（应用数学专业论文）一类plaplacian方程解的存在性与多重性.pdf

_ 、；j j 州 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：雀盖瘟日期：4 年卫月鲨日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：燃导师签名童止盘白日期：蜱年且月丛日 摘要 目前，物理学、生物化学、医学、控制论等学科的实际问题均可 以通过偏微分方程来解决人们对其的研究日渐深入，并取得了很多 重要的成果，使得这方面的理论日趋完善本人是在前人工作的基础 上，主要利用山路引理和一致凸泛函的性质，通过变分方法，证明了 一类特殊的椭圆型方程解的存在性和多重性，在某种程度上推广了前 人的结果首先我们着重介绍了有关一致凸泛函的概念、性质和( s + ) 条件，这些是后面证明椭圆方程解的存在性和多重性的基础 其次，证明了一类p - l a p l a c i a n 方程的d i r i c h l e t 问题 j 一访v ( 日( x ，v “) ) + ”甜= ( x ，z f ) x q 【甜= 0 x a q 非平凡解的存在性我们减弱了文 1 6 】中解存在的条件，利用泛函形式 的山路引理证明上述问题解的存在性特别是，当p = 2 ， 口( x ，v “) = l v u p 2 v u 时，在一定条件下证明了该问题还存在负解 最后，主要利用“z ，对称”形式的山路引理，深入探讨了上述问 题多重解的存在性，从而得到较为广泛的结论 关键词p l a p l a c i a n 方程；山路引理；( s + ) 条件；非平凡解 a bs t r a c t a tp r e s e n t ，t h ep r a c t i c a lp r o b l e m si np h y s i c s ，b i o c h e m i s t r y , m e d i c i n e ， c o n t r o l l i n gt h e o r ya n do t h e rd i s c i p l i n e s ，m a y b er e s o l v e dt h r o u g ht h e p a r t i c a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n p e o p l eh a dp a i dm o r ea t t e n t i o nt ot h es t u d y o ft h e ma n dg o tm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s ，w h i c hm a d et h et h e o r y o f p a r t i c a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n m o r e p e r f e c t b a s e d o nt h e p r e v i o u s r e s e a r c h w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo f s o l u t i o n st oas p e c i a l e l l i p t i ce q u a t i o nb yv a r i a t i o n a lm e t h o d si n c l u d i n gm o u n t a i n p a s sl e m m a a n du n i f o r m l yc o n v e xf u n c t i o n a lt h a tg e n e r a l i z e dt h en o t i o no fu n i f o r m l y c o n v e xn o r m o u rr e s u l t sg e n e r a l i z et h ep r e v i o u sr e s u l t st os o m e e x t e n t i nt h isp a p e r , f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h er e l e v a n tn o t i o n sa n dp r o p e r t m so f u n i f o r m l yc o n v e xf u n c t i o n a la n dt h e ( s + ) c o n d i t i o n ，w h i c ha r et h eb a s i s t op r o v et