（基础数学专业论文）沿旋转曲面的粗糙核marcinkiewicz积分算子的有界性.pdf

厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究 成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果， 均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产 生的权利和责任。 责任人( 签名) ：许建开 明年朋耐日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定厦 门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进人学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 人有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) 。 ( 请在以上相应括号内打 ) 作者签名：许建胥 日期：胡年兮月训日 导师签名：f 拟礁日期：棚年1 月7 日 中文摘要 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性 中文摘要 本文主要研究沿旋转曲面的粗糙核奇异积分算子在l e b e s g u e 空间的有界性全文共分两章，第一章致力于研究沿旋转曲面 的单参数m a r c i n k i e w i c z 积分算子，在积分核属于h a r d y 空间 日1 ( 扩_ 1 ) 或o r l i c z 型空间l ( 1 0 9 l ) 1 2 ( 铲。) 的条件下建立了这 些算子的汐有界性( 1 p 1 2 ) 下，建立了这些算子 在乘积驴空间中的有界性( 1q - 1 2 a p 1 - t - 2 a ) 关键词m a r c n k i e w i c z 积分，旋转曲面，粗糙核，极大算子，h a r d y 空间，乘积 空间，l i t t l e w o o d - p a l e y 理论，f o u r i e r 变换估计 英文摘要 b o u n d e d n e s so fr o u g hm a r c i n k i e w i c z i n t e g r a lo p e r a t o r sa ssoc i a t e ds u r f a c e s o fr e v o l u t i o n a b s t r a c t 2 t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt os t u d y i n go fm a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l o p e r a t o r sw i t hr o u g hk e r n e l sa s s o c i a t e dt os u r f a c e so fr e v o l u t i o n i t c o n s i s t so ft w oc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h eo n e - p a r a m e t e r e dm a r c i n k i e w i c z i n t e g r a lo p e r a t o r s t h e 2 - b o u n d e d n e s so ft h e s eo p e r a t o r sa r eo h - t a i n e di ft h ek e r n e lf u n c t i o n sb e l o n gt oh 1 ( 伊一1 ) o rl ( 1 0 9 l ) 1 2 ( 铲一1 ) ， 1 p o o c h a p e r2d e a l sw i t ht h em a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r so np r o d - u c td o m a i n s s o m er a t h e rw e a ks i z ec o n d i t i o n s ，w h i c hi m p l yt h e 2 b o u n d e d n e s so ft h