（基础数学专业论文）关于函数方程亚纯解及相关问题的研究.pdf

云南师范大学硕士学位论文 摘要 设t 为上的自映照，其具体的定义如下 “一，。，= 圭。3 n n + ，n n - - - 兰0 ，m m 。o d d 2 2 , 并规定t o ( n ) = ，t m ( n ) = f ( 乙一l 印) ) ，托，m en 记m 为满足v mn ，0 ( 1 的自然数v 的集合。令 抛) = 宝n = 0 v ，( 其中吃= 焉z ) l v ，i c h 1 9 9 4 年l b e r g 和g m e i n a r d u s 证明了： 函数( ) 是方程 ( z 3 ) = 厅( z 6 ) + 上3 z 多e = 0 z 2 ) ( ) 在h n ，d e f i n e d ，f o r 珂n ，b y rc”，=圭。i咒n+，f白o，r n n e ；- 0 。m m 。o d d 2 2 , t h ei t e r a t e so ft h i sm a p p i n ga r ed e f i n e dr e c u r s i v e l yb y t o ( n ) = n ，0 0 ) = f 也，( ”) ) ，”，m e n l e tmb et h es e to fa l lt h e s en u m b e r sv e n ，v m n ，t ( v ) l ，a n d c z ，= 宝n = o 吃z “，c w n e r e 吃= ：i z ， h i n 1 9 9 4 ，l b e r ga n dg m e i n a r d u sp r o v e dt h a t f u n c t i o n ( ) i sh o l o m o r p h i cs o l u t i o no f 办( z 3 ) = 矗z ) + 上3 亨矗z , - 。( 2 v z 2 ) v = 0 ( ) i n 小1 t h e yc o n j e c t u r et h a t 厅( z ) = c o + c 1 壶，w h e r e 五= p 芋，c o ，c l a r e c o n s t a n t i nt h i st h e s i s ，o u rm a i nr e s u l t si ss t a t e da sf o l l o w i n g t h e o r e m1i ff u n c t i o n ( ) i sm e r o m o r p h i cs o l u t i o no f ( ) i nc t h e n ( z ) 2 参土z - z j + c w h e r e 。j ( j 2 l ，2 ，k ) a r et h ep o l e so f ( z ) i nc ，a j ( j = l ，2 ，k ) a r e n o n z e r oc o n s t a n t ，a n dcist h ec o n s t a n t i fw ec a np r o v ek2l a n d 厅( z ) a n a l y t i cc o n t i n u a t i o nt oca l o n gh = l i i i 墨堕堕堇茎堂堡主兰焦丝茎 t h e nw ep r o v e dt h el b e r ga n dg m e i n a r d u s c o n j e c t u r e ，a n ds o l v e d3 n + l p r o b l e m o no t h e rh a n d ，w eg e tag e n e r a l i z a t i o na n dt h r e en e wp r o o f so fp o l y n o m i a l a b cc o n j e c t u r e ，t h es i m i l a rr e s u l t o fr a t i o n a lf u n c t i o n ，a n dg e ta g e n e r a l i z a t i o no fd a v e n p o r tt h e o r e m t h em a i nr e s u l t so ft h i si ss t a t e da s f o l l o w i n g ： t h e o r e m2i ff ，g ，h c t a r en o t c o n s t a n t ，r e l a t i v e l yp r i m e p o l y n o m i a l s 。