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张红锋新预条件_ 卜- 矩阵不同分裂的收敛性分析 一1 中文摘要 随着科学技术的发展，数学、物理等学科和工程技术中许多问题的最终都归结为解一 个或一些大型稀疏的线性方程组，因此研究大型稀疏线性方程组的数值解法就成为人们关 心的一个问题由于迭代法能够充分利用矩阵的稀疏性，从而节省存贮单元，所以对这种 方程组人们一般采用迭代法求解，因此迭代法对于解决大型计算问题有着很重要的作 用对于求解线性方程组，人们发现了j a c o b i 迭代法、g a u s s s e i d e l 迭代法、s o r 迭代法、 j o r 迭代法等，这就给我们解大型的线性方程组带来了很大的方便，但有些时候，这些 方法的收敛性还是太慢或者不收敛，从而不能达到人们的要求，于是能否收敛和收敛的速 度就成为人们研究的主要问题近年来对于求解线性方程组的技术有了很大的发展，特别 是预条件技术的出现使得解线性方程组的速度有了很大的提高，在预条件技术中最主要的 是怎样去寻找一个合适的预条件子 本文在文献 1 卜 5 的基础上提出了一个新的预条件子，不但证明了当线性方程 组a x = b 的系数矩阵为非奇异的m 一矩阵和h 一矩阵时，在新预条件子作用下它们的收敛 性，还得到了在新预条件下p s o r 、p j o r 等的收敛速度明显快于以往经典的s o r 、j o r 迭代法，从而证明了本文提出的新预条件子的优越性 以下为本文的结构和主要内容： 第一部分是引言，我们介绍了经典的s o r 迭代法，j o r 迭代法等的迭代矩阵，以及 预条件迭代法产生的背景 第二部分是预备知识，这部分主要为以后几部分作铺挚，主要给出了本文所能用到的 定义和定理 第三部分是已有的相关结论，这一部分主要是介绍了前人在预条件方法上所作的一些 工作，从而提出了本文的新预条件子 第四部分是本文结论的一部分，这一部分我们在假设系数矩阵为非奇异和不可约m 一 矩阵，以及日一矩阵的条件下，证明了在新预条件子的作用下它们的收敛性 第五部分也是本文的结论之一，这一部分在第四部分基础之上对p s o r 、p j o r 等迭 代法的收敛性进行了证明，并与s o r 、j o r 等方法进行了比较，最后得出了在新预条件 子作用下收敛速度明显快于经典迭代法，并且通过数值例子验证了所得的主要结论 第六部分是小结，这部分主要对本文主要思想方法作一总结，然后对预条件方法的发 展前景作了展望 扬州大学硕士学位论文 关键词：预条件子，m 一矩阵，s o r 迭代法，j o r 迭代法，收敛性 2 一 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 a b s t r a c t 3 一 w i t ht h e d e v e l o p m e n to fs c i e n c e a n dt e c h n o l o g y ，m a n yp r o b l e m sa b o u t m a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，a n de n g i n e e r i n ga r ea t t r i b u t e dt os o l v i n go n eo rs o m e l a r g e s c a l el i n e a re q u a t i o n s s ow h a tp e o p l ec a r e si s t h em e t h o do fs o l v i n g l a r g e s c a l el i n e a re q u a t i o n s s i n c ei t e r a t i v em e t h o dc a nt a k eg o o da d v a n t a g eo ft h e s p a r s eo ft h em a t r i x ，a n ds a v es t o r a g eu n i t ，i t sw i d e l ya d o p t e di ns o l v i n gb i g - s c a l e c a l c u l a t i n gp r o b l e m s a st o l i n e a r e q u a t i o n s ，p e o p l ef o u n ds e v e r a