（基础数学专业论文）关于弱hopf代数的弱交叉积及投射表示.pdf

中文摘要 r j b l 甜r ，m + a o h e n ，s m o n t g o m e r y 予1 9 8 6 年给出了代数a 和好o p ， 代数槲的交叉积a 带。日的定义3 】：打是印，代数，a 是代数，日测度a ， 口h o m 耳( h o 日，a ) 对卷积是可逆的，如果向嫩空间a 圆有黎法运算： ( 8 毒芏) 玉雾爹) = 8 ( 茹l 矗 玎茹2 ，擘1 ) 簪。3 9 ， v 8 ，垂a ，嚣，挈秘 则称a 固日为交叉积，记作a 襻。h ，其中n 社搿液示n 。所在的炎，且得到了交 叉积a 摊。是一个单位元为l 拌1 的结合代数的充要条件： l + a 是扭露一模2 盯是标准余循环懿 零交主要对弱强肇，代数中翡嚣交叉获、弱缀积、弱整余积致弱抒。矽，霞数授 射表示避行了研究 我们首先把交叉积的概念推广到日为弱科o p ，代数的情况，称之为弱交叉积， 并得到了弱交叉积a 硭。材怒一个单位元为l 榉l 斗的结合代数的究要条件： l 。茹( 謦8 ) = 玎z l ，筝1 ) 2 1 垃8 ) 乎一1 鬈3 ，s 穗) ， vg ，掣嚣，v8 奠。 2 盯蹙标准余循环的，鄢t ( 1 ) 盯( z ，1 ) = 口( 1 ，z ) = ( z ) 1 ， v 。 ( 2 ) ( z l 睁盯( 可1 ，。1 ) ) 盯( z 2 ，剪2 2 2 ) = 盯( 。1 ，可1 ) 盯( 茹2 掣2 ，。) ， vz ，鲈，岩b 遴蕊对弱交叉积a 孝。封的一穗特殊馕提一弱援积如【明进行讨论，绘出了弱 扭弦南阻l 为弱双我羧鲍究瑟条 孚：v g ，z 豆，靠点 ( 1 ) 盯( z ，) 1o 盯( z ，耖) 2 然i l 盯( 。1 ，可1 ) oi 2 盯( 嚣2 ，可2 ) ( 2 ) 盯( 。1 ，掣1 ) oz 2 s f 2 = 盯( z 2 ，掣2 ) 。1 v 1 ( 3 ) ，一( 盯( z l ，兰，1 ) 仃( z 2 f 2 ，g ) ) = a ( 8 口( ，暮f 1 ) 盯( s f 2 ，名) ) = 五( n 盯( 嚣，啦) 盯( 弘l ，z ) ) 。 姿嚣楚疆譬帮歹我数艇瀵廷d 。s 置( 歇) ，第) 玎( 茹l ，s 茸( ) ) 孝睁茹2 ) = i 孝一( 茹) 时，弱双代数也【珂】是弱嚣印，代数，推广了i ，b o c a 国和张良云i 6 的相应结论 通过对弱日叩，代数a 。 矧与a 的左日不变予代数a 日关系的研究，得到了 a 日与露n d ( 如a ) 是反代数同构，并利用a 、的半单性讨论了弱麒叩，代数 & 【日】瓣警单佳， 河北师范大学硕士论文 我们通过研究弱交叉积a 粕h 和弱扭积a 。【h 的对偶概念弱交叉余积a 。日 和弱扭余积c 么( 日) ，给出了弱扭余积瓯( 日) 为弱双代数的充要条件当日是弱 日0 p ，代数且。满足l ( c 2 ) 几( 危) s h ( 口i 1 ( c 1 ) 0 2 ( c 2 ) ) i 1 ( c 1 ) = c ( c ) n 。( ) 时，弱 双代数c 么( 日) 为弱日d p ，代数 最后，我们把投射表示的概念引入到弱h 0 p ，代数上，通过对弱日印，代数日 的投射表示t 的研究，我们得到了投射表示7 1 的一些性质，最终给出了由一个日 的投射表示t 得到日的投射表示f 和弱扭积代数厶 刎的一个表示为弱h d p ， 代数日的投射表示的条件，从而推广了i _ b o c a 的结论 关键词：弱口0 p ，代数，弱交叉积a 孝，日，弱扭积厶 日 ，弱扭余积c 0 ( 日) 投射表示 a b s t r a c t c r o s s e dp r o d u c t so fa na l g e b r aaw i t hah o p fa l g e b r ahw e r ei n t r o d u c e db y r j b l a t t n e r ，m c o h e n ，s m o n t g o m e r y1 1 】【3 】i n1 9 8 6 l e t 日b eah o p fa l g e b r a a n daa na l g e b r a a s s u m et h a t 日m e s l l r e saa n dt h a t 盯i sa ni n v e r t i b l em a pi n h o m ( h 日，a ) t h ec r o s s e dp r o d u c t sa 社口日o faw i t hh i st h es e t4p 日a s av e c t o rs p a c ew i t hm u l t i p l i c a t i o n ：( o 拌z ) ( 6 社可) = o ( z l 睁6 ) 口( 。2 ，掣1 ) 群茁3 9 2 ，f o ra u z ，可日，o ，6 ah e r ew eh a v ew r i t t e n 社tf o ro z a 拱。