（工程力学专业论文）非经典系统的模态降阶与动柔度阵的新算法.pdf

摘要 本文研究非经典的线性时不变离散系统模态分析的有关问题。文章分两部分：第一部分， 提出非经典系统的r i t z 降阶法，它是a d h i k a r i ( 1 9 9 9 ) 模态分析法的发展；第二部分，提出 了含有重根或零根特征值的动刚度阵的逆阵动柔度阵的模态展开的新算法。这里所谓的 动刚度阵就是数学上的丸矩阵，当九次数为二阶( 一阶) 时，就是一般意义上的动刚度阵， 但是三阶以上的动刚度阵的九系数矩阵不再具有质量阵、阻尼阵或刚度阵的物理意义，为了 区别一般的二阶( 一阶) 动刚度阵，以后称为九矩阵。当九阵为二阶( 一阶) 时，新算法推 出的模态展开式即为一般的振动系统动柔度阵的模态展开式。 本文的主要创新点有： ( 1 ) 提出非经典系统二次特征值问题的r i t z 降阶法。它利用保守系统的左，右截断模 态集作为r i t z 基，综合出非保守系统待求的左、右特征向量。包括重根或零根特 征值对应的左、右特征向量。这种方法在满足工程精度的前提下，大大减少了计 算量。 ( 2 )给出九阵左、右特征向量系的双正交规范条件，并阐述了双正交规范条件与川蜂 亏损与否的关系进而在双正交规范条件成立的前提下，提出并证明了揭示九阵 伴随阵性质的一条定理。 ( 3 )在上述定理的基础上，利用厄米特插值矩阵给出了九阵逆阵的模态展开式。与其 它算法相比，本公式的通用性覆盖了重根或零根特征值的最普遍情况，并且在一 定条件下是精确满足的。同时文章也指出了模态展开式的适用性。 关键字：非经典系统，二次特征值问题，r i t z 降阶，动柔度矩阵，厄米特插值，模态展开法 i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h em o d a la n a l y s i sp r o b l e m so fn o n - c l a s s i c a ld i s c r e t el t i s y s t e m s ( c a l l e d n o n c l a s s i c a ls y s t e m sh e r ei nt h et h e s i s ) a r ed i s c u s s e d t h et h e s i si n c l u d e st w o p a r t s i nt h ef i r s t p a r t , r i t z _ r e d u c t i o nm e t h o df o rn o n - c l a s s i c a ls y s t e m si sa d v a n c e d ，w h i c hi sa ni m p r o v e m e n tt o t h em o d a la n a l y s i sm e t h o d o f a d h i k a r i ( 1 9 9 9 ) i nt h es e c o n dp a n an e wa l g o r i t h mf o rt h em o d e e x p a n s i o ne x p r e s s i o no ft h ei n v e r s eo ft h ed y n a m i cs t i f f n e s sm a h b 【_ l l l ed y n a m i cf l e x i b i l i t y m a t r i xw i t hr e p e a t e de i g e n v a l u e so rz e r o - e i g e n v a l u ei s d e v e l o p e d h e r et h es o - c a l l e dd y n a m i c s t i f f n e s sm a t r i xi sa , - m a t r i xi nm a t h e m a t i c s t h e - m a t r i c e s o f o r d e ro n eo rt w o a r e j u s tg e n e r a l d y n a m i cs t i f f n e s sm a t r i c e s b e c a u s ef o rt h ed y n a m i cs t i f f n e s sm a t r i c e so fo r d e r h i g h e rt h a nt w o ， t h ec o e f f i c i e n tm a t r i c e sd o n tm e a nm a s s m a t r i x ，d a m p i n g m a t r i xo rs t i f f n e s sm a t r i xi n p h y s i c sa n y m o r e ，t h e nt h ed y n a m i cs t i f f n e s sm a t r i