a n di f 七g = h ，t h e n m a x ( d e g f ，d e g g ，d e g h ) n o ( f g h ) 一啊 w h e r ec t d e n o t e st h er i n go fp o l y n o m i a l sw i t hc o e f f i c i e n t si nt h ef i e i dc o f c o m p l e xn u m b e r s ：( f g h ) d e n o t e st h en u m b e ro fd i s t i n c tz e r o so f p o l y n o m i a lf g h n id e n o t e st h em i n i m a l 叫1 t i p l i c i t i e so f a st h ez e r o sw i t h 。f 一，一堡。芷一堡 fg fh g h t h e o r e m2i st h eg e n e r a l i z a t i o no fm a s o n s t o t h e rt h e o r e m i td e c r e a s e t h eh i g h e rb o u n di nm a s o n s t o t h e rt h e o r e m f r o mi t ，w eg e tt h em o s ts u c c i n c t e l e m e n t a r yn e wp r o o fo ft h et h e o r e ma n dt h es i m i l a rr e s u l to fr a t i o n a l f u n c t i o n t h e o r e m3 i f 厂，g ，h a r es a m en u m b e ro ft h ed i s t i n c tp o l e sr a t i o n a l f u n c t i o n , n 。a l lc 。n s t a n t ，a n d n o ( h ) = ，z 。( 上) + ( 专) + ( 劾i f f + g = ， t h e n m a x ( d e g f ，d e g g ，d e g 矗) ( 膨) + ( 击) 一1 云南师范大学硕士学位论文 w h e r er 1 0 ( f g h ) d e n o t e st h e n u m b e r 。fd i s t i n c tz e r o s 。ff g h ，a n dn 。( 去) d e n o t e st h en u m b e ro fd i s t i n c tf i n i t ep o l e so ff g h t h e o r e m3i st h es i m i l a rr e s u l to fp o l y n o m i a la b cc o n j e c t u r e i ff ，g ，h a r ep o l y n o m i a l s ，t h e ni t i st h et h e o r e m2 t h e o r e m4l e tfa n dgb en o n c o n s t a n t ，r e l a t i v e l yp r i m ep o l y n o m i a l s i nc i t ，t h e n 蜊f 3 _ 9 2 ，扣川+ 剖鼍一引 t h e o r e m4i st h eg e n e r a l i z a t i o no fd a v e n p o r tt h e o r e m i tl i f tt h el o w e r b o u n di nd a v e n p o r tt h e o r e m i nt h et h e o r e m ，t h en u m b e r 专i sp r o p e r ，a n dt h e l o w e rb o u n di sb e s tp o s s i b l e k e yw o r d s ：f u n c t i o n a le q u a t i o n ，m e r o m o r p h i cs o l u t i o n ，3 n + lp r o b l e m ， d e g r e eo ft h ep o l y n o m i a l v 独创性声明 y 9 7 4 5 3 2 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：物括泰 扣一6 年f 月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：枷括基 舢6 年，月却日 指导教师签名杰笨 2 。石年少月幻日 云南师范大学硕士学位论文 l 问题的提出及我们的主要结果 1 9 9 5 年a w i l e s n 踟证明了费尔马大定理，然而与之密切相关的难度更大的 a b c 猜想哺3 迄今仍未解决。