日i sa na s s o c i a t i v e a l g e b r aw i t hi d e n “t ye l e m e n t1 社1 hi fa n do n l yi ft h ef o l l o w i n gt w oc o n d i t i o n sa r e s a t i s 右e d ：1 ai sat w i 8 t e dh m o d u l e 2 盯i san o r m a lc o c y c l e ， i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yw e a kc r o s s e dp r o d u c t s ，w e a kt w i s t e dp r o d u c t s ， w e a kt w i s t e dc o p r o d u c t sa n dp r o j e c “v er e p r e s e n t a t i o no fw e a kh o p fa l g e b r a s w ei n t r o d u c ec r o s s e dp r o d u c t st oaw e a kh o p fa l g e b r a w en a m ei t r e a k c r o s s e dp r o d u c t s v o b t a i nas u m c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf b raw e a kc r o s s e d p r o d u c t sa 桦d 丁t ob ea na s s o c i a t i v ea l g e b r aw i t hi d e n t i t ye l e m e n t1 群1 打： 1 。p ( 可睁n ) = 盯( z 1 ，可1 ) ( z 2 啦争o ) 盯一1 ( 。3 ，可3 ) ， vz ，h ，vo a 2 盯i san o r m a lc o c y c l e ： ( 1 ) 盯( z ，1 ) = 盯( 1 ，z ) = e ( z ) 1 ， vz 日 ( 2 ) ( z 1 睁盯( 可1 ，z 1 ) ) 盯( 茁2 ，0 2 2 2 ) = 盯( z 1 ，可1 ) 盯( z 2 封2 ，2 ) ， v z ，可，z 日 f b rt h es p e c i a lc a s eo f 、v e a kc r 0 8 s e dp r o d u c t sa 社口日，w es h o waw e a kt w i s t e d p r o d u c t sa 口 h 1i saw e a kb i a l g e b r ai fa n do n l yi ft h ef o h o w i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s 6 e d ： ( 1 ) 盯( 。，可) l 圆盯( z ，) 2 = i l 盯( z l ，! ，1 ) 圆i 2 盯( 茁2 ，分2 ) ( 2 ) 盯( z i ，妒1 ) o z 2 址= 盯( z 2 ，鲰) z l 暑，1 ( 3 ) e a ( o 盯( 。1 ，y 1 ) 口( $ 2 9 2 ，z ) ) = e a ( o 盯( z ，掣1 ) 盯( 掣2 ，。) ) = s a ( o 盯( z ，可2 ) 盯( 可l ，名) ) i f hb ew e a kh o p f a l g e b r aa n d 盯一1 ( s 日( z 4 ) ，。5 ) 盯( 茁l ，s h ( 。3 ) ) ：半n l ( z 2 ) = i 带n l ( z ) h o l dt h e nw e a kb i a l g e b r aa 口【日 i saw e a kh o p f a l g e b r a i tg e n e r a n z e si b o c af 8 】a n d z h a n g l i a n g y u n s 【6 】r e s u l t s f b rw e a kh o p fa l g e b r a sa 口 日 a n di n v a r i a n ts u b a l g e b r a n l “ 嗣北师范大学硕士论文 一一 a 日，w es h o wt h a t 直弹a n d 露弛蠢( 五。泌l a ) a ea n t i 。a l g e b r am o r p h i 8 m 。w eo b t a i nt h e s e m i s i 皴p l i e i 毛y 。fw e 蘸致o 抟l g e k a 岛【丑】酚h es e m i s i m p l i e 酶o f 建a n d 日。 