（基础数学专业论文）（21）维boussinesqburgers方程的精确解.pdf

摘要 本文主要考虑一个重要的孤子方程：b o u s s i n e s q b u r g e r s 孤子方程，运用“h i r o t a 方法”求出了该孤子方程的精确解本文主要分三个部分 第一部分是引言，主要介绍了有关孤子理论和“h i r o t a 方法”的一些背景知识 第二部分，主要研究了通过适当的变量代换，将孤子方程化成双线性形式的微分方 程，这个过程也叫做双线性化对于( 2 + 1 ) 一维的孤子方程，寻求到适当的变量代换难度很 大在此我们引入了双对数变换u = 一；( 1 n ) 。一= 一j 1 ( 1 1 1 9 ，k ( 其中g l 是关于变量z 班的 函数) 将方程 毗_ ( 驴2 矿。3 。1 。 ( 0 1 ) 【吨= ( 矗地。一i ”2 + ；t k 一2 “扩1 ) 。 最终化成了双线性形式的微分方程，如下所示 ( 岛一j 1 屹2 ) g ，= 0 ( 现一i 1 3 ) 9 ，= 0 ( o 2 ) ( d z d t 一去珑一i 3 2 d u ) g ，= 0 接下来，从方程的双线性形式出发用摄动法最终得到孤子方程的n 一孤子解， 。曲。墨竺鱼笔鲨竺! 竺k 。 1 + “p 矗 其解分别为 ( 0 3 ) 口= 一；【l n ( 1 + e x p o ( e x p & + e x p ( ( p ；& + f o 白) + a 。) 】。 ( o 4 ) “ i = 1i = l p = 11 t d 此外，我们借助于m a t l a b 作出了单，双孤子解的精美图形，从直观上观察到了“孤波” 现象 本文的最后一部分，对于( 1 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程来说，其n - 孤子解 的求法与( 2 + 1 ) 一维的类似，不再赘述在本文中从方程的双线性形式出发，求出它的另外 一种形式的解一w r o n s k i a n 解寻求w r o n s k i a n 解的关键就在于要找到适当的行列式元素 西本文从b o u s s i n e s q b u r g e r 8 保谱问题的l a x 对中，找到适当的函数西，以进而构造 出了b o u s s i n e s q b u r g e r s 行列式形式的解 关键词：h i r o t a 方法，b o u s s i n e s q b u r g e r s 孤子方程，一孤波解，w r o n s k i a n 解，精确解 a b s t r a c t 驴娃1 u 一砌3 q 驴b ( 0 5 ) i 毗= ( 击一；护十；蛳一；t 国- 1 吻b l ( 巩一 珑) 9 f = 0 ( 功一 谚) 9 ，= 0 ( o 6 ) 【( 仇耽一矗碰一i 噬岛) g ，= 0 。；一：陋量：兰二墨竺筝! ! ! ! ! ! ：竺竺二竺! k ( 。7 ) = 一：陋苎兰等望二k ( o 7 4 1 + e x p 矗 ， nnn = 一；n ( 1 + e x p 靠) ( e x p i + 既p ( ( m 靠+ 心白) + a 玎) k 。 ( o 8 ) 。 i = if = l“= l l i j w em a i n l yc a t c ht h ea n o t h e rt y p es o l u t i o n - w r o n s k i a ns o l u t i o no f t h e ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o nb o u s s i n e s q - b u r g e r ss o l i t o ne q u a t i o nf r o mt h eb i l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ek e yo ft h em e t h o di st of i n d aa p p r o p r i a t ed e t e r m i n a n t se l e m e n t 毋i nt h et h e s i s ，w ef i n dt h ea p p r o p r i a t ed e t e r m i n a n t se l e - m e n t s 曲、劬f r o mt h el a xp a i ro ft h ee q u a ls p e c t r a lp r o b l e m ，m o r ew e c o n s t u c tt h ea p p r o p r i a t e d e t e r m i n a n t ss o l u t i o n so ft h es o l i t o ne q u a t i o n k e yw o r d s ：h i r o t am e t h o d ，b o u s s i n e s q - b u r g e r ss o l i t o ne q u