（基础数学专业论文）有关赋范空间单位球面间等距算子延拓的探讨.pdf

摘要 中文摘要 本文主要探讨赋范空间单位球面间等距算子延拓问题，分为四章： 在第一章中，我们研究c o o 型单位球面间等距算子的线性延拓问题，给出某些 条件在这些条件下，c ( d 型单位球面间等距算子可以实线性等距延拓到全空间上 并对这些条件间可能蕴含的关系进行探讨。得出相关结论 在第二章中，我们讨论严格凸赋范空间的c o 一和中相应的t i n g l e y 问题，得到肯定 的回答即严格凸赋范空间的c o 一和的单位球面之间的满等距可以实线性延拓为全 空间上的等距算子 在第三章中，我们进一步讨论严格凸赋范空间的内一和的单位球面间等距算子 的延拓问题，得出在某些条件下，这种类型空间单位球面间的等距嵌入可以等距延拓 到全空间上从而前一章的结论是本章所得结果的推论 在第四章中，对本文的工作进行了总结，指出一些尚待解决的问题 关键词：等距延拓，等距算子，单位球面，t m g l e y 问题，c o 一和，严格凸 中文文摘 中文文摘 算子等距理论是一门非常经典而且古老的学科，它是b a n a c h 空间几何理论一 个重要方面，也跟算子理论密切相关本文主要探讨赋范空间单位球面间等距算子延 拓问题文章的结构安排如下： 绪论主要介绍本论文的研究背景及研究现状，给出本文需要的一些预备知识，及 文中涉及的一些数学符号 在第一章中，单淑香在其毕业论文 s o l 中探讨了c 0 单位球面间等距算子的延拓问 题，并留下一些未解决的问题，本人在第一章中对这些未解决的问题进行研究，并部 分解决了这些问题同时，原来文章中的引理2 1 4 的证明有误，本人在这一章中也 间接解决了这个问题 在第一节中，我们得到如下重要引理，这些引理都有承上启下的作用首先我们 的第一个引理是关于球面问等距映射的奇性，事实上，根据之后的进一步思考，从本 文第三章的引理3 1 1 知道，引理1 1 1 的条件可减弱为条件：一t c sc e ) ) cr ( s ( e ) ) 。 即值域的对称性 引理1 1 1 设7 为r 中任意一个指标若等距嵌入r ：s ( c ( 1 3 ) 一s ( c ( ) ) 满足 t ( - e r ) s p a n ( t e r ) ，则2 ( 一e r ) = 一z 勺 引理1 1 2 假定r 满足条件： ( 1 ) r ( s ( c ( r ) ) ) 吾西丽【丁勺l ，e r ； ( 2 ) 任意的6 0 7 e r o s u p p ( t e y ) ，有 ：i r e r ( o g l 1 ，其中r o 是f 的任意子集 7 一e l o 一 则对任意的x s ( c f r ) ) ，存在唯一的l 作rsr ，使得t x = ：a f t e r 7 。e 。一f 引理1 1 3 令t ：s ( c ( r 3 ) 一s ( c ( ) ) 是一个等距嵌入，假定丁满足条件 ( 1 ) 对任意的y f ，有t ( - e y ) s p a n ( t e r ) ； ( 2 ) r 岱( c 0 3 ) ) 两；丽( r 勺l 掣e r ； ( 3 ) 任意的5 c t r a o s u p p ( t e r ) ，有 ：i t e r ( o g l 1 ，其中r o 是r 的任意子集 而 那么t 工= a r t e r ，v x - 唧勺s ( c ) ，其中 勺b e f r i t 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 根据以上引理，第二节中我们证明了如下延拓定理： 定理1 2 1 令t ：s ( c 0 3 ) _ s ( c ( ) ) 是一个等距嵌入，那么丁可以实线性等距 延拓当且仅当丁同时满足以下条件： ( 1 ) 对任意的y r ，有t ( - e r ) s p a n ( t e r ) ； ( 2 ) r $ ( c 0 3 ) ) ss - p 丽 t e r r e r ； ( 3 ) 任意的6 r b , 盯o s u p p ( t e r ) ，有i t e , ( 0 3 1s1 ，其中1 o 是f 的任意子集 而 定理1 2 2 若丁：s ( 咒) _ s ( 吧) 是等距映射，则对v x s ( 咒) ，有z ( 一曲- - = 一t x 定理1 2 3 假定r 是等距且对任意的7 r ，有t ( - e r ) s p a n ( t e r ) 则对每一 对互异的y ，j l l r 有l 丁勺i + i 丁嘞i | i = 1 定理1 2 4如果r ：s ( 纪) 一s ( c ( ) ) 是一个等距映射且满足定理1 2 1 中的条 件( 2 ) 和( 3 ) ，则t ( - e 1 ) = - t e f ，f _ 1 ，2 其中p 1 ，e 2 是圪的自然基 我们还讨论定理1 2 1 中三个条件间可能的蕴含关系，根据以上后面三个引理， 我们可得出下面三个重要注记 注1 2 1 当c f r 3 = c ( z x ) = 咒时，条件( 2 ) 蕴含条件( 1 ) 注1 2 2 我们构造如下例子说明条件( 1 ) 并不蕴含条件( 2 ) 设m ，n 是两个正整数且满足m 1 ，m l e l vy s u p p 工，令已，= 南若对v 6 o w o ( 一劢，e ) ，成立v o c x ) ( = 只那么 y 萑o c x ，e ) 引理2 1 3 对任意的而s c e ，) ，晰er ) ，s u p p v o c - 习是单点集 引理2 1 4 对任意的x 7 s ( b ) ，( 1 3 ，有( - _ ) = 一回 引理2 1 5 任意的7ef ，存在唯一的以a ，使得s u p p v o c - 劢= ( 以) ，对任意的 匆s c e , ) 成立 引理2 1 6 存在双射7 r ；f 一，使得对任意的7 r 巧s ( 岛) ，有s u p p 回= i 丌( 们1 根据以上引理，在第二节中，我们得到如下单位球面间等距映射的表现定理： 定理2 2 1 设7 1 为引理2 6 所指，工= ( 而) s ( 司，设( 劝= ( y 6 ) s ( d ，则 y 6 = i i k - ( 刃l l v o ( 毒尚) ，其中规定v o c 3 ) = 口 由以上表现定理，不难得出延拓定理： 定理2 2 2 满等距v o ：s c e ) s ( 刃可实线性延拓为层到f 上的等距算子 在第三章中，本人进一步讨论严格凸赋范空间的c o 一和的单位球面间等距算子 的延拓问题，得出在某些条件下，这种类型空间单位球面间的等距嵌入可以等距延拓 到全空间上 在第一节中，我们得到如下重要引理： 引理3 1 1 设一v o c s ( e ) ) cv o c s c e ) ) ，则对任意的z s ( 日，有( 一曲= 一i i o ( 功 引理3 1 2 设满足： ( 1 ) 任意的而s ( 易) ，即s ( 印) ，力，v o c - 习上v o c - 劢， ( 2 ) 对任意的愀l 冬l cr ，i l 鲁cr ，勃s ( ) 存在) ，s ( e ) ，使得v o c y ) = 垒1 也( 劢 则必有y = 冬l a f - v 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 引理3 1 3 设满足： ( 1 ) 任意的而s ( b ) ，即s ( 印) ，力，( 劫上v o f 巧- ) ， ( 2 ) 对任意的耳s ( 耳) ，) ，s 循) ，耳上y ，五l ，, 1 2 r ，若i l a i v o c 写- ) + 也0 ，) = 1 ，有 a l v o f 写- ) + a 2 v o f y ) s ( 毋 则当m a x l a ：l ，1 月2 1 ，i = 1 ，南s ( 毛) 时，有v o ( e l l 五习= 冬la , v o ( - 劢 引理3 1 4 假设v o 满足引理3 - 1 3 的条件，则( o 巧) = h 蛐i i h i i ( 南) ， v o 而s ( d 在第二节中，我们得到如下延拓定理： 定理3 2 1 若满足： ( 1 ) 任意的而s ( 岛) ，即s ( 印) ，力，v o ( - q 上v o ( - 巧- ) ， ( 2 ) 对任意的耳s ( 岛) ，y s ( 目，j c y 上) ，a l 1 2er 。若i l a l v o ( - 写- ) + r , 2 v o ( y ) i i = 1 有 a 1 ( 夏力+ , t 2 v 0 0 ) s ( d 则可延拓为从e 到，上的等距算子 最后一章，对本文的工作进行了总结，介绍本课题的研究进展和所取得的成果， 指出一些尚待解决的问题 v i 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ee x t e n s i o no fi s o m e t r i c sb e t w e e nt h eu n i ts p h e r e so f s o m en o r