v a 瓜c r o s s e dc 。p r o d u c t 80 。日a n dw e a kt w i s t e dc o p r o d u c t sg 口( 日) a r ed u a l o fw e a kc r 0 8 8 e dp r o d u c t s4 榉口a n dw e a kt w i 8 t e dp r o d u c t 8 a 口【日】r e 8 p e c t i v e l y w e g i v ea8 u 腋c i e n ta n dn e c e s 8 a r yc o n d i t i o nf o raw e a kt w i s t e dc o p r o d u c t sl ? 矗( 日) t o b 8a 醐威b i 鑫l g e b r a ，l f b eaw e 蘸h 。移8 l 秽b aa n 连8 主幻m ( g 帮霸 s a t s 萎e s t h a t l ( c 2 ) n 二( 毳) ，s 鼻f 盘f 1 ( e i ) ( c 2 ) ) c i l f q ) = 。( 国n 工f 壳) f o r 越l 。g 是茸 t h e nw e a kt w i s t e dc o p r o d u c t 8g 口( 日) i saw e a kh o p f a l g e b r a v i n t r o d u c ep r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o nt ow e a kh o p fa l g e b r a 盯w eo b t a i n s 。m ep r 。p e r t i e sa b o u tp r 嘶e e t i v er e p r e s e n t a e i o n ，f i n a l l yw es h c 峭rt h 8 击w e c a no b t 氇i nap r o j e e i v er e p f e 8 e n t 蠢毛i o nf 蠡。疆8p f 嘲e e v ef p r s e 珏t a 班o n o 嚣a n dg i v e ac o n d i t i o nf o ra no r d i n a r yr e p r e s e n t a t i o no f d 【盯】t ob ea p r o j e c t i v er e p r e s e n t a t i o n o fw e a k o p fa l g e b r a 日i tg r e n e r a l i z e si b o c a sf 8 】r e s u l t s 壬( e y w - o r d s ：w b a kh o p fa l g e b r a ，w e a kc r 0 8 s e dp r o d u e t sa 孝# 掰，w e a 5 kt w 谵t e d p r 。蠢越e 拣盘f 翻，辨盛巅s 藤c o p 硅u e se 么( 嚣) ，p r 。j e e t i v er e p r e s e 齄a 毛i 。珏。 第一章预备知识 1 1引言 日印，代数是2 0 世纪6 0 年代以后迅速发展起来的一个代数分支，k 上的h 叩， 代数是同时具有k 代数结构和它的对偶结构( k 余代数结构) 并满足一定的相容条 件的代数系统0 p ，代数理论的发展有两个来源：一个是代数拓扑学，这方面的 工作可以追溯到霍普夫( 日0 p ，h ) 1 9 4 1 年关于系统在域k 中的连通李群g 的上同 调群日+ ( g ，k ) 的研究；另一个是表示理论，始于霍赫希尔德( h o c h s c h i l d ，g ) 和莫 斯托夫( m 0 s t o w ，h ) 1 9 5 1 年对李群的表示环的研究工作史维德勒( s w e e d l e r m e ) 继而建立了非分次的日d p ，代数理论，推动了h 0 p ，代数的迅速发展，分次的与非 分次的日印，代数虽然结构相似，却是题材互异 日印，代数结构从对偶的角度看是十分自然的，在数学的许多分支中都存在着 具有日印，代数结构的对象，它的理论在许多数学分支中也有重要应用，例如代数 群理论、域扩张的伽罗瓦理论和布饶尔群理论、李代数和李超代数、组合理论等 日印，代数在物理学中的模型是量子群，因此它在物理学，特别是量子逆扩散方法 和超对称理论的研究中占有重要地位由于日9 p ，代数在量子群及相关数学物理理 论中的重要作用，且随着研究的深入，各类弱化的灯d p ，代数逐渐被人们所认识， 并引起越来越多的关注 研究弱日叩，代数主要源于下面两个对偶的问题： 1 如果cm 是一个代数包含并满足某些条件，找一个( 唯一) 量子群g 和 g 在m 上的一个作用，使= m g 2 对偶的是：找一个( 唯一) 景子群g ，作用在上，使m 兰社0 ，其中 社g 是交叉积 本文中所涉及的弱日o p ，代数是日d p ，代数和g r o u p o i d 代数的一种推广形 式 g b 曲m ，f n i l l 和s z l o c a 亿鲥吲首先给出了这种弱h 叩，代数的概念， 并建立了一般理论同拟日d p ，代数、弱拟打印，代数和有理h 叩，代数相比，弱 日叩，代数的特殊性在于它是结合的，因此，这使我们可以象在口印，代数中一样 】 2 河北师范大学硕士论文 定义作用、余作用和交叉积 打印，代数中许多重要的结论可推广到弱日。