a t i o n s ，n - s o l i t o ns o l u - t i o n s ，w r o n s k i a ns o l u t i o n s ，e x a c ts o l u t i o n s ； 第一章引言 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分，许多科学领域如流体力学、 等离子体物理非线性光学、凝聚态物理，超导物理、经典场论和量子场论等都包含着和 孤立子理论密切相关的问题，利用孤立子理论已经成功的解释了物理上长期用经典理论未 能得到解答的现象 早在1 8 3 4 年，英国著名科学家r u s s e l l 观察并记录了孤立波现象【1 ，2 l ，他认为这种孤 立波是流体运动的一个稳定解，并称之为“孤立波”r u s s e l l 当时未能成功地证明并使物 理学家信服他的论断直到1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究 了浅水波运动，得到了著名的k d v 方程，从而在理论上证实了孤立波的存在性【3 】 1 9 6 5 年美国著名科学家z a b u s k y 和k r u s k a l 通过数值模拟k d v 方程详细地考察和分 析了等离子体中孤立波非线性相互作用后不改变波形和波速的论断由于这种孤立波具 有类似粒子碰撞后不变的性质，他们命名这种孤立波为孤立子吲 随着对孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成了 比较完整的理论体系对孤子方程，近年来已经有许多求解的方法，例如反散射方法，达 布变换法，贝克隆( b a c k l u n d ) 变换，代数几何法，双线性( h i r o t a ) 方法【5 - 1 4 这些方法 各有特点，也有其内在联系其中，。h i r o t a 方法”是一种重要而直接的方法，相对于反 散射方法而言，被称为直接方法这种方法的优点在于它是一种代数而不是解析的方法 h i r o t a 方法是1 9 7 1 年h i r o t a 为了求出k d v 方程的多孤子解而发展起来的，这种方法已从 求k d v 方程【1 5 、m k d v 方程【1 6 、s i n e - g o r d o n 方程【1 7 】、非线性薛定鄂方程【1 8 】的 n - 孤立子解而发展成一种求解一大批非线性偏微分方程孤立子解的相当普遍的方法这 种方法的关键是相关的变量变换，把非线性方程化成了双线性方程，之后通过摄动方法找 到方程的精确解关于( 1 + 1 ) 一维孤立子方程的研究已经有很成熟的理论和方法但对于 高维的孤子方程研究很少，8 0 年代后，人们逐渐开始把注意力转移到高维空间问题上 在这篇论文中，我们主要解决的问题是运用直接方法求( 2 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程族【1 9 - 2 1 】的精确解关于b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程系统，已有大量的研 究在文献【2 2 】中，讨论了在刘维尔意义下，b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程系统是完全可 积的；在文献【2 3 】中，利用驻定演化方程的l a x 表示，将经典的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方 程族分解为两个可解的常微分方程系统，并且得到了高维b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程的有 限带势解；在文献【2 4 l 中，张金顺教授通过b o u s s i n e s q b u r g e r s 的l a x 对的非线性化， 得到了一个有限维可积系统，证明了在刘维尔意义下是完全可积，并利用代数几何方法得 到( 2 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程的拟周期解在本文中我们运用直接法求解出 了( 2 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程的孤子形式的解另外，我们用m a t l a b 数学软 件进一步作出了孤子解的优美的图形，直观上证明了孤立波的存在性以及孤波碰撞时候 的特性 本文利用h i r o t a 双线性化方法，求出了( 2 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程族的精 确孤子解，而对于( 1 + 1 ) 维的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程来i 兑，其孤子解的求法与( 2 + 1 ) 一 维的情形类似，不再赘述我们从方程的双线性形式出发，求出它的另外一种形式的解 w r o n s k i a n 解 2 5 - 2 6 对于w r o