随着费尔马大定理的证明也有人猜测下一个“费尔马 问题”( 数论中将被解决的著名问题) 可能就是3 n + l 问题口晗“。 1 1 关于3 n + l 问题及有关结果 设f 为上的自映照，其具体的定义如下 t ：n - - ) n 叫班k 。墨帅n - 如0 m 讹o d 2 , 并规定t o ( n ) = n ，t a n ) = f ( 0 一i ( n ) ) ，h ，m n 关于映照t ，有如下著名问题： 3 n + l 问题瞳3 对每一个门n ，都存在数m ( n ) 6 n ，使0 ( 。) ( 胛) = l 从3 n + l 问题的提出并传播开来到现在，国内外众多数学工作者对其进行了大 量的研究，并借助计算机检验了直到1 2 3 1 0 ”的数发现全都符合3 n + l 问题 ( 参见 2 ) ，但又不能从理论上加以证明。与哥德巴赫猜想相比较，素数分布杂 乱无章的特性使哥德巴赫猜想的正确与否至今仍悬而未决。3 n + l 问题虽不涉及到 素数，只涉及奇数和偶数，但无论奇数还是偶数，它们的迭代序列t ( 1 3 ) 中元素正 如素数的分布那样杂乱无章、无规律可言，处理起来相当困难。因此有人断言3 n + l 问题与哥德巴赫猜想是属于同等难度的数论难题 2 0 2 “。 目前研究3 n + l 问题的解析方法有两条路子，即复解析动力系统的方法。3 4 3 n 们与函数方程的方法“。在探讨3 n + l 问题的上述两种是前景看好的两种方法 中，1 9 9 4 年l b e r g 和gm e i n a r d u s 提出了如下的猜想： 云南师范大学硕士学位论文 猜想l 哺3 方程h ( z 3 ) = h ( z 6 ) + i 1 h ( a v z 2 ) 在l zi o ，存在一个常数j ( 0 ，使得对所有非零互素的且满足 a + b = c 的整数a ，b ，c ，有不等式 m a x l a l ，i 目，i e l ) ( ) ( r ( 乜6 c ) ) 1 + 8 ， 其中r ( a b c ) 为整除a b e 的素数的乘积， 即r ( a b c ) = n p ，p 为素数。 由a b e 猜想可推出当n 充分大时的费尔马大定理，费尔马大定理仅仅是a b c 猜想的特殊情形， a b c 猜想要比费尔马大定理强得多，它给出了更多有关在a b c 的分解式中素数指数是有界的信息，因此虽然1 9 9 5 年w i l e s n ”证明了费尔马 大定理，然而a b c 猜想迄今仍悬而未决。而关于多项式的a b c 猜想早在1 9 8 3 年 r c m a s o n 9 3 就已经得到了，其实该结果于1 9 8 1 年已被w s t o t h e r ”3 发现， 现称之为m a s o n s t o t h e r 定理。 记c t 为复系数多项式环。 m a s o n - s t o t h e r 定理8 3 设f ，g ，h c t 是不为常数的互素多项式，且 满足f + g = h ，那么 m a x ( d e g f ，d e g g ，d e g h ) ( 酚) 一1 其中d e g f 为f 次数，( 肋) 为f g h 的不同零点个数。 m a s o n - s t o t h e r 定理具有十分广泛的应用，运用该定理可证明多项式的费尔马 大定理，且证明极为简短、漂亮阳1 ：由m a s o n s t o t h e r 定理可证明本文后面介 绍的d a v e n p o r t 定理。然而关于m a s o n s t o t h e r 定理以往所给的证明都较繁杂 e s e g ，本文给出较简洁的三种新的证明，并将其进行了实质性的推广瞳“。具 体而言，我们在下文中将证明下述的结果： 云南师范大学硕士学位论文 那么 定理2 设f ，g ，h c t 是不为常数的互素多项式，且满足f + g = h m a x ( d e g f ，d e g g ，d e g h ) n o ( f g h ) - n 1 ， 其中啊为o 。作为手一i g p ，7 f 一百h p ，詈一等之零点的重级的最小值。 注： 定理2 中啊显然不小于1 ，当啊2l 时，即为m a s o n s t o t h e r 定 理。定理2 推广了m a s o n s t o t h e r 定理，减小了定理中不等式的上界。并且由定 理2 我们得到m a s o n s t o t h e r 定理的初等简洁的新证明和有理函数的类似结果。 