（基础数学专业论文）关于h3的kl多项式组合不变性的研究.pdf

摘要 关于k l 多项式，有一个组合不变性的猜想，这个猜想是由l u s z t i g 与d y e r 独立提出的。即，对c o x e t e r 群磁与，h ，v e ，“ v ，工，ye ，x y ，若作 为偏序集的b r u h a t 区间k ，y 】与k ，y 】同构，则，b ) = 只，国) 。换言之甜，y 的足一多 项式应当只依赖于没有标签的抽象偏序集l ，y 】。当函，y 】是格或区间长度s4 时，该 猜想是成立的。 事实上，组合不变性的猜想等价于r 一多项式的情形( “一x e 也包含在内) 。由 于r 一多项式与兵一多项式等价，并且爱一多项式计算比较简单，因而我们只需研究 意一多项式。 本论文的主要工作就是对h ，中长度为5 的区间进行研究与分类。主要讨论了比 较简单的几个区间类，并且给出了它们所对应的蠢一多项式及( b n l h a t 序) 图。由此得 到，在图( 即区间) 同构的情况下对应的爱一多项式是一样的，即，此时组合不变性猜 想成立，反之却不一定成立。 关键词：c o x e t e r 系统；k l 多项式；r 一多项式；瓦一多项式；组合不变 性 a b s t r a c t t h e r ei sac o n j e c t u r er e g a r d i n gt h ek a z h d a n - l u s z t i gp o l y n o m i a l s ，t h e s o - c a l l e dc o m b i n a t o r i a li n v a r i a n c ec o n j e c t u r e t h i sc o n j e c t u r e ，p r o p o s e db y l u s z t i ga n di n d e p e n d e n t l yb yd y e r , s t a t e st h a ti f a n d a r et w o c o x e t e rg r o u p s ，“，v e ，雎 ，z ，y w ，2 ，x y ，a n dt h et w ob r u h a ti n t e r v a l s u ， a n db ，y 】a r ei s o m o r p h i ca sp o s e t s ，t h e n 一q ) 一只，y ( q ) i no t h e rw o r d s ， t h ek a z h d a n l u s z t i gp o l y n o m i a lo f “，v s u p p o s e d l yd e p e n d so n l yo nt h e u n l a b e l e da b s t r a c tp o s e t l ，y 】t h i sc o n j e c t u r ei sk n o w n t ob et r u ei fk ，川i s al a t t i c ea n dh o l d sf o ri n t e r v a l so fr a n ks4 i n f a c t ，t h ec o m b i n a t o r i a li n v a r i a n c ec o n j e c t u r ei se q u i v a l e n tt o t h e a n a l o g o u ss t a t e m e n tf o rt h er p o l y n o m i a l s ( i n c l u d e s “- x 一已) ，a n dt h e r p o l y n o m i a l sa r ee q u i v a l e n tt ot h ej i i p o l y n o m i a l s s i n c ei t se a s yt o c o m p u t et h er 一一p o l y n o m i a l s ，s ow eo n l ys t u d yt h e 蠢一p o l y n o m i a l s o u ra i mi nt h i sp a p e ri st os t u d ya n dc l a s s i f yt h ei n t e r v a l so fl e n g t h5i n h 3 w em a i n l ys t u d ys o m ee a s yi n t e r v a l s ，l i s tt h e i r 詹一p o l y n o m i a l sa n d g r a p h s ( i nb r u h a to r d e r ) t h e r e f o r e ，w eo b t a i nw h i l et h eg r a p h s ( s od o i n t