（基础数学专业论文）周期边值问题正解的存在性与多解性.pdf

中文擒簧 中文摘要 近年来，薅颓速毽瓣题已经成为方程珊究领域静个重要势支，弼麓逸值弼题理 论在许多实际问题中有着麓为广泛的应用+ 嗣衙受到人们广泛的关浇，发展和解决这 类问题的一些有效的方法如l y a p u n o v 泛黼方法，不动点和范数形式的锥拉伸锥压缩 不劝点定理等在应用数学领域( 如人口动力系筑，非线性扩散，生物，艇态学等) 的 量警多弼题孛，只有正鹪方憝蠢意义的+ 零文谤论嚣类嚣赣逡鬣麓惩解豹存畿髓譬多簿往全文共分为淫黪， 第一章讨论了一类二阮泛蘧徽分穷穗弼期逸僮问题 幕翳“巍0 泣越， l 善辩獬。霉国妇) ，= ，l ， ” 蒺审；= 鹣胡，甜 秘歹：f g 一起连续并显将毒莠集淡努露赛黎， g e ( 卜o 】，嚣) ，r o ，魏g z t p ) = 茁o + 口) ，t t 一7 8 0 + 对咖谚范 数为i i = 严婪l 妒( 口) i 利用锥上的k r a s n o s e l s l d i 不动点定理，得到丁瀵类问题芘 解的存在性与多解性的缮聚最后，为了说明文章的结论，我们还给出了具体列子 第= 章讨论了一类瞪盼嬲期逸僮凤隧 罄竺- - f l u + a u = y ( t ，嚣) ， 羚，2 z 阻l ， i 嚣( o ) 一u ( o ( 2 r ) ， i ；0 ，l ，2 ，3 。 镌聂解的存在性和多解性，其中o ，芦辩，q 0 且，：f o ，2 川xj 护一f 矿连续 p b v p ( 2 1 i ) 攒述了具有髑期边值条绛酶粱搬凌。在实鼯蘑匿中，其考菠辩孝是有鬈义 黪。零章第二劳在震蘩逸簸条转下建立葵子4 笤一嚣( 4 】一风”+ 8 钰簿藏懿投夫蘧缀理， 捺广了文【2 l 】孛募子玩【蚓器一u ( 4 ) + m u 鹣掇大薅原理，狰剐建，鸯一炉一缸 0 时，得到了算子厶n 有强蒇逆的充簧条件； ( 1 ) b 1 三； 1 ( a 2 ) a 0 ，b = 暑； 嘲 0 ，； 0 ，f ：1xgwr i sc o n t i n u o u sa n db o u n d e df u n c t i o n ， g 嚣g 一矗唾，冠) ，r 0 ，鼠g ，芸# 够然霉秘+ 孝，# i ，一彳乎篓毡f o r 簪g ， 融 簪净l m 一桶a xl 吠啦l 馘u s i n g 魄e k r a s n o s d s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m ，雠o b t a i n e d t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n st op e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 。1 1 ，a sa i la p p l i c a t i o n 聪a l s og i v e 勰e x a m p l et od e m o n s t r a t eo u rr e s u l t i nc h a p t e r2 。獬c o n s i d e rak i n do ff o u r t h - o r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 0 4 二：，郧，妨，蚓筑刎，2 _ 1 ) lu ( o ( 0 m 渺 瓤xg 一0 ，1 ，2 ：3 ， ” w h e r ea ，卢r ，n 0a n d ，：静，2 霄】xr + 舻i sc o n t i n u o u s 。