（基础数学专业论文）奇数维流形上示性类的消去公式.pdf

l ，、 j-j1，i 、_ 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名： 鞋 日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盗指导教师签名：盟 日 期：丝垦篁：! 日 期：迎坦。：! 王 学位论文作 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： ， 、 ， a l b 摘要 我们研究了奇数维流形上的一些扭化的示性模形式通过它们之间的关系以及模形式的性质我们得 到了1 5 维和1 3 维流形的示性式的反常扭化消去公式 关键词：示性式；模形式；消去公式 r ， a b s t r a c t w es t u d ys o m et w i s t e dc h a r a c t e rm o d u l a rf o r m so i lo d dd i m e n s i o n a lm a n i f o l d s b yt h e i rr e l u c f i o n s t h ep r o p e r t i e so f m o d u l a rf o r m s ，w eg e tt w i s t e da n o m a l yc a n c e l l a t i o nf o r m u l a so n15 d i m e n s i o n a lm a n i f o l d s a n d13d i m e n s i o n a lm a n i f o l d s k e yw o r d s ：c h a r a c t e r i s t i cf o r m s ；m o d u l a rf o r m ；c a n c e l l a t i o nf o r m u l a s 、 目录 中文摘要i 英文摘要 目录 1 引言1 2 示性形式和模形式5 3 1 5 维流形的消去公式1 3 4 1 3 维流形的消去公式1 7 参考文献1 8 致谢1 9 i i i 一、l 东北师范大学硕士学位论文 1 引言 在1 9 8 3 年，物理学家a l v a r e z g a u m e 和w i t t e n 1 发现了关于1 2 维光滑黎曼流形上在h i r z e b r u c h l 一形式和才一形式顶度元素之间的一个漂亮关系，他们称它为”奇妙消去”公式刘 克峰【2 用( s k + 4 ) 维黎曼流形的示性形式中模不变性质建立了更高维的”奇妙消去”公式 在【3 ， 4 】，对于( 8 k + 4 ) 维光滑黎曼流形，建立了一种更为一般的包含复线丛的消去公式这 种公式首先应用于旋流形，然后得到了一些有趣的结果韩飞和黄晓玲 5 】5 对于( 8 k + 2 ) 和 ( 8 k + 6 ) 维的光滑黎曼流形获得了一些消去公式 在另一方面，运用c h e m s i m o n s 理论【6 ，陈青陶和韩飞计算出一些关于椭圆亏格的模不 变示性形式的超度形式他们研究的是模性质中的二阶示性形式和它们之间的关系他们 也得到了i1 维流形上的反常消去公式很自然我们会想得到奇数维流形上一些超度扭化模 形式和扭化反常消去公式在这篇论文中，我们计算了超度形式中涉及扭化椭圆亏格的一 些模不变示性形式我们研究了模不变的二阶示性形式和它们之间的关系我们同样得到 一些奇数维的扭化反常消去公式希望这儿获得的和模性质联系的新的几何不变量能运用 到其他领域 这篇论文的形式安排如下：第2 部分，我们复习这篇文章需要用到的示性形式和模形 式的知识第3 部分，对于( 4 k 一1 ) 维流形我们应用c h e m s i m o n s 超度到关于扭化椭圆亏格 的模不变性质的示性形式并且获得一些有趣的模性质中的二阶示性形式用这些二阶示性 式的关系以及文献【7 中的一些结论我们计算出1 5 维流形的扭化消去公式第四部分，对 于c 4 k + 1 ) 维流形的过渡阵，我们仍然得到模性质中的一些有趣的二阶示性形式我们也计 算得到了1 3 维流形上的扭化消去公式 东北师范大学硕士学位论文 2 示性形式和模形式 这一部分的目的是为了复习文章中需要的一些必要的示性形式和模形式的知识 2 1 示性形式设m 为一个黎曼流形，v r m 为t m 上的l e v i c i v i t a 联络，并且r 删= ( v r 肘) 2 为v 7 肘上的曲率相关的定义可以参考 8 】、 9 、 1 0 设承丁坛v7 肘) 和z i 丁m v r m ) 是h i r z e b m e h 的示性形式( 参考 1 1 ) a ( t m , v t m ) = d e t ； 嵩) ， l ( t