（基础数学专业论文）关于rogersramanujan恒等式的证明和q1hermite多项式.pdf

摘要 鼋级数理论发展二百多年来，r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式的证明一直是此理论中的 焦点之一，人们曾用各种方法给出了这类恒等式的证明 本文主要做了如下工作- 第一、本文从q _ - 项式定理出发，利用两个恒等式计算了一个重要的q b e t a 积分， 然后再结合j a c o b i 三重积恒等式，给出- j r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式的一个新证明 第二、利用鸟指数算子理论，研究 j q - 1 _ h e r m i t e 多项式，得到了它的一些性质 第三、利用q h e r m i t e 多项式的正交性与q h e r m i t e 多项式和q - i _ h e r m i t e 多项式之 间的关系，给出i q - a _ h e r m i t e 多项式在研究r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式中的重要应用 关键词： r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式，g 一微分算子，q - - 项式定理，q - b e t a 积分， j a c o b i 三重积恒等式，q - h e r m i t e 多项式 a b s t r a c t t h eh i s t o r yo fq - s e r i e sh a sb e e nm o r et h a nt w oh u n d r e d sa n dt h ep r o o fo ft h er o g e r s r a m a n u j a ni d e n t i f i e si sa l w a y so n ef o c u so ft h i st h e o r y k i n d so fw a y sh a v eb e e nu s e dt o p r o v et h e s ei d e n t i t i e s t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r ef o l l o w i n g ： s t a r t i n gf r o mc a u c h yq - b i n o m i a lt h e o r e ma n dt w oo t h e rq - i d e n t i t i e s ，w ec o m p u t ea n i m p o r t a n tq - b e t ai n t e g r a l b yt h i si n t e g r a la n dj a c o b it r i p l ep r o d u c ti d e n t i t y , an e wp r o o fo f t h er o g e r s - r a m a n u j a ni d e n t i t i e si sg i v e n w es t u d yq - 1 - h e r m i t e p o l y n o m i a l sb yq - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o ra n do b t a i ns o m ep r o p e r t i e s o ft h e s ep o l y n o m i a l s u s i n gt h eo r t h o g o n a l i t yr e l a t i o no fq - h e r m i t ep o l y n o m i a l sa n dt h er e l a t i o nb e t w e e nq - h e r m i t ep o l y n o m i a l sa n dq - l _ h e r m i t ep o l y n o m i a l s ，w ed e r i v es o m ei d e n t i t i e so ft h e r o g e r s r a m a n u j a nt y p e k e yw o r d s ： r o g e r s r a m a n u j a ni d e n t i t i e s ，q - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，q - b i n o m i a lt h e o r e m ，q - b e t ai n t e g r a l ，j a c o b it r i p l ep r o d u c ti d e n t i t y ，q - h e r m i t ep o l y n o m i a l s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：篮盔堕日期：2 塑墨：亟：z 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：i 垒盎至壹 导师签名：型l2 红西 日期：2 旦q 壁：臣：z日期：捌：笸：z 第一章绪论及预备知识 g 一级数( t g 称驴超几何级数或基本超几何级数) 理论的发展，以1 7 4 8 年l e u l e r 将 无穷乘积 ( 口；q ) 二l = ( 1 一矿) 一1 乏；f 看成正整数n 的分拆函数p ( n ) 的母函数为标志经过一段漫长的时间，直到1 9 世纪上 半叶，一些低阶的g 一级数求和公式才被c eg a u s s 【2 2 、a l c a u c h y 【2 3 、e h e i n e 【2 5 1 等人发现1 9 世纪上半叶到2 0 世纪中叶，l j r o g e r s 【2 7 、s r a m a n u j a n 、w n w a t s o n 【2 8 、eh j a c k s o n 2 9 、w n b a i l e y 【3 0 】和l j s l a t e r 【3 1 】等数学家在垡一级数 理论的发展进程中都作出了不可磨灭的贡献2 0 世纪5 0 年代至l j 7 0 年代，可以说是鸟一级数 理论发展的黑暗期，但是口级数的发展并没有因此而终止在数学家g e a n d r e w s 和r a s k e y 等人的不懈努力下，矿级数又重新获得了数学家的认可使人重新认识到了口一级 数的巨大应用前景，乃至到了二十世纪八十年代，有人戏称当时数学家及一些物理学家 患t q d i s e a s e ，他们将数学的其他分支及物理领域的一些概念及性质都拿来g 模拟 g 级数发展至今，已经形成了一套比较完整的理论，它被应用到数论、根系 ( m a c d o n a l d 恒等式) 、超越数理论、计算代数、组合学、差分方程、李代数和李 群、物理学、统计学、代数几何、h a r d h e x a g o n 模等方面 本文主要探讨的r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式 善彘= 丽1 磊q 5 ， ( 1 “) 鲁( g ；g k ( g ，矿；) m 。 委鑫= 砑1 瓦 ( 1 1 2 ) 台( g ；g k ( 矿，矿；矿k ” 的证明也是g 一级数理论中的热点之一r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式有一段不平常的 历史在1 8 9 4 年，这些恒等式首先被l g r o g e r s 发现，但当时并未引起注意大 1 第一章绪论及预备知识 约在1 9 1 3 年，这两个恒等式又重新被s r i n i v a s ar a m a n u j a n 发现，但没有给出证明 在1 9 1 7 年，r a r n a n u j a n 偶然看到t r o g e r s 的文章，随后他与r o g e r s 都发现了这两个恒等 式的较简单的证明方法几乎在同一时间，i s c h u r 1l 】又独立地重新发现了这两个恒等 式并给出了不同以往的两种证明方法当这些恒等式出现在数学物理中h a r d h e x a g o n 模型求解的课程中时。新的思想与证明方法如雨后春笋般出现了直至今天，已经有很 多种不同的方法来证明r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式，也得到了很多类似的恒等式，被称 为r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 本文在前人的基础上，受d s t a n t o n 6 与刘治国【4 】计算a s k e y w i l s o n 积分的方法的 启发，从计算q b e t a 积分的角度给出了r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式的一个新证明本文的 内容结构大致安排如下： 在第一章中，我们主要介绍口级数与r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式的历史及一些常用 的符号，并给出了本文用到的一些重要的g 。