n s k i a n 行列式解，早在1 9 4 9 年，日本数学家s a t s u m a 提出n 孤子解的w r o n s k i a n 行列式表示，并力图证明这一猜测但未获成功过了四年， 英国学者f r e e m a n 与n i m m o 利用行列式性质与l a p l a c e 展开定理首先给出了k p 方程 1 2 7 】存在表示为w r o n s k i a n 行列式的n 孤子解的严格论证，从而使孤子方程的求解步入 了一个新的阶段近年来对于w r o n s k i a n 形式解的研究十分活跃，在文献f 2 8 】，作者利用 直接法作出了k d v 方程的w r o n s k i a n 形式的解；在文献陋】，作者利用h i r o t a 方法和 w r o n s k i a n 技巧又对m k d v 方程进行了求解，推广了w r o n s k i a n 行列式元素满足的条 件并得到广义的双w r o n s k i a n 解等它的优越性在于可以将此解代入双线性方程直接验 证它的关键就在于要找到适当的行列式元素咖，通过构造的方法找到解本文从( 1 + 1 ) 一维 b o u s s i n e s q b u r g e r s 保谱问题的l a x 对中，找到适当的函数、妒，进而构造出了( 1 + 1 ) 一 维b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程的w r o n s k i a n 形式的解 2 第二章( 2 + 1 ) 一维b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程的精确孤子解 2 1 ( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程的双线性化 首先，我们介绍一下h i r o t a 双线性算子及它的性质； d t m n 9 ，- 【( 妄一未) ”( 未一昙) 吲引) 他川拈叫：t 特别当m = n = 1 时算得 d t d x g | = g t z | 一g t | z g z t 七g | “ 而当m = o ，n = 2 时有 d 乏9 f = g z ：f 一2 9 t 缸+ 9 f z z 式( 2 1 ) 称函数g 与，对t 施行m 次现，对z 施行n 次见的双线性导数 i ) 函数g ( x ，t ) 与自身的奇数次双线性导数为零就是m + n 为奇数时 d p d 釉9 = 0 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 性质如下； ( 2 4 ) i i ) 交换函数9 ( ) 与y ( x ，t ) 的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其值不变，丽导数是 奇次时要改变符号 d y d ：g ，= ( 一1 ) m + n d p d ：，g ( 2 5 ) i i i ) 函数g ( x ，t ) 与数1 的双线性导数就是通常的导数就是 d d 知1 = a ；n 霹g ( 2 6 ) i i i i ) 两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当的倍数就是设 & = z + t 啦t + 鳄“= 1 ，2 ) ( 2 7 ) 则有 d j d ：暖l e x p , 2 = ( w l t 屹) ”( k l 一如) “e x p ( f l + 2 ) ( 2 8 ) 由此推得相同的线性指数函数的双线性导数为零 d p d ；e z 碡1 e x p , 2 = 0( 2 9 ) 3 本文考虑( 2 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程； l 啦= ( 一2 u 3 3 u o - 1 p k 1 仇：( 去一；”t + ；u z y - - g u a - - i u y ) 。 f 面我们王要将( 2 1 0 ) 的两个万崔分别化厩舣线性彤式的微分万槿 为此我们引入双对数变换； u = 一1 。0 6 j ) z u = 一；( 1 n g f ) 。 可将u ，v 的表达式分别代入( 2 1 0 ) 的两个方程 代入第一个方程并化简：首先，令= 3 z ，则方程可化成s 蚴= ：- w x 。一2 砭一3 魄嘶k 对( 2 1 3 ) 两端积分并取积分常数为零，得 妣= ；。一2 w ：一3 w z w l t 以下我们分别计算式子中每个表达式的值 其中 毗刨n ；，t = 等 同理 魄_ ( 1 n 7 9 驴艺芋 因为 嘶_ ( 1 n 7 9 护艺严 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ”2 ( 1 ；) 铆 = ( 幽鼍笋鳖+ 了2 a ：a y 一巡笋鳖一擎) = g = z f y f a g 2 + 2 9 z u f = f 2 9 2 _ 2 9 z f = y f 2 瓦9 2 _ f g y f = = f 2 9 2 _ g = = g y f 3 9 _ 2 g x g x u f 3 9 4 s z t s u | 皆七2 f 。