e r v a l s ) a r ei s o m o r p h i c ，t h ec o r r e s p o n d i n g 意一p o l y n o m i a l sa r es a m e ， w h i c hi st os a yt h ec o m b i n a t o r i a li n v a r i a n c ei sc h e c k e di nt h e s ec a s e s o n t h ec o n t r a r y , i ti sn o t a l w a y st r u e k e yw o r d s ：c o x e t e rs y s t e m ；k a z h d a n - l u s z t i gp o l y n o m i a l s ；r - p o l y n o m i a l s ； r - p o l y n o m i a l s ；c o m b i n a t o r i a li n v a r i a n c e 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文 中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意 义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论 文或成果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任及后果。 论文作者签名：胝叔 日期砷年莎月乡日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本 人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单 位仍然为青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在，年解密后适用于本声明。 ， 不保捌 ( 请在以上方框内打“) 论文作者签名：砂战琵 导师签名：多粤至彩哆 日期：砷年占月乡日 脚7 年f 月岁日 引言 引言 对于每一个c o x e t e r 群w ，k a z h d a n 及l u s z t i g 在其论文【2 】中定义了一族与形中 任意一对元素有关的整系数的多项式，这些多项式称为形的k 一多项式。它们与 的b r u h a t 序，s c h u b e r t 簇的代数几何及拓扑有密切的关系，在表示理论中也有重要 作用。为了证明k l 多项式的存在性，k a z h d a n 及l u s z t i g 又用了另外一族与形的 h e c k e 代数的乘法结构相关的多项式作为辅助，这些多项式称为形的尺一多项式， 知道了这些多项式就等于知道了k 一多项式，因此尺一多项式是至关重要的。 关于k 一多项式，有一个组合不变性的猜想，这个猜想是由l u s z t i g 与d y e r 独立提出的。即，对c o x e t e r 群暇与，“，职，配 y ，x ，y ，x y ，若作 为偏序集的b r u h a t 区间k ，y 】与k ，y 】同构，则，( q ) - - v x ( g ) 。换言之“，y 的k l 多 项式应当只依赖于没有标签的抽象偏序集l ，】。当l ，y 是格( e b r e n t i 验证) 或区间 长度( m j d y e r 验证) 4 时，该猜想是成立的。本论文主要得到了h ，中长度为5 的区间的k 一己多项式组合不变性的猜想成立。 事实上，组合不变性的猜想等价于j 5 c 一多项式的情形( haz e 也包含在内) 。由 于尺一多项式与瓦一多项式等价，并且兵一多项式计算比较简单，因而我们只需研究 j i i 一多项式。 本论文主要对h ，中长度为5 的区间的k 一多项式组合不变性进行初步研究， 得到了在图( 即区间) 同构的情况下所对应的豆一多项式是一样的，即组合不变性猜想 成立。文章共分三章： 第一章为准备知识。介绍文章所需的一些基本概念及定义。 第二章主要介绍r 及意一多项式与k l 多项式的定义及一些计算方法。 第三章为论文的主要内容。先介绍了长度s4 的区间的尺及意一多项式与k l 多项式的一些结论，并加以证明；在此基础上对日，中长度为5 的区间进行了研究与 分类，得到了它们所对应的意一多项式及( b r u h a t 序) 图。在图( 即区间) 同构的情况下 所得到的意一多项式是一样的，即组合不变性猜想成立，反之却不一定成立。 第一章准备知识 第一章准备知识 z 表示整数 z 。o 表示非负整数 n 表示正整数 r 表示实数 r 如表示正实数 k 】表示集合乱2 ，咒 g 包：。) ，特别的 0 】= d p j 表示s 口( 口r ) 的最大整数 定义1 1c o x e t e r 系统 ( i ) 令s 为集合，矩阵m ：s xs 一乜2 ，) 称为c o x e t e r 矩阵，若满足 m ( s ，s ) 一所g7 ，s ) ；m ( s ，s ) = 1 尊j s 。