若f ，g 为互质多项式，定义有理函数f ：f 的次为 d e g f = m a x ( d e g f ，d e g g ) 对有理函数情形，我们得到如下的结果： 定理3 设f ，g ，h 为有相同的判别极点个数且不全为常数的有理函数，且满 足去) 2 ( 多) + ( 吉) + ( 去) ，如果，+ 9 2 儿那么 m a x ( d e g 厂, d e g g , d e g h ) i d e g f + l d a v e n p r o t 定理说明不存在满足方程f 3 一9 2 = 1 的多项式f 和g ，从而回 答了c a t a l a n 猜想中m = 3 ，玎= 2 的情形。 d a v e n p 。r t 还找到了，= f 6 + 4 t 4 + 1 0 t 2 + 6 ，g = ，9 + 6 f 7 + 2 l 5 + 3 5 f 2 6 2 f ， f 3 _ 9 2 = 2 7 t 4 + 3 4 5 1 t 2 + 2 1 6 说明d a v e n p 。r t 定理中的不等式可取到等号。 我们将d a v e n d r o t 定理进一步作了推广，得到下述结果： 定理4 设f 、g 为c t 中互质的非常数多项式，则 咄( f 3 g z 曩1 埘m 到筹吲 n ， 并给出几类使d a v e n p r o t 定理和定理4 中等号都成立的新的例子。 例1f 、g 分别为2 、3 次时仅有 ( i ) 厂= f 2 十导d ，g = ，3 + d t ，d 0 或 ( i i ) f = t 2 + 2 j c t 一吉c 2 + 詈d ，g = ，+ 0 2 _ d f 一2 2 _ 7 c 3 i 3 c d ，c 。且 c 4 - 7 2 c 2 d - 2 7 d 2 0 使d a v e n p o r t 定理和定理4 中的不等式取等号。 例2f 、g 分别为4 、6 次时有 f = t 4 + 2 d f ，g = t 6 + d t 3 + l d 2 ，。 使d a v e n p o r t 定理及定理4 中等号成立。 云南师范大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 数论中有关的概念及记号 记c t 3 为复系数多项式环。将ce t 3 中的非零元素，表示为 ( f ) = c 兀。一乃) 竹，其中q ，a 2 ，q 是f 的不同的零点，c 为非零的常 数，整数m j 是零点a j 的重数，j = 1 ，2 ，r ，则多项式f 的次数 d e g f = m 1 + + + 竹 定义2 1 对于正整数m ，r ( 聊) ：= 兀p ，p 为素数。 由定义2 1 有r ( a b ) r ( 口) ，( 6 ) ，当且仅当a ，b 互素时取等号。 定义2 2 多项式厂的不同零点的个数记为( ) 因此上述的，( f ) 中n o ( f ) = ，如果f 、g 是两个非零多项式，则 ( 唐) n o ( f ) + n o 国) ， 当且仅当f 、g 互素时取等号。 定义2 3 有理函数厂的不同零点个数记为( ，) 如果f 、g 是两个理函数，则n o ( f g ) n o ( f ) + n o ( g ) ，当且仅当f 、g 的 所有零点和极点均互不相同时取等号。 定义2 4 设f 与g 为互质的多项式，则有理函数的次数定义为 g ，、g 次数的较大值，即 d e g ：m a x ( d e g f , d e g g ) g 并约定常数函数0 和。的次数均为0 由定义2 4 知有理函数厅的次数d e g h = d e g 丢 云南师范大学硕士学位论文 2 2 n e v a n li n n a 值分布理论中的概忿和主要结果 2 2 1 基本符号及定义 设厂0 ) 是复平面c 上的亚纯函数，o r 。时，有1 。g x = l 。g + x - l 。g + 妄 定义2 6 r e ( r , ) ：= 去r 。l o g + i ，( 阳毋) 印， m ( r ，厂) 也记为m ( r ，厂= 一) 或m ( r ，o o ) ，它表示i ，( z ) j 的正对数在i z l = r 上的 平均值。 帕，7 爿：= 芴1r x l o g + l 而蛞p ，口o o ， 脚( 7 = 1a ) 也记为研( r ，= 旬或聊( r ，a ) ，它表示1 7 蚓a 的正对数在h = r ，一l ，一j 。 上的平均值。 定义2 7 对于，c ，n ( r ，) 表示厂( z ) 在i zr _ r 上的极点的个数，其 中重极点按重数计算；万( ，) 表示厂( z ) 在h ，上判别极点的个数。 ，z ( r ，) 表示厂( z ) 在j z f ，上的零点的个数，其中重零点按重数计算； 亓( r ，专) 表示厂( 刁在z j ，上的判别零点的个数。 定义2 8 ( 吖) ：= 煎黜州o ，f ) l 。g ， n ( r ，厂) 也记为n ( r ，f = o o ) 或n ( r ，o o ) 称为， f z ) 的极点的密值量； 云南师范大学硕士学位论文 肿，向：r 堡掣州。