xi sc 8 l mt h e3 , - m a t r i xl a t e ri nt h et h e s i st om a k ei t d i f f e r e n tf r o mt h eg e n e r a ld y n a m i cs t i f f n e s sm a t r i xo fo r d e ro r l e o rt w o w h e nt h eo r d 目o f a , - m a t r i xi so n eo rt w o ，t h e nt h ee x p r e s s i o ni sj u s tt h em o d e e x p a n s i o ne x p r e s s i o no fg 胁e r a l d y n a m i cf l e x i b i l i t ym a t r i c e so f t h ev i b r a t i o ns y s t e m s t h em a i ni n n o v a t i o n sc a nb es u m m e d u p a sf e l l o w s ： ( 1 ) t h er i t z - r e d u c t i o nm e t h o df o rq u a d r a t i ce i g e n p r o b l e m so fn o n - c l a s s i c a ls y s t e m si s d e v e l o p e d i tj u s tu s e st h er e d u c e dl e f ta n dr i g h tm o d e so ft h e c o r r e s p o n d i n g c o n s e r v a t i v es y s t e mt oo b t a i nt h er i g h ta n dl e f te i g e n v e c t o r so ft h en o n c o u s c l v v a t i v e s y s t e mi n c l u d i n g t h o s em o d e so ft h e c o r r e s p o n d i n gr e p e a t e de i g a n v a l u e s o r z e r o - e i g c n v a l u e g u a r a n t e e i n gt h ee x p e c t e dp r e c i s i o n ，t h er i t z - r e d u c t i o nm e t h o d s t r e n g l y r e d u c e st h ec a l c u l a t i o nw o r k ( 2 ) t h eb i o r t h o n o r m a lc o n d i t i o nf o rt h er i g h ta dl e re i g e n v e c t o r so ft h ea - m a t r i x i s g i v e na n dar e l a t i o nb e t w e e nt h eb i o r t h o n o r m a lc o n d i t i o na n d w h e t h e rt h e 九- m a t r i xi s d e f e c t i v eo rn o ti sc l a r i f i e d f u r t h e r m o r e ，g i v e nt h e b i o r t h o n o r m a lc o n d i t i o ns a t i s f i e d ，a t h e o r e m i n d i c a t i n gt h ep r o p c n i c s o f t h e c o m p a n i o n m a t r i xo fa - m a t r i xi sp r o v e d ( 3 ) b a s e d o nt h et h e o r e m , m a l g o r i t h mf o rt h em o d ee x p a n s i o ne x p r e s s i o no ft h ei n v e r s e o ft h e - m a t r i xu s i n g h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ，i s d e v e l o p e d c o m p a r i n gw i t ho t h e r a l g o r i t h m s ，t h em o d ee x p a n s i o ne x p r e s s i o nd e r i v e df r o mt h i sa l g o r i t h mc 。