等价的朋可由一个c o x e t e r 图表示，其结点 是s 中的元素，边是满足肌g ，s7 ) - 3 的二元组，s ) 的连线，其中m ( s ，s ) 4 的需在 其边上标上数值。 ( j i ) 群w ( 由 c o x e t e r 矩阵聊确定) 由下列关系确定： f 生成元：s 1 关系式：( s s 尸b ，“。e ，对v g ，s ) s 伽2 ；缸，s7 ) s 2 ：m ( s ，s7 ) o o ) 则称形为一个c o x e t e r 群，s 称为c o x e t e r 生成元集，二元组缈，s ) 称为一个c o x e t e r 系统。 定义1 2 令缈，s ) 是c o x e t e r 系统，对任意的w 缈，有表示w 一$ 1 s 2 s k , s f s ，若七 在其所有表示中是最小的，则称七是w 的长度，记作z 似) 一k ；并且其表示称为w 的 简约表示。 定义1 3 ( i ) ( 矽，s ) 是c o x e t e r 系统，令r 一 w 刚一l ：s s ，w 矽 ，t 中的元素称为反 射。sc _ t ，对r ，t 2t e ( f 一一f ) ，且每个f 存在回文数的简约表示，f 的长度 是奇数，t 中元素个数为矿中最长元素的长度，即矿i z ( ) 。 ( i i ) 瓦( 形) 竺i r ：z 似) z 如好；品( 缈) 筌量r ：e ( w 4 z 似b ： 青岛大学硕士学位论文 d 工( 形) 竺瓦( w ) n s 。冬s ：z ) z ( w ) ； d 足缈) ：瓦( w ) ns 。冬s ：z 似) ( w ) ) ；d 足( 叻见似一- ) 。 定义1 4 若“，w 缈，则( i ) h w 表示m 一1 w te t ，即w - 彬且粤仁) z 似) ； ( i i ) “_ w 表示“w 对某个f r ； ( i i i ) “w 表示存在u fe w 使得u h o 一“l - _ u h u i w 成立。 b r u h a t 图是有向图，结点是w 中的元素，边是由( i i ) 定义的；b r u h a t 序是由( i i i ) 定义 的偏序集。 定理1 5 ( s u b w o r d 性质) 若w = $ 1 s 2 简约，则u s w 当且仅当存在简约表示 “一岛：，其中1s i 。 i 。sq 。 推论1 6 对u ，w e w ，下列条件等价： ( i ) ms w ； ( i i ) w 的任何简约表示都有s u b w o r d 作为u 的简约表示； ( i i i ) 的某个简约表示有s u b w o r d 作为翻的简约表示。 命题1 7 ( l i f t i n g 性质) 假设比，w e w ，“ w ，且s d 工( w ) 仇0 ) ，则“s 姒鲥sw 。 定义1 8 下列定义都假设p 是偏序集： ( 1 ) 一列p 中的元素g 。，毛，吒) ，满足 x 1 吒( 对应sz ，s 量以) 称 g 。，五，x k ) 为链( 对应多重链) ，其中整数七为链( 对应多重链) 的长度。 ( 2 ) 一个链称为极大链，若满足其元素不是其它链的真子集，若所有的极大链都有 相同的长度，则称p 是单纯的。 ( 3 ) p 中的一个元素6 ( 对应i ) ，着满尽对坛p 都有6 s 工( 对应x s i ) ，则称此元素 是底( 对应顶) 。若p 有底元素且魄p 区问【6 ，x 】是单纯的，则称p 是阶化的。 ( 4 ) 取x ，y p ，若满足x y ，且不存在z 使得x z y 成立，则称二元组g ，y ) 是 一个覆盖，记作xqy 或y x 。若p 有6 ( 对应i ) ，则对z p ，若满足6 q x ( 对应 3 第一章准备知识 x 司i ) ，则x 为原子( 对应余原子) 。 ( 5 ) p 称为一个格，若满足对慨，ye p ，子集0 p ：z 墨z ，z 墨y ) 有顶元素记作x y ， 且子集 z p ：z 之z ，z y ) 有底元素记作zvy 。 定义1 9 令y 是维数为矧s 的实向量空间，取y 的一组基口t k k ；定义 ：形一a 妒) 为w 的几何表示，满足对v se s ，sh 盯，则对v 卢y 定义 盯，怡) = 3 2 仁，lp b ，又叫1v w e w 对应的有仃，若w s 。s ：，量s ，则定义 仃w ；仃，。口屯仃如，若仁，i 口，) - 一c o s 磊毒刁，则称仃为形的标准几何表示。 定义1 1 0 ( 形，s ) 的根系是指巾竺p 。缸，k 。0 ，其中的元素称为根，n 竺仁，l 中 元素称为单根。令+ ( 对应一) 表示当用n 中单根作为基表示时系数非负( 对应非正) 的根的集合，m + ( 对应垂一) 称为正根系( 对应负根系) 。 