p ，代数中，例如印，代数中的 m n s c e ，s 定理，利用弱日。p ，代数的积分理论，可以证明在弱h 0 p ，代数中同样 成立另一方面，由于在弱h 0 p ，代数中对单位和余单位所要求的条件比h 叩，代 数弱，即： 1 余乘法不一定保单位元：( 1 ) lo1 ( 类似于弱拟日0 p ，代数) 2 余单位具有弱乘性： s ( z 9 z ) = ( 。9 1 ) e ( 9 2 z ) ，e ( z ! ，z ) = e 0 2 ) e ( 1 。) 这种弱化使得弱h 印，代数的结构比h 印，代数更复杂，例如，即使在有限维 和半单的情况下，弱日d p 厂代数有非整数( 量子) 的维数，而且复数域上的半单的 弱日印，代数的对极可能有无限的阶 在文献 1 3 】中定义了交叉积；设日是h 印，代数，日测度a ，口日o m 耳( 日。 日，a ) 对卷积是可逆的，如果向量空间a h 有乘法运算： ( n 带。) ( 6 社纠) = o ( 。1p6 ) 盯( 。2 ，掣1 ) 社z 3 可2 ， vo ，6 a ，。，可日 则称a o 廿为交叉积，记作a 粕日，n 社z 表示o o z 所在的类当测度平凡时：即 v 。日，o a ，z p d = 圩( z ) n ，此时把交叉积a 带，h 称为扭积，记作a ，【吲 在文献 8 】中i b o c a 给出了扭积a 。 日 成为日叩，代数的充分条件：如果日，a 是 两个h d p ，代数，其中a 是交换代数，日是余交换的余代数，盯是余代数映射且 是标准余循环，则扭积也旧】为日o p ，代数在文献【6 1 中张良云推广了i b o c a 的 结果，在a 是弱日印，代数的条件下，给出扭积厶【h l 成为弱日0 p ，代数的充要 条件，并进而得出了扭余积巴( h ) 成为弱日0 p ，代数的充要条件 本文是对以上结论的进一步推广首先我们定义了弱日印，代数上的交叉积 a 社。日，得到了弱交叉积a 带。日是一个单位元为1 带1 h 的结合代数的充要条件： 1 石睁( 掣。) = 盯( 。1 ，掣1 ) ( z 2 掣2 睁o ) 盯一1 ( 。3 ，掣3 ) ， vz ，可日，vo j 4 2 盯是标准余循环的，即： ( 1 ) 盯( z ，1 ) = 盯( 1 ，z ) = s ( o ) 1 ， vz h ( 2 ) ( z l 睁盯( ! ，l ，z 1 ) ) 口( 。2 ，2 名2 ) = 盯( z l ，可1 ) 盯( z 2 可2 ，z ) ， v 。，掣，z h 通过对弱交叉积a 社。日的一种特殊情况弱扭积a 。阻 的研究，我们得到当a 为弱双代数时，弱扭积也【日 为弱双代数的充要条件为下列等式成立： ( 1 ) 盯( 茗，掣) 1 盯( 茁，弘) 2 = 1 1 口( 茹l ，可1 ) o1 2 盯( 。2 ，可2 ) ( 2 ) 盯0 l ，爹1 ) 鼢强= 矿( z 2 ，孰) o 。1 分1 ( 3 ) e ( o 口( z l ，”1 ) 盯( 。2 抛，z ) ) = a ( 。盯( o ，封1 ) 口( 鲰，彦) ) = = g ( 岛d ( 岔，耽) 口( 暂l ，名) ) 特剐的，当a 是弱h 叩，代数，日是弱腻9 p ，代数且口满足： 以( s 嚣( 勰) ，z s ) ( 茹l ，s 疗茹3 ) ) 拳一( 茁2 ) = l 孝一( 髫) 时，现双 弋数盘l 口】是弱 日印，代数 遴过对弱蟊肇， 弋数岛瞄l 与a 不变予 弋数众拉关系瓣磅究，褥裂如下结 论： a h 与四礼d ( 。a ) 是反代数嗣构我们利用弱日d p ，代数的积分理论，通 过盖、嚣静睾萃往讨论了弱蟊。；，戎鼗南f 嚣】戆半荜往阉题，褥_ 窭；当a ，都 是半单的，则如旧1 是半单的当且仪当( 2 3 2 ) 式成立 鬻交叉余积g 。抒和释缀佘强c 么妤) 分裁是弱交叉积a 襻。h 稻弱褪积如【丑j 的对偶概念，我们重点研究了弱扭余糨倪( 嚣) ，给出了弱扭众积c 0 ( 盯) 为弱双代 数的充要条件：如果g 是一个弱双代数，日是弱碍印，代数，弱扭余积c 0 ( ) 是 一个弱双代数避且仅警( 3 21 ) ( 3 ，2 锄成立。特别的，当e 是骥强印，代数，嚣 是弱村印，代数且“满足艘1 ( c 2 ) n o ( ) s 1 = r ( “i 1 ( c 1 ) 口2 ( c 2 ) ) n i l ( c 1 ) = g g ( c ) 门。( ) 对，弱双代数e ：( 露) 强弱嚣肇，式数。 类似于封。