q nb eu s e dt o s y s t e m sw i t hr e p e a t e dc q g c n v a l u e sa n dz e r o e i g e n v a l u ea n du n d e rs o m e c o n d i t i o n s ，t h e i l i m o d e e x p a n s i o ne x p r e s s i o ni sa c c u r a t e m e a n w h i l et h et h e s i sg i v e st h ea p p l i c a b i l i t yo f t h em o d e e x p a n s i o ne x p r e s s i o n k e y w o r d ：n o n - c l a s s i c a ls y s t e m s ，q u a d r a t i c e i g e n p r o b l e m ，r i t z - r e d u c t i o nm e t h o d ，d y n a m i c f l e x i b i l i t ym a t r i x ，h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ，m o d ee x p a n s i o nm e t h o d 第一章引言 本文研究非经典的线性时不变离散系统( 阻后简称非经典系统) 模态分析的有关问题： 这类系统的复杂性主要体现在： ( i ) 系数阵不再具有对称性，从而导致其特征向量( 或叫模态) 有左、右之分。比 如，含有陀螺力和随动力的系统中，速度童与位移x 项前的系数矩阵没有任何对称性。因 此，严格地说，我们不能再把它们分别叫做阻尼阵和剐度阵。但为了方便起见。本文有时仍 沿用经典系统的术语，其中包括“保守与非保守”、“低频段”以及“刚体模态”等等。 ( i i ) 有些非经典系统是亏损的，即它们没有完全的左、右模态集( 数学上说没有完 全的左、右特征向量系) 。本文限于研究菲亏损的非经典系统。 模态分析在线性工程系统的振动理论研究中占有很重要的地位。在复杂结构的振动分析 中，一般应用各种离散化方法建立结构的离散化力学模型，把个无限多自由度的系统，简 化为一个近似的多自由度系统，从而得到系统的质量、阻尼、刚度矩阵。于是，模态分析问 题在数学上转化为求解一个二次特征值问题， 近百年来，寻求一种迅速而有效的求解二次特征值问题的方法，已成为结构动力学和计 算方法领域共同感兴趣的课题。1 8 9 7 年，r a y l e i g h 发表了他的基本理论吐r a y t e i g h 法是基 于能量原理的一种近似方法，最早用于经典无阻尼系统，其质量和刚度矩阵都是对称阵。并 且质量阵正定。这类系统有完全实模态集。然而，r 矗y l e i g h 自己也发现，任何实际的机械系 统都不可避免地存在耗散源，出自各种阻尼因素，如材料的结构阻尼、介质的粘性阻尼等。 为了解决这个问题，r a y l e i 出提出耗散函数的概念，以类比动能和势能的概念a 耗散函数是 关于速度的非负正定函数。同时，r a y l c i g h 又假定阻尼力与惯性力和弹性力成比例，称为“比 例阻尼”。这样，无阻尼系统韵模态分析方法就可以应用于含“比倒阻尼”的系统。2 0 世纪 6 0 年代，c a u g h c y 和0 k e l l y 2 - 4 j 研究了一类可解耦的经典的阻尼系统( 其质量、阻尼、刚 度阵都是对称阵) ，并且绘出这种系统可解耦的充要条件，符合这一条件的阻尼模型称为经 典阻尼。但是，这神系统仅限于经典系统，而且没有足够的数学理论或实验证据表明，物理 系统一定会满足c a u g h e y 和0 ，e n y 提出的条件。实际上，实验表明舶结果恰恰相反。这导 致研究人员对含有既非比饲阻尼又非经典阻尼的非经典非保守系统的关注。 此后几年，研究正试图把经典非保守系统模态分析方法拓展到系统的质量、刚度和阻尼 阵不是对称阵的非经典系统。这类问题经常出现在受迫振动系统及非保守动力系统中，如航 i 行在海面上船只的运动脚，或者飞行器的振动f 6 】。不对称的阻尼和冈度阵经常出现在陀螺 问题及含有随动力的系统中，以及有的系统质量阵也是不对称的( s o o m 和硒m p 】) 。研究 人员已经着手解决非经典线性系统的二次特征值问题。f a w z s ，和b i s h o p 州提出了非经典系统 中的左、右特征向量所满足的一些关系式进而，给出了一个规范化左、右特征向量的方法。 i n m a np 1 研究了一类特殊的非经典系统，这类系统可由线性变换转化为等价的系数矩阵为对 称的经典系统，保持特征值不变。后来a h r a a d i a n 和h m 给出了这类可对称化的非经典 系统存在正交规范模态的充要条件。之后，c a u g h e y 和m a p l l 给出了更一般的非经典非保守 系统可以解耦的充要条件。