t i 娃sk i n do f p b v p ( 2 1 ，1 ) d e s c r i b e st h ed e f o r m a t i o n so fa l le l a s t i cb e a mi ne q u i l i b r i u ms t a t ew i t h p e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n i np r a c t i c e ，o n l yp o s i t i v es o l u t i o ni ss i g n i f i c a n t i ns e c t i o n2 2 , s o m en e w c o n d i t i o n sa 摊o b t a i n e d , w h i c hs a t 磷yai t e wm a x i m u m p r i n c i p l eo fl i n e a rd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r 瓿毽= 钍瓣一参+ 鲫i np e r i o d i cc o n d i - 嫩 堡塑望篁塑塑垩堡竺童塞竺皇重量堡 t i o ne s p e c i a l l ys u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e di nt h ec 黜。 俨一4 a 0 t h a t i s t os a y i f o n eo f t h e f o l l o w i n gc a s e 8h o l d s ( a 1 ) lb i 妄； ( a s ) a 0 ，b = 言； ( a 3 ) o ，； 6 0 ，t - - r s “( ) t ，协j 本章将应用1 1o 】中k r a s n o s e l s k i i 镶幂动点定理讨论如下形式的二阶泛函微分方稷 ( f d e ) 的周期边值问题( p b v p ) ； 二雅孙，：e i , 0 ，1 ， lz ( ( o ) 一茹f 4 ( “) ，i = ， ”7 盼芷躲的存在性襄多解性，其中i 一融潮，甜 0 ，：f c r 连续并且将奢努察 映鸯毒赛集，c = 0 ( 【一0 翻，嚣) ，r o ，魏g 瓤 = 。器+ 霹， i ，f 9 0 黠 毒g 冀燕数为| 簪净黑l 多( 磅l 1 2 预备知识 为了研究问题( 1 1 1 ) 的解我们首先考虑如下更为一般的二阶线性p b v p j 一茁”+ m x ( t ) 一 ( # ) ，t j ， iz a ( o ) * ( ) ， t = o ，1 ， 萁中m 是正常数，口c ( r ，神，令 喇* 篙笛筹妊j ， 其孛葶：灞，爱您萨j ，国，您( ) 0 ，愚二夔缓洼透基惩嚣 裂嚣誓五 蕊瓣1 鬟n ( ) 蔓丽c o 面s h 币3 0 币2 印s i n l l 胁2 一“”7 2 ps i i l l l 舢2 令 g 2 ( t , s ) = 竺涮二破蓦篓竺 2 ( 1 2 1 ) ( 1 2 。2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 第一章= 黔瑟瓣教努方程周期边馑怒鬈鲮正解 窖荔证爨下蟊静零l 瑾残立。 辱璃11 2 1 设掰是正常婺，嘲v h c ( 1 ，固，p b v p ( 1 2 1 ) 有难一解 茁( ) 一g 2 ( ，s ) h ( s ) d s ( 1 , 2 6 ) 直接计算可知 f 黜御胁丽1 ( 1 2 7 ) 令，= 卜f ，u l ，e = c ( 4 r ) ，对e ，定义其范敷为”zh = s u pt x ( t ) i v u 髓考 虑周期逸值阍题 f 一( 螃+ m x ( t ) 一m u ( t ) 一，毪) ，i ， 棼= z 知) ( 1 , 2 8 ) t 秘= ，和) 一1 ， 斑弓 理1 2 1 可知，p b v p ( 1 ，2 8 ) 游噍勰 ( t ) * g 2 ( t ，s ) h 。