（基础数学专业论文）解析函数的cantor边界性质和函数空间的复合型算子.pdf

摘要 用d = z ：h 0 的一个充分条件：若f ( z ) 具有c a n t o r 边界性质且厂也) 属于h ，则i c i 0 然后根据这一结论构造出了一 些满足i c l 0 的例子 在第三章，我们考虑复w e i e r s t r a s s 函数f ( z ) = 是。a 一口n z 舻这里 a 1 ，0 p 1 ，则f ( z ) 在d = z ：h 1 内解析且在西上连续， 当a 不为整数时，我们取d = z ： 【0 ，1 ) 且z 取d 内的 主值分支我们首先给出局部c a n t o r 边界性质的定义，然后证明复 w e i e r s t r a s s 函数f ( z ) 在l = ：0 0 1 ，s u p 七n 膏l c k i = 。且i c k l o o ，则 g ( z ) 在d 内具有c a n t o r 边界性质 在第四章，利用p r e s c h w a r z i a n 导数与单叶函数的关系，我们建 立了解析函数具有c a n t o r 边界性质的一个充分条件，同时给出了相 应的例子 在第五章，我们研究单位球b 上小b l o c h 型空间之间的加权复 合算子，得到了c n 中单位球上小b l o c h 型空间腭到瑶的加权复合 算子而，妒为有界算子或紧算子的充要条件 在第六章，我们研究单位球口上d i r i c h l e t 型空间d 呈上的c a r l e s o n 测度和乘子问题对0 p q 0 ”a sa p p l i c a t i o n s ，s o m ee x a m p l e sw i t hp o s i t i v el e b e s g u e m e a s u r ea r eg i v e n i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ew e i e r s t r a s sf u n c t i o nf ( z ) = 墨1a - z n z ， w h e r ea 1 ，0 p 1 ，w h i c hi sa n a l y t i ci nd = z ： 1 ( i f 入i n t e g e r ， w el e td = z ： 1 ) 【o ，1 ) a n d ： d e n o t et h ep r i n c i p a lb r a n c hi nd ) a n d c o n t i n u o u so n d i nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s td e f i n et h el o c a lc a n t o rb o u n d a r y b e h a v i o r ，a n dt h e np r o v et h a tt h ew e i e r s t r a s sf u n c t i o n ( z ) h a sl o c a lb o u n d - a r yb e h a v i o ro nl = e 徊：0 0 1 ，s u p k n k l c k l = a n d 七i i 0 0 i nc h a p t e r4 ，a c c o r d i n gt ot h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np r e - s c h w a r z i a nd e f i v a - t i v ea n du n i v a l e n tf u n c t i o n s a n o t h e rs u 伍c i e n tc o n d i t i o no fc a n t o rb o u n d a r y b e h a v i o ri sg i v e n ，a n ds o m ea p p l i c a t i o n sa r eg i v e n i nc h a p t e r5 ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rt h e w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r 孔，妒t ob eb o u n d e d o rc o m p a c tf r o ml i t t l eb l o c h t y p es p a c e s 腭t o 懿f o ra l l0 p o oa n d0 q 0 0 o nt h eu n i tb a l lo fc n i nc h a p t e r6 ，t h ec a r e s o nm e a s u r ea n dm u l t i p l i e r sa r es t u d i e d f o r0 p 口 。