在他们接下来一篇文章中，m a c a u g h e y 1 2 】应用了等价变换方 法求解这类可以解耦的非经典系统。然而，他们的工作局限于保守系统或者特殊的可以通过 等价变换解耦的非经典非保守系统。 对于一般的非经典系统，则通常把问题投影到状态空间求解1 13 - l “，从而把= 次特征值 问题降阶为一次特征值问题。但却把系数矩阵的尺寸变成了原来的两倍。对于高阶系统来说， 这不仅意味着大量的计算耗费，而且特性矩阵的性态难以保证，比如矩阵原有的稀疏性被破 坏了。 在工程计算中，也发展出一些有效的近似算法。应用摄动方法p ”1 】可解决只有轻微阻 尼的二次特征值问题。因为是小阻尼系统，所以这种方法可近似采用相应的保守系统作为 未受扰动的系统。但是摄动法局限于小阻尼系统，而且为了求解特征值或特征向量的任意 l j 传 2 ) 阶近似项，需要知道前面所有征一1 ) 阶的近似项，并且它们都是相关的。另种 主要的方法是迭代法，比如逆迭代口2 - 2 s i ，子空间迭代b 6 - 2 8 j 以及l k l t o z o b 算法d 9 。l ，这些 算法都局限于经典系统。矩阵迭代法适用于计算系统的最低几阶固有频率和模态；子空间迭 代法是矩阵迭代法与r i t z 法的结合，是直接针对二次特征值问题的算法而不需要把问题 转化到状态空间；i a n c z o s 算法是基于k , y l o v 序列的一种递归算法，最早是针对保守系统提 出的，8 0 年代后期被推广到解决二次特征值问题p l - 38 l ，在商业软件中得到应用b 9 一“。但 是无论摄动法还是迭代法都有一个缺点，就是对于一个普通的结构系统需要付出大量的计算 耗费。 2 最近，s a d l l i k a r i “1 】利用伽辽金误差最小方法和n e u m a l l n 展开，提出了一种基于保守 系统的完全模态集计算相应非保守系统特征向量的方法。这种方法可以解决含有一般的阻尼 矩阵的系统，而且不需要化到状态空间求解。然而该方法实质上是一种坐标变换法，当自 由度很大时，这是不切实际的做法，并没有减少计算量。此外，a 【m i k a r i 法只考虑了保守系 统与非保守系统仅有成对出现的共轭复根的简单特征值的情形，而忽略了工程实际中经常碰 到的重特征值情形，也没讨论零特征值情形。h ，w s o n g l f c h 4 2 i 等将a d b i k a r i 法扩展 到保守系统有重特征值的情况，并对特征值为实数的情况作了讨论，但是依然基于保守系统 的完全模态集。没有减少计算量，而且对于非保守系统含有重特征值的情形也未加讨论。 本文的第二章将提出一种利用r i t z 降阶对含有重特征值及零特征值的非经典系统进行 模态分析的方法。本方法利用保守系统的左、右截断模态作为r i t z 基，综合出非保守系统 二次特征值问题的待求左、右特征向量。这样既不需要把问题转化到状态空间求解，又通过 r i t z 降阶进一步减少自由度数，因此在大多数情况下，本方法可用较少的耗费，提取满足给 定精度的待求二次特征值问题的模态解。另外，本方法的通用性覆盖了含有重特征值及零特 征值的系统。 另一方面，工程振动问题中，动刚度阵联系着系统的响应和激励。在求响应时。需要计 算动刚度阵的逆阵一一动柔度阵。非经典系统的动刚度阵一般为二阶九阵： d 2 轨) = 矿肘+ k c + 五。其中i ，c ，置r ”分别为非经典系统的质量、阻尼和刚度阵， 可以既非对称又非反称。本文中研究的非经典系统动刚度阵就是数学上的九矩阵，阶数不限， 涵概了一般的二阶( 一阶) 动刚度阵。由于九矩阵d 伉) 的各元素是特征值九的多项式，直 接求解其逆阵动柔度阵并非易事，促使一些学者做了这方面的研究。l c i l l i g p 3 】早期仅研 究了保守系统动柔度阵的算法。胡海昌阻】针对非保守系统提出了预解式法，利用部分分式 展开得到了动柔度阵的表达式，但要求质量阵对称正定，同时假定系统不存在重特征值。 p a l a z z o l o p 5 】将问题转化到状态空间，求解出近似的动柔度阵，并局限于简单特征值情形。 谭忠棠等求解二阶动柔度阵的算法，既要求特征值互异，又要求系统无零特征值。 早在1 9 6 6 年，i j a n c a s t e r 【4 7 】就研究了九矩阵的逆阵模态展开式。首先，他规定了一阶九 矩阵爿九+ c 为简单矩阵的定义： ( a ) a 和c 是方阵且一非奇异： 3 ( b ) 如果爿和c 是阶方阵，则特征值问题阻九+ c i = o 台有个独立的左、右特 征向量。如不满足此条件，则一阶九矩阵一九+ c 为亏损矩阵。 这里，丸称为特征值。可通过求解i 一九+ c l = 0 得到。进而，对于，阶的九矩阵： q g ) = + 垦一1 + + b l t 九+ 马 ( 1 1 ) 满足如下条件，则为简单矩阵： ( a ) 骂r “”( f = o ，) 为方阵，n b 。非奇异； ( b ) 如果九= 九，为a 重根，则对于阶x 阵马n p ，秩为( 一a ) ； 这里九可通过求解l q 伉】= o 得到。