e s eo p e r a t o r sf o rs o m ef i x e dp ( 1 p o o ) ，a r e o b t a i n e d k e y w o r d s m a r c i n k i e w i c zi n t e g r a l s ，s u r f a c e so fr e v o l u t i o n ，m a x - i m a lo p e r a t o r ，h a r d ys p a c e ，p r o d u c td o m a i n ，r o u g hk e r n e l ，l i t t l e w o o d - p a l e yt h e o r y , f o u r i e rt r a n s f o r me s t i m a t e 梦巷转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性 3 o 1 序言 第0 章序言与论文主要结果 众所周知，m a r c i n k i e w i c z 积分作为一类重要的l i t t l e w o o d - p a l e y s t e i n 函数在调和分析中起着十分重要的作用自从1 9 3 8 年m a r c i n k i e w i c z 3 6 引入 一维m a r c i n k i e w i c z 积分以来，关于这类算子的研究一直受到调和分析学者的 热切关注许多著名的调和分析专家都对它进行过研究，如1 9 4 4 年z y g m u n 5 4 利用复分析方法建立了一维m a r c i n k i e w i c z 积分算子的p ，p ) 有界性， 1 p ；1 9 5 8 年s t e i n 3 9 将m a r c i n k i e w i c z 积分算子推广到如下高维情 刚似加l 。掣m 汹蝌胆， 其中q l 1 ( s n 一1 ) 是妒中的零次齐次函数，且 q ( z 7 ) d a ( x 7 ) = 0 ，( o 1 1 ) 这里r n 表示佗维欧氏空间， s 舻l 表示r n 中单位球面在 3 9 】中，s t e i n 证明了若q l i p a ( s 礼_ 1 ) 则肛q 为p ，p ) 型( 1 p 2 ) 和弱( 1 ，1 ) 型 算子；1 9 6 2 年，b e n e d e k ，c a l d e r 6 n 和p a n z o n e 8 在q c 1 ( s n 一1 ) 的 条件下证明了p q 是，p ) 有界的，1 p 明显地，上述关于q 的有界性研究都是在q 具有一定光滑性的条件下建立 的于是去掉核q 的光滑性后，弘q 的性态研究自然是一个十分有意义的问题早在 1 9 7 2 年，w a l s h 4 5 】证明对于1 0 ) 意 y - t ， q l ( 1 0 9 + l ) 1 2 ( s n 一1 ) 是保证肛q 为l 2 有界的最佳条件随后， 尤其是上世纪9 0 年代末以来关于粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性研 究涌现了大量的成果( 见【2 0 ，2 2 ，6 ，3 1 ，4 7 】等及其参考文献) ，其中，d i n g ， f a n 和p a n 2 2 】在q h 1 ( 伊一1 ) 的条件下证明了p q 是p ，p ) 有界的， l p o o ，h 1 ( s n 一1 ) 表示s n 一1 上的h a r d y 空间；a 1 - s a l m a n ，a 1 - q a s s e m ，c h e n g 和p a n 6 】在2 0 0 2 年证明q l ( 1 0 9 + l ) 1 2 ( s n 一1 ) 也是 p q 为，p ) ( 1 p o o ) 有界性的充分条件为了明确上述结论之间的关 系。我们指出关于s n 匕的函数空间有下列真包含关系。 