（工程力学专业论文）钢筋混凝土结构界面问题的非线性分析.pdf

摘要 钢筋混凝土结构中存在着钢筋与混凝土交界面和混凝土裂缝面间的相互作用，在 这两类界面上通常存在不连续位移，用有限单元法进行数值模拟时，仍有一些不足之 处。本文从不连续介质和不协调位移的角度出发，引入界面应力元法模拟钢筋混凝土 结构，分析其界面作用的机理。根据界面元法的建模理论和相关知识，建立了钢筋混 凝土结构的界面应力元模型，研究了钢筋与混凝土交界面和混凝土裂缝面之间的传力 机理。 由于界面应力元模型具有描述不连续介质交界面不协调位移、滑移和开裂的功能， 且块体元的形状可以任意，故可将钢筋混凝土结构看作是由两种材料通过界面的粘结 作用组合而成的复合结构，以此为模型进行计算，对粘结试验、开裂试验进行了模拟， 对钢筋混凝土简支梁、框架进行了分析，并与有限元分析成果和试验成果作了比较， 验证了界面元法的优点和模型的正确性。 本文旨在应用界面元方法研究钢筋混凝土中的界面传力机理，为钢筋混凝土结构 交界面的数值模拟以及界面元法的应用开辟新的途径。 关键词：钢筋混凝土界面粘结滑移开裂界面应力元法 a b s t r a c t t h e r ea l et w o t y p e s o fi n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ei n t e r f a c eo fr e i n f o r c e dc o n c r e t e s t r u c t u r e s o n ei st h ei n t e r f a c eo fr e i n f c i r c e m e n ta n dc o n c r e t e t 1 1 eo t h e ri st h ei n t e r f a c eo f c o n c r e t ec r a c k t h e r ei s i n c o m p a t i b i l i t yd i s p l a c e m e n t o nt h ei n t e r f a c e f i n i t ee l e m e n t m e t h o d ( f e m ) h a v ed e f i c i e n c ym o d i n g t h i s i n c o m p a t i b i l i t yd i s p l a c e m e n t i n t h e p a p e r i n t e r f a c es t r e s se l e m e n tm e t h o d ( i s e m ) i si n t r o d u c e dt os o l v es u c hp r o b l e m ar e i n f o r c e d c o n c r e t em o d e lo fi s e mi sb a s e do nt h e o r yo fi s e m w i t ht h i sm o d e lw ec a nr e s e a r c hf o r c e t r a n s f e r i n g m e c h a n i s mo nt h ei n t e r f a c eo fr e i n f o r e e dc o n c r e t e i nt h em o d e lo fi s e m ，b l o c ks h a p ei sa r b i t a r y , i n c o m p a t i b i l i t yd i s p l a c e m e n ta n dc r a c ki s e a s i l yd e s c r i b e d b o n d - s l i pi sa l s oc o n s i d e r e d i nt h ep a p e rt h ea n a l y s i sm o d e l i sc o m p o s e d o ft w od i f f e r e n tk i n d so fm a t e r i a l c o n c r e t ea n dr e i n f o r c i n gs t e e lb a re a c hh a si t so w n e l e m e n t s t h e r ei sb o n d s t r e s so nt h ei n t e r f a c eb e t w e e nc o n c r e t ee l e m e n t sa n dr e i n f o r c i n g b a re l e m e n t s b a s e do ns u c hm o d eb o n d s l i pt e s ta n dc r a c kt e s tw a ss i m u l a t e d s i m p l e s u p p o r t i n gb e a ma n df r a m es t r u c t u r e i s a n a l y s i s e dw i t hi s e