并且，l t n c a s t e r 还幸b n n ，从( b ) 即可得出，对 应a 重根九，分别有值个独立的左、右特征向量，而不满足此条件的九矩阵d ，伉) 称为亏 损矩阵。为了求解如下特征值问题： d f g k = 0 ( 1 2 ) 讲g l r = 0 ( 1 3 ) 其中，g 分别为左、右特征向量。l a n c a s t e r 进行线性变换，利用分块矩阵把高次九问题降 阶为一次问题( 1 2 ) 化为： 口口 口口 0 岛 岛骂 二 炉) j t - o k q ：铆砻 = 0 ( 1 4 ) 而且l a n c a s t e r 推出当q 伉) 为简单矩阵时，( 1 4 ) 式中的一阶九矩阵也必然为简单矩 阵。在假设研轨) 为简单矩阵的前提条件下，l a n c a s t e r 推得了d 1 伉) ( 即研轨) 阵的逆阵) 的表达式。可以看出，这是一种类似于将问题转化到状态空间的解法。该方法对于含有重特 征值的系统也适用，但从l a n c a s t e r 对简单矩阵的定义，可知，他的算法只有满足九矩阵最 高次幂的系数矩阵b o 为非奇异阵时才有效。对于一般的二阶动目4 度阵来说，即要求质量阵 肘非奇异。然而，有些工程问题不能满足这个条件，质量矩阵可能奇异【鹌1 。 4 口岛；轧口口鼍氆吗口 一 一 口口；岛墨口 口口；口岛口 一 + 1ilh主_lljj 岛墨口磊；轧 k m g 【4 9 1 也从九矩阵的角度研究这个问题，他提出了新的双正交规范条件，来求解d q ) 的逆阵，但对_ d 轨) 阵不加任何限制，这是不确切的，而且，该方法仅局限于非亏损特征值九 是简单特征值的情形。 本文第三章中参照k u n g p 9 1 文，给出九阵左、右特征向量系的双正交规范条件，并证 明了对于任何非亏损特征值，总存在一组左，右特征向量满足上述双正交规范条件，进而建 立了有关九矩阵的伴随阵性质的一条定理，在此基础上，利用厄米特插值矩阵给出了一般的 非亏损九阵逆阵的模态展开式。本算法中，并不要求九矩阵最高次幂的系数矩阵丑。一定非 奇异，同时通用性覆盖了重特征值和零特征值问题。而且，本算法同时指出了该模态展开式 的适用性。一般的二阶动刚度矩阵，为本算法的特例。 5 第二章非经典系统二次特征值问题的r i t z 降阶法 2 1 含有重根及零根特征值的非经典系统二次特征值问题 设肘。，c o ，k o r “”分别表示x 的质量、阻尼和刚度矩阵，则系统的动力学方 程一般可表示为 乳牙+ c 0 口+ 置o g = 他，口，曲+ ，( f ) ，若尥，圣，曲e 月”可表示为广义加 速度草、广义速度口和广义坐标q 的线性函数颤吼雪，d = m 1 茸+ c l 雪+ k l g ， m 。，c i ，五r “”此时，动力学方程可改写为： 删+ c 蕾+ 趵= p ( f ) ( 2 1 ) 其中，m = m o m 1 ，c = c o c i ，五= k o - k 1 ，可分别称为非经典系统的质量、阻 尼和月n 度矩阵。它们一般不具有任何对称性。本章假定m 阵非奇异。于是，相盔非经典系 统自由振动时的二次特征值问题( 右、左) 为： 肘+ 九c + 置) 妒= 口 ( z 2 a ) 妒7 ( 妒肘+ 九c + 岩) = 秽 ( 2 2 5 ) 这里九e y 妒c ”分别为特征值和左、右特征向量。通过求解下列特征方程： 睇m + 九j c + k f = o ( 2 - 3 ) 可得系统的2 个特征值九，( i = 1 ，2 ，2 n ) 。为求左、右特征向量咿，p ，一般将方程转 化到状态空闻，令： u 七：n 烈。 t ， 求解下列阶2 n 维的广义特征值问题( 右、左) ： e m 船= 九t h 肼 ( 2 5 a ) u r u “= 九i l i a ( 2 ，5 b ) 6 卜1 脚= li ，口“= b 胁j ：。 伉，m 1 + c h 。 m 1 妒， ( f = l ，2 ，2 n ) ( 2 6 ) 从中可解得非保守系统的左、右特征向量p ，p 。当n 很大时，该方法的计算量巨大。 2 1 1 a d h i k a r i 模态求解法 a d h i k a r i 利用保守系统的完全模态集，做变换如下，令 9 = x r f 2 7 a ) 妒= x ，7 ( 2 7 b ) 其中x r = k 。2 ，】，置= i x 小吒：，】是下述保守系统特征值问题的完全 模态矩阵： k x r i = “，m x z ( 2 8 a ) k 7 吒i = “f m 7 t i ( 2 8 b ) x l i t m x m = 1 ( 2 8 c ) f x l ，f 1 = l l x 。0 ( i = 1 ，2 ，n ) ( 2 8 d ) 而f ，刁c ”是待定列阵，几何上可解释为保守系统模态对非保守系统模态的贡献系数。将 方程( 2 7 a ) 和( 2 7 b ) 分别代入方程( 2 2 a ) 和( 2 2 b ) ，并对二个方程分别左乘斟和右乘 ，令c - l 。