( s ) d s ( 1 2 9 ) 其中k ( s ) = m u ( s ) 一f ( t ， a 定义算予妒：e c ( t ，励： ( c u ) ( t ) = g 2 ( t ，s ) h m ( s ) d s ，t e ，t j ( 1 2 1 0 ) 令e o = 2 e ：z ( 毋= ( d ) r p o k 定义算子a ：马一珞： 洳酾一 描熬。t e b i , u e 锈e 。o e t 羔t t ， 翔祭算子a 有霏乎冗不动点毪蕊，剿t | 弱n g 。( j ，固且蕾是p b v p ( 1 1 1 ) 鹩嚣 平凡解。 取口= 磊西1 丽，则0 矿 0 ，使得对v t j ，廿g ， 缈( o ) 一，幢妨0 成立，冀巾 g = 圣0 ：毋( 疗l 多l ，一r 曼8 so 3 雳麓翅值霹题正辩的襻张谯岛多解缝 l 瑗l 。2 。2 a ( k c 踅 试魄? ，鼋k ；芴箱魄( 囝= t l g + 癸秽# 嚣# 矿| 啦l ，鑫蘧魄0 ：交 ( p ) ，( 1 2 4 ) 及( 1 2 9 ) ，有 ( c u ) ( t ) = fg 2 ( t ，s ) ( s ) d s 曼舞s i n 觞hf ”) d s 舴，一2 口p w 2 n ”“” 于摄由( 1 1 1 1 ) 中的定义，有 t l a 1 1 0 成立 则a 猩_ f f n 也q l 中必有不动点 莲 第一喾= 狳泛弱敲分方程髑麴遗德越题豹正舞 l 。3 最瓣鹣嚣畿性熟参蒸缝 举带裁船讨论筒翘( 1 ，1 1 ) 避簿鳓存橇瞧鞠多蘩饿，为了讨论方便，鼗们缭趣以 节谗弩 厶= 1 涨。幽饼，厶一l t m i n f 。凇饼，廿呱 焉一i m s u p 删m a x 钎，kl 潮i r a s u p 蝴m a 捌x 舒础g + 举章鹩豪豢结果如下 囊骥1 3 。1 ，谩f 秘成立，瓣 ( 擎l o ，气 0 ，岛 0 ，岛 o ( e 颡鞭究分霹、 糯充分犬) ，使得 ，0 ，套g i 曲l ，0 l 妒l r l ，妒c 0 ，( 1 3 。1 ) 歹，谚g f m 一1 ) 一 簪| ，l 番l 怒，簪岛， ( 1 3 + 蛰 令一妇岛：i i 姓1 t r l ，剃魄琶k n 瓣；，餐冁g ，及0 l 堍 ，l 。2 穆及算子a 懿定义骞 淤田( ) 一f 国缟# ) 瓠( s ) d s o g 2 秘，谚( 掰0 | 鳓 d s s 警蚰l 娜姑盯 瓣魏 0 4 1 弘，矛盾子是 i t a u a 瑚，姨l k n 0 k ，a 0 ， 1 3 ，国 遗蔷l 瑾1 2 3 矗：鬈n 霭。筑；一鬈垒连续菠警 瑾1 2 。4 霉知莓在屯畦毫k n ( 薅，) 痰褥a _ l t l ( t ) = 缸l 瀚，魄樽玎i 坝# 甜l 0 ，嫩蔗p b v p ( 1 1 1 ) 一个疆怒翳解。其 次，程条件( p 3 ) 下，可选取常数，5 l o ，铅 0 ，韪 o i 和r 3 究努夯，镌兖分 大) ，使得 ，0 ，妒) f 吖( 仃一1 ) 一q 】i 西 ，0 i i 蔓r 3 ，庐o ，( 1 3 7 ) s ( t ，s li 毋l ，l 毋l 飓，岛，( 1 3 8 ) 令= 让岛：i m i 他) ，则讹k n 甜k ，有r 3 m i 矿t i f 一0 t 3 0 盛 地g 由( 1 3 砖及( 1 3 婶的诞鼹可类戗她得到 t | 一a u a 嚣e ，v u 必n 0 k ，a 20 ，l 。3 。 