l m e t h o d s i n c l u d i n gj a c o b ii t e r a t i v em e t h o d ，g a u s s s e i d e li t e r a t i v em e t h o d ，s o ri t e r a t i v e m e t h o da n dj o ri t e r a t i v em e t h o da n ds oo n ，w h i c hp r o v i d eu sw i t hg r e a tc o n v i n c e i ns o l v i n gl i n e a rs y s t e m s ，b u ts o m e t i m e s ，t h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h e mi se i t h e r t o os l o wo ri n e x i s t e n ts ot h a tt h e yc a n n o tm e e tp e o p l e sn e e d s s ow h a tp e o p l e m a i n l yc o n c e r na b o u t i st h ei t e r a t i v em e t h o dc o n v e r g e n t so rn o t ，a n dt h e c o n v e r g e n c er a t eo fw h i c h i nr e c e n ty e a r s ，t h ew a y t os o l v el i n e a re q u a t i o n sh a s b e e ng r e a t l yi m p r o v e d ，e s p e c i a l l yt h eo c c u r r e n c eo fp r e c o n d i t i o n e dt e c h n o l o g y i nt h i sp a p e rw ep r o p o s ean e w p r e c o n d i t i o nm a t r i xo nt h eb a s i so f r e f e r e n c e 1 - 5 ，a n dt h e n ，w en o to n l yp r o v ei t ss u p e r i o r i t yi nl i n e a re q u a t i o na x = bw h e n t h ec o e f f i c i e n tm a t r i xi sn o n s i n g u l a ri r r e d u c i b l em m a t r i x ，b u ta ls og e tt h e c o n v e r g e n c er a t eo fp s o r ，p j o ri sf a s t e rt h e nt h a to ft h ec l a s s i c a l s o ra n d 燃i t e r a t i v em e t h o d t h ec o n s t r u c t i o na n dm a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： t h ef i r s tp a r ti si n t r o d u c t i o n w ei n t r o d u c ec l a s s i c a ls o ra n dj o ri t e r a t i v e m e t h o d sa n dt h eb a c k g r o u n do fp r e c o n d i t i o n e dm e t h o d s 扬州大学硕士学位论文 4 一 t h es e c o n dp a r ti sp r e l i m i n a r i e s ，a n di nt h i sp a r tw em a i n l ym a k eap a v e m e n t f o rl a t e rp a r t s ，a n dt h e ng i v es o m ei m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n dl e m m a s t h et h i