（基础数学专业论文）实空间形式到四元欧氏空间的lagrangian等距浸入.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 本文运用在【2 1 中所提出的t w i s t e dp r o d u c t 的想法，研究了从实空间形 式到四元欧氏空间的l a g r a n g i a n 等距浸入。作者给出了实空间形式m 7 。( 0 ) 的挠积分解与相应的到四元欧氏空问的l a 盯a n g i a n 等距浸入之间的关系。 并且在最后，作者构造了一个非平凡的适应l a g r a n g i a n 等距浸入的实例。 关键词：l a g r a n g i a l l 等距浸入，四元欧氏空间，挠积，挠函数，挠形 式，挠闭。 重里丕兰亟圭堂焦鲨塞i j a b s t r a c t j nt h l 8p a p e r ，u 8 i n gt h ei d e ao ft w i 8 t e dp r o d u c ti n t r o d u c e di n 2 ，w e l n v e 8 t l g a t el a g r a n g i a ni s o m e t r i ci m m e r s i 8 n so far e a ls p a e ef o r mi n t oq u a t e r - n i o ne u c l i d e a ns p a c e s t h ea u t h o rg i v e st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et w i s t e d p r o d u c td e c o m p o s i t i o no far e a ls p a c ef o r mm “( o ) a n dt h el a g r 粕g i a ni s o m e t r i ci m m e r s i o n so fm ”( o ) i n t oa q u a t e m i o ne u c l i d e a ns p a c e r 1 r t h e r m o r e t 且ea u t 上1 0 ra 1 8 0c o n s t r u c t sa n o n t r i v i a le x a m p l eo ft h ea d a p t e dl a g r a n g i a n j s o m e t r i ci m m e r s i o n s k e y w o r d s ： l a g r a n g i a ni 8 0 m e t r i ci m m e r s i o n ， t h eq u a t e r n i o ne u _ c l i d e a ns p e ，七w 1 8 t e dp r o d u c t ，t w i s t o rf o r m ，t 、) l ，i s t e dc 1 0 8 e d 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：墨簪兰- j 兰日期： 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 ， ，。、一 作者签名：l 噩：导师签名： 日期： 第一章绪论及背景 在过去的四分之一世纪中，k 孔l e r 流形中的l a g r a n g i a n 子流形的研 究一直是一个引人关注的领域，数学家们已经获知了大量的关于眇中的 l a g r a n g i a n 子流形的重要结论。例如，陈邦彦教授在【8 】中对l a g r a n 舀a n 子 流形作了系统的论述。作为g n 的推广情形，自然而然地我们会对伊中 的l a g r a n g i a n 子流形的研究产生兴趣。 从黎曼几何的观点来看，l a g r a n g i a n 子流形是千姿百态的。数学家 们近年的研究已有丰富的成果，对四元欧氏空间的l a g r a n g i a n 子流形也 获得了不少有意义的结论。在 4 】中，0 h 对四元欧氏空问的l a g r a n g i a n 子 流形进行了分类。在 3 】中，0 h 和k a n g 对子流形平坦的情形，给出了其 l a g r a n g i a n 浸入的显式表达。