p ，代数的投射寝示，我们在弱尉0 p ，代数中也弓f 入了投射表示的概 念，并褥氆了英耀应翡谴凑逢遘对赣努翠，健数嚣鹃投袈裘示? 翡研究，得到 了由一个口的投射表示丁得到日的投射表永r 的条件，最终给出了弱扭税代数 岛瞳j 的一个表示为投莉表示的条 牟：如果封是弱薅叩，代数，a 是交换的印， 代数，x 是弱扭积代数如 圳对有限维向量缀间y 的一个表示，并娃对卷积是可 逆的，a = x i h 是一个纯量函数，定义? ( 。) = x ( i 轷z ) ，v 抒，蒯t 是的 一个投射表示，劳旦茭标准余獯嚣为天oa 。 4 河北师范大学磷士论文 王2 弱h o p f 代数爨皇_ 基本概念秘牲质 本文关于鳙国帮，代数的蘩本瑾论源予文献f 2 】，对于余代数汀中的余乘法仍 曩s w e e d l e r 记号绘建，即( 童) = 髫lo ，蕊谗为嚣) = 霪lo 嚣2 ， ￥。毫日 定义1 2 1 设k 是域，若( 岸，舻，牡，# ) 满足下述公理l ，2 ，3 ，我l f l 称是弱 双代数；若( ，p ，让，s ) 满足下述公理1 ，2 ，3 ，4 ，则称是弱h 叩，代数 公理1 灯是域上的一个有限维代数，其乘法弘：ho 打一日和单 位珏：趸叫嚣 f 越和缸都是k 一线牲酌，满足： 结合性： 弘。圆i 固= 弘。撼圆国 1 ) 单位性： 弘。( u o i d ) = d = “o ( i d 固钍)( 2 ) 公理2 盯是域耳上的余代数，其佘乘法：日_ 盯o 和余单位 ：抒寺k 纶和都楚k 一线性的) 满足： 会结合槛； ( o i 鑫) 。= ( 撼s ) 。f 3 余单位性；( o d ) o = 钯= ( 越圆) o ( 4 ) 公理3 vo ，# 凹有： ( z v ) 一( 茁) ( ) ( 5 ) ( 。掣。) = ( 搿扩) 窖( g 恕g )f 8 1 ) s ( 茹爹z ) = ( 茹s 恕) 掣l 。( 6 2 ) 2 ( 1 ) = ( ( 1 ) o1 ) ( 1o ( 1 ) ) ( 7 1 ) 2 ( 1 ) = ( 1o ( 1 ) ) ( ( 1 ) 固1 )( 7 2 ) 公理4 一线性映静s ：斗茸，称s 为的对极，满足： v 茁日 g l s 茗2 ) = s ( 1 l 茹) 1 2f 8 。王) s ( 。1 ) 9 2 = = l l 扛1 2 )( 8 2 ) s ( 嚣1 ) z 2 s ( z 3 ) = s ( 茹)( 9 ) 定理1 2 2 对于弱日印，代数( 眠p ，u ，8 ，s ) ，下列条件等价： ( 1 )嚣是蟊。珂代数 ( 2 )( 1 ) = l 秘1 ( 3 ) e ( 搿掣) = ( 茹) g ( ) ， v 。，鲈烈， ( 4 )( 1 1 $ ) 1 2 1 1g ( z 1 2 ) 。e ( 茹) 1 ， vz 日， 弱h 0 p f 代数的基本概念和性质5 定义1 2 3 著日建个弱双代数，定义线性映射m ，n 托：h 灯如下 几( z ) = e ( 1 1 搿) 1 2 ， 几r ( 茹) = 1 1e ( 1 2 ) ， v 。h 记6 = 几。( 灯) ，仃尤= 几置( 日) ，则易证。，尼均为的予代数 定理1 2 4 对于弱日印，代数( 抒，胁“，s ) ，有下列结论成立： ( 1 ) f 1 。门嚣= 门， n r 。门显甚n r 2 ) 。蓼= 蓼。， v 。露， v 挈嚣建 ( 3 ) ( 1 ) = l l 1 2g 野姹。拱。 ( 4 ) ，修为彭空间，o 曼r ( 5 ) ，( 。l ) = 1 l z 工o1 2 ，( 。r ) = l l z r l 2 ( 6 ) 。爿，h 肆均为分离代数，其分离元分别为s ( 1 t ) o1 2 ，1 l s ( 1 2 ) 弱蹦窄，代数灯的对极s 具有以下性壤： 定瑗l 。2 。5 若( 露，弘，锤，$ 遣爨鲤印，伐数，则 ( 1 ) 对极s 是双射，并且是反代数映射，反会代数映射，即v 盘，掣嚣蠢 s ( 。弘) 桊s ( 掣) s ( z ) ，s ( z ) l 圆s ( 髫) 2 = s ( z 2 ) 9s ( 茹1 ) ( 2 ) s ( 。) 一日a ，s ( 口r ) = h ，s ( 1 ) = 1 ， e 。s = 定理1 2 6 茄( 日，p ，8 ，s ) 是弱灯印，代数，则 v 算日 ( 1 ) 门( 。) = 8 ( 1 1 ) 1 2 = 笫1 s ( 9 2 ) 黑e ( s ( z ) 1 1 ) 1 2 篇s ( 1 1 ) e ( 1 2 z ) 门最( z ) = 1 1e ( 。1 2 ) = s ( 。1 ) 。2 = 1 1 # ( 1 2 s ( z ) ) 茹( 茹1 1 ) s ( 1 2 ) ( 2 ) s n 丘( z ) ) 紫n 置( s 髫) ) ，s ( n 嚣( 。) ) = n 玉( s ( 茹) ) ， 3 ) 。