l i p a ( o 1 ) cl ( 1 0 9 + l ) 卢( p 1 ) ch 1cl 1 ， l ( 1 0 9 + l ) f l cl ( 1 0 9 + l ) 如( 0 尾 角) ， 但对于0 p 1 ，l ( 1 0 9 + 三) p ( s 竹一1 ) 与日1 ( s n 1 ) 互不包含值得注意 的是在上述p q 的定义中，积分算子的奇性是沿对角线 z = 秒) 的然而现 代分析中的许多问题要求我们研究奇性沿更一般低维子流形的积分算子( 读者可 从【4 0 ，4 3 】中了解更多的背景信息) ，其中一类重要的积分算子为沿旋转曲面的 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界1 i 5 m a r c i n k i e w i c z 积分算子，其定义如下； 肛q ，6 ，7 ( ，) ( z ，z n + 1 ) = 屯紫m 喵一m 咖蝌d t ) 胆， 其中b 为r + 上适当的可测实值函数，y 为r + 上适当的实值连续函数显然 当b ( t ) 三1 ，y ( 芒) 三0 时，p q ，6 ，7 即可化为p q 对于某些适当的b 和，y ， a 1 - s a l m a n 和a 1 - q a s s e m 4 】在q l l o g + l ( s n 一1 ) 的条件下建立了p q ，6 ，7 的，p ) 有界性；d i n g ，f a n 和p a n 2 3 在b ( t ) 三1 的条件下，把核的条 件推广为q h l ( s n 一1 ) 同肛q 的结论相比较，个很自然的问题是对于一般的6 和7 ，q l ( 1 0 9 + l ) 1 2 或日1 ( s n 1 ) 能否保证q ，6 ，1 的，p ) 有界性? 在本文的第一章，我们将对此 问题进行研究事实上我们对更一般的p q ，6 ，7 建立了所期望的结论 另方面，自上世纪9 0 年代末以来，受多参数奇异积分算子有界性研究的启 发，人们开始研究如下多参数情形的m a r c i n k i e w i c z 积分算子： p ( 厂) ( z ，y ) = 州tm 。群岛f ( x - u , y - v ) d u d v l 2 嚣) 1 2 ， 其中m ，佗2 ，q l 1 ( s m lxs n 一1 ) 为零次齐次函数且满足 q ( 钆7 ，v ) d a ( u 7 ) = q ( u 7 ，v ) d a ( v 7 ) = 0 ( o 1 2 ) js m 一1 js n 一1 d i n g 2 1 】首先证明若q l ( 1 0 9 + 三) 2 ( s m 一1xs n 1 ) ，即 i q ( u 7 ，v ) l ( 1 0 9 + l q ( u 7 ，移，) 1 ) 2 d a ( u ) d a ( v 7 ) o o ， ， j s m 一1 s n 一1 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性 6 则p 是l 2 ( r m r n ) 有界的在2 0 0 0 年，c h e n ，d i n g 和f a n 1 2 】在 q l q ( s m - 1 x s n 一1 ) 的条件下建立了p 的p ，p ) 有界性，1 p 1 1 2 ，q 满足 咎s u p ；儿瞅以们i 南魄+ 南卜州， ( 0 1 3 ) 则p 是z e ( r m r n ) 有界的，1 - t - 1 ( 2 a ) 0 ) 与l l o g + l ( s m 一1 s n 1 ) 互不包含，但u g 1l q ( s m 一1 s n 一1 ) 均为它们的真子集 注意到上述多参数积分算子的奇性是沿对角线 zn - - 牡，y = 钐) 的类似于 单参数情形，同样对于奇性沿更一般的低维子流形的m a r c i n k i e w i c z 积分算子 的研究也是一个十分有意义的课题本文的第二章我们将致力于研究一类沿旋转 曲面的多参数m a r c i n k i e w i c z 积分的有界性 o 2 论文主要结果 本文的主要研究对象为沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子，包括 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性 7 单参数和双参数两种情形全文共分两章，其编排格式如下：定理和命题按章编 排，如定理1 2 指第一章的第二个定理；引理、公式、推论和注记的编号以章节 划分，如引理1 2 3 指第一章第二节的第三个引理 第一章主要研究一类沿旋转曲面的单参数m a r c i n k i e w i c z 积分算子，在核满 足两类最优条件下建立了这些积分算子的上尸有界性 设r n ( 佗2 ) 是佗维欧氏空间，s n 一1 是r n 中的单位球面，其上赋以 l e b e s g u e 测度d a = d 盯( ) 对非零点z r 他，记z 7 = x i x l s n ， 虿= ( x 2 ，x n ) 对铊2 ，设q l 1 ( s n 一1 ) 为r n 中零次齐次函数，且 满足( o 1 1 ) 记为定义在r + 上的如下可测实值函数空间。 ，r p = 6 ，i | 6 i i ，= s u p ( r - 1 阶) r d t ) m 1 r 00 易知l ( r + ) c i ，lc 屹，l v l 忱 1 ，佗2 ，m 1 如果q h 1 ( s n 一1 ) 且满 足( o 1 1 ) ，则 ( i ) l l 肛q ，b ，r ( f ) i i l ：( r n + m ) c i i f l i l 。( 妒+ m ) ， ( i i ) i l p q ，b ，r ( f ) l l l p ( p + m ) v i i f i l l p ( p + m ) ，1 1 p 一1 2 i 1 定理1 2设b p ， l ，n 2 ，m 1 如果q l ( 1 0 9 + l ) 1 2 ( s n 一1 ) 且满足( o 1 1 ) ，则 ( i ) i l 肛q ，b ，r ( ，) l l l ：( 驴+ m ) c i i f i l 。( 驴+ m ) ， ( i i ) l l p q ，b ，r ( f ) l l l p ( 酽+ m ) c i i ：i i l p ( 妒+ m ) ，1 1 p 一1 2 l 1 注记定理1 1 和定理1 2 中所述空间h 1 ( s n 1 ) 和l ( 1 0 9 + l ) l 2 ( s n 1 ) 是互不包含的 第二章主要研究乘积域上一些沿旋转曲面的m a r c i n k i e w i c z 积分算子，在积 分核满足相当弱的条件下建立了这些算子在乘积分z 尸中的有界性 设r ( = m 或扎) ( 2 ) 是肛维欧氏空间， s 一1 表示r 上单 位球面，其上赋以l e b e s g u e 测度d a = d 盯( ) 对于任意非零点w r ，记 w 7 = w 1 w 1 对m 2 ，n 2 ，设q 为s m 一1 s n l 上零次齐次函数，且 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k e w c z 积分算子的有界性 9 q ( 让7 ，v ) d a ( u 7 ) = q ( 也7 ，v ) d a ( v 7 ) = 0 j s , - 1j s n 一1 对于定义在 0 ，) 上的适当函数和矽，用f 4 , 和a 妒分别表示旋转曲面t f 4 , = ( z ，咖( 1 2 1 ) ；z r m ) 和a 妒= ( y ，矽( 1 可1 ) ；y r p ) 定义r m + lx r n + 1 上沿旋转曲面f 4 , 和a 砂的m a r c i n k i e w i c z 积分算子p ，妒为。 m 彬) ( _ ，功= ( o 一oi 磁( 硎2 筹) l 2 ， 其中，对于每一个厂曙( r m + 1xr n + 1 ) ， f c s , t ( 虿，可) = l l 冬s ，l 训。k ( u ，钐) ，( 虿一圣( 让) ，歹一皿( u ) ) d 钆d u ， 此处，g ( u ，v ) = q ( 让7 ，v ) l u l m + 1i u i n + 1 ，西( u ) = ( u ，( i 钆1 ) ) ，皿( 秒) = ( u ，矽( 1 u 1 ) ) ，虿= ( z ，x m + 1 ) r m + l = r m r ，可= ( 秽，y n + 1 ) 妒+ 1 = r nxr 当咖= 矽兰0 时，p o ，0 即为前述算子p 第二章对一般算子p ，妒建 立了如下主要结果； 定理2 1设q 是一个零次齐次函数且满足( o 1 2 ) 设c 1 ( 【o ，) ， 是一个单调递增的凸函数( 或是一个多项式) ，矽c 1 ( o ，co ) ，矽7 是一个单 调递增的凸函数( 或矽是一个多项式) 如果及 1 2 ，q g q ( s 仇一l s n 1 ) 且下列任意一个条件成立，则p 妒，妒是汐( r m + 1xr n + 1 ) 上的有界算子，其中 1 + 1 2 a p 0 ，0 易知l o o ( r + ) c nca 屹，1 v l 忱 o o ，其中。