m 为连通分支分解，若 - 1 ( a ，( d ) ) 和，一1 ( a 0 ) na d 都是c a n t o r 型集，也就是说，中的无处稠密集，则称( z ) 在d 内具有c a n t o r 边界性质其中m 是满足f ( d ) n 比仍的任何连通 分支d o n g 和l a u 对此做了详细的研究，并给出了d 内解析函数 具有c a n t o r 边界性质的两个充分条件，然后通过r i e m a n n a 映照定理 把上的函数f ( z ) 转化为d 上的函数，从而利用所得的充分条件 证明了这一猜测，本文的第一部分是继续深入研究c a n t o r 边界性质 及其相关问题 函数空间上的算子理论作为数学学科的一个分支，已经历了相 3 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 当长的研究历程，形成了一整套丰富完善的理论体系( 【2 3 卜 2 4 1 ) 而有 关复合算子的研究却起步相对较晚 1 9 6 8 年，e n o r d g r e n ( 2 5 【2 6 】) 结合解析函数理论和泛函理论对 解析函数空间上的复合算子作了广泛深入的研究在此后的几十年 中，复合算子越来越受到数学学者们的关注，并在众多解析函数空间 中产生了大量非常深刻的结果如由l i t t l e w o o d 从属原理可知：复合 算子在经典h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上是有界的由s c h w a r z - p i c k 引理可知：复合算子在经典b l o c h 空间上是有界的近年来，国内许 多学者对不同函数空间之间的复合算子进行了研究，取得了很多漂 亮的结果( 【2 7 】【3 1 】) 随着复合算子在单复变不同空间的深入研究，许 多学者开始研究复合算子和乘子算子相结合的加权复合算子，取得 了一系列成果( 【3 2 】- 【3 4 】) 虽然多复变全纯函数理论来源于单复变，但是单复变与多复变 全纯函数理论有着本质的差别，如r i e m a n n 映射定理在多复变就不 成立上世纪7 0 年代时，多复变全纯函数理论已经成为内容十分丰 富的热门研究领域最近的二、三十年，多复变全纯函数理论与抽象 代数、泛函分析、微分方程和几何拓扑等数学分支紧密结合，强烈地 吸引着广大学者们的研究兴趣许多原来在单复变解析函数空间研 究的国内外学者( 如a r a z y 、l u e c k i n g 、s h a p i r o 、a x l e r 、c a r l e s o n 、 s h i e l d s 、任福尧、陈怀惠、胡璋剑、周泽华、欧阳才衡等) 都被吸引 到这一方兴未艾、充满前途的领域在算子理论中倍受关注的复合 算子和加权复合算子也被推广到了高维全纯函数空间，获得了许多 很好的结果( 【3 5 】- 【4 0 】) 乘子算子作为加权复合算子的一种特殊情形也已经有很长的研 究历史，国内外学者先后获得了很多结果乘子理论之所以引起国 内外学者们的广泛重视，是因为它是研究函数空间性质、g l e a s o n 问 题、一般算子理论以及其他与数学应用有关的理论中不可缺少的一 部分t a y l o r 和s t e g e n g a 在文献【4 1 】- 【4 2 】中刻划了单位圆盘上d i r i c h l e t 型空间之间的点乘子；最近，文献 4 3 】又将其结论推广到了c n 中的 单位球上；1 9 8 9 年，z h uk e h e 在文献【4 4 】中用b e r g m a n 测度研究了 b l o c h 空间、小b l o c h 空间、b m o 空间和v m o 空间上的点乘子；文 4 解析函数的c a n t o r 边界性质和函数空间的复合型算子 献【4 5 卜【47 】对不同b l o c h 空间和d i r i c h l e t 空间的乘子进行了探讨 本文的第二部分主要对中单位球上小b l o e h 型空间之间的加 权复合算子以及d i r i c h l e t 型空间的乘子做些探讨 1 2 本文主要结论 在这一节，我们列出本文获得的一些主要结果 用d 表示单位圆盘 z ：h 1 ) ，表示d 的边界，a ( d ) 表示 所有在单位圆盘d 内解析，在面上连续的函数全体设0 p o 。