（基础数学专业论文）时间测度上几类动力方程的正解.pdf

摘要 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度方法来研究时间测度上几类 动力方程的正解存在性。全文共分五章。 第一章介绍了本文的研究背景和主要工作。 第二章是预备知识，主要介绍了时间测度面的基本概念、 “d e l t a ”导 数及其基本性质、“d e l t a ”积分及其运算等。 第三章在有限时间测度【a ，b 】上研究了几类奇异动力方程的正解存在 性。内容分三节。 ： 3 1 主要研究了边值问题 和 【p ( t ) x ( ) 】+ m ( t ) f ( t ，z ( 仃( z ) ) ) = 0 ，t 【a ，6 ， a x ( a ) 一p z ( o ) = 0 ， ，y z ( 仃( 6 ) ) + 6 z ( 盯( 6 ) ) = 0 ， ( t ，z ( 盯( 亡) ) ) = 0 ，t 【a ，6 ， ( 3 1 2 ) 正解的存在性。本节在相对于文 2 3 】， 3 3 】， 3 6 】， 5 5 ， 5 9 ， 6 9 弱的极限条件 下来研究更一般化的奇异边值问题( 3 1 1 ) 。算子逼近方法将被用来克服 奇异性带来的困难。通过使用不动点指数定理，我们得到了问题( 3 1 1 ) 正 解的存在性以及问题( 3 1 2 ) 正解的存在区间。这些结果本质的推广、改 进、包含了文 2 3 】，【3 3 】， 3 6 】， 5 5 ，( 5 9 ，【6 9 】的一些主要结果。 3 2 继续研究问题( 3 1 2 ) 。本节中的，不必满足文【2 3 】，【3 3 】，【3 6 ，【5 5 ， 【5 9 】，【6 9 】，( 7 2 中所要求的那些条件。在一定的极限条件和控制条件下，我 们得到了问题( 3 1 2 ) 正解的存在性并给出了应用的例子。 3 3 讨论了p ( t ) 三1 ，亡【o ，盯( b ) 】情形下的问题( 3 1 1 ) ，即奇异动力方程 边值问题 ( t ) + m ( t ) f ( t ， ( q ) 一p z ( a ) = ( 盯( 6 ) ) + 6 z ( 仃(6 ) ) = 0 ， 0 、几 i，二v0 m = “一 啪扎 ( 1 1 - 1 ) 来说，( 1 1 1 ) 的每个解都是单调增长的。但与( 1 1 1 ) 相应的差分方程 a x n = a x n ( 1 6 ) 有可能出现混沌解，这就有了本质的区别。也曾有文献指出二阶常微分方 程一 象州w - 0 ： 的某些振动性质与相应的差分方程 2 一1 + a n f ( y n ) = 0 是不同的。一般说来，对于线性方程来说，微分方程与其相应的差分方程 有许多类似的性质。但对于非线性方程，二者却经常会有很大差异。 这种可能的差异性，导致了人们对许多微分方程和它们相应的差分方 程进行重复的研究。另一方面，差分算子 ( 肿) ：盟掣型 和微分算子 ( 珈垆l i m 塑半型 的结构又十分类似。因此启发人们提出这样一个问题：能否找到一种新 的理论框架，定义一个更一般的算子，可以包括这两种特殊的算子，从而 第一章引言 中国科学技术大学博士学位论文 1 1 研究背景 使得人们能够同时处理常微分方程和差分方程，以便更好的洞察二者之 间的关系。1 9 3 7 年文【1 3 中的这段话“am a j o rt a s ko fm a t h e m a t i c st o d a yi s t oh a r m o n i z et h ec o n t i n u o u sa n dt h ed i s c r e t e ，t oi n c l u d et h e mi no n ec o m p r e h e n s i v e m a t h e m a t i c s ，a n dt oe l i m i n a t eo b s c u r i t yf r o mb o t h 以及1 9 7 3 年文【8 3 】中的 一段话“o nb e c o m i n gf a m i l i a rw i t hd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dt h e i rc l o s er e l a t i o nt o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1w a si nh o p et h a tt h et h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sc o u l db e b r o u g h tc o m p l e t e l ya b r e a s tw i t ht h a tf o ro r d i n a r ye q u a t i o n s 。”也正表达了这样 的愿望。 