r dp a r tc o n t a i n ss o m er e l a t e dr e s u l t s ，w em a i n l yi n t r o d u c es o m ew o r k h a sd o n eo np r e c o n d i t i o n e dm e t h o d ss oa st od e d u c ean e wp r e c o n d i t i o n dm a t r i x t h ef o u r t hp a r ti so n ep a r to ft h ec o n c l u s i o n s ，w h e nt h ec o e f f i c i e n tm a t r i xi s n o n s i n g u l a ri r r e d u c i b l em m a t r i xa n dh m a t r i x ，w ei l l u s t r a t et h ec o n v e r g e n c eo f t h ei t e r a t i v em e t h o du n d e rt h ea c t i o no fan e wp r e c o n d i t i o n dm a t r i x t h ef i f t hp a r ti sa l s oo n e p a r to ft h ec o n c l u s i o n si nt h i sp a p e r ，w ec o n v i n c et h e c o n v e r g e n c eo ft h ep s o ri t e r a t i v em e t h o da n dp j o ri t e r a t i v em e t h o do nt h e b a s i co ft h ef o u r t hp a r t ，a n dc o m p a r et h i sm e t h o dw i t hc l a s s i c a lm e t h o d ss u c ha s s o ra n dj o ri t e r a t i v em e t h o d ，t h e nw eg e tac o n c l u s i o nt h a tt h ec o n v e r g e n c e r a t eo ft h i sm e t h o di sf a s t e rt h a nt h a to fc l a s s i c a lo n e s f u r t h e r m o r e ，w ei l l u s t r a t e t h em a i nr e s u l t sb yn u m e r i c a le x a m p l e s t h es i x t hp a r ti sf i n a lc o n c l u s i o n ，w ec o n c l u d et h em a jo rf i n d i n g so ft h ep a p e r p r o p o s e d ，t h e nw es h o wap r o s p e c tf o rd e v e l o p m e n to ft h ep r e c o n d i t i o n di t e r a t i v e m e t h o d k e yw o r d s ：p r e c o n d i t i o n e r ， m m a t r i x ，s o ri t e r a t i v em e t h o d ，j o r i t e r a t i v e m e t h o d ，c o n v e r g e n c e 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律结果由本人 承担 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务 学位论文作 签字日期： 导师签名私叶 签字日期。