命题1 1 1 对v y m ，对v 卢y 通过f ，( a ) = a - z r la ) r ，定义f ，g l 缈) ，则映射 p ：西+ 一t 定义仃，缸，) ；) ，ht ，一m 删- 1 为双射。 定义1 1 2 对于中+ 上的全序 ，若满足v 口，m + 及a ，尺如，使得a 口+ 印西+ ， 可得a a a + 邸 卢或卢 a 口+ 邸 a 成立，则称 为反射序。 命题1 1 3m + 上存在一个反射序。 命题1 1 4 令 为一个反射序，se s 且币+ 仁，) ，则声 吼当且仅当s ) q 。 标注令 为m + 上的一个反射序，由垂+ 与丁之间存在典范双射，从现在起可将 看 作t 匕的伞序。 4 青岛大学硕士学位论文 第二章尺及意一多项式与k 一多项式 对于每一个c o x e t e r 群w ，k a z h d a n 及l u s z t i g 在其论文【2 】中定义了一族与矽中 任意一对元素有关的整系数的多项式，这些多项式称为形的k l 多项式。它们与形 的b r u h a t 序，s c h u b e r t 簇的代数几何及拓扑有密切的关系，在表示理论中也有重要 作用。为了证明k 一多项式的存在性，k a z h d a n 及l u s z t i g 又用了另外一族与形的 h e c k e 代数的乘法结构相关的多项式作为辅助，这些多项式称为形的尺一多项式， 知道了这些多项式就等于知道了k 一多项式，因此r 一多项式是至关重要的。 对k 一多项式组合不变性猜想的研究是一个比较活跃的研究课题。而这个猜 想对尺一多项式情形是等价的，再由r 一多项式与赢一多项式的等价，可知猜想对j i i 一 多项式情形也是等价的。本章主要介绍三者的定义及计算方法，以及它们之间的一 些关系。整章规定( 形，s ) 为一个c o x e t e r 系统。 2 1 介绍及回顾 这部分，我们回顾关于k l 多项式与尺一多项式的一些基本事实。k 一己多项 式与尺一多项式有许多等价的定义方式，我们选择下列定义方式。首先介绍r 一多项 式，再由它来定义k 一多项式，这两种定义方式称为“定理性定义”。 定理2 1 1 存在唯一的一族多项式慨，白境，钟z q ) 满足下列条件： ( i ) 若u ，贝0 民。，( q ) 一o ； ( i i ) 若“一 ，贝4 r ，( q ) = 1 ； ( i i 瓤m 刚小黜) + ( 口1 蹦口篙燃 这个定理所定义的多项式称为( 形，s ) 的r 一多项式。 标注定理2 1 1 ( i i i ) 口- i 作为计算尺一多项式的递推关系，而( j ) 及( i i ) 可作为初始条件。 命题2 1 2 若“，y e w ，“ ，则可得r ，q ) 是首项次数为e ( u ， ，) 且系数为1 ，常数项 为( 一1 ) 。“，) 的多项式。 定理2 1 3 存在唯一的一族多项式k ，白境聊z 白) 满足下列条件： ( i ) 若“ ，贝0 只，( g ) = 0 ； 5 第二章尺及意一多项式与k l 多项式 ( i i ) 若h ；1 ，贝i j ，b ) z 1 ； ( i i i ) 若“ 1 ，则d rc z ) 2d 。w ) 。 6 青岛大学硕士学位论文 2 2r 一多项式 命题2 2 1 若，y e w ，则存在唯一的多项式豆，( q ) ez 如白) ，使得 咒，白) ；g 掣豆，g 一9 ) 。 命题2 2 2 若“，y e w ，“y ，则厩，b ) 是首项次数为z 0 ，y ) 且系数为1 多项式。进 一峨删砒，t 蹙：芝鬻蕊蛳x 引理2 2 3 若h ， ，形，使得“_ 1 ，且s 趴甚- 1 v j ，则淞_ 塔。 定义2 2 4 ( i ) 取b m h a t 图的条路径= ( 口o ，口，) ，西+ ( 也是r 的) 上的一个反射序 ，令e ( ) 筌0 三口；：f ；1 ， r ；d ( a ； 口f t 口m ，我们称 e ( ) 为的边的集合，o ( a ；0 ：0 ( 对应 的) 的下降集合。 ( i i ) 对v “，y 矽，sy ，令尺。0 ，l ，) 竺 gc ( 厶，其中b 0 ，矿) 表示形的b m h a t a 印( 。，( a ，t 卜9 ) 图中从u 到y 的所有有向路径的集合。 定理2 2 5 令 为反射序，_ r u ，y 形，h y ，则元，( g ) 。r 。0 ，1 ，) =罗q 。( 。 印( ，声( a ，t h 标注元，( 口) 多项式中只出现g 的奇数次或偶数次，且其奇偶性与z g ，v ) 的奇偶性一 致。 定义2 2 6 ( i ) 令亭d ；e l g ，s ，) s s ，若( 口。，口，) 心u 叠桫使得口；，e ) ，f ；1 ，r ， 则称( 口1 ) - - ) a r ) 为；的子表达式( 令i i ( 口”口，1 i 竺睡 r 】：口；邑】| ) 。 ( i i ) 子表达式( 口，口，) 是特异的，若s ，圣d 异k 口一) ，g ：寸v 2 歹，使得口，= e 成 立。特别的g ，p ，岛，s ，) 是g ，s ，) ，i ；l ，r + 1 的特异子表达式。 ( i i i ) 令d ( s ，s ，) 表示6 ，s ，) s 7 的所有特异子表达式；对“缈及亭s ，令 万( 芋l 。怕，口，) 万( 亭) ：口。口，。“ 。 命题2 2 7 令亭竺g 。，s ，) s r ，则有下列条件成立： 7 第二章尺及意一多项式与k 一多项式 ( i ) 若0 ，口，) 万偕l ，则( 口，4 一) 郦。，“l 。 ) 若q 。，口一) 郦。，s l ，则( 口，口一，0 ) 万倍) 蛳，。 定理2 2 8 令h ，v f f w ，“s ，且g l ，s ，) s 7 为 ，的简约表示，即，一s l ，s ， 孽) 。，则冠，( g ) 一 q l ( v h 射。 孝舀( i j l 命题2 2 9 令b ，s , ) e s 为一简约表示且( 口1 ，q ) 为s j ，s ) 的子表达式，则下 列条件等价： ( i ) g 。，口，) 万g 。，s ，) ： ( i i ) 口l ，口歹一l ，s ，s r 口l ，口j ，s j + 1 ，j r ，j 墨2 ，厂。 标注对一个简约分解元，我们可以通过从左到右删减元素得到其所有可能的特异 子表达式，因此每次删减最终得到的积在b r u h a t 序中是下降的。例如对 也2 ，1 ，3 ，2 , 1 , 4 ，3 ，2 ，1 ) s ，的特异子表达式也2 ，一，3 ，一，一，一 3 ，2 , 1 ) 其删减过程如下： 也2 工3 ，2 , 1 , 4 , 3 ，2 , 1 )也2 ，一，3 ，2 , 1 , 4 , 3 ，2 , 1 )也2 ，一，3 ，一工4 ，3 ，2 , 1 )也2 ，一a 一，一，4 ，3 ，2 ，1 ) 0 , 2 ，一，3 ，一，一，一，3 ，2 , 1 ) 。 8 一 童鱼奎堂堡主堂垡笙壅一 _ _ _ _ _ - - _ _ l - - _ 一一 2 3 格径 在这部分我们定义并研究由一列正整数作为指标的一族多项式，它们在k l 多项式的组合性上有重要作用，并且不依赖于形，仅与格径有关。 定义2 3 1 ( i ) n o n ) 的复合是指一列正整数缸。，口，) 使得口。+ + 口，一刀，其中 s e n 。为方便将q 1 ) oo ) a ，) 记作a 。，a ，。) s j n e n ，令c 。表示n 的所有复合，令 c 竺u 。订c 。给卢c ，令z ) 表示卢的分量个数，第f 个分量记作卢；，i l ，z ) ， 即芦。怡，卢：，卢咖) ) ，进一步令 萨弘， 歹竺妇：，卢，卢。( 芦) ) ( 若z ) 乏2 ) ， 卢：怡咖) ，卢：，晟) ， t ( f 1 ) ： f l ，声，+ 声，一。，卢，+ + 卢：) ，其中，一z ( 卢) 。 ( i i ) 取k 。，口，) ，伽。，卢，) e c 。，称q 。，a ，) 加细船，卢，) ，若存在 1si ， f ： 。5j 使得k 一，口，卢。对七1 ，成立，其中f 。竺。，f ，竺s ，记 作b 。，口，k ( 声卢，) 。 标注映射口一r 仁) 为( c 。，墨) 到k l 】子集的b o o l e a n 代数通过反包含同构。 定义2 3 2 令口，6 z ，口s 6 ，【口，6 上的格径是指函数r ：【口，6 】一z ，使得r ( 口) ；o k 呲+ 1 ) 一r ( i ) 。1 ，对i e a ，b 一1 】成立。 取如上格径r ，可令 ( r ) ：毒【口+ 1 ，西一1 】：r g ) o ) ， d + ( r ) 竺i 量 口，6 一l 】：r g + 1 ) r ( i ) 一l 】i ， z ( r ) 竺6 一口， r , o ：z ( r ) 1 一i ( r l ， 9 第二章r 及豆一多项式与k 一多项式 我们称( r ) 为f 的负集合，z ( r ) 为r 的长度。 标注由6 圣( r ) ，则d ( r ) _ 豇学。 定义2 3 3 对ne n ，记l g ) 为【口，6 】上的所有格径的集合，取s 防一1 】，令 h ( s ，刀) 竺 r 三g ) ：( r ) s ) 及e ，靠) ： r 三g ) ：( r ) 。s ) 。 x 寸a e c ，定义两个多项式叱白l y 口白) z 白) ， 令咒白) ；( 一1 一罗( 一g y + ( r 及y 口k ) ；( 一1 一一( 口( 一g y + ( 。 r e ) 川r e e 悍川 标注 由定义可知v 卢g ) = ( 一1 y 缸y 。( g ) ， 因此由容斥原理可知 y 户( q ) 一( 一1 ) “叱白) 。 定义2 3 4 对为有理数，定义一个算子三，：r b ) 呻r ( q ) 满足： 三，隆日) 竺奢一是线性且幂等的，对为有理数，l j - l f f j 成立。 