m ，a n dt h ea n a l y s i sr e s u l t i s c o m p a r e dw i t ht h a to ff e m a n de x p e r i m e n t m e r i to fi s e ma n df e a s i b i l i t yo fr e i n f o r c e d c o n c r e t em o d e lo f l s e mi sv a l i d a t e d t h e p u r p o s eo f t h ep a p e ri st or e s e a r c ht h ef o r c et r a n s f e r i n gm e c h a n i s mo fi n t e r f a c ea n d t od e v e l o p ea p p l i c a t i o no fi s e mi nr e i n f o r c e dc o n c t r t es t r u c t u r e s k e y w o r d s ：r e i n f o r c e dc o n c r e t e ，i n t e r f a c e 、b o n d 、s l i p ，c r a c k 、i s e m 河海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 选题的背景和意义 1 1 1 课题的来源 近年来我国的基础设施建设快速发展，水利、交通、房屋建筑等行业对材料、结 构的要求也普遍提高，这就需要设计人员对常用材料、结构在外来因素作用下的响应 有深入了解，为结构合理设计提供依据，以使所设计的工程结构能够更好地满足安全、 经济的需要。钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的结构形式之一，对于这类结构的 性能、在荷载和其它因素作用下的反应特性，以及合理的设计方法和构造措旖，历来 是研究人员和工程师们深入研究的课题【l j 。到目前为止，研究的主要方法仍是模型或 实物试验。通过试验，取得大量的试验数据，然后加以整理归纳，总结出实用的钢筋 混凝土构件的设计原理、方法和构造措施，再经过工程实践的检验，将设计方法和构 造措施不断完善。然而对于一些较为复杂的结构，难以进行试验研究，并且有些试验 研究成本高、周期长【l 哂】，因此需要借助其它的方法来克服试验所存在的困难。除了试 验之外，目前主要用数值模拟的方法来对一些大型结构进行分析研究，这样可以降低 试验成本，缩短建设周期，辅助钢筋混凝土构件的试验，指导工程实践。 1 1 2 钢筋混凝土结构数值模拟的优点 钢筋混凝士结构数值模拟主要有以下优点p ”】： ( 1 ) 在计算模型中分别反映钢筋和混凝土材料的非线性特性： ( 2 ) 可以考虑或模拟钢筋与混凝土之间的粘结； ( 3 ) 可以在一定程度上模拟结点的构造和边界条件； ( 4 ) 可以提供大量的结构反应信息，例如应力、应变的全过程，结构开裂以后的 各种状态。借助于先进的计算机图形显示技术，还可以直观地看到结构受到荷载后 从弹性变形到开裂、破坏的全过程，为进行合理的设计提供形象的依据； ( 5 ) 可以部分替代试验，进行大量的参数分析，为制定规范和标准提供依据。 基于这些优点，数值方法在钢筋混凝土结构的研究和设计中有着广泛的应用前 景。首先，作为一种强有力的研究工具，数值方法可以用于计算分析在试验中难以搞 清楚的各种问题，例如不同材料界面的特性、不同结构与介质之间的耦合特性、结构 中的局部应力问题以及复杂体形结构的内力与变形性能等问题。其次作为一种非线性 设计方法的工具，它可以用于重要结构的设计工作，例如核反应堆的安全壳、海洋平 第一章绪论 台结构、大型隧洞结构以及复杂体型高层建筑结构等1 2 】。还可用于模拟旌工过程的计 算分析，例如混凝土坝体由于施工工序多、工期长，混凝土的徐变在施工过程和交付 使用后一直存在，因此用数值模拟的方法就可以模拟全过程的的受力性能、应力以及 应变分布，徐变后的应力重分布，为设计和施工提供参考信息。又例如对地下结构的 开挖和支护过程，也需要用数值模拟的方法进行全过程的计算分析。 现阶段应用较为广泛的数值方法是有限单元法，因此对钢筋混凝土结构数值模拟 的方法也主要是有限元单元法。由于钢筋混凝土结构是由两种性质不同的材料钢筋 和混凝土组合而成，该结构的性能很大程度上依赖于两种材料的性能及其相互问的粘 结程度。一旦开裂，结构将是带裂缝工作的，开裂后材料本身的性能将发生显著的变 化，对此类问题的数值模拟应与一般的连续介质力学问题有所不同，但现有的钢筋混 凝土有限元分析采用的是位移协调的连续介质模型，仍需要进一步改进。 1 2 钢筋混凝土结构数值模型研究现状及评述 1 2 1 钢筋混凝士结构有限元的研究现状 1 9 6 7 年美国学者d ，n g o 和a c 。s c o r d e l i s 最早把有限元分析方法用于钢筋混凝土简 支梁的抗剪分析 m 5 1 。