m , v t m ) = d e t ；( 嵩 亿- ， 令e ，为m 上两个h e r m i t i a n 向量丛，v ，v f 为h e r m i t i a n 联络令r e = ( v ) 2 ( 旷= ( v f ) 2 ) 为v ( v ，) 的曲率我们定义一个形式差g = e f ，显然g 上有诱导的h e r m i t i a n 联络v 6 定 义联络的c h e m 示性形式如下： c h ( g , v c 叫唧c 罢购h 唧c 罢叫 亿2 ， 对于任何一个复数t 使得 r ( ) = c l 村+ t e + f 2a 2 饵) + ，s r ( ) = c i 村+ t e + f 2 s 2 饵) + 表示k ( 加 f 中的外形式丛和、对称化丛则有下面两个等式 s ，怛) = 丽i ， r 循一d = 舍鲁 ( 2 3 ) 如果l ， q ) ：是h e r m i t i a n 向量丛的标准c h e r n 根所以 c h ( r ( e ) ) = v i ( 1 + e p 7 ，) ( 2 4 ) 我们得到c h e m 示性形式的下列公式， c h ( s t ( e ，= 高，c h c r 循一f ，= 若 | 耋焉 c 2 5 ， 如果w 是实的欧式向量丛在流形m 上取得一个欧式联络v ，那么它的复化阿，c = w o c 是m 上典范诱导关于w 在h e r m i t i a n 度量下的一个复向量丛，由v 诱导出的h e r m i t i a n 的联 络v m 上的向量丛e ( 复的或者实的) ，设置= e d i m e 在k ( 胸或者k o ( m ) 中 2 东北师范大学硕士学位论文 2 2 一些关于j a c o b it h e t a 函数和模形式的性质 首先，我们回忆参考 4 中定义的4 个j a c o b it h e t a 函数，如下所示； 伏1 ，1 - ) = 2 9 i 1s i n o r v ) h ( 1 一q j ) ( 1 一p 正瓢g 呗1 一r 打何”一) 】， ( 2 6 ) = i 9 1 ( v ，f ) = 2 9 c 。s o r v ) 几【( 1 一) ( 1 + 尹仃”一) ( 1 + 旷抽何”) 】， ( 2 7 ) j = l 仍( 盯) = i - - i l l l 一，) ( 1 一矽佩矿 ) ( 1 一e 一打佩矿 ) ， ( 2 8 ) j = l 0 3 ( ，。f ) = 几 ( 1 一q j ) ( 1 + 矽仃”矿 ) ( 1 + p 勘佩一一；) 】， ( 2 9 ) ，= 1 这里的q = 砂儡，t h ，属于上半复平面使得 矿( o ，了) ：篓盟 d v 然后根据j a c o b i 恒等式展开( 引用 4 ) ， 矿( o ，1 ) = n 0 1 ( 0 ，下) 0 2 ( o ，r ) 0 3 ( o ，1 - ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 用s 三：c z ，= ( ；d bja , b , c , d z , 耐- b c = 1 来表示模群s = ( ：) ：) ，r = ( ：) 为s l 2 ( z ) 的两个生成元然后s r = 一；1 ，r 1 - = 1 - + 1 作用在h 上一个在s 和t 的作用下得到 如下t h e t a 函数的超渡公式( 引用【4 】) 帅+ 1 ) = p 学舐州，o ( v ，一扣击( 寺) 2 矿o ( r v ) ； 伏u 丁+ 1 ) = p r 舐v ，丁) ， ，一= ) = f 寻i f 寻 矿1 “ ，r ) ； 0 1 ( 州1 ) = e - - r - - o j ( v ，) 0 1 ( v 一矧击) 5 矿例帆f ) ； ( u 1 - + 1 ) =，) ，( v ，一二) = i 下i 矿”如( n f ) ； 0 2 ( v , r + 1 ) 圳州州v ，一扣( 击) 5 矿埘州) ； 0 3 ( v , t + 1 ) 咧v 以0 3 ( v , - - 争( 击) 5 矿咖，f ) 对于以上超渡公式进行微分，我们得到 矿( ，1 + 1 ) ：p 孕矿( v ，f ) ， 帆一争击( 寺) 矿倒似儡帅删删； 3 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 东北师范大学硕士学位论文 驰，一争 呸( u 一争 饼( v ，t + 1 ) = p 华q ( v ，了) ， = ( 击) 5 矿崩c h 佩0 2 ( r v , t ) + 鹏c 埙 呸( u 丁+ 1 ) = ( v ，丁) ， = ( 击) 5 矿似一。