h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t y o fs o l u t i o n st oe q u a t i o n so f p - l a p l a c i a nt y p e s e c o n d l y , w es t u d yt h ed i r i c h l e tp r o b l e m o fp l a p l a c i a n ： i d i v ( a ( x ，v 甜) ) + l u p - 2 “= f ( x ，甜) x q 1 “：0 _ x a q a n dp r o v et h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n s w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f t h e s o l u t i o nt ot h ep r o b l e mw h i c hs o m ec o n d i t i o n si n 【16 】a r ew e a k e n e d t h r o u g ht h ef u n c t i o n a lv e r s i o no f t h em o u n t a i np a s st h e o r e m e s p e c i a l l y , w h e np ：2 ，口( x ，v “) ：l v “l p 一2v u ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo ft h en e g e t i v e s o l u t i o nu n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s f i n a l l y , t h i sp a p e rm a k e sf u r t h e re x p l o r a t i o n o ft h ee x i s t e n c eo f i n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sb yt h e “z 2 一s y m m e t r i c v e r s i o no f t h em o u n t a i n p a s st h e o r e m t h e nw eg e tm o r eg e n e r a lc o n l u s i o n s k e yw o r d sp l a p l a c i a n ；m o u n t a i np a s sl e m m a ；t h e ( s + ) c o n d i t i o n ； e l l i p t i ce q u a t i o nn o n t r i v i a ls o l u t i o n l i r- 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1 论文背景1 1 2 本人的主要工作及论文内容8 第二章预备知识9 2 1 基本概念9 2 2 几个重要引理及定理1 6 第三章p - l a p l a c i a n 方程解的存在性2 0 3 1 引言2 0 3 2 类似工作回顾2 0 3 3 条件和假设2 3 3 4 解的存在性2 5 3 5 特殊例子2 9 第四章p - l a p l a c i a n 问题多解性的证明3 3 4 1 引言3 3 4 2 条件和假设3 3 4 3 主要结论及证明3 4 参考文献3 7 致谢4 2 攻读硕士学位期间主要研究成果4 3 1 1 1 硕十学位论文第一章绪论 1 1 论文背景 第一章绪论 在数学、物理学、生物学、医学、控制论等诸多科学领域中出现了各种各样 的非线性问题，且在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了现代分析中一个 非常重要的分支非线性泛函分析它主要包括变分方法、不动点方法和拓扑 度方法等内容，为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的 理论工具，尤其在处理应用学科提出的各种非线性问题中发挥着非常重要的作 用 非线性泛函分析综合地运用分析、代数和几何的观点和方法，研究分析数学、 现代物理和现代工程技术提出的许多问题非线性泛函分析的根本任务，是解决 具有分析学结构的无穷维空间之间各种算子( 映象) 方程的求解问题，包括存在 性、唯一性、连续依赖性以及构造性和计算性等问题自然科学和工程中提出的 许多实际问题的数学模型大都可以用各类方程来描述，所以对各类方程高度概括 