1 9 8 8 年，德国数学家h i l g e r 在其博士论文 5 8 】中与他的导师a u l b a c h 教授一起提出了“测度链( m e a s u r ec h a i n s ) ”的概念及相关结果。1 9 9 0 年， h i l g e r 正式发表了“测度链( m e a s u r ec h a i n s ) 分析一个连续与离散计算 的统一方法”一文( 参文 5 7 】) 。文【5 7 1 ， 5 8 】表明，可以通过把直线r 上函数 的定义域减弱为任意测度链来发展一种新的分析理论一动力方程理论， 这一理论可以把微分和差分两种计算包含和统一起来。这开创了“动力方 程的研究”这一新兴研究课题。文 5 7 】受到了数学家们的广泛关注。如著 名数学家l a k s h m i k a n t h a m 等在1 9 9 6 年出版了测度链上动力方程的第一本 专著 6 4 。2 0 0 1 和2 0 0 3 年，b o h n e r 和p e t e r s o n 在其专著f 1 8 ，【1 9 中系统 分析了测度链上的动力方程的重要一类：时间测度( t i m es c a l e ) 上的动力 方程。有关时间测度上的动力方程的评述文章可以参见 1 ) 4 】，【8 8 】。 现在，时间测度上动力方程的研究正受到国内外越来越多的关注。一 方面这是因为时间测度上的动力方程可以把微分方程和差分方程作为它 的两种特殊情况来处理，从而深入研究动力方程有助于揭示连续和离散 系统的本质差异；而且直接研究动力方程可以避免类似结果的重复证明， 即一次是常微分方程一次是差分方程。另一方面，r 上除了实数集、整 数集，还有很多重要而有趣的时间测度存在，如“q 一差分方程( 参下文 的定义2 2 6 ) 等。因此动力方程的研究可以获得更广泛的结果。再一方 面，动力方程的研究会产生广泛的( 潜在) 应用，特别是对于有些在连续 时间上显现，有些在离散时间上显现的一些现象和过程。用时间测度上的 动力方程就可以恰当的给出这些现象( 过程) 的数学模型。美国学者比得， 森和托马斯就用时间测度上的动力方程弥和了西尼罗河病毒传播的离散 方面和连续方面之间的空隙。托马斯认为这种数学模型是理解和控制这 2 第一章引言 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 本文主要工作 种疾病研究的最有效工具。在研究种群动力系统的模型时，根据时间单 位的不同，可以采取连续的方法，也可以采取离散的方法。这些种群有时 候需要“冬眠”，但它们的卵却在蛰伏、孵化，并在新的季节里生成新的 生命。这样随着时间的转移，种群的数量在不断变化，但这种变化不是简 单的种群叠加。文 8 1 】给出了这方面类似的例子。另外，文【2 中也介绍 了时间测度上的动力方程的研究在昆虫种群模型、神经网络、热传导以 及传染病模型等方面的应用。除了在生物学上有应用，时间测度上的动 力方程这一工具还被用来改进股票市场的计算方式。 1 2 本文主要工作 非线性泛函分析是现代数学的一个重要分支，其内容可追溯n - - 十世 纪二、三十年代。到二十世纪五十年代，非线性泛函分析初步形成理论体 系。它的丰富理论和先进方法为解决当今很多科技领域中层出不穷的非 线性问题提供了富有成效的工具，并在处理实际问题所对应的各种非线 性积分方程、微分方程中发挥着不可替代的作用。非线性泛函分析的理论 的研究及完备化具有很重要的意义。尤其是近几十年来，国内外的许多学 者做了大量工作并取得了丰富的成果，如文【2 8 ，【4 3 】， 4 4 】，【4 5 】， 4 6 】， 4 7 ， 4 8 】 等。 近年来，基于测度链理论研究的重要理论意义和应用价值，许多从事 泛函分析研究的学者开始关注测度链理论的研究。测度链理论近年的研 究主要涉及其理论自身的完善以及动力方程( 系统) 解的动力行为的研 究。如边值问题、周期解、定性理论、稳定性理论等。国际上目前致力于 研究这类问题的主要代表人物有：r p a g a r w a l 、d r a n d e r s o n 、m b o h n e r 、l e r b e 、j h e n d e r s o n 、v l a k s h m i k t h a m 、a p e t e r s o n 、d 0 r e g a n 等。目前，时间测度上动力方程边值问题的研究，正受到越来越多人的关 注。文【1 8 ，p p 1 8 9 2 4 1 】就曾在第七章中就这一专题专门做了介绍。近年 来，国内外有关动力方程边值问题的文献有很多，如文 3 】) 4 】j 6 】i 【9 】【2 2 1 ， 2 3 ，【2 5 】， 2 6 ，【3 0 ， 3 2 】， 3 3 】，【3 4 】， 3 6 】， 4 9 】， 5 4 】，【5 5 】， 5 9 】， 6 4 】， 7 2 】， 8 6 】， 8 8 】等。 目前时间测度上动力方程边值问题的研究有很多是在非奇异情形下展 开的。