c ，+ 叫c 仰，岛； 喏( v ，7 + 1 ) = 呸( v ， 缈，一扣( 寺) 2 1 矿例( 2 丌+ 呜( w 删 ( 2 1 6 ) 因此 岍三t ) = 占q - 1 ( 寺1 ) 5 础 ( 2 - 1 7 ) 、一， 。 定义2 1 在r 上的一个模形式，一个s l 2 ( z ) 的子群，在h 上的全纯函数，形如 俐：= o f l 而a t + b j = 心( 盯州mv g = ( ；汁r ( 2 1 8 ) 这里的彤：f _ c 是r 的一个示性类k 叫做f 的权重 使得 r o c 2 ，= ( ；d b ) s 上：c z ，i c 三。c m 。d2 ，) ， 严c 2 ，= ( ；三 s 上：c z ，i 6 三。c m 。d2 ，) ， n = ( ；三) s ：c z ，i ( ；三) 三( 三：) 。r ( ? 三) c m 。d2 ，) 是s 上2 ( z ) 三个模子群很容易验证ls 丁2 s 丁是r o ( 2 ) 的两个生成元，s t s ，t ：s t s 是严( 2 ) 的 两个生成元，s ，t 2 是f e 的两个生成元( b i l l 【7 】) 如果r 是个模子群，m r ( r ) 表示在有实傅里叶系数1 1 上的模形式环记乃= 姒o ，下) ，1 j 3 ，这里我们引进6 个明确的模形式( 参考 9 ) ， 6 ( f ) = 丢( 醒+ ) ，s ，( 丁) = 去酲， 如( 丁) = 一丢( 钟+ 酲) ，s ：( f ) = 去田霹， 如( r ) = 丢( 研一磋) ，s s ( f ) = 一去研酲 下面是傅里叶系数在g 下展开： 州t ，= 砉+ 的+ ，s l ( f ) = 而1 一g + ， 4 一 一一一 一 东北师范大学硕士学位论文 _ 二_ 二二= 二= 二二一- 如( 砷= 一虿1 3 9 + ，见( 力= 9 + ， 6 3 ( r ) = 一昙+ 3 9 + ，句。) = 一g + ， 这里的”是更高次数，所有这些都有整系数它们满足超渡法则。 晚( 一 ) = 而， 眈( 一三) ：4 s l ( 丁) ， 1 屯( 丁+ 1 ) = 西( 丁) ， q ( 丁+ 1 ) = 旬( 力 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 引理2 2 ( 参考【1 0 l ( f ) r s l ( 1 是在f o ( 2 ) 上权重为2 例的模形式，6 2 ( f ) 侮2 ( t 矽是在1 1 0 ( 2 ) 上权重为2 的模形式，而曲( 丁) 陋3 ( 叫是在f o ( 2 ) 权重为2 仰的模形式此外朋r ( 一( 2 ) ) ： r 如( 力，旬( r ) 】 3 1 5 维流形的消去公式 令m 为锨一1 维黎曼流形并且令f 为其上秩为2 的实的可定向欧式向量丛其欧式联络 为书 l ( m 话) 2 暨s 矿( 翮。o 矿( 硒一砭) p o ， 磊) 固0 0 0 吖一匠) 2 l m = l r = l 。 s = 1 1 0 2 ( t c m , 孝c ) = os 矿( r - c r - c r - c r - c r - c r - c r 翮。o 彳一( 翩一砭) 固o ，一；磊) 。圆 矿( 品) ， 2 1 m = l r = l 1 5 = 1 0 3 ( t c m 毒c ) = o s 矿( 翮固o ，i ( 莉一砭) 。o 矿磊) o 矿；西) ( 3 1 ) n = lm = l r = l筘1 定义c = 蟛，v 5 ) 为f 的联络v 的欧拉形式定义 吼( v t m , v f = 尝c h ( l ( 您脱缸) ，v e 。( r c 蟾) ) c o s h 2 ( 等) 、”。 ” w ( v t m , v f , r ) = 4 ( 丁坛v t m ) c 。s h ( 量) c h ( 。2 ( 必缸) ，v 。2 野朋) ， 知( v 丁肘，矿，力= 承r mv 7 肘) c 。s h ( 兰) c h ( 。3 ( 您m 缸) ，v e 3 ( 乃 拖) ) ( 3 2 ) 定义 2 丌吼i1 _ ，k - 1 ) 和 h 何埘为您朋和话各自的陈根令c ：扫仁l ，通过直 接计算我们得到( 参考 1 4 】) 姒俨小伊艏即嬲篱) 鬻端粼 ； b 3 ， 州俨加m j = l 嬲鬻) 鬻揣糕； 4 ， 5 嘲俨m = 阿。