乙必7 年l 2 ，月么日 | 菇哳 7 r ， 默 糊 厂、71阶 名 酬 签 厶 一酬研一 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析一5 1 引言 随着科学技术的发展，在理论研究和生产实际过程中，人们发现许多问题常常都归结 为解线性方程组 a x = b ，( 1 1 ) 其中a = ( ) r 脓一是非奇异矩阵：x r “1 是未知向量：b r “1 是已知向量 常用的求解方程组( 1 1 ) 的方法有直接法和迭代法，直接法是经过有限步的运算就 得到精确解的方法，但在实际应用中往往会受到舍入误差的影响迭代法是构造合适的近 似解向量序列，用某种极限过程去逐步逼近精确解的方法而在生产实际过程中，方程组 ( 1 1 ) 往往又多为大型稀疏线性代数方程组，同时，用差分方法逼近微分方程的过程中， 也需要求解这类线性方程组由于迭代法能够充分利用矩阵的稀疏性，从而节省存储单 元，因而它是解大型稀疏线性代数方程组的比较实用的方法之一但由于迭代法一般不能 通过有限步求得精确解，只能逐步的逼近它，因此，凡迭代法都存在收敛性和误差估计的 问题，此外，每一种迭代法又都有其一定的应用范围，即使在收敛的迭代法中也存在收敛 速度快慢的问题，因而，研究如何求解大型稀疏线性方程组的问题就成了人们所关注的焦 点 众所周知，当矩阵a 是大型稀疏矩阵时，方程组的求解常采用迭代法并与计算机相结 合，而迭代法的好坏通常又是通过其收敛速度来衡量的，在实际使用迭代法求解问题时就 必须寻求收敛性好且收敛速度较快的方法在很多时候，迭代法的收敛速度又是通过它的 迭代矩阵的谱半径来刻画的本文就是通过比较迭代矩阵的谱半径来比较迭代法收敛速度 的 对任一分裂a = m n ，其中m 是非奇异矩阵，则求解式( 1 1 ) 的基本迭代法格式为： x + 1 ) = m 一1 nx + m b ，k = o ，1 ，2 ， ( 1 2 ) 其中m q 称为迭代矩阵对n x 即阶的矩阵彳，不失一般性，可假设a = i l u ，其中一三， 一u 分别是a 的严格下三角和严格上三角矩阵 经典的s o r 迭代法的迭代矩阵为 l 。= ( i c o l ) 一 ( 1 一c o ) i + c o u 】 ( 1 3 ) g a u s s s e i d e l 迭代法的迭代矩阵为 扬州大学硕士学位论文 6 一 t = ( ，一) u ， ( 1 4 ) 可以看出当参数缈= 1 时经典s o r 迭代法变成g a u s s s e i d e l 迭代法 经典的j o r 迭代法的迭代矩阵为 8 0 = ( 1 - m ) i + o ( l + u ) ( 1 5 ) j a c o b i 迭代法的迭代矩阵为 b = l + u ，( 1 6 ) 可以看出当参数缈= 1 时经典j o r 迭代法变成j a c o b i 迭代法 在实际的计算过程中，收敛性的改善不仅取决于迭代方法以及迭代矩阵中参数的选 取，而且同方程组自身的某些变化也密切相关，为了更好的求解线性方程组( 1 1 ) ，我 们引入了非奇异预条件矩阵p r 肘”，通过这种技巧，线性方程组a x = b 等价变为 p a x = p b ，( 1 7 ) 其中非奇异的矩阵p 通常称作是预条件子，( 1 7 ) 便称为预条件方法则与式( 1 7 ) 相对应 的基本迭代法为： x 川= m ；1n ，+ m i , 1p b ，k = o ，l ，2 ， ( 1 8 ) 其中p a = m p 一坼是刚的分裂，且m p 是非奇异的 选取不同的预条件矩阵对迭代法的收敛速度影响也不同，下面是一些已提出的预条件 矩阵： 1 9 9 1 年a d g u n a w a r d e n a 1 等人所提出的预条件矩阵只= i + s ，其中 中 s = 0 一q 2 o0 0o 0o o o a 2 3 0 0 - a 1 n o o ( 1 9 ) 1 9 9 7 年，t k o h n o e t a l 等人提出了一种带有刀一1 个参数的预条件矩阵只( 口) = ，+ & ，其 & = 0 一q q 2 oo oo 00 0 一a 2 3 o o o o 一1 a n 1 。” o ( 1 1 0 ) 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 三 0 1 ，i = 1 ，2 ，刀一1 推广了预条件矩阵只，显然只位) = ，+ & 具有更强的适用性，当 q = 1 ，( f - 1 ，2 ，n - 1 ) 时，预条件矩阵只( 口) = ，+ 瓯等于预条件矩阵只 2 0 0 7 年，王学忠，黄延祝妇等又推广了上述预条件矩阵，引入了 i + s ：= 1 一屈q 2 00 一口2 l 1 一历a 2 3 0 0 一吗2 10 ；i 一尾1 也。 