（基础数学专业论文）广义armendariz环.pdf

摘要 本文中，我们主要研究了几种广义形式的a r m e n d a r i z 环，即分别研究了斜 a r m c n d a r i z 环，斜弱a r m e n d a r i z 环和s - a r m e n d a r i z 环的性质及其扩张，从而得 到了一些更加广泛的结果 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rs o i n ek i n d so fg e n e r a l i z a t i o no fa r m e n d a r i z r i n g sm a i n l y s k e wa r m e n d a r i zr i n g s ，s k e ww e a k l ya r m e n d a r i zr i n g sa n d s - a r m e n d a r i zr i n g sa r ei n v e s t i g a t e d a n dw eg e ts o m e m o r eg e n e r a lr e s u l t s 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 签名： 日期：羔竺年l 月二日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件。允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后应遵守此规定) i 上- l 一 刖置 1 9 6 5 年，i ( a p l a a s k y 在对a w - 代数和y o nn e u m n n n 正则代数的研究中引入了 b a e r 环的概念，在对b a e r 环的研究中，a r m e n d a r i zf l7 注意到r e d u c e d 环r 满足这 样的性质：如果，( z ) = 竺。a l z ，9 ( z ) = n ，o b 一r m 满足，( z ) 9 ( z ) = 0 ，则对 任意0si m ，0 j n 有啦屯= 0 在文献【2 】2 中，r e g e 和c h h a w c h h a r i a 称具 有这种性质的环为a r m e n d a r i z 环从此开始了对a r m e n d a r i z 环系统的研究f 见文献 【2 , 3 ，4 ，5 ，1 4 ，1 5 ，2 2 1 ) 本文主要研究了几种广义形式的a r m e n d a r i z 环 在本文中，除特别申明外，r 是有单位元的结合环，口是_ r 的白同态，如是r 的恒 等自同态，凡提到的模均指酉模，n i l ( 硒是r 中的所有的幂零元构成的集合 在文献 3 】中作者将a r m e n d a r i z 环的概念推广为斜a r m e n d a r i z 环称环r 是a 斜 a r m e n d a r i z 环，如果，( z ) = 罢。n 。一，9 ( z ) = n j ：ob 一r 旧n 1 满足，( z ) 9 ( z ) = 0 ，则 对任意0 i m ，0 s j s n 有q 口( 芬) = o 易知r 是a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是如一 斜a r m e n d a r i z 环并且【3 ，例2 l 指出存在a r m e n d a r i z 环r 的自同态o ，使得r 不是 斜a r m e n d a r i z 环在文献【4 】中作者重点讨论了r e d u c e d 条件下n n 阶上三角矩阵环 足( r ) 的极大的a r m e n d a r i z 子环受此启发，在本文的第一部分中，我们重点讨论了a 刚性条件下矗( r ) 的极大的- 斜a r m e n d a r i z 子环，得到了一些比【4 l 更广泛的结论 文献1 5 j 5 研究了弱a r m e n d a r i z 环称环r 是弱a r m e n d a r i z 环，如果，( z ) = 罢。啦z i ，9 ( z ) = n f ：o 如r 纠满足，( z ) 9 ( z ) = 0 ，则对任意0 i m ，0sjsn 有趣如n i t ( r ) 在本文的第二部分中，我们统一了斜a r m e n d a r i z 环和弱a r m e n - d a r i z 环的概念，提出了斜弱a r m e n d a r i z 环的概念称环r 是n 一斜弱a r m e n d a r i z 环，如果，( z ) = 竺o a i 2 ：i ，9 ( z ) = 羔o b 一r k ；0 l 满足，( z ) 9 ( z ) = o 。