黜鬻) 考虑定义在c x h 的公式， 知q ，了) = ： 知，( z ，f ) = ： f c 缸( z ，神= z 鳄( o ，r ) 0 1 ( 甜，丁) 0 2 ( u ，丁) 畴( r ) 臼l ( o ，r ) 0 2 ( 0 ，丁) e ( o ，) 0 1 0 ，1 - ) o ( z ，丁) 疗l ( 0 ，订 矿( 0 ，r ) 兜0 ，f ) o ( z ，下) 0 2 ( o ，1 - ) ( o 了) 如( z ，神 o ( z ，1 - ) 0 3 ( 0 ，r ) 应用c h c m - w e i l 理论，我们得到了如下吼，矽，钐： ( 3 5 ) 姒俨一捌障r t m 丁) ) d e t ( 器需裟) 固 州一a c t v r t m 归( 鬈裟需 ； 伍7 ， 嘲俨m 础；僻r t m h 鬈需裟) 8 ， 设e 为向量丛并且f 常数项1 的幂级数定义新的联络v ；给定v 乒= ( 1 一，) v ；+ f v ；且 尺尹， 0 ，l 】，( f ) 是关于幂级数八曲对于工的微分，山是一个闭的形式回想定理2 2 ( 参 考 3 】) 定理3 1 ( 参考 4 】) det：1叭e，)一det；)灿=dj：1互1吣-。,叭1ejj叫盯【百ave丽if(re)0 c f f ( 3 9 ) 二 l 口l，l “il 我们令e = 丁m 和a = v i 肘一v 吾肘，根据引理3 1 得到吼( v 1 t m ，v f ，r ) 一吼( v o t m ，彤，1 ) = 丽1d j o l 删m , v f , r ) t r h 雾1 一 定义c s e 上( v o r , v ；村，彤，丁) ：= 剐姒v i m , v f , r ) t r 悖1 一 西矽，知复习以前的公式定义 c s ( v o t m , v i ，v f ，1 ) ：= 壶j ：1 吲v 一嘲仃 ( 奈r t m ，q ( 型4 2 2 ，丁) 俄攀，下) 。8 1 ( 京r t m ，丁) 肛 肛 么、i 雾1 一筹r t m + 搿r t m 肛 6 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 、 力一力 矿堡警 q 一吼 力一力 堕峭 东北师范大学硕士学位论文 c s ( v r m , 飞、m ，飞 ，曲 ：= “吲咿咖仃悖一篇r t m +篙) 】 ( 3 1 3 ) ( 参考 7 】) 定理3 2 设肘是一个4 七一1 维流形且v ；m ，v j m 是t m nf 上的两个二维定向欧式实的 向量丛上的欧式联络彬，我们得到 1 ) l c s l ( v 吾u , v ；m 旷，i - ) ( 4 k - 1 ) 是t o ( 2 ) 上权重为2 k 的模形式； c s c w ( v t ou , v p ，彤，丁) ( 拈1 ) 是r 1 0 ( 2 ) ；上权重为2 k 的模形式； i c s ( v g , v ；肘，彤。r ) ( 拈1 r o ( 2 ) 上权重为2 k 的模形式 2 ) ) c s o 胛o t m , v 肘，v f ，一扣似1 ) - ( 2 1 - ) 弘鄙吲v t m , v t m , v f 州) ， ( 3 彤( v j ，v 肘，丁+ 1 ) = c s ( v ；肘，v j 肘，v f ，丁) 这个定理证明用到以下公式 矿( o ，一；) 0 1 ( z ，一) o ( z ，一) 0 1 ( 0 ，一) c 嘲嬲篱； ；1 一篱+ 端= t 0 1 矧o ( t 2 , + 糕o ：( t z ) ； 一一了一十_ 2 i 一一_ + o = _ 一i ： z 一)乜一) 亿 7 ) ，力， 堕! ! ：二三11 1 1 竺：二三i ! ! ! ! ：二三i ! 一! 塾坠旦鱼9 玑t ) o l ( l r ) 暗( 地一) 毋( o ，一；) 眈( o ，一5 一丽 0 3 ( o ，丁) 臼1 ( o ，下) f 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 举个例子，设肘为11 维流形即k = 3 c s o l ( v o t m , v mv f ，r ) ( 1 1 ) t o ( 2 ) ，上权重为6 的模形式 并且 c s ( v 吾v j 材，f ) l ( 11 ) 是严( 2 ) 上权重为6 的模形式有 吼( v 吾m ，v 一，一抄1 ) = ( 2 0 6 c s o 柙j m , v j 村，v f ) ( 1 1 ) c s c w ( v t m , v f 肘，v f ，1 ) l ( 1 1 ) = z o ( 8 6 2 ) 3 + z l ( 8 晚波， c s o z ( v ；u , v 肘，伊，f ) ) ( 1 1 ) = 2 6 z o ( 8 6 1 ) 3 + z l ( 8 6 l 弦1 】 一一唑c ，廿| 4 毒一8 砌n 亩r t m ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 1 11 ( 1 l l l 斫 ， ( 3 1 9 ) 川 j 2 - = f 1 承丁mv j ) c 。