m e ds p a c e s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h ep a p e r i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h ei s o m e t r i ce x t e n s i o no ft h ei n t om a p p i n gb e t w e e nu n i t s p h e r e so fc ( d s p a c e sa n dg i v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ri s o m e t r i ce m - b e d d i n gb e t w e e nu n i ts p h e r e so fc o d s p a c e sw h i c hc a nb er e a l l yl i n e a r l yi s o m e t r i c a l l y e x t e n d e dt ot h ew h o l es p a c e i na d d i t i o n 。w ea l s od i s c u s st h ep o s s i b l ei m p l i c a t i o nr e l a - t i o n sb e t w e e nt h e s ec o n d i t i o n s 。a n d0 b r a i ns o m er e l a t i v ec o n c l u s i o n s i nc h a p t e r2 w es t u d yt h et m g l e y sp r o b l e mo nt h ec o - s u mo fs t r i c t l yc o n v e xn o r m e d s p a c e s ，a n do b t a i na na f f i r m a t i v ea n s w e rt ot h ep r o b l e m t h a ti s ，e v e r yo n t oi s o m e t r y b e t w e e nu n i ts p h e r e so ft h ec o s i l l so fs t r i c t l yc o n v e xn o r m e ds p a c e sc a nb el i n e a r l yi s o - m e t r i c a l l ye x t e n d e dt ot h ew h o l es p a c e i nc h a p t e r3 ，w ef u r t h e rd i s c u s st h ep r o b l e mo nt h ee x t e n s i o nb e t w e e nu n i ts p h e r e s o ft h ec o s u mo fs t r i c t l yc o n v e xn o r r n e ds p a c e s w eg i v es o m ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ha n i s o m e t r i ce m b e d d i n gb e t w e e nt h eu n i ts p h e r e s 锄b ee x t e n d e d 阳# h o l es p a c e t h e n t h er e s u l tf r o mc h a p t e r2b e c o m e st h ec o r o l l a r y l a s t ，w em a k eac o n c l u s i o no fo u rw o r k , a n dp o i n to u ts o m ep r o b l e m sn e e d e dt ob e s o l v e d k e y w o r d s ：i s o m e t r i ce x t e n s i o n 。