则对任意 0 i m ，0 jsn 有o 0 ( b ) n i t ( r ) 在该部分中，我们指出a 一斜弱a r m e n d a r i z 环是斜a r m e n d a r i z 环的真推广，并给出例子说明存在弱a r m e n d a r i z 环- r 的自同态 a ，使得r 不是斜弱a r m e n d a r i z 环并重点研究了这种环的性质和扩张，指出斜弱 a r m e n d a r i z 环的上三角矩阵环仍是斜弱a r m e n d a r i z 环，并证明了：( 1 ) 若环兄满足弱 条件，是r 的半交换理想满足o ( ，) i ，且r i 是_ - 斜弱a r m e n d a r i z 环，则r 是n 一 斜弱a r m e n d a r i z 环；( 2 ) 若r 是半交换环且对任意n ，b r ，a b = 0 甘a v r ( b ) = 0 ，且存在 前盲 正整数t 使得a 。= 厶，则r k a i 是_ - 斜弱a r m e n d a r i z 环i ( 3 ) 若兄是r e v e r s i b l e 的 斜弱a r m e n d a r i z 环，且。是r 的单自同态，则r 是。一弱刚性环从而推广了文献【5 , 6 】 中的主要结论 本文的第三部分主要研究了s - a r m e n d a r i z 环令兄是环，( 墨) 是严格偏序幺半 群由【7 ，称环r 是s - a r m e n d a r i z 环，如果对于任意，g 【 r s 5 】i 若f g = 0 ，则对任 意u ， s 都有，( u ) 9 ( u ) = 0 该部分主要证明了：( 1 ) 若s 是挠自由可消幺半群，j 是r 的r e d u c e d 理想使得冗，是s - a r m e n d a r i z 环，则冗是s - a r m e n d a r i z 环；( 2 ) 冗是 s - a r m e n d a r i z 环当且仅当映射：r a n n n ( 2 8 ) _ r a n n 【r ! l j ( 2 i t r s , s ahc i 【r 3 5 h 是双射从而我们在r 是s - a r m e n d a r i z 环的条件下证明了月是b a e r 环( p p 环，右z i p 环) 当且仅当 舻! 】是b o e r 环( p p 环，右z i p 环) 对a r m e n d a r i z 环的系统的研究开始于1 9 9 7 年，所以这是一个比较新的研究方向，还 有大量的问题有待于我们去研究我们相信，这方面的研究将会取得长足的发展 2 1 斜a r m e n d a r i z 环 r e g e 和c h h a w c h h a r i a 在文献 2 l 中引入了a r m e n d a r i z 环的概念设r 是环，记 r 上的多项式环为r x 1 称环r 是a r m e n d a r i z 环，如果对于( x ) = a o + a l x + 十 o 。z “，g ( z ) = b o + b l x + + k z ”r 陋l ，若i ( z ) g ( z ) = 0 ，贝对任意0 i s m ，0 j n 有a i 如= 0 之所以称之为”a r m e n d a r i z 环”，是因为a r m e n d a r i z 发现r e d u c e d 环满足这 样的条件 1 】最近，a r m e n d a r i z 环已被广泛的研究，参见文献【2 , 3 ，4 ，5 ，1 4 ，1 5 ，2 2 】 上面引入的a r m e n d a r i z 环是在考虑一般的多项式环时得到的，文献【3 】考虑了比 一般的多项式更广的一类多项式环，即斜多项式环设o t 是环且的自同态，环r 上 的斜多项式环记为r p ；卅，是在一般的多项式环r x 上定义新的乘法r = 口( r ) 。( 任 意r 固而得到设o t 是环r 的自同态，按照文献【3 1 ，称环r 是。一斜a r m e n d a r i z 环，如果对于，( 茹) = o o + a l 石+ + o m z m ，9 ( 茗) = b o + b l x + + k “r 扛；a j ，若 ，( z ) 9 ( z ) = 0 ，则对任意0 i5m ，0sj5n 有啦o ( 如) = 0 易知如果d = 如是环 兄的单位自同态，则r 是a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是斜a r m e n d a r e z 环文献f 3 ， 例2 】中也指出存在a r m e n d a r i z 环r 的自同态o ，使得r 不是a 一斜a r m e n d a r e z 环令 o t 是环r 的自同态，称n 是刚性自同态，如果对任意r r ，r a ( r ) = 