s h ( 三) ( c h ( 坛v m ) 一3 ( 矿+ ，一2 ) ) 仃卜( 南一壶肛 7 东北师范大学硕士学位论文 扣螂c o s h c 三，仃1 如譬州( 南一去州“伍2 。， ( 参考 1 】) 推论3 3 ( 参考 7 】) q - 甄峭( t m , v _ r , m ) 仃卜去) ) ( 1 = 8 f 1 承丁坛v j 肘) c 。s h ( 兰) ( c h ( 您mv 肘) 一3 ( e c + e - c - 2 ) ) 承丁必v ? m ) c 。s h ( 三) 仃 推论3 4 ( 参考 7 】) f 1 爿i 酽一 8 砌n 寺r t m肛 彳怯1 n 譬一3 1 而一 等仃b t a 制。 壶) 8 栅霉j j l 、( 1 1 ) 折 ( 3 2 1 ) j 娟荡承，必v r m ) c o s ( 4 鬟) ( 3 c h ( 托晌- c h ( 您m v r c n ) + 1 3 ) g 占t a n 石 1 出+ f 1 承t m , v r m ) c o s ( 4 舞徊 芸s i n 丢】出 。 ( 3 2 2 ) 根据上述方法，我们可以计算i j = 4 的情形设m 为1 5 维流形，我们可以计算出 邯吼( v ；m ， 是t o ( 2 ) 上权重为8 的模形式， c s o w ( v t m , v f 肘，v f ，丁) 1 5 ) 是1 1 0 ( 2 ) 上权重为8 的模形式 c s 矽( v j m ，v j 肘，丁) 1 5 ) = z 0 ( 8 6 2 ) 4 + z i ( 8 6 2 ) 2 眈+ 之鼋， c sc z ( v o t m , v j 肘，v f ，) l ( 1 5 ) = 2 s z o ( 8 6 1 ) 4 + z l ( 8 6 1 ) 2 l + z 2 鼋1 根据傅里叶系数在q我们可以计算得到其在q 处的展开： + 的+ ，s l ( 下) = 而1 9 + ， 如( 丁) = 一百1 3 q 一3 9 + ，眈( 1 ) = g + 8 9 + ， 西( 1 ) = 一百1 + 3 q 一3 9 + ，6 3 ( t ，= 一g + 8 9 + ， 8 v ；肘，v f ，r ) l ( 1 5 ) 有 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) - ， 一一 ，l 6 东北师范大学硕士学位论文 将这些公式带入公式( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 我们可以计算得到： z o ( 8 6 ：) 4 + z l ( 8 6 2 ) 2 眈+ 之= z o ( 一1 2 4 q 一2 4 q ) 4 + z l ( 一1 2 4 q 一2 4 q ) 2 ( 9 + 8 q ) + 勿( g + 8 q ) 2 = z o ( 1 + 9 6 q + 3 4 5 6 q ) + 2 i ( g + 4 8 q ) + z 2 q = z 0 + ( 9 6 z o + z 1 ) g + ( 3 4 5 6 z o + 4 8 z l + z d q f 3 2 5 ) 为方便起见其中q 次数高于1 次的的项省略不写，包括所有下来的公式中皆是如此省 略d ( g ) 的系数项引用公式( 3 1 2 ) 吲v m 肘m ：= 由工1 c w ( v 一卟，护卜睡一器r t m + 鬻r t m 肛 其次再计算 = 丽1f 1 承r 坛v j m ) ( 1 一g 曲( 露硗v 肘) ) + 洲 2 ) 翩+ 翩州巫1 一万菱r t m 4 f f 24 2 2 + 锄s 鼢攀南】西 o j 。u 三一型型型 z o ( z ，丁)晚( z ，丁) 年 2 ( 一1 ) ”q 砌+ 产( 2 n4 - 1 ) r r c o s ( 2 n + l 沏 1 n = o = = 一 ，l 2 ( 一l 广q 2 l h + 2s i n ( 2 n + l 切 n = o l z 丌 刀 一 一2 ( - 1 ) ”q22 n z s i n ( 2 n z t r ) n = l + 。：。一 胛 一 1 + 2 ( - 1 ) ”q2c o s ( 2 n z z ) 一= l s i n ( = )cos沏)堋可sin(3ztr)cos(zz)-3c o s ( 3 刎】 1 + ( 4 zs i n ( 2 z z o q + 8 丌s i n ( 2 = r ) c o s ( 2 z t r ) q ) 1 ：昙一絮+ ( 锄s t n ( 2 2 7 r ) 1 1 1z | ，t 7 三 = 一一一+ 1 4 ，r r 二 z s i n ( z z l 、 1 + ( 3 7 rc o s ( 3 = r ) 一7 r s i n ( 3 7 云r ) - c o _ s ( z z ) + 8 丌s i n ( 2 z ，r ) c 。