f , q f 9 3 七2 9 ；g v 一2 e | 毋 f a g a ：g x x y f - - g x x f p - - 。2 g z y f z - - 2 g x f x y - g | ，f z z - - f z z y g g j 一2 警笋( 丝型铲盟亟一丛逊9 2 掣f ) g f 、 g f 2 j 一! 丝! 二垫盘生! 盟! 墅二旦丘! 9 2 f 2 故将上式中的y 换成z 即可得到毗。： ”z z z = ( i n ；) x x z = ( g x x z g - g x x ，g x - - 2 9 x g z z + 等一型鼍# 塾一等) 啦。厶，2 9 2 + 2 9 x 。厶，2 矿一3 9 z f x 。，2 9 2 3 啦啦。f 3 9 。3 f x f x 。f 9 3 + ! 堡墅二! 蟹盘 。忑r 一1 。7 歹一 g 。；：f 一9 z ；f z 一2 9 z z k + 3 9 z k z f ；。g0 9 z z f 一2 9 z k + f x x g ) ( g x l 二g i 盘 面一一1 予 一z 嗡笋c 世学一铲， 将以上各式代入( 2 1 4 ) 式，可得t 掣：； ( g x x x f - g z x f z - 2 9 x x f x + 2 9 x f x x + g x f z x - f z x z g ) i 厂2i j 一2 譬笋( 世型害丛亟一丛秀掣) 。 9 ， 、 g ， 矿，2 一丁(gz3：f-29zfz+fzzg)(g。f-gfx)_1_2(屿些)3-3嗡严屿严9 2 ，2 1。、 9 ， 7 。 9 ，9 ， 将上式化简并写成双线性算子的形式为： 可d t g f = 。1 叫 d ：g f 一。等等_ 2 ( 等) 3 】一；( 等) 3 + ；等型g ( 2 1 8 )矿24 - 9 ，一。丁矿一2 l 丁jj 一互o 矿，1 。j 矿一 p “。 在条件( d r j 1 2 ) 9 f = 0 限制下，可以写成双线性算子的形式为； 堡咝：三f 堡业1 g | 4 、g f 即 ( d r i 1 3 ) 9 f = 0 5 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 岛一潲扩，_ o ( 2 2 1 ) 【( d r i 1 一。3 ) 9 f = 0 对于第二个方程，首先，对( 2 1 0 ) 两端关于z 积分并取积分常数为零，得 0 - i 砚= 去一；矿+ ；“x y - - 耖1 嘶 ( 2 z z ) 将“，”的值代入可并化简得； ( 1 n g ) 一= 去( 1 n 9 ，) 。+ ；( 1 n 9 ，) ：；十3m 7 9 ) 一”+ i ( 1 i l ；b ( 1 n g ，) 卸 ( 2 2 3 ) 以下分别计算式子中各个表达式的值 同理 ( f g ) z 口f g 一( f g ) z ( ，9 ) ” ( g f ) 2 功| 铲+ 9 w g 铲一f 。 g 皆一g z 9 。p ( g f ) 2 ( 1 ng ) “= f g z t f g 飞- 丽( f g 广) x ( f g ) t 名f 9 2 + g z t g f 2 一f , f t 9 2 一g z g * f 2 2 万严一 ( 2 2 4 ) ( 2 2 s ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 1 n 弦= ( g z x y g - g x g z g 。u - 2 9 x g z v + 学一趔笋鳖一学) ：g x z f u f 2 9 2 + 2 g x v _ f z f 2 9 2 - 2 g x f 甜f 2 再9 2 歹- g u f z x f 2 9 z - g x z g u f 3 9 - 2 g x g = u f a g j | 。z f y f 9 3 + 2 | z | w f 矿+ 2 蟊一2 绣| u 铲 f 3 9 3 ：墅! ! 二丝! 盘二! 丝! 盘塾墨! 鱼盘! 二堡坦 g 一。学( 出型皆盟亟一丛焉掣) 一! 旦坚= ! 塾盘垒! 盟! 塑二! 盘! 9 2 f z 6 重要的是算出( 1 n g f ) 。： ( 1 i l9，)。=tgxxxxg-49xxxgx+39：x一6丁gzxg-g：+鱼塑产 一6 鱼二丝。 ，2 = g x x x z g - - 4 g x x z f z + 刁6 9 z x f x z - - 4 9 x f x z x + f x x x z g - 6 ( 艺尹) 4 4 ( g h g f a b 。z z f 。+ 3 9 x x k + 3 9 x 。：一| ：z z 9 1 十3 ( g z f g 扎甲 + 孑芦一一一 1 2 ( g 。