0 辛r = 0 称环 r 是m 刚性环，如果存在r 的刚性自同态o 【9 】我们称r 满足a 条件，如果对任意 a ，b r ，曲= 0 辛n o ( = 0 由此我们可得到以下结论 命题1 1r 是a 刚性环当且仅当r 满足a 条件且为r e d u c e d 环，并且n 是r 的单 自同态 证明 必要性由【1 0 ，引理4 】可知 从而a ( a ) a ( a ) = 0 ，即a ( a 2 ) = 0 故扩 反之，对任意a r ，令a a ( a ) = 0 则a ( a ) a = 0 ， ：0 ，即a = 0 因此r 是o 刚性环 以下我们将看到命题1 1 中的条件是取之不可的 例1 1 ( 1 ) 令丑= z 2o z 2 ，其中z 2 是整数模2 环则r 是交换的r e d u c e d 环令 a ：r r ，a ( ( o ，6 ) ) = ( 6 ，口) 则n 是r 的自同构但易知r 不是* 刚性环事实上， ( 1 ，o ) a ( ( 1 ，o ) ) = 0 ，但( 1 ，0 ) 0 3 1 斜a r m e n d a r i z 环 ( 2 ) 考虑环r = 骶) ) = ( 警 n ，t q ) ，其中q 是有理数环令n ：r r 。是月的自同构此时我们易知几满足口条件 但r 并不是a 一刚性环事实上，( ：) a ( ( ：) ) = 。，但( ：) 。 ( 3 ) 令s 是r e d u c e d 环，r = s 矧定义口：r 一只n ( ，( 。) ) = ，( o ) 则r 是 r e d u c e d 环易知r 满足q 一条件事实上，若，( z ) = a o + a l i l ；+ + z “，g ( x ) = b o + b l z + + k 矿r 使得，( z ) g ( 。) = 0 ，则由s 是r e d u c e d 环知对任意i 有啦b o = 0 从而，( ) n ( g ( z ) ) = ，( z ) 6 0 = 0 但r 并不是n 一刚性环事实上，x a ( x ) = 0 ，但z 0 一 注记：我们将在以后的证明中直接运用该结论而不加声明 1 1 上三角矩阵环的极大的斜a r m e n d a r i z 子环 令r 是环，a 是r 的自同态，我们可将a 扩张为m 。( r ) 上的自同态西：峨( 功一 m 。( 冗) ，石( ( ) ) = 0 ( ) ) 根据【3 】，若r 是斜a r m e n d a r i z 环，则r 的每个子环也 是但当r 是* 刚性环时对任意n 2 ，正( r ) 不一定是_ - 斜a r m e n d a r i z 环事实 上，令，c = ( ：) + ( ：- 1 ) z ，c z ，= ( ：；) + ( ：；) z 马c r ，k ；_ 】则 ，c 。，c 。，= 。，但由r 是* 刚性环知( 0 1 。0 ) ( 0 。薹：；) 1 = ( 。0 “0 ”) i 。然而由h 、，、o n )、 命题1 7 1 知，若r 是刚性环，则 占= 1 q6 ，c ，d r j 是码( 励的甚斜a r m e n d a r i z 子环故而，对刚性环r 来讲，能否找到矗( 只) 的一些 包含已知的昏斜a r m e n d a r i z 子环的极大的_ - 斜a r m e n d a r i z 子环便显得格外有意义， 这也是本节所研究的重点 首先我们给出一些记号任意a 尬。( 固，令兄4 = f a i r 埘对n 2 ，令 v ；n - - 1 置，i + l ，其中 晟j 1 1si ，j n ) 是矩阵单位对于偶数托= 2 k22 ，令 4 、风 e 口 ， o o、 ，f，一2 2 r，i v 、 c d 0 b 0 0 0 o 0 ， 1 斜a r m e n d a r i z 环 线( r ) = 兰。k + i r 届j ，磁( r ) = 等州一lr e j ， 对于奇数n = 2 k + l 3 ，令 砖( r ) = 等凳川b e t a ，磁( r ) = 留州一。腿j 对于n = 2 k ，定义a 。( r ) = r i + r v + 一+ r v 一1 + a ：( 冗) ，玩( r ) = r 厶+ r v + - + r v 一2 + 爵( r ) ；对于n = 2 k + l ，定义以。( r ) = r 厶+ r v + + r v 一1 + a ：( r ) ， b 。( 固= 凡厶+ r y + - - + r v k - 2 + b o ( r ) 对于a = ( o 巧) ，b = ( b 玎) 肘j ( 励，【a b 】订= 0 表示蚴岵= 0 ，其中l = 1 ，2 ，n 引理1 1 令盯( z ) = a o + a l z + + j 4 m z m ，下 ) = b o + b l z 十+ b k x 螈( r ) p ；- ， 并且记向( z ) = n g + 。