i s o m e t r i co p e r a t o r , u n i ts p h e r e s ，c o s u m , s t r i c t l yc o n v e x 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权 声明户明 本人( 姓名) 堕亘坠，学号塑鱼竖鱼2 ，专业基型塑堂所呈交的论 文( 论文题目：有关赋范空间单位球面间等距算子延拓的探讨) 是本人 在导师指导下，独立进行的研究工作及取得的研究成果尽我所知，除论文 中已特别标明引用和致谢的内容外本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果对本论文的研究工作做出贡献的个人或 集体，均已在论文中作了明确说明并表示谢意，由此产生的一切法律结果 均由本人承担 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：福 建师范大学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被查阅 和借阅：本人授权福建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，并按国家有关规 定，向有关部门或机构( 如国家图书馆、中国科学技术信息研究所等) 送 交学位论文( 含纸质版和电子版) ( 保密的学位论文在解密后亦遵守本声明) 学位论文作者签名： 降叫 签字魄彳日 指导教师签名： 签字日期叩6 月日 绪论 绪论 ( 一) 课题背景及研究现状： 1 9 8 7 年。t i n g l e y d t l 】中提出了下面的问题： 设s ( d 和s ( f ) 分别是实赋范空间e 和f 的单位球面，v o ：s ( 日_ s ( f ) 是一 个满等距，问能否被延拓为全空间的( 线性) 等距算子? 对这个问题的研究比较复杂。对于复空间的情形，答案显然是否定的如取e = f = c ( 复平面) 和k ( 萄= i 一般地，对不同类型的赋范空间进行考虑，由于其空间 结构不一样，因此所得的结论可能也不一样 t i n g l e y d 在文【1 】还得出如下结论：当e 和f 是有限维时，有( 一力= 一确， 对任意的工s 值) 成立十多年来，定光桂教授及其他的学生们一直在研究这个专 题，已得到许多重要结果，可参见文中的大部分文献在文献【9 】，定教授对此问题做 了详细介绍，并且提出一系列问题，在这篇文章中，作者总结可从以下三方面来考虑 这个问题： 1 可考虑其中的e 和，都是同种类型的空间的情况特别地，对一系列经典的 b a n a c h 空间，如扩，上尸缸) ，心一空间，i p ，及一些完备的赋准范空间，如 泸a d ，西，( s ) 空间，均获得关于t i n g l e y 问题的肯定答案参见文献【2 ，3 5 2 9 - 3 1 。3 6 】 等 2 可考虑其中的e 和f 不是同种类型的空间的情况，文献【4 】中，作者首次研究了 这种情况，并获得肯定答案 3 可考虑等距映射不是满射时，是否可延拓为全空间上的等距算子7 如 果答案是否定的，那在满足哪些条件下可被延拓到全空间上? 文献 1 0 】首次研 究这种情况，得到结论：当e 和f 是h i l b e r t 空间时，其单位球面之间的等距嵌入可 实线性等距延拓文献【3 1 】得出该结论对于原子的a 矿一空间，( 1 p e j 是个有限集l 取上确界范数即l l x l l = s u p r e rl a t i ，v 石= ( 唧) ec c ( a ) 和c t t ) 是同类空间用s ( c o d ) 和s ( c ( a ) ) 分别表示空间c o d 和“) 的单 位球面r ：s ( c ) 一s ( c ( ) ) 是一个等距嵌入 对任意的yef 和艿a ，定义 勺= i 知：6 = 1 知= o ，y ，v ef lec o d 始= i 驸：珊= l ，和= 0 ，反w 7 a ) c ( a ) 记工= a t ：y r ( c ) 为吩勺，记y = b 6 ：6 】( c ( ) ) 为慨 7 e f 泓 在本文第二三章中，f 是一非空指标集，f 毋】7 e r 是一族严格凸赋范空间，其c o 一 和记为： 1 0 日 旬= b = ( x o ：而岛，v ，r ，v e o ，【，：i l x r l l e l 是个有限集 y e t 3 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 其范数取上确界范数，即i i x l i - s u p t a ri l x d l ，v 工= ( 竹) ( o 7 e rb l c ；o 事实上，由定 义知i i x l i = 脚r0 i i