在他们的研究工作中，将钢筋和混凝土划分为三角形单元，按 平面应力问题线弹性理论分析混凝土和钢筋的应力；针对钢筋混凝土结构的特点，在 钢筋和混凝土之间附加了一种沿钢筋径向和切向都有定刚度的粘结弹簧，从而可以 分析粘结应力的变化情况：为了反映混凝土开裂特性，提出了离散裂缝( d i s c r e t e c r a c k s ) 的模式，即在梁中预先设置裂缝，裂缝两边用不同的节点，裂缝间也附加了 特殊的连接弹簧，以模拟混凝土裂缝间的骨料咬合力和钢筋的销栓作用。从此展开了 钢筋混凝土有限元的研究，在以后的3 0 多年中，钢筋混凝土结构有限元分析大体上经 历了三个发展阶段： 第一阶段( 1 9 6 7 - - 1 9 7 7 ) 在n g o 和s c o r d e l i s 工作的基础上，还提出了分布裂缝 ( s m e a r e dc r a c k ) 模式 1 6 - 一1 9 】，将裂缝分布在混凝土单元中，有些研究还用“拉伸强化 ( t e n s i o ns t i f f e n i n g ) ”概念以考虑裂缝之间混凝土对受拉的贡献f 2 0 】。由于分布裂缝模 式计算相对简单，这一模式已被应用于平面应力、平面应变、板弯曲、壳体、轴对称 和三维实体问题之中。对于板弯曲和壳体问题口1 - 2 6 】，使用了分层单元，并假定每一个 混凝土单元处于二向受力状态，裂缝沿板厚逐层地发展f 2 w 9 】。这些单元已被用于核反 应堆安全壳、存储容器和海洋石油平台等大型混凝土结构的非线性分析中。这一阶段 的研究和应用都取得了很大的进展，但总的来说，不论是理论研究还是工程应用，都 比较粗糙，处于探索阶段。 第二阶段( 1 9 7 7 - - 1 9 8 5 ) 研究工作主要分为两个方面。一方面是继续在单元模式 2 的选取、混凝土的本构关系和破坏理论，裂缝的模拟和拉伸的强化，骨科咬合和销栓 作用以及粘结方面进行深入的研究t 3 0 。另一方面是系统性的总结和交流工作，1 9 8 1 年 国际桥梁与结构工程师协会在荷兰召开了“高等混凝土力学”的国际会议；美国土木 工程师协会组织了一个2 0 人的委员会，花了五年时间，总结和分析了钢筋混凝土结构 有限元分析领域的大量研究资料和信息，在1 9 8 2 年5 月发表了长达5 4 5 页的综述报告， 内容涉及本构关系与破坏理论、钢筋模拟及粘结的表示、混凝土开裂、剪力传递、时 间效应、动力分析、数值算例和应用，还在附录中发表了钢筋混凝土结构非线性分析 程序【3 h 6 】。这一时期，欧洲和亚洲一些学者也在钢筋混凝土结构的有限元分析方面进 行了大量的研究工作，1 9 8 4 年，在前南斯拉夫召开了“混凝土结构的计算机辅助分 析与设计”国际会议。在这一时期日本学者的研究工作在起步较晚的情况下很快达到 了应用阶段，并且在与试验的结合方面取得了很大的进展。他们在梁、柱、梁柱节点、 剪力墙、核反应堆结构等方面都进行了深入细致的研究，并部分地应用于工程设计或 为规范提供了依据。在这一时期，我国学者在资料较少的情况下也开始了研究工作， 发表了一些相关的论文m 。 第三阶段( 1 9 8 5 年一) 除在混凝土的本构关系的表述和试验研究方面继续进行深 入的研究之外【”邶l ，钢筋混凝土结构非线性有限元分析进一步向实用方向发展，努力 把现有的分析方法与工程设计结合起来是这一阶段钢筋混凝土有限元发展的趋势。研 究领域也进一步扩展到动力、冲击荷载下的非线性分析，分析模型和材料参数成为预 测钢筋混凝土结构在动力与冲击荷载下性能的研究热点：高强混凝土和受约束混凝土 结构的非线性有限元分析也受到了重视；材料非线性、几何非线性以及时间因素的综 合考虑也溶入了钢筋混凝土结构的非线性有限元分析。在混凝土结构中，与时间因素 有关的效应包括荷载、预应力、环境条件以及随着时间推移而变化的徐变、收缩、老 化、热效应和预应力筋的松弛等现象也纳入到钢筋混凝土有限元分析中来。1 9 8 7 年7 月在联邦德国召开了“钢筋混凝土空间结构非线性性能”的国际会议；这一时期，我 国在钢筋混凝土结构非线性有限元分析的大部分领域开展了研究工作，取得了很大进 展，我国虽然没有专门召开过钢筋混凝土非线性有限元分析方面的会议，但这方面的 研究工作在计算力学、结构工程、地震工程等全国性的学术会议中都有反映，反映了 我国在这一领域的研究成果。近年来，我国在地震作用下钢筋混凝土结构的非线性有 限元分析方面所做的工作在国际上产生了一定的影响，已有一些文献。随着钢筋混凝 土有限元的发展，我国也有专门的钢筋混凝土有限元的著作【l “】，目前已出版的有关著 作主要有：同济大学朱伯龙、董振祥编著的钢筋混凝土非线性分析；东南大学宋启 根等编著的钢筋混凝土力学；河海大学周氐等编著的现代钢筋混凝土基本理论： 清华大学沈聚敏等编著的钢筋混凝土有限元与板壳极限分析：大连理工大学宋玉普、 赵国藩编著的钢筋混凝土结构分析中的有限单元法；河海大学周氐、许庆尧等翻译 的钢筋混凝土有限元分析，河海大学康清梁编著的钢筋混凝土有限元分析，中 第一章绪论 国水利水电科学研究院董哲仁编著的钢筋混凝土非线性有限元法原理与应用等专 著。 1 2 2 现有研究成果的评述及界面问题的提出 钢筋与混凝土能够共同承受荷载，主要依赖于两者交界面的粘结作用，在较小的 荷载下，混凝土还会产生裂缝。因此在钢筋混凝土结构有限元分析对结构进行离散化 时，需要考虑钢筋与混凝土交界面和混凝土裂缝面的问题。