（应用数学专业论文）e逆半群和e半群的若干研究.pdf

摘要 本文在以口逆半群和b 半群为背景的前提下，研究了b 逆半群的性质、矩 形群同余和b 逆半环的性质，以及b 半群上的中间集 全文共分为四章： 第一章为引言部分给出研究背景和本文所采取的研究方法和研究内容 第二章首先通过定义矩形同余对，借助核迹的方法，利用弱逆为工具刻画了 b 逆半群s 上的矩形群同余，从而且逆半群s 上的矩形群同余对的集合与b 逆 半群s 上的矩形群同余的集合之间建立了一个一一对应关系，这个结果是对毕竟纯 整半群上矩形群同余的推广和补充，接下来研究了b 逆半群的一些基本性质，得到 了一些有意义的结果 第三章研究了b 逆半群的各种理想以及通过定义主左理想和主右理想以及 主理想等等，研究了b 逆半群上b 逆半环的性质 第四章利用b 半群上的中间集的新定义为工具，刻画了b 半群上的中间集， 给出了一系列性质，这些性质有助于对b 半群上的中间集的结构有更清晰的认识 关键词：e - 逆半群；矩形群同余；b 半群；中间集 i a b s t r a c t t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nt h i sp a p e r t h ec o n c e p t s o fe - i n v e r s es e m i g r o u p sa n d f _ , - s e m i g r o u p sa r ei n t r o d u c e d w ei n v e s t i g a t et h ep r o p e r t l 鹤，c o n s t r u c t i o n sa n dc o n g r u e n c e so fe - i n v e r s es e m i g r o u p sa n d e - s e m i g r o u p s e s p e c i a l l y , e - i n v e r s es e m i g r o u p s a n ds o m en e wr e s u l t so nc h a r a c t e r i z a t i o no fe - i n v e r s es e m i g r o u p sa r es t u d i e d t h ef i r s tp a r ti sab r i e fi n t r o d u c t i o n ，b a s i ck n o w l e d g ei si n t r o d u c e d w es h a w t h er e s e a r c hb a c k g r o u n d ，r e s e a r c hw a y sa n dr e s e a r c hc o n t e n t so ft h ep a p e r i nc h a p t e ri i ，t h er e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c eo nt h ee - i n v e r s e 8 e m i g r o u ps i sf i r s td e s c r i b e db ym e a n so ft h e r e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c ep a i r s f u r t h e 珊o r e w ec a no b t a i nai s o m o r p h i s mb e t w e e nt h er e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c e sa n d t h e r e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c ep a i r s i nt h ee n d ，t h eb a s i cp r o p e r t i e so fe i n v e r s e m i g r o u p sa r es t u d i e da n ds o m eu s e f u lp r o p e r t i e sa r ek n 嗍 i nc h a p t e ri i i ，w es t u d yi t sv a r i o u si d e a l so fe - i n v e r s e s e m i g r o u p s ，p a r t i c u l a r l y , c o n c e r n i n ga l lt h ek i n do fi d e a l s f i n a l l y , w eg i v es o