f g | a l g t t f 一2 z + f z t 9 1 =gg-49xxxfx+69矿xxfzz-49xfxzx+fxxxzg+3铲 一4 ( g z f - g f z ) ( g z z z l x 了+ 3 9 r z x f x + 3 9 x f z z - f x x x g ) 叫艺严) 4 1 2 ( g z f - g f x ) ( g x 甭z f - 广2 9 z a 一+ f x x g ) 将以上各式代入f 2 2 3 ) 并目化简可得： g x t f g z f t m f t g | n1 g x x x x g - - 4 g x z x f z + 6 g x x ，f x x - 。4 g x f x x x - 1 - f g g ， 1 6 9 ， 一! 墅型二墅盘二弛盘! 丝盘! 鱼盘! 二墨苎塑一墅二! 盘尘二! 盘 8 g g fg f +五1gxxxf-3gxza可39xfxac-fxxzg艺严=。 j 4 9 |g | 进一步化简并写成双线性算子的形式为： 型g 一三1 6 业g 一兰8 蜘g 一型g f 型g + 1 4 盟g 等= 。( 2 2 8 ) 9 | 、? 整理可得 型蝴丐幽一等( 等一。1 d 3 g f 、= 。g l g 】g j q 93 写成双线性的形式即为t i ( d 。d t 一去珑一i 珑岛) 9 f = a d x g f i ( n i 1 一。3 ) 9 f = a 9 ， 特别地，我们取a = 0 ，第二个方程的双线性形式可化为： i ( n = d t 一矗噬一珑d ”) 9 ，= 0 【( d t i 1 一。3 ) 9 ，= 0 ( 2 3 1 ) 至此，我们便得到了( 2 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程的双线性形式，如下所示： i ( 岛一 噬) g ，= 0 ( d l 一 谚) 9 ，= 0 【( d = d t 一击谚一i 噬d u ) g ，= 0 8 ( 2 3 2 ) 2 2 ( 2 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程的精确解 i ( 巩一噬) g ，= 0 慨一 谚) 9 ，= 0 ( 2 3 3 ) 【( d z d t 一矗噬一i 3 吩2 d y ) g ，= 0 ( 岛一i 噬) 0 1 e + 9 2 ，+ + 一十。) ( i + f i e + ，2 e 2 + + 一十) = 0 ( 2 3 0 ) ( d r i 1 3 ) 国1 e + 矿e 2 + + 一+ ) ( 1 + ，1 + ，2 e 2 + + f f s j + ) = o ( 2 3 7 ) ( d x d t 一丽1 。4 一百3 上，。2 d ”) ( g l e + 9 2 e 2 + + g j e j + ) ( 1 + ，1 e + ，2 2 + + ，一+ ) = o ( 2 3 8 ) ( 巩一互1 2 ) ( 9 1 1 ) = o ( d ”一互1 - 。2 八s ，2 1 ) = 一( 巩一互i - 么2 八9 1 ，1 ) = o ( 2 4 0 ) ( 巩一互1 z 八g a 1 ) = 一( 岛一互1 2 儿9 1 ，2 + 9 2 ，1 ) = o ( 2 4 1 ) ( d y 一五1 2 删2 1 ) 一( 巩一；谚) ( 9 1 ，3 + 9 2 ，。+ 矿，- ) ：o 9 和 以及 ( d t j 1 3 ) ( g l - 1 ) = 0 ( d t 一：磋) ( 9 2 1 ) ( d ri l 吲3 1 ，1 ) = o ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( d t i l u 。3 八3 1 ) = 一( d t i l u 。3 八9 1 ，2 + 矿f 1 ) = o ( 2 4 5 ) ( d t i l u 。3 八9 4 1 ) = 一( d r 一五1 - 。3 八9 1 ，3 + 矿，2 + 9 3 ，1 ) = o ( 2 4 6 ) ( d z d t 一去噬一百3 2 岛) ( g l 1 ) = o ( 2 4 7 ) ( d z d t 一面1 屹4 一百3 2 巩) ( 9 2 1 ) ( d z d t去噬一百3 2 岛) ( 一，1 ) = o ( 2 4 8 ) ( d x d t 一1 0 ：一；谚巩) ( 1 ) = 一( d x d t 一丽1 4 一；d 2 x d u ) ( g l - f 2 + 9 2 f 1 ) = o ( 2 4 9 ) ( d z d t 一而1 4 一百3 2 蝴朋4 1 ) ( d z d t菇1 4 一；谚) ( 9 1 ，3 - f 9 2 ，2 + 矿，1 ) = o ( 2 5 0 ) 从( 2 3 9 ) 、( 2 4 3 ) 可知9 1 具有指数形式的解： 不妨设9 1 = 唧1 ，其中f i = k l x + w l y + p i t + 器，钾是常数 将9 1 的值代入( 2 3 9 ) 、( 2 4 3 ) 可得：w l = 护1 = i 1 卟3 ( 色散关系) 将9 1 的值代入( 2 4 7 ) 可得： ( k l p l 一去 一和m t ) e x p 1 1 = o ( 2 5 1 ) 根据色散关系：w l = k , p l = i l n 3 1 k l p l - 去碍一孙8 t = o( 2 5 2 ) 是自然成立的! 