o = l o o 同时我们引入r m 上的曲线r ( t ) = ( 7 1 ) ，他( t ) ，一，7 r e ( t ) ) ，其中巧0 = 1 ，2 ，m ) 是定义在r + 上连续的实值函数现在我们定义r m 如上的m a r c i n k i e w i c z 积分算子p q ，6 ，r ： 觚叩= 碚r 嘞) 1 2 ， ( 1 1 3 ) 其中 歹各( z ，z 掌) = b ( 1 可1 ) n ( v 7 ) l y l l 一竹厂( z y ，z 宰一r ( 1 秒i ) ) d 可 j m 00 沿旋转曲面的粗糙核m a r e i n k i e w i c z 积分算子的有界性 1 2 与m a r c i n k i w i c z 积分算子p q ，6 ，f 相对应的奇异积分算子死 6 ，r 定义为 ， ，b ，r ( 烈z ，z 车) = p v 6 ( q ( 删可r ，( z y ，z 事一r ( 1 y 1 ) ) d y j r “ 显然，序言中提到的算子肛q ，6 ，y 是本章所定义的m a r c i n w i k i e c z 积分算子 弘q ，6 ，r 在m = 1 的特殊情形 算子p q ，b ，y 与沿旋转曲面的奇异积分算子有密切的联系( 参见s t e i n - w a i n g e r 的报告 4 3 】可以了解更多的背景信息) ，它已经被许多学者研究过( 见【2 2 ，2 4 ， 4 9 ，4 ，5 ，2 等) 特别地，a 1 一s a l m a n 和a 1 一q a s s e m 【4 ，5 】( 或， a 1 - q a s s e m 和a 1 一s a l m a n 2 】) 证明了p q ，6 ，y 是l p ( r n + 1 ) 有界的，其中p 满足 1 1 肋一1 2 l 1 ，q l l o g + l ( s n 一1 ) ( 或， q b o ，o ( s n 一1 ) ，这里q 8 0 o ( s n 1 ) 是由j i a n g 和l u 引入的块空间( 见 3 5 】) ) ，而，y 是定义在r + 上的某类连续函数且坞是妒( r 2 ) 有界的( 其中p 满足1 p o o ) d i n g ，f a n 和p a n 【2 3 】证明了，如果q h 1 ( s n 1 ) 且鸩是上_ 尸( r 2 ) 有界( 其中1 p c o ，则p q ，1 ，7 是z 尸( r n + 1 ) 有界的 注意这里h 1 ( s n 一1 ) 表示定义在球面上的h a r d y 空间，l l o g + l ( s n 1 ) 和 明，o ( s 竹。) 均为其子空间( 参看【5 3 】) 另一方面，由a 1 一s a l m a n ，a 1 - q a s s e m ，c h e n g 和p a n s 的论文 6 】，我们 知道p q ，1 ，0 是p ( r n + 1 ) 有界的( 1 l ，髓2 ，m 1 如果q l ( 1 0 9 + l ) l 2 ( s 珏一1 ) 且满足( o 1 1 ) ，则 ( i ) l l 肛q ，6 ，r ( f ) l l l 2 ( 黧n + m ) sc i i f l i l 2 ( 妒+ ，珏) ， ( i i ) | | p q ，r ( f ) l l l p ( r n + m ) c i i f l i l p ( 妒+ 懈) ，l l l p - 1 1 2 | r a i n l 2 ，l i ，7 ， 如果m r 在l q ( r m + 1 ) 上有界，q 1 注记1 1 1 定理1 1 秘定理1 2 中所述空阕h i ( s 扎一薹) 和l ( 1 0 9 + l ) l 2 ( 一董) 是互不包含的 1 2 预备引理 我们引入h a r d y 空间 日l ( 酽一1 ) = ，s 7 ( 铲一1 ) ：i l p 刘三t ( 伊一t ) 。o ) ， 其上泛数定义为| l y l i - t ( s - 一t ) = | l p 删t 妒一t ，其中 j ) + ，( z 7 ) = ：。s s u r p ，tl 。一。掣删) 1 旧l 秽，l n 一坩，| 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性 1 4 h 1 ( s 扎一1 ) 有个重要的性质是它的原子分解我们称一个l q ( 1 极大 算子坼是l g ( r m + 1 ) 中有界，则 i i 吒( 删h p + m ) c i i q i i l t ( s n t ) h f i i l 。