e 和f 为两簇严格凸赋范空间的c o 一和e = 0 阿b ) 句，f = ( o 泓而l c o ， 其中r 和均为非空指标集 若工= ) e ，s u p p 工= 7 ，则记工为写若s u p p x l qs u p p y = 刀，称石上y 在第二章中，是从s ( e ) 到s ( f ) 上的满等距映射在第三章中，是从s ( e ) 到 s ( d 上的等距嵌入( 非满射) 另外，本文所涉及的空间都是指实数域上的空间 4 第1 章c o d 型空间单位球面之间的等距延拓 第1 章c ( r ) 型空间单位球面之间的等距延拓 1 1主要引理 引理1 1 1 设，为r 中任意一个指标若等距嵌入z ：s ( c t y ) ) _ s ( c ( ) ) 满足 r ( 一e t ) s p a n ( t e t ) , 则丁( 一勺) = - t e y 证明 由r ( 一勺) s p a n ( t e ，) 可知，j q r ，使得t ( - e 7 ) = a t e 7 因为t 是单位球面之间的映射，故1 = i i t ( - e 7 ) l l = i b r 勺= b 1 于是有 r ( 一e y ) = r 勺 又由于等距z 是单射，故必有t ( - e 7 ) = 一 引理1 1 2 假定r 满足条件： ( 1 ) t ( s ( c ( i ) ) ) s p 锄【2 勺l ，e n ( 2 ) 任意的6 劬s u p p ( r 勺) ，有yi t e 7 ( o d i 1 ，其中r o 是r 的任意子集 蔬 则对任意的石s ( c ) ，存在唯一的慨) 阿r 使得t x = z a y t e y 证明 任意，r 由c o 中元素范数的性质，设在西处达范，即 i r 勺( 以) i = 1 由条件( 2 ) 知，对任意的p r ，7 ，有r 勺( 颤) = 0 设d 是r 的任意 有限子集，( 知k d r 对任意固定的砖，有 i 荟厶z 勺c 以川= 1 结合s u p 件f i i l ，我们得到i + i = 1 + k i ，并且，和穹同号 因此对任意的f r 吩= 故对v z = 唧勺s ( c 0 3 ) ，t x = e a r t e ，e r y c f 1 2主要结果 定理1 2 1 令t ：s ( c o d ) 一s ( c c a ) ) 是- 个等距嵌入，那么t 可以实线性等距 延拓当且仅当t 同时满足以下条件： ( 1 ) 对任意的y r ，有r ( 一唧) s p a n ( t e v ) ； ( 2 ) r 岱( c ) ) s - f i - f i f t e ，, ，e r ； ( 3 ) 任意的6 由s u p p ( r 勺) ，有i 丁勺( d i s1 ，其中r 0 是r 的任意子集 7 e r o 证明 “# 由定理的条件及引理1 1 3 知，对任意的工= 唧勺s ( c o o ) ， 面 t x - a y t e r 在c ( d 上定义如下映射亍： 氟= 垆响) i f 工0 i f x = 0 ，( v x c o o ) 7 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 显然对任意的z 目，鼬i = ul l x l l t ( 南) l l = l l x l l 由亍的定义及引理1 i 3 得： 酗- i i 刘r c 南，- l l 刘委南r 勺5 委唧r 勺 令j = 唧勺，) ，= 以勺c ( d ，并且历，万r ，则 _ ( 臌+ 砌= ( 鸭+ 以b r ) t e r = m 唧r 勺+ ，l b z 勺 7 一 埘 = r o t ( x ) + n t f y ) 从而亍是从到c ( ) 的一个实线性等距且是丁的线性等距延拓 “考”t ：c ( r ) _ c ( ) 是一个线性等距映射，则显然条件( 1 ) ，( 2 ) 成立 若任意固定的d a ，令勺= s g n ( t e t ( 6 ) ) ，设d 是r 的任意有限子集，则有 i t e ：, ( 6 ) l = t e 7 ( 6 ) e v s 测t 勺( 回勺i 眦；荔 = i i 啪o = i i 勺r 勺( 咖o = l i 勺r 已y i i = 帆勺驯 = o 勺驯= i ，e 口 由占的任意性知，条件( 3 ) 成立 定理1 2 2 若r ：s ( 咒) _ s ( 咒) 是等距映射，则对帆s ( 纪) 有t ( - x ) = - t x 证明根据论断( 参见文【7 1 ) “j 口) 是一个紧致的度量空间，：x - x 是一 个等距映射，则，是满射 及有限维b a n a c h 空间的单位球面是紧致的事实知t 是满 射，于是根据文 1 】的结论，得所要证的结论成立 又 第l 章c f r 9 型空间单位球面之间的等距延拓 注1 2 1 由定理1 2 2 我们知道当c a = c ( t 0 = 纪时，条件( 2 ) 蕴含条件( 1 ) 注1 。