（基础数学专业论文）子群的几种广义正规性质和有限群的结构.pdf

摘要 摘要 有限群的结构与其子群的某种正规性的关系一直是有限群论重要的研究课 题之一。群论学家们不仅给出了各种各样的广义正规性的概念，而且获得了大量 的研究成果，这为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用。本文持续了这方 面的工作，利用某些正规性建立了关于有限群的( 矿) 幂零性和( p ) 超可解性的 各种条件，对有限群的( 矿) 幂零性和( p ) 超可解性进行了刻画。全文分为五章。 第1 章，给出常用的符号、概念以及若干有用结论。 第2 章，研究覆盖远离子群和半伊覆盖远离子群与有限群结构之间的关系。 一方面，我们利用某些特殊子群( 如，f i t t i n g 子群，极大子群等) 的覆盖远离性 质刻画了有限群的超可解性，得到了一系列的充要或充分条件，这些工作的创新 之处就是从各个不同危度，通过恰当选择尽可能少的具有半覆盖远离性质的子群 来刻画有限群的超可解性，许多已知的结果被推广。特别地，我们还把类似结论 推广到饱和群系中得到关于a 群的一些刻画，同时也给出了关于偶阶q c l t - 群的超可解性的刻画。另一方面，我们利用某些子群的覆盖远离性质，通过限制 有限群和d 型群的关系得到了一系列关于有限群幂零性的结果。最后，我们利用 f i t t i n g 子群和极小子群的半矿覆盖远离性质也刻画了有限群的超可解性和p 幂零性。本章实际上是郭秀云等人工作的继续，其中部分结果在j o u r n a lo fp u r e a n da p p l i e da l g e b r a ，2 1 3 ( 2 0 0 9 ) 上发表。 第3 章，主要利用素数幂阶子群的织性质研究有限群的( p ) 超可解性和 步幂零性。在p c s 5 r 9 5 、m h e r z o g 和m a s a a d 等人的研究基础上，我们进一 步推进了子群的澎性质和有限群结构的关系。p c s 5 r 9 5 和m h e r z o g 曾利用 极小子群的澎性质刻画了有限群的超可解性，在此我们发现极小子群的织 性质同样可以有效的刻画有限群的幂零性质。而进一步，我们给出了2 一极大子 群的形性质对有限群结构的影响。最后，我们扩展了m a s a a d 的部分结果， 利用f i t t i n g 子群中的某些极大子群再次刻画了有限群的超可解性和幂零性，而 且将其推广到饱和群系中，得到有限群属于包含超可解群系的饱和群系的充分条 件。本章的部分结果已被a l g e b r ac o l l o q u i u m 录用。 第4 章，由于一个群的某类子群不一定全是“半矿覆盖远离子群”或者全 i i i 西雨大学博士学位论文 是“职子群”，有例子说明可能只有一部分是“半p 覆盖远离子群 ，一部分是 “织子群”。因此，本章研究“半p 覆盖远离子群 和“形子群 两者都出现 时对群结构产生的影响，得到了一些重要的结论，这些结论涵盖了许多已知的著 名结果，如 1 】，【2 】和f 3 1 中的许多结论可以由我们的结果直接得到。本章结果已 投稿在较高级别的专业期刊上。 第5 章，本章主要对具有乒s 补的子群进行了进一步的研究，尤其是利用具 有p 幂零8 补的某些素数幂阶的极小子群和极大子群充分或充要地刻画了群的 p 幂零性。如：如果p 为群g 的阶的素因子且满足( i c l ，p 1 ) = 1 ，p s y l p ( g ) 。 则g 是p 幂零群当且仅当尸的每个极大子群在g 中有p 幂零s 一补。 关键词：覆盖远离子群；半p 覆盖远离子群；织子群；f s 一补；( p - ) 幂零 群；( p ) 超可解群。 i v a b s t r a c t a b s t r a c t r e s e a r ( - ho nt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt i l es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pa n d i t ss u b g r o u p sh a v i n gc e r t a i np r o p e r t i e so fs o m ek i n d so fn o r m a l i t ya x ea l w a y s o n eo ft h ei l n p o r t a n tt o p i c si nt h es t u d y i n go ff i n i t eg r o u p s a tt h ep r e s e n t ，n o t o n l ys o m en e wc o n c e p t sh a v eb e e ni n t r o d u c e db u tf r u i t f