 是$ 埘- 子模若a 是的p 准 素子模，则a 是 。一子模 证明 设，一o v c r ) ，z k o a ，j x a ，由于m 是 。一子模，因此 我们可设z m ，而p 又是素。理想，因此，垡p ，从而有z a 定理1 3 6 设尸是r 的素 。一理想，q 是冗的p 准素理想，m 是有限型 的+ 。一模，是m 的 。- 子模，且( ：m ) q 则 p u y o n g 弭n i 9 8 2 y a h o o m 。c n 第1 3 页，共3 1 页毕业论文 第一章星型算子理论与 。模 ( 1 ) ( ( + p m ) 。：m ) = p ( 2 ) 令a = 仁m i 存在5 r p ，使得船n + q m ，则 砑丽= p ，且a 是m 的准素子模特别地，若q = p ，则( a ：m ) = p ，且a 是m 的素 子模 ( 3 ) 若尸是( n ：m ) 上的极小素理想，则a = 缸