fj d = e f a t c x 月，考虑到正交规范化条件别t 朋x = “以及 x j 倒 = q = d i a g 乱l ，一，p n 】，得： 如+ 九+ 口) f = 口 ( 2 9 a ) 矿( 九2 j + e c + 口) = 口 ( 2 9 b ) a d h i k a r i s jn e u m m 展开求解1 f - 次特征值问题，确定贡献系数列阵f ，7 7 ，代回( z 7 a ) 、 ( 2 7 b ) 式，得到非保守系统的左、右特征向量缈9 c “，这就是a 曲i k 捌的思路。可以 看到，a d h i k a r i 法实质就是坐标变换法，而且并没给出含有重根和零根特征值的解法。下面 先给出含重根和零根特征值的( 2 9 a ) 、( 2 9 b ) 式的求解方法。 2 1 2 对应零特征值及重特征值的模态求解 首先解决刚体模态问题( 即求解零特征值对应的左、右特征向量) 。容易证明下述结论： 菱糕：非保守系统( 2 ，2 a ) 、( 2 ，2 b ) 式的左、右刚体模态与相应保守系统( 2 8 ) 式的左、右刚 体模态重合，反之亦然。这些模态由下述方程的线性独立的非平凡解给出： 孟o = 口，k z x l o = 0 ( 2 i 0 ) a s h k a r i 模态求解法中要求矩阵置非异因此他的公式只适用于无刚体模态的系统。 以下讨论重特征值的情况。设九。为非保守系统的某个j i 重特征值( h = 1 时，九。即为 单根) ，记九= 九o ( ，j - m ；m l + 1 = h ) ，与九。相应的完全的左、右特征向量系记为： y = k ，+ 1 ，硫1 c ”。6 ( m 一1 + 1 = h ) 2 ，l la ) f = 断，豇j ，一，以】c 肌6 ( 朋一“1 = h ) ( 2 ，l l b ) 它们张成对应于九。的h 维( 左、右) 特征予空间，且满足下列特征值方程： ( 九。2 如+ 丸。c + 口) 昌= 口 ( 2 1 2 a ) ( 1 ，) 7 ( k o l 。+ 九。c 7 + 口1 = 秽 2 ，1 2 b ) 由线性代数理论可知，对应于h 的h 维特征子空间的基底可以有无穷多组取法，故可通过 线性变换 3 8 = s # 眨1 3 ) 更换基底。为简单起见r 不妨取口= 阵转化为单位阵厶，即： 量”= 明z _ ： 乙。 厶 h 。 ： 晶 ： 。 = ：_ ，l ( ，= 1 ，；j ：l ，彬) ( 2 1 4 ) 矩于阶 的秩满的在薛中 l l 】阵 矩陡 曲rj、- ； ； ； 同理可对y ，也做类似的线性变换得到r = _ ： 。( r = 1 ，；，= ，棚) 。下 面仅以冒。为例进行推导。暑。也是方程( 2 1 2 a ) 的解，即满足： ( 九。2 如+ 九。c 7 + o ) 量= d 将上式展开，改写成矩阵的形式并划掉单位阵厶所在的各行，得到 p q a = f ( 2 1 5 ) ( 2 ，1 6 ) 方程中p = d i a g p l ，p h ，p ，+ l j ，p 】c “”“，q e r “岍”6 为无迹矩阵 f = ，f 。厶) ，a = ，。a 。，a 。) ，其中： p 。：型监兰：( 七：卜f - l 肿l ，- - ) 一，l “ q = 0 c ：h c k l 0 c ：+ 1 1c ：+ l 一1 c t l一c s m j l c ：“ c h “ 0 c k = ( c 一，c ，f 1 ，c _ w ，c ， ( ，= t ，m ) 巳= ( 0 ，繇，备，) ( _ ，= o ，小) ( 2 1 7 a ) ( 2 1 7 b ) ( 2 1 7 c ) ( 2 1 7 d ) a d h i k 面对于简单特征值所导出的方程h 1 1 是方程( 2 ，1 7 ) 在矗= 1 对的特例。求解方程 ( 2 1 6 ) ，可得到4 = o j ，4 h ，口。) ，取【名】= l h ( ，= t ，m ；，= 。m ) ，填进 a = 似，口川，4 。) ，即得到( 2 1 4 ) 式中的量。将昱”的列向量酊，( j 2 ，m ) 一个 个代入式( 2 7 a ) 即可得到原始的非保守系统对应矗重特征值九。的完全的右特征向量系 圣= h ，竹“，】；同理可以求得完全的左特征向量系妒= p ，y ，缈。】。 2 2 非经典系统二次特征值问题的r it z 降阶 下面应用r i t z 降阶方法，来求躬上述的二次特征值问题，以求进一步减少计算量。 将保守系统的特征值按其模长从小到大的次序排列： 9 州 ，瓯；o o ，l s ：i l 。i 卜。 采用相应保守系统的前n ( 疗 ) 阶特征值的左、右模态作为r i t z 基 基= k 一。，】c “ 置= k ，x l n e c “4 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 a ) ( 2 1 9 b ) 则由r i t z 基综合出的对应 重特征值九。