而奇异边值问题的研究是微分方程领域中的一个重要研究课题， 它在许多非线性现象，如多孔介质中的气体扩散、容器中混和气体的热 3 第一章引言 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 本文主要工作 点火模型、催化理论、绝热管反应进程等的数学模型的研究中有着广泛 而重要的作用。( 见文c o h e n 【2 4 ，r o n s o n 和c r a n d a l l 【8 0 】) 。对这类问题 进行深入的研究具有重要的理论意义和应用价值。o r e g a n 在1 9 9 4 年、 a g a r w a l 和o r e g a n 在2 0 0 3 出版了这一方面问题的专著 5 ) 7 8 】。b e r n f e l d 和 l a k s h m i k a n t h a m1 9 7 4 年在文 1 5 】中曾给出了处理非线性问题的许多方法。 但是，很多处理非奇异问题的方法对奇异问题己不再适用。处理奇异问 题，人们通常使用以下三种方法：打靶法、算子逼近和拓扑度方法、上下解方 法。打靶法己经被成功地应用于某些特殊方程( 如负指数e m d e n f o w e r 方程 边值问题，参文 8 2 】) 。更一般地讲，当f ( t ，z ，z 7 ) 不含。7 项且关于z 非增时，打 靶法都是有效的。算子逼近和拓扑度方法在处理很多非奇异问题时也显示 出了优势。在拓扑度理论中，一个非常重要且有广泛应用的内容是不动点 定理。不动点定理的内容非常丰富( 参文 2 8 】， 2 9 ， 4 3 】，【4 4 1 ，【6 0 】， 6 5 】， 6 7 1 ) ， 有很多不动点是我们所熟知的，如a l t m a n 不动点定理、b r o u w e r 不动点 定理、r o t h e 不动点定理、h o r n 不动点定理、k r a s n o s e l s k i i 不动点定理、 l e g g e t t - - w i l l i a m s 不动点定理、区域拉伸与压缩不动点定理、s c h a u d e r 不 动点定理等。需要指出的是，黄发伦教授、梁进教授、肖体俊教授在文【6 1 中将文【2 0 ，【6 0 的结果推广到了局部凸拓扑向量空间上，得到了关于h o r n 不动点定理的目前最深刻的结果。有关算子逼近、算子迭代技巧的有价 值的结果可在文 3 7 】， 3 8 】中找到。上下解方法最初来源于非奇异问题的研 究，这一方法现已被许多作者应用于非奇异问题的研究中。有关运用上下 解方法来研究时间测度上动力方程的情况，可以参见文【1 8 ，c h a p t e r6 ，p p 1 6 5 1 8 6 】。 我们注意到，文【4 6 介绍了b a n a c h 空间中的c a u c h y 问题、边值问题、 泛函微分方程、积分一微分方程等问题的一些研究进展。作者的导师肖 体俊教授、梁进教授在文 7 0 ，【7 1 】中也给出了有关此类问题的一些深刻的 结果。一般来说，处理高阶( 抽象) 问题的传统方法是降阶到一阶系统再 处理。肖体俊教授、梁进教授在其l e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s 的专著【8 5 】 中，针对高阶抽象微分方程c a u c h y 问题，给出了新颖而独到的直接处理 法( 不必采取降阶法) ，这种方法相比降阶法而言，更简练、方便、富有概 括性。这种处理方法对于研究b a n a c h 空间的边值问题、泛函微分方程、 积分一微分方程等问题具有重要的借鉴和启发意义。另一方面，目前关于 4 第一章引言 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 本文主要工作 时间测度上的抽象微分方程的研究还极少，文 8 5 】处理无限维问题的方 法不仅对处理时间测度上动力方程的边值问题等这些有限维的问题具有 重要的指导和启发意义；同样，它对作者下一步努力的方向一开展时间 测度上抽象微分方程的研究所具有的借鉴和启发意义也是不言而喻的。 作者在攻读博士学位期间，受到导师肖体俊教授、梁进教授的悉心指导 和诸多鼓励，在有限维空间的框架内，在时间测度上动力方程正解存在性 问题的研究中做了一些探讨，本文主要内容就取自于作者与肖体俊教授、 梁进教授的一些工作。其中，第三章内容取自于我们的文章【5 1 ， 5 2 ，( 7 2 】； 第四章来源于文 4 9 】，【5 0 】；文 5 3 则构成了本文第五章。 本文的主要内容是：我们利用非线性泛函分析的拓扑度理论，研究了 时间测度上几类动力方程的正解存在性问题。 第二章是预备知识，主要介绍了时间测度，的基本概念、 “d e l t a 导 数及其基本性质、“d e l t a 积分及其运算等。 第三章在有限时间测度【a ，6 】上进行，内容分三节。 