：z + + z m ，( z ) = 拶+ 6 0 。+ + 嗡一，其中a c t ) ，嗜 分别是a 和风的( ，j ) 一元素，l = 0 ，1 ，仇，h = 0 ，1 ，则o ( z ) = ( 厶( z ) ) ，f ( z ) = ( ( z ) ) ( 凡k 卅) 若r 是m 斜a r m e n d a r i z 环，并且对任意i ，j 有p ( z ) r ( z ) k = 0 ， 则对任意8 ，有a ，w ( b t ) = 0 证明由定义直接验算即知结论成立 i t 引理1 2 ( 见【3 ，命题3 】) r 是刚性环当且仅当月k0 是r e d u c e d 环 引理1 3 ( 见【3 ，推论4 1 ) 若r 是刚性环，则只是q 一斜a r m e n d a r i z 环 引理1 4 ( 见 3 ，命题1 1 ) 若r 是a 刚性环，则也( 励是丽斜a r m e n d a r i z 环 命题1 2 若r 是刚性环则以下结论成立： ( 1 ) 对任意n = 2 k + 1 3 。a 。( r ) 是茁斜a r m e n d a r i z 环 ( 2 ) 对任意n = 2 k24 ，a 。( r ) + r e l 是碡斜a r m e n d a r i z 环 证明 利用上述引理，类似于【4 ，定理1 4 】的证明可知结论成立 一 注记：由命题1 2 ( 2 ) 可知若r 是m 刚性环，则对任意住= 2 k 4 ，a ( r ) 是- _ 斜 a r m e n d a r i z 环，再结合( 1 ) ，我们可知若r 是a 一刚性环，则对任意竹3 ，a ( 厅) 是一斜 a r m e n d a r i z 环， 令盂是环，m 是( 兄，r ) 双模，r 通过的平凡扩张是指环t ( r ，m ) = r o m ，其 中加法运算为分量相加，乘法运算为 ( r i ，m 1 ) ( 现，砌) = ( r l r 2 ，? i d 2 2 + m l r 2 ) 5 t c 冗，m ，型 ( ：? ) i r r ，m m ) 令o t 是环r 的自同态，t ( r ，r ) 是平凡扩张我们可将a 扩张为t ( n ，r ) 上的自同 态石：t ( r ，r ) - t ( r ，兄) ，面( ( o ，6 ) ) = ( a ( n ) ，o ( 6 ) ) 引理1 5r 是刚性环当且仅当对任意r r ，o ( r ) r = 0 = r = 0 证明 = ) ：易知r 是r e d u c e d 环事实上，对任意a r ，若舻= 0 ，则0 = q 2 ( d ) ( o ) o ( n ) n = n 0 ( 口) h ( o ) q 从而n ( o ) 口= 0 ，即o = 0 任意r r ，令r a ( r ) = 0 则由r 是r e d u c e d 环知a ( r ) r = 0 ，故r = 0 即r 是q 一刚性环 j ) ：对任意r r ，令o ( r ) r = 0 ，则由r 是r e d u c e d 环知r a ( r ) = 0 ，故r = 0 一 引理1 6r 是刚性环当且仅当。是单同态且平凡扩张t ( r ，r ) 是- - 斜a r m e n - 证明 由 3 命题1 5 】知必要性成立反之，对任意r r ，令o ( r ) r = 0 则 对f ( x ) = ( a ( r ) ，0 ) 一( 0 ，1 ) z ，9 ( z ) = ( r ，0 ) + ( 0 ，1 ) x t ( n ，且) 陋；- 】，有f ( x ) g ( x ) = o 由 t ( r ，硒是- - 斜a r m e n d a r i z 环知( n ( r ) ，o ) ( o ，1 ) = 0 ，故o ( r ) = 0 从而由。是单同态知 r = 0 放由引理1 5 知r 是m 刚性环 令( z “) 是由矿生成的理想对于环r 川( 4 ) ，若记u = z + ( 矿) ，则r ( 。“) = r 【u 】= r + r u + + 觑“，其中“和r 中元素可交换且u “= 0 对于环r 的自同态 c t ，令百：r 【司( z “) ，r k ( z “) ， 5 ( a o + 口l t + - + a n l t “一1 ) = a ( ) + o ( 0 1 ) u + + n ( o 。一。) “”1 易知瓦是环r 矧0 “) 的自同态此时我们可得到以下结论： 推论1 1 令n 2 是自然数则r 是刚性环当且仅当。