即9 1 满足方程( 2 3 9 ) ，( 2 4 3 ) ，( 2 4 7 ) 如果取f 1 = 9 1 ，将9 1 ，f 1 分别代入( 2 4 0 ) ( 2 4 4 ) 、( 2 4 8 ) ，由双线性导数的性质可得 ( q 一；噬) 哆1 e z g l = o ( 2 5 3 ) 一i 珑) e 域l e 欢1 。0 ( 2 5 4 ) ( 玩d 一而i 4 一百3 屹2 巩) e 咄l e 硝l = 0 ( 2 5 5 ) 即 ( d r 一；珑) ( 9 2 1 ) = 0 ( 2 5 6 ) ( d r 一；理) ( 9 2 1 ) = o ( 2 5 7 ) ( d x d t 一去磷一百3 2 唧m 2 1 ) = o ( 2 5 8 ) 方程又回到： ( d r j 1 2 八9 1 1 ) = 0 ( 2 5 9 ) ( d r 一；璁) ( 9 1 1 ) = 0 ( 2 6 0 ) ( 眈d t 一去理一；d 2 d r ) ( 9 1 - 1 ) = o ( 2 6 1 ) 故，可取9 2 = o ，2 = 0 ，继续这种推理，则有一= o , f j = o , j 3 因此级数( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 被截断而取有限形式特别当= 1 时，其值分别为； 9 1 0 ，y ) = e x p 1 ( z ，y ) = 1 + 唧f l 其中f 1 = k x x4 - w l y + p l t + g ，1 0 1 = 墙, p l = i 1 “1 3 将g l ( x ，y ) 、 ( z ，y ) 代入双对数变换，从而可以得到方程的单孤子解： 一；陋器k 一 生1 2 ( 14 - e x p , r , ) l l ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) ( 2 6 4 ) ( 2 6 5 ) 一1 i , n ( 1 + e x p 1 ) p f l ) k 一蟹! p 1 2 ( 1 + “p 1 ) 2 一譬群譬 ( 2 6 6 ) ( 2 6 7 ) ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) 由于( 2 3 9 ) 是线性微分方程，所以它也应有叠加形式的解，不妨设： 9 1 = e x p f l + e x p , 2 ，其中f l = k l x + w l y + p l t + 器，钾为任一常数 将9 1 = p 1 + e x p , 2 代入( 2 3 9 ) 、( 2 4 3 ) 、( 2 4 7 ) 可得l 毗= j 1 i 2 栅= i l n i 3 ，i = l ，2 若取f 1 = 9 1 ，将9 1 ，f 1 分别代入( 2 4 0 ) ，( 2 4 4 ) ，( 2 4 8 ) ，则根据双线性导数的性质可得 鳍一；露。= - ( d u 一百1 。2 ) ( e x p l + e 】( p 2 ) ( “p 1 + e x p , 2 ) = 一( h 一如) 2 e x p ( f l + ) 衍一i 1 如2 。( d rj d ：) ( 唧- + “p 。) ( “p f ，十。c p f z ) = 一( k l k 2 ) 2 e x p ( f 1 + 如) 蠡一矗建。一百3 2 。，= 一( d x d t 一去理一；珑巩) ( “p f 。+ “p 如) ( “p t + “p z ) = 一扣+ 蚴2 ( h 一如) 2 e x p ( - + 锄 由此解得； 9 2 = 一竽酬针如) ( 2 7 0 ) 若我们取f 2 = 0 ，将9 1 ，f l , 9 2 , f 2 代入( 2 4 1 ) 、( 2 4 5 ) 、( 2 4 9 ) ，根据双线性导数的性质得： 即 ( 巩一互i d 2 , i ，* 2 + 9 2 f 1 ) = o ( d r i 1 屹3 ) 。1 ，2 + 9 2 ，1 ) = o ( d x d t 一去谚一8 3 d 2 d , , 、。a ，2 + 9 2 ，1 ) = o ( d y 一；噬) ( 9 3 1 ) = o 1 2 ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) ( 2 7 3 ) ( 2 7 4 ) ( d r 一五1 3 八9 3 1 ) = 0 ( 2 7 5 ) ( d x d t 一去谚一3 8 d 2 d , , 旷a 1 ) = o ( 2 7 6 ) 此时，方程又回到( 2 5 9 ) 、( 2 6 0 ) 、( 2 6 1 ) 的形式故，可取矿= 0 ，令，3 = 0 继续这种推理：矿= 0 ，= 0 ，j 4 这样一来级数( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 被截断而取有限形 式特别当s = 1 时，其值分别为t 啦( 。