级数恒等式 在第二章中，第一节主要计算q b e t a 积分，并结合j a c o b i 三重积恒等式给出 t r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式的一个新证明；第二节与第三节给出了另外两种证 明r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式的方法 在第三章中，第一节主要研究- f q h e r m i t e 多项式的性质；第二节主要探讨7 q h e r m i t e 多项式在 n 碉r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式中的应用，并利用此类多项式又研究了 其他- - 此- r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 在本文中我们仍采用g a s p e r - r a h m a n 8 】中的符号，定义q 一升阶乘符号为 o ；留) 。= 1 ， ；q ) n = 八( 1 一口矿) ，( 口；q k = 几( 1 一口矿) ， k = o k = o 这里的a 是复数为了方便起见，我们全文假定0 q ：考_ ( 2 5 j o 留 q j ：= = k 留 q j 弗 ( g ，o , e - 2 i o ；q ) 。= ( 1 一固妻( 一1 ) j q 学矽， 卢一” ( g ，话坩，3 _ q e 一阳；g ) 。= ( 一1 ) 七鸟丁k 2p 枷 k = - o o 再次利用指数函数的正交性可得 , o r f ( e 2 i a e 也徊；口) 。( 、矽，、融一p ；鸟k d o u - - l t = 志塞p 广匀学 e ( 2 j - k ) i o ( 1 - e 2 i p ) 加 8 第二章r o g c r s - r a m a n u j a n 恒等式证明 = 矗挚怕蛀警 又知上述积分函数是关于0 的偶函数，所以可得 r ( 只一似彤侬- i 0 。d o = 掣舻 ( 2 1 6 ) fo 加，矿瑚；咖。( 、和徊，、和 ，g k = 竺尘与兰每毛。= 二竺 ( 2 6 ) ，oq ，吁，o 由( 2 1 5 ) 式和( 2 1 6 ) 式可得( 1 1 1 ) 式 2 ： ! 台( 曰；留k ( g ，矿；矿) m 在定理2 中再令a = q ，类似的，我们可以得到( 1 1 2 ) 式 这种方法简便直接，计算量比较小，利用的公式主要是q 级数理论中大家所熟知的 女l ：l q - 二项式定理及特殊形式与j a c o b i 三重积恒等式为了更好的了解r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式的证明，在2 2 节与2 3 节本文又给出了另外两种重要的证明方法 2 2 r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式的证明( i i ) 伞。p ，甄1 i j 从一一i 里赞刖2 - j ：h 出反，术址明r o g e r s k a m a n u j a n1 旦奇氏 定理3 我们有 喜气黧q ) k ( 堂g a ；q ) k 些炉噱器t r a ； ：爿 ( 鸟； 、7 1 ( g ) o o 证明? 记左边为，( a ) ，由于1 一口q 2 = ( 1 一矿) + 矿( 1 一a 矿) ，则 ，c口，=善丛!二兰兰乏舅丢云丢曼罢葛半c口口，矿一1) =-、(tr；q)k删(q而a；q)k(蚴胪4-ora； q ) k 善甓a a ；渊警q ) k ( 伽严， =一i 仃仃- _ 仃、- ， 一r - 蚓、m 、，一l 、一台( g ) i ( g ； 、一 = 薹等翳警( 伽搿2 a a q k ( _ 一1 _ 矿+ l a ) - i - 1 1a a q =， 一i 仃门! i ，7 。 ：爿( 伽；g ) t ( 留；g ) 七、7 1 一 =薹坚熬q)k警(aa；q)k1 灯 =) 一，1 7 ，l i _ ，丁 台 ( g ； + 、一 9 第二章r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式证明 令k - 0 0 得： = 篙1 喜唑舞q ) k 型( q t r a ；q ) k ( 删伊，= 一 ， 一刀n，仃l-盯-， 一伽台 ( g ； 忸一 = 而1 - - t r 撕) - - - o o - - 畿八矾 又因为八o ) = 1 ，所以结论成立 删= 器删， 在证明r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式的过程中，我们还需要用到下面的引理： 引理2 对任意非零复数c 裁们有 批k卜，去=丽=o k 1 j 、一1 7 、1 7 月 证明? q - g a u s s 求和公式 ( 口；g ) t ( 易；留) t ，c 、t ( c a ；q ) 。( c b ；口) 。 台( 鼋；鼋) t ( c ；挑、a b 7 ( c ；g ) o o ( c 动；鸟k 7 一i 一- = = 一 在上式中，令b _ o o 得 善( - 1 ) k q 掣靠c 器，露= o 、17 1 7 再、一1 ， 一 、。1 ，w 即 荟n ( 砒华丽( q - n 而；q ) k ( 删= 嚣， 驴n 灼学甓意c 硎= 赤， 1 0 口 口 去去 p 矿 厅脚 第二章r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式证明 f 面我们就利用定理3 与引理2 来得到r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式 在定理3 中，令a = q n ，则 ( a ；嘶= 脚- 邺( t r ；q ) 一k ( q - n ；q ，1 ) k 无矿( 1 一矿) ，棚， 所以 l ：交磐磐婴( 1 一矿) ，懒， ( 2 2 1 ) 厶k = o ( g ；日) t ( 口；g ) n 般+ l “p _ 月 因为 旷；如( 。炉器， 代入( 2 2 1 ) 式可得 1 = y nz 妻姿粤塾( 一1 ) 七a , k ( 1 i i 一矿) g 率 ( 2 2 2 ) - =) 一i 一 一仃仃l ，7 z i z z - 台( 留；亦( g ；g ) 械( 口；留l 般+ l 、 1 以 在( 2 2 2 ) 式两端同时乘以 芒 矿2fg 厶n = 0 ( q ；q ) n ( q ；q ) n - n 得 薹熹= 姜熹砉西磊篆襄( - 1 ) k a y ( 1 - 唧戡，口串看( g ；留) 疗( 目；日) 看j ( g ；g ) 一( g ；g ) 唧( 碍；g ) t ( g ；留) n t ( 口；q ) n + 七+ l 171 ( 口；g ) t ( 一1 ) 。( 1 一a 口放) g 驾! = 主 厶k( 鸟；疗k = 0 - 1 、1 ， ， f n ( 口；鸟) 女( 一1 ) k a y ( 1 一o z q 2 k ) q 孛 厶k( g ；g ) 七= 0 、1 1 ， 1 p n ( 口；鼋k ( 一1 ) k o , 2 2 ( 1 一口矿2 ) q 煞笋 么k = j 0 ( 鼋；q ) t ( g ；g ) 一k ( t r ；q ) 2 k + l 利用引理2 可得 f n ， 台( g ；口) n ( q ；q ) n - n 对( 2 2 3 ) 式令_ o o 得 r n = k 一t m - - o 扩矿2 ， ( g ；g ) 一n ( 留；g ) 竹- k ( a ；g ) 厅+ 正+ 1 a , n + 留( 小+ 妒 ( g ；g ) j i v ，h t ( g ；g ) 小( c r ；g ) 小+ 2 七+ 1 种m 以卜叫高 争盟：1 _ ! 竺坐! = ! 笙竺! ! 二竺塑堡兰 看( 鸟；留h ；彩* 毛 ( g ；g ) l l ( 2 2 3 ) 箬 二位盟机瓣 咖一毋 堕。 脚 第二章r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式证明 = 去喜咝业揣半坚 亿2 q = = 一 ) 一 i ，i l ( 口g ；目) m 台 ( g ；g h 。 p v 在( 2 2 4 ) 式中，令i i = 1 可得 茎矗=赤荟( - 1 九m q 孛 丽1 l + 否( 瑚1 + 矿) g 串) 赤互( - 1 ) g 率 利用j a c o b i 三重积恒等式 ( q 5 ；矿) 。o ；矿k ( 矿工；矿k = y ( 一1 ) ( 矿) 孥， ， k 。= - o o 令工= 矿得 ( 矿；矿k ( 鼋2 ；矿k ( 9 3 ；矿k = y ( 一1 ) 七鼋牮， 店= 乙 所以 芒矿2( 矿；矿) 。( 9 2 ；矿k ( 9 3 ；矿k l ， 一= ：一= 一 看( 鸟；g ) n ( g ；g ) *( q ；9 5 ) 。