的非保守系统的左、右特征向量系为： 圣= 占 ( 2 2 0 a ) 妒= 舅，( 2 2 0 b ) 其中茜多c “6 ，待定矩阵童，f c “6 为r i t z 基对非保守系统的左、右特征向量的贡献 系数阵( = l 时。嚣妒，量，f 即为单个向量，下同) 。 在实际工程中，人们感兴趣的经常是系统最低频上为数不多的s 阶模态： 翰，霞】，眵，驴，】。比如地震工程中，一般只对结构的卓越( 基) 频率的模态感兴趣， 此时s = 1 。有鉴于r i t z 基( 2 i g a ) , a ( 2 ，1 9 b ) 与待求模态蠢妒之闯通过阻尼发生联系，预 期取适当大的”( s 以 n ) ，能综合出具有一定精度的待求特征解( 2 2 0 a ) 和( 2 2 0 b ) 。 2 2 1 r i t z 降阶法的理论依据 我们将在下列假设之下，给出上述推断的理论证明：之后将给出确定矩阵暑，y 的方法。 假设： ( i )非保守系统的自由度足够大，且其特征值的排列次序为： o _ l x 1 1 九：i 1 丸，l j 九。1 ； ( i i )仅对系统低频段( 特征值模长小的一段) 上的模态感兴趣，即s o 和正整数占 ，总能找到正整数筇( s 疗 疗时， 保守系统第r 阶模态对待求非保守系统模态的贡献系数满足不等式： i n 吲 s o 和正整数s ，总能找到正整数 ( s 月 时，成立： 阱ec 小川 亿z z ， 由假设( i v ) ，我们可以把方程( 2 1 6 ) 改写为： ( ，一 - p q ) a = ，一1 f ( 2 2 3 ) 求解方程( 2 2 3 ) 。可得： a = b 一1 f o( 2 2 4 ) 式中 氏= p - 1 ，= ( 厶，兀j + l ，厶。) ( 2 2 5 a ) 由假设( i i ) 及不等式( 2 2 2 ) 可知上式中 磊j = 户_ 1 量 一( 争) c l ， “l 。 l + ( 生) ( 九o + c j l ) h ； 一( ) x c o 生- 二r _ 一 1 + ( 盐) ( 丸。+ c 么) 比 伙s ) n - h ) x i 料州，犹锄 式中d ( ) c “1 表示其每个元素的绝对值都是与同阶或比s 更高阶的小量。 占= 一q 平譬1 岛： 眨z e ， 式中矩阵d = p - 1 q ，可见矩阵d 的第i 行恒等于矩阵q 的第豇行相应元素乘上因子 一( 鱼) 下j 生，这个因子就是对角阵尸一1 的第j 个对角元。进一步做如下简化： 1 “等) o + c ，艟) b i l = 一 一d l i c “一州) 置2 = d t 2 d “。) 马l = 见l 兰d ( 0 c ( “。”6 墨= 瓦。一d 翌兰厶，- 0 ( ) e c ”1 。”一4 利用分块矩阵求逆公式b o 矿：i - 一骂：彤- l 民) 。1 l 幌吲骂：一) “垦。 兰思列l d ( 0 k 。l ( 2 2 7 a ) ( 2 2 7 b ) ( 2 2 7 c ) ( 2 。2 7 d ) 瓯1 吼( 垦。蜊骂：一垦：) 1 】 一垦l 瓯1 ) 。1j ( 2 2 8 ) 在一级近似下( 即近似认为d ( 8 ) = 0 ) ，将( 2 2 5 a ) 和( 2 2 8 ) 式代入( 2 2 4 ) 式，得到： 一兰 甄1 ，i o l( 2 2 9 ) q m j f - 其中f 0 2 ( 厂：l ，f o “l j - 。，f o 。) 。一 ) 。 ，f o j ( ，= ，珊) 为( 2 2 5 ) 式中去掉小量的 前( n - h ) 行块阵。 由( 2 2 9 ) 式知道7 名兰0 ( ，= n + 1 ，n ，歹= ，搬) ，由此证明了定理的结论。 与前面对量4 的解法类似，取【勺】= 厶( ，= ，m ；，= ，埘) ，填进( 2 2 9 ) 式中 求得的a ，即得到( 2 1 4 ) 式中量”的近似解雪”，将营。的每一列代八式( 2 7 a ) ，再以向 量组形式表出，易得： 函= x 女营”量萱r 童” ( 2 3 0 ) 式中壬为垂的近似解，营”c “为童一去掉小量的前打行块阵。类似地，可证明保守系统 左模态集对待求非保守系统特征向量的贡献系数t 1 也满足( 2 2 1 ) 式。即有： 多= x f i - 4 兰置妒 ( 2 3 1 ) 式中妒为妒的近似解，矿”c “为妒一去掉小量的前，l 行块阵。这就是应用r i t z 降阶法的 理论依据。 1 ， 2 2 2 求解r i t z 基的贡献系数矩阵 本节将给出确定矩阵营y c “的方法。为了确定r i t z 基的贡献系数阵营y ，将 ( 2 2 0 a ) 、( 2 2 0 b ) 式分别代入方程( 2 2 a ) 和( 2 2 b ) ，并对二个方程分别左乘冠和右乘 置，令0 = 【琶。】d = v f 。t 。，考虑到正交规范化条件霹肘戈。= 以及 贾：盾。= j j = d i a g n 一，儿 ，得： 2 0 l - + 九。矛+ 西净= 0 ( 2 3 2 a ) f 7 k ，。