( r - + m ) ， 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性1 6 其中c 是一个与w ，q 和，无关的常数 证明由于 击、i b ( m ) a ( y ，) | 计川l ，( z y ，z 奉一r ( m ) ) l d y j 2 ( k 一1 ) ”t j 耋，i 2 七”t r 2 七”t ，i = 矗帅。1 6 ( 训上州i 孬( 们盯( 护形，z 奉一r ( r ) ) l d a ( y 7 ) d r c 去( l - - , l f z ( y ) l l f ( x - r y , x , - r ( r ) ) l d a ( y ) h v 鲴闻， 南a 。_ , 1 5 ( y ) l l f ( x - r y , x - r ( 训，砒厂。 设g = i ，l ，则我们有 略( 以叩挫c 邮0 圳1 1 州1 u 1 上的有界算子，则对于定义在r n + m 上函数列 ) 七z ，则 存在一个于w ，尼，芒无关的正数c ，使得对于满足条件1 1 p 一1 2 i 1 p 的 p ，有 i i ( 三l 口磊，知，。+ ，b 1 2 ) 1 7 2 i i 工，。r 。+ ，。， 0 ，p 0 和 ( ，6 ) r n + m 的常数 证明 此引理的证明类似于文献【2 9 中引理1 3 1 我们在这里只考虑 札3 的情况，因为n = 2 情形的证明本质上是一样的( 我们只需要用引理 1 2 3 来替代引理1 2 2 即可) 对于任何固定专r n ，我们选择一个旋转变换 0 使得p ) = l = 吲( 1 ，0 ，0 ) 设y 7 = ( s ，必，如) 则 1，2 詹t， 翁( ) = 麦。) e 一兀力乜l 口( 纩1 ( 可7 ) ) e - i , l e l 可 4 d a ( 们办， 其中o 一1 是旋转变换p 逆变换容易证明a ( o - 1 ( 秒，) ) 仍然是一个( 1 ，) 一 原子且支集在b ( 7 ，p ) n 铲，这是由于s u p p ( a ( y ，) ) sb ( 1 ，p ) ns n 因 1，2 。t f 命( ，) = 麦正。6 ( r ) e 一“砂厶。r ( s ) e - i r l l s 删r ， 其中冗8 ) 如引理1 2 2 中所定义的函数再设厶8 ) = r ( 2 s + g ) ，易得 厶( s ) 是一个定义在r 1 上的( 1 ，o o ) 一原子且s u p p ( f 口) ( 一r ( ，) ，r ( ，) ) 墨聋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i e z 积分算子的有界性 2 0 凼此以n 【s ) = r ) 厶【r 俘) s ) 也是一个定义在r 1 上的( 1 ，) 一原子且 s u p p ( a n ) ( - 1 ，1 ) 于是 舔( ， = 2 厶凇) e - r ( 2 知t r ) 5 上。胁) e - i 2 七t r l s l ( 2 s + s i ) d s 办 = ：2 b ( 2 七t 7 ) e 一【r ( 2 詹。r ) 。荨+ 2 k t r l s i s i a n ( s ) e t 2 七t r l 专1 2 r ( 7 ) s d s d r j 1 1 2 j r l ( 1 3 3 ) 因此，由原子a n 的消失矩条件，我们能证明 l 翁( ，l - 2 f 厶6 ( 2 ) e - - i r ( 2 k t r ) + 2 k t r 5 r la a ( s ) ( e _ 渺圳铊代，) s _ 1 ) 撕l p 1l i 2 i b ( 2 后打) i1 2 t r l r ( 5 ，) i i a n ( s ) s l d s d r j 1 2 j r l c 1 2 七t a p 讣 这就完成了( i ) 的证明 现在来证明( i i ) 由式( 1 3 3 ) 知 l 碥驯2 1 | 6 ( 2 ) il 厂删e - i 2 k + l t r l a p s l s d s idrjl2 j r l i 选取一个正数q 使其满足1 q m i n ( 2 ，) 利用h s l d e r s 不等式得 i 丽( ，) i c 2 邝办h 厶e 砣t r l 铋s h v ， 娜忪。 