u lr e s u l t sh a v ea l s ob e e n o b t a i n e d t h ea c h i e v e m e n t so ft h i st o p i ci nn o r m a l i t yh a v ei n d e e dp u s h e df o r w a r d t h ed e v e l o p m e n t so fg r o u pt h e o r y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h i st o p i ci sc o n t i n u e d a n dv a r i o u sc o n d i t i o n so n ( p - ) n i l p o t e n c y , ( p - ) s u p e r - s o l v a b i l i t ya n d ( p - ) s o l v a b i l i t y af i n i t eg r o u pu p o ns o l i l ek i n do fn o r m a l i t ya r ee s t a b l i s h e d s o m ec o n d i t i o n sa r e c h a r a c t e r i z a t i o n so f ( p - ) n i l p o t e n c y , ( p - ) s u p e r - s o l v a b i l i t yo r ( p - ) s o l v a b i l i t y t h e d i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，s o m eu s e f u ln o t a t i o n s ，c o n c e p t sa n dk n o w nr e s u l t sa r ei n t r o - d u c e d c h a p t e r2i sd e v o t e dt oi n v e s t i g a t i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e ( s e m i 矿) ( 、o v e r - a v o i d i n gs u b g r o u p sa n dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s f i r s t ，w ec h a r a c t e r i z et h es u t ) e r s o l v a l ) l i t yo ff i n i t eg r o u p su s i n gt h e ( ；o v e r a v o i d i n gp r o p e r t yo f s o m es u b g r o u p s ( f o re x a m p l e ：f i t t i n gs u b g r o u p s ，m a x i m a ls u b g r o u p se ta 1 ) a n d o b t a i nas e r i e so fc o n c l u s i o n s ，w h i c hg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s e s p e c i a l l y , w eg e ts o m ec h a r a c t e r i z a t i o n sa b o u tt h ea g r o u p si nt h es a t u r a t e df o r m a t i o n a n dt h es u p e r s o l v a b l i t yo fq c l t - g r o u p sw i t he v e no r d e ri sc h a r a c t e r i z e da tt h e s a m et i m e o nt h eo t h e rh a n d ，b yu s i n gt h ec o v e r a v o i d i n gp r o p e r t yo fs o m e s u b g r o u p s ，w eg e ts o m er e s u l t so nn i l p o t e n c yo ff i n i t eg r o u p sw i t hr e s t r i c t i o n s o nd g r o u p s f i n a l l y ，w es t u d yt h es u p e r s o l v a b l i t ya n dt h ep - n i l p o t e n c yo ff i n i t e g r o u p sb yi n v e s t i g a t i n gt h ef i t t i n gs u b g r o u p so rt h em i n i m a ls u b g r o u p sh a v i n g t h es e m ip - c o v e r a v o i d i n gp r o p e r t y i nf a c t ，t h i sc h a p t e rc o n t i n u e st h ew o r ko f g u ox i u y u ne ta 1 ap a r to ft h er e s u l t so ft h i sc h a p t e rw e r ep u b l i s h e di nj o u r n a l o fp u r ea n da p p l i e da l g e b r a ，2 1 3 ( 2 0 0 9 ) i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yu s et h e 形- p r o p e r t yo fc e r t a i ns u b g r o u p so fp r i m e v 西南大学博士学位论文 p o w e ro r d e r st oc h a r a c t e r i z et h e ( p - ) s u p e r s o l v a b l i t ya n dp - n i l p o t e n c yo faf i n i t e g r o u p b a s e do nr e s u l t so b t a i n e db yp c s s r 9 5 、m h e r z o ga n dm a s a a d ，w e f u r t h e rp u s hf o r w a r dr e s e a r c ho nt h er e l a t i o n s h i po ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s a n dt h e 毙一p r o p e r t yo fs u b g r o u p s a l t h o u g hp c s s r 9 5a n dm h e r z o gd i s c r i b e d t h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h es u p e r s o l v a b l i t y , t h e yd i d n td i s c r i b e dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fn i l p o t e n c yo faf i n i t eg r o u pb yu s i n gt h e 形一p r o p e r t yo ft h em i n i m a l s u b g r o u p s h o w e v e r w ef o u n dt h a tt h e 澎一p r o p e r t yo ft h em i n i m a ls u b g r o u p s c a na l s ob eu s e dt oc h a r a 【t e r i z et h en i l p o t e n c yo faf i n i t eg r o u pe f f e c t i v e l y m o r e - o v e r w eo b s e r v et h ei n f l u e m eo ft h e2 一m a x i m a ls u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo f f i n i t eg r o u p s a tt h ee n d ，w ea l s oe x t e n ds o i i l er e s u l t so fm a s a a db yu s i n gt h e i n a x i m a ls u b g r o u p so ff i t t i n gs u b g r o u p s ，a n dc h a r a c t e r i z et h es u p e r s o l v a b i l t ya n d t h en i l p o t ( m c yo faf i n i t eg r o u p s o m eo fr e s u l t sa r es h o w e dt ob ec o r r e c ti nt h