夺r a 一警，= 缸弱： 档 o ，厶 0 且 ( p 4 ) 存在常数p 0 ，使得 m a x f ( t ，卿：t 芒f ，印曼l 砖毋g 0 ，释 0 0 - s 充 分冬，心宽分犬| 使得 “ t f i 1 i “8 ，v u k n o n q( 1 3 1 1 ) 0 a “l i 1 l 珏8 ，v ue k n 徽m( 1 3 。1 2 ) 其中f m 缸翰：h u 0 k f k 一知l 兰岛：叫l 0 ，0 充分小) ，使得 ， ，妨弘f 萨一1 一p ，t ，卵| 妒 s 妒，妒g ， l 3 1 3 ) 令一貉懿：1 1 锃1 1 姆，舞魄霹n 掰b ，骞帮一矿i t 缸1 1 1 毪l | | 嚣| | 。妒发 t 趣g ，鸯 m u ( t ) f ( t ，“t ) 掰萨矿十m ( 1 一扩) 矿+ 即( m 十) t l t l ，f f 。( 1 3 1 4 ) 从而有 u a u a u o ，v “k n 0 r ，a 0 ，( 1 3 1 5 ) 显然f 啦，cf k 由引理1 2 4 可知存在弼kn ( 站辫；) 及地kn ( 氟q 。) 协，骼4 是p b v p ( 1 1 1 ) 两个正周期解。定瑗1 3 2 证毕0 7 周期边僵同题正群的稃糍性与多解性 爽磁予定理1 3 2 夔涯鹱毒褥 爱璞1 3 3 浚( p ) 成立，若 ( p 3 ) o 0 ， 则p b v p ( 1 1 1 ) 至少存在两个正周期解 8 第二耄翘除搦期边毽闷题的正解 2 。1 攀l 纛袋象蘩貉罴 本章讨论如下形式的溺阶胤鹣邋德问繇( p b v p ) ； “2 b u ：! = “，。，“) ，t 【o ，刎，1 ) lt ( ) ( o ) 。缸( ， i = 0 ，1 ，2 ，3 ”7 熬藏黎翁存在毪程多簿羧，箕串参托8 0 噩，：聱，2 霸 一! 连续。 p b 张( 2 1 1 ) 描述了其裔蠲霸递谨条释鲢粱掇秘+ 在实琢弼题中，必宥正解才燕有意 义的， 碧了磷究西酚算予l 4 u 一程( 喜) 一黟矿书僦瓣极大谨原理，我髓罄先奔鲳袈简魏 及溅藏遴麴概念 霞= 如毫c - o ，矧 一獬* 勰灏) ，= ，1 ，2 ，拶翁剥2 嚣臻 如果对任意的“懿，l n u t 枷) + 留a f u ( 0 0 蕴涵对任意的t 【o ，2 1 r 】都肖 梯0 ( “o ) ，则称k 魁有正逆的( 负逆的) 。如果对任意的“r ，上m 0 蕴涵对任 赣的f o ，2 司都有# 拦0 或t 0 如o ) ，则称是有强正逆的( 强受遵的) 避攀亲，嚣熹渡及量赢迭篷瓣题受戮了入熟豹广泛美洼，觅f 1 4 - ：6 1 。霹嚣孛蘧籁逡 穰简题受弱了人们鲢广泛哭滢，觅i 1 7 - 2 5 ，铡。发疑和解决这一类阍褥躺许多蠢法， 鲡囊分法，拓扑度，不翘点播数，蘧数澎竣的镶投伸与键压缩不劾患怒理等在f 1 8 l 泽，s e d a , n i e t o 翻g e r a 在羼裳边鬣条体下餐烈了算子厶l l 硼# 。g 衅十m u ，m p ，鑫磊( 哟的极大遣藏壤，箕串 脚= 雨蒜南再 穰【1 9 】中，c a b a d a 陂谶了f 1 8 】酌结粜t 瓿张周期边值条件下得到了箨予k f 卅牡一 “( “) + m u ，m ( 0 ，尬( ) ) 的极大值原理，熊中 髓= 2 奄+ l ， 住；4 k 。 铭；4 k 一2 严， 渤耢 o |鹜。