2 2 我们构造如下例子说明在定理l 。2 2 中，条件( 1 ) 并不蕴含条件( 2 ) 。 设m ，l 是两个正整数且满足m 1 ，m ，l 2 m 一1 定义映射r ：s ( 纪) _ s 鳃) 如下 t x - - - a l e ：+ 主q 即t e 舢tv x - - 卵舢( 咒) ， i = 1 j - - - il f f i l 其中l e i ：l ， 堰1 分别是纪和纪的自然基 易知t 是一个等距，并且t ( - e i ) = 一丁q s p a n t e i ? = i ，但对x o = 芝：e i 酉 躐) ，t x o = 善+ 圭善“仨删酬墨t - 以下对条件( 2 ) ( 或与条件( 3 ) ) 是否蕴含条件( 1 ) 进行讨论 定理1 2 3 假定t 是等距且对任意的y r j 有z ( 一e r ) s p a n ( t e r ) 则对每一对 互异的7 ，per ，有i ii t e , i + i r e l0 = 1 证明 为了方便，我们记卢= i l i r e r l + i t e 芦l t l ，从而声= s u p ( 1 z 勺( d i + i t 6 , ( o d t ) 泓 一方面，由i i t ( e , ) l l = i i t ( e a i i = l 可知 卢s u pi t e r ( o d i = i i t ( e r ) l i = 1 ； 西 另一方面，我们将证明夕s1 由空间c o 中元素范数的性质知，存在6 0 a ，使得i t e r ( 6 0 ) l + i t e p ( 6 0 ) l = 声 国) 若t e r ( 6 0 ) ? 勺p o ) 0 ，则 卢= i t e r ( 5 0 ) 一t 6 , ( 5 0 ) i i i 丁勺一r 气= 1 p ) 若t e r ( 6 0 ) z ( 岛) 0 ，由条件和引理2 1 知： l i t e r + z 印j f = i i z e r z ( 一e a i l = 勺一( 一勺) 1 l = 1 从而有卢= t e r ( 6 0 ) + r 知( 岛) i l i t e r + r e i l l l = 1 综合0 ) 和( 6 ) ，得卢1 因此定理结论成立 9 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 定理1 2 4 如果r ：s ( e l ) _ s ( c ( ) ) 是一个等距映射且满足定理1 2 1 中的条 件( 2 ) 扣( 3 ) 则r ( 一e f ) = 一t e l ，i = l ，2 其中e l ，e 2 是毛的自然基 证明由条件( 2 ) ，可设 j 丁( 一e 1 ) = a n t e l + a t 2 t e 2( 1 2 1 )l 工二1 ， 【丁( 一e 2 ) 2a 2 t t e t + a 2 2 t e 2 由条件( 3 ) 及1 = l i t ( 一e f ) 1 1 ，a = 1 ，2 ) 知：l a u l 1 ，( f ，j f = 1 ，2 ) 且口l l a 1 2 中必有一个数 的绝对值为1 ，即h ai i = l 或者| 口l a2 l = 1 否则，若f a n i l 且l a l 2 i l e l ，v7 s u p p 工，令e 7 = i 南若对v 6e o ( v o ( - 劢，办成立v o ( x ) ( o o = 包那么 y 譬o c x 。