e s a t u r a t e df o r m a t i o nc o n t a i n i n gt h ec l a s so fa l ls u p e r s o l v a b l eg r o u p s ap a r to f t h er e s u l t si nt h i sc h a p t e rh a v eb e e na c c e p t e db ya l g e b r ac o l l o q u i u m i nc h a p t e r4 ，b e c a u s et h e r ee x i s t ss u c hk i n do fg r o u ph a v i n gs o m ec l a s so f s u b g r o u p s ，n o ta l lo ft h e ma r es e m i - p - c o v e r i n ga n da v o i d i n gs u b g r o u p s ，a n dn o t a l lt h e ma r ew - s u b g r o u p s a n dw ef i n da ne x a m p l eh a v i n gap a r to fak i n do f i t ss u b g r o u p sw i t hs e m i p - c o v e r i n gp r o p e r t ya n da n o t h e rp a r tw i t hw - p r o p e r t y t h e ni t i sam e a n i n g f u lt o p i ct od i s c u s sh o wt h es e m ip - c o v e r a v o i d i n gp r o p e r t y a n dt h ew - p r o p e r t ye f f e c t so ns t r u c t u r eo fag r o u pa tt h es a m et i m e w ec o m e t os o m ei m p o r t a n tr e s u l t s ，w h i c hc o v e r ss o m ef a m o u sr e s u l t ss u c ha st h o s ei n 1 ， 2 】a n d 3 i nc h a p t e r5 、t h es u b g r o u p s 子一s s u p p l e m e n t e da r es t u d i e d e s p e c i a l l y , t h e p - n i l p o t e n c yo ff i n i t eg r o u p sa r ec h a r a c t e r i z e db yu s i n gt h em a x i m a la n dm i n i m a l s u b g r o u p so fp r i m ep o w e rp - n i l p o t e n ts s u p p l e m e n t e d f o re x a m p l e ，i fpi st h e p r i m en u m b e ro ft h eo r d e ro ff i n i t eg r o u pga n d ( i g l ，p 一1 ) = 1 ，p s y l p ( g ) t h e ngi sp - n i l p o t e n ti fa n do n l yi fe v e r ym a x i m a ls u b g r o u pi sp - n i l p o t e n t8 一 s u p p l e m e n t e di ng k e y w o r d s ：c o v e r a v o i d i n gs u b g r o u p s ；s e m ip - c o v e r - a v o i d i n gs u b g r o u p s ；嚣一 s u b g r o u p s ；互s s u p p l e m e n t ；) n i l p o t e n tg r o u p s ；( p - ) s u p e r s o l v a b l eg r o u p s v i 符号表 符号表 i g i 群g 的阶 7 r ( g ) 群g 的阶的所有素因子 e x p ( g ) 群g 的方次数，即g 中所有元素的阶的最小公倍数 d f z ) 元素z 的阶 ( z ) 元素x 生成的循环群 ( x ) 集合x 中的元素生成的群 h g 日是群g 的子群 h g 日是群g 的真子群 hqg 日是群g 的正规子群 hqq g 日是群g 的次正规子群 日s ng 日是群g 的次正规子群 hc h a rg 日是群g 的特征子群 h 竺g 群日同构于群g 日sg 日同构于群g 的一个子群 | g ：日i 子群日在群g 中的指数 g ( 日) 日在g 中的正规化子 ( 日) 日在g 中的中心化子 h a = c o r e r ( h ) = n 。