3 1 主要研究了边值问题 和 【p ( t ) x ( 亡) + m ( t ) f ( t ，z ( 盯( t ) ) ) = 0 ，t a ，6 ， a x ( a ) 一p z ( o ) = 0 ， ( 3 1 1 ) ，y z ( 口( 6 ) ) + 6 z ( 仃( 6 ) ) = 0 ， p ( t ) x ( t ) 】+ a r n ( t ) f ( t ，z ( 盯( ) ) ) = 0 ，t a ，6 j ， a z ( a ) 一p z ( o ) = 0 ， ( 3 1 2 ) 7 x ( o ( b ) ) + 6 z ( 口( b ) ) = 0 ， 正解的存在性。我们注意到，文【2 3 】，( 3 3 】， 3 6 】，【5 5 】，【5 9 ，【6 9 】曾使用极限条 件，在m ( ) c a ，盯( 6 ) 、几，) c ( o ，仃( 6 ) 】( 0 ，) 的前提下，分别研究了问题 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 的多种特殊情形。本节在相对于文【2 3 】， 3 3 】， 3 6 】，( 5 5 】， 5 9 】， 6 9 】弱 的极限条件下来研究更一般化的奇异边值问题( 3 1 1 ) 。算子逼近方法将被 用来克服奇异性带来的困难。通过使用不动点指数定理，我们得到了问题 ( 3 1 1 ) 正解的存在性结果( 定理3 1 1 2 ，定理3 1 1 3 ) 。随后的推论3 1 1 4 和推 论3 1 1 5 给出了问题( 3 1 2 ) 的正解的存在区间。注记3 1 1 6 一注记3 1 2 3 则 5 l 第一章引言 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 本文主要工作 表明本节主要结果本质地推广、改进、包含了文( 2 3 】，( 3 3 】， 3 6 】， 5 5 】，【5 9 1 ， 6 9 】 的一些主要结果。 3 2 继续研究问题( 3 1 2 ) 。在文 2 3 】， 3 3 】， 3 6 】， 5 5 ， 5 9 ，【6 9 】， 7 2 中，厂 要么是超线性或次线性的( 如 3 3 】， 3 6 ) 或者至少满足下面两个情形之一 m a x 厶( 0 ，0 0 ) 和( 或) m i nf o ( 0 ，。o ) ； r a i n 厶( 0 ，o o ) 和( 或) m a xf o ( 0 ，。) ( 如【2 3 】， 5 5 】， 5 9 】，【6 9 ，【7 2 ) 。本节中，我们将不再要求厂满足上面的两个情 形、也不要求- 厂满足超线性( 次线性) 条件。在一定的极限条件( 参( 3 2 8 ) 式) 和控制条件( 参( 3 2 5 ) 式) 下，我们得到了问题( 3 1 2 ) 正解的存在性 结果( 定理3 2 2 ) 并给出了定理3 2 2 的一个应用例3 2 3 。 3 3 讨论p ( t ) 三1 ，t o ，盯( 6 ) 情形下的问题( 3 1 1 ) ，即 lx a a ( 亡) + r n ( t ) f ( t ，z ( 仃( t ) ) ) = 0 ，t 凸，6 】i a z ( a ) 一p z a ) = 0 ， ( 3 3 1 ) i ，y z ( 盯( 6 ) ) + d z ( 仃( 6 ) ) = 0 ， 和 ix a a ( t ) + r n ( t ) f ( t ，z ( 盯( t ) ) ，z ( 仃( t ) ) ) = 0 ，t q ，6 】， a x ( a ) 一p z a ) = 0 ， ( 3 3 2 ) i7 z ( 盯( 6 ) ) + c z ( 仃( 6 ) ) = 0 ， 正解的存在性，这里，是连续函数，m ( ) ：( a ，仃( 6 ) ) _ 0 ，o o ) 可能在t = a ，t = 仃( 6 ) 奇异。在没有使用任何极限条件的情况下，借助于k r a s n o s e l s k i i 不动点定理和一定的控制条件( 参( 3 3 9 ) 、( 3 3 1 9 ) 和( 3 3 2 8 ) 、( 3 3 3 1 ) 式) ，我们得到了问题( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 正解的存在准则( 定理3 3 1 和定理 3 3 4 ) 。由于对，的要求不同并且问题( 3 3 2 ) 中含有z 这一项，文 2 3 】， 3 3 】，【3 6 】， 5 5 】， 5 9 】， 6 9 】， 7 2 】的结果都不再适用于本节将给出的例3 3 2 和例 3 3 5 。 第四章主要研究了无穷时间测度上奇异动力方程边值问题 z ? ? ) 一惫2 z ( 盯1 | ) + m ) ，( 厶z ( 盯( 亡) ) ) = o ，亡匙+ ， ( 4 1 1 ) lz ( o ) = 0 ，j i mx ( t ) = 0 ， 第一章引言 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 本文主要工作 的正解存在性，其中尼 0 是常数，瓞+ ：= 【0 ，0 0 ) ，m ( ) 和厂( ，) 是给定的 函数。