为抽象方程的研究更具有一般性在对各类抽象方程的研究中，非线性泛函分析 是有力的数学工具，在非线性泛函分析中研究的非线性算子方程解，一般在大范 围内并非唯一，因此处理这样的多解问题，用非线性泛函分析作为理论工具最为 合适，它能够发挥其它方法不能替代的作用 目前不断涌现出大量的非线性微分方程问题，需要人们深入研究探讨，在这 一过程的非线性分析中，变分方法已经一次又一次地被证明是解决微分方程初值 问题强有力的工具之一变分法是数学分析的一个分支，是微分学中处理函数极 值方法的扩展，但由于泛函定义域中的函数起着独立变量的作用，在处理极值问 题时，适合泛函极值条件的变元不是单个或有限多个数值变量，而是整个变动的 曲线或函数，甚至是一组函数，因而它涉及的问题更深入和广泛微分方程中的 变分法是把微分方程边值问题化为变分问题，以便运用分析的方法考虑方程解的 存在性、解的个数及求其近似解的方法具体的来说，在自然科学和工程技术中 出现的许多问题，常要研究这样一种抽象的泛函，其值域是实数域，而定义域由 某种函数所构成泛函的极值问题，是变分法的基本问题迄今为止，经过许多数 硕士学位论文第一章绪论 学家长期努力的工作，这种分析方法逐渐形成了一个解决非线性问题的数学方法 一变分法 变分法是人们理解数学及其在自然科学领域应用的重要工具之一其根本原 因在于，变分方法不仅可以用来解决许多重要的具体问题，而且是变分方法所蕴 含的原理变分原理，是非常背遍的自然法则，来自物理、生搬经济、工崔 等不同分支的许多自然现象都服从这一法则变分原理是非线性泛函分析中重要 的分支变分问题有着极为丰富的源泉，从经典力学到场论，其中所研究的一切 物质的运动规律都遵从“变分原理”，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程 是它的e u l e r 方程因此，求这些e u l e r 方程的解便化归为寻求对应泛函的临界点 值得注意的是，有时由于实际需要必须将所讨论的区域扩大。从而得到的解不一 定在古典意义下满足方程，即我们只能得到边值问题的弱解不过，通过细致的 分析，往往可以得到弱解的光滑性，甚至就是古典解确定泛函临界点的方法有 多种，极小极大原理便是其中的基本方法之一，而山路引理和它的各种推广是一 类极小极大定理，也是极小极大原理的一种具体化这种具体形式在应用中比较 方便，所以近年来变分原理在数学、经济管理、优化与控制理论和经典力学等很 多不同的领域都得到了广泛的应用，并取得了许多有重大意义的成果( 参考 【l ，2 】) 椭圆方程是既经典又现代的研究领域，它广泛存在于数理科学，生命科学及 社会科学的各个领域，特别是物理学中的很多模型都以椭圆方程的形式出现，近 几十年一直是数学家和物理学家的重要研究领域非线性分析对数学物理和微分 几何等诸多学科产生了重大的影响，其中l a p l a c i a n 方程是一个重要研究方向， 近些年来越来越多的数学研究者对p - l a p l a c i a n 方程感兴趣，并取得了引人入胜 的研究结果 如文 3 】中，作者d d h a i 和h a i y a nw a n g 用s h o u l d e r 不动点定理证明了系统 d i v ( 1 v u , p - 2 v 甜小砺( ”，) = 0 i n 扛l 一，l lu ；= 0d 力孢 非平凡解的存在性和不存在性，其中p l ，qcr ”( 刀2 ) 为一有界区域，并 有光滑的边界，在文中令甜= ( 甜i 一，) 彤，= u ，i ，且令 2 一 硕十学位论文第一章绪论 厂( 甜) = ( z ( “) ，六( “) ) ，其中正( ) = 无( “i ，一，“。) ，作者得到： ( 1 ) 若脚：咄m 是连黼且存在f 0 l ，川使得船铲蠹则 存在实数九使得当0 允 厶时，上述系统存在非平凡解 ( 2 ) 若，：r ：寸r + ，i = 1 ，刀是连续的，且对所有的i l ，刀) ，有 l i m 掣 o 。，l i m 掣 0 使得当0 。， 则上述系统对任意的旯 0 都存在非平j 、l 非负解 在文【4 】中，m a r i oz u l u a g a 利用的b r o u w e r 拓扑度理论证明了椭圆系统： l a u = 兄材+ 西+ g l ( “) i nq 一a v = o u + + 9 2 ( v ) # 7q 【 “= ，= 0d 玎a q 非零解的存在性，其中qc 足4 ( 刀 1 ) 为一有界光滑区域，五，万，0 ，y ，为实参数 在文 5 】中，c a i s h e nc h e n 利用上下解的方法证明了系统 l 一p 甜= 2 u 口v 7 i nq 一g “= 元“占v 卢 i nq 【 “= y = od 行a q 正解的存在性，得出了结论 ( 互) 若口，0 ，7 ，艿 0r o = ( p - 1 - o t ) ( q - 1 一) 一芦 0 则对每一个兄 0 上 述问题都存在个正解 ( 疋) 若( 五) 中的秒= 0 ，rp r = q ( p - 1 一口) ，则存在厶 o 使得当0 五 2 ) 中有界锥形区域如果满足下列条件： 鼻：f ( x ，u x x f 2 ，一0 0 材 + ) 满足c a r a t h e o d o r y 条件， 并存在 l 0 e ：存在0 护 0 ，使 f ( 训) = r 厂( 训) d r m ，x q 只：下面两个极限式成立： l i mf ( x , u ) ：0 ，对x q 一致 h _ 0 u l i m 丛型：佃，对x q 一致 h _ o 甜 那么，d i r i c h l e t 问题( 1 - 1 ) 在空间h ：( q ) 中必有非零( 即不是零元素) 的 广义解 若上述的e 、e 、e 满足，并且满足 只：f ( x ，u ) 是u 的奇函数，即 f ( x ，甜) = - f ( x ，“) ， v x q ，一o o l ， g ：【0 ，) 寸【o ，o o ) 为非负连续函数，兄为一实参数作者利用变分方法得到了以下 4 硕十学位论文 第一章绪论 结论： ( 1 ) 若允0 ，则上述问题没有正解 ( 2 ) 若五 0 ，k2 p 0 及七 q ，使得对任意的f t o 军z ig ( t ) t k ，又若g 1 ， 1 2 ) 中有界区域，而且 只=熹，叫)，e=瓦ofcq ，g = ( ， 洌 若下面的条件成立： e ：f ( x ，甜，g ) 关于x 可测，关于“，g ，( f _ l ，打) 一阶连续可微，f ( x ，0 ，0 ) = 0 ：f ，c 满足下列结构性条件： l f ( x , u , q ) l - 0 助撇 智p 。 e ：椭圆条件：如果g g ，则( f ( x ，“，q ) - f , ( x ，材，g ) ) ( g ，一g ；) 0 并且存在如 0 ，使得 硕十学位论文第一章绪论 其中 兰| g l 一一k ( x ) 窆c ( 训，g ) g f j = lj = l 5 五：卦，+ k 扎i + k ：i l p = lj = l k ( x ) 厶( q ) ， k i ，k 2 0 ，0 - p x l q ，i 乃- m ( x ) j = lj = l 其中 0 ，m ( x ) 厶( q ) e ：存在y 0 ，i t o p ，o p ， 使得 、 e ( 删，g ) 甜q ( 窆h i n ) 1 。i ii 甜i - 口2 i “i 胁+ 口，l 甜p + a 4 l 甜i 其中p = 懋 p 小口2 o ，口，口3 ，口o 并且 口：( x ) = o ，口k ( x ) 出+ m ( x ) 出o ，p p 那么，问题( 1 2 ) 存在非平凡解 在文【9 】中杨海欧，罗跃生对文【6 】中的方程进行了适当变形并且变换了空间， 研究了二阶偏微分方程 饽丢c 盯矿o u 蚺m = 。 3 ， 【 撑= 0 x a q 在t v o p ( q ) 空间中的解的存在性以及多重性其中qcr ( 2 ) 是一个具有光 滑边界的有界区域，常数c 0 ，p 2 函数厂( x ，甜) 满足的条件有所变化，将文【6 】 中的假设条件e 变为：存在o p 0 ，使得 f ( 圳) = r 厂( 圳) a v _ o u f ( 圳) v l “i m ，x q 即将0 的范围缩小同样证明了问题( 1 - 3 ) 在职，( q ) 空间中具有无穷多个广义解 6 硕十学位论文 第一章绪论 在文【l o 】中，杨敏波、沈自飞研究了d i r i c h l e t 边界条件下类拟线性椭圆方 程组的多重解 l 一，“= a r ( x ，列，v ) x q 一q 甜= 名c ( 五甜，) x eq 【 “= 1 ，= 0 x a q 其中qcr n 是个具有光滑边界的有界区域，p 和q 是大于的实数，“和v 是 定义在五上的属于某一函数空间的实函数，是定义在西r r 的实函数，e 记为c 1 泛函，对“的偏导数。