gh g 子群h 在群g 中的核 皿g 包含于日的群g 的所有8 一拟正规子群生成的群 s y l p ( g 1 群g 的所有s y l o wp - 子群的集合 g ，群g 的导群 z ( a 1 群g 的中心 磊( g ) 群g 的上中心列的第i 项 f ( a 1 群g 的f i t t i n g 子群 乃( g ) = o p , p ( g ) 群g 的一切p - 幂零正规子群之积 西f g ) 群g 的f r a t t i n i 子群 d p ( g ) 群g 的最大的正规p 子群 i 西南大学搏士学位论文 o p ( g 1 群g 中所有p l 一元生成的子群 0 p ，( g ) 群g 的最大的正规p l 一子群 q “尸) p 群p 中所有阶不超过的元生成的子群 a u t ( c 1 群g 的自同构群 i n n ( g 1 群g 的内自同构群 & ，a n m 次对称群，n 次交代群 q 2 。2 n 阶广义四元数群 d 2 。2 n 阶二面体群 a b 群a 与群b 的直积 a b 或bka 正规子群a 与子群b 的半直积 a b zz a 但z 彰b ) ( m ，n ) 自然数m 和n 的最大公因子 丁表示一个群系 包含所有幂零群的饱和群系 纠包含所有超可解群的饱和群系 g 7 群g 的f 剩余 1 参考文献 1 】 【1 ，t h e o r e m1 参考文献 1 中的定理1 2 ，i i i ，3 2 】参考文献 2 】中第三章结论3 2 ( 此文献一般为参考书) 定理3 1 2 本论文的第三章定理1 2 i i 学位论文独创性声明 黧裟穗热勰粼聪燎黼本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成。 果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加了特别标注。 对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同仁在文中作了明确 说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：王弱爵 签字曰期：文d o 年岁月及d 日： 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：血不保密， 口 保密期限至年 月止) 。 学位论文作者签名：王丽静 签字日期：及口jo 年与月& o 日 导师签名 签字日期：象 第1 章绪论 1 1引言 第l 章绪论 现代代数学起源于十九世纪，在二十世纪成为数学的一个主要分支，而群是 现代代数学的中出现最早、最基本和最重要的概念之一。它被广泛地应用在几 何、数论、密码学、量子物理、量子化学、计算机科学等学科，可以说是现代理论 自然科学最重要的基础之一。在群论的众多分支中，有限群理论无论是在理论上 还是在实际的应用上来说都占据着更为突出的地位，有着十分丰富的内容。 长期以来，研究子群的某种正规性质与有限群的结构的关系一直是有限群论 重要的课题之一。因为子群的正规性质在有限群的研究中起着非常关键的作用， 所以对一切有限群的研究都可以通过正规子群化成单群的研究。最初人们利用子 群的正规性，得到了j o r d a n h s l d e r 定理、s c h u r z a s s e n h a u s 定理以及s c h r e i e r 扩张理论等重要的有限群理论基础，而后者正是一切有限群和单群之间关系的理 论基础。众所周知，正规子群与群的主群列是密切相关的，群的可解性、超可解 性和幂零性等这些关于群结构研究的重要概念又都是可以通过群的主群列来精 确刻画，所以它们当然就与子群的正规性质密不可分。在有限群理论日渐成熟的 今天，特别是有限单群分类被认为已经完成之后，如何使用更为广泛意义的正规 性，代替以前的正规性来观察群本身的性质，尤其是群的可解性、超可解性、幂 零性等，成为一个非常值得研究的课题。因此，最近若干年来，人们给出了各种 各样的广义正规性的概念，而且获得了大量的研究成果，这为有限群理论的发展 起到了强有力的推动作用。 近些年来，人们利用子群的共轭类对群的结构进行了大量的研究，并且取得 了非常优秀的研究成果。1 9 6 2 年，g a s c h f i t z 在文献【4 】中介绍了有限可解群的 子群的某一特殊的共轭类，这些子群具有覆盖一远离性质，易知该性质也是正规 性质的一个推广。此后，有些学者继续研究了某些子群这种性质( 如 5 】、【6 1 ) 及 它的推广半( p ) 覆盖远离性质和群结构之间的关系。