m ( t ) 在t = 0 奇异而f ( t ，x ) 可能在z = 0 奇异。最近几年，有限时 间测度上的动力方程解的问题得到了广泛而深入的研究。只有极少数文 献考虑了无穷时间测度上动力方程解的研究。例如，文【3 】和 5 4 】分别在 2 0 0 2 年和2 0 0 4 年研究了无穷时间测度上非奇异动力方程边值问题的正解 存在性。他们所用的方法都是先得到问题的局部解然后再延展到整个时 间测度上。在得到局部解的过程中，a s c o l i a r z e l k 定理发挥了关键作用。 我们知道，要使用k r a s n o s e l s k i i 定理或s c h a u d e r 不动点定理的时候，都需 要算子的全连续性。而a s c o l i a r z e l k 定理对于证明算子全连续是一个极佳 的选择。但是对于无穷区间i r + = 【0 ，o 。) 上的问题来说，比如在后面( 4 1 9 ) 所给出的空间e 上若要证明算子的全连续性，a s c o l i a r z e l k 定理就不能直 接使用了。而这个空间e 对于研究问题( 4 1 1 ) 又是必不可少的。由于在 无穷时间测度 0 ，o o ) 上不能直接应用a s c o l i a r z e l k 定理来证明算子的全连 续性，我们用文 8 7 1 中的一个基于b i e l e c k i s 范数的相对紧集判定准则来解 决这一问题。当，在z = 0 连续时，4 1 通过运用不动点指数定理在较弱 的极限条件下得到了问题( 4 1 1 ) 的一个以及两个正解的存在结果：定理 4 1 5 、定理4 1 6 、定理4 1 9 、定理4 i i 0 。4 2 则通过扰动技巧处理了 ，在茁= 0 奇异的情况并使用s c h a u d e r 不动点定理得到了定理4 2 2 。就我 们所知，目前还没有关于无穷时间测度上的奇异动力方程( 4 1 1 ) 的类似 结果。 第五章在特殊的时间测度一直线r 上研究了一类非自治多时滞微分 系统 ， l 可i ( 亡) = a l ( t ) v l ( t ) + ( 亡，m ( t ) ，k ( 亡) ，( t ) ) ， i 必( 亡) = 0 2 ( 亡) y 2 ( 亡) + f 2 ( t ，m ( t ) ，蚝( 亡) ，y m ( t ) ) ， 一o m ( 亡) ) + 厶( t ，m ( t ) ，k ( t ) ，( 亡) ) ， 的周期正解的存在性，这里的m ，佗都是正整数。系统( 5 1 3 ) 是许多生物 模型的统一和推广，比如单种群生长的l o g i s t i c 模型以及红血球模型。就 我们所知，目前还没有关于( 5 1 3 ) 的多个解的结果。本章运用a v e r y 和 h e n d e r s o n2 0 0 1 年在文 1 0 】中给出的一个双不动点定理( 引理5 2 1 ) 以及 文( 67 】关于三个不动点的l e g g e t t w i l l i a m s 定理( 引理5 2 2 ) ，在5 5 3 和5 4 7 第一章引言 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 本文主要工作 中分别得到了系统( 5 1 3 ) 的两个和三个正周期解的存在性：定理5 3 1 、 定理5 4 1 和定理5 4 3 。例5 3 2 和例5 4 2 也将会做为应用给出。即使在 m = 1 的特殊情况下，本章主要结果相对于文 4 0 】， 4 1 】， 7 3 也是全新的( 参 注记5 4 5 ) 。 8 第二章预备知识 本章分三节。第一节介绍时间测度的基本概念。第二节给出“d e l t a ”导 数及其基本性质。第三节主要介绍了“d e l t a 积分及其运算。第三节的最 后部分介绍了一些有关锥和全连续算子的概念。本章知识主要来源于文 献【1 8 】，【1 9 】， 4 3 】， 5 6 ， 5 7 】，( 6 4 】。 2 1 基本概念 设t ( “时间) 为某一集合。h i l g e r 的测度链概念( 参见 5 6 】， 57 】) 如 下。 定义2 1 1 t ；丁， - ，t t ， p ( t ) ：= s u p 1 - t ，则称t 是右离散的。如果p ( t ) 0 ； ( i i i ) d 关于乘积拓扑是连续的。 则称( 正，d ) 或者t 是一个测度链。 定义2 1 8 实数集的任意非空闭子集称为时间测度( t i m es c a l e ) 。 注记2 1 9 时间测度是测度链的特殊情况。本文中我们总用r 表示时间 测度，并且假定口的拓扑是从实数集的标准拓扑所继承来的。分别用 r ，z ，o 表示实数集、整数集、自然数集、非负整数集。则r ，z ，n ，n o 都是时间测度的例子。 