在【5 】中，h 0 n g 和h o u h 证明了：满足陈的 等式的四元欧氏空间的l a g r a n g i a n 子流形都是极小的，并且从n 维黎曼 球面到四元射影空问的l a g r a n g i a n 等距浸入，如果满足陈的等式，那么必 定是全测地的。 设日“是四元欧氏空间，具有四元结构i ，j ，k ，满足，j = 一i ，j = k ， j 2 = ，= 2 = 一1 令x 是日n 上，位于p 点处的单位向量，则x ， j x ，k x 构成了日”上p 点处的互相正交的单位向量组，我们把由它们 张成的四维平面记作q ( x ) 。对h n 上任意两个正交的向量x ，y ，如果 q ( x ) 和q ( y ) 是正交的，则由x ，y 张成的平面”( x y ) 称为一个全实平 面。q ( x ) 中任意一个二维平面称为一个四元平面。 设z ：m ”，日“是n 维黎曼流形m 到四元欧氏空间日n 的等距浸 入。如果m ”的每一个二维平面都映成为h n 的一个全实平面，那么我 复旦大学硕士学位论文 们称m “是日“的一个l a g r a n g i a n 子流形。因此，如果m “是h “的一 个l a g r a n g i a n 子流形，则有( t m ) ct 上m ，其中妒= ，j 或者k ，这里 t 上是m n 在h n 中的法丛。 空间形式到空间形式的等距浸入的研究是微分几何领域的一个经典问 题，文献 2 的作者对从实空间形式到相应复空间形式的l a g r a n g i a n 等距浸 入作出了系统的研究。他们引入了挠积这一想法，并利用它，较为精确地 描绘了复空间形式m “( 4 c ) 中，常截曲率为c 的实l a g r a n g i a n 空间形式。 进一步地，f 2 和【4 分别给出了从实空间形式的挠积分解，及它到复空间形 式的适应l a g r a n g i a n 等距浸入的显式表达式。 本篇文章的目的在于将上述结果推广到日”的情形。四元欧氏空间 日”最简单的l a g r a n g i a n 子流形的例子是全测地子流形，众所周知，日” 的全测地子流形都是平坦的实空间形式。本文中，我们用m “( 0 ) 表示平坦 实空间形式，并主要考虑两个问题。 问题l 除了全测地的情形，是否还有其他的从m n ( 0 ) 到俨的 l a g r a n g i a n 等距浸入的例子? 问题2 如果存在这样的例子，我们能否给出这些l a g r a n 百a n 等距浸入 的显式表达? 2 第二章主要定理及预备知识 设m ”是日“中的l a g r a n g i a n 浸入子流形，显然 r ( x ，y ) z = 0( 2 1 ) 这里x ，y ，z 了上m ，西记作日“的曲率张量。 m ”和日n 上的黎曼联络分别记为v 和v ，则g a u s s 公式为 v x y = v x y 十 ( x ，y ) ，( 2 2 ) w j i n g 盯t e n 公式为 v x = 一a x + d 支( 2 3 ) 其中x ，y 是切向量场，是法向量场，h 是m 的第二基本形式，d 上表示 法联络。h 和形状算子a 的关系为 ( h ( x ，y ) ，f ) = ( a x ，y ) ( 2 4 ) m 的平均曲率向量定义为日= 击t rh ，如果我们把v 和d 上的曲率 张量分别记作r 和r 上，则 g a u s s 方程为 ( r ( x ，y ) z ，l 矿) = ( 7 l ( y jz ) ，h ( x ，w ) ) 一( h ( x z ) ， ( kw ) ) ，( 2 _ 5 ) c o d a z z i 方程为 ( d h ) ( x ，z ) = ( d ) ( x ，z ) 、( 2 6 ) 其中( d ) ( x ，z ) = d 女n ( yz ) 一 ( v xy ) z ) 一f ( yv x z ) ， r i c c i 方程为 ( r j 。( x ，y ) ，7 7 ) = ( a f a 。 x ，)( 2 7 ) 3 复旦大学硕士学位论文 其中x ，z ，w t m ，且，q t 上m 0 h 在4 1 中给出了下列的存在唯一性定理。 定理a 设m n 是单连通n 维黎曼流形，吼( i = 1 ，2 ，3 ) 是m 上取值于t m 的对称双线性形式，满足 ( a ) ( 吼( x ，y ) ，z ) 关于i = l ，2 ，3 是全对称的。 ( b ) ( v x 吼) ( z ) 一q ( x ，盯( z ) ) + 吼( x ，o ( y z ) ) 全对称，其中 ( v x 吼) ( y ，z ) = v x 吼( kz ) 一吼( v xy 1z ) + 口 ( v x z ) ，( i ，j ，k ) = ( 1 ，2 ，3 ) ， ( 2 ，3 ，1 ) 或者( 3 ，1 ，2 ) 。 ( c ) r ( x ，y ) z = 釜1 吼( 仉( y ) z ) ，x ) 一吼( 以( x ：z ) ，y ) 则存在一个l a g r a n g i a n 等距浸入x ：m “+ 日“，其第二基本形式为 ( x ，y ) = j 口1 ( x ，y ) + 。，口2 ( x ，y ) + k 如( x ，y ) 定理b 设l 1 ，l 2 ：m ”一日“是n 维黎曼流形的两个等距浸入，第二基本 形式分别记作毳1 和铲，如果对i = 1 ，2 ，3 ，x ，kz ，a 彳，有 ( 1 ( x ，y ) ，7 r 。l 1 + z ) = ( 2 ( x ，y ) ，7 ；l 2 + z ) ， 其中凡= i ，j 或者k ，则存在h “上的等距变换曲，满足l 1 = l 2 。妒a 现在我们来介绍文献 2 】中挠积的概念，设j p ”( o ) 是( n n ) 维平坦实 空间形式，首先考虑 n 一1 ，此时 以，幽刀。1 ( o ) ( 2 8 ) 称为挠积，挠积度量定义为 9 = 斤d z i + - + 蝶如专+ d z ；十，+ - r + d z ： ( 2 9 ) 其中 ，。是恒正的光滑函数，h 是开区间。 当= 几一1 时( 或者，= 礼) ，考虑下面的挠积 ，f 1 x 鹰。lx 正t ( ， ，1 。露厶) ( 2 ，l o ) 如果( 2 8 ) 或者( 2 1 0 ) 的挠积是一个实空间形式m ”( o ) 则称之为m ”( 0 ) 的 挠积分解，我们将这一分解a p ( o ) 记作丁_ p 鼻，；，( ( ) ) 。如果 z h z ” 是 4 复旦大学硕士学位论文 丁p 务瑶( o ) 上的一个坐标系，使得对每个j = 1 ，南与乃相切， 而后( n 一) 个坐标向量与丙”。( o ) 相切，并且度量取作( 2 9 ) 的形式， 则我们称 z 1 ，z 。) 为适应坐标系。 定义仰务_ ，：( o ) 上面的1 一形式圣( 7 p ) 为 虫( 丁p ) = 圩d z l + 一+ ，：d z 。( 2 1 1 ) 为了简便起见，我们称其为丁瑶( o ) 上的挠形式a 如果 塞筹蛐妣= 。 皿 则我们称挠形式中( 丁p ) 是挠闭的。 显而易见，如果n 一1 ，挠形式圣( 丁p ) 自然是挠闭的。当n = n 时，挠形式是挠闭的当且仅当它是通常意义下的闭形式。 对于挠积分解7 p 舞届( o ) ，现在我们来考虑一类满足如下性质的挠 函数： 砰= ( 并嘲) 2 婺：婺_ 0 1 a z ，a z 。 1 上：土 一州 乃嘲 且对1 i ，下面至少有一个条件成立 1 7 n 直接计算可以锝到 情形2 ：z ( a ) 如果x ( v x 一1 ) ( rz ) = ( v y a l ) ( x ，z ) = o a i 石，。 最则有 ( v x 盯) ( z ) = ( v r 盯1 ) ( x ，z ) = o ( b ) 如果x = 矗，y = 矗，或者y = 蠡，x = 最 因为参仅仅是关于z ；的函数，所以 ( v x 1 ) ( fz ) = ( v y a l ) ( x ，z ) ( c ) 如果x = 杀，y = 杀，i j 当2 2 ，j 时，易知 ( v x 口1 ) ( z ) = ( v y 口1 ) ( x ，z ) = 0 因此我们不妨设f = i ，从而 ( v x ) ( kz ) ( v y 叨) ( x 、z ) 盟旦一垃旦 疗0 1 a 一1 a 甄： c 寿，去+ 筹杀 ( 3 3 ) 8 旦弧 胁默 。卅 击，= r t ， ， 者岳 旦眠 垃 复旦大学硕士学位论文 这里( ) ，= 差 利用( + ) 和( 31 ) 式我们可得( v x 一，) ( y iz ) = ( v r 一。) ( x z ) ，于是条 件( b 1 电满足。 综上所述，定理a 三条件都成立，所以在相差一个日”的刚体运动 的意义下，存在唯一的第二基本形式满足( 2 1 3 ) 的l a g r a n g i a n 等距浸入 锄扇( o ) + 舻 ( 2 ) 必要性：由g 勰s s 方程可以立刻得到。 充分性：设m “是平坦黎曼流形，则对x ，y ，z ，w t m ， ( r ( x ，y ) z ，- y ) = o 又因为日“是四元欧氏空间，所以对x ，y ，z t m ，t c ，= i ，j 或者k ， r 上( x ，y ) 妒z ，仉7 ) = ( 妒r ( x ，y ) z ，曲w 7 ) =0 = ( 4 p z ，a 。