( q 4 ；q 5 ) 。 这样，我们就得至l jt r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式其中之一 类似的，在( 2 2 4 ) 式中再令口= q 就可以得至u r o g e r s r a m a l l u j a n 恒等式另外一个 2 3 r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式的证明( i i i ) 本节主要利用算子的方法并结合g 交换二项式定理来证明r o g e r s r a m a n u j a n 恒等 定理4 考姐、b 为两个线性算子，如果满足鲋= q a b , 则有 似删嚣= 扰k = o1 卜j 萨 ， 1 2 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式证明 这个公式是鼋- 级数中的一个非常重要的公式，被称为留。交换二项式定理，它 i 扫p o t t e r 1 8 和s c h i t z e n b e r g e r 【1 9 】先后独立给出，这里不再给予证明 趣、翠是两个线性算子，对于任意的函数，( 力满足 x l f ( x ) = 盯( 曲，r i f ( x ) = f ( x q ) ，且矿1f m ) = f ( x q 一1 ) 眦= 1 1 - l , b = 苎贝j j b a = q a b ，所以由定理4 知 c n 少= 圳k = o c 一垡 i 氕i 又知( r f l + d l ( x q ；q ) 。】= ( 川；g ) 。，所以( 1 1 1 + 多n ( 叼；g ) 。) = ( 川；砂。 设鲰为一个与七有关的数列，其值与玩关，下面构造级数并利用上述理论证明r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式 荟n 而函a k 面x k 磊= 荟n 而丽a k x t 埘m l ；机 台( g ；留) 础( 硼；g ) 般台( g ；彩枞( 硐；g ) 。v 呵 州肺 r l 量 = 赤荟彘n 盯l + 扩删咖；g k 台( 9 ；鸟) “吖n 吖n “咖w 叫 = 去砉焘芸卜j 七卜慨埘( 川；g k 台( 伽) 础台ll 吖引训刚 = 上( x q ；q ) , 。t = o 笪( q ；q ) n - k 扑j = 0 以j 卜删龇钿k 令万一o o 可得 = 1 = o 尘( q ；q ) - t 计j = o j q j u + 妣) x j ； = 骞焘喜 糍 = 喜丽q x 芸矗 赤静= 姜一脚帅驯a k q 。_ 七y 2 而 亿3 m 1 3 第二章r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式证明 在( 2 3 1 ) 式中，取工= 1 ，a o = c o ，a k = c k + c - k ， 赤耋q = 善，量石 ( g ；鸟k 急1 白1 包( 留 取靠= ( 一i ) k 留孛，代入( 2 3 2 ) 式得 k i ，则口t = c 4 + 仅，所以 _ ( 2 3 2 ) ；鼋) h ( 留；鼋) j 碱 p “一7 去塞灼牝善，塞蒜 = 妻j = o 卫( q ；q ) 2 j 乱= - 鲥叫修 利用( 2 1 1 ) 式得 赤p 灼峨姜丽q ：丽( q ；q ) 2 j = 喜禹 利用j a c o b i 三重积恒等式得 矿2 ( 矿；矿k ( 矿；矿k ( 口3 ；q 5 k 1 ， 一= 一：一 台( g ；g ) n ( g ；日) m( g ；鸟5 ) * ( 矿；留5 ) * 。 在( 2 3 1 ) 式中，再取工= 毋 吼= 为( q + c - k ) 得 去茎( c k + c - d = 矿噻蹉。 去耋q = 妻j = o 卫( q ；q ) 2 j + l 争= - , , o 2 j + c k q - k 2 - k 赤圭灼华=芸去塞瞄】( 1 ) 一 虽q f l + j ( g ；q ) 2 p l 厶j = o ( q ；q ) 2 j + l ( g ；g ) 尘兰 台( 日；g ) 再次利用j a c o b i - - 重积恒等式得 矿2 + 厅 ( g ；0 3 ) 。( 矿；矿) ( 矿；q s ) 。 