1 0 第二章预备知识 中国科学技术大学博士学位论文 2 2d e l t a 导数 2 2d e l t a 导数 定义2 2 1 设函数f ：， _ r ，亡俨。如果有某个数，( t ) ，满足下面的 性质：y 0 ，j 的邻域u ( u = ( 亡一文t4 - 6 ) nv ) ，c 0 ) ，使得对一切 s u ，都有下式成立 l 【，( 口( ) ) 一，( s ) 】一，( t ) p ( 亡) 一s i e i 口( t ) 一s 1 则我们称这个数厂( t ) 为函数，在t 点的“d e l t a 导数或者h i l g e r 导数。 定义2 2 2 如果对于所有的亡俨，( ) 都存在，则我们称函数厂在驴 上是“d e l t a 可微的( h i l g e r 可微的) 或者间, l - k 称是可微的。函数f ：咿一r 称为厂在1 1 上的“d e l t a 导函数。 注记2 2 3f 的“d e l t a ”导数还可以按照极限方式定义为 j 扪：= l i m 。紫=l州ims-+t孵。紫crlt ，口( t ) s ) 一s 厂的二阶 d e l t a 导数可以定义为，( t ) = ( - 厂) ( 亡) 。更高阶的“d e l t a ”导 数可以进行类似的定义。 注记2 2 4 显然，由定义2 2 1 可知，当= r ( 实数集) 时，f ( t ) 就是通 常的导数- 厂协) ；当- = n ( 自然数集) 时，f ( 亡) = 厂( 亡+ 1 ) 一f ( t ) = a f ( t ) ，就 是向前差分算子。因此，“d e l t a 导数把微分和前差分运算统一起来了。 类似的，我们可以通过后跳算子p ( 参定义2 1 3 ) 定义与“d e l t a 导数相 对应的“n a b l a ，导数并进行相应的研究( 参见 1 8 ，【1 9 ) 。本文对此不再 赘述。 注记2 2 5 时间测度上含有“d e l t a ”导数的方程称为时间测度上的动力方 程。当时间测度r = 冗时，时间测度上的动力方程就是平常所说的常微 分方程。 定义2 2 6 设g 1 记 q z ：= q 惫：k z ) ，一q z ：= q zu o ) ，q n o ：= 付：尼0 ) 我们称或q n o 上的动力方程为口_ 差分方程。 下面列出一些有关“d e l t a ”导数的性质。 命题2 2 7 【1 8 ，t h e o r e m1 3 】设，：t _ r ，1 咿。则我们有 第二章预备知识 中国科学技术大学博士学位论文 2 2d e l t a 导数 ( i ) 若厂在t 可微，则f 在t 连续； ( i i ) 若厂在t 连续并且t 点是右离散的，则f 在t 可微并且 ，( 归掣 ( i i i ) 如果t 点是右稠密的，则f 在t 可微当且仅当极限 l i m 型二地2 存在并且是有限数。此时， = l 洲i m 等掣 s c 【一s ( i v ) 若厂在t 可微，则 ，( 口( t ) ) = ，( t ) + p ( t ) ，( t ) ( 2 2 1 ) 命题2 2 8 【1 8 ，t h e o r e m1 6 】假设f ，g ：， _ r 都是在t 铲可微的。则有 ( i ) f + g ：r _ r 在t 可微并且 ( ，+ 夕) ( t ) = i t , ( t ) + g a ( t ) j( 2 2 2 ) ( i i ) 对任意的常数c ，c f ：一兄在t 可微且 ( c f ) ( t ) = c ，( 亡) ( 2 2 3 ) ( i i i ) 乘积f g ：_ r 在t 可微且 ( ，9 ) ( t ) = ，( ) 夕( ) + 厂( 口( ) ) 夕( ) ( 2 2 4 ) = f ( t ) g ( t ) + ，( 亡) 夕( 仃( t ) ) 、。 ( 砌) 如果- 厂( t ) 厂( 盯( 亡) ) 0 ，则手在亡可微且 ( 甜垆一茄 协2 脚 ( u ) 如果9 ( t ) 9 ( 盯( 亡) ) 0 ，则苦在t 可微且 ( 甜归一掣群 仁2 q 第二章预备知识 中国科学技术大学博士学位论文 2 3d e l t a 积分 2 3d e l t a 积分 定义2 3 1 函数，：r _ r 称为是正规的，若对口中的一切右稠密点， ，的右极限存在且有限；对r 中的一切左稠密点，厂的左极限存在且有 隗 馥 定义2 3 2 函数，：， _ 兄称为是r d 连续的，若它在t 中的一切右稠密点 上连续，且在r 中的一切左稠密点上有有限的左极限。 本文中，我们用记号 g d = g d ( r ) = c r d ( 1 r ，r ) 表示面上州连续函数，： 一r 的全体。若函数厂：t _ 兄的导函数是r d 连续的，则记这样的，全体为 = c ：d ( v ) = ( ，r ) 注记2 3 3 由s h i l g e r 【5 6 ，p a g e2 6 s 8 】可知，当t = r 或者l i = z 时，r d 连 续与连续是一致的。 