s ( 2 研) ) g s i n ( z j r )s i n 2 ( z 丌) 、 “1 9 东北师范大学硕士学位论文 c s c p w ( v j m ，v 肘一= 壶f 1 陬丁坛v ? m ) ( 1 一g 一2 ch(t-ym,1v 肘) ) + 9 幽( 2 ) 面+ 面 1 t r ，m 1 3 r t r m3rtl m r ，m p 州壶一丌每) + 锄s 证喾西( 寻3 7 r c o s 一7 rs i n _ 百币c o s 互4 7 r 砌s i n 譬c o s 百r t 瑚 出 俐 s l l l 一 s m _ = 一 s u 】 一 4 r t4 7 r4 7 r = f 承r mv 删渺阻玄知一七】 出叼互 r 承丁mv i 肘) ( 砌( 疋加一1 5 ) 5 ，r t a n o 4 z r r m 州南一由) 帅 和岬m ( 疋州5 渺荨 出 m 啪百 3 r r m 尺j 肘r t mr ? 肘 + r 承丁必v i 村) 护叫( 等一竺三等+ 兰三学) 】) 击 ( 3 2 6 ) 葛s l n 二一 7 s m o 4 z4 丌 引用之前的公式( 3 1 ) ， 晚( m 缸) 29 蹦翩 莹 o - ( 翩一砭) 粤 ，一 匾) 暨西) ll = ( 1 + q t c m ) o 1 一q 2 ( t 面一2 品) + q a 2 ( 彳：劢一2 品) o ( 1 + q 2 品) + g 2 品) o ( 1 + 9 ) 1 = 1 + ( 3 磊一t 面m ) q 2 + t o m + a 2 ( t 西一砭+ 2 品+ 品一毒一c ( t c m 一砭) g 】( 3 2 7 ) 1 为了简化计算，我们将式子( 3 2 7 ) 分为两步来计算，我们先计算9 2 的系数，再计算q 的系数 c h ( 3 c t c m ) = 3 c h ( 言c ，昨) 一6 一砌( 疋mv l 肘) + 1 5 = 3 c h ( 毒c ) 一c h ( 瓦 d + 9 c h t c m + 2 ( 面一砭+ 2 品+ 品一毒c ( t c m 一砭) 】 - ， 东北师范大学硕士学位论文 那么得到： = c h ( t c m + 砌 2 ( 厨一砭) + c h a 2 磊+ 砌 ) ) 一c 厅磊) 曲( 厨一砭) 一1 7 ) 1 c h ( 0 2 ( 死肱托) ) ：1 + ( 3 c | l ) 一c h ( 7 。m ) + 9 ) q 2 + i c h ( t 。m + c h a 2 ( 厢一砭) + 砌 2 ( 品+ c i i i ( 托) ) 一幽( 品) 砌( e ) ( ，一2 ) 一17 ) q 复习以前的公式c s ( v j 肘，v ；mv ，t ) ：= 壶卜咿m 仃悖一喾+ 糍舯 f 3 2 2 ) = 工1 互c o s h ( 铷+ ( 3 幽( ) 一c h ( t c m ) + 9 ) q 2 + i c h ( t 。m + c h a 2 ( 面一砭) 。 s i n 垡三 一11 + 幽 2 ( 品+ 幽娅m 函) 幽( 初一砭) - 1 7 删酽一= 卫卅乎9 2 + 秀3 r t m 三一簧r r g + 妻咖和铷 4 啊钢 j m1 = 工1 a c o s h ( 2 ) 【f 州酽1 一瑶1 卅郾一郴。州酽1 一毒卜事】g 玉 r ，肘 r 1 n 一 ( 3 幽( 毙) 一c h ( t 。m ) + 9 ) t r ( 睾) + c h ( t c m + 如 2 ( e 动一2 品) + c h a 2 ( 昂+ 曲( 矗) ) 一幽( 昂) 曲( e 砑一 朋c 南一丢m 莲一譬专拳勘胁 0i 孑c o s h ( 三) 眇m 西南一七) 】出l ( 1 5 2 z 0 8 r r t a n 4 万 肜m 肛o s h ( 扣砌酚崛邶渺口( 南一萨) + 摹m s k 。 1 1 工1 孑c 。s h ( j c ) ( 3 砌 ) 一曲( 疋加+ 9 ) 蒯竺享+ 曲( 疋肘+ 砌 2 ( 厨一砭) 尺r m 椭2 磊+ 曲删品删初一砭) _ 1 7 川( 南一 m z c o s 等s i n 3 妒棚s 譬 删二垂一窘 4 j r4 1 r 通过计算最后得到待定的系数 r r m 8 t t t a n _ ：一 4 t t +三譬r亩tmsill cos71 】矿+ 一三一一 】饥个”，= 2 2 z 丌z 7 r 一 ( c s e 工( v o r , v mv g , 1 ) 1 5 = 2 8 z o ( 8 5 1 ) 4 + z l ( 8 6 1 ) 2 s l + z 2 s ；】 现在，我们只对其求常数项： 其中， 1 矿( z ，下) z 俐+ 糕 2 1 2 动+ 2 6 2 1 + z 2 s i n 切= 南s m 警 4 丌2 推论3 5 将这些系数代入到式子( 32 4 ) 展开得到： 2 l ： f 口 j r r m 8 7 rt a n - - - - - r 4 z r 警c o s h 删赤2 r 2 昙 一 ) 】斫 1 5 ( 3 2 4 ) c 。