1 ， 一= = 一= = 一 蠹( g ；留k ( 留；留) m ( q 2 ；矿) m ( 留3 ；矿) * 所以r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式得以证明 1 4 第三章q - 1 h e r m i t e 多项式的性质及其应用 3 1 q - l - h e r m i t e 多项式的性质 q - h e r m i t e 多项式是一类重要的具有正交性的多项式，特别是在研究a s k e y - w i l s o n 积分【1 3 】时有重要的应用本文中，将q h e r m i t e 多项式中的q 变为旷1 称之为口一 h e r m i t e 多项式，利用第一章定义的于指数算子可以得到关于旷- h e r m i t e 多项式的许 多性质 q - h e r m i t e 多项式定义为 它的生成函数为 利用( 3 1 1 ) 式我们可以得到 ( 3 1 1 ) 厶k c c 。s 纠g ，= p n 阳 厅c p 加i q ，= 旁 nl e ( 2 七叫1 ) 胡 它的生成函数为 砉舶，去= 两蒜 q - h e r m i t e 多项式有很多很好的性质，请参见 4 】，这里就不再叙述了 在( 3 1 1 ) 式中，用q _ 1 替换q ，这样就得到了本文要研究的r l - h e r m i t e 多项式 忙洲k = o ll 1 5 ( 3 1 2 ) ， 瓦 1lllllllj _ ，纠万 r。i 一一 开脚 ，磊艺脚去 g d 蝴 k 姒 。脚 第三章q - 1 - h e r m i t e 多项式的性质及其应用 我们将利用第一章定义的酽指数算子e ( y o ) 重点研究它的性质 它的生成函数为 薹删n 絮吡啪kn = 0 、1 1 川 利用( 3 1 2 ) 式可以得到下面的多项式 蛳刚旷忙 础2 = 骞一 它的生成函数为 砉啪删n 罨娑nt l 彤一机 在【6 】，d s t a n d o n 在研究r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式时用到了h 。( c o so i q _ ) ，我们将在 第二节中叙述 因为 o k x n = 警：生) _ 砌x n - k ， 旧；q ) 竹一七一 所以利用上式q - 1 h e r m i t e 多项式又可以表示为 h n ( x q 一1 ) = e ( d ， 利用上面的算子定义，很容易就可以得到下面的定理： 定理5 我们有 证明： 争种1 ，等梁nn = 鬻 势砌_ 1 ) - 1 ) 絮n n n = 0 、11 7 所以结论成立 = 喜w 垤筹九= o 、17 1 7 = e c d 妻i 譬。1 ，警 n = 0 1 i n j = e ( 日) ( j 盯，x y t ；g ) 。 ( f ，x t ，y t ，x y t ；鸟k = 1 面再焉f 1 6 ( 3 1 3 ) 口 第三章q - t - h e r m i t e 多项式的性质及其应用 定理6 我们有 茎塾舷一，镨nn 专磐m “n = ( x t s q 【_ ；q ) 。宝n = oh ( x l q - 1 ) t n ( - 1 ) n q ( ! ) 川r 1 飞s m ( - - 1 f ) m q ( ! ) ( 3 1 4 ) 证明? ( 3 1 4 ) 式的左边等于 姜争炉，等等警m m 刈僵磐薹篙茅) = e ( o ) l ( x t ，x s ；鼋) 。l ( f ，x t ，s ，x s ；鸟k ( x t s q ；g ) 。 = 赤薹h ( x l q - 1 ) 面f ( - 1 ) q ( 2 ) 薹1 等挈， 所以结论成立 口 用展开式 1 ( x q - 1 ) 疗( f s y ( t s x q ；q ) o o 急 ( 日，g k 替换( 3 1 4 ) 式的右边并比较较等式两边矿，的系数，可以得到下面关于h n ( x l q _ 1 ) 的线 性公式： 定理7 我们有 + 历c 工i 矿1 ，= m i 荟n n g n l ：】【：】c g ，g ，t g 萨- ( n + m ) k h _ k ( x l q - 1 ) m 一七c 工l 矿1 ，c 3 - 5 ， 类似的，在( 3 1 4 ) 式中再次利用展开式 柏彻。