是单同态且r 陋l ( 扩) 是_ - 斜a r m e n d a r i z 环 证明 利用上述引理及命题1 2 ，类似于【4 ，推论1 5 l 的证明，我们可知结论成立一 以下我们将讨论当月为刚性环时l ( r ) 的极大的蕃斜a r m e n d a r i z 子环 定理1 1 若r 是刚性环，则下述结论成立： ( 1 ) a 2 ( r ) 是正( r ) 的极大的- - 斜a r m e n d a r i z 子环 ( 2 ) a 3 ( r ) 是噩( 动的极大的- 斜a r m e n d a r i z 子环 1 斜a r m e n d a r i z 环 证明 我们仅证明( 2 ) 由命题1 2 知a a ( r ) 是t 3 ( 固的- _ 斜a r m e n d a r i z 子环，以 下我们证明极大性令t 也是b ( r ) 的- 斜a r m e n d a r i z 子环，并且t 真包含a 3 ( r ) 则存在a l e l ，1 + a 2 e 2 ，2 + a 3 b 3 t 如( 功，其中d i ，0 2 ，a 3 不全相等若a l a z 则 a = 口最1 + s e 3 ，3 ，b = a e 2 ，2 + r e 3 3 t ，其中s ，t r 。a = q n 2 0 若时= 0 ，令 f ( x ) = a + a e l ，2 x ，g ( z ) = b a ( a ) e l ，2 z t 旧司，则，( z ) 9 ( z ) = 0 ，但由r 是。一刚性 环知( a e l ，2 ) 西( b ) = a a ( a ) e l ，2 0 这便与假设矛盾若时0 ，则0 a b = s t e 3 ，3 t 令，( z ) = ( s t ) 蜀，2 ( s t ) e l ，3 z ，9 ( 。) = ( s o e 3 , 3 + o ( s t ) e 2 3 z t b ；- 】，贝4 ，( z ) g ( z ) = 0 ， 但由r 是刚性环知( 5 0 且口( s ) 易，3 = s a ( s ) e 1 ，3 0 这与假设矛盾若 a l = a 2 a 3 则b e l 1 + b e 2 。，( - b ) e 3 ，3 t ，喜中b = n 3 一a l 0 令，( 写) = ( c r ( b ) e 1 ，l + o ( 易，2 ) + ( d ( 蜀。1 + 口( 6 ) 岛2 + e 1 3 ) 9 ( z ) = ( 一马，3 + ( ( 一6 ) e 3 ，3 + e 1 ，3 ) z ? p ；】，贝 ，( z ) 9 ( z ) = 0 但由r 是刚性环知( a ( b ) e l , 1 十a ( 6 ) 场2 ) ( ( 山) e 3 , 3 十蜀，3 ) = a ( b ) e i ，。0 ， 这与假设矛盾从而a 3 ( r ) 是乃( r ) 的极大的_ - 斜a r m e n d a r i z 子环 一 命题1 3 若r 是刚性环。则以下结论成立： ( 1 ) 对于n = 2 k + 1 5 ，a 。( 兄) 是a 。( r ) + r e , ， 的极大的本斜a r m e n d a r i z 子环 ( 2 ) 对于n = 2 4 ，a 。( r ) + r e l , t 是a 。( r ) + 船l ，k + r e k + 1 的极大的一斜 a r m e n d a r i z 子环 证明 ( 1 ) 由命题1 2 知对于n = 2 k + l 5 ，a 。( 冠) 是- 斜a r m e n d a r i z 环，阱 下我们证明极大性令t 也是a 。( r ) + r e l k 的- _ 斜a r m e n d a r i z 子环假设t 真包含 a 。( r ) ，则存在a l 蜀。+ 6 ( 岛，+ 1 + 岛女+ 2 + + 最+ 2 ，。) e 其中口b 从而e 9 1 t ， 其中c = a b 0 令 ，( z ) = 【c e l ，+ c ( e 1 k e 1 。t + 1 ) 叫，9 ) = 【最+ l ，。+ a ( 1 ) ( 最，。+ e 1 。) 卅丁t p ；_ 】 则，( 。) 9 ( 刁= 0 但注意到c 0 ，故由【1 0 ，引理4 ( 3 ) 】知c a ( 1 ) 0 ，从而c e l ( 1 ) ( 最，。+ 取+ 1 。) = c a o ) e 1 。0 这说明t 不是_ 斜a r m e n d a r i z 环，这与假设矛盾 ( 2 ) 由命题1 2 知对n = 2 k 4 ，a 。( r ) + r e l k 是蟊斜a r m e n d a r i z 环，以下我们 证明极大性令t 也是a 。( 劢+ r 毋，女+ 冗取+ 1 n 的- - 斜a r m e n d a r i z 子环假设t 真 包含a 。( 固+ r 且， ，则存在o ( 马，州+ 局， + 2 + + 最，n _ 1 ) + 6 取+ l m e 其中a 6 从而c 最+ 1 。t ，其中c = o b 0 令 ，( = 【c e l ， + c ( 且。k e 1 ，k + 1 ) z 】，9 ( 。) = 【c e 1 。+ q ( c ) ( 最，。+ 最+ 1 ，。) 