哆阻c 妒1 一翟1 珈舯2 6 “1 1 t 柚c 如蚓叫瓦邶帅c 南一 r ? m 2 丌 尺f 肘 ) + s i n 享】妒) + f p c o s h ( 扣懒m ( 瓦圳拿嘞( 疋肌甜( 蕊 2 毙) 协2 ( 品+ 曲一o h ( 品) o h ( r t m 一砭) _ 1 7 m ( 赤一 1 2 。r i 肘 8 万t a n 二一 4 厅 t 、i_， m 一种 p 亚喾 生砷 渺 譬耍岛d篮蟛州 。鍪第 上譬即一钺一m一力一斗亟h j 妒互咿礤 f 咖鲎雌 w ，鬲万 巫酽 纠 一 亿 r 一， v 一己一，k 村 一沁鼍嚎 v q ， o r 幻 e l 压 潍 豆睇 j 东北师范大学硕士学位论文 _ _ _ - _ _ _ - _ - _ _ - _ - _ _ - - _ _ - _ _ _ _ - i _ _ 一一一一一 州。兰五3 r , t m 一竺笔茅g t m + 妻。证譬洒譬删。s ， 坩建8 i t s i n r t tm 一虿+ 妻咖枷。升 定义： 41 3 维流形的消去公式 设肘为诎+ 1 的黎曼流形 定义： 0 1 ( t c m + 缸，缸) = o s 矿( 咒砑了缸) 9 0 矿( 您j 湃缸一2 品) 一= l 。粤 。一；函，。孽 m - - l a ，；骱) ， 一g 2 。2 ( 您m + 缸剖2 孽s 矿( 您解缸) 。暨 1 一( 如解缸一砭) 。粤 可，- 匠) p 莹西) s ( 您m + 缸列2 孽s 矿( 您解毙) 。莹 一( 乃舛缸一砭) o o 。粤 矿匾) 莹 吖一 磊) 功m ，哟= ( 丁删脚) 鬻 c h ( o j ( 您m 吼c 2 沪塑掣) ， 磊( v t m ，v e ，f )= 承r 坛v r 肘) 2 s i n h ( )( c h ( 0 2 ( t c m + 5 f c ，c 2 ) ) 一c 。s h ( 2 ) c h ( 0 2 ( t o m + 缸，缸) ) 1 吒( v 埘，v f ，力= 承丁必v 7 肘) 参考( 【5 】) 的计算得到： 2 s i n h ( )( c h ( 0 3 ( t c m + 毒c ，c 2 ) ) 一c 。s h ( 2 ) c h ( 0 3 ( t c m + 毙，缸) ) 1 1 3 ( 4 2 ) ( 4 1 ) 功埘= 等 而( v 聊，旷，订= 而( v 删，萨，d = 0 1 ( u ，1 - ) 1 丽一 2 丌v z t 2 丌、= t 曰1 ( o ，下) 如( ”，下) 晚( z f ，丁 0 1 ( 甜，丁) 0 3 ( o ，f ) 0 2 ( o ，f 睁 晚( 0 ，丁) 以( 甜，下) p 1 ( “下 眈( “，丁) 毋( 0 ，r ) 0 1 ( 0 ，r 1 9 3 ( 0 r ) ( 玑r ) 0 1 ( u ，t 毋( “，f ) 如( 0 ，丁) 0 1 ( 0 ，r ( 4 3 ) 再次应用c h e r n 一耽玎理论和引理( 3 1 ) ，我们得到v t m 的超度形式面，而，吒并且定义如下 超度形式：( 参考 1 】) c s 瓦( v 吾肘，v i 吖，v 手，丁) ：= 甜科仃，1 而( v 吾肘，v m ，v f ，r ) ：= 壶f 1 葡( v j m 一下) 仃 c s 瓦( v ；m ，v 肘，班，了) 1 r 1 丽j 0 吖壶 碲 功m 旷下，仃卜嘻 ( 攀，丁 战丽r r m ，了) 矿( 寺r t m ，丁) 吠r 缸t m ，下) 矿( g ，r ) 战g ，丁) + 糍肛 ， + 象r t m 肛i i眈( 务删一 + 呓( 攀，砷 如( 攀，砷肛 ( 4 5 ) ( 4 6 ) 定理4 1 设肘是一个船+ 1 维黎曼流形并且v j 肼，v m 是丁肘和f 为二维定向欧式实的向量 丛具有欧式联络孵，我们得到 1 ) c s 瓦( v ；材，v i m ，v f ，丁) l ( 撕1 ) 是t o ( 2 ) 上权重为2 k + 2 的模形式； c s 而( v j m ，v ；肘，r ) ( 机1 ) 是严( 2 ) 上权重为2 k + 2 的模形式； l c s 吒( v j m ，v p ，孵，丁) ( 撕1 ) 是r p ( 2 ) 上权重为2 k + 2 的模形式 2 1 f 田面( v 弘v v f ，一扣洲) - ( 2 丁) 黼i c s 而( v j , v j 村，矿下) l ( 州) ， 1 4 、 n 一力盟地n 一力嘶面 研一p d 一力 一。 