e ) 1 2 第2 章严格凸赋范空间的c 0 一和的单位球面间满等距的延拓 证明否则，若存在y s u p p 毛使得v6 d ( ( 一劢，e ) ，有一( 回= 幺但 1 1 1 1 1 一e 则有 v o c x ) 一v o ( 一苞力0 = i i x + 丐0 = l i x + e v l i = 1 + 0 而 2 一e ， 故存在j l a ，使得i i v o ( x ) ( 6 0 一v o ( - e - d v ( a 0 1 1 2 一e 于是 i i v o ( x ) ( a 0 1 i + l i v o ( 司 1 ) l l 2 一 注意到 l l ( x ) ( a 0 1 l 1 ，n ( 罾习( 6 0 1 l 1 ， 所以 i i ( 劢( a 0 1 1 l e ，且i i v o ( x ) ( a 0 1 1 1 一e 所以 6 i o ( v o ( 一劢，e ) ，但v o ( x ) ( a o 0 与题设矛盾证毕 引理2 1 3 对任意的而s ( 岛) ，( v y 1 3 ，s u p p y ：o c 6 ) 是单点集 证明 v o ( 6 3 s ( 刃，由引理2 1 1 。取6 0 s u p p v o c 6 3 ，使得v o ( g - ) ( a o ) = 一y o ( - _ 劢( 而) s ( f 6 0 ) 令y o = ( 习偷) ，由于砺是满射，故存在x oes ( d ，使 得v o ( x o ) = 而令印= 意，vy s u p p x o 由引理2 1 1 知：若则有 v o ( - e - ；) ( a o ) = 0 。于是对v e ( 0 ，1 ) v6 o ( v o ( - e i ：) ，) ，有 v o ( x o ) ( o d 0 由引理2 1 2 得：v e ( 0 ，1 ) ，v ，s u p p x o ，y ，有 i ) 0 1 一e 令f 一1 一，得动) = 玩所以动= 而i 于是有 另一方面， 所以 ( x o ) 一( - 劝0 = i i x o4 - i l = i i x o + 而i f ， n ( 翔) 一v o ( 一夏i l i i v o c x o ) ( 6 0 ) 一v o ( 一夏力( a o ) l j = 2 l l y o l l = 2 如+ 而f i 2 1 3 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 注意到i l x 0 0 , ) l l = i i x , i i = l ，由岛是严格凸的，得：x o o , ) = 巧所以 v o c 6 - ) = 而= v o ( x o ) = _ 即s u p p ( 习= i 如1 从等距映射k 是单射的事实易知而是唯一的 引理2 14 对任意的而s ( 岛) ，( v ，d ，有v o ( - 劢= 一( 劢 证明容易由引理2 1 3 的证明得到此结论证毕 引理2 1 5 任意的，r ，存在唯- e j 田，使得s u p p v o c 6 3 = 峨l ，对任意 的而s ( 岛) 成立 证明取定勺s ( b ) ，由引理2 1 3 知：存在唯一的6 0ea 使得s u p p v o c 6 ) = 慨1 若存在6 1 , 6 l 6 0 ，及而s ( b ) 使得s u p p v o c 6 - ) = 1 6 l ，由引理2 1 4 有： 1 = 0 k ( 习一v o c 6 ) l i = i i x , 一勺， l = i i v o c - # - ) 一( 司= i i x , + e v i l 由马是严格凸的，得耳一唧= 而+ e v ，所以e v = 0 矛盾证毕 引理2 1 6 存在双射7 r ：f 一，使得对任意的y r ，而s ( 易) j 有 s u p p v o c 6 ) = ( 丌 ) ) 证明 v y f ，由引理2 1 5 ，令7 r ( 9 ) = 西，则s u p p v o c - 6 - ) = 1 7 r ( 力 7 r 是单射的否则，若存在y l ，忱r y l 忱，6 0 a ，及而。s ( b 。) ，x n s ( ) ，使得s u p p v o f 瓦- o = s u p p r o e - 9 3 = 1 6 0 1 则由引理2 1 4 有： l t r o t 6 7 ) 一v ：o 再- 9 1 i = 0 石一习i = l i l v o c 6 0 + v o c 6 9 1 i - l i g + 习i = l 由于是严格凸的，故可得出矛盾 7 r 是满射的否则，若存在6 a ，使得s u p p v o c 6 3 。