=妻铿(川-1)妒，n=o 、1 ，1 ，l 可以得到线性公式( 3 1 5 ) 式的反演公式： 1 7 第三章q - l _ h e r m i t e 多项式的性质及其应用 足理8 我们有 协础旷忙埘副k - - o 撒k 埔舢删c 砒棚一、 拍， 在上面讨论的g 一h e r m i t e 多项式中，我们还可以增加变量的个数，由一个变量工 增加到两个变量x 、y ，我们记为h n ( x , y l q 一1 ) 定义 ，、 删g - 1 ) = 主k = 0 帅妒， i k i 多项式h ( x , y l q - 1 ) 也有类似h n ( x l q 一1 ) 的性质，下面我们仍遵循前面的顺序，利用第一章 中的g 一指数算子来研究多项式 ( 石，y l q 1 ) 的性质 它的生成函数为 薹蚓鼋1 等挈n n 咄钾k 利用g 一指数算子我们也可以得到下面的算子表示 h n ( x ，y l q 一1 ) = e ( y 0 ) l x 利用上面的表达式，类似定) 理5 我们可以的到下面的定理： 定理9 我们有 势圳9 1 姒蹦旷1 ，等挈= 瓣 b ”， 证明： 薹蝴旷1 相1 絮= 薹咖，等 = 删 薹= 0h n ( s , t l q - t ) 篙喾 = e ( y o ) ( x s r , x t r ；q k ：( x s r , x t r , y s r , y t r ；q ) 。o 一 ( x y s t r 2 q ；口) 。 所以结论成立 类似定理6 ，我们也有下面的公式成立： 1 8 口 第三章q - l - h e r m i t e 多项式的性质及其应用 定理1 0 我们有 茎塾小驯9 1 错等擎 = ( x y t s l q ；q ) o o 奏n = h n ( x , y q - 1 ) 絮薹h m ( x , y l q - 1 ) 等警 懈， 证明? ( 3 i 8 ) 式的左边等于 茎薹驯门等等莽 = e 睡磐薹篙磐) = e o , o ) l ( 射，x s ；g k l ( x t ，y t ，工s ，y s ；口) 。 ( x y t s q ；g ) 。 = 高杀茎h n ( x , y q - 1 ) 饼nn 薹k ( x , y i q - 1 ) 等字 所以结论成立tl 我们发现多项式h n ( x l q 一1 ) 是多项式( x ，y l q 一1 ) 的特例，对于多项式h n ( x , y l q - 1 ) 及其 性质中，令y = 1 就可以得到多项式( 工i 目_ 1 ) 及其性质了 3 2 q - l - h e r m i t e 多项式的应用 下面我们来看一下鼋h e r m i t e 多项式的应用首先来研究它在证明r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式时的应用 为了书写方便，这里令w q ( c o s 0 ) = 譬( p 伽，e - 2 i 0 ；q ) 。，q - h e r m i t e 多项式有如下正 交关系【1 3 ，1 4 】 f - ( c o so l q ) h m ( c o so l q ) t o 口( c o so ) d o = m ，l ( 口；留) 刀 ( 3 2 1 ) g h e r m i t e 多项式与q h e r m i t e 多项式有如下关系【8 ，1 5 】 ( x l q - 1 ) = 誊勰( 州 ( 3 2 2 ) 1 9 第三章q - l - h e r m i t e 多项式的性质及其应用 下面我们就用q - l - h e r m i t e 多项式来计算q b e t a 积分 令 l ( a ，g ) = f ( a e i p ，a e 棚；g k o ) q ( c o so ) d o ， 因为 妻疗：。h ( c o so i q - 1 ) a n ( 石- - i 1 矿) n q ( 9 = ( 口，口已一阳；目) 。， 所以 = 薹哿r ( c o s o i q - 1 ) 啦帆 再利用( 3 2 2 ) 式与q - h e r m i t 多项式的正交性可知 ，彩= 薹q ( 蟛2 ) ( - 鼽a ) 鬈婚q k 钬k - n ) ( q 鼽；q ) 剥n 。n n - 2 t ( c o s 0 1 q ) 啪刚，枷 = 曼唉芸芒害婴锄，。 鲁( 口；口k 台( g ；g ) t ( g ；g ) 刀一戤1 矾” i - - n 护 台( q ；鼋) 疗 因此，我们可以得到 劫= 薹蒜 2 渤 在( 3 2 3 ) 式中，令a = 、厨和a = q ，再结合j a c o b i 三重积恒等式就可以得至l j r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式与前面第一章中第一节的后半部分的证明类似，这里就不再重复 这种证明方法请参见 6 】 有了q - t - h e r m i t e 多项式与q - h e r m i t e 多项式之间的关系( 3 2 2 ) 式和q h e r m i t e 