，挣o s ，口o 。 ( r ，) 也记为( r ，f = 口) 或( r ，a ) 称为厂( z ) 的a - 值点密值量： ，一口 上式定义中将n ( f ，) ， n ( f ，7 三) 变为万( ，) ，万( f ，7 l _ ) 类似可定义，一口，一口 ( ) ，霄( ，并分别称为f ( z ) 的极点和口一值点的精简密值量。 定义2 9t ( r ，f ) ：= m ( r ，厂) + p ，力，r ( r ，f ) 称为f ( z ) 的特征函数。 定义2 1 0 设口，( j = 1 ，2 ，q ) 为q 个判别的有穷复数，定义 一m 争聊嘉南胁 定义2 1 1 设，( z ) 为复平面上的亚纯函数，则称乃：= j l _ i m 。l o g + l 。t g r ( r , f ) - 为厂( z ) 的级。 由定义2 1 1 可得多项式的级为0 2 2 2 基本结论和性质 2 2 2 1j e n s e n - n e v a n li r m a 公式 m ，厂) 5m ，手) + 1 0 9 h ， 其中c f 为f ( z ) 在原点的t a y l o r 展开中第一个非零系数。 2 2 2 2n e v a n li n n a 第一基本定理 设厂( 力于h 月( 。) 内亚纯，若口为任一有穷复数，则对o r r 有 t(r，-)=丁(，f)+logc，j+(妒)，ar 一 云南师范大学硕士学位论文 其中c f 为f ( l z ) - a 在原点的t a y l 。r 展开中第一个非零系数。 而l e ( a ，r ) i l o g + l a l + l 0 9 2 2 2 2 3n e v a n li n n a 第二基本定理 设函数f ( z ) 于开平面亚纯，不蜕化为常数，又设a v ( y = l ，2 ，q ) 为q ( 3 ) 个判别的复数，则 ( q - 2 ) 附，门 q v = i 肌，击j ) 州吖) ，w v 其中s ( r ，) 由定义2 1 0 所示，并有如下性质。 2 2 2 4 s ( ，) 的性质 n e v a n l i n n a 第二基本定理中的j ( r ，厂) 满足下面性质 2 2 2 5 有理函数的对数导数性质 若，2 百g 为有理函数，则 m ( 手) = 聊c ，詈一鲁，肌( 譬) + 聊( r ，鲁) = 。，_ o 。， 因此f 为有理函数时由s ( r ，厂) 的定义可得s ( r ，f ) = 0 0 ) r - o 。 办 箍 专e r 芒 1 、 力 力蚝呱优懈d = 门“ 云南师范大学硕士学位论文 3 结果的证明 3 1 与3 n + l 问题有关的函数方程亚纯解的结果的证明 先将方程( 1 2 ) 将其变形得 ( z 6 ) = ( z 3 ) 一土3 z v = o 五” ”z 2 ) 为了证明定理1 ，我们先给出如下引理： ( 3 1 ) 引理l 口朋1 函数 ( z ) = 乏矿是方程( 1 2 ) 的解的充要条件是h n = 噍( 。) 引理2 设矗0 ) 为方程( 1 2 ) 于c 中的亚纯解，为矗( z ) 的极点，则 z o l = 1 证明断言气0 ， 事实上若z o = 0 为厅( z ) 的极点，则可将矗( z ) 表示为 矗( z ) = 寺+ = a 鬲m - 1 + + 等+ 日( z ) ，m 1 ， 其中日( z ) 在u ( 0 ；o d 内解析。将办( z ) 代入( 1 2 ) 式得 参+ 每+ + 争喇翻= 参+ 鱼z 6 ( m - 1 ) + 哆+ 删) + 妻争+ 寿+ 斗参圳彻， 从而z = 0 既是上式左端的3 m 阶极点， 又是右端的6 m 阶极点， 然而m 1 ，3 m 6 m ，矛盾。 若o k i 1 时，由于 ( z ) 在c 中亚纯，则厅( z ) 在f z f 1 内至多有 有限个极点。 事实上，若五( z ) 在例 1 内有无穷个极点，由b o l z a n o w e i e r t r a s s 定理 这无穷个极点必有一个极限点z ，且z + 在h 1 上，则z + 就为矗( 三) 的 1 0 云南师范大学硕士学位论文 非j 7 & 立奇点，这与 ( z ) 为亚纯解矛盾。 