根据是否考虑钢筋与混凝 土间的粘结作用，钢筋混凝土有限元模型主要有分离式模型、组合式模型和整体式模 型，其中分离式模型考虑粘结、滑移，其余两种都假定钢筋与混凝土之间是理想的粘 结。文献 1 9 的钢筋混凝土有限元分析均用到了这些模型，并在具体应用中根据实际 问题的需要作了修正，部分研究也考虑了粘结滑移。同时针对混凝土中出现的裂缝的 情况，提出了分离式裂缝模型、弥散裂缝模型、断裂力学裂缝模型等，各种裂缝模型 的适用范围都比较单一，应用时需要作出修正；文献 2 0 】在根据裂缝模型的特点作出 修正，结合试验对一些简单的构件进行了分析，取得了较为满意的成果，但是试验范 围仅限于尺寸较小、受力简单的构件，具体的实用方法仍待进一步研究。 有限单元法作为试验的一种辅助工具，对钢筋混凝土结构的分析中已被工程单位 和设计部门普遍采用，一些大型工程中已用到有限元分析成果【2 3 j ，许多国家和地区都 已研制出了相应于不同结构的计算程序【2 “。尽管如此，还有许多难以解决的问题。 首先，混凝土的性质非常复杂，应力应变关系是非线性的，在复杂应力条件下的本构 关系仍不统一，普遍适用的强度理论也未建立。文献 2 7 2 8 1 中，结合具体的试验对简 单的钢筋混凝土构件作了有限元分析比较了分析成果，提出了相应的修正措施。其次， 钢筋和混凝土是两种性质迥异的材料，两者之间通过粘结作用，共同承受荷载，对于 粘结机理的理论分析和试验研究也有不少成果，并给出了各种计算粘结应力的计算公 式【3 7 1 ，由于影响粘结因素较多和试验条件不同，计算公式的形式也比较复杂，仍没有 较为统一的计算模式，研究成果很难推广，而且适合于有限元分析的粘结滑移本构关 系也有待于进一步研究。对于钢筋和混凝土这两种介质交界面相互作用的数值模拟， 以及混凝土开裂后裂缝的处理方法，有限元分析中用引入反映界面间作用的粘结单元 来模拟，具体实施的过程中，参数的确定也有许多不便之处。研究表明【2 j ，钢筋混凝 土结构中的应力情况、裂缝的形成及稳定等重要特征，都受到钢筋与混凝土界面性质 的影响。所以要建立一个完整、实用的的数值模型，不仅要提供一个合适的钢筋与混 凝土本构关系的数学模型，而且还要提供一个描述钢筋与混凝土交界面的数学模型。 特别是在研究结构的局部应力和开裂情况，如混凝土大坝孔口、梁柱节点、已存在主 导裂缝的构件等，对钢筋与混凝土的交界面作专门的数值模拟是不可回避的，文献 4 6 】 对钢筋混凝土简支梁进行了有限元分析，用有、无粘结单元来模拟交界面的模型，所 得结果表明，联结单元对混凝土的开裂荷载影响不大，但对极限荷载影响较大，因此 4 河海大学硕士学位论文 在对结构加载到破坏的全过程进行分析时，交界面的受力也需要考虑，这就涉及到两 种介质材料的不连续变形问题。有限单元法主要是解决的连续力学的问题，同时也要 求位移协调，在钢筋混凝土结构中，混凝土裂缝之间和钢筋与混凝土交界面上通常存 在不连续位移，使得有限单元法的应用比一般的连续介质力学问题要复杂。因此，从 不连续介质力学和不协调位移的角度来看，钢筋混凝土结构的有限元分析还有待于进 一步发展，仍需寻找一种能够反映不连续变形的数值方法来对钢筋混凝土结构的界面 问题进行数值模拟。 1 3 不连续变形数值方法的简介 数值计算方法是计算力学的核心内容，也是解决工程实际力学问题的有效手段， 已被学术界和工程界广泛认可作为一种力学状态的分析工具。近几十年来数值方法发 展迅速，尤其对于非连续变形力学问题，相继提出了很多针对性很强的数值方法： l 、离散单元法( d i s c r e t e e l e m e n t m e t h o d ，d e m ) p ”“j 离散单元法是1 9 7 1 年由c u n d a l l 首先提出来，特别适用于节理岩体的应力分析， 最初用来分析岩石边坡的渐进破坏。该方法以结构面切割而成的离散体为基本单元， 其几何形状取决于岩土结构中不连续面的空间位置及其产状，应用牛顿运动定律描述 各块体的运动过程，块体可以发生有限平移与转动，体现了变形和应力的不连续性。 离散单元法计算原理简单，但计算机实施却非常复杂，涉及问题较多，主要有四 个问题：动态松弛法、力和位移的计算循环、分格检索以及数据结构。离散单元法中 块体之间阻尼系数、运算的时间步长等参数的确定带有极大的任意性和盲目性，至今 没有确定这些参数时可遵循的原则。 2 、刚体弹簧模型和刚性有限元法( r i g i db o d y - - s p r i n gm o d e l ，r b s m ，a n dr i g i d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，r f e m ) 5 8 - 6 2 】 刚体一弹簧元模型最早由日本东京大学k a w a i 教授在1 9 7 6 年提出，该方法的基 本思想在于以离散块体单元的形心位移为基本未知量，用分片的剐体位移模式逼近真 实的结构位移场，以单元之间的连接弹簧来反映结构内部的弹性变形，并用弹簧应力 表征结构内部的应力，根据计算力学原理建立按位移求解的支配方程。由于该方法位 移模式为刚体位移模式，故也有刚体有限元法之称。