是p l a p l a c e 算子，定义为 一，“= - d 如( 1 v t ，qv “) 文中假设a ( x ) ( q ) ，y ，卢，c 为正常数，而且 厂 p ， 妻； ( b ) ： s u pf ( x ，s ，r ) m ( x ) ( q ) ； 一桀，蹦肌昙群箫； ( d ) ：，( x ，s ，f ) a ( x ) ( 1 + i s l 7 + 旷) ； ( e ) ：f ( x ，0 ，0 ) = 0 在q 中几乎处处成立 那么，存在一个开区间a 【0 ，佃) 和实数f ，使得对任意五a ，上述问题 在空间吲p ( q ) 吲9 ( q ) 中至少有3 个解，而且它们的范数小于f 另外变分法的应用还可见文【11 ，1 2 ，1 3 ，1 9 ，2 1 ，2 4 ，2 6 ，2 7 ，31 ，3 2 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 1 等 在上述方法中，我们主要介绍一下变分方法，此方法也在本文中得到了广泛 的应用近几十年来，近代变分法( 又称为大范围变分方法) 得到了重大的发展， 并在解决非线性椭圆方程边值问题中取得了许多有重要意义的新结果近代变分 法主要包括极小极大理论和m o r s e 理论这两种理论都是依靠拓扑方法，研究一 般的、未必是极位点的临界点1 9 7 3 年，a r n b r o s e t t ia 与r a b i n o w i t ze h 建立了著 硕十学位论文第一章绪论 名的山路引理，并且应用于非线性微分方程的多解存在性的研究，可以说是临界 点理论发展史上的一个重要罩程碑山路引理形象地说明，从盒地中心出发到瓮 地外部，必有一条道路从周围山脉的最低点越过，这个最低点就是一个临界点 它的主要思想是：验证方程所对应变分泛函满足山路引理的条件，得到临界序列 的存在性，若临界序列满足紧性条件( 通常称为( p s ) 条件) ，贝i j 临界序列收敛， 即证明了极值可达山路引理及各种山路引理的建立，特别是它们在非线性微分 方程各种问题的应用中取得的许多有意义的新结果，吸引了不少数学家从事临界 点理论的研究，从而使临界点理论及其应用的成果在近2 0 多年取得了重大的进 展 1 2 本人的主要工作及论文内容 本人在前人工作的基础上，利用山路引理、一致凸泛函和非线性泛函分析中 的理论，证明了一类椭圆型偏微分方程在有界域中解的存在性和多重性，在某种 程度上推广了前人的结果主要内容如下： 第二章为预备知识，介绍了一些基本概念和常用的不等式，以及一致凸泛函 的一些性质，并引用了前人的许多重要定理和结论 第三章主要利用变分方法，证明了一类椭圆型方程d i r i c h l e t 问题 j d i v ( a ( x ，v “) ) + i 甜i 尸一2 甜= 厂( x ，甜) x q 1 甜= 0 x 孢 非平凡解的存在性在本章中，我们减弱了解存在的条件，利用泛函形式的山路 引理证明了上述问题解的存在性特别是，当p = 2 ，口( x ，v “) = i v 甜r 2 v “时，在 一定条件下证明了上述问题还存在负解 第四章主要利用“z ，对称形式的山路引理，深入探讨了第三章中椭圆问 题多重解的存在性，从而得到了较为广泛的结论 8 硕十学位论文 第二章预备知识 2 1 基本概念 第二章预备知识 定义1c ( q ) 和c ( 孬) 分别表示q 和豆上七次连续可微函数的全体所构成 的集合特别地，c o ( q ) 和c o ( 西) 也简记为c ( q ) 和c ( 孬) 在c ( 孬) 中引用范数 n i 篆s 妒口“i 其中口= 他l ，一，口。) 为多重指标iq ，为非负整数，p i = 口l + + 口。， d 。材： 型竺 魂? - 苏 定义2 设材( x ) 为定义在q 上的函数，我们记 s u p p u = x q ：甜( x ) 0 称之为函数u ( x ) 的支集 定义3c ：( q ) 表示c ( q ) 中的支集为q 的紧子集的函数的全体所构成集合 定义4 一般地，设p l ，q 是厅维区域，则c ( f i ) 关于范数 h u h = 0 “i i p = i 融i i p ，q = ( i “( x ) l p d x ) 古 的完备化就构成qk p 次方可积函数空间，记为 r ( q ) = 驯n ( x ) l ，d x ) 此空间为b a n a c h 空间 定义5 设k 为非负整数，p l ，q 是尺”中的开集，我们称集合 赋以范数 包形( q ) l d “甜三p ( q ) ，v p l 尼 陋j j w t , p ( f d = ( 轺盹i p 删古 9 硕十学位论文 第二章预备知识 后得到韵线性赋范空间为s o b o l e v 空问w t ，( q ) 可以证明在上述范数下此空问是 一个b a n a c h 空间特别地当k = 1 时，空问矽 p ( n ) 在范数 毗q ，= ( ( 例p + ) 出) 下为一个自反的b a n a c h 空间，可见文f 1 4 】 聪p ( q ) 表示c o ( q ) 中的闭包，可以证明在上述范数下此空间是一个b a n a c h 空间当1 p 时，w 。，( q ) 是可分的，i p 0 ，若存在序列 u 。) ce ，_ f t i ( u 。) 专c ，7 ( “。) 一0 ，则 甜。) 有强收敛子列 定义8 设e 为实b a n a c h 空间，e 为e 的对偶空间，我们称算子a ：e e 满足( s + ) 条件，是指对任意的序列 甜。) ce ，满足甜。