2 时， a pca 2 ，因此我们假设v 满足条件1 2 和1 1 v 一1 2 l 1 7 利 2 0 彬 胆 、lli，、j 、亡、少 出 如 0 0 d 柚 ，甄 p 、一、j 门 d ” u 岛 蚂 鹕 “ 似 跏 鼽 咖 缸 k 瞄门 厂，n 眦 眦 弛 ， 结合式( 1 3 6 ) i i j ( f ) l l a cm i n 2 ，2 弦 1 1 f 1 1 2 ( 1 3 7 ) 由式( 1 3 5 ) ，我们能得到 i l f f a ( f ) 1 1 2 i l i j ( f ) 1 1 2 c m i n 2 ，2 j a l l f l l 2 c i i f l l 2 这就完成了( i ) 的证明 同时，由积分中值定理知；存在t o ( 1 ，2 ) 满足 易c ，c z ，z 木，= ( ，k e zi ，后。木s ；+ 七c 岛+ 忌，c z ，z 宰，1 2 ) 1 2 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性 得到 i i 乃( ，) l i p c l l a l l l - ( s n 一- ) i l ，l l p c i l ，i i p ，1 1 p 一1 2 l 1 u 7 ( 1 3 8 ) 在式( 1 3 7 ) 和( 1 3 8 ) 中插值，存在p ( 0 ，1 ) 满足 l l 乃( 厂) i l p cm i n 2 一声，2 j q 口) l i ，l i p ，i1 p 一1 2 i 1 u 7 因此，对于1 1 1 ) 一1 2 l 1 u 7 ，有 l i 厩( ，) i l p i i 乃( ，) i i p c m i n 2 一声，2 j a 秽) l l 厂l l p c l | 厂i l p j e zj z 这就完成了定理1 1 的证明 1 4 定理1 2 的证明 我们首先引进一些记号设q l ( 1 0 9 + 己) 1 2 ( s n 一1 ) 满足( 1 1 1 ) 对于 z n ，设e z - - - 矿s 竹一1 ：2 。i q ( ，) i 0 ，w = z + 1 和( ，) r n + m 的常数 证明由定义，h s l d e r s 不等式和式( 1 4 2 ) ，我们容易得到 i 面蕊( ，) i c i i b l l z x p i l a l l i c a t ( 1 4 9 ) 利用球坐标和h s l d e r s 不等式我们有 l 面蕊( ，) i 南仁：。1 6 ( 训坦，q m e 叫+ r ( r ) 乜协( 们卜 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性 1 办1 1 ( 1 4 1 0 ) 由式( 1 4 1 ) 和式( 1 4 2 ) ，易得到 旺。吣，) e 砣毗形州们i _ c a l 1 2 枷联f i 蕊( ) i 蚴1 2 枷蚓( r 打) 1 v 锄陟t t ，蚓 ( 1 4 1 1 ) 这样结合式( 1 4 9 ) 和插值定理我们能证明( i ) 另一方面，由式( 1 4 1 0 ) 和下列事实 b 。q ( 舻渺哳矿锄们l c i i 呲i i c i i 呲i i ， i 面蕊 我们记 v v u1 v 矿、_、 ，f 一， r “ 打 d ， 勺一一一 盯 八、 d ，l 、 八 可 2 了 q 哳 一 艟 厂坶毗 叫 五 仁q“ 南一 1 p， k 仃恤 c 、l20 舶 d 龟 y 盯d f 可 叫 一 e y 、，1 4 一， 叫 1 工 一 广足 v 2 1 2 、z，c 一 c o 2 一一二” 八， 一么 y 一从 ，f k 一、州觋 苏 d 矿 r c n厂止 沿旋转曲面的粗糙核m a r c i n k i e w i c z 积分算子的有界性 2 7 注意到 以及 眨e 砣毗咖7 k 咖i c 防飞矿h | _ 1 ， b 砣毗怕k 办l 1 我们能推出，对于每个0 ( 0 ，1 ) 坦e 瑚慨咖q 兮锄l c 嗲以y t _ z t h r 因此，取秒= 1 4 ，由( 1 4 1 2 ) 和( 1 4 1 3 ) ，我们能得到 l 蕊 ，) ic l l q li i i 一2 1 2 七t t ，必r l 4 呶洲唰) 丽 i ( 可7 一z ，) ，i _ 1 4 d a ( y 7 ) 打( z ，) ) 1 c i 陋| 1 2 1 2 枷蚓一l 4 矿 由于i i q 0 1 1 1 c = c a o ，和z d ，a l c 2 2 l e t c 2 一射，我们有 因此， i i q z i l 2 c 2 。+ 1 i e z l l 2 c 2 2 ( 。+ 1 ) a z = c 2 2 4 z i 面蕊( ，) i c 2 2 叫a z 2 七 蟮l 一1 ( 4 p n