司? p ；- a 7 1 斜a r m e n d a r i z 环 我们有，( z ) 9 ( z ) = 0 但由r 是刚性环知c 目止口( c ) ( 风。+ 取+ 1 ，。) = 哪( c ) e l 。0 这说明t 不是- 斜a r m e n d a r i z 环，这与假设矛盾 类似于命题1 3 的证明。我们可得到以下结论： 命题1 4 若r 是a 一刚性环，则a 4 ( r ) + r 邑，i + 1 是b 4 ( r ) 的极大的_ _ 斜a r m e n d a r i z 子环，i = 1 ，2 ，3 注记：若r 是刚性环，则由命题1 3 知对于n = 2 k + 1 5 ，a 。( 固+ r e l ， 不是 _ - 斜a r m e n d a r i z 环，但对于n = 2 k 4 ，a 。( r ) + r e l ，k 却是_ 斜a r m e n d a r i z 环 1 2 斜a z m e n d a r i z 环的性质 称环r 是右z i p 环，如果若对x s r 有r r ( x ) = 0 ，则必存在有限子集y x 使得 r r ( y ) = 0 在文献【1 1 】中，作者提出：右z i p 环上的多项式环是否为右z i p 环? 但在文献 【1 2 】中作者否定了这一问题，并指出交换的z i p 环上的多项式环是z i p 环在文献【1 3 】中 作者又将这一结论推广到非交换环上，指出：若r 是a r m e n d a r i z 环，则r 是右z i p 环当 且仅当r x 】是右z j p 环我们继续将这一结论推广到斜多项式环上 定理1 2 令口是环r 的单自同态，r 是斜a r m e n d a r i z 环且满足条件则r 是右z i p 环当且仅当r k ；n 】是右z i p 环 证明 假设r k 卅是右z i p 环，y r 满足r r ( y ) = 0 令f ( x ) = a o + 口l 。+ + a r s x “r r x ：。l ( y ) ，则对任意b y 有b f ( x ) = 6 0 0 + b a l x + + b a 。矿= 0 ，从而k i = 0 ， i = 0 ，1 ，n 故a r r ( y ) = 0 ，即，( z ) = 0 所以豫陋：凸i ( y ) = 0 从而由r 陋；a 】是右 z i p 环知存在有限子集碥y 使得r r x ；卅( 碥) = 0 因此他( 碥) = r r 0 1 ( ) n r = 0 即 只是右z i p 环 反之，假设r 是右z i p 环令t r 陋；o 】满足r r z ；。】( t ) = 0 令t + 是t 中所有 元素的系数构成的集合，则t + r 我们可知r s ( t + ) = 0 事实上，若a r a ( t + ) ，则 对任意b t + 有b a = 0 ，所以由丑满足条件知对任意非负整数k 有6 0 a ) = 0 ， 从而对任意，( z ) t 有f ( x ) a = 0 ，故a r r z ；o ( r ) = 0 ，即r a ( t + ) = 0 因此由 r 是右z i p 环知存在有限子集y t + 使得h ( 1 ，) = 0 令l ，= 如l ，n 2 ，。) ，则 对每个啦y ，存在g a 。( 。) t ，使得啦。( $ ) 的某个系数是啦，i = 1 ，2 ，n 令 t o = ( g o 。( ，如。( 。) ，g a 。( z ) ，则如是t 的非空有限子集我们下证r r 。州( t o ) = 0 8 1 斜a r m e n d a r i z 环 令茹是如中所有元素的系数构成的集合则y 写，故r r ( 茹) r r ( y ) = 0 因此我 们可知r r z ；。】( t o ) = 0 否则，若r r 陋矧( 蜀) 0 ，则存在0 ，( 句r r x ；叫( 晶) 我们可令 ，( z ) = a t x + a t + l z + + o 。矿，其中0 t sn ，a c 0 任意b 嚣，存在( z ) t o 使得如( z ) 的某个系数是b + 我们不妨令( 。) = 如舶l z + + k + k + 1 z + 1 + + b m x ”， 其中05k m 注意到t o ，( z ) = 0 ，我们有h b ( x ) f ( x ) = 0 故由r 是a 斜a r m e n d a r i z 环知6 舻( 砚) = 0 ，从而矿( m ) r r ( t ；) = 0 ，所以由。是单同态知a 。= 0 这与以上论述 矛盾从而r r b ；a 】( 蜀) = 0 这说明r 旧o j 是右z i p 环 注意到若r 是刚性环，则r 是斜a r m e n d a r i z 环且满足口一条件且a 是单同 态但通过下面的例子我们将看到若凡是满足* 条件的a 一斜a r m e n d a r i z 环且a 是单 同态，则兄不一定是* 刚性环 例1 2 令兄是a 刚性环，令飓= 卜a r ) 则由p ，命题s ，知马 是_ 斜a r m e n d a r i z 环又由r 是刚性环知西是单同态同样易知r 2 满足_ - 条 件，事实上，若( ：) ( ：) = 。