但是这些研究对有限群中 更为特殊的f i t t i n g - 子群等并没有给予太多考虑，而且他们用到的是所有的极大 子群或极小子群。而我们知道群中的f i t t i n g - 子群可以说是其最特殊的类子 西南大学博士学位论文 群，这种子群所具有的良好的性质可以简略我们研究群结构的过程，所以利用群 的f i t t i n g - 子群的覆盖一远离性质研究群的结构是非常有意义的事情。而如果通 过减少对群中具有覆盖一远离性质的极大子群或极小子群的个数的研究也能刻 画群的结构，那将也得到不错的结果。我们就在这些方面进行了系统的研究。 另一方面，在子群的正规性质的推广过程中，还出现了b i a n c h i 提出的形 性质和淼龙等人提出的f s 一补等其他子群的广义正规性质，而且这些性质都能 用来恰当地刻画群的结构，许多著名的群论学者都对这些性质进行了大量研究， 事实表明，利用这些性质研究群的结构是非常成功且有意义的。 在关于子群的正规性质的研究中，通常是通过减弱正规性质的条件、或者是 尽可能少的选择具有某种正规性质的子群的数量，或者将相应的结论推广到群 系中来迸行研究。本文在关于子群的正规性质的研究中，就是继续了这方面的工 作。在我们的研究中，采取最多的研究方法是极小阶反例法、各种归纳法和分步 解决等方法。极小阶反例法，即数学归纳法结合反证法，具体来说，设g 为有限 群，g 为极小阶反例，即g 为满足题设条件但使结论不成立的阶为最小的群。本 文中所提及的群都是有限群( 特殊说明除外) 。 1 2 ( 半p ) 覆盖远离性质研究背景 有限单群分类定理完成之后，人们把更多的注意力放在有限群的可解性、超 可解性、幂零性等性质的研究上，出现了许多非常活跃的研究课题。用子群的某 种性质来研究有限群的结构是有限群论中非常活跃的研究课题之一，由于极大子 群，极小子群，以及s y l o w 子群的极大子群等在有限群的子群中占有特殊重要 的地位，这就引导人们利用这些子群的正规性质来研究有限群的结构。先看一下 如下众所周知的重要结论： 定理1 2 1 7 ，i v ，2 7 有限群g 是幂零群当且仅当g 的每个极大子群是 g 的正规子群。 定理1 2 2 【8 ( h u p p e r t ) 有限群g 是超可解群的充要条件是g 的每个极大 子群的指数是素数。 2 第1 苹绪论 定理1 2 3 【8 】如果有限群g 是可解群，则对g 的任意极大子群m 都有 l g ：m i 是一个素数的幂。 通过对比上述三个定理的重要结论，我们自然会问定理1 2 3 的逆命题是否 成立，回答是否定的，如： 例1 2 1 设g 为线性群p s l ( 2 ，7 ) ，容易知道g 的每个极大子群都在g 中具有素数幂的指数，实际上，由j g i = 1 6 8 ，而g 的极大子群的阶至多可能 有2 1 、2 4 两种情况，所以g 的极大子群的指数只能为7 或8 = 2 3 ，但是群 g = p s l ( 2 ，7 ) 是单群。 上述例子表明用“指数”来刻画有限群的可解性不能取得满意的结果。因此 在1 9 5 9 年的时候，d e s k i n s 利用主因子的阶给出了极大子群的正规指数的定义： 设m 是有限群g 的极大子群，如果存在g 的一个主因子h k 使得k m 且h 菇m ，则日k 的阶称为m 在g 中的正规指数，记为7 7 ( g ：m ) 。并且证 明了： 定理1 2 4 9 有限群g 是可解群充要条件是g 的每一极大子群都在g 中 具有素数幂正规指数。 定理1 2 5 9 若有限群g 中存在一个可解的极大子群m ，满足叩( g ：m ) 是一个素数的幂，则g 是可解群。 然而，正规指数的概念仅仅局限于极大子群，对于一般的子群是不能定义 的。为此，1 9 9 6 年，王燕鸣在文献 1 0 中定义了子群的c - 正规性：有限群g 的 子群日在g 中称为是c 正规的，如果g 中存在正规子群使得g = 日且 日nn 望g 。利用c 正规性人们对有限群的结构又有了深入的研究，文 1 l 】证 明了下述结果： 定理1 2 6 “1 1 有限群群g 是可解的充要条件是c 的每个极大子群是c 正规子群。 定理1 2 7 1 1 】如果群g 中存在可解极大子群m 且m 是g 的c 正规 子群，则g 是可解的。 3 西南大学博士学位论文 对比上述结论可以发现用“c 正规 代替“正规指数”取得的成果是令人满 意的。在关于群的幂零性的研究中，人们还利用群的正规s y l o w 子群也给出了一 个充要条件： 群。 定理1 2 8 群g 为幂零群的充要条件是g 的每一s y l o w 子群都是正规子 但是s y l o w 子群的c 正规性并不能刻画群的幂零性，所以人t l 自然地提出 一个问题，能否找到一种正规性质使得s y l o w 子群能像定理1 2 8 那样刻画群的 可解性呢? 关于覆盖远离性质的研究就给出了肯定的回答。 