更一般的，我们有 命题2 3 4 ( 1 9 ，t h e o r e m1 6 0 ) 设，：r 一r 。则有： ( i ) 若，连续，则，也是r d 连续的； ( i i ) 若厂是r d 连续的，则，是正规的； ( 讹) 前跳算子仃是r d 连续的； ( 抛) 若t 厂是正规的或r d 连续的，则厂。盯也是； ( 钉) 若，连续，g ：_ r 是正规的( r d 连续的) ，则复合函数f og 也是正规的( r d 连续的) 。 定义2 3 5 称连续函数f ：r 一r 在d 上是准可微的，若厂在每个t d 上可微，dc 铲，俨d 是可数集且不含有t 的右离散点。 命题2 3 6 ( 1 8 ，t h e o r e m1 2 5 1 ) 设，是正规的。则存在准可微函数f 且有 可微域d 使得 f ( 亡) = 厂( ) ，t d 这样的f 称为是厂的准原函数。 定义2 3 7 函数f ：r 一r 叫做，的一个原函数，若f ( 亡) = ，( t ) ，t 廿。 1 3 中国科学技术大学博士学位论文 第二章预备知识 2 3d e l t a 积分 定义2 3 8 设，是正规的。它的不定积分定义为 厂( 亡) ：f ( t ) + c ， 这里f 是，的准原函数，c 是任意常数。 定义2 3 9 定义函数，的c a u c h y 积分为 8 ，( 艺) d t ：f ( s ) 一f ( r ) ，s 和r r ， 其中f 是，的准原函数。 命题2 3 1 0 ( 1 9 ，t h e o r e m1 7 4 ) 每一个r d 连续函数都有原函数。特别的， 如果t o ，则下式定义的f f ( t ) = f ( t ) a t ，t r ， 是，的一个原函数。 下面给出有关“d e l t a 积分计算的两个结果。 命题2 3 1 1 ( 1 8 ，t h e o r e m1 2 9 ) 对于任意的函数，：，_ r 和t - ，有 ，口( ) 厂( 丁) 丁= ( 口( 亡) 一t ) ) 厂( ) ，( 2 3 1 ) 命题2 3 1 2 ( 1 8 ，t h e o r e m1 3 0 ) 设a ，b t ，- 厂g d ， ( i ) 若，i = r ，则 6 ，( 亡) 亡= z 6 ，( ) 出( 通常的r i e m a n n 积分) ； ( i i ) 若【o ，6 】只有孤立点，厂c ，d a ，6 】，则 z 6 ，e 。亡： 。e 挺【0 6 “仃 一司， 。i ，f 口a ： b 文( 1 7 】和 1 8 ，c h a p t e r5 ，p p 1 4 5 1 5 5 】研究了时间测度上的广义积分 ( i m p r o p e ri n t e g r a l s ) 并给出了以下结果。 1 4 第二章预备知识 中国科学技术大学博士学位论文 2 3d e l t a 积分 定义2 3 1 3 若a _ 。时积分列f ( a ) = rf ( t ) a t 的极限是一个有限数， 则定义 。弛池= 恕矿皿) ， ( 2 3 3 ) 并称这个极限是厂在a 到上的第一类广义积分。此时我们称广义积 分f ( t ) a t 存在或者说收敛。 定义2 3 1 4 若函数f 在t = b 奇异并且极限燥j ：f ( t ) a t 是有限数，那么 我们称广义积分e f ( t ) a t 存在或者说收敛。在这样的情况下，我们称这 个极限值是第二类广义积分ef ( t ) a t 的积分值且记作 l - bf c f ( t ) a t = 1 i m f ( t ) a t ( 2 3 4 ) jnc - - - * b j 伍 命题2 3 1 5 ( 【1 8 ，t h e o r e m5 5 2 ) 设对- - 7 任意的t 【o ，。) 有0 ，( t ) 5g ( t ) 成立。则广义积分 ，。o g ( t ) a t ( 2 3 5 ) t ，o 的收敛性推出广义积分 ，o 。 f ( t ) a t( 2 3 6 ) n 的收敛性并且成立ff ( t ) a rg ( t ) a 。另外，( 2 3 6 ) 的发散性推出( 2 3 5 ) 的发散性。 最后我们给出关于锥和全连续算子的一些概念。 定义2 3 1 6b a n a c h 空间e 中的非空闭凸集合k 称为是锥，若k 满足 ( i ) z k 且q o 推出q z k ， ( i i ) z ，一z k 推出z = 0 设e l ，易是两个b a n a c h 空间，dce l ，设算子a ：d 一易 定义2 3 1 7 若4 将若d 中任何有界集映成易中的列紧集( 相对紧集、 预紧集) ，则称a 是映d 入岛的紧算子。 定义2 3 1 8 若算子a ：d _ 赐是连续的，而且又是紧的，则称a 是映d 入易的全连续算子。 1 5 第二章预备知识 中国科学技术大学博士学位论文 2 3d e l t a 积分 定义2 3 1 9 ( 8 7 】，a s c o l i a r z e l a 定理) 设s 是紧距离空间，c ( s ) 表示s 上 实值( 复值) 连续函数全体在范数恻l ：= s u pi z ( s ) l 下的b a n a c h 空间。