，可) = e x p 1 + e x p 缸+ e x p ( 自+ + a 1 2 ) 厶( ，) = 1 + e x p e l + e x p 已 其中t e x p ( a 1 2 ) = 一血k 生l k 2 芝 此时k 1 k 2 互异 从而方程有双孤子解： 一l i l n g ，2 2 ( ( z z ，, f v ) ) 1 。 一 i n 型等篙舞糕笋型k ( 2 7 7 ) ( 2 7 8 ) ( 2 7 9 ) ( 2 8 0 ) 1 一妄【l n 9 2 ( x ，v ) z ( x ，) 】z z( 2 8 1 ) 一扣( e x p l + “p 2 + e x p ( 6 + 2 + 如) ) ( 1 + e x 晒+ e x p2 ) 】。( 2 8 2 ) 这样的求解过程可以继续下去直到获得( 2 + 1 ) 一维b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程的n 一孤子 解，它们可表示为； n “p 6 + e x p ( ( 地靠+ 脚白) + a 玎) “= 一；【l n 旦竺1 _ 掣一k ( 2 8 3 ) 。 1 + e x p i ，nn n = 一；( 1 n ( 1 + e x p f o ( e x p 6 + e x p ( ( 肌靠+ 脚白) + 4 巧) k z i = 1 = 1 弘= 11 i j n e e f l = k l x + w l y + p l t + 器，o 为任一常数w i = j 1 “ 2 ，p i = i 1 3 ，t = l ，2 ，“，n 1 3 2 3 ( 2 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程的孤子图形 在上一节里面，我们通过摄动法求得了( 2 + 1 ) 维b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程新的n 一孤子 解本节我们借助于m e t l a b 软件作出了方程的单双孤子解的图形，如下所示： f i g l f i 9 2 1 4 f i 9 3 f i 9 4 第三章( 1 + 1 ) 一维b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程的w r o n s k i a n 解 3 1 ( 1 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程的双线性化 卒节亏虑( 1 + 1 ) 一维的b o u s s i n e s q - b u r g e r s 方程： 巨荔瑟。 引入同样的变换“= 一( 1 n ) z ，”= 一；0 - g ) 一，类似于( 2 + 1 ) - 维的情形， 算子，最终也可以得到其双线性形式的微分方程，如下； f ( d r 一 珑) g ，= o 1 ( 玩岛一j 1 3 ) 9 ，：o 3 2 ( 1 + 1 ) 一维b o u s s i n e s q b u r g e r s 方程的w r o n s k i a n 解 ( 3 1 ) 我们借助于n ( 3 2 ) 从方程的双线性形式出发，我们研究该方程的w r a n s k i a n 行列式解先叙述两个重 要的性质： 引理1 设q 是n 一2 ) 阶的矩阵，a , b ，c ，d 是n 维列向量，则成立行列式恒等式 i q ，a ，b l l q ，c ，d i i q ，a ，c l l q ，6 ，d i + i q ，n ，d l l q ，b ，c i = 0 ( 3 3 ) 引理2 设a = ( ) 。= ( 0 1 ，n 2 ，) 是n n 矩阵，每一是列向量，c 1 ，c 2 ，c , n 是任意常数，则有 nn 勺n 2 ，n 。i = q 2 ，q ，a 。i( 3 4 ) j = lj = l 在b o u s s i n e s q b u r g e r s 保谱问题的l a x 对中，令( “， ) = ( 0 ，o ) ，( 妒1 ，赴) = ( 毋，妒) ，则给出 丸= 一a ，k = a 妒 也= 一如。，讥= 忆。 1 6 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 定理1 设a 为实数确，鲍，+ 。+ 2 ，且函数对渤，饥) ，( 咖，也) ，( + 。+ 2 妒。扣+ 2 ) ， 满足方程组 奶。= 一a 奶，奶。= a 奶， ( 3 7 ) 奶= 一奶z 。，奶t = 奶j = 1 ，2 ，m - 4 - n + 2 ， 则由奶，奶及其导数分别构成的m - 4 - n 4 - 2 阶行列式 ，= l 由，如奶，巩“奶；奶，巩奶，岛”奶i = 院俞i g = 一2 i 咖，如妨，如”1 奶；奶，以奶，巩州。