命题2 3 5 令ae c ，则若粤( 口) 22 ，咒( q ) ；白一1 ) 口1l ( 峙( q ) ) ，若z 仁) 一1 ， v o ( q ) = 白一1 ) | “。 1 0 青岛大学硕士学位论文 2 4k l 多项式 这部分我们介绍一个计算k l 多项式的非递推公式，更准确的说我们想就r 一 多项式找到一个计算k l 多项式的非递推公式。为此我们介绍下列概念： 定义2 4 1 取形中的一条链a o a l a f ， 若i22， g a o r - , ，4 f 白) ：凡。 ( 口皿掣a d ，呐b ”( 其中d 村e ( a 。，口；) ) ，若f ，l ，咒。，；( q ) 筌凡呐( q ) 。 如上定义的多项式r 护一。如) 称为链口o 口。 口；的尺一多项式，因而我们可计算 给定链的r 一多项式，而不需要计算其他的链。 定理2 4 2 令州眠，则砒) q 如订。三毗) ，其中吨y ) 表示从“到l ，所有的链。 推论2 4 3 令1 1 ，y e w ，i l l ， 峨m 工学( 三，纠砒) 卜眠。 为介绍下列结果，介绍一些概念。给“， ，形及七n ，b 。0 ，v ) 表示由“到，的 长度为七所有的b r u h a t 路径，则b 0 ，) = u 脚蛾0 ， ，) 。 令a 为b r u h a t 路径，为反射序，定义( 对应 ) 的下降复合为唯一的复合 石( ， ) c 使得i 孑( ， ) l z ( ) 且z 仁( ， ) 。) - d ( ， ) 。换言之，若有长度i 且 万( ， ) ；h ”，b ) ；则b 。+ + 6 j i ，a ( 对应 ) 的下降集合为 b 1 ) b l + 6 ：，岛+ + 6 h j 。 对“，v 缈，且口c ，令c 。o ，p ) 竺i 丛蜀。l o ，y ) ：f ( ， k p 】， 6 a o ，) 竺l 厶q 。l o ，y ) ：凇， ) 。口l 。 标注对i i , y 矽，且a c ， 可得气。弘，若z ( 口) 扎 c 。o ，y ) 一6 。o ，y ) 一f 厶b ho ，y ) ：o ( a ， ) - o l 。 从现在到这部分结束，固定一个反射序 。 第二章r 及豆一多项式与k 一多项式 命题2 4 4 令甜，ye w ，“sy ，口1 ，a ，e n ，r 2 ，则 c 。，一一， ，y ) 一c 一，0 ，口k 口，g ，v ) 。 命题2 4 5 令“，v e w ，us ，令口e c ， 贝j j c , 。，y ) 暑盖k ，廊b 口，k a 其中c ，。，矿) 表示从删y 长度为的，所有链， ，竺重( 口) 。 命题2 4 6 令口o a 1 a f 为矽的一条链， 她”一；( g ) = 荟，q 掣g 畹卜k ，) 。 定理2 4 7 令 为反射序， “，y e w ，u ，则 砒h 辄k ，防毒品掣。 标注取拧z 及彳z ，令万一彳竺协一口：口彳) 。 推论2 4 8 令 为反射序， “，c e w ，h ，则 艺，( g ) = ( 一1 ) k 。峨( r 留血生掣，其中和是所有满足条件的二元对( r ，) ：r 为格径， a e b ( u ，y ) ，z ( r ) 一z ( ) ，( r ) - 粤( ) 一d ( ， m b ) ，对应的若z 司y 且m ( y ) 司y ， 则m g ) q z 且m g ) q m ( ) ，) 。 命题2 5 2 - 令( w ，s ) 是c o x e t e r 系统，“，v 形，hs y ，且s d ) d 0 ) ，令m g ) 筌淞， 对魄k ，y ，则m 为函，v 】的特殊匹配。 推论2 5 3 每一个低的b r u h a t 区间【e ，y 】有一个特殊匹配。 定理2 5 4 令缈，s ) 是c o x e t e r 系统， ，令m 为e ，】的一个特殊匹配，则 r ，白) ；留c r 肼“m ( ，) 白) + b c 一1 ) r 。朋( ，) 白) ，对所有的“sy ，其中若m 0 净“，则c 竺1 ， 埘 否则c 。0 。 第三章h ，中长度为5 的区间所对应的意一多项式 第三章h ，中长度为5 的区同所对应的詹一多项式 3 1 已知长度s4 的区间的结论 本节主要介绍了长度s4 的区间所对应的r 及兵一多项式与k l 多项式已 有的一些结论，并加以证明。为证明以下结论，首先介绍几个已知的事实。 事实1 若假设z 0 ，w ) ；3 ，则l ，w 】是一个七一c r o w n ，k22 。若l ，w 】是一个2 一c r o w n 当 且仅当“_ w 为b r u h a t 图的一条边，换言之z 0 ，w ) 。3 ，则“ w 当且仅当k ，w 】同 构于2 - c r o w n 。 事实2 荟，川钆魄川吨属蜊帆，一任襄 w 目“。y li v ，7 口“p7 事实3 在闭区间l ，v l , ，h o r u y ，对z ) 进行归纳。 