， h a r d y 空间舻是单位圆盘d 上解析且满足 ，1 2 ，r l i f l l g = s u p l f ( r e 诏) i p d 8 。o 0 r l ，o 的函数，的全体 设r = 【妒( e 北) ：a t p ) 是一条曲线，它的长度定义为 ( r ) = 馏( 妒) = s u p i 妒( e “) 一妒( e 一，) 1 竹 这里上确界取遍所有的剖分o = t o t l k = p n ) 如果 c ( r ) = 瞪( 垆) 1 为任意实数时， 复w e i e r s t r a s s 函数是否具有c a n t o r 边界性质? 在第三章我们研究了 当a 1 为任意实数时的情形，同时考虑了一般缺项级数：g ( z ) = 墨oc k z 饥，其中业l 1 k q 1 ，：oi c n i o o 且s u p kl l = o o 这里复w e i e r s t r a s s 函数厶，口的定义域用d = z ： 0w j 6 解析函数的c a n t o r 边界性质和函数空间的复合型算子 为连通分支分解如果 厂1 p ，( q ) ) n 7 和厂1 ( a 比) n 7 都是7 中的c a n t o r 型集，我们就说l ( z ) 在7 上具有局部c a n t o r 边界 性质其中m 是满足( a n ) nm d 的任何连通分支 对0 秒 2 r ，0 口 0 ，设s o ( e ，7 ) ：= ( z ：l z e 坩l 7 ， a r g ( 1 一e - 硼z ) l 口) 我们称& ( p ，丁) 为点的s t o l t z 角对于这样 的s t o l t z 角& ( p ，7 - ) ，它能够用另外一个角集： 岛 ，r ) ：= p e p 托) ：1 7 - p 1 ，i z l 叩( 1 一j 9 ) ) ， 来代替文献【1 5 】和【1 6 】已经证明对任何的a 。，口z ( 0 ，丌2 ) ，口。 刀 0 使得 & ，( 护，n ) c 晶( 口，r ) c & 。( p ，仡) 设，a ( d ) ，在文献【1 6 】中定义了l ( z ) 在边界铀稠密共形的概 念：如果存在a d 的一个稠密子集e ，对于每一个e 胡e 都存在一个 s t o l t z 角& ( 口，r ) 使得f ( z ) 在& ( p ，7 ) 上单叶，我们就称y ( z ) 在边界 铀上稠密共形 定义3 1 2 设q 为c ”上具有局部连通边界的单连通区域，在q 内解析且在豆上连续，妒：d _ q 为黎曼映照设，c 扣，y = p ( ，) 如果存在j r 的稠密子集e ，对每一个点e i o e 都存在一个s t o l t z 角 & ( 口，丁) 使得，( 妒( z ) ) 在( 9 ，r ) 上单叶，刚称y ( z ) 在7 上稠密共形 在第三章，我们得到了如下主要结论： 定理3 2 3 设0 p 1 ，厶，口( z ) = 墨1a - n # z a “( z d ) 则当a 3 或 = 2 时， ，卢( z ) 在l = e 讲：0 口 2 7 r ) 上稠密共形 定理3 2 5 设0 p 1 则厶，口( 。) = 甚la 一朋名a “( z d ) 在 l = e 谛：0 0 和0 r o 1 ( 都依赖于，) 使得 rp r 叭r e 硼) i p d o 赤，0 p p o ，r o r 0 使得 c t l o g 丽1 弛) s 咖g 南，互1 r 1 定理4 3 3 设，( z ) = o 孑唧( a 薹g 矿“) 挑，。 c 2 入 一1 ，我们定义d v = ( z ) = ( 1 一2 ) 口咖( 破其中c a 一是鲁老暑鲁对c n 中的点z = ( 钆，z n ) 和加= ( 埘l ，叫n ) ，记 = 勺丐若，h ( 8 ) ，则，的梯 j = l 度用v f ( z ) = ( 差( 巩，差( z ) ) 表示， f 的径向导数用r 厂( z ) = 表示 对0 p o 。，b 上全纯函数，如果满足i i f l l p ，- = s u p ( 1 一i z l 2 ) p l r ，( z ) l 0 0 ，就称，属于b l o c h 型空间伊；如果蛙m 1 ( 1 一l z l 2 ) pi r f ( z ) i = 0 ，则称 ，属于小b l o c h 型空间馏在范数1 1 1 1 口, = 1 厂( o ) i + l i ：1 1 p l 下，伊构成 一个b a n a c h 空间，同时瑶是伊的闭子空间 由文献 4 9 】的命题1 和文献【5 0 】的定理2 可知，若f h ( b ) ，则 ，伊铮s u p ( 1 一h 2 ) pi v f ( z ) l c o ； ，露铮。