，则n 一= 。，。+ w = 。，即n 矿十n ，6 = 。故 由r 是。一刚性环知b a = 0 ，从而a b = 0 因此a a ( a ) = 0 ，口a ( y ) = 0 ，址( 口，) = 0 即( i ：) 西( ：) = 。但马不是一一刚性环事实上，( ；：) 西( ：) = 。，但 f o1 il 0 一 oo 由此我们可得到以下结论： 推论1 2 令r 是a 一刚性环则r 是右z i p 环当且仅当r 陋；o l 】是右z i p 环 通过下面的例子，我们将看到m 刚性环与右z i p 环是互不包含的 例1 3 在文献【1 3 ，例1 0 中，作者给出了一个环r ，它是r e d u c e d 环但既不是左z j p 环也不是右西p 环；同样作者也给出了一个环，它是z j p 环但不是r e d u c e d 环这些事实也 表明o 刚性环与z i p 环互不包含 - 9 2 斜弱a r m e n d a r i z 环 在文献1 5 中，作者引入了弱a r m e n d a r i z 环的概念称环r 是弱a r m e n d a r i z 环，如 果对于，( z ) = a o + o l z + + o m z m ，9 0 ) = b o + b l z + 一- - + k z ”冗扛】，若，( z b ) = 0 ， 则对任意0 i m ，0 j n 有q b n “( r ) ，其中n i l ( n ) 是r 中的所有幂零元构成 的集合【5 】5 中指出弱a r m e n d a r i z 环不一定是a r m e n d a r i z 环在这一节中利用这种方法 将斜a r m e n d a r i z 环的概念推广得斜弱a r m e n d a r i z 环，并研究了这种环的性质及一些基 本扩张 定义2 1 称环r 是m 斜弱a r m e n d a r i z 环，如果对于，( z ) = o o + a l x + + a m 。m ，9 ( z ) = b + b l ：r + + k z ”r 陋；q 】，若，( z ) 9 ) = 0 ，则对任意0 i m ，0 j n 有皿o ( 略) n i l ( 功 易知斜a r m e n d a r i z 环是* 斜弱a r m e n d a r i z 环，但以下我们将看到反之不然 并且r 是弱a r m e n d a r i z 环当且仅当r 是厶斜弱a r m e n d a r i z 环，其中厶是r 的恒等 自同态因此由【5 ，推论3 3 】可知，半交换环是培斜弱a r m e n d a r i z 环 2 1 例子 在本节中，我们主要给出一些关于斜弱a r m e n d a r i z 环的例子 例2 1 令d 是环r 的自同态，凡是刚性环令 兄= 口a 1 2n 1 3 0n a 2 3 o 0o o oo a ，r 则由【3 ，例1 8 】知当n 4 时r 不是- _ 斜a r m e n d a r i z 环，但对任意啊r 都是_ - 斜弱 a r m e n d a r i z 环 一 为了证明例2 1 ，我们给出以下更一般的结论： 1 0 缈 甜 渺； 。 2 斜弱a r m e n d a r i z 环 命噩2 1r 是斜弱a r m e n d a r i z 环当且仅当靠( 司是- - 斜弱a r m e n d a r i z 环，其 中n 是任意正整数 忙慝一雌寻 7a 1 1 0 r i ( 嵋。) + ( a 疗( 马) ) w ：f 。 也一( 鼋。) i ii +、” l ； i 。0 ( 酲。) 从而( 声( 马) ) 8 “r = 0 故霸( r ) 是_ - 斜弱a r m e n d a r i z 环 根据命题2 1 我们容易得到以下结论 = ( 命题2 2 如果r 是剐性环，则对任意n ，死( 国是_ 斜弱a r m e n d a r i z 环 一 例2 1 的证明：现在注意到磁是及( 固的子环，故由命题2 2 我们可知对任意，r 。 