1 9 6 2 年，g a s c h i i t z 在文献【4 中介绍了有限可解群的子群的某一特殊的共 轭类，这些子群具有覆盖远离性质，即它们不但远离可解群g 的补主因子，而 且还覆盖剩下的主因子。即：有限群g 的一个子群日称为在g 中具有覆盖一 远离性质，如果对g 的任意主群列1 = g o g 1 g 。= g ，使得对任意 的i = 1 ，s ，有h g t = h g i 一1 或日ng l = h ng i 一1 注意到，如果有限群g 是可解群且m 是其一极大子群，则对g 的每一个 主因子h k 有m 覆盖h k 或远离h k ，而且g 的每个正规子群必覆盖或 远离g 的每一个主因子，所以显然该定义也是正规性质的一个推广。此后，有些 学者继续研究了这种性质( 如 5 】、 6 ) ，他们希望找到有限可解群的其他某种子 群具有覆盖一远离性质。 1 9 9 3 年，e z q u e r r o 在文献1 2 1 中就给出了关于有限群g 的超可解性的描 述： 定理1 2 9 1 2 】有限群g 是超可解群当且仅当g 的每一s y l o w 子群的极 大子群在g 中具有覆盖一远离性质。 e z q u e r r o 的上述结果激起了人们研究覆盖远离子群的兴趣，郭秀云和岑 嘉评就利用子群的覆盖一远离性质对有限可解群进行了大量刻画，他们证得了： 定理1 2 1 0 1 3 有限群g 是可解群的充要条件是g 的每个极大子群在 g 中具有覆盖远离性质。 4 第1 章绪论 定理1 2 1 1 1 3 】有限群g 是可解群的充要条件是g 的每个s y l o w 子群 在g 中具有覆盖远离性质。 定理1 2 1 2 1 3 有限群g 是可解群的充要冬件是g 中存在一个可解的 极大子群m ，使得m 在g 中具有覆盖远离性质。 可以看出，子群的覆盖一远离性质和c 正规性质都可以有效地刻画群的可 解性，但是c - 正规子群和覆盖一远离子群之间并没有必然的联系，如： 例1 2 2 1 4 ( 是e - 正规子群但不是覆盖一远离子群) 令a 4 为4 次交代 群。z 2 = ( c ) 是2 阶群。作g = a 4 z 2 。取a 4 的4 阶正规子群k 4 = ( a ，6 ) ， 其中a ，b 是心的两个2 阶生成元。 令日= ( n c ) ，显然丑是2 阶群且h n a 4 = 1 ，从而g = h a 4 。故日是g 的 c 一正规子群。取g 的主因子肠邑汤，易知h 邑= ( a ，c ) 日( k 4 汤) = 4 磊， 且日n 勉磊= 日hn 邑= l 。因此日不是g 的具有覆盖一远离性质的子 群。 综上。日是g 的c 正规子群但非g 的覆盖远离子群。 例1 2 3 【1 4 】( 是覆盖一远离子群但不是c - 正规子群) 令y 是5 3 阶初等交 换群，且& 忠实不可约地作用在y 上。设g 是y 与& 的半直积，则g 可 解。显然y 是g 的极小正规子群。如果g 还有其他不同于y 的极小正规子 群k ，则k & 。从而& 在y 上的作用不是忠实作用，因此y 是g 的唯一 极小正规子群。取g 的任一包含y 的正规子群，那么n = y ( n & ) ，且 n & 塑& 。已知& 仅有唯一主群列1 心 a 4 & ，所以g 也仅有唯一 的主群列1 v v 垃 y 4 4 v & = g 。 令p 是g 的s y l o w2 子群。由g 为可解群及定理1 2 1 1 知，p 在群g 中具有覆盖远离性质。下说明p 不是g 的c 正规子群，否则，存在g 的 正规子群，使得尸与pnn 都是g 的正规子群。而v 垂pnn ，所以 pnn = l ，从而是2 7 一群，所以n = 1 或y ，但p 与p y 都不是g 的正 规子群。矛盾。 综上，p 是群g 中具有覆盖远离性质的子群，但p 不是g 的c 正规子 群。 5 西南大学博士学位论文 于是人们就希望寻找一个更一般的概念可以将这两者进行统一。不久前，樊 恽、郭秀云和岑嘉评在文献f 1 4 1 中给出了一个比这两个概念更广泛的概念，即半 覆盖远离性质：有限群g 的一个子群日称为在g 中是半覆盖远离的，如果存在 g 的主序列1 = g o g 1 g l = g ，使得对该序列的任一主因子g i g t 一1 有日g i = h g t 一1 或日ng i = h ng i 一1 。 显然，如果一个子群具有覆盖远离性质，则该子群也具有半覆盖远离性 质。而且易知群的c - 正规子群必然也是半覆盖远离子群。而上述两个例子1 2 2 和1 2 3 也充分说明了子群的半覆盖远离性质是子群的c - 正规性质和覆盖远离 性质的真正的推广。而且他们证实了子群的半覆盖离性质能很好的描述有限群 的可解性、超可解性和幂零性【1 4 1 。 进一步，樊恽、郭秀云和岑嘉评在文献 1 4 】中考虑到p 主因子的重要性，从 而给出了半伊覆盖远离子群的概念：有限群g 的一个子群日称为在g 中是半 p 覆盖远离的，如果存在g 的主序列l = g o g 1 2 。