与z ，在e 中，且 l i m s u p 0 n - 就可得到 u 。) 有强收敛子列 定义9 设e 是b a n a c h 空间， x 。) ce ，x e 如果对于e 的对偶空间e 有 f ( x ) 专f ( x ) ( 当后_ ) ，夥e 则称 以) 在e 中弱收敛于x ，记为 x i 与x ，在e 中 引理1b a n a c h 空间中的弱收敛序y d x 。) 是有界的，即 1 0 硕十学位论文 第二：章预备知识 叫x t i ， o o 定义l o 设e 是b a n a c h 空问，泛函f ：e 寸尺称为是下半连续的，如果序列 x 。) ce 且x 。哼x o ，则有一l i m f ( x 。) f ( x o ) ；泛函f ：e 寸尺称为是弱下半连续 的，如果x 。与，则有l i m f ( x 。) f ( x 。) 定义l l 设e 是b a n a c h 空间，：e 专足是e 上的泛函，“e 如果存在 a ( u ) e ( 即a ( u ) 是e 上的有界线性泛函) ，使得 i ( u + 缈) = ，( “) + + r o ( u ，f o ) 其中 = 彳( “) 矿表示泛函爿( 甜) 在妒处的值，c o ( u ，缈) = 。( 1 l 硎) _ 即。 m l i m - , o 眢= o i 州 则称泛函，在u 处n e c h e t 可微的，记为j c 1 ( e ，足) 定义1 2 如果对每个满足0 0 ，使得如 果x ，y x 满足= y l l x = 1 ，和忙一y 忆占，则有l 半8 l 一万( 占) ，这时我们 称赋范空间x 是一致凸的 注：从上面的的定义可以看出，一致凸性是范数的性质空间x 可以有 一个非负一致凸的等价范数任何可赋泛的空间叫做“一致凸的”，如果该空间具 有一个一致凸的范数 引理2 ( c l a r k s o n 不等式) ( 见文 15 1 4 3 页) 设甜，1 ，l p ( q ) ，对于l p 0 0 ， 设p ：三若2 p 0 ，都存在万( 占) 0 ，使得下面不等式对任意x ，y c ，满足- i i x - y 峥占都成立 么( 下x + y ) 4 ( x ) + 专彳( y ) 一万( 占) 如果彳在e 中每一个球中都是一致凸的，则我们说彳是局部一致凸的 引理3 令f ：r 专r 是c 1 泛函，i 0 ，泛函f 满足不 等式 f ( 半) 专f ( x ) + f ( y ) 一方卜一y l p 就称，是p 一致| n i 的 推论：设泛函f ：r r 满足不等式f ( x ) c ( 1 + h p ) ，且是强p 单调的 对于”( q ) 定义么( 甜) = f ( “) d u ，贝j j a 是局部一致凸泛函 下面的引理推广了c l a r k s o n 不等式 引理4 ( 1 6 1 ) 设a 是p 一致凸泛函，口 1 ，则g = p a 时彳( x ) 。是q 一致凸的 证明：由假设a 是p 一致凸泛函，从而存在一个常数c 0 ，使得 彳( 孚) + f h p 吉彳( x ) + 圭彳( 川 由口 1 ，可推出 s 口+ r 8s ( j + f ) 口，v s ，0 选取s = 彳( 半) 和，= c i 刮p ，由函数x hx p 单调增加且为凸函数，所以有 月( 半) 8 + c a h 9 0 d 2 4 ( x ) ( 善，善) c l 孝1 2 v x ，孝e 则彳是2 一致凸的 i i e n ：对x ，y e ，定义g ： 0 , 1 】一r ，g ( t ) = a ( o t ) x + t y ) ，则 根据假 由引理 令s = l 硕十学位论文 第二章预备知识 即证得彳是2 一致凸的 例1 、么( x ，s ) = 古h p ，口( x ，s ) = h 肿5 ，p 2 ，则我们得到普通的少l a p l a c i a n 算 子 2 、令( 口”( x ) ) c ( - f i ，r 肌) 是对称有限正定矩阵 口”( x ) ：口，b ) ，nd ”( x ) 专c 汀，魄孬，孝r ，c o i 。，= 1 容易证明上边的引理能应用于下面散度形式的线性椭圆算子问题 啦】_ 荟, v 瓦0 矽挈 定义1 5f ( x ，“i 一，“，) 是定义在q r m 上的函数，如果f 满足下列两个 条件，则称f 在q r ”上满 c a r a t h e 7 0 d o r y 条件 ( 1 ) 齐j f l 乎所有的x q ，f ( x ，u i ，一，u ，) 是( “l ，一，甜。) 的连续函数； ( 2 ) 对所有取定的( 甜l ，一，材。) r ”，f ( x ，“l 一，u 。) 对x 是q 上的可测函数 注：当f ( x ，甜l ，一，甜。) 