， 穆器扩 ，lll，、lll、 f l 泌络 周期边值同题正解的存在性与多解性 对n = 1 ，以及n = 2 而言f 19 】的结果是最优的在【2 0 】中，c a b a d a 和l o i s 在周期 边值条件下得到了算子k f 卅= ( 3 ) + m u 的极大值原理，其中m ( o ，嚼) ，坞皇 0 8 8 3 2 2 0 5 是方程 s i n v 3 m r 3e 3 m e m ” 删8 n 忑磊磊+ 丌2 了l o g 丽霄萧焉翥蒜 的唯一解其中a r c t a n 0 【- r 2 ，r 2 】而且表明当且仅当m ( 0 ，a 莺) 算子工3 【m 】 在b 中是强正逆的在【2 l 】中，c a b a d a 和l o i s 在周期边值条件下得到了算子 厶【m 】= t ( + m u 的极大值原理，其中m ( 0 ， 野) ，m 4 2 1 0 6 4 6 是方程 t a n ，r 宰m ；一t a n h 7 r - 5 - 2 m 在区间( 譬，动上的唯一解而且表明当且仅当m ( o ，肜 ) 算子厶【m 在r 中 是强正逆的近来，l i 2 2 在周期边值条件下得到了算子l 4 t = ( 4 ) 一口+ o u 的极 大值原理，而且表明当o ，p 满足条件( p ) o o 时，算子厶在且中有强正逆的众所周知算子厶的强正逆性与多项式p ( a ) = p p a 2 + 口在复平面上的根分布有关为此，我们假设z = 口+ b 是p ( a ) 的任意的 个根，则条件( p ) 等价于ibi 0 时，p ( a ) 有四个实数根 ( 2 ) 当0 ，p 0 时，p ( a ) 有四个纯虚根 ( 3 ) 当 0 时，鼬) 有二对共轭复根，记。= 、雩+ ：，6 = 孚一4 ，地 则士；，士i 是p ( a ) 的四个根本章第二节将在周期边值条件下建立算子l 4 u 的新的 极大值原理如果口，b 满足下列情形之一- ( a 1 ) ib l 妄； 1 【如) a 0 ，b = 妄； ( 也) 0 ，百1 b l ，下t a n b r 口 辅) 厶mk 颤 剃p b v p ( 2 1 。l 至少有一个藏髌， 攘沦2 1 。1 骥设，：羚，2 嘲蠢哆一j 扩遂续建( a 1 ) # = l ，2 ，3 审之一成立。魏 蔗下判情形之一成立 ( i ) ，o = 0 ，厶= 。( 超线哟 籀) 厶= o 。，l = 0 ( 次线苣黔 粼p b v p ( 2 1 1 有一令菠戆 定理2 1 2 缓设存在掰伞菠实数趣 如靛樽g c 1 ) 搜剃p b v p ( 2 1 1 ) 黧少有一个正解u 1 且满怒m i n c l ，c 2 鑫，瓯 8 ， 粼p b v p 拉1 ，1 ) 毒一令爱黪。 l 薹 薅期逸缓瓣臻蓬勰懿莓在性与多解挂 定理2 。1 。3 稷爱菇在肄+ 1 令蔗安散如也 a ，七= l ，2 ，【警j 恩g ( ) a ，= 1 ，2 ，f 学】 则p b v p ( 2 1 1 ) 至少有竹个正解t 女k ，；1 ，2 ，n 且满足仇 l 毗0 c k + 1 。 推论2 1 3 假设存在3 个藏嶷数c l c 2 c s 使得下列条件之一成崴 ( i ) g ( o ) o ，g ( c s ) n ( 2 ) g ( c 1 ) n ，“c 3 ) n + 则p b v p ( 2 1 1 ) 至少有2 个藏躲l ，撕k 苴满足c l l t t lb 0 。鬻l 2 u 程琏串 摄强正逆的。 李永榉在f 2 2 l 中，对姻盼算予氐蛳* u o ) 一乒十娌站在最中皮甩因式分髂定理 肖下列缀穴毽暴理 霉j 遵2 1 。3 1 2 2 热粜l 娥藏，酃么辫予上嘻稚一嚣c 4 ) 一3 u + a u 在毁书楚强正 邀戆。 以下考虑 0 # 羲算芋l 4 u 一戢一妒? d + 8 t | 袭墨串逆越饿+ 令 确麓一e e a 8 i n ( b t + 掣一蔗) 十e 轳 瓤4 0 s i n ( b ( 2 ，r 一棼? 