m ep a r t i c u l a rp r o p e r t i e so fi d e a l 8 o ne - i n v e r s es e m i g r o u p s c h a p t e ri vi sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t es o m en e wr e s u l t so na c h a r a c t e r i z a t i o no f e - s e m i g r o u p sb ym e a l l 8o fo n en e wd e f i n i t i o n so fs a n d w i c hs e t b yt h ea 巾p r o a c h ， w ec a ng e tm a n yn e w e q u i v a l e n tc o n d i t i o n sw h i c hc o n t r i b u t et ok n o wt h e8 t r u c t u r e o fs a n d w i c hs e t k e y w o r d s ：e - i n v e r s es e m i g r o u p s ；r e c t a n g u l a rg r o u pc o n g r u e n c e ；b 鲫【n i g r o u p s ； s a n d w i c hs e t i i 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经 发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名1 海军 喘干日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，l i p ：学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到鬈中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 ，不保密团 ( 请在以上相应方框内打 ) 作者签名：王睁孚 导师签名多而 移彳 凑努 仃 曩 吁哆 期期 第一章引言 半群代数理论是二十世纪5 0 到6 0 年代发展起来的个崭新的代数学分支与 半格、半环等理论和格论、环论关系不同，半群代数理论以其特有的研究对象、研 究课题和研究方法，早已独立于群论之外对半群理论的研究不仅体现于对代数学 纯理论领域的贡献而且越来越体现出对应用数学领域的伟大贡献它在自动机理论、 符号计算、理论计算机科学、组合数学、代数表示论、算子代数和概率论等方面都 有广泛的应用，而且联系日益紧密，因此引起了越来越多的数学家的重视 在半群这一代数领域内，正则半群以其结构“正则性”的丰富内涵而居于半群 代数理论研究的中心位置而逆半群和完全正则半群作为两类重要的正则半群，其 研究近几十年取得了很大的成就，得到了许多优美结论，成果颇丰特别是关于后者 的专著“c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ”( 1 9 9 9 年版) ，系统地介绍了当前一些最新 研究成果，m p e t r i c h 和n r r e i u y 等人于近期发表的论文，恰好验证了人们对于 完全正则半群的研究方兴未艾，而b 逆半群是更广义的完全正则半群和逆半群，因 此有很多问题去值得人们思考 我们知道，研究一类半群，一方面通过考察半群的内部构件如理想、同余及特殊 元素等来研究半群的基本特征和构造，另一方面也从半群的外部环境如同余格等出 发来研究半群的内部结构关系对于b 逆半群，研究同余无疑对透彻理解一般或特 殊完全正则半群的基本特征和结构有所裨益因为半群上的同余提供的某些信息有 时可以说明半群自身的结构最后已知b 逆半群上的同余的确能够帮助我们深刻 理解其本质。因此本文研究了b 逆半群上的同余，理想等等 众所周知，纯正半群是非常特殊的正则半群，而b 半群又是广义的纯正半群， 因此研究口半群会使我们更好的认识纯正半群，所以研究了b 半群上的中间集 1 1 国内外研究现状综述 在数学史上，对半群的研究可追述到1 9 0 4 年，然而它的系统研究始于上个世纪 5 0 年代特别是计算机科学，非线性动力系统等学科的推进使半群理论成为代数学的 一个重要分支回顾一个多世纪的半群代数理论历史，对正则半群的研究一直占主 导地位研究正则半群的结果已极为丰富【1 2 ，3 一已引起越来越多学者的密切关注 【5 ，6 ，4 1 ，4 2 ，4 3 1 群的同余方法是研究半群的最有效方法之一，是研究半群的主要手段和工具，在 l 上弘逆半群和至一半群的若干研究 半群代数理论中占有非常重要的地位著名的半群专家h