1 奶i = 一2 1 n - - 二l ；而干1 i 是双线性方程( 3 2 ) 的解在证明定理之前，注意以下恒等式 引理3 因为 博；俞l ( k j ) 2 l 最俞l = ( b ) 2 i 壳；疣1 2 j = lj = l m + n + 2m + 疆+ 2m + ”+ 2 胁i ( 蝴# 1 ；再l i = 晰硎弓i 1 ；卉l i j = l j = lj = 1 m + n + 2m + n + 2m + n + 2 i # 1 ；卉l j ( 磅) 2 f i ；f f t l = 磅j # 1 ；再l l k a r , ；赢l j = lj 1 j = l 利用引理2 及奶所满足的方程( 3 5 ) 给出 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) f 矗，伉f ( i n ：- - 2 ，n ，n + l ；肃f + f f 二l ，礼+ 2 ；赢i 一2 i n - 一1 ，n + l ；庐1 ，m + 1 1 + l 宄；而：2 ，m ，m + i i + l 绣”二1 ，m + 2 1 ) = - ：- - 1 ，礼+ 1 ；肃l l 氟竹 ：l ，m + 1 1 ) 2 ( 3 1 4 ) i 筇，肃l ( i 彳二l ；而二1 ，m + l ，m + 2 1 + i f f l ；赢，m + 3 1 2 1 n - = - 2 ，n ；赢，m + 2 1 + l 矗二3 ，n 一1 ， 再干1 1 + i 矗：2 ，n - 1 - l ； 薛1 1 ) ( 3 1 5 ) = ( 1 露赢，m + lj 1 7 二1 ，打+ 1 ；痢i ) ( j ：1 i 疣，m + 2 1 一i - - 二_ 2 ，嘶，再l f ) n 一- 1 ，再1 i ( i 扛2 ，n ， + 1 ；俞i + i 乒l ，n + 2 ，侧一2 l # 1 ，n + 1 ；庐1 ，m + 1 1 + i 而。= 2 ，m ，m + 2 1 + j 氪；而：1 ，m + 2j ) = ( 1 矗：1 渝，m + 2 1 一i 矗：2 ，n ； 薛1 洲鼢再：1 ，m - 1 - 1 1 一l 矗：1 ，n 4 - 1 ；刊) ( 3 1 6 ) 现在回到定理的证明将( 3 2 ) 第一个方程展开，容易得 ( d r j 1 2 b - ，= 仇，一g 一；( 啦：，一2 妇厶+ 9 厶。) = o ( 3 1 7 ) 1 7 即 ( 2 研一9 i 。) ，一( 2 ，t + 厶z 岫+ 2 啦厶= 0 容易计算f 与g 对x 的导数 厶= 一i - = i ，n + 1 ；佩i + l 宄；仃暑1 ，m + 1 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 乜= i 乒2 ，n ，n + 1 涮+ i 乒1 ，n + 2 ；酬一2 i 乒l ，n + l ；乒1 ，m + l i ) + i 宄， 二2 ，m ，m + i i + i 绣r r 二1 ，m + 2 1 g z = 2 1 n = - 2 ，弼而葺1 l 一2 1 n - - 1 ；，m + 2 1 ( 3 2 1 ) 。一2 f 3 ，竹一1 , n ；卉1 # 2 ，n + l ；弄1 两，嗡俞，m + 2 i 蚴1 2 1 d = - 1 ，疖，m + 3 1 2 d 一- 1 ，t 乒1 ，m + 1 ，仇+ 2 1 容易计算f 与g 对t 的导数 五= 一l i ：1 ，n + 2 ；俞i + i - - 2 ，n ，礼+ 1 ；赢i + 陋；茄1 ，m + 2 1 一l 壳；丽：2 ，m ，m + 1 1 ( 3 - 2 3 ) 仇= 2 f 乒2 ，n + 1 ；卉l l _ 2 l 二3 ，n 一1 ，竹；再1 f 1 ；乒1 ，m + 3 1 ) + 2 l ，芦1 ；万：1 ，m + 1 ，m + 2 1 不难算得 ( 2 仇一胁) ，= 院酬( 6 i 打：1 ；玎二1 ，m + 1 ，m + 2 1 2 l 矗：1 ；俞，m + 3 t + 4 l 矗二2 ，n ；俞，m + 2 1 2 1 n = 3 ，n 一1 ，n ；”苒1 l + 6 l 矗二2 ，n + 1 ；瓶葺l i ) ( 3 2 5 ) 一( 2 ，t + 丘。) 9 = 2 n - 1 ；m + 1 ( 2 n 一- - - 1 ，n + 1 ；，f = 1 ，m + 1 i l 宄；石= 2 ，m ，m + l i f 3 2 6 ) + 3 l 暑1 ，m + 2 1 一枷? l ，n + 2 ；m l + 3 1 , ( = - - 2 ，n ，札+ l ；俞1 ) 厶= 一4 ( 1 # 1 ；疖，m + 2 i + j 后2 ，叩再2 i ) ( | 如l ，m + 1 1 + l 乒1 ，n + 1 涮) ( 3 2 7 ) 将( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) 、( 3 2 7 ) 代入( 3 1 8 ) ，并用恒等式( 3 1 2 ) 与( 3 1 3 ) ，我们最终到达 i s ；疣| |