000 一，一l 1 讨论了当系数矩阵彳为h 阵时g a u s s s e i d e l 方法的收敛性 ( 1 1 1 ) 在本文中，我们主要研究了当系数矩阵彳为非奇异的m 一矩阵及非奇异的不可约m 一 矩阵时在我们所提出的新预条件因子的作用下p s o r ，p j o r ，p g s ，p j 方法的收敛性 以及这些新方法的收敛速度与经典s o r ，j o r ，g a u s s s e i d e l ，j a c o b i 方法之间的收敛速 度进行了比较，得到了我们所提出的新预条件因子是有意义的，并且用数值例子来证明了 文章中的相关结论的j 下确性 扬州人学硕士学位论文 2 预备知识 下面将给出本文将要用到的一些矩阵的定义： 设x = ( ，x 2 ，) r o ，即对所有的f 有一 0 定义2 1 忉设彳= ( ) r ，如果0 ，f ，j = l ，2 ，力，则称彳是非负的，i e a o 8 一 下面给出与非负矩阵有关的一类重要矩阵，即所谓m 一矩阵的定义 定义2 2 彳= ( ) 尺称为是z 一矩阵，若0 ，f j ，f ，j = 1 ，2 ，行；若彳z 且满足a i i o ( i = 2 ，n ) ，则称a 为一矩阵；若a z “”，有分解式a = s i b ，b 0 使得 s p ( b ) ，则称a 为m 一矩阵 定义2 3 陉记h ( i 呀1 ) ，设彳g 。，如果彳的比较矩阵( 彳) ( ) 是m 一矩阵，则 彳称为h 一矩阵，这里砚，= l a i 小= 一k i ，f 不可约性质也是矩阵很常见的性质，下面给出其定义： 定义2 4 嘲设彳咆。，若存在舫o ( 置换) 矩阵尸，使得删儿缈其 中a ，a ：分别为碍( 扛1 ，2 ) 阶方阵，1 0 ，使得血 0 ： ( 3 ) 彳的所有主对角元为正 引理2 9 瞳町设彳是一矩阵，则f 彳- 1 i ( 彳) 引理2 1 0 乜钔设彳，b 是实数域上的门阶方阵，若么，则p ( b ) p ( 彳) 引理2 ”嘲 设彳= m 一是彳的肘一分裂，贝l jp ( m 一) a x 时，则p ( 彳) 口； ( 2 ) 若叙 a x ，则p ( 彳) 0 ，使得 m 一1 n x = p ( m n ) x 引理2 14 伍耵设彳= m 一是弱正则分裂，则4 m 一- ) o ， i = 1 若对任意f o 有+ l o 令a = i - l - u ，三和u 分别是严格下三角和严 = l1 = 1 格上三角矩阵，则( ，+ & ) 彳也是严格对角占优z - 阵，对o q 1 ，0 i n ，有p ( 元) 1 ， 其中元= ( ，一三一& l ) 。1 ( u - & + & u ) 在2 0 0 0 年，w “，w w s u n 在文献【3 中给出了彳是z 一矩阵时，预条件g a u s s s e i d e l 迭代法与经典g a u s s s e i d e l 迭代法的比较定理当时其中的一个主要结果为： 定理3 2 设彳= ( ) r “”，a = ，一厶一u m ，其中u ，是一个非负矩阵，厶是严格 下三角非负矩阵贝0 ： ( a ) 对任意的0 q 1 ，净1 ，2 ，n - 1 ，如果p ( t ) l ，则p ( 瓦) 1 在此条件下，有p ( 元) p ( 丁) p ( ，) 1 ；如果a 是不可约的，则对任意0 q 1 ，江1 ，2 ，n 一1 ，有p ( ) 尸( 丁) ( b ) 对任意的0 q 1 ，江l ，2 ，z 一1 ，如果p ( t ) = 1 ，则p ( l ) = 1 2 0 0 4 年，n i k i 9 等人又引入了几种预条件因子乞，只，只，最，并讨论了相应的 g a u s s s e i d e l 方法的收敛性，得到了相应的比较定理，主要结论是： ( 1 ) 设a 为不可约对角占优z 一阵，则以= 坂一虬是g a u s s - s e i d e l 收敛分裂，其中 张红锋 新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 一l l 以= 己a ( 2 ) 设彳为不可约对角占优z - 阵，则4 = 坂一m 和4 = m m 是g a u s s s e i d e l 收敛分 裂，其中以= 己彳，4 = 彳，如果q f + l a i + i q ，t a k , ，j ，则p ( 帆- 1 虬) p ( 坂- 1 札) p ( m 叫) 1 2 0 0 6 年，l y s u n 在文献 1 4 q h 讨论了当线性方程组的系数矩阵是用途比较广泛的h - 矩阵时迭代法的收敛性，并与其比较矩阵的收敛性比较得到了相应的比较定理，主要结论 是： 定理3 3 设a = ，一工一u 是h 矩阵，其中三是严格上三角矩阵，u 是任意矩阵如 果a = ( i 一三) 一u 是么的一个日相容性分裂，且对任意【0 ，1 】，i = 1 ，2 ，n 一1 ，a 的 i m g s 迭代法的迭代矩阵是瓦= ( i - l - & 三) 。