o w i e 曾指出：一类半群的 结构刻画是否令人满意的标准是看该结构能否给出这类半群上的同余的一个简明刻 画 7 1 另一方面，半群的代数结构的确定，某种程度上又依赖于同余的刻画，因而，关 于半群同余的研究一直是半群代数理论研究中最重要，最活跃的课题之一经过数 人的研究，获得了一些研究成果 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 3 5 半群代数理论研究中的同余方法平行于环论研究中的理想方法，就一类半群的 结构理论的建立而言，弄清这类半群上的同余已经成为弄清这类半群的代数结构的 一个重要标志w a g n e r 研究了逆半群上的同余主要由它的幂等元等价类唯一确定 【1 2 1 ，p r e s t o n 于1 9 5 4 年给出了核正规系的概念，并利用核正规系刻画了逆半群上的 同余，这些结果对于研究半群上的同余起到了重要的作用s c h e i b l i c h 在核正规系方 法的基础上，提出了逆半群上同余的核与迹的概念，并用同余的核与迹刻画了同余 p e t r i c h 在文献中发展了s c h e i b l i c h 的方法，抽象的建立了逆半群上同余的同余对概 念【1 3 l ，证明了逆半群上的每一个同余都由它的同余对唯一确定，并给出了逆半群上 同余对的一种刻画f e i g e n b a u m 于1 9 7 9 年在文献中得到了正则半群上的每一个同 余都由它的核与迹所唯一确定【1 4 1 ，并且给出了它们的确定关系的准确描述对于正 则半群上的同余，f e i g e n b a u ml a t o r r e 在文献中抽象地刻画了t r p ，并且描述了所有 与t r p 匹配的核【捌1 9 8 6 年，p a s t i j n 与p e t r i c h 研究了正则半群的核与迹，主要建立 了正则半群的同余对的概念，并利用同余对的方法得到了同余的抽象描述p a s t i j n 与l a t o r r e 中研究了正则半群的同余网【垌p e t r i c h 得到了完全单半群上的同余网 由于一般正则半群的复杂性，利用同余对方法研究其同余的表示，与逆半群相比，要 复杂的多为了得到准确有效的表示，对于建立在特殊结构基础上的不同类型的完 全正则半群，采用了不同的研究法然后p e t r i c h 利用同余组的方法，给出了具有强 半格的正则单半群上的同余表示然后g o m e s 发展了核迹方法，提出了核一超迹 方法，并刻画了正则半群上的逆半群同余，1 9 8 5 年，m i l l s 刻画了纯正半群上的矩阵 的同余【堋1 9 9 9 年，张谋成研究了开正则半群上的矩阵同余群的带同余以及其同 余扩张【埘 随后人们开始关注b 逆半群和b 半群，c a t i n o 和m i c e o l i 首先研究了b 逆 半群的基本性质f 捌随后许多半群专家都得出了b 逆半群的结果陬2 1 一，关于昂 半群的研究策略是把正则半群和逆半群理论中已知结果向b 逆半群推广而b 逆 半群上的同余目前研究的也比较少关于b 逆半群上的同余的研究还局限于一些 特殊同余的刻画上，其结果也很少而关于一般同余的研究还没有展开，关键的原因 在于b 逆半群中含有非正则元，它们没有逆元这些非正则元不象正则元那样与其 逆元或相关的幂等元联系那样密切，它们具有相对多的“独立性。，在同余类中的分 2 兰州理工大学硕士学位论文 布可能是杂乱无章的，难以把握因此，研究b 逆半群的同余是非常困难的 众所周知，“逆”在正则半群理论中占有非常重要的地位，许多结果都是与。逆。 密不可分的尽管b 逆半群中的非正则元不是逆元，但它们都有弱逆因此，可以 期望。弱逆”在b 逆半群研究中至少可以部分的替代。逆”在正则半群中的作用 罗彦锋和李小玲关于口逆半群上的最大幂等元分离同余的研究【嚣】，就是个很好 的例证，也使得这种期望成为可能利用同余对方法给出这类同余的表示其结果推 广了p e t r i c h 等人的结果，同时也为研究b 逆半群上的同余开辟了一个新的途径 1 2 本论文研究思路 由于b 逆半群是一个广义的正则半群，这样希望利用已知的正则半群的丰富 性质和以前研究正则半群的方法，对b 逆半群的性质作一些研充本文主要对，b 逆半群的一些性质进行分析，并且看能否推广到正则半群中，并且研究e 逆半群本 身所具有的异于正则半群的性质研究b 逆半群本身所具有的异于正则半群的性 质是拟解决的关键性问题 首先总体上采取的研究方法是利用目前代数学者在半群代数理论研究中常用的 方法，即从半群的内部构件如理想、同余以及特殊元素等出发研究半群的结构与特 征，或者是从半群的外部环境如同余格、子半群、格、等出发研究半群的内部特征来 研究半群其次，在具体研究过程中充分利用归纳、类推等逻辑方法，并力求从各类 半群的定义入手寻找各种半群之间的联系与区别 由于正则半群的研究成果已极为丰富，故对b 逆半群这类非正则半群的性质 做一些工作是非常必要的也是非常可行的 1 3 本论文的内容安排 全文共分为四章。 