记而( z ) 在h 1 内的有限个极点中模最大的极点为z z 令乞6 = 刁，则毛l k f 1 ，将z = 乞代入( 3 1 ) 式得 厅( 毛) = 晟( 乞3 ) 一：l ( 矗( z 2 2 ) + l h ( t z 2 ) + z 2 厅( 五2 2 2 ) ) 由于z 1 为五( z ) 的极点，故巧，z 2 2 ，名o ，五2 乞2 中至少有一个为而( z ) 的极 点，又由z 一和z 2 的取法知毛l - - i z 2 0 l l z 2 3 z 2 2 f = i 锄2 i - - i 丑2 乞2 f 1 使矗( z ) 在i h r 内至多有有限个极点，证明类似晟( z ) 在h 1 内至多有有限个极点的证明，记 其中模最小的极点为五 令z 2 6 = 五，则1 j 乞l h 将z = 乞代入( 3 1 ) 式得 ( 毛) = 五( z 2 3 ) 一圭( ( z 2 2 ) + a h ( 2 2 2 ) + 五2 厅( 名2 2 2 ) ) 由于五为h ( z ) 的极点，故刁乞2 名乞2 _ , 2 2 2 2 中至少有一个为 ( z ) 的极 点，又由毛和z 2 的取法知1 i 毛2 - k z ：2 - i 五2 乞2 i k k 6 i = ， 因此矗( z ) 在1 h r 内有模比fz lj 小的极点，这与i 毛f 的取法矛盾。 综上所述，z o 为办( z ) 的极点，则k f = 1 ，引理2 证毕。 引理3 设h ( z ) 为方程( 1 2 ) 于c 中的亚纯解，则 ( 1 ) ( z ) 仅有有限个极点z l ，z ：，； ，= 南+ 毒劳啬+ + 寺+ 每去+ c 证明( 1 ) 若h ( z ) 在c 中有无穷个极点z ，( ，= 1 ，2 ，3 ，) ， 由引理2 知i z j = 1 ，( ，= l ，2 ，3 ，) ，又由b o l z a n o w e i e r t r a s s 定理，这无穷个极点 必有一个极限点，z 0 在h = 1 上，就为厅( z ) 的非孤立奇点，这与向( z ) 为亚纯解矛盾，因此h ( z ) 仅有有限个极点，不妨设为z 。，z ：，z t ； ( 2 ) 由( 1 ) 可将矗( z ) 表为 讹，= 每十毒劳鲁+ ， + 每+ 毒务去删z ， z ， 其中h ( z ) 为整函数。 由引理2 知i z j i = 1 ，( _ ，= 1 ，2 ，3 ，七) ，将( 3 2 ) 代入( 3 1 ) 式得 垒3 + 墨型 + 0 6 一毛) 呐1 ( z 6 一毛) _ _ 1 。 + + 脚6 ) z z t = 亨酢3 ) _ 圭争c 志+ + 聊嗲， 从而有h ( z 6 ) = 日( z 3 ) 一去( 日( z 2 ) + 五日( 丑z 2 ) + 日( 旯2 2 2 ) ) j 若日( z ) c o n s t ，对于充分大的r ，由日( z ) 为非常数的整函数及上式得 , m ：a 。x h ( z 6 ) i 4 覃譬1 日0 3 ) ，从而有 p 鬻1 日( 2 ) l 4m i z l = a ) 【r 3 日( z ) i ，( r o o ) ( 3 3 ) 取巧= l ，吒2r 6 ，令m ( r ) 2 拶1 日( z ) i ， r c 三一陋，】_ c 三一z 枷， ( s 6 ) 其中m = m a x a 2 弛i ，1 4 鸭卜，i 0 ， 最后不等号成立是由于铂的记法知行0 确一1 ( ，= 1 2 ，j i ) 及m 的定义。 又因为毫= 书鸪( 疗j 咄所以当疗- o 。时，( 3 6 ) 趋于o 。 故而( z ) 展开式中z ”项的系数蔷k ( 一1 尸c 置i a 石 m j - o 。与规定矛盾。 若m 。，m 2 ，m k 中值最大的有s 个，则不妨记为玛，m 2 ，m s 为了考虑 ( ：) 展开式中矿项的系数k ( 一1 ) 叶c 二，一。乏等， j = l 。 z f 。 先考虑上述前s 项对应的系数的和喜( 一1 广c ；一，生z j m j + ， 和州务七驴c 每+ 每+ + 斗，码争审+ 等0 、+ 争，c 抄 记q 2 争，哆= 吉如- l ，2 ，向则上式变形为 ( 一1 ) 呐c ：+ 。一l ( 岛q ”+ 6 2 哆“+ + 良鸭”) 由上面的引理4 知当n o 。时岛q ”+ 6 2 ”+ + b o , ”不趋于0 ， 云南师范大学硕士学位论文 故( 一1 ) 砷c ：。1 q ”+ 吃吧”+ + b o 。”) 是无界数列。 类似，中值最大的仅有一个的讨论，进一步可得 赛( _ i ) 唧c 叫n 参是无界飙仍锹棚系数吃矛盾。 蚍讨论州z ) - 嘉告+ c 弛为4 删 ( z ) = 圭二z - 生z j + c ，定理l 证毕a 3 2 关于多项式环的a b c 猜想的有关的结果的证明 3 2 1m a s o n s t o t h e r 定理的新证明 ”o l ，j”n ig j 证明设，( z ) = 口n ( z 一哆) ，g ( z ) = bn ( z 一房) 叶， ( z ) 黔肿锯：瓣一悯柏槭数。 由j e i l s e n 公式有 r ( r ，i 1 ) = r ( r ，f ) + 1 。g i c f l ， 结合n e v a n l i n n a 第一基本定理得 ( r ，i 1 ) = r ( r ，f ) 一聊( r ，i 1 ) + l 。