vy f ，v 而es ( 马) 取y a s ( f a ) ，则存在x o s ( e ) ，使得( 卸) = 石于是 v o ( x o ) l o ( ( 丽o = 眦( o ，1 ) ，v y s u p p 洳 由引理2 1 2 知：i l x o ( 】, ) l l 1 一厶vy s u p p x o 这与x o s ( 司矛盾证毕 1 4 第2 章严格凸赋范空间的c o - - 和的单位球面间满等距的延拓 2 2 主要结果 定理2 2 1 设7 r 为引理2 1 6 所指，工= ( x o s ( 以设v o ( x ) = 饥) s ( 以则 粥= 醅- 卿t 7 叭t 研x a - l ( 6 ) ，其中规定k ( 3 ) = 鼠 证明 先证若为= 巩则= 0 事实上，若) 0 ，则存在x o s 陋) ，使得( x o ) = 鹃与引理2 1 3 的部分 l u 7 m 7 - 证明相同，可得s u p p x o = 7 设x o = e v ，其中e v 马则有 又因为 ( 曲+ v o c 6 3 1 l - 1 ， i i v o ( x ) + v o ( 劢l l = s u p ( i + 南i i 6e 加嘶) ) = 1 + l ) i i ， 所以i l y 积, ) l l = 0 与假设矛盾故m = 0 若x y 只则 又因为 所以 k ( d + v o ( 1 l 南1 1 ) 1 1 钏i i + 南i i - 1 + 1 1 h 1 1 1 ， ( 2 2 1 ) i v o c x ) + ( 南) i i = s u p l l l y 斤( v ) + ( 南州，i l y 占l l 挑郇圳7 ) ) = i + ( 南) i i l + i l y , v ) l l ， ( 2 2 2 ) l i x r l i i 1 1 注意到1 是从s ( f ) 到s ( ) 的满等距映射，故同理有l 帆铆i i x y l l 所以 于是从( 2 2 1 ) 式得： b 0 = i i 蹦v ) 1 1 i ) + ( 南炳i i = 1 + i i i 1 5 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 由) 是严格凸，得 2 l ) l i ( 南) 1 吲陬南) 由于7 r 是双射，故本命题的结论成立证毕 定理2 2 2 满等距v o ：s ( g ) _ s ( 刃可实线性延拓为e 到f 上的等距算子 证明 设丌为引理2 , 1 6 所指，定义映射y ：e 一f 如下：v 工= 魄) e ， m ) = 舭) 只其中如= i i x f - t o ( 毒杀) ，v 6 ，规定( 3 ) = 日 易知y 是保范的并具有齐性由引理2 2 1 知：v 是的扩张由于是满射， 故y 也是满射下面只需证y 是e 到f 上的等距算子从而由m a z u r - u l a m 定理( 见 文献 3 5 1 ) 知，y 是线性的 当x , y e ，i l x l l = i l y l l 时，i i v ( x ) 一v ( y ) l l = i i x - y 1 1 对任意非零元匆。，蚪。耳，e s ( ) ，7 0 3 1 ，定义“= ( 唧) ，w = ( m ) e 如下： 当7 = 饥时，b = 。，w 7 = 玢。： 当7 = 7 0 时，l y = l 魄1 i e ，m = i i 而1 i e ； 其它种情况下，唧= m = 口 则i l u l i = 1 1 w 1 1 由于 所以 v ( u ) 一v ( w ) l i = i i v c 9 9 一y 6 印- t - ( i l y , 。0 一| | 耳。i i ) ( 刁i = m a x l l v 回一y 回i 魄。i i - 而。l i i ) ， i l u w l j = m a x 1 l x r i y r i i i ，| i 帆l i i l l x r l l l = i i x , r l y r , i i m a x l l l v c 邪一y 回l i ，ll 魄。l l _ l i 而。i i = l i x , 。一h 。l i ( 2 2 3 ) 若i l v f 邪一v f f 磊3 1 1 1 ， 这与 堋褊) i l - i | 一堋器) i i = i i x 一龋i l - 1 矛盾 对任意的y s u p p y = s u p p 工，由是等距且v o ( - 劢= 一( 劢有 l l v o f y ) 堋褊) j i = l l y + 踹l i - 1 + 。l l y ( y ) i i 1 ， ( 3 1 1 ) l l v o f y ) 州蹁) | i = i l 叫功州踹) i i 1 9 福建师范大学陈丽珍硕士学位论文 = 肚一揣o = 踏忙一揣| l ，州)