第一章为引言部分给出研究背景和本文所采取的研究方法和研究内容 第二章首先通过定义矩形同余对，借助核迹的方法，利用弱逆为工具刻画了 b 逆半群s 上的矩形群同余，从而d 逆半群s 的矩形群同余对的集合与b 逆半 群s 上的矩形群同余的集合之间建立了一个一一对应关系，这个结果是对毕竟纯整 半群上矩形群同余的推广和补充，由于b 逆半群是广义的完全正则半群和逆半群， 所以接下来通过对比完全正则半群和逆半群，研究了b 逆半群的一些基本性质，得 3 b 逆半群和b 半群的若干研究 到了一些有意思的结果这是对逆半群性质的扩展可以使我们更好的认识i - e 贝l j 半 群 第三章通过半群上理想的定义，研究了b 逆半群的各种理想从而通过定义主 左理想和主右理想以及主理想等，研究了b 逆半群上b 逆半环的各种性质 第四章利用豇半群上的中间集的新定义为工具，刻画了b 半群上的中间集 给出了一系列性质，这些性质有助于对b 半群上的中间集的结构有更清晰的认识 4 第二章d 逆半群 半群s 被称为豇逆半群，若对于任意的口s ，都存在zes ，使得a x 是幂 等元显然毕竟正则半群特别是正则半群都是b 逆半群近年来毕竟正则半群的 代数结构及其同余理论引起许多学者的极大关注，如e d w a r d s ，喻秉钧及任学明，郭 聿琦和岑嘉评等等，得出了一些好的结论 2 4 ，2 5 , 2 6 】随后学者们开始关注e 逆半群 首先c a t i n o 和m i c c o l i 定义了e 一逆半群【1 9 1 ，m i t s c h ，p e t r i c h 给出了b 逆半群 的基本性质 2 7 】，继而研究了口逆半群的子直积例，z h e n g 刻画了群同余，罗彦 锋和李小玲用正则同余对刻画了e 逆半群的正则同余，w e i p o l t s h a m e r 描述 了b 逆口半群上的几种特殊的同余f 3 1 1 ，有最小群同余，半格同余，幂等原分离同 余等等本章第一节给出所需要的引理和定义，第二节研究了b 逆半群上的矩形群 同余第三节主要在原有理论的基础上给出b 逆半群的几个性质 设s 是口逆半群，o ，y s ，称y 是a 的弱逆元，若y a y = y 以下用( n ) 表 示a 的所有弱逆元的集合用e ( s ) 表示半群s 的幂等元集合，如果文中没有特别 说明s 均指b 逆半群 2 1 预备知识 半群s 称为矩形群，若s 是正则半群，且e ( s ) 是矩形带半群s 上的同余叼 称为矩形群同余，若酬7 7 是矩形群称豇逆半群s 上的同余p 是正则的，若对于任 意的口s ，存在口，( 口) ，有a 口a a l a 设p 是半群s 上的同余，定义s 的子集 口sia p e ( s p ) 为p 的核，记作k e r p 把p 限制在e ( s ) 上称为p 的迹，记 作t r p 定义2 1 1 设s 是口逆半群，e ，e ( s ) ，记 m ( e ，) = 夕e ( s ) ig e = g = g ，s ( e ，) = 夕m ( e ，) le g f = e ，) 称s ( e ，) 为b 逆半群s 的中间集 定义2 1 2 设s 是b 逆半群，s 的一个子半群k 称为正规的，若 ( 1 )n k ，a w ( a ) 号口k ； ( 2 )e ( s ) k ； ( 3 )n k ，a 7 ( a ) 兮a k a ，a k a k 5 上逆半群和b 半群的若干研究 定义2 1 3 设s 是b 逆半群，且e ( s ) 是s 的子半群，称j z ( s ) 上的同余e 为s 上的正规同余，若z ，耖e ( s ) ，存在1 7 , s ，口，( 口) ，有o , x f i t ，a y a ，口i x c t , ，n 7 o e ( s ) 使得： 譬e 馨毒罱夸o , x 口t a 髫o ：，d z q d 譬a 定义2 1 4 设s 是b 逆半群，是s 上的正规同余，且e ( s ) e 是矩形带，k 是s 的正规子半群，称( e ，k ) 为s 上的矩形同余对，若它满足： ( 1 ) 对于任意口s ，o , t w ( 0 ) ，存在w ( o ) ，”o n ，s ，口，o 口”n o ，o ； ( 2 ) 对于任意o l , s ，z e ( s ) ，x f l , k 令0 6 k 定义2 1 5 设s 为b 逆半群，。