g k i ， 又由n e v a n l i n n a 第二基本定理 r ( ，f ) ( r ，f ) + ( r ，寺i t ) + ( r ，南) + j ( ，f ) ，一一l 从而有 ( 吉) ( ，f ) + 霄( ，f 1 ) + 而( r ，i 与) 一m ( ，万1 ) + j ( ，f ) + l 。g l c ，l ( 3 7 ) 由于f2 丢，厂+ g = 矗，7 1 = 手，i 与= 一詈，( 3 7 ) 式可写为 叶 巧 一z 删n 捌 c 云南师范大学硕士学位论文 ，尹h 肌，f 坝，尹h 丽，一争嘶，手) 州 寺酬c ，1 ( 3 8 ) 又因为 ( 7 h ) = d e g ，l 。g r ，霄( r ，手) = n o ( f ) + l 。g ， 骶i f ) = ( 州。g r ， 贾( ，一与= ( g ) 1 0 9 r ， g 由( 3 8 ) 式可得 d e g f 姒伊( g ) + 纵卅面1 r ，等) 叫 多) + 1 0 9 | c f | ) n o ( f ) + ( g ) + 啪) + 面1 她，丢) + l o g | c f | ) 。 由有理函数的对数导数的性质( 见本文第9 页) 得 当r o 。时d e g f n o ( ) + 甩o ( g ) + ( 而) ， 由f 、g 、h 互质得 o ( f g h ) = n o ( f ) + n o ( g ) + ( ) ，故d e g f n o ( f g h ) 又因为d e g f 为整数，故d e g f n c ( f g h ) 一1 又由f 、g 、h 的对称性知d e g g n o ( f g h ) 一1 ，d e g h n 0 ( f g h ) - - 1 ， 因此有m a x ( d e g f ，d e g g ，d e g h ) r 0 ( f g h ) - - 1 m a s o n s t o t h e r 定理证毕。 此证明虽使用了n a v e n l i n n a 值分布理论中的知识加以证明，但较以往的证法 仍较简洁且好理解，容易想到。而且用该证明的思想可证明本文后面将讨论的有理 函数情形的结果。本文给出m a s o n s t o t h e r 定理的另一个更简洁的初等证法是由 下面定理2 来证明，下面先证明定理2 。 3 2 2 定理2 的证明 证明由f + g = h 及f ，g ，h 的对称性，不妨设d e g h = d e g f d e g g ， 云南师范大学硕士学位论文 否则移项调整即可。令日2 7 毛呼一詈) ， r ， 由于f 、g 互质，则h o ，f + g 的零点既不是厂的零点也不是g 的零点。 若z o 为f + g 的m 重零点，则z 。不是g 的零点，从而是+ 1 的m g 重零点，从而：。为( + 1 ) ：( ) ：掣：( 一互) 的m 1 级零点。 又由 g gg g1g 于z o 为，+ g 的m 重零点，不是f 的零点，即不是上的零点，所以是 g 一堑的，n 1 级零点。 j g ，若z 0 是一g - 的m 1 级零点，由上论证知z 0 是一1n-方nf + l 的m，若z 0 是乓一的m 1 级零点，由上论证知z 0 是的m jgg 级零点， 因此是f + g 的m 重零点。 综合上述讨论知f + g 与乓一g _ 2 有相同的零点且前者重数大1 ，从而 jg d e g h =n o ( f g h ) ， y n n 日= 丁b ( 手一争，日尹。，吉= 兰芝及有理函数次的定义， g 从而有d e g 日= d e g 百1 = d e g 向+ 啊7 ，其中n l 为手一詈以o 。为零点的重级数 故d e g ：d e g h - 啊 = n o ( f g h ) 一啊，其中啊，为一生以o o 为零点重级数 )g 同理可得d e g g = ( 唐h ) 一他7 ，其中7 为手一鲁以o o 为零点的重级数； d e g f = n o ( f g h ) 一n 3 7 ，其中n 3 7 为呈一。h 以o o 为零点的重级数 ， g n 云南师范大学硕士学位论文 取啊= l l l i n n j , n 2 , m 3 7 ) ，则有m a x ( d e g f ，d e g g ，d e g h ) n o ( f g h ) 一九。 其中m 为o 。作为手一詈，手一鲁， 由定理2 中证明知功1 ，故有 旦一_ h 零点重级的最小值。定理2 证毕。 g n m a x ( d e g f ，d e g g ，d e g h ) n o ( 彩) l ， m a s o n - s t o t h e r 定理得证。 