我 s e s 们称序列 z n ( s ) cc ( s ) 在c ( s ) 中是相对紧的，若以下两个条件成立： s u p s u pi z n l o , tch 盯( 6 ) 且p ( t ) 的导函数和积分州6 、丽1 丁都存在， ( 3 1 ：3 ) a ，7 ，杏0 是常数且满足以下两个条件： 扛焉+ 蒜均z “们而1 邮。 ( 3 ) d 他2 ( 6 ) 一盯( 6 ) 】 ( 3 1 5 ) 这里的( 3 1 5 ) 式是为了保证后面( 3 1 2 1 ) 给出的函数a ( t ，s ) 满足 g ( 亡，s ) o ， ，s ) 【。，口2 ( b ) 】f 。，仃( 6 ) ( 3 1 6 ) 定誊3 1 1 我们称z 是( 3 1 1 1 ) 或者( 3 1 2 ) 的正解，若z ： 0 矿2 ( 6 ) 】叫n 。o ) ， z 在( n ，6 】上满足( 3 1 1 ) 或者( 3 1 2 ) 且在( n ，6 ) 上是正的。 1 7 中国科学技术大学博士学位论文 第三章有限时间测度上动力方程正解的存在性 3 1 仅使用极限条件的结果 1 9 9 9 年，e r b e 和p e t e r s o n 在文【3 3 】中研究了时间测度上的动力方程边 值问题 i z ( 亡) = ，( 亡，z ( 仃( t ) ) ) ，t 【o ，6 ， c z x ( a ) 一触a ) = 0 ， ( 3 1 7 ) 【 7 z ( 盯( 6 ) ) + d z 、( 盯( 6 ) ) = 0 ， 讨论了它的正解存在性。文 3 3 】的主要结果是 定理3 1 2 ( 3 3 ，t h e o r e m9 ) 在超线性情形( f o = 0 且厶= 。o ) 或者次 线性情形( f o = o 。且氐= 0 ) 下，b v p ( 3 1 7 ) 都有正解存在。这里 ，g ( f 口，口( 6 ) 】r + ，r + ) 且知：= x l - - i 婵- ，o t 丛字，k ：= ：r 1 - i - - - m - ，o q 丛字。 删 c h y a n 和h e n d e r s o n 在文【2 3 】中考察了时间测度上的动力方程边值问 题 z ( 芒) + a o ( ) ，( 。( 仃( ) ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， ， ( 3 1 8 ) 在对偶边值条件 z ( o ) = z ( 口( 1 ) ) = 0 ，( 3 1 9 ) 及右局部边值条件 x ( o ) = 0 = x a ( 盯( 1 ) ) ，( 3 1 1 0 ) 下的正解存在性。文【2 3 】使用了下面三个假设： ( a ) 厂c ( o ，o 。) ，【0 ，co ) ) ； ( b ) a ( t ) c ( o ，盯( 1 ) 】， 0 ，。o ) ) 且在 0 ，盯( 1 ) 】的任意闭子区间上不恒为零； ( g ) 极限如一z l 。i r a 。+ 掣和厶：= l i m z 0 0 掣存在且都是正数。 下面两个定理是文【2 3 】的主要结果。 定理3 1 3 ( 2 3 ，t h e o r e m3 1 1 ) 若假设( a ) ( j e 7 ) ( c ) 都满足，则对于满足式子 瓦砸蒜“ 掣：m a x t 洲t 掣 ， g ( t ，s ) 是x a a ( 亡) = 0 在边值条件( 3 1 9 ) 下的g r e e n 函数， 仇= m i n 1 4 ，c ) ，c 一。霸黼， 中国科学技术大学博士学位论文 第三章有限时间测度上动力方程正解的存在性 3 1 仅使用极限条件的结果 上g ( 丁，s ) s2 吲m a 川x g ( 。，s ) s ( 3 1 1 2 ) 定理3 1 4 ( 2 3 ，t h e o r e m3 2 ) 若假设( a ) ( b ) ( c ) 都满足。则对于满足式子 而蒜“ 两亚丽者 ( 3 3 ) 的任意a ，边值问题( 3 1 8 ) ( 3 1 1 0 ) 至少有一正解。这里的c ( t ，s ) 是x z x a ( 亡) = 0 在边值条件( 3 1 1 0 ) 下的g r e e n 函数，、u 、m 同上一定理。 我们还注意到，d a v i s 、h e n d e r s o n 、r a j e n d r a 和y i n 等2 0 0 0 年在 2 7 】 中研究了非线性对偶特征值问题( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 。h o n g 和y e h 在文 5 9 】中 讨论了比( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) 和( 3 1