是s 上的正规同余，k 是s 的正规子半群，在s 上定义一个二元关系如下： i 对于任意0 ，( o ) ，存在6 ，( 6 ) ，有a b k ，q , t f l b b ，口f l , te 彬； np0 争 l 对于任意6 ，( 6 ) ，存在口，( 口) ，有l e a k ，耐b b i ，n n t t b 定义2 1 6 设s 是b 逆半群，称e ( s ) 中的元e 为中心的，若对于任意的n s ， 都有o e = e o 定义2 1 7 设s 是半群，日是s 的子集，集合h w 称为日的闭包，其中h w = z sl 存在h 日，h z 日) ；h 被称为是闭的，若h w = 日 定义2 1 8 日是半群s 的子集，若e ( s ) 日，称日为满的( 全的) 定义2 1 9 设s 是b 逆半群，k 是s 的一个子半群，若对于任意的口s ，o , t ( 口) ，有a k ask ，a k d k ，则称s 的子半群k 是弱自共轭的 定义2 1 1 0 设s 是b 逆半群，在s 上定义一个二元关系 而= ( 口，6 ) sxs ：存在6 ，( 6 ) ，a b i t 引理2 1 1 1 【3 2 】设s 是b 逆半群，则w ( a ) ，并且对于任意的n s ，都存在 ( o ) ，使得口口，口口e ( s ) 引理2 1 1 2 删设s 是口逆半群，且定义m ( e ，) = 夕e ( s ) i9 e = 夕= f g 若口，b s 口，( n ) ，b 7 ( 6 ) 和9 m ( a 口，耐) ，则b g a w ( a b ) 引理2 1 1 3 删设s 是b 逆半群，且p 是s 上的同余如果幼w ( a p ) ，d ，b s ， 则存在一( n ) ，使得a pb 若e ，刀( s ) ，ep ，则存在夕m ( e ，) ，使得 ep9p1 引理2 1 1 4 删n - 逆半群s 上的一个同余p 是正则同余，当且仅当对于任意的 口s ，存在0 ( 口) ，使得口p 耐口 兰州理工大学硕士学位论文 引理2 1 1 5 2 3 1 设s 是d 逆半群，且p 是s 上的同余如果叩是s v 的幂等元， 则在s 中一定存在幂等元e 满足npe 引理2 1 1 6 【1 5 】若s 是b 逆半群，且z e ( s ) ，则w ( x ) e ( s ) 2 2 口逆半群上的矩形群同余 引理2 2 1 设( e ，k ) 是b 逆半群s 上矩形同余对，且对于任意a ，b s ，任意的z e ( s ) ，如果0 6 k ，贝0b a ，a x b k 证明设对于任意a b k ，口，b s ，则由k 是正规子半群知，a a b a k 又s 是b 逆半群，故存在( n ) ，有a a e ( s ) ，故b a k 又z e ( s ) ，k 是正规子半 群，所以b a x k ，故存在6 ，( 6 ) ，有y b a x b k ，又怕e ( s ) ，故a x b k 口 引理2 2 2 设( ，k ) 是d 逆半群s 上的矩形同余对，则p 是s 上的等价 证明显然p 满足对称性；又e ( s ) k 及是自反的，故p 自反的；下证p 满足传 递性： 设apb ，bpc ，则对于任意口，( n ) ，存在矿w ( 6 ) ，有a b k ，a a fgb b t t ， a agb b ，则由的定义知，对于任意6 ，w ( 6 ) ，存在c ，( c ) ，有b c k ，b y d ，b bgd c 又由e 的传递性，可得a , a tsc d ，a a d c ，令夕m ( 7 ，彬) ，则有 夕耐= g = 耐9 ，故 ( b g a ) a b ( b g a ) = b ( g a a ，) ( 彬夕) n = b g g a = b g a ， 即y g a ( 6 ) 又a b k ，故由正规子半群的定义知，b g a k ，所以a b b g a e ( s ) ，( 彬夕) n e ( s ) k ，g a a e ( s ) ，则由引理知a b b ( g a a ) c k 即 a b b g a a t e k ，得a t e k 另方面，同理可知，对于任意的c ，( c ) ，存在a ( 口) ，使得d a k ，a a i ec c ，a aec ，c ，故apb 因此p 是s 上的等价口 引理2 2 3 设( ，k ) 是口逆半群s 上的矩形同余对，则p 是s 上的同余， 证明先证p 是左相容的，设apb ，a ，b s ，对于任意( c a ) w c c 池) ，有( c a ) ( ) = ( c a ) ，又 ( c a ) ( ) c = ( c a ) ( ) ( ) c = ( c a ) c ， 故( c a ) 7 c w ( n ) 不妨令口，= ( c a ) 7 c ，又口( ) ( ) 7 = n ( ) ，即口( ) w ( c ) ， 7 上1 - 逆半群和j e 弘半群的若干研究 故令d = d ( ) ，于是就有 a d = ( c a ) ( ) = ( c a ) 7 ，a a i = a ( c a ) 7 c = c ，c ， 又因为口pb ，故( c a ) 7 c b = a b k 由p 的定义知，存在6 ，( 6 ) ，使得a deb b ， d ag 帕令ge s ( a a ，b b ) = s ( d c ，b y ) ，则 一c = a a 6 9 e b b ，( b g d ) c b ( b g d ) = g g g d = b g d ， 故6 ，( 西) 令( c 6 ) = b g d w ( c 6 ) ，因此 ( ) = c a a dec b b d c b b b b l d c b b l g d = c 6 ( 6 ，9 c ，) = c b ( c 6 ) ， 又 ( c 6 ) ( c 6 ) = e g c c b = b g beb b g b = b b a a = d a d a = a c d a = ( c a ) c a ， 同理可得对于任意( c 6 ) 7 ( c 6 ) ，存在( c a ) ( ) ，使得 ( 西) 7 ( c a ) k ，( ) ( ) e ( c 6 ) ( c 6 ) ，( c a ) ( c a ) ( c 6 ) 7 ( c 6 ) ， 即c apc b ，又由引理知p 是s 上的等价，故p 是s 上的同余i - 1 引理2 2 4 设( ，k ) 是b 逆半群s 上的矩形同余对，则p 是s 上的矩形群同余 证明对于任意a s ，w ( 口) ，存在0 ，( 口) ，由定义知，a t a a n a k 故 口，( 口a n 7 ) a ed ，( n ) n = 口，口， 即( d a ) e ( ( a ) e ) 于是有 ( 口，a ) 7 w ( ( a ，a ) ne ( s ) ，( 口么) 名口，口， 又 ( a r i a ) a t ( a a 口) ( ) d p ( 口，o ) 7 ( o ) 7 a a ( a o ) a = ( a t t a ) ( o ) 口，= ( 口，口) 7 即( ( 讹) ) p 彬( ( 口) 力故存在( a a t t a ) 7 ( 刺口) ，使( a a a ) p ( d t a ) 7 a t ， 则 a a “a ( a a a ) pa a p t a ( a t t a ) ia t pa a t l a t a a t = a a n 耐 s 耐， 即 o , a t t a ( a a o ) a a t t a n i ( 7 1 , 4 盘i ，且 0 a a “a ) a a h apq 1 科a a “g 8 兰州理工大学硕士学位论文 pd a a a a “a = d a a a +5a t a ， 即 0 a a a ) l “伍ed “l 伍a a 另外，令c w ( a a a ) ，则有c a a n a c = c ，故( c a ) a a ( c a ) = ( c a a 口= c a ，故c a w ( n ) 又 ( a c ) a a ( a c ) = ( a c a a a ) c = ， 故a c ( o ) ，于是c a a a ( c a ) c a a aec a a a ，即( c a a a ) g w ( ( ) g ) 于是存在 z ( ) ，有zsc a a ”a ，并且有x c a x = z ，于是( x c ) a ( x v ) = ( x c a x ) c = z c ，于是z c ( 口) 不妨令n lx c ，则口，彬( 口) ，且 a ( x c 、ea a “a x c “1 删1 a c a c t “a c 同理可得x c a c ( 口o ) ；因此apa a a p 是s 上正则的同余 下面设口nb p e ( 纠p ) ，其中a ，b s ，则存在e ，e ( s ) ，有ape ，bp ，则 e ( s ) 肛是矩形带，故e y epe ，则( a b a ) p = ap ，即s p 是矩形带，因而p 是s 上的 矩形群同余口 引理2 2 5 设( ，k ) 是b 逆半群s 上的矩形同余对，则t r p = e 证明首先证明t r p g 设zpy ，z ，y e ( s ) ，则由引理，可知存在w ( x ) n e ( s ) ， 又是e ( s ) 上的矩形带同余，故zsz z z ，又由p 的定义，知存在矿w ( y ) n e ( s ) ， 使得z ，sy y ，。! ，可因此 ze 黜zp 是e ( s ) 上的矩形带同余) sy y x y x ， 又 可y y y ( 是e ( s ) 上的矩形带同余) y x z y x 故z y ，且pt r p 冬 下面证明t r p 设z y ，z ，y b ，对于任意的( z ) ne ( s ) ，因此 x y 毋k ，又e 是e ( s ) 上的矩形带同余，则x y x sz 7 e 一，即e ( 驴) ， 又由引理可知存在! ，w ( y ) ne ( s ) ，使gy ，则耐y y ，一zg 矿可，同理，对于 ，9 上工逆半群和至弘半群的若干研究 任意的矿w ( y ) ，则存在一( z ) ，使得y x k ，z u u ，一zg 矿可故zp 掣， 担pe t r p ，因此t r p = g 口 引理2 2 6 设( ，k ) 是b 逆半群s 上的矩形同余对，则k e r p = k 证明对于任意的a k e r p ，则存在e e ( s ) ，使得ape ，因此存在e 7 w ( e ) e ( s ) ，使得d a k ，由定义知a k ，故k e rp k 反之，设对于任意的a k ，因k 是s 的正规子半群，则对于任意的 w ( a ) k ，a l a 2 k ，设e m ( a a ，a a t ) ，由引理知a r e a t w ( a 2 ) ，又因p 是s 上 的正则同余和由引理可知，存在a t t ( o ) ，使apn 口这样就有 ( a t e a ) a 2pc d a ( a e a a a ) a a pa t a a a ( p 是矩形群同余) pa a ， 其中a t e a a 2 ，a s a ，a t t a e ( s ) ，则由t r p = s ，知a t e a t a 2 aga t a ，另一方面 a 2 ( a r e a t ) pa a 7a a a t e a 7 ) a a pa a a a ( p 是矩形群同余) p 口口， 其中a 2 a t e a ，d a e ( s ) ，则由t r p = e 知a 2 a 7 e ga a ! 反之，设= 口c ，= c a ，对于任意的c w ( a 2 ) ，则 即a t ( 口) ，又 即口，( n ) ，于是 a a a = a c a l a c = a c a 2 c = a c = 。 a m a a m = c g a c a = c a 2 c a = c a = ， n ，= 1 1c a 2 c = c ，o = a c a = a t a ， 由口k 和k 是s 的正规子半群，可得c a = a m k 因此 a a ( a w a a a ) a asa t t a t ( a t a ) ( e ( s ) i e 是矩形带) a a ( a a ) a a a t t a ( a t a ) ， 则 a u a ( a m a a a ) a t asa a ( a a m ) a 7 a ( 1 ) 】0 兰州理工大学硕士学位论文 又因为a a 7 a t a a a t a a ! ，即( a n ，) ( ( n ) ) ，则存在z w ( a a ) h e ( s ) ，使z a d 因而 z ( o ) o 凹= c a x a 7 = c a t ， 即c ( 口) 那么 a ( c a x ) a a 肼( a a t ) sa ( a a a a a a a a ) a ( 因a p a a a ) ga a a a t a a ( 由( 1 ) ) e 毋d h a t = a 2 c 同理可得c a x aea a 7 a a = c a 2 ，则apa 2 ，即k k e rp ，因此k = k e r p 口 引理2 2 7 设p 是b 逆半群s 上的矩形群同余，则k e r p 是s 的正规子半群 证明设a ，b k e r p ，则存在e ，e ( s ) ，使得ape ，bpf ，因为e ( 酬力是矩形带 则 ( a b ) p = a p b p = e p f p = ( e f ) p e ( 酬p ) ， 因此，k e rp 是s 的子半群，e ( s ) k e r p 设z k e r p ，a s ，a t w ( n ) ，那么 a p 形( 印) 又 ( a x a ) a x a pa x ( a a ) x a pa x t , a 7 ( 因e ( s p ) 是矩形带) pa x d ， 即( a x a ) p e ( s 力，因此，a x d k e rp ，同理a t x a k e r p 下面设a k e r p ， ( 口) ，则a p e ( 酬p ) ，a p 彤( 印) ，又因a k ，口，p w ( ( 口a ) 力和e ( 酬力是 带，则a p e ( 8 j d ) ，因此a r k ，故由定义知k e r p 是s 的正规子半群i - i 引理2 2 8 设p 是b 逆半群s 上的矩形群同余，则t r p 是e ( s ) 上的正规矩形群 同余 证明因为p 是s 上的矩形群同余，且e ( s p ) 是矩形带，因此t r p 是e ( s ) 上的矩 形带同余，设zt r py ，z ，g ，e ( s ) ，则zpy ，又a x