近年来，该模型的理论研究和工 程应用有了迸一步的发展，t o i 等将损伤力学的思想引入刚体一弹簧元，分析了多结晶 体及其它脆性材料的微观、细观断裂，h i k o s a k a 采用刚体一弹簧模型研究了混凝土材 料的细观断裂，但该模型中的弹性系数难以确定。 3 、不连续变形分析法( d i s c o n t i n u o u sd e f o r m a t i o n a n a l y s i s ，d d a ) 【6 叫 这种方法是石根华博士首创，其目的在于模拟复杂加载卸载条件下离散块体系统 的不连续大变形力学行为，它部分地吸收了离散单元法关于接触形式和形态的描述方 5 第一章绪论 法的精华并加以发展。在该模型中，各块体之间满足平衡方程，但放松了变形的协 调性要求，块体接触面上采用合适的摩擦方式来消耗能量，可以发生脱离、开裂和滑 移，但不容许相互嵌入，且不能承受拉力。并基于他所提出的岩体关键块理论和数学 拓扑学从几何上建立了块体运动理论，通过块体间的接触条件和运动学的约束条件， 将各个块体有机的联系起来，形成一个块体系统，用最小势能原理建立了单个块体的 单元刚度矩阵及块体系统的总刚度矩阵，形式上与有限元法相似。 4 、流形元法( m a n i f o l dm e t h o d ，m m ) 【o ” 流形方法是利用现代数值“流形”的有限覆盖技术建立起来的种新的数值方法。 此种方法是石根华在2 0 世纪9 0 年代首创。该方法引入数学流形分析中有限覆盖技术， 试图统一表达连续和不连续变形问题，从而建立一种把有限元法和d d a 协调在一个 统一框架内的数值方法。 5 、无单元法( e l e m e n tf r e em e t h o d ，e f m ) i b ”叫 无单元法是2 0 世纪9 0 年代由n a y r o l e sb 等人发展起来的一种新的数值方法，成 为求解偏微分方程的一种新方法而受到广泛关注。这一方法的主要思想是近似的场变 量采用形函数的线性组合，在建立形函数时不借助于区域的网格，代之为在区域内设 置结点并以其一定的权函数使得子域内结点之间的联系，对某一结点的形函数的建立 考虑这一结点权函数的影响区域，而没有必要象有限元法中通过单元建立结点之间的 联系。 由于无单元法仅要求计算域的几何边界及一些计算点，而不需要也没有单元信息， 从而摆脱了有限元法中的单元限制，可大大简化有限元法中的前处理工作。尤其便于 开裂问题的分析，只需要加密离散点，就可以跟踪裂纹扩展，为岩石( 土) 力学数值 模拟提供了新途径。 6 、界面应力元模型( i n t e r f a c es t r e s se l e m e n tm o d e l ，i s e m ) 6 9 1 界面应力元模型( i n t e r f a c es t r e s se l e m e n tm o d e l ，i s e m ) 和相应的分析方法( 称为 界面元法) 是卓家寿教授等( 1 9 9 3 年) 在吸收了日本学者k a w a i 教授创立的刚体弹簧 元( r b s m ) 的基本思想基础上提出的求解具有非均匀不连续界面变形问题的一种数 值模型和方法。 结构分析的界面元法采用的模型是基于单元累积变形于界面层的假定而建立的有 限多块体元一界面元组合的离散体。鉴于单元的变形已累积于界面层，块体元将只有 刚体位移，其最简便描述的算式是用块体元形心点( 或内部任意点) 的广义位移为参 数的分片刚体位移模式( 不完全的一次式) ，各个块体元形心点的位移分布将既可控制 整个结构的位移场，也可以描述各个界面上的相对位移，即不连续位移( 因为分片的 刚体位移模式在界面上是非协调的) 。界面上任意一点相对位移可视为是垂直该界面、 跨越相邻单元由两类介质组成的一条具有特征长度、截面尺寸很小的微分条累积变形 的结果，由此，便可由几何微分方程求出界面上任意一点的应变。继而借助有关材料 6 河海大学项士学位论文 介质的本构关系和相邻单元在界面处微元保持平衡的关系，最终获得界面上任意一点 的应力，由离散模型中众多界面上分布的应力构成了整个结构应力场的表征值。该方 法已成功地用于分析线性与非线性、静力与动力、板壳、场问题和稳定性分析等领域 的不连续介质问题，并且在一些实际工程的应用取得了较好的效果【m 7 2 】。对于复合材 料的细观分析，现有的数值方法难以发生在反映材料层间的不连续变形，根据界面元 法提出工程背景和现有的应用情况来看，也可以尝试把界面元法用到复合材料受力机 理的数值模拟中来。 1 4 本文的主要工作 鉴于钢筋混凝土结构现有数值模型在界面问题的模拟存在的不足之处和以上数值 方法的应用情况，本文在前人工作的基础上，把界面应力元法引入钢筋混凝土结构界 面问题的分析中来，主要做了以下几方面的工作： l 、在大量阅读相关文献的基础上，进一步阐述了界面元法的建模和基本理论，概 述了界面元法的实施方法及优点，并且同有限单元法作了简单比较。 2 、总结了钢筋混凝土有限元模型的应用情况，分析了界面问题的特点和现有模 型在模拟界面问题中存在的不足之处。根据界面元法的特点和钢筋混凝土结构中界面 问题的特点，应用界面元法建立起了钢筋混凝土结构的界面元模型。