1 ( u - & + & u ) ，则p ( 乙) 1 ，进一步地，如 果哥。是彳的比较矩阵( 么) 的i m g s 法的迭代矩阵，则p ( 瓦) p ( 哥口) 1 2 0 0 8 年，j a eh e o ny u n ，s a n gw o o kk i m 在文献 1 5 q h 讨论了不可约矩阵的两种预条件 a o r 迭代法的收敛性，其中预条件算子： 暑= i + 0 a 2 i 一码1 ： a 1 ， b = i + 0 一a 1 2 oo o0 oo o o 一呸3 0 0 一一1 。 o o 得到了这样的结论：当a 为矩阵时，在一定的条件假设下，预条件a o r 法的收敛性和 基本迭代法的收敛性相同 以上这些结论要么是对预条件因子进行改进要么是在保持预条件因子不变的情况下 对预条件因子适用的条件进行扩展，因此，我们也想到能否对前面人家的预条件因子进行 进一步改进，以便得到更好的结论，为此，我们在人家的基础上提出了一个新的预条件因 子p = i + s ，其中 s = 0 一a 1 2 o0 oo 0o q 3 - a 1 月 0 一a 2 ： ： 0 一一l 。 0 0 ( 3 1 ) 0 o o ；0 0 0 0 ；0 扬州大学硕十学位论文 1 2 现在考虑分裂 a = ( ，+ s ) 彳= m n ， ( 3 2 ) 其中 砑：j 一三一s 三，丙：u s + s u ，彳：，一三一u ，( 3 3 ) 和u 分别是严格下三角矩阵和严格上三角矩阵，为单位矩阵，从而我们得到一种新的 分裂么= m 一，它的迭代矩阵为 l = ( m ) 。1 ( 3 4 ) 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 旦 4 新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 本节我们将主要讨论当系数矩阵a 是非奇异的m 矩阵、日矩阵时新预条件作用下 矩阵的收敛性分析 引理4 1 若a 是非奇异的m 一矩阵且满足q 厂( 口l i ) o ，( ，= 2 ，甩) ，则 a = ( i + s ) a 也是非奇异的m 一矩阵，其中s 是( 3 1 ) 所定义的矩阵 证明：设刁= ( ，+ s ) 彳= ( ) ，则 。 a i 厂( q 。) ， i = 1 ， k = 2 一， 1 0 ， 于是a x = ( i + s ) a x 0 ，所以a x = ( i + s ) a x 也是非奇异的m 矩阵 定理4 2 若彳是非奇异的m - 矩阵，且q - ( ya l ) o ，( = 2 ，甩) ，则p ( i 三) 1 ， 其中l = ( ，一l 一肛) 。1 ( u s + s u ) 证明：因为彳是非奇异的m - 矩阵，_ l la i 一( 口l 女) o ，所以由引理4 1 得，i 彳也 是非奇异的m 矩阵 不失一般性，不妨设a = i l u ，其中三为严格下三角阵，u 是严格上三角阵，则 a = ( 1 + s ) a = ( ，一三一乩) 一( u - s + s u ) ， 令m = ( ，一l s l ) ，n = u s + s u ，明显可得m 是非奇异的m - 矩阵，n 0 ， 所以由定义可得j ：一m 一丙是m 一分裂，再由引理2 1 1 可得p ( z ) ：p ( 砑) 1 引理4 3如果a 是日一矩阵，那么科( d 一三) 卅u 0 ，设旯= ( 么) x ，则 丁陋x 一( | d - l l _ i l ) 2 _ t x ，其中f ( o ，1 ) ， 于是，由引理2 1 2 可得p ( 丁) p ( 例) f 1 定理4 _ 4 女果彳是对角元素全为l 的日- 矩阵，且满足怵硒1，孙t l 而1 ， 则p ( z ) 1 ，其中z 是( 3 4 ) 所定义的j 的迭代矩阵 证明：分析知 ( j ) 。= ( 虿) = q 厂( q 女) ， i = 1 ， 七暑2 一， 1 0 ( 2 ) 当1 0 综合( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 就有( ( j ) r ) 。 