如果( i c l ，p 2 一1 ) = 1 且p 的每个2 极大子群属于澎( g ) ，则g 是p 一幂零群，其中p s y l p ( g ) 。 定理3 3 4 设p 是整除群g 个阶的素因子。若( i a l ，p 一1 ) = l 且s ( a ) 中 每一元素都属于澎( g ) ，则g 是p 幂零群。 a s s a d 也利用极大子群的澎一性质对有限群的结构进行了有效的刻画： 定理1 3 3 【3 设p 是群g 的s y l o wp 一子群。则g 是p 一幂零群的充要 条件是g ( p ) 是p 一幂零群且p 的每个极大子群都属于形( g ) 。 定理1 3 4 【3 设日是群g 的正规子群且g h 是超可解群。如果h 的 s y l o w 子群的每个极大子群都属于澎( g ) ，则g 是超可解群。 前面群论学者在研究子群的职性质和群的超可解性的关系时，主要局限 于对极大子群的澎一性质的研究，并没有对2 极大子群等其他特殊子群进行过 多的研究，本文在这方面进行了大量刻画，说明各种子群的澎一性质都可以对 群的超可解性产生重要影响，如： 定理3 2 3 设g 为苫无关群，日为g 的非平凡奇阶正规子群且g h 是 超可解群。若日的每个s y l o w 子群的任一2 一极大子群都属于彩( g ) ，则g 是 超可解群。 定理3 3 1 设p 是整除群g 的阶的素因子且g 是p 一可解群。令p s y l p ( b ( g ) ) 。若p 的任一极大子群都属于形( g ) ，则g 是p 一超可解群。 1 4 乒s 补子群的研究背景 前面我们已经提到群论学者在利用子群的正规性质对群结构进行研究的过 程中，提出了各种各样的正规性质的推广，其中补子群的提出也对有限群的研究 起到了重要的推动作用。群g 的子群日称为在g 中是可补的，如果g 中存在 一个子群丁使得g = 日t ，且称丁为日在g 中的补。 9 西南大学博士学位论文 k e g e l 曾给出： 定理1 4 1 1 7 】如果群g 的每个极大子群在g 中有循环补或者g 的某 个幂零子群在g 中有幂零补，则g 是可解群。 补。 另一方面，h a l l 也有著名的定理： 定理1 4 2 1 8 】群g 是可解群当且仅当g 的每个s y l o w 子群在g 中有 紧接着，j o h n s o n 用补子群给出了群的超可解性的结论： 定理1 4 3 【1 9 如果群g 的每个本原子群都在g 中有本原补，则g 是超 可解群。 以上结论充分说明补子群在有限群结构的刻画中也占有举足轻重的地位，从 而也引发了人们对补子群的研究兴趣，相继也就出现了补子群的大量推广。淼龙 和郭文彬 2 0 给出了f s 一补的概念：设f 是一个群类，称群g 的子群日在 g 中有乒s 一补，如果g 中存在子群k 使得g = 日k 且k kn 厂，且称 k 为日在g 中的f s 一补。并且他们利用这种子群得到了关于群结构的新刻画 2 0 、 2 1 o 定理1 4 4 【2 l 】设p 为群g 的阶的素因子，g q ，p s y l p ( g ) 。则g 是p 幂零群当且仅当p o 在g 中有p 幂零8 补，对任意p o g 。= 1 使得每一主因子q 一1 g j ( 歹= 1 ，2 ，s ) 为素数幂阶的初等交换群，则称g 为 可解群。 可解群的子群和商群都是可解群。反之，若群g 有正规子群日是町解群且 商群g h 也是可解群，那么群g 也是可解群。 定义1 5 2 如果有限群g 存在一个正规群列 g = 0 1 r = 1 使得旭+ 1 ( i = 0 ，1 ，2 ，r 一1 ) 为7 r 一群或7 7 群，则称g 为7 r 可分群。 如果g 中存在上述正规群列使得y , n , + l ( i = 0 ，l ，2 ，r 一1 ) 为7 r 7 群 或p 一群，其中p 7 r ，则称g 为7 r 一可解群。 7 r 一可分群( 丌一可解群) 的子群和商群都是n 可分群( 7 r 一可解群) ；丌一可分 群( 7 r 一可解群) 的极小正规子群是以群或7 r 一群( 丌，- 群或p 群，其中p 7 r ) 。 设g 为7 r 一可分群( 7 r 一可解群) ，对任意的q g 且n g ，有0 订( g n ) 1 或0 丌，( g n ) 1 ( 0 霄，( c n ) 1 或q ( g n ) 1 ；对某个p 7 r ) 。 定义1 5 3 如果有限群g 存在一个主群列 g = g o g 1 g s = l 使得每一主因子岛一l q 0 = 1 ，2 ，s ) 为素数阶的循环群，则称g 为超可解 群。 西南大学搏士学位论文 定义1 5 4 称群g 是p 一超可解群，如果g 的主因子的阶是p 或p 7 一数：g 是超可解群充要条件是对任意p 7 r ( g ) ，g 是p 一超可解群。 睁) 超可解群