该模型可以直接 模拟钢筋与混凝土交界面之上的粘结滑移和混凝土裂缝面之间钢筋的销栓作用，是对 现有分析模型的改进。 3 、根据界面元法的基本理论，编制了平面线弹性和非线性计算程序，对若干有关 界面问题的试验进行了模拟，成果表明界面元法可以替代部分试验。在此基础上，用 界面元法对钢筋混凝土简支粱和框架进行了分析，并且同有限单元法分析的结果和试 验结果作了比较，探讨了界面问题对结构性态的影响 4 、根据本文的计算、分析成果，提出了对现有模型改进的建议，并对全文作了总 结，指出需要进一步开展的工作。 河海大学硕士学位论文 第二章界面元法的基本理论 2 1 界面元法的力学基础 在固体力学中，除了用微分形式的平衡方程( 含域内和给定面力边界) 、几何方程 ( 含域内和给定位移边界) 和本构方程( 含域内和边界) 组成的偏微分方程组作为求 解问题的支配方程外，还可以用虚功原理建立求解固体力学问题的支配方程。本节将 以虚功原理为基础推导界面元离散模型的支配方程。 首先论述平衡问题的虚功原理。设所考察的物体在给定的体力和面力作用下处于 平衡状态，由平衡律可得， m + = o 引 ( 2 1 ) i o r “月，一p 。= 0 r s 。) 若对上述处于平衡状态的考察体施以一组任意的、无限小的、约束所允许的虚位移出， 及其产生的虚应变昆。则它们应满足 & = 寻f 砸。+ 出。) r 口j ( 2 2 ) 1 6 u 。= 0r s 。j 则下列恒等式成立： 廷l lo r i j j | + 。) 两：d 9 2 ；话 o i j n j p 。) 抽。d s 幢3 7 ? 5 0 根据分步积分公式并注意式( 2 2 ) 的关系，可导出上式左边第一项的积分为 澄o q j j 6 u i d 9 21 lo 矿j a u i d s f f ? i j i j u i 产 qs + s “ 2l l o 矿i 两s n l o i j & i j d sq 将式( 2 4 ) 代入式( 2 3 ) ，便得到表示平衡状态的内力虚功6 【，与外力虚功6 矿相等的 关系式，亦即虚功原理的表达式， 髓。q & j d l 25 f f f f i o u i d s 2 + l i p i 抽d s 2 5 口。 qs 第二章界面元法的基本理论 或6 u = 奠晦托2 飚ou & u a q ，6 v 2 m 。6 u 。d q + 话i 甑i d s t 2 m w 1 ， j 4 鉴于推导过程不涉及材料的本构关系式，故虚功原理对于弹性体或塑性体均是适 用的。 对于界面应力元模型而言，它是由有限多的块体元和界面元组合而成，由于块体 元的变形累积于界面，块体元本身只保留了没有变形的刚体位移项，故块体元本身既 没有应变，也不存在内力虚功，而其周围界面元的面力在界面相对虚位移过程中做了 虚功，对考察的块体元而苦，它是块体的外力虚功。因此由式( 2 5 ) 可给出界面元离 散模型的虚功表达式， l l 髓 ：乩。d o + 1 5 ；i 执。d s + 咿融。a s l = 0 8 1 2 。 s ； 或一俨6 u 。d s ；，e f r , 血f d o + 胪i6 u i d s ( 2 7 ) 。鄙 e 口。s 从整个离散模型来看，所有界面元面力在界面相对虚位移过程所做虚功总和的负 值也可以看作为该系统的内力虚功。 倘若构造块体元的刚体位移模式是以其形心点的广义位移为参数，而界面的应力 模式线性地依赖于乔面相对位移( 详见本章2 2 节) ，则块体和界面的位移均可以从块 体的刚体位移模式来确定，式( 2 7 ) 就可以变成以块体元形心点广义位移为基本未知 量的方程组，即类似有限元的支配方程形式 d = r( 2 8 ) 其中d 是由各块体元形心点广义位移组成的列向量，kd 是抵抗变形的内力( 即界面 面力的贡献) ，而r 是作用于块体元形心的外力。在弹性问题中，由于k 只与模型内 在的几何和材料因素有关，事先可以求得，而r 跟外荷载有关，也容易求得，因此由 式( 2 8 ) 便可求得d ，进而由本章2 2 节构造的位移模式和应力模式分别求出任一点 的位移和界面上任一点的应力，最终给出了表征结构的位移场和应力场。 综上所述，式( 2 7 ) 将是界面元离散模型的静力平衡的依据，式( 2 8 ) 将是界面 元支配方程的表达形式；欲从式( 2 7 ) 建立式( 2 8 ) 界面元法的具体列式还需要确定 分片块位移模式和界面应力模式。 河海大学硕上学位论文 2 2 界面元法的位移模式与应力模式 就界面元离散模型而言，它是由有限多的块体单元和界面元组合而成，任何单元 的位移般总是包含着两部分，一部分是由于单元本身形变引起的，另一部分是与本 单元变形无关的刚体位移。对于由众多块体元一界面元组合而成的界面元离散模型， 作为离散思想的一种表达形式，可假设单元的变形累积于界面层，故块体元的位移则是 刚体位移了。块体元的刚体位移是以其形心点的广义位移为参数，而界面的应力模式 则是依赖于界面相对位移和界面两侧材料的性能。 2 2 1 块体元的位移模式 刚体位移包含平动和转动两部分，对于空间块体元，平动位移有3 个分量，转动 位移也有3 个分量，只要知道块体元中任何一点( 通常选形心点) 的6 个刚体位移分量， 其余各点的位移也随之完全确定。