apa y a ，凹口，pa y a ，对于任意 口s ，a p ( n ) ，则a x at r pa y a ，a x a t r pa y a ，其中a x a r ，a y a 7 ，a x a ，a y a e ( s ) 因此，t r p 是e ( s ) 上的正规矩形带同余口 引理2 2 9 若p 是口逆半群s 上的矩形群同余，则( t r p ，k e r p ) 是s 上的矩形群同 余对 1 1 上一逆半群和上孓半群的若干研究 证明设a s ，对于任意的a p ( n ) ，因为p 是s 上的正则同余和引理可知，存在 w ( a ) ，使得apa a a ，因此a a 7pa a a ，opa a a ，其中a a ，口，口，a a i ，a ，a 7 a a , , a e ( s ) ，则a a t r pa a a a ! ，a at r pa a a a 设对于任意的a s z e ( s ) ，x a k ，则( x a ) p e ( s p ) ，又因为p 是s 上 的正则同余，则存在w ( n ) ，使得apa a a ，又 npa a a pa a ( x a ) a a po n ( e ( s p ) 是矩形带) ， 因此a p = ( a a a a ) p e ( 酬j d ) ，( 由a a e ( s ) ) ，即a k 则( t r p ，k e r p ) 是s 上的矩形群同余对口 引理2 2 1 0 设p 是b 逆半群s 上的矩形群同余，则p = p ( t r p ，k e r p ) 证明设apb ，对于任意的a t w ( 口) ，故( a b ) p ( a e 口) ，即a b k ，由d p w ( a p ) = w ( b p ) 由引理知存在6 ，( 6 ) ，使得 因此a at r pb y ，口t r py b ，其中口0 ，n ，y b ，谢e ( s ) ，同理对于任意的6 ， ( 6 ) ，则存在a i 彬( n ) ，使得6 ，o k ，a a 7t r pb y ，口t r pb b ，即a p ( t r p ，k e r p ) b ，故 pgp ( t r p ，k e r p ) 反之，设a p ( t r p ，k e r p ) b ，a ，b s ，因为p 是s 上的正则同余，则存在矿 ( o ) ，矿( 6 ) ，使得a p a a a b p b b b ，因而存在6 ，( 6 ) ，使得a a t r pb y ，a at r pl t b a b k 另一方面，存在口，( n ) ，使得a a tt r pb b h ，a t at r p 矿6 ，y a k 因而 a p = a a a p = ( b b a ) p = ( b y a y a ) p = ( a a a y a ) p = ( a l a ) p ， a p = ( a a a ) p = ( a g b ) p = ( a b a a b ) p = ( a b a a b ) p = ( a a b ) p ， 另外 b p = ( b l t b ) p = ( a a b ) p = ( a a a a a b ) p = ( a a t 彤 b ) p = ( a a b ) p ， 则a p b 即p ( t r p ，k e r p ) p 因此p = p ( t r p ，k e r p ) 口 综合以上1 0 个引理，得到定理2 2 1 1 定理2 2 1 1 设s 是b 逆半群，若( g ，k ) 是豇逆半群s 上的矩形群同余对，则 p ( e ，k ) 是b 逆半群s 上的矩形群同余，且k e r p ( e ，k ) = k 和t r p ( e ，k ) = g 反 之，若p 是矩形群同余，则( t r p ，k e r 力是矩形群同余对，且p = p ( t r p ，k e r p ) 1 2 兰州理工大学硕士学位论文 2 3 口逆半群的基本性质 引理2 3 1 s 是b 逆半群，日是s 的弱自共轭的，闭的全子半群若z e ( s ) ，a ，b 日，则a x b h 证明设对于任意的( n ) ，6 ，( 6 ) ，因为日是全的，弱自共轭的子半群，则 y a a x b h ，口彬口，h ，又a ，b h ，故a b b a a x b h ，再由日是闭的，因而 a x b h w = h 口 引理2 3 2 设t 是b 逆半群s 的闭的，全的子半群，则对于任意的口t ，有 ( o ) t 证明设a t ，对于任意的a te ( n ) ，有a t a a ! = ，由于t 是全的，则a a ! e ( s ) t ，又因为t 是闭的，于是t ，所以w ( 口) t 口 定理2 3 3 s 是b 逆半群，日是s 的弱自共轭的，闭的全子半群，则以下条件等价： ( 1