l i m ，( 1 一l z l 2 ) pi v f ( z ) l = 0 ， 9 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 设0 p 一1 ，b 上的加权b e r g n m n 空间啦是h ( b ) 中满 足 i l f l l 二：2jl ( 名) i p d ( z ) o o 的函数，的全体 设0 p 一1 ，b 上的加权d i r i c h l e t 空间d 呈是h ( b ) 中满 足 ， i l f l l 易：2 f p + 以m 名) | p ( 1 一i 口d ( z ) o o 的函数，的全体 用p ( ) 表示b 上的b e r g m a n 度量，( z ，r ) = 扣b ：z ( z ，w ) r ) 表示中心在名点半径为r 的b e r g m a l l 球用e ( o ) 表示b 上的c a r l e s o n 球e ( n ) = 名b ：1 1 一 i 0 ，b 上一个正的b o r e l 测度p 若满足 删s u p 拦黔 。， 则称p 为b 上的一个s c a r l e s o n 测度，相应的p 称为b 上一个紧的 s c a r l e s o n 测度，如果 器笮黔- o 设x 、y 是b 上两个由全纯函数构成的空间，妒日( b ) ，妒为 召叶b 的全纯自映射，从空间x 到y 的加权复合算子，妒定义为： ，妒( ，) = 妒( ，o 妒)( f x ) 若妒( z ) 兰1 ，则噩，妒成为复合算子；若妒( 名) 兰z ，则，：成为点乘子 在单复变情形，b l o c h 型空间之间的复合算子和加权复合算子 已经被广泛的研究( 如文献 3 0 3 2 】， 3 4 】) 至于多复变情形，由于一 般b l o c h 型空间在m s b i u s 变换下不是不变的，所以在高维处理一般 b l o c h 型空间之间复合算子和加权复合算子问题往往是很困难的由 于b l o c h 型空间复合算子的有界性和紧性的充要条件以及其他相关 1 0 解析函数的c a n t o r 边界性质和函数空间的复合型算子 问题( 如本性模、谱结构) 本身就是该领域最前沿的问题之一，虽然 有些问题接近解决，但还有许多探讨中的问题，很多数学工作者的实 践证明，沿用超球上b l o c h 空间原有的讨论方法( 即使利用b e r g m a n 度量) 或者借用平面单位圆上b l o c h 型空间的方法很难实现对该类空 间复合算子之有界性和紧性条件的完整刻画最近，陈怀惠教授等 引进了一种f i n s l e r 度量( 【3 6 】) ，由于当0 口1 2 时，b e r g m a n 度 量已不能定义b l o c h 型空间伊的等价范数，借用f i n s l e r 度量可以 弥补这方面的缺陷当然近年来国内外从事高维b l o c h 型空间之间 复合算子研究的学者很多( 参见 3 5 】- 4 0 ) ，得到不少结果但是，对于 高维小b l o c h 型空间上的加权复合算子的有界性和紧性条件至今还 没有给出 在第五章我们给出了藤到藤的加权复合算子，妒为有界或紧 算子的充要条件 定理5 3 1 设0 p 、q o 。，妒为b 上的全纯自映射，妒日( b ) ， 则，p 为筋到昭的有界算子的充要条件为：对一切l = 1 ，2 ，n 有 妒，妒妒f 藤且 ( i ) 当0 p l 2 时， s 舢u p 踹i i i = l o 。； ( 1 2 3 ) ( i i ) 当p = 1 2 时，( 1 2 3 ) 式成立且 掣1 咄1 2 ) q l o gf 薪m 圳胁( 圳= 2 o o ； ( i i i ) 当1 2 p 1 时，( 1 2 3 ) 式成立且 s 舢u p 踹m z ) l l 酬i = 肌 o o ； ( 1 2 4 ) ( i v ) 当p = 1 时，( 1 2 3 ) 和( 1 2 4 ) 式成立且 s u p ( 1 一m 9i r e ( z e b z ) i l o g 南2 m 1 、0 1 时， s 则u p 器i = 鸠 o o 定理5 4 2 设0 p 、q o o ，妒为b 上的全纯自映射，妒日( b ) ， 则巧，妒为露到昭的紧算子的充要条件为： ( i ) 当o p 互1 时，妒藤以及对一切z 1 ，2 ，n ) 有妒忱傩 且 蓦m 1 踹i 矽( 名) 1 1 i = 。