是爵斜弱a r m e n d a r i z 环 由命题2 1 ，我们容易得到以下结论： 推论2 1r 是o t 斜弱a r m e n d a r i z 环当且仅当平凡扩张t ( r ，r ) 是_ 斜弱a r m e n - d a r i z 环， 根据推论2 1 ，我们再给出一个例子说明斜弱a r m e n d a r i z 环不一定是斜a r m e n d a r i z 环 1 1 例：z 令r = ( ：) l n z ，t q ) ，其中z ，q 分别是整数集和有理数集令 a ：r 一足a ( ( ：) ) = ( ：厂2 ) 则由【s ，例z ，知r 是斜m m e n a a r i z 环，故 r 是o l 一斜弱a r m e n d a f i z 环，从而由推论2 1 知t ( r ，硒是存斜弱a r m e n d a r i z 环但由 【3 ，例1 4 ( 2 ) 】知t ( n ，励不是碡斜a r m e a d a r i z 环 _ 根据命题2 1 ，我们可能会猜测当r 是斜弱a r m e n d a r i z 环时，nxn 全矩阵环 慨( r ) 也是一斜弱a r m e n d a r i z 环，其中竹2 但下面的例子否定了这种想法事实上， 我们可以仅考虑n = 2 的情形 例2 3 令r 是0 刚性环( 因此r 是m 斜弱a r m e n d a r i z 环) ，令 ，c z ，= ( ：。 ) + ( ：) ，。，= ( ：) + ( 二二) z c r ，陋；司 则，( 对g ( z ) ：0 ，但 ( 沙( ( 书。 ) 不是幂零元故( 励不是- - 斜弱a r m e n d a r i z 环 通过以下例子，我们将看到存在弱a r m e n d a r i z 环r 的一个自同态，使得r 不是 斜弱a r m e n d a r i z 环 例2 4 令r = z 2 0 2 2 ，其中z 2 是整数模2 环则r 是交换的r e d u c e d 环因此由 【5 ，推论3 3 】知r 是弱a r m e n d a r i z 环令a ：r r ，d ( ( ，) = ( b ，o ) ，则。是r 的自同 态以下我们将说明_ r 不是n 一斜弱a r m e n d a r i z 环对于，( z ) = ( 1 ，0 ) 4 - ( 1 ，o ) z ，9 ( z ) = ( 0 ，1 ) 4 - ( 1 ，0 ) x r k ；o ，易知，( z ) 9 ( $ ) = 0 ，但( 1 ，o ) 口( ( o ，1 ) ) = ( 1 ，0 ) 不是幂零元因此 r 不是斜弱a r m e n d a r i z 环 推论2 2r 是斜弱a r m e n d a r i z 环当且仅当r p l “) 是蕾斜弱a r m e n d a r i z 环 1 2 r ( 扩) 型 故由命题2 1 知结论成立 口00 i 2 n n 一1 0a oa l o n 一2 00 a o a n 一3 000 o o a i r ，i = 0 ，1 ，一，n 一1 2 2 斜弱a r m e n d a r i z 环的若干扩张 令兄是环。称且是半交换环，如果对任意o ，b 月，a b = 0 辛a r b = 0 令口是环月 的自同态，我们称冗满足弱条件，如果对任意o ，b r ，a b n i t ( r ) 辛a o t ( b ) 刑l ( 月) 显然，当r 是r e d u c e d 环时，r 满足条件当且仅当r 满足弱m 条件 令是环且的理想，对于r 的自同态a ，若n ( j ) ，则石：r i s r i s ，西( n + j ) = a ( - 4 - i 是商环r i s 的自同态 根据【1 4 ，定理1 1 】我们可知若，是环r 的r e d u c e d 理想且r r 是a r m e n d a r i z 环，则 r 是a r m e n d a r i z 环然而对于r 的任意非零真理想，若r i s 和j 都是a r m e n d a r i z 的， 则r 不一定是a r m e n d a r i z 环( 见【1 5 ，例1 4 1 ) ，其中可认为，是没有单位元的a r m e n d a r i z 环并且由f 1 4 ，定理6 】知若r i s 是半交换环且j 是r e d u c e d 的，则r 是半交换环然而 f 1 4 ，例5 j 告诉我们当叫，和，都是半交换环时冗不一定是半交换环，但此时r 却是 弱a r m e n d a r i z 环( 见【5 ，定理3 6 】) 事实上，更一般地，我们可证明若r 满足弱条件， ，是r 的半交换理想满足a ( j ) i ，且剧，是- 斜弱a r m e n d a r i z 环，则r 是斜弱 a r m e n d a r i z 环 引理2 1 令r 是环，则以下条件等价： ( 1 ) r 满足弱条件 ( 2 ) 对任意，b r ，o h n i t ( 固净a ( 6 n i l ( s t ) ( 3 ) 对任意n ，b r ，a b n i ：( r ) ：争口q “( n i t ( r ) ，其中n 是任意非负整数 证明 可由定义直接验证 一 引理2 2 ( 见1 5 ，引理3 1 】) 令r 是半交换环则n i t ( r ) 是r 的理想 1 3 定理2 1 令r 满足弱a 条件，j 是r 的理想满足o ( f ) ，且r i 是爵斜弱 a r m