取s d r ( ，) ，若s d r 0 ) ，则 咒川吨川- ( - 叫舻刊订砧。若川则 r ，( g ) t 以，。( g ) + ( g 一1 诧。( g ) 2 q ( 一目y 坩) j 乙，。( 孝) + ( g 一1 ) ( 一日y “，w ) 民，。( 号) ( - q y 如，( 吉j 乙，。( 吉) + ( 吉一1r u 。( 言) ) 2c g y “，) 乜，( 言) ( 由s 岳d r q ) ，z o s ，w ) 一粤d ) 一1 0 ) + 1 ) 一它0 ，y ) 一2 ， 粤函，协) 。z d ) 一1 一z 函) ；z 0 ， ，) 一1 ) ，则等式得证。 1 4 青岛大学硕士学位论文 命题3 1 2 假设“ 1 ，取s 以( v ) ， 若s 0 ) ，则民，白) = 如芦白) ，可得r ( 1 ) 一氏舯o ) - o 。 若s 岳d r 0 ) ，则民，( g ) 一讲乙，蝌( g ) + 白一1 玩芦q ) ， 可得尺0 ) - - 氏，。0 ) - - o ( 由z b ) 1 ，取s d r ( v ) ，若s d r 0 ) ，则尺”q ) = 凡，。q ) = 留一1 ， 若s 硭d r0 ) ，由4 u ， ，) = 1 及“ “，坩l ，与l i f t i n g 性质得搬坩且“ 2 ，取s d r ( y ) ，若s d r 0 ) ，则民，q ) - r ，。0 ) 一q 一1 ) 2 ， 若j 硭d r0 ) 由比 俗 v ) 及u siv s ，z 0 ，v s ) f f i l ， 1 s 第三章日，中长度为5 的区间所对应的j i i 一多项式 可得r 。”( q ) 一o ，r ，憎( q ) s 口一1 ， 则r ，( 口) aq r _ ，。白) + 白一1 碗，。b ) - ( g 一1 ) 2 。 棚1 4 雠蚺3 删m q 3 _ 1 ) 3 ，2 q 2 啦 裳脚一一 证明：( 1 ) 若l ，y 】是一个2 一c r o w n ，取s p 詹( ，) ，若s 鹾d r 0 ) ，则得 r i 。, 1 3 g ) = o r 。白) + 0 一a ) r u ，。( q ) 。q ( q 一1 ) + ( 留一1 地一1 ) 2 一q 3 2 留2 + 2 口一1 若su d r ( u ) ，则r u 。，q ) = 屯。白) ，由事实1 可得 u s ，v s 】为一个2 一c r o w n ；取 s e d rv s ) ，若s7 岳d 尺0 s ) ，可得结果；若s7 e d 月0 s ) ，则r ，q ) 一屯，。( q ) - r 。，哪，( 口) ， 同理由事实1 可得 u s s ，v s s 1 为- + 2 一c r o w n ，如此继续或者得到结果或者可得 风，( g ) = ，。白) = 屯，朋，白) 一sr 。一( q ) ( g ( x ) - - 3 ，p ，石】为一个2 一c r o w n ) ： 再取s d 矗b ) ，s 譬玖g ) ，s x s ，则 尺。一( q ) - - 社，朋b ) + ( g 一1 ) 尺。芦白) = g ( g 一1 ) + 白一1 x q 一1 ) 2 = q 3 一幻2 + 2 q 一1 ( 2 ) 若l ，y 】是一个七一c r o w n ，k 3 ，取s d 詹( v ) ，若s 硭矾0 ) ，则淞垤( 由事实1 ) ， 可得 民，白) = 帆，。白) + 白一1 k 白) = 日o + q 一1 ) 3tq 一1 ) 3 ； 若s d r q ) ，则r 白) 一氏，竹( q ) ( k s ，俗】为一个后一c r o w n ，k 乏3 ) ； 取s d r b ) ，若s 圣d ru s ) ， 可得结果；若s e d 足u s ) ，则 r ，白) = 屯艚白) 一如知，白) ( b ，v s s 】是一个七一c r o w n ，k 3 ) ，如此继续或者得到 结果或者可得 也，( q ) f f i r 。，。b ) 一r 蛸，。，g ) t - r c g ) ( z ) t 3 ，k ，y 】为一个3 一c r o w n ) 。 1 6 青岛大学硕士学位论文 再取s d r ( y ) ，s 硭巩( e ) ，s y s ，可得 r ( q ) - q o + ( 口一1 x q 一1 ) z 一( q - f f 。 命题3 1 5 ( a ) 若以 l ，瓢e o r ( v ) ，进一步若s 巩0 ) ，则是，( 口) 一就pq ) ，由船 “ y 及 l i f t i n g 性质可得淞 “，谬 ， y 及l i f t i n g 性质可 得“ 谘，由归纳假设冠，。( o ) 一0 ，而瓦，。( o ) 。o ( 无论淞惯，还是由假设) ，则 冠，( o ) 一0 。 ( b ) 若l ， ， 是2 一c r o w n ，则由命题3 1 4 可得尺( q ) tq 3 2 q 2 + 勾一1 ，由公式 风，q ) 。