； ( 1 2 5 ) ( i i ) 当p = 1 2 时，妒瑶，( 1 2 5 ) 式成立且 i 鹄( 1 一1 2 1 2 ) g 南) 慨( z ) l = o ； ( i i i ) 当去 1 时， l i 。m 。器 设x 和y 是b 上的两个全纯函数空间我们说g 是x 到y 的 点乘子，如果对所有的f x 都有g f y 用m ( x ，y ) 表示从x 到 y 的所有点乘子的集合 对于一个全纯函数空间x ，刻画正的b o r e l 测度肛使得xcl p ( d u ) 是非常有用的，它可以有助于我们研究作用在空间x 上算子的有界 性和紧| 生，如文献 4 7 】，【5 1 】【5 2 】( 其中f ( d p ) 是b 上满足l ( z ) l p 咖( z ) o 。的复函数全体) 函数空间乘子理论的研究已有很长的历史，但d i r i c h l e t 型空间 的乘子一直以来是一个很困难的问题，国内外很多学者得到了不少 的结果，如文献【4 2 】和【4 7 】刻画单位圆盘d 上d i r i c h l e t 型空间的乘 子，文献【4 3 】和【4 6 】在单位球b 上考虑了d i r i c h l e t 型空间的点乘子 但是就是在单复变情形，d i r i c h l e t 型空间的乘子到目前为止还没有 给出完整的充要条件 在第六章，我们将借助正的b o r e l 测度肛来刻画单位球b 上 d i r i c h l e t 型空间的乘子算子，得到了当0 p 冬1 或当1 p q + 1 时，g 是班到职的乘子的充要条件 定理6 3 1 设0 p g o 。，p 是b 上的一个正b o r e l 测度，则 班cl q ( p ) 当且仅当： ( i ) 当0 p 1 或当1 p 竹+ 1 + 口时，p 是一个有限测度 定理6 3 2 设1 0 使得 涩两篇r - x - - - 貉k - - l 丽 o 。 溜百币歹两蕊鬲 甑 1 3 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 则蛾cp ( p ) 定理6 4 1 设g h ( b ) ，0 p q - - 1 ，则当0 p 1 或 当l p q + 1 时，坞是职到玛的有界算子的充要条件是： ( i ) 正的b o r e l 测度鳓船卢是一个；何+ 1 + 及- p ) 一c a r l e s o n 测度 和 ( i i 嘲祥 o 。 同时成立其中d 弘g q ，卢( z ) = ( 1 一i z l 2 ) 卢i n g ( z ) l 。d v ( z ) 1 4 解析函数的c a n t o r 边界性质和函数空间的复合型算子 c a n t o r 集的测度研究 2 1 引言 设p 是复平面c 上具有紧支撑e 的复测度，则肛的c a u c h y 变换 定义为： 邢) = 丘击撕) 它与位势理论、概率论等方面联系紧密，也是几何测度论中的一个有 用工具( 【2 】) ，两个典型例子是p a i n l e v d 定理和v i t u s h k i n 猜想( 【2 】， 1 4 1 ) 在文献 1 3 】中，s t r i c h a r t z 等人研究了自相似集上自相似测度的c a u c h y 变换，他们通过对s i e r p i n s k i 垫k 上h a u s d o r f f 测度的c a u c h y 变换f ( z ) 进行了计算机模拟，发现了许多奇怪的几何性质，因此提出了三个 有趣的猜测( 【1 3 】) 用k 表示三顶点为5 七= e 2 k 丌i 3 ，k = 0 ，1 ，2 的s i e r p i n s k i 垫，咒a ( q = l o g3 l o g2 ) 表示复平面c 上正规化的口一h a u s d o r f f 测度满足咒口( ) = 1 ， f ( z ) = a r t - , w ) 表示? - i 口i k 的柯西变换则f ( z ) 是口一l 阶h s l d e r 连 续且在k 的每一点不解析的函数( 1 3 】，【1 7 】) 用表示c k 的无界连 通分支且a 表示的边界在文献【1 3 】中s t r i c h a r t z 等人通过计算 机模拟画图发现f ( o a ) 是一个非常复杂的图形，他包含了无穷多个 圈，具有分形图形的相似性因此，s t r i c h a r t z 等的猜测之一为：存在 c a n t o r 型集cco a ( 且po a 中无处稠密的闭子集) ，使得f ( c ) = o f ( a ) ( 参见文献【1 3 】) 用d 表示单位圆盘 z ：1 名i 1 ) ，锄表示d 的边界，a ( d ) 表示 所有在单位圆盘d 内解析，在面上连续的函数全体设0 p o 。