+ k o + j j ) = 0 ( 2 3 2 b ) 于是原始的n 阶二次特征值问题降阶为行阶的二次特征值问题。应用2 1 2 节中叙述的方 法，可以求解出贡献系数阵营，f 。将重，分别代入( 2 2 0 a ) 、( 2 2 0 b ) 式，就得到应用 r i t z 降阶法综合出的原始非保守系统的左、右特征向量系妒，毒。可见该法对于含有 重特 征值九。的非保守系统依然适用。 h 的大小，取决于s ，s 以及阻尼阵的范数j i c 0 ( 比如可选取谱范数p 1 1 ) 。一般地，当 越小，j 和| | c | i 越大时，l 也随着增大。 2 3 数值算例 本节通过两个数值例子，说明本章所提出的r i t z 降阶法的具体应用，并将所得结果与 状态空间的精确解进行比较，说明该方法的有效性。所有的计算都采用数学软件 m a t h e m a t i c a4 0 。 例i 设某一6 自由度非经典系统的质量、刚度和阻尼矩阵如下： m = 2o 一13 2 一1 1 14 03 35 21 3 3 24 3 3 3 3 1一l k = c = 01 00 24 64 7 一ll o l一1 0 2 o一5 35 2 3 24 64 7 3 4 0 64 9 1 2 0 2 6 一1 0 3 7 1 2 6 5 5 4 一l o0 2一l l2 20 21 73 由特征方程( 2 3 ) 可得到其1 2 个特征值如下： 伉t ，九2 ，丸1 2 ) = ( 一n 1 5 1 2 0 2 0 2 8 0 7 7 3 i 一o 4 ，一o 4 ，0 7 2 5 ，一1 0 ，一2 ：5 3 0 ， 一3 0 ，9 8 9 8 ，一1 2 6 1 0 9 1 7 i 。一2 4 9 3 7 ) 其中前4 阶特征值含有两个重特征值h = 九。= 一0 4 ，这里i = 一l ；相应的保守系统的6 个特征值为： ( p l ，b t 6 ) = ( 0 2 3 8 4 ，0 4 ，一0 8 2 6 ，1 2 ，1 5 7 6 7 8 ，一1 7 9 0 9 1 ) 应用r i t z 降阶方法来求阻尼系统二次特征值问题的左右特征向量。假设只对非保守系 躺前t 阶特征向量感黼由醐z z z 融：吲= f 淼卜删s s s 棚可认为 当= 0 0 0 2 5 4 时，已满足精度的要求。另外取阻尼矩阵的谱范数，即有：j 1c l l 2 = 2 9 ，8 3 4 7 所以，截取保守系统的前四阶模态作为r i t z 基，列出如下： & 1 ，x r 2 ，x 3 ，x 4 = 0 0 1 9 7 1 6 4 0 0 1 4 11 6 3 0 j 9 7 1 6 4 2 1 7 5 2 l o 4 3 7 6 5 2 0 一o 9 5 6 3 4 4 一1 0 4 8 1 8 0 1 0 5 3 3 5 2 1 5 8 0 9 一o 6 4 4 7 8 6 o 0 0 3 6 9 5 8l o 0 2 7 0 6 2 1 o 0 3 6 9 5 8 1 一0 5 9 8 1 2 8 2 2 2 8 5 l 一0 9 4 3 3 0 6 o 0 0 5 3 5 5 9 3 0 0 0 7 4 8 31 5 0 0 0 5 3 5 5 9 3 0 0 3 0 1 3 9 8 1 1 6 4 8 l 4 l l o l l 2 ：q m 。廿引 。一o o o 乇 也3 8 3 “ o o “o o x l i , x l 2 ，x 3 ，x l 4 ) = 一0 7 9 4 3 0 30 9 4 1 9 0 40 8 7 8 4 9 70 0 6 2 8 4 180 9 4 1 9 0 4 0 3 9 4 3 9 71 0 6 0 1 0 8 0 4 4 0 40 9 4 1 9 0 4o | 7 5 9 0 1 7 一1 6 5 4 6 41 8 8 3 8 l1 7 8 1 5 4 o 0 n 0 8 1 1 2 4 80一n 1 3 3 3 4 5 一1 0 6 0 1 0 7 6 4 0 l lo 9 4 1 9 0 4 0 7 9 5 2 2 20 应用r i t z 降阶方法计算得n - - 次特征值问题的前4 阶特征向量为： 概，9 ：，鸭，妒。) = ooo0 9 4 3 3 0 6 0 3 1 3 8 1 7 0 2 8 4 9 7 4 i0 3 1 3 8 1 7 + 0 2 8 4 9 7 4 ii 0 8 0 3 40 0 0 7 6 6 6 9 1 0 0 0 7 2 4 0 0 2 0 4 0 3 l i 一0 0 0 7 2 4 + o 0 2 0 4 0 3 t i1 0 4 7 3 90 0 0 6 7 s 8 7 6 n 3 1 3 8 1 7 0 2 8 4 9 7 4 i0 3 1 3 8 1 7d - o 2 8 4 9 7 4 i一0 0 1 8 6 5 5 8o 0 0 7 6 6 6 9 1 3 6 5 2 5 7 + 3 1 4 3 9 7 i一3 6 5 2 5 7 3 1 4 3 9 7 i一0 7 2 8 1 7 30 0 0 8