茹lg 善2 s 嚣3 ) = l l 鬈o i 2 s ( 0 1 ) 冀2o 茹3 = l lo 茹王2 z l s ( 茹2 ) 如= $ l l s ( 1 2 ) 搿1 s ( 盘2 ) 圆茹3 = = s ( 1 1 ) o1 2 $ 。 于是我们有； 茁l s ( 。2 ) z 3 茹n l ( 搿1 ) 窖2 = 8 ( 1 l 茁1 ) 1 2 搿2 = 第二章 弱叩，代数上的弱扭积a 盯 捌 2 1弱日。p ，代数上的弱交叉积 本节中我们将定义一个代数a 与一个弱o p ，代数日的弱交叉积，并得到弱 交叉积a 孝。日为结合代数的充耍条件对于域k 上的两个代数a 和h ，我们用i 表示a 的单位元，而用1 表示h 的单位元 设日是一个余代数，a 是代数，盯日o m ( h o 日，a ) 对卷积是可逆的，且 映射矿满足下列两个条件；v 髫，掣 ( 0 口( 茹l l ，9 ) 9 1 2 一盯( 茹，l l ) 圆1 2 + ( 。i ) ，玎( 嚣1 2 ，) l i = 寸( 嚣，1 2 爹) $ 圭1 我们把满足以上条件的映射的集合表示为h o m ( 日国甄a ) 引理2 1 1 若日是余代数，a 是代数。盯灯o m ( h 圆口，a ) ，则下式成立； 口( 。茗l ，掣1 ) s h ( 茁2 跏) = 盯( 名z ，) ， vz ，可，z 日 ( 2 1 1 ) 特蓐l 专， ( 。l ，爹i ) 封( 茹2 轨) = g ( 嚣，警) ， v 茹，弩嚣 证明： 玎石茁1 ，笋1 ) h ( 算2 l 恕)= 巧( 。l ，爹1 ) 菩符( 茹2 重i ) h ( 1 ；i 恕) = 盯( o 。i l l ，暂1 ) 弹( 茁2 1 2 l i ) e 胃( 1 ；挈2 ) = 盯( 等。1 1 1 ，分1 ) h ( z 2 1 2 ) j i = r ( 1 3 剪2 ) = 仃( 名z l l ，可1 ) g 日( 1 2 可2 ) = 盯( 名霉，1 l 暑，1 ) 6 h ( 1 2 z 2 ) = 盯( 名盘，掣) ， vz ，剪，z 日 定义2 1 2 露是弱日卵，代数，一个代数a 叫做左弱日一模代数，如果 1 a 是一个左盯一摸，zo n 叫g 8 2 。晓6 = ( 卫l b ) ( 。2 6 ) 。 3 + g i 仨n 厶( $ ) i 。v 嚣露， v8 ，鑫砖。 如果a 只满足条件2 ，3 ，则称测度a 6 口 弱嚣婶，代数上的弱交叉税 7 宠义2 1 3 杼是弱h 叩，代数，a 怒一个代数，测度a ，盯o m ( 圆珂，a ) 我们称a 蒂。符为a 与拄的弱交叉积，如果； 1 作为向量嚣问： 襻。届= a o 君， 2 ，涮疫满足：拜篁= l l 穗0 1 2 嚣，v 拄矗，茹豇。 3 规定农法运箕为；【8 秽若) 6 劳= 聪( 嚣l 盯( z 2 ，1 ) 移茹3 驰， vn ，b a ，。，可日，其中。社z 表示o 。所在的类。 弓l 理2 1 4 若a 是代数，岸是一个弱舶代数，a 秽一日为弱交义积，对 v 盘a 日，其中a = o ai 上po = n l ( 。) 争n ， vz 尉) ，则有： 搿1 睁。释z 2 嚣。捧。， v 搿尉 特弄弱，。1 i 襻z 2 = 谤嚣，￥芏妥。 键甥； z 1 睁n 劳z 2 = 厂1 l ( 。1 ) n 摊。2 = s ( 1 1 ) 睁口：井1 2 z = n l ( 1 1 ) 争凸脊1 2 z = l l 备 舞1 2 贳 = 髓：拳茹 口 定理2 1 。5a 拌。h 是一个单位元为i 带1 的结合代数当且仅当下列条件成立： 1 z ( 爹c ) = 盯( 。l ，帮1 ) ( 若2 辨e ) 疆一1 。3 ，蜘) 2 。疗是标准余德蓼毽，即： 1 ) 仃( z ，1 ) = 盯( 1 ，。) = 珂( 茁) i ， v z 打 窜。，筝露，￥e a ( 2 + l ，2 ) ( 2 ) ，( z 1 盯( 芎1 ，石1 ) ) 盯( 算2 ，封2 名2 ) = 盯( 茁1 ，掣1 ) 盯( 茹2 甜2 ，z ) ， v 茹，剪，名日 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 压明： 芍：若a 弗。灯是一个单位元为i 弗l 的结合代数， v n ，6 ，c av 茹，g ，z 日 ( ( 血带茹) 带) ) ( c 襻z ) * ( o ( z 1 b ) 仃( z 2 ，v 1 ) 释嚣3 驰) ( c 舞z ) 一西l 6 ) ( 。2 ，轨) ( 嚣3 轨e ) 玎( 戤斡，z 1 ) 箨窖5 矾娩( 1 ) ( 襻g ) ( ( 6 静们( c 襻2 ) ) * ( 8 锘茁) ( 6 ( 秽i c ) 莎( 驰，z 1 ) 释舶匏) = 8 善l 5 ) ( 9 2 ( 爹l e ) ) ( 魏玎搬，z 1 ) ) 秽( 瓠，3 匏) 参舅强恣( 2 ) 8 河北师范大学硕士论文 出( 1 ) 与2 ) 右边耱等，令癌= 6 = e = i ，得 ( 。l i ) 盯( 。