， h a r d y 空闻俨是单位圆盘d 上解析且满足 一2 霄 川；5 艘，0 阶e 诏) m 0 的一个充分条件，它与h a r d y 空间1 有紧密的联 系由文献【5 3 】定理3 1 1 知，函数，a ( d ) 且在扣上绝对连续当且 仅当，7 h - 对于a ( d ) 中的函数我们有如下的结论 命题2 2 1 设f ( z ) a ( d ) 则f ( e 谢) 是一个有界变差函数 哥f ( e 谢) 1 6 解析函数的c a n t o r 边界性质和函数空间的复合型算子 绝对连续舒，7 h 1 这时， d g ( e 徊) 一z e i e l i m 一。g ( r e i 0 ) a e ( 2 2 1 ) 证明 由文献 5 3 】的定理3 1 0 知，如果，( e 硐) 是一个有界变差函数， 则f ( e 坩) 绝对连续，因此，h 1 ( 文献【5 3 】定理3 1 1 ) 反之，设，7 h 1 ，由文献【5 3 】的定理3 1 1 我们有，( e 胡) 绝对连 续，因此，( ) 是一个有界变差函数 ( 2 2 1 ) 式同样可由文献【5 3 】的定理3 1 1 得到 设r = 妒( e 托) ：q t p 是一条曲线，它的长度定义为 ( r ) = 馏( p ) = s u p i 妒( e n n ) 一妒( e 以n t ) i n 这里上确界取遍所有的剖分口= t o t 1 t n = p ( r , n ) 如果 ( f ) = 馏( 妒) 。，就称r 是可求长的显然，( r ) = 馏( 妒) z 1 帅) l 疵= 1 但是如果有界变差函数妒( ) = f ( e 托) 同时是d 内某个解析函数， 的边界值函数，则( 2 2 2 ) 式就会成立实际上，由命题2 2 1 我们有 定理2 2 3 设函数f a ( d ) 则曲线f = ，( e 谛) ：0 p 2 7 r ) 是可求 长的当且仅当f 7 h 1 这时 ，2 霄 ( r ) 2zi f ( e i t ) d t ( 2 2 3 ) 证明由命题2 2 1 知我们只需要证明( 2 2 3 ) 式 设f 7 h 1 ，0 = t o t l t n 一1 t n = 2 r 为f 0 ，2 丌】的任意剖 分，由于f ( e 硼) 绝对连续，因此有 ，( e “) 一，( e 甜卜1 ) = ，( e n ) e n i d t 这意味着 勘m毋1壹肛，(e勺陋=o斯ifi=li = l 1 u ，( e 陋， ，t 一 因此 ( r ) l ，7 ( e “) | d ( 2 2 4 ) 解析函数的c a n t o r 边界性质和函数空间的复合型算子 另一方面，对任意的剖分0 = t o t l t n = 豺，我们有 ：。l y ( e n - ) 一f ( e i t k - , ) i ( r ) 由于t s n ( z ) ：= 警。l f ( z e 乱- ) 一f ( z e i r k - 1 ) l 在d 内次调和且在西上连续，由最大模原理得( z ) ( r ) 特别 的， n u n ( r ) = i f ( r e 乱) 一f ( r e i t k - 1 ) i ( r ) ，v ，【0 j 1 】 k - - 1 这意味着1 i m m 懿觚。o ( 7 ) ( r ) 由引理2 2 2 得 ，2 丌 r 上叭r e i t ) t i t5 一爱o ( ，) -，o “- m “o k 一” 又由于当r 1 时，詹”i ，( r e 缸) i 出后丌i f ，( e n ) i 班，因此 i f ，( e n ) l 出( i ) 所以( 2 2 3 ) 式得证 设ecc ，我们说 玩) 是e 的一个覆盖，如果 ecub k ，d i a m b k ，v k 集合e 的线测度a ( e ) ( 1 一维h a u s d o r f f 测度) 定义如下： a ( e ) 2 觋潞击锄取 这里的下确界取遍所有e 的s 一覆盖容易知道，如果eca d ，则 a ( e ) 等于l e b e s g u e 测度蚓 引理2 2 4 设f ( z ) a ( d ) 且f 7 h 1 则对任意可测集a 加) 有 a ( f ( a ) ) _ j f a i f 代) | | 吠i ( 2 2 5 ) 证明首先我们证明当r = 妒( e 讲) ：a 0 