m a s o n - s t o t h e r 定理的这种证法通过巧妙地构造了与f ，g 有关的有理函数h ， 并对h 的极点和零点进行深刻的讨论，并利用d e g h = d e 8 百1 加以证明，既初等又 简洁而且还可将定理进行了实质性的推广，是迄今为止最好的证法。通过这种证法 推广了m a s o n - s t o t h e r 定理，并得到下列有理函数类似结果。 3 2 3 定理3 的证明 证明如果f ，g ，h 或其中两个有相同的零点或极点，通过f + g = h 可将 其先消去，故不妨设厂，g ，h 中任两个无相同零点或极点。 肯( ：一哆) 甜( 。一局) 叶 设厂z2薪j=l，g z 2 薪五z =( z 一蟛) h ( z 一r ( ) s = t ，。，：掣。7 ， 则锯2 器群 甜( ：一巧7 ) 7 n ( z 一巧) 。 厂巧 一孑 删州 m 蝴芦 = m 删芦 = m 吩 也爿 l i 聍 唧 w 爿 = 胛 令继 ，兰 瞥而芦 膨一，岛 砌旦蝴n一 醴蚴 云南师范大学硕士学位论文 由于矗为有理函数，d e g h = d e g 寺， 又由于f ，g ，h 中任两个都无相同的零点或极点， d e g f d e g 丢，d e g h d e g 等，d e g g s d e g 百g ，从而有 m a x d e g f ，d 昭毋d e s 厅) m a x d e s 丢，d e s 鲁) - - m s n + j ：+ s ，m + s ，聊+ s ) ( 3 9 ) 由j e n s e n 公式和n e v a n l i n n a 第一基本定理得 p ，旁= 丁( ，尹h 一脚( ，旁+ o ( 又由n e v a n l i r m a 第二基本定理得 附，争 研，伊研，争帆r ，亡m 故有，参 肌，丢) 帆r ，7 h ) 帆- 吾) 州7 h ) 叫丢) + o ( 1 ) 结合下f 的表达式和( r ，) 的定义有 九 九 ( n + j ) 1 。g r ( ，b 已) + 栉。( 矗) ) l 。g r + ( ( 厂) + n o ( 1 ) ) i 。g r + ( g ) + ( 扣l o g ，+ 如，夕h 朋( ，旁+ o ( 1 ， ( 怕) 1 及f ，g 为互质非常数的多项式 ( 1 3 ) 式的右边= l d e g 川+ 三筹一； 3 d e g 一； 3 d e g f d e g ( f 3 _ g z ) ( i i ) 当3 d e g f = 2 d e g g 时 ( 1 3 ) 式为d e g ( 3 一9 2 ) l d e g f + l ，由。a v c n p o n 定理知定理4 成立 ( i i i ) 当3 d e g f 2 d e g g 时， 要叫3 ) 式棚要证明2 d e g g l d e g ( f ) 三器 2 0 云南师范大学硕士学位论文 只需证明2 d e g g i 1d e g 厂+ 詈即可。 ( 3 1 1 ) 又由于3 d e g f 2 d e g g ，故仅需证3 d e g f l d e g f + 善即d e g f 1 1 6 5 ， 当d e g 厂2 时，d e g ，善，故( 3 1 1 ) 式成立， i 、 当d e g f = l 时，由3 d e g f 1 z + ；= 1 9 6 ，仍成立。 故3 d e g f 2 d e g g 时，考虑( 3 1 2 ) 式成立的最佳值t 只需考虑 d e g g2 l 时的t 即可， 此时( 3 1 2 ) 式为3 d e g f 虿1d e g + ，( d e g f 一争， 麓。三+ 南j d e g f 下面进一步考察d a v e n p o r t 定理和定理4 中不等式取等时解的结构。注意到 d a v e n p o r t 定理和定理4 中不等式的特征，可发现只有当3 d e g f = 2 d e g g 时等 号才能成立，因此在3 d e g f = 2 d e g g 条件下， 用待定系数法来寻找使 d a v e n p o r t 定理和定理4 中不等式取等号的f ，g 各类解。 i f 、g 分别为2 、3 次 设f = t 2 + a t + b ，g = 户+ c t 2 + d t + e 则 2 1 云南师范大学硕士学位论文 f 3 一9 2 = ( 3 4 2 c ) t 5 + ( 3 彳2 + 3 b c 2 2 d ) t 4 + ( 彳3 + 6 4 占一2 e 一2 c d ) f 3 + ( 3 8 2 + 3 a 2 b d 2 2 c e ) t 2 十( 3 彳曰2 2 d e ) t + ( b 3 - e 2 ) ， 要使d e g ( f 3 - 9 2 ) = + d e g f + l = 2 ，只要使待定系数a ，b ，c ，d ，e 满足方程组 f 3 a 一2 c = 0 彳3 。a