一建，( 2 1 5 ) 冀孛 1 一扩“c o s 2 弹矿”s i n 2 霄 螂铲丽声荔焉菰两雨鬣黼菥泌籼2 顶i 荔意丽再雨磺蓊谛； a 南；s i n a 一丽b ；c * 磊澎弱丽零羲1 蕊蒂雹帮狮 容藏鲶渡坞国是与l 4 u 对应黪簸饿遵缀阕越( 2 。1 萄的解，且 麓一黝霹了虿扩斑辫专谚一制锘；蓼矿鼢一移戚珏6 渐一辞+ 蝣+( 2 1 黪 荸l 撰2 1 + 4 如果( a 2 ) 成戮，鄄么算予反铭一锯姆芦矿+ a 簦糍姨母魁强委遂 懿， 谴囊一炉一4 靠 o * i ，可襻7 0 ，骞( 2 1 。5 ) 帮( 2 1 钟我8 j 麓 魄( 移= ees i n ( 薹1 t + 7 - 蠢) + ce a i 。嚣- t ) s i 鞋( ；2 霄一) + 一固， r ：( f ) 一n 吒丽胁耐一e a ( 2 ”“】s i n ：t 最然嫒( o ) 一红) = 翱) * 0 鼹囊$ ( 0 ，7 1 ) 醛，蛭( ； 0 嚣魏懑骢，r 4 ( ) 。讯嚣) = 2 c e ”c o s a 0 - 卷 璧塑塞堡塑璧蒌墼墼囊塞黧童耄堡垒 孽l 瑗2 1 5 如果( a 3 ) 成藏，郑么算予l 4 u 一珏汹一鼬”+ 在懿巾也是强正 遂瓣+ 谖殛熬 国= 扫) 一( 嘲= 0 下落皴暴a = 垆4 a 0 ，妻b i 液 忘，则嚣t p ，f ) 对，r ：( ) 0 ， 以下分两中情形分别证明 情形( i ) ：假设s i n ( b t + 1 ) 0 由( 2 1 6 ) 阿得 ( 磅c 、石f 蕊8 ( 2 “”。) s i n ( b t + 7 ) 一s i n b ( 2 ，r t ) + 7 l = 2 e 丽e a ( 2 一日c o s ( b 掣) 8 莹n 嵇一霄 = 而害纛笺亳狮c 酬t 一秒蚓卜躜= 了霞三零纛蒿蚕荔霉尹尹幂荔焉耐c o s 硼p 一 p m p 一 矾 辔耪诞冁c 。s 蛔 0 ，1 一一0 ，s i , ( t 一7 r ) 0 ，从两t ) 0 鬣鼠程鼹申悬强露莲懿 疆 鞭蘧，懿莱鹃鬏潦麓( 鼻t ) # 一l ，2 ，壤形之一燹篓子, 4 袭懿审蹙楚疆燕 邋的 瀵记2 1 1 如果 o ，； b l ，下t a n 5 ”t a n _ h a t r ，或者o ，扫21 + 则 厶械髓不具有逆正性 首先。巍 o ，； 6 一下t a n h a 。? r 时， 蕊醐刮护。洳协舻游袋嘉舞黼。 1 4 第二聋瓣盼瓣麟遍谨惩露的正簿 其次，当a 0 ，b 2 1 醇，分嚣申髑形分溺说秘。 情形( i l ：6 = 1 此时 = 筇粼r 4 0 r ) 一- 2 e e ”s i n a 1 选取o l = 1 一奎弦( o ，丌) 则 r 4 ( t 1 ) = c e d 1 一饥i n ( b o i 1 ) ”+ 7 一以) 十ce a ( 2 ”- ( 1 - 昙) 霄) 咖( 6 ( 2 7 r 一( 卜) 丌) ) 十1 一a ) = 一c e 4 ( 1 一 h + e 4 ( 1 + ) ”】s i n ( 斩十7 一a ) 心( 丌) = 2 c e ”s i n ( 6 7 r + ，y a ) + 我们脊r ( t a ) - r ( 7 r ) s0 门 因此在a 0 条件下，我们得到了舞予l 4 ，t l 有强正遂的充要条件 注记2 1 2 如果多= 0 则l 4 u t 脚+ t 。且l 4 u 在毋中具有强逆正性凝菇仅 警8 滤足t a n r 镑 - t a n h ，r 专碍遂砖文鎏l 】鳇结果是一致懿 t i l e2 1 1 善0 m 0 。