， x ，y ) 因此若，q t 上m ，贝0 a ，_ 胡= o 根据 7 中c 盯t a n 的定理，对每一点p m ，存在弓m 的单位正交向量 e 1 ，e 。，使得第二基本形式h 满足： h ( e a ，e 日) = o ，a b 此外，对x ，y ，z t m 和砂= i ，j 或k ，( ( x ，y ) ，砂z ) 是全对称的。 因此 ( ( e 。，e 。) ，妒勺)= ( ( 岛，e ，) ，妙龟) = ) ，2 ? ， 从而可得 ( e 。，e ：) = a 1 1 ，e 。+ a 2 l ，e 。+ a ；3 k e 。 ( 3 ) 由c o d a z z i 方程和( 21 5 ) 式，可得 c 。( 1 z ) = ( v 。e 。，e 。)。a ，( 34 ) 9 复旦大学硕士学位论文 v e 8 j 一( v e 。8 j ，e 。) e 。， a j ，( 3 5 ) ) 、，( v 。e 。，e 。) = a ，( v c a e 。，e 。) ， a b ， ( 3 6 ) 令d = s p a n e 1 ，e ) ，口上= s p a n e 。十- e 。) ，我们来证明下面两 个引理。 引理3 1 口和口上都是可积分布。 证明? 对白，勺口( i j ) ，从( 3 5 ) 我们知道v 。勺，v qe i 口，所以 e i ，e j 】d a 对e 。，e d 上( s ) ，e 。口，由( 3 5 ) 可知 ( v 。e t ，e ) = ( v 。e 。，岛) = 一( e t ，e 。) ( v 。) = o 因此v 。龟口上 引理3 2 口上是全测地分布。 证明：对e ，口，e 。d j ，由c o d a z z i 方程 所以v b e 。d 上。 h ( v 。，岛) = ( d ) ( e 。，岛，岛) 一( d ) ( e 。e 。，e 。) = 2 ( v 。e 。，e 。) = 0 口 口 由于口和口上是两个互相正交的可积分布，所以存在m ”上的坐标 系 z ，z n ，使得_ d2 s p n n 击，彘) ，口上2s p a n 瓦暑，去) a 设x 。= e 。由( 3 4 ) 我们可得 e 。( 厶) = 一办( v 。，勺，e 。) ( 3 7 1 1 0 复旦大学硕士学位论文 1 1 由( 3 5 ) 和( 3 7 ) ，对i j ， l 硷，玛】= e 。，厶勺 五艿( v 。e ，一v q 吼) + e 。( 疗) ， 勺一勺( ) ，j e 。 =0 因此，我们选择z l ，z 。使得 d 百i2 ，t 龟 令丙“”是口上的可积子流形，于是由引理3 2 ，丙一“是m “( 0 ) 的 全测地予流形。从而丙”是平坦实空间形式。 综合上面的讨论，我们断言m ”( o ) 上面存在挠积分解丁p 舞瑶( o ) ， 它的挠积度量为9 = 斤出i + + 只d z 斋+ d z ，+ + d z ：，并且有 h ( 壶，杀) = 删啪 2 争，去+ 参j 毒+ 务k 毒， c 丢，差，一 砒e 此外，从( 3 4 ) 我们知道 铲：铲：学，刚 ( 3 s ) 万厂2 了广2 万万一， 碍a e 5 ) j ； j3 ，z 由( 3 8 ) ，有 所以南仅仅是盈的函数。 由( 3 4 ) 和( 3 6 ) ，有 8 。 毋t j s 。 一“ 0 i a 些：o ，或者 z 斋 。 土 “ 复旦大学顽士学位论文1 2 另外还有 誓：赢吲妒，) 眠 ( 妒) 3 。、7 2 赢( v e 。e j ) ( ) 。”“”川 2 勘a ( v e 舟e f ) ( a p ) 2 o q 啊“7 = 羔瓜a 黜v 铲，岛) ( 妒) 3 “p 勺1 “7 = 杰e t ( a 一( a ) 3 q r 、 ：壁 如i 综上所述，挠积函数满足( + ) 条件，卯忆 瑶( 0 1 的挠形式是挠闭 的。从而，运用主要定理中的f 1 1 我们证明了f 3 1 。口 为了简单起见，我们称( 2 1 3 ) 给出的l a g r 锄g i a n 等距浸入为适应 l a g r a n 舀a n 等距浸入。 第四章进一步的讨论 注1 当n = 1 时，挠积丁p 瓷，：( o ) 的挠形式圣( 卯) 自然而然是挠 注2 事实上，当22 ，并且挠函数满足磊= = 磊时，可以 南刊，( 高) 2 吐 ( 4 - 1 ) “毒，毒，( 1 ) 去机( 2 ) l ，去扣( 3 ) k 去， 。