0 ( 江1 ，2 ，刀) ，所以由引理2 6 知刁为日矩阵，再由 引理4 3 得p ( z ) 1 推论4 5 设彳是对角元素全为1 的严格对角占优矩阵，若满足1 l 荔j 1 ， 兰i q 。i ( 2 一1 ) 。， f = 1 ， 1 f 。( 1 刀) ，对于f = 刀，显然有( 砺) 彬2 ( 1 n ) ， 因为a 是不可约的m 一矩阵，所以至少存在一个使0 ( 1 歹 。，综上可知( 砺) 。 定理5 1 3 设彳= ( ) 删是非奇异的不可约m - 矩阵，o c o _ l ，a l j - ( a l k ) o 口 口 。戽 一统 扬州大学硕十学位论文 u = 2 ，疗) ，0 ( f - l ，2 ，玎) ，则p ( ) p ( l o ) 1 ，其中三和匕分别为( 3 4 ) 和( 1 3 ) 所定义的新预条件下矩阵分裂的迭代矩阵和s o r 迭代法的迭代矩阵 证明：因为彳是非奇异的不可约m 矩阵，且0 0 ，使 m ，n 。x = p l m f n j x ， 即 匕z = p ( 厶) x ， 又由引理2 1 1 知，p ( 乙) o ，所以及一缸 o ，即z x 叙， 国 、7 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 一1 9 所以p ( z ) 互，所以p ( z ) p ( 匕) 1 推论5 1 4 设彳= ( ) 是非奇异的不可约m - 矩阵，- 1 1a l 一( 口，。) o ， ( ，= 2 ，刀) ，a m 0 ( i = l ，2 ，甩) ，贝j jp ( l ) p ( t ) 1 ，其中三和丁分别是( 3 4 ) 和( 1 4 ) 所定义的新预条件下矩阵分裂的迭代矩阵和g a u s s s e i d e l 迭代法的迭代矩阵 扬州人学硕士学位论文 5 2 数值例子 例5 2 1 考虑线性方程组a x = b 其中 a = 1 1 1 2 0 2 0 l1 3 02 0 l1 4 0 2 0 l1 5 02 0 1l 6 02 0 是不可约非奇异的m 矩阵，b = ( 1 ，1 ，1 ) 7 因此方程组似= b 有唯一解，下面的表 格给出了s o r ，p s o r 方法，g s ，p g s 方法以及它们谱半径的大小关系 表1 s o r p s o r ( 缈，) pp ( 0 3 ，0 3 ) 0 7 2 7 50 0 1 0 3 ( 0 5 ，o 5 ) 0 5 4 0 4o 0 1 0 3 ( 0 8 ，0 8 ) 0 2 4 7 3o 0 1 0 3 表2 g sp g s ( 国，) pp ( 1 ，1 ) 0 0 2 6 80 0 1 0 3 从表l 可以看出当c o 取不同值时p s o r 方法迭代矩阵的谱半径总是远远小于s o r 方 法迭代矩阵的谱半径 而在表2 中，当国= l 时，p g s 的谱半径仍然小于g s 的谱半径，从而得到p s o r 、 p g s 方法的收敛速度是最快的 。一加，一加。一加。一加。一加。一。一。一。，一 。一加。一加。一加。一加 。一加 。一如。一如。一如，一如 。一加 ，一加，一加。一加 。一加。一加 ，一钧。一，一 。一加，一 。一加。一加 。一加。一加，一加 。一如。一如 。一加。一如。一 。一加 。一加。一加。一加。一加 。一加 。一加。一如。一们，一如 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 5 3与锨迭代法的比较 定理5 3 1 设彳= ( ) 是非奇异的不可约m - 矩阵，o c 0 l ，a l j 一( q 女) o、 y ，打刀 。? 一 ， ( = 2 ，咒) ，0 ( 江1 ，2 ，刀) ，np ( l ) p ( 吃) 1 ，其中上和吃分别是( 3 4 ) 和 ( 1 5 ) 所定义的新预条件下矩阵分裂的迭代矩阵和j o r 迭代法的迭代矩阵 证明：因为么是非奇异的不可约m 矩阵，且0 0 ，使 m i l n 。x = p ( m o 叫n x ， 即吃x = p ( 吃h ，又由引理2 1 1 知p ( 吃) 0 ， 扬州人学硕士学位论文 因为土( 互一1 ) 0 ，所以己一缸 0 ，即l 叙，所以p ( z ) p ( 吃) 1 推论5 3 2 设彳= ( ) 是非奇异的不可约m 一矩阵，o 国1 ，口l 一( 口l 。