矿一酞 叫 力一力盟眠力一砷坠n 一力 一即 矿一战 “曲一砷似一 眈一如 ，jjl-i、 n 一力盟眠 一一力坠订一力 堕坼 矿一 拍几川 叫力一力堕他以一如，-_li 推论4 2 ( 参考 7 】) c s 葡( v j 肘，v j 肘，v f ，1 + 1 ) = 砺( v j m ，v t m , 节，砷 倔唧一蕊s i r a 妒, _ _ 堕i | 4 ( 南一 尺r ， 4 ，r s m 亩)(9 = 8 - j ：1 鬻( i - c o s h 2 啦i n 譬卜 + f o iz 1 ( r 蕊m , v 矿t m ) 仃 f 1 _ 酽一8 栅喾) ( ( 1 一c 。曲j c ) ( c h ( 乃mv m ) 一3 ) + ( 1 + 2 c o s h 2 ) ( e c + e - c - 2 ) ) d t p ( 4 7 ) 令肘为1 1 维流形即k = 3 ，我们可以得到 元( v j m ，v i m ，v f ，了) l ( 1 3 ) t o ( 2 ) 上权重为8 的模形 c s 而( v j 肘，v ；m ，v f ，f ) l ( 1 3 是严( 2 ) 上权重为8 的模形式 i c s 五( v ；m , v ；m , v - q - ) ( 1 3 ) = ( 2 r ) 8 i c s 葡( v t m , v ；肘，萨，r ) ) ( 1 3 ) i c s 而( v o t m , v i 射，v ，f ) l ( 1 3 ) = z o ( 8 5 2 ) 4 + z l ( 8 6 2 ) 2 8 2 + ， c s 五( v j 肘，v p ，v f ，d ) ( 1 3 ) = 2 s z 0 ( 8 5 1 ) 4 + z l ( 8 6 1 ) 2 0 1 + 毋】 将式子( 4 9 ) 展开： z 0 ( 8 f 5 2 ) 4 + z l ( 8 6 2 ) 2 e 2 + 奄= z o + ( 9 6 z o + z 1 ) q 2 + ( 3 4 5 6 2 0 + 4 8 z l + z 一2 ) g 运算式子( 4 5 ) 而( v 舌肘，v ? 肘，萨，1 - ) ：= “种，旷咖悖一筹+ 舯 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 1 1 展开 2 ( t a m + 缸，缸) ：( 1 + 9 曲( 瓦砑靠) ) ( 1 + g 至砌( 疋：7 湃靠一旗) ) ( 1 + 9 互幽( 磊) ) ( 1 + g 曲( 嚣) ) l = l + q 2 3 c h ( 磊c ) 一c h ( t j g - 4 磊) + 讲拍( 疋薜 + 如( 磊) 一幽( 蠢) 咖( 疋筋彳靠) + 2 c h 2 ( 嚣) 】 l 0 2 ( 肘+ 缸，c 2 ) = ( 1 + 9 ( 幽( l 初了靠) ) ) ( 1 + 9 2 似疋：孵靠一2 c 2 ) ) ( 1 + q 2 c h ( c 2 ) ) ( 1 + q c h ( c 2 ) ) 1 ：1 + g 至 3 曲( 孕) 一曲( 瓦砑；己) + g 【c 厅( 疋砑；靠) + 砌( 石) 一西( 乐) 曲( 疋砑了靠) + 2 幽2 ( 亭) 】 而( v7 肘，矿，f ) = 承丁必v r m ) 2 s i n h 导 ( c h ( 0 2 ( t o m + 缸，c 2 ) ) 一c 。s h ( 2 ) c h ( e 2 ( t c m + 缸，托) ) ) 1 5 1 坐生酽丽 东北师范大学硕士学位论文 = z ( r m , v r u ) l _ 1 1 - - c o s h ( c ) “3 如( 舀) 一曲( 疋砑；靠) 一3 c o s h ( c ) c h ( 磊c ) + c o s h ( 昙) 砌( 疋砑了靠) 】9 芝+ 2 s i n h 三 一- 2 【曲( 疋筋；靠) + 砌( 舀) 一如( 石) 曲( 疋筋了品) + 2 幽2 ( i ) 一c o s h ( 昙) ( 幽( 疋砑；靠) + c 厅匿) 一幽( 三) 曲( 疋筋；靠) + 2 0 h 2 ( 靠) ) 训 士 引用之前计算的： 1 矿( z ，1 - ) g ( 厶丁 z 6 忙，丁)如( z ，丁) 一一：_ 二0 ：一 = 三一上s i n ( z s r ) c o s ( z j r ) + g ( 警- 3c o s ( 3 刎】 1 + ( 4 7 rs i n ( 2