固 似矗，去，m e 一 卜。 最后，我们给出一个从卯并尼( o ) 到日“的非平凡的适应l a 日有 h 一= i n = a 1 3 一 一 0 0删删 = = m m 矗一 复旦大学硕士学位论文 这里 ( ，“( ”) 满足( 4 1 ) 式并且 ( ， ( 扪、t 产) ( u ( ，l z ( 孙，札( 3 ) 于是l a g r a n 百a n 等距浸入片扇( o ) - + h “是 c 差，去，= ，杀 c 差，差，一，去 c 差，去 综合( 3 3 ) 和( 4 2 ) ，算得 积分得 l 1 z l =i 甜( 1 ) l i + j 钉( 2 ) l z l + 南u ( 3 ) l 。1 l ， l z m 2 t ， ( 4 3 ) o r 叫i 5 e i “( 1 ) l 。+ j t ( 2 ) l 。+ 七“( 3 ) l 。， 2st o l = 一( 知( 1 + 歹t ，( 2 + 南t ，( 3 ) e ( 2 1 + j 。2 + u 3 ) z 1 0 1 j u ( 2 ) + “3 ) ) e ( 。u 1 ) + j u 2 + 驴吼+ d = + 1 o t h e r 钏i s e c o 。+ d 这里1 ，。和c 。是h ”中的常向量。 为了方便起见，我们设d ：o ，并记壹( 。( m ) z ：p ，壹( 。( m ) 2 ：q m = lm = 1 因为l 是等距浸入，所以我们可以考虑如下的初始条件： l 。( o 。( o o ) = p 2 ( 而( 1 ) + j ( 2 ) 凸+ 勋( 3 ) n ， o o ) = q 2 ( i “( 1 j + j “( 2 j n + 盔u ( 3 ) n ， 0 l 。( o ，o ) = 矿( ( 1 ) n + 2 ) n + 札( 3 ) ，o l z 。+ ，( o ，o ) = ( o o ：1 ，o o ) ， 0 ) o ) 1 4 旦慨旦舰 耳 k u + 旦溉旦c | | ， ， m + + + 。 复旦大学硕士学位论文 1 5 从而除去日n 的一个刚体运动的差别，可确定l 为 z n ) = ( n e ( 。”1 + j ”2 + ”3 ) 。1 ，n e ( “1 + j “2 + “钟) 。2 ， ( 44 ) 。e ( 。“1 十j “2 十2 “却) 。 v ，z - v + 1 ，z n ) 、 这就表明，该l a g r a n g i a n 等距浸入的象不会落在h “的某个子空间c 吼 中，因此l 是非平凡的。 参考文献 1 h d l e i n n d r i c ，r o m o n p a s e a l w e i e r s t r a 8 sr e p r e 8 e n t a t i o no fl a _ g r a n g i a ns u r f a c e 8i nf o u 卜d i m e n s i o n a ls p a c eu s i n gs p i n o r sa n dq u a t e r _ n i o n s c o m m e n t m a t h h e 】v 7 5 ( 2 0 0 0 ) ，n o 4 ，6 6 8 6 8 0 b y c h e n ，f d i l l e n ，l v e r s t r 船l e na n dl v r a n c k e n l a g r 锄百a ni s o m e t r i ci m m e r s i o n so far e a l - s p a c e f o r mm ”( c ) i n t oa c o m p l e x - s p a c e f o r m a z “( 4 c ) m a t h ，p r o c c 黝b p h i l s o c 1 2 4 ( 1 9 9 8 ) ，1 0 孓1 2 5 3 】o h ，y h nm y u n g ；k a 皿g ，j o o l lh y u k t h ee x p l i c i tf o r m l ao f _ 1 a tl a - g r a n g i a nh u m b i l i c a ls u b m a n i f o l d si nq u a t e r n i o ne u c l i d e 8 ns p a c e s m a t h j 7 r ( ) y a m a u n i