q 掣是，b 一口 ) ，可得 豆，g 一g 一 ) 。留一；吃，( g ) ；譬一 【( g 一1 ) 3 + 日白一1 ) 】。g _ q - 户+ g - q 一) ，可得 元，( g ) = 9 3 + 口；此外由命题3 1 3 及3 1 4 可得 豆，g ；一g 一；) 。鼋一掣凡，b ) ：留一掣白一1 ) 岫) 。g 一日一；p ， 即冠，q ) = 一，。 命题3 1 6 若粤0 ，y ) = 4 ，有下列成立： ( a ) 冠，白) ：留。+ 墨要留：，其中b ：o ，y ) 表示的b n i h a t 图中从“到v 长度为的2 所有路径的个数； c o ) b ：0 ，y ) s4 ； 第三章h ，中长度为5 的区间所对应的辰一多项式 一= 一 ( c ) b ：q ，y ) 等于k ，v 】的同构于2 一c ，d 朋的子区间个数。 证明：豆，b ) 。留+ 垦要丛g z 成立等价于证明凡一q ) ；q 一1 ) 4 + 垦罢丛鼋白一1 ) 2 由 事实2 可得 2 r ，( 鼋) 一薹尺。 ( 日) 尺而，b ) + 砉r “，( q ) 尺乃，( q ) 一善t 民，句( q ) r ，( 口) 4 o 氲南命颢3 1 3 及3 1 4 可得 2 叫q ) 一弘一心，( q ) 一弘乃( 口) r m ( q ) + 弘而( q 蹦引 ：朋，q 一1 烀一幻z + 2 q 一1 ) + 小：( g 一1 ) 4 一n ( q - 1 ) 4 + f 。q 一1 3 2 q 2 + 2 q 1 ) + f ：( q 一1 ) 4 ：小，( q - i ) + m ，q ( q - i ) 2 + 肌：( q 一1 ) 4 一一( q - 1 ) 4 + f 。( 口一1 ) 4 + f 。q ( q 一1 ) 2 + f ：( 留一1 y 其中由事实3 可知所+ f ；刀+ 2 ，朋。为i ；，y 】中2 一c r d w ，l 的个数，m 2 为k ，v 】中 七一伽腑，七23 的个数，且肌。+ ，l ：。臃；为瞳，幺 中2 一c 厂d m 的个数，f ： u ，z i 】中 k - c r o 堋，七奢3 的个数，i t t l + f 2 一f ，f l + 肌，t 岛沁 ，) ； 因而可得凡，( 口) ：( g 一1 ) 4 + 生粤丛g b 一1 ) 2 ，即原式得证。 ( b ) 耳x s e p 詹【l ，) ，分为两种情i ，f l ： ( 1 ) 若s 硭d r ) ，则淞，v s e ，y 】且冠，( q ) = 屯，。q ) + 戎，。b ) 分以下情况 ( i ) 若l ，】是2 一伽朔，淞 谘，得冠，白) - 9 2 + g b 3 + 留) ；q 4 + 2 q 2 ； ( i i ) 若l ，w 】是七一c r o m ，k 乏3 ，u s w ，得觅，b ) ；q 2 + q q 3 。q 4 + q 2 ； ( i i i ) 若l ，俗】是2 一c r 。懈，嬲体，得冠，( q ) = o + q ( q 3 + q ) 。q 4 + 鼋2 ； ( i v ) 若k ，体】是七一c r o w n ，k 2 3 ，u s v s ，得屈，q ) = 0 + q q 3 。q 4 。 ( 2 ) 若s 巩0 ) ，则尼，白) ；屯，憎( g ) ； 取s ，d r ( 坶) ，若s ，硭d r 0 s ) ， 可归结为( 1 ) 的情况； 若s e ! d 置) ， 1 8 青岛大学硕士学位论文 元，b ) 一元艚( 留) 一黾佃( q ) ，如此继续或者归于情况( 1 ) 或者可得 元，白) 。瓦，坩( g ) t 氪佃，( g ) t 一是白) ，z g ) 一4 ， 取s 么g ) ，s 诺珐g ) ，为情况( 1 ) ，由此可知趔2是。翰掣“ ( c ) 可证。 命题3 1 7 ( a ) 若z 0 ，矿) 墨2 ，则，白) ；1 。 嘴州“毗川一蚺3 ) q ，豢抛_ c 一， 其中口0 ，y ) 表示 “，v 】中原子的个数。 证明：( a ) 若粤o ，v ) s2 ，由d e ，g 伍，白) ) s 吾( 2 1 ) 。i 1 ，则d e g 幢。，b ) ) 。o ，因而 ，白) = c ，c 为常数，再由，( o ) t 1 ，可得，b ) 。1 。 若粤0 ，y ) - 3 ，则d e g 伍，白) ) g 妻( 3 1 ) ；1 ，若k ，y 是2 一c ，d m ，可得 9 3 乞，( 言) 。r q 地，白) + r 白岐，白) + r 声：白坡：( q ) + 吃以( g 峨，白) + r 忱g 皿：，b ) + r ，白边，白) = 只，白) + 白一1 ) + 白一1 ) + ( g 一1 ) 2 + 白一1 ) 2 + 口3 一幻2 + 2 口一1 = e ，q ) + 9 3 1 目3 ，( 号) 一，