满足c 白阳砌p o d o r ) ：条件时，如果u l ( x ) ，甜。( 石) 都是q 上的可测函数，则f ( x ，u 。( x ) ，甜。( x ) ) 也是q 上的可测函数( 证明见文 1 7 】) 定义1 6 我们说赋范空间x 嵌入赋范空白jl 并且用符号x 专l ，来表示这种 嵌入，假如 ( i ) x 是l ，的子空间，定义x 到y 的恒等算子足连续的 ( i i ) 对一切x x ，由x = x 如果这种嵌入是紧的，我们说x 紧嵌入赋范空间】，记作x y 此时，存在一个 正常数c ，使得 l x l l ，- c m l x v xx 我们知道，当p q p 时，空间w ，( q ) 紧嵌入到空间( q ) ，即 吲p ( q ) - 4 ( q ) 这里p 称为p 的临界指数 当p n 时，p = ，当p 0 ，使得慨4 m ， 由泛函a 是局部有界的，我们可知序列a ( x 。) 是有界的，这样一定存在a ( x 。) 的 硕十学位论文 第二章预备知识 引理7 ( h 。l d e r 不等式) 设p 1 ，g 1 ，且三+ 三二1 ，若( q ) ， pq g l 9 ( q ) ，贝uf g ( q ) ，且有 l 厂( x ) g ( x ) 陋帜x ) q ，l l g ( x ) n ， 特别地当p = q = 2 时，上面的不等式变为 l 厂( x ) g ( x ) 防虮x ) 峙q ，i g ( x ) 峨q ， 称为s c h w a r z 不等式 引理8 ( p o i n c a r e 不等式) ( 见文【l8 】第1 4 页) 设l p 4 o o ，qc r ”为一 有界区域 ( i ) 若“纬0 p ( q ) ，贝i j 圳p d x 0 ； ( i i ) 存在p e b 口( o ) ，使得，( p ) 0 令r 是e 中联结0 和e 的道路的集合，即 r = g c ( 【o ，l 】，z ) l g ( o ) 2o ，g ( 1 ) = p 1 7 硕十学位论文第二章预备知识 再。记弘i 时n fm ，e i o ，a x l 】i ( g ( t ) ) 那么，f 口，i 关于c 有临界序列如果j 再满足( p s ) 条件，则c 是，的临 界值 定理2 设q 是r ”中的c “2 口区域，在孬r 上定义的函数f ( x ，“) 满足： ( z 。) 对任意j 下数m 有 f ( x ，甜) c 。( 五卜m ，m 】，尺) ； ( 片) 当疗3 时，s = j 等，当玎2 时，存在s 1 ，使得 f ( x ，“) = o ( 1 材1 5 )( m 专) 对x 西一致地成立； ( ) l i 哪丛业。口( x ) r ( q ) u - - u “ 那么，半线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题 等八删x 篡 泣2 在职2 ( q ) 中的弱解必定是古典解，并且有 u c k + 2 , a ( 孬) 定理3 设q 是r ”中的有界区域，函数c ( x ) c o ( 孬) ，且在q 中c ( x ) 0 ， u c o ( 孬) n c 2 ( q ) ( i ) 如果“满足 l u = 一a u4 - c ( x ) u 0 ，在q 中 则有 “ m i n u 一，在q 中 其中u - ( x ) = m i n ( u ( x ) ，0 ) ( i i ) 如果“满足 l “u ：= 。- a u + c ( x ) u 0 x x e 讹 硕十学位论文 且“在q 中不恒为零，则有 u 0 v x q 推论：设q 是r ”中的有界区域，函数c ( x ) c o ( 孬) ，且在q 中c ( x ) 0 ， u c o ( 孬) n c2 ( q ) 如果“是线性椭圆方程d i r i c h l e t 问题 f l u = 一a u + c ( x ) u = 0 x q 1 “= 0 x 孢 的解，则在q 中z f 恒等于零 另外，我们用e 表示吲p ( q ) 空i 、日j ，e 表示其对偶空问特别地，。表示空 间l p ( q ) 中的范数，l q i 表示区域q 的测度，孬表示q 的闭包，孢表示q 的边 界；符号d 甜和v ”表示相同的意义，都表示函数u 的梯度我们记“专”，“与” 分别代表强收敛和弱收敛 1 9 硕十学位论文 第三章p - l a p l a c i a n 方程解的存在性 3 1 引言 第三章p - l a p ia cia n 方程解的存在性 本章主要考虑如下形式的d i r i c h l e t 问题 j 一州m ，v 呦+ l “i p - 2 1 d m ，“) x q ( 3 1 1 ) i “= 0 x a q 其中qcr 为一个有界区域，r v g