6 ) 是可求长曲线时有 a ( r ) ( r ) 1 9 ( 2 2 6 ) 湖南师范大学2 0 1 0 届博士学位论文 设e ( r ) = 堙( 妒) = m ，妒( 8 ) ( 0 s m ) 为r 的弧长参数，则矽为 压缩映射，因此a ( r ) = a ( o ，卅) ) 人( 【o ，m 】) = m ，所以 a ( f ) ( r ) ( 2 2 7 ) 因此，当a 为中的一段弧时，由( 2 2 4 ) 和( 2 2 7 ) 式得 a ( ，( 4 ) ) ( ( ，( a ) ) l ，7 ) i i d ( 1 ( 2 2 8 ) j a 当a 为任意可测集时，设b 七= ：q 南p 0 因此，由c 可测，f ( c ) = o f ( d ) 和引理2 2 4 得 ， 0 0 2 3c a n t o r 集测度大于零的例子 解析函数的c a n t o r 边界性质和函数空间的复合型算子 在这一节，我们将给出一些c a n t o r 型集c 的测度大于零的例子 一个直接的例子来自文献【1 5 】和【1 6 】取o k ，m = m k ，仇= 1 ，2 ，角一 1 ，k = 2 ，3 ，且饥，m = ( 1 一k 一8 ) e 记硼枷由于当s 2 时，是2r 七m 一= 1 l ，k l i 魂，m i ) = 墨2 ( 七一1 ) k 叫 0 下面我们通过函数图形来构造一个满足c a n t o r 型集c 的测度大 于零的例子首先我们给出局部连通的概念 定义设a 是一个闭集，如果对任意的 0 ，存在6 0 ，使得对a 中任意满足l o b 6 的两点n ，b ，我们能够找到一个连续统b = 眈，b 使得 a ，b bca ，d i a m b g 则称集合a 是局部连通的 引理2 3 1 设 孤煨lc ( 0 ，1 ) 满足z n ( n m ) ，取 如= r e 斯z “：1 一a n r 1 ) ， r = 刮duu 巽l ( 2 3 1 ) 其中0 a n 0 和口他的子序列o n 。使得a n 。c ，k = 1 ，2 ，考察厶。，他们的端 点e i 2 1 r x n t 有一个收敛子列，不失一般性，我们可以假设e i 挑n t _ e 2 碟 取粤= r e 2 霄：1 2 事实上，用历2 表示孽的6 2 一平行体取 h ，厶。ce 6 2 ，他们的长度大于c 我们考虑两个点a = ( 1 一c ) e 伽飞 厶。，b = ( 1 一c ) e 何z ”b 显然i a b i e 这与r 局部连通矛盾 充分性：设a n _ 0 一。) ，我们需要证明r 是一个局部连通 集我们首先证明如下结论： 任给6 0 ，取o ，b ，i n b i 6 ，用，d 表示其端点为 c = e 踟孙，d = e i 2 彻m 锄中的最小弧，则 d i a m d 2 6 ( 2 3 2 ) 不妨假设a 竹a m ，由几何直观以及0 a n 0 ，我们可以找到n n + 使得a n 5 ，n 设 1 6 。m i n n 1 ，a 2 , ，。一1 ) ，如21 鎏囔d i s t 他，岛) ，62 亩m i n ，j - ，如】 设任意的a ，b f 且满足i a b i j ，我们将证明存在连续统b f 满 足a ，b b 且d i a m b e 事实上，我们可以按一下四种情形找连续 统b = b a 6 1 如果o ，b 铀，我们取连续统b = 6 显然有d i a m b 艿 g 2 2 解析函数的c a n t o r 边界性质和函数空间的复合型算子 2 如果口，b ，我们取连续统b = 陋，6 】c cr ，则d i a m b = i o 一6 i 6 e 3 如果o o d ，b ，我们取连续统b = 【6 ，c 】u ，。，其中c = e 住艄m 设口= e i 2 1 r ( m + 们，则d i s t ( b ，o d ) = i b c l i o h i ；d i a m ，c = i n c i l 口一b i + 1 6 一c l 2 1 a b 1 所以d i a 豇a b d i a m 3 , a ，。+ 1 6 一c l 3 6 e 4 如果n ，b ，我们取连续统b = 【n ，c 】u 【6 ，司u ，d ，其中 c = e 记，d = e 记们m 由( 2 3 2 ) 式知d i a m t c , a 2 6 e 5 1 ) 如果凡，m n ，则i 口一c i = d i s t ( a ，o d ) g 5 且i b d is b n e 5 因此d i a m bsl o c l + l b d i + d i a m