7 2 4 8 3 6 9 剿筹子珞毽= 嚣s 镕在最孛是强菠滋魏 运算子上晷8 = 霸+ 产暂黯寝盼多硬式p ( a ) = 妒+ 产= a 4 一瓶m 2 a 2 十 m 4 ) ( a 4 + 脚舻+ m 4 ) 记d 一彤d t ，z 为恒等算子，剃l s = 瓦l t | l a , 2 u ，冀审 l 4 , 1 i t = d 4 一、萄舻d 2 + 舻j l 4 , 2 “= d 4 + 、- m 2 d 2 + m 4 i 由引理2 1 5 可知l “在r 中有征遒，当且仅当若1 玩 l ，a n _ b i t r 一t a n h a ：r z 以n 其中h ：8 2 ：下v 2 - v 互m ，n l 。如。掣m 而方程ten-bl霄tanha ：r 的根枞鼎0 7 2 4 8 3 6 9 方程t a n r b 卵一r 汕t a a ha 2 t r 的 根抛22 。2 8 6 4 8 6 2 由因式分解定穰可知，逛m o 7 2 4 8 3 6 9 时，算子l s u = 也8 ) + m 8 珏 在嚣孛是强正遂鲍。 麓 获囊该连了交【l 凄孛，墨8 嵇+ 记黼2 。鎏，f 秘，m2 卷甄r 8 x 粼 魄蛰，矧，有0 0 成立 剥圣在并n 呸n l 中必有不动点。 2 3 麓瓣鹣存在攘秘多重缝 定理2 1 1 的证萌由萼| 理2 1 5 及镶k 的定义可知，p b v p ( 2 1 1 ) 酌蓉勰帮为 算子妒的非零不动点我们梅分两种情形分别证明算子妒有一个非零不动点 情形( i ) ：因为元 n 我们可选取5 ( o ，a ) ，n o ，n o 0 使得 f ( t ，t i ) ( 球0 “，v t 【0 ，2 丌】，0 s “r l ，( 2 1 9 ) s ( t ， ) ( n 十# ) t ，v t f o ，2 州，蕾 ( 2 1 ，1 0 ) 令逸= # 0 殴孙l ：酬l r 1 ，则辩任意的钍k n 勰l ，盘( 2 1 ，9 ) 褥 转卜乞联岛砖兵驰羚玉 7a ( t ，$ ) ( 理一e ) u ( s ) d s g - “- j - i l u i i o ，厶 o ，r 1 0 使得 面一妒( 司= x o u o 成立令2 t r a f o i 2 n 丌1 存( ) ，则f 矿r 3 ，由( 2 1 1 3 ) ，得 面( t ) = g ( t ，s ) f ( s ，程( 5 ) ) d 5 + h o j 旱2 。 - - ， gfts)(a+)石(s)ds+知j 警o 、+ a o 另一方面，令r 4 ；粤，n 4 = u c + 【0 ，2 丌】：1 1 1 , 1 1 r 4 则对t k n a 吼，u ( ) 1 8 第二黎瓣蹬藤鬻选壤麓薅瓣燕磐 拶# u l l 一露| ，自( 2 1 1 4 ) ，褥 m 如) 8 ) 一7 翁秘，s ) s ( s ，让( s ) ) 幽 2 翰( n 一。) “( d s 篓a - 一8 l t “0 口 l l u l l 爨磁 如笋辨，v 鞑k n 8 q 4 ，￥玲l +( 2 1 ，强) 瘘；瀵2 1 。6 存糕毋懿嚣零幂蘸豢u i 拦n g 嚣辩3 ，撕獭，魄燕p b v p ( 2 ，1 + l 鹣个懑簿 心 鬻壤2 i 2 的镊麟邀襻在两个芷实数魄 魄健褥毯龟 8 ，哥褥 m a x f ( t ，牡) 加：0 ，黔，2 嘲l ，q 球， 我们邀撵0 毽 遴联一1 ，捌t l a 肖徊 。令瑰* 键c + l o ，2 嘲：1 1 , , 1 ； o 盛定理2 。1 1 秘獒双证嘲可知 珏一如a q o ，v i t k n 穰k ，a 麓0 如，v 爿n a n 6 ，v 卢1 则p b v p ( 2 1 ；1 ) 至少有一个旋懈雌l 且满足m i n c i ，晚 “女0 搬粼 c l ，如 + 口 蠡焱壤2 1 2 的诞孵过程可类似媲涯明摧论2 1 2 ，惫理2 1 。