类似有限元分析借用形函数形式表达的方法来建立 刚体位移模式，则有 u ；n u( 2 9 ) 其中 hz lv w ( 任一点位移) “。；k 。匕k0 ，0 ，色j ( 单元形心位移) n 一 1000 z z ；y 。一y 01 0 z ：一z 0 x x s 001 y y ；x ；一x 0 ( 形函数) 式( 2 9 ) 中选用笛卡儿直角坐标右手系，任意一点的坐标变量为x 、y 、：，沿各坐 标轴正向的位移为正，任意一点的位移分量为“、v 、w ：块体元形心坐标为工。、y 。、 z 。，该点的平移和转动位移分量为m ；、v 。、w 。和口；、0 ，、日：，平移分量以沿坐标轴 正向为正，转动分量以绕坐标轴作逆时针转动为正：形函数n 为一次不完整多项式， 故块体元的位移模式为线性式。 对于二维问题，块体元位移模式如式( 2 9 ) 所示，但其中 耻= kp rh ，置k ；p 。日r 叫：0 j 】 1 0 第二章界面元法的基本理论 有了块体形心点的广义位移u ， 根据式( 2 9 ) 求得块体任意一点的位 移，进而获得相邻单元交界的界面上 任意点对的相对位移：以二维问题为 例，图2 1 表示某两个相邻单元的界 面的局部坐标系n s 和整体坐标系 t y ，若界面上任意点a 的位移 图2 - 1 相邻块体元 用局部坐标描述的d 表示，则有 6 ，：d 。6 ，j r( 2 1 0 ) 6 。和6 ，分别表示沿界面法向和切向的位移分量，且以沿局部坐标的负向为正值， 该局部坐标轴：以外法线方向为正，并以从：逆时针方向转到与其正交的方向；为正向， 则界面上，4 点的相对位移分量也可用局部坐标系表示为法向张开量( d 。”1 + d , i ! 1 ) 和切 向滑移量( d 。+ d ：i ) 表示，即 ( d f “+ d f 2 ) ；：。+ d ) ( d ! “+ d ! j 矗 q 1 1 ) 通过局部坐标和整体坐标转换关系，注意到6 ，沿局部坐标的负向为正，可导出 ( d ? + d f 。) = 一( 1 。位1 + e ：u i ：l = 一 矿u “+ 0n 。l l8 ) ；一r 矿h 。一n 。j ( 2 i z ) 其中转换矩阵 l = 。c 。0 5 s f ( s ；。c 。o s s r ( si y ； l ，xj ，川 i 2 , 则为块体元i 的局部坐标：“、；和整体坐标；、歹夹角方向余弦组成的转换 矩阵，f i = 1 ，2 ，分别表示相连的两块体单元) ；注意到相连两块体在交界面上的局部 坐标方向是相逆的，故有r 一”。 式( 2 1 2 ) q 丁的。、“。”和u “则是属于块体元f 的形函数、形心点广义位移和任意 o 一一一塑塑奎兰堡主兰竺丝苎 一点的位移矩阵。 不难将上述求解界面相对位移的二维公式推广到三维问题，此时相对位移应包含 法向分量和界面上两个正交方向的切向分量 叩巾- 抄_ d s _ i 吣d ；，；啦 2 i 嘲 其计算公式( 2 1 2 ) 仍可应用，但其中、n 、h ，均为三维形式。 2 2 2 界面的应力模式 根据界面元离散模型的思想，块体元的变形是集中反映在界面层的变形上，界面 的变形( 即相对位移) 必然引起抵抗变形的内 力( 应力) ，因此界面应力的获得必然首先要 求出界面的应变，然后根据界面本构关系 ( 计入相邻单元各自的材料参数) 导出界面应 力公式；为简明起见，以平面问题为例说明 其推导过程。 m 点是相邻单元q 和e ：交界面a b 上任 意的一点，该点的相对位移可视为微分条 a 一一一一一i 一乏 。 ：h ，巳心o q。 ： 心 ! 粤知j 。一 币i 累积变形的结果。再虿垂直于界面，其 o 。一 长度为两个相邻单元形心点到界面的垂直 图2 - 2 界面应力元模型 距离之和，即伪，+ ：) ，如图2 - 2 所示。微 分条i 巧是由微段i 面( 长度 。) 和硒( 长度危：) 相连组成。m 点法向相对位移分量为 ( 6 。1 1 + 6 。2 ) ，可视为是在相邻单元的位移作用下引起微分条丽产生轴向变形的总值 ( 即伸长量) ；m 点切向相对位移分量为( 6 ：1 + 6 ，2 ) ，可视为是在相邻单元的位移作用 下引起微分条丽产生剪切变形的累积值。 假设微分条丽的变形是均匀分布的，则各微段法向正应变与剪应变为 ( i = 1 ，2 ) f 2 1 4 ) 考虑到切向正应变。对法向正应力盯。的“贡献”是小量，与s 。对口。的“贡献” 版版 q j 6 6 l j l j e y ，j，、-_l 第二章界面元法的基本理论 相比，通常可以略去，则按照弹性平面应力问题各微段的虎克定律可写为 ( 2 1 5 ) 再由两个微段在截面m 处界面应力的平衡条件可得 o - ( 1 ) = c r n ( 2 ( 2 1 6 ) 联合应用式( 2 1 4 ) ( 2 ，1 5 ) ( 2 1 6 ) 所表示的几何、物理和平衡条件，则可得到界面的应 力公式 则有 盯一2 l i 五e i 面a e 2 ( 6 一( 1 ) + 6 n ( 2 ) (2171e r s 。j 三了i i r ：_ i j _ = i e _ j 2 云j 元i 丽。