多项式的正交性( 3 2 1 ) 式，可以以他们为基础，建立其他积分，得到一些r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式下面的内容主要参考了文章【6 】，在【6 】中，d s t a n t o n j e 要利用q - 模 拟的知识得到r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式，本文只不过用q 一级数的理论给予了解释 与证明，并将某些特殊情况推广到了较一般的形式 令 p n ( x ) = ：c n k h k ( x l q ) ， 备 构造函数 日“力= p n ( x ) t n ， 第三章q - l _ h e r m i t e 多项式的性质及其应用 则有 r o o h ( c 。s 矾t ) c o q ( c 。s 棚= ，j p n ( c o s 口h ( c o so ) d o f ，i k = o j | ：峨( c o s 研留) ( c o s 缈枷 广& ，。= 广， 即 上肌c o s o , t ) t o q ( c o s 州忙丢 ( 3 2 4 ) 对于( 3 2 4 ) 式，我们对c 加取特殊值，对式子两边分别计算就可以得到很多恒等式 我们先看第一个例子 取 脚印，= 善鬻( c o s o l q - 1 ) = 噶斋警b 2 渤 我们利用多项式h n ( x ，y l q _ 1 ) 与q 指数算子及其性质来对( 3 2 5 ) 式进行简要的证明 证明：令 力= 茎鬻留1 ， 所以 归妻n = o 鬻t t 驯，、吁 ，n = e 委等碧 = e ( ) ，p ) ( 啪2 1 ；曰2 ik ， 又因为( 啪 ；g k = ( 埘z ；g k ( t x q ；g ) 。，所以 日( x ，) ，f ) ：e ( ) ， ( 啪；口k ( t x q ；口) 。) = ( t x q , i t x q , t y t _ q ：_ , t y q ；q ) o o l 严乃7 q 2 ；g j 。 令z = d o ，y = e - i o 得 日( c 。s 口，f ) ：( t q e i i p , t q 下 e _ - i 9 一；q ) o o l r q 2 ；g j * 原式得证口 2 1 。言脚。脚 第三章q - ! - h e r m i t e 多项式的性质及其应用 卜回我们就采计算积分 r oh ( c o s 0 , 她伽= 茎锯r 1 咖伽 一g 删) ( 一矿警叫( q ；q k 看( g ；鼋 ) 一台( 鸟；留) ( g ；g ) 万一放 r ( c 0 洲她( c o 枷 =n：。、1q,rn。+，lq。，一ii。：。i；糍6一一2七，。 ( g ；g ) 2 。( 留 产y = f 堕垡! 兰! 鲨型： 看右( 留 ；留) 2 n ( 9 ；口) 疗7 所以可得等式 r 0h ( c o s o , t ) t o q ( c o s 惝= 善黠 令t = 1 ，再由( 3 2 5 ) 式可得 r 紫如( c o s o ) d o = 薹黠， 2 固 用矿替换纺并利用等式 一 了( q = 2 ；q 2 ) 2 n = ( 一目；q ) 2 n ， 一= 一，7 ，7 一 旧；q ) e n ( 3 2 6 ) 式可化为 j ( q 2 ；q 2 ) o 。f r o ( 留, q e - i 口；q ) m ( e 2 i 0 , e - 2 i o ；执扯脚- 1 j ( - q ；q ) 2 n 矿 ( 3 2 7 ) 对于( 3 2 7 ) 式的左边我们又可以利用j a c o b i 三重积恒等式及指数函数的正交性对其进 行计算，计算过程类似于第二章的第一节的后半部分，这里就不再赘述，只写计算结果 j ( q 2 ；q 2 ) o 。r 0 ( q - e o ，鲈- i o ；q ) 。( e 2 i o , e - 2 i o ；q 2 k 相= 瓦两杀蒜( 3 2 8 ) 所以由( 3 2 7 ) 式与( 3 2 8 ) 式可以得到下面的定理： 定理1 1 我们有 。 荟鬻矿= 砑而 第三章q - 1 - h e r m i t e 多项式的性质及其应用 疋埋1 1 与s l a t e r 征 1 6 】甲的一个结果相1 以 在上面的积分中再加入h l ( c o s8 q ) 得到积分 r 抓。s 州c 刚啪( c 。s 叫良 我们仍按照上面计算积分的程序，对f 取特殊值，用两种方式计算 h ( c o s0 , t ) h i ( c o so q ) 咖伽= 茎锯rh , (