2 ，寥1 ) ( 嚣3 掣2 肛i ) 口( 茁4 f 3 ，z 1 ) 移茹s 驴4 名2 = 知l i ) ( z 2 ( 融i ) ) ( z 3 g ( 2 ，。1 ) ) 口( ，秽3 钝) 毒硒瓠勰 对上面等式两边作用i d o 胃 左边 黜 ( 。t 争i ) 盯( 茁2 ，1 ) ( z 3 妇i ) 仃( 。4 p 3 ，z 1 ) ( z 5 1 4 砘) 然 ( z 1 肛i ) 盯( 2 ，9 1 ) ( z 3 可2 肛i ) 仃( z 4 可3 ，z ) 蒜 i g f 嚣i ，掣1 ) l 疗( 鬈2 敬，。) 然： 盯( z 1 ，可1 ) 盯( 搿2 可2 ，。) 蠢遮=篁l 1 ) ( 。2 擎l i ) ) ( 茹3 渤，。t j ) d ( 茹4 ，蜘勉) 抒髫5 瓤勰) = ( z 1 ( 1 睁i ) ) ( 搿2 盯( 纠2 ，嚣1 ) ) 仃( z 3 ，封3 9 2 ) = = ( 茁1 肛i ) ( z 2p 盯( 9 1 ，z 1 ) ) 口( 算3 ，3 恕恐) = l f g l 玎( 爹l ，# 1 ) ) 玎嚣2 ，爹2 魏) = ( 茹l 盯( 可l ，名1 ) ) 盯( z 2 ，可2 名2 ) 耩塔，江l ( 肇l ，。1 ) ；f ( 若2 ，汝恐) = 玎毅，软) 玎2 2 轮，2 ) ， ￥g ，爹，z 嚣 由( 。社z ) ( i 社1 ) = n 如l 睁i ) 盯( 茁2 ，1 1 ) 社搿3 1 2 = 矗1 秽( 善l ，1 1 ) 孝茁2 1 2 ： 8 口f $ l l l ，1 ) 孝薹2 1 2 = o 盯( z l ，1 ) 社茁2 敬8 玎茹1 ，1 ) 移鬈2 = 8 毒茹 令o = i ，樽盯( 茁l ，1 ) 襻搿2 = i ：謦。 详i 边作用d oe h 得； 盯( z l ，1 ) 8 耳( 搿。) = 打( ) i & 口盯( z ，1 ) 一打( z ) i 闲瑾交( 1 移1 ) 8 菇g ；= 8 簪霉毒褥萨( 1 ，。) = s 嚣i 敲2 ，1 3 ) 式痰立。 由( 1 ) 与( 2 ) 右边相等，令n = 6 = i ，z = 1 ，两边作用i 幽。印： 弱日印，代数上的弱交叉积 9 2 云边 = ( 。1 i ) 盯( z 2 ，可1 ) ( z 3 可2pc ) 盯( z 4 可3 ，1 1 ) h ( 。5 掣4 1 2 ) = 口( 。l ，可1 ) ( z 2 可2 c ) 盯( 。3 蚋，1 ) = 盯( z 1 ，可1 ) ( z 2 2 c ) e h ( z 3 3 ) = 盯( z 1 ，1 ) ( z 2 可2pc ) 右边 = ( z l 睁i ) ( 。2 睁( 纠1 c ) ) ( z 3 睁盯( 可2 ，1 1 ) ) 盯( z 4 ，掣3 1 2 ) h ( z 5 4 1 3 ) = ( 。1 睁( 可lpc ) ) ( 。2 睁盯( ! ，2 ，1 1 ) ) 盯( z 3 ，! 3 1 2 ) = ( z 1 ( 可1 c ) ) ( 。2p ( 2 1 1 ) i ) 盯( z 3 ，3 1 2 ) = ( z l 睁( 可1 c ) ) 盯( z 2 ，可2 ) 因此， ( z 1p ( l 睁c ) ) 盯( 。2 ，秽2 ) = 盯( 。l ，可1 ) ( z 2 2pc ) 口( 。1 ，9 1 ) ( z 2 掣2pc ) 盯一1 ( 。3 ，可3 ) = ( 。lp ( 掣l 睁c ) ) 盯( z 2 ，2 ) 盯一1 ( z 3 ，可3 ) = ( z 1 ( 可l 睁c ) ) ( 茁2 ) e ( 可2 ) = 。p ( 可睁c ) 仁：结合性显然下证i 社1 是单位元，v 。h ，o j 4 ( i ：带1 ) ( o 社z ) = i ( 1 l n ) 口( 1 2 ，z 1 ) 群1 3 。2 = o 盯( 1 1 ，z 1 ) 群1 2 。2 = o 盯( 1 ，1 l 石1 ) 社1 2 2 2 = o 存e ( 1 l 。1 ) 1 2 2 2 = o # z ( n # z ) ( 1 社1 ) = n ( z lpi ) 盯( z 2 ，1 1 ) 井z 3 1 2 血l 盯( z l ，1 1 ) 社z 2 1 2 n 盯( z 11 1 ，1 ) 弗z 2 1 2 oe ( z l l l ) 社z 2 1 2 o 社z 口 定义2 1 6 如果测度是平凡的，即茁n = 8 h ( z ) 。，v 茁日，n a ，则此 时弱交叉积a 社。日乘法变为：( o 社茁) ( 6 社) = o 妇( 茁1 ，考，1 ) 拌z 2 2 ， vz ，h ，称 a 社，h 为弱扭积，记作：如【驯 1 0 河北师范大学硕士论文 2 2弱日印，代数上的弱扭积如 日 对于弱交叉积代数a 孝。日的特例一弱扭积a 。 刎，利用张量积的余乘法和余 单位可以作成余代数下面我们讨论弱扭积如阻 成为弱双代数的条件 引理2 2 1 如果h 是弱日。