口村) o ( 歹= 2 ，刀) ，a i n 0 ( 江1 ，2 ，刀) ，则p ( 三) p ( b ) 1 ，其中三和b 分别是( 3 4 ) 和( 1 6 ) 所定义的新预条件下矩阵分裂的迭代矩阵和j a c o b i 迭代法的迭代矩阵 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 5 4 数值例子 例5 4 1考虑线性方程组a x = b ，其中 f ， 10 0 3 7 5一o 0 4 0 0 4 5 、i l - 0 0 3 7 5 lo 0 4- 0 0 4 5l l 0 0 4 - 0 0 3 7 51- 0 0 4 5l i - 0 0 4 5 - 0 0 4- 0 0 3 7 5l j 是不可约的非奇异的m 矩阵，b = ( 1 ，1 ，1 ) 7 1 ，因此方程组a x = b 有唯一解，下面表 格给出了j o r 、p j o r 方法以及它们谱半径的大小关系 表1 3 0 rp j o r ，0 ) pp ( o 2 ，o ) 0 8 2 4 5o 0 1 0 3 ( o 6 ，0 ) 0 4 7 3 5o 0 1 0 3 ( 0 8 ，0 ) 0 2 9 8 0o 0 1 0 3 ( 1 ，0 ) 0 1 2 2 5o 0 1 0 3 从表l 中可以看出，当，= 0 ，缈取不同值时，j o r 方法迭代矩阵的谱半径总是远远 大于p j o r 方法迭代矩阵的谱半径，从而得到p j o r 方法收敛速度是最快的 扬州人学硕十学位论文 由于预条件方法能够加快线性方程组的收敛速度，所以得到许多学者的关注在本 文中，我们给出了一种新预条件矩阵，讨论了当系数矩阵彳为m 矩阵、日矩阵时该方 法的收敛性，得到了相应的结论，然后讨论了当彳为不可约的m 矩阵时，p s o r 、p j o r 方法与s o r 、j o r 方法之间的比较，最后通过数值例子验证了当系数矩阵彳为不可约的 m 一矩阵时p s o r 、p j o r 方法的收敛速度要快于其它古典方法的收敛速度 近年来，随着计算机技术的不断发展，预条件方法也得到了不断的创新和发展，人们 也越来越多的采用不同的预条件矩阵来求解大型系数的线性方程组并且也得到很好的结 果，因此，我们可以预见预条件迭代法必将会得到更加广泛的应用 张红锋新预条件下矩阵不同分裂的收敛性分析 参考文献 1 】t k o h n o e t a l ，e t a l i m p r o v i n gt h em o d i f i e di t e r a t i v em e t h o d sf o rz m a t r i c e s j l i n e a r a l g e b r aa p p l ，2 6 7 ( 1 9 9 7 ) ：1 1 3 - 1 2 3 【2 】 l y s u n c o m p a r i s o nt h e o r e mf o r t h es o ri t e r a t i v e m e t h o d j j o u r n a l o f c o m p u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，1 8 1 ( 2 0 0 5 ) ：3 3 6 3 4 1 【3 】w “，w w s u n m o d i f i e dg a u s s s e i d e lm e t h o d sa n dj a c o b it y p em e t h o d sf o r z - m a t r i c e s j l i n e a ra l g e b r aa p p l ，3 17 ( 2 0 0 0 ) ：2 2 3 - 2 4 0 【4 】m j w h ，l iw a n g ，yz s o n g p r e c o n d i t i o n e da o ri t e r a t i v em e t h o df o rl i n e a rs y s t e m s j a p p l i e dn u m e r i c a lm a t h e m a t i c s ，2 0 0 7 ，6 7 2 - 6 8 5 【5 】 d j e v a n s ，m m m a r t i n s ，m e t r i g o t h ea o ri t e r a t i v em e t h o df o r n e w p r e c o