6 s m + d s 2 ) 。 若用矩阵表示上式，令 r ：p 。t 】rd ，m 。 6 ， ( b 1 ，2 其中 叫耆o i d 。= 拖d ，= 互王i 五：i r ；j = ： ；：；赢 t ：d ( d t + d t j ；一d r 0 “n + 0 ”“j( 2 1 8 ) 式( 2 1 8 ) 中，z 是界面应力列阵：d 是界面弹性矩阵；一是用局部坐标系表示的 位移列阵，其分量以沿局部坐标负向为正；是用整体坐标系表示的位移列阵，其分 量以沿整体坐标正向为正；工是局部坐标系与整体坐标系之间的转换矩阵，具有( i ) 为 右上角指标的字母是表示属于相连单元第f 块的量。当z 值末超过强度极限时，该界 面相对位移只是表示界面层累积变形值，界面并不脱开或滑移；只有当z 值超过强度 极限时，界面相对位移则反映界面的不连续位移，即界面的张开度和滑移量。 对于弹性平面应变问题，只要令 差一 以 ， 河海大学硕上学位论文 e ：上 1 一“ “ 1 一“ 代入上式即可。 对于空间三维问题，也可如法导出其相应的界面应力公式。 2 3 界面元法的支配方程 由界面元离散模型的虚功原理改用矩阵表示，则有 一盯出j 7r , d s ： y y f 6 u 7f d o + 巧缸7 i , d 5 l j # 口， r 2 x 9 ) 式中，界面位移h ，和界面应力e 是用局部坐标系表示的，“，和正的分量均是沿坐标 ；、；正向为正的，故有 “，：l 。“， r = 七。6 ，】r = 一d ， ( 2 2 0 ) 正：b 。t r ；d r 4 + 4 “j ；一d f 0 “，+ 0 ”“，) ；一d r 0 1 n h ；+ 0 2 n “。j ( 2 2 1 ) ：一d 1 f “。一n 门”g ， 将正和，代入式( 2 1 9 ) 后，虚功表达式为 并令 6 h 。7 盯7 1 ，d 1 r ( 1 ) u g ( 1 ) - - n ( 2 j u g ， t 块体元单元 图2 4 应力与表面力 4 、应力状态的分析 有限元分析中，求得一点的应力分量后【7 4 】，在对单元的状态进行判断时，需要计 算应力不变量、主应力等应力张量；而界面元分析时，得到的是单元交界面上点的正 应力、剪应力，判别单元的状态时，只从正应力和剪应力着手，不涉及其它的应力张 量。 1 9 h 叶， 吼 彤 。”。 j ， 一 河海大学硕十学位论文 2 5 3 块体元应力计算 界囟兀离散模型直接提供了各个界面的应力，但不能直接提供各块体元内的应力。 倘若要求计算某块体元的应力，可将该块体元剖分为有限元网格，计算它在周界已知 面力和块体自重以及交界面计算得到的面力作用下产生各网格的应力，也就是在界面 元求出各界面应力后，再用有限元计算各块体元内部的应力。 另一种方法是用解析方法求块体元体积平均应力 5 古j 9 旷“ ( 2 3 2 利用盯+ = 0 关系式可得 ( 7 d = 6 m ( 7 目= x h , o 目一( z 。( 7 目) + ，工。 ( 2 3 3 ) 对块体体积积分后有 酶d v = 浒。瓤虮刚| x 艘= 譬忑? + x ：可 旺3 4 ) ya r v ， 最后得到 i = y 1 _ 叫f l r o 。d v = 韶面_ c - - w ，。 s s ， 其中，s 为块体元各个周界面，x 。为某界面形心在i 方向的坐标值，q ，为该界面 面力合力在z ，方向的投影；工，。为块体元形心在f 方向的坐标，巧为块体元自重在x ， 方向的投影。 2 6 界面元法程序的编制和算例 2 6 1 界面元法的计算步骤 界面元法的计算步骤如下： 1 、建立离散模型并生成计算网格，进行块体单元和节点的编号、界面元编号、材 料编号等，组建单元信息、坐标信息、材料信息、约束信息和荷载工况信息等数组。 2 、根据块体元位移模式和材料本构关系分别建立形函数矩阵和d 。 3 、隶解荷载列阵r ，按块体元循环形成单元等效荷载列阵r ，再组合成整体等 效荷载列阵。 第二章界面元法的基本理论 4 、求解界面元刚度矩阵k ，按界面元循环形成单个界面元刚度矩阵膏，在组合 成整体刚度矩阵。 5 、求各块体元形心广义位移列阵u ，根据支配方程求出整体位移，而后按单元生 成各块体元的形心广义位移，进而求解各界面的相对位移。 6 、求出各界面的界面应力r ，按界面元循环逐个由界面应力公式求出个界面元界 面应力。 7 、由块体各个界面值求得各块体元的平均应力应变。 根据以上计算步骤，其程序框图如图2 5 所示： 开始 上 输入数据信息 上 形成单元信息 1 r 形成界面信息 0 l 计算界面劲度矩阵，组合成整体劲度矩阵 上 形成荷载列阵 上 解方程，求出单元形心点位移 i 计算界面的位移、应力 0 计算单元内点的位移、应变、应力 0 输出数据，计算结束 图2 - 5 计算程序流程图 河海大学硕士学位论文 3 6 2 算例 1 、如图2 6 所示钢材悬臂梁，高2 m ，长2 0 m ，自由端承受一集中力p = 2 n ，e = 2 1 0 1 1 p a ，口= o 1 6 7 ，取厚度t - 一l m ，作为平面应力问题计算点( 0 ，0 5 ) 和点( 1 0 ，0 5 ) 处的正应力