3 以及攘谂2 1 ，3 都 城囊，邀燕我秘蝰去了豫 瓣熬涯爨过程 周期边值同题正解的存在性与多解性 例2 3 1 四彤r 非鳙佳p b v p l 卿) 一孔丽6 2 5 ) = 3 眦t a n 让+ ；厄t 【o 2 乩 【“( o ) = 钍“( 2 7 r ) ， i = 0 ，1 ，2 ，3 ， 其中= 三8 ，a = 鬟，( t ，“) = 3 ”c t a n “+ ；俪考虑四阶线性p b v p f 以旷飘丽6 2 5 础) = o ，t 驯， 1 u “，( o ) = u ( o ( 2 7 r ) ，i = 0 ，1 ，2 ， it ( 3 ( o ) 一u ( 3 ( 2 _ 7 r ) = 1 ， ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 且璜计| 畀口j 碍( 2 3 2 j 田i l 眶一觯 r ( t ) = 丽4 e ts i n ( i t + 1 一a ) + 丽4 e ( 2 - 0 s i n ( i ( 2 霄- t ) + 7 一a ) , re 1 0 ，2 州 其中 c o s t = 丽1 ；咖1 = 岳胛a = ；s i n a = ； 一唧m i n r ( 栌去8 i n ( 争r + 7 - a ) = 筹篙， m = 0 鬟，瓦 程，歹。 文粼p s v p ( 2 。1 r 繁多骞夸歪薅i l i 显纛霆m i n c t ，镪黏# # m 繇 c l ，龟 攘谂2 。3 ，2 缓浚下楚餐彩乏一凌藏 ；i ) 编 8 ， 玲瓢 反，g 毫 矗， 制p b v p ( 2 ，1 1 ) 有一个拦懈， 定理2 , 3 3 假设存在抖十1 个嫩蜜数e l c 2 c n + l 使得下列条件宅一成藏 ( 1 ) g ( 一1 ) 8 奄= l ，乏，f 警l 糕g ( 嗽) 奄= l ，2 ，l 孚1 粼p b v p ( 2 1 1 至步毒嚣令藏髂繇女露，蠡m l ，聋，萎灌是珞 t i 嚣叠蛳 ， 2 1 惩期选僮辫憨越解瓣存袭性与多惩性 推论2 3 3 稷缓存在3 令爱实数魂 盘 e s 捷得下秀条箨之一残立 ( i ) g ( e i ) a ，g ( c 3 ) 靠 ( 2 ) 9 ( c 1 ) 口，9 ( c 3 ) a 则p b v p ( 2 i 1 + ) 至少有2 个正解u l ，2 k ，且满足c l 0 ll i c 2 l | 地l | 如 参考文簸 瓣j i s n gd a q i n g , w e ij u n j i e ，m o n o t o n em e h o df o r 辩ds e c o n d 捌目辨矗碡i cb o n u d a r y 州u ep r 西i e m s dp e r i o d i cs o l u f i o mo ff i m c t i o n i dd i f f e r e r c c i a le q u a t t o m , n o n 轴w 砖m l 翰2 2 ) 簿蓐焱 8 。 f 2 lj i a n gd a q i n g ，n i e t o , j ，j ，z u ow e u j i e ，o nm o n o t o n em e t h o df o rf i r s ta n d s e c o n do r d e rp e r l o d i cb o n u d a r yv a l u ep r o b l e m sa n dp e r i o d i cs o l u t i o n so ff u n c t i o u i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 弘 j m a d a n a l a p p l 2 8 9 ( 2 0 0 4 ) , 6 9