p ，代数，4 是一个代数，则弱扭积a 。f h l 是一 个单位元为1 社1 的结合代数当且仅当盯满足： vc a ，z ，可，。日 ( 1 ) 口( z ，) c = c 盯( 。，g ) ，即，盯z ( 口) z ( a ) ( 2 2 1 ) ( 2 ) 盯( z ，1 ) = l 丁( 1 ，z ) = h ( z ) 1( 222 ) ( 3 ) 盯( 可l ，z 1 ) 盯( z ，可2 2 2 ) = 盯( 。l ，可1 ) 盯( 。2 9 2 ，z ) ( 2 2 3 ) 证明：由引理2 1 5 知， 由引理2 1 5 中式( 21 2 ) e h ( z ) h ( ) c = = 下证( 2 2 1 ) 甘( ) 式 由( + ) 式可得盯( z ，) c ( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) 显然成立 z 争( pc ) = 盯( z l ，可1 ) ( z 2 可2 c ) 盯一1 ( z 3 ，o 3 ) ，即 口( z l ，可1 ) _ = r ( z 2 可2 ) c 盯一1 ( z 3 ，可3 ) 盯( z 1 ，可1 ) c 盯一1 ( 。2 ，可2 ) ( ) = 口( z 1 ，1 ) ce ( 。2 ) e h ( 可2 ) = 口( z l ，1 ) c 盯一1 ( z 2 ，3 2 ) 盯( z 3 ，可3 ) = h ( z 1 ) 打( 可1 ) c 盯( 茁2 ，s 2 ) = c 仃，) 反之，由( 2 2 1 ) 式成立易得( m ) 式成立 口 定理2 2 2 如果日是弱h 叩，代数，a 是弱双代数，则弱扭积代数如 日 是弱双代数的充要条件是： ( 1 ) 盯( z ，可) 1 圆盯( z ，y ) 2 = i 1 盯( z 1 ，可1 ) i 2 盯( 。2 ，掣2 ) ( 2 ，2 4 ) ( 2 ) 盯( 茁1 ，掣1 ) z 2 3 ，2 = 仃( 茁2 ，9 2 ) oz l 掣1 ( 22 5 ) ( 3 ) ( 凸仃( 。l ，可1 ) 盯( z 2 可2 ，名) ) = a ( 。盯( 茁，可1 ) 盯( ! ，2 ，z ) ) ( 2 26 ) = e ( o 盯( z ，掣2 ) 口( 1 ，z ) ) 其中如 刎是张量积余代数，即其余乘法和余单位分别为： 。【打1 ( o 社z ) = ( o l 弗z 1 ) o ( n 2 非。2 ) a 。h 1 ( n 社z ) = ( n ) s 甘( z ) vn a ，vz ，可，2 日 证明：鲁： 弱日印，代数上的弱扭积且。f 刎 。【圳( ( 社。) ( 6 社) ) = a 。f h l ( o b 口( 。l ，可1 ) 社z 2 可2 ) = ( 1 6 l 盯( z l ，可1 ) l ：带z 2 9 2 ) o ( n 2 6 2 盯( z 1 ，可1 ) 2 社z 3 可3 ) = ( 0 1 6 1 i 1 盯( 。l ，可1 ) ：舻。3 材3 ) o ( 0 2 6 2 i 2 盯( z 2 ，9 2 ) 捧z 4 可4 ) = ( 。1 6 l 盯( z 1 ，1 ) 社z 3 可3 ) ( 2 6 2 盯( z 2 ，掣2 ) 社z 4 可4 ) = ( 0 1 6 1 盯( z 1 ，可1 ) 社z 2 可2 ) o ( 0 2 6 2 盯( z 3 ，可3 ) 社z 4 妙4 ) = ( ( 0 1 弗z ，) ( 6 1 社1 ) ) o ( ( 0 2 社z 2 ) ( 6 2 社9 2 ) ) = ，【爿1 ( o 孝z ) 。【卅( 6 社可) 由i m ( o ) z ( a ) ，我f 门有： e 。【日 ( ( o 社z ) ( 6 社) 1 ) a 。【删( ( 6 社) 2 ( c 榉z ) ) = e a 。【h 】( ( n 社z ) ( b l 社掣1 ) ) e ，【仃1 ( ( 6 2 社珈) ( c 社z ) ) = e a 。【h 】( n 6 l 盯( z 1 ，掣1 ) 社z 2 可2 ) e a ，【h j ( 6 2 c 盯( 分3 ，z 1 ) 6 9 4 2 乜) = e ( 凸6 l 仃( z l ，可1 ) ) e h ( 茁2 玑) ( 6 2 c 盯( 3 ，z 1 ) ) h ( 玑z 2 ) = a ( 。盯( z 1 ，可1 ) 6 1 ) e ( 6 2 c 口( 掣3 ，z 1 ) ) e h ( z 2 驰) e 日( 可4 2 2 ) = ( 8 6 c 盯( 。l ，1 ) 盯( 可3 ，名1 ) ) h ( z 2 可2 ) e 日( 4 2 2 ) = e a ( 凸6 c 盯( z 2 ，2 ) 盯( 掣3 ，z 1 ) ) e 胃( 茁1 可1 ) e h ( 4 2 2 ) = e a ( 0 6 c 盯( z 2 ，伽) 盯( 。3 可3 ，z 1 ) ) e 日( 。1