（基础数学专业论文）非线性弥散方程解的存在性问题.pdf

摘要 本文分别考虑两类菲线性弥散方程解的存在性问题，类s c h r s d i n g e r 方 程解的存在时间的估计和一类含非线性阻尼和源项的k l e i n - g o r d o n 方程初边 值问题解的存在性 采用k l a i n e r m a n ，p o n c e 和c o h n 引入的方法，得到s c h r 6 d i n g e r 方程解 的存在时间的下界估计这种方法主要基于口一弘估计和能量估计 对于含非线性阻尼和源项的k l e i n - g o r d o n 方程，先有局部存在定理和连 续性原理然后分成两种情形：m 和p 分别决定阻尼项和源项的非线性度， 当m p 时，阻尼项控副源硬，应用修正的能量和连续性原理证得整体存在 性；当p m 时，源项占主导，应用能量补偿的方法得到解在有限时问内爆 破特别地，利用凹方法考虑线性阻尼情形即m = 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo ft h ee x i s t e n c eo ft w on o n l i n e a r d i s p e r s i v ee q u a t i o n s m o r ep r e c i s e l y w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c et i m ef o ra k i n d o ft h es e m i l i n e e xs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n a n dt h ee x i s t e n c eo fas o t u t i o no ft h e i n i t i 越b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rt h ek l e i n - g o r d o ne q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r d a m p i n g a n ds o u r c et e r m s t h a n k st ot h em e t h o d si n t r o d u c e db yk l a i n e r m a na n dp o n c e ，a n dc o h n ， w eo b t a i n3l o w e rb o u n d e de s t i m a t eo ft h ee x 泌t e n c et i m ef o rt h ee e m i l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o n 。o u ri m p l e m e n t a t i o no ft h i sm e t h o d sd e p e n d so nt h e l p l qe s t i m a t ea n dt h ee n e r g ye s t i m a t e ， f o rt h ek l e i n - g o r d o i le q u a t i o nw i t hn o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m s ， 0 n r p u r p o s ei s ，f i r s t ，t oo b t a i nt h e l o c a le x i s t e n c et h e o r e ma n dt h ec o n t i n u a t i o n p r i n c i p l ew i t hp 2 一n - - i i o u rn e x tg o a li s t os e p a r a t et w os u i t a b l ed o m a i n s f o rt h ep a r a m e t e r sma n dp w h e r et h ee x p o n e n tm a n d p d e t e r m i n et h ed e g r e e o fn o n l i n e a r i t yo ft h ed a m p i n gt e r ma n dt h es o u r c et e r m 。w h e nm p ：t h e d a m p i n g t e r md o m i n a t e so v e rt h es o u r c et e r ma n dt h eg l o b a ls o l u t i o ne x i s t sf o r a n y i n i t i a ld a t a ，i nt h ep r o o w eu s et h e ”m o d i f i e de n e r g y ”a n dt h ec o n t i n u a t i o n p r i n c i p l e 。s e c o n d ，w eo b t a i na n o t h e rd o m a i n ，p m lw h e r e t h es o l u t i o nb l o w s u pf o rf i n i t et i m ew h e nt h e i n i t i a le n e r g yi sn e g a t i v e ，b e c a u s et h ei n f l u e n c eo ft h e s o u r c ei ss t r o n g e r i nt h ep r o o f , w eu s et h ee n e r g yc o m p e n s a t i o n e s p e c i a l l y ， w ei m p l e m e n t ”c o n e a v i t y ”m e t h o d si nt h el i n e a rd a m p i n gc a s e 。m = 2 致谢 本文是在导师方道元教授的指导下完成的，我衷心感谢恩师多年 的严格要求、耐心帮助和不断鼓励。从师几年，方老师渊博的知识、 严谨的治学态度和敏锐的洞察力，使我获益非浅，这几年的学习也必 使我终身收益。周时，在生活方面也给予莫大的关心和支持，能让 我安心下来学习。在此，还要向帮助和指导过我的薛儒英老师表示谢 意。同样重要的是，感谢家父家母、妹妹和女友纪婧的照顾和关心。 也要感谢黄越夏、裘渔洋、赵江等同学好友和张挺、李太龙 和王成波等师弟在生活及工作中给予许多帮助。 c h a p t e r1 e x i s t e n c et i m ef o rt h es e m i l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o n 1 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w ew i l lc o n s i d e rt h es e m i l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni uo n e s p a c ed i m e n s i o no ft h et y p e 毗一i u 。= f ( u )扣，t ) r 砸+ u ( 2 ，0 ) = “o$ r ， ( l 1 ) ( 1 2 ) w h e r eu = u 忙，t ) i sac o m p l e x v a l u e df u n c t i o n ，a n df i sas m o o t hf u n c t i o no f us u c h t h a t l f ( “) l = o ( m 口+ 1 ) f o ri u fs u f f i c i e n t l ys m a l la n doan o n n e g a t i v ei n t e g e r w h e n 口 3 ，t h eg l o b a le x i s t e n c et h e o r e mi sc o n c l u d e db yk l a i n e r m a na n d p o n c e ( s e e ( 1 】) l e t 已b et h ew j , 2 ( r ) m a x i m u m e x i s t e n c et i m ef o rs o l u t i o n s o ft h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 2 ) t oe s t i m a t e 正，w ea d a p tt h em e t h o d s i n t r o d u c e db yk l a i n e r m a na n dp o n c e i n 【1 1 ，a n dc o h ni n 【2 1 t h em e t h o d s e b a s e do nt w oe s t i m a t e s ：o n ei st h es t a n d a r d 胪- l qe s t i m a t ef o rt h ef u n d a m e n t a j s o l u t i o ns ( t ) f o rt h es c h r s d i n g e ro p e r a t o r ， s ( t 批兰岛拦篱 ( 1 s ) 1 f 。r t 0 ，w h e r e ；1 + ；= 1 ，q2 2 ，a n d ；i sa f i x i n t e g e rg r e a t e r t h a n2 尹 t h eo t h e ri st h ee n e r g ye s t i m a t e ， i u ( t ) i k 兰l i o l l 。2 e x p ( c a i u ( r ) 憾打) ， ，l j 0 w h i c hi sd e r i v e df r o mt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 2 ) n o t a t i o n a l lo ft h en o t a t i o ni ss t a n d a r d f o rac o m p l e x v a l u e df u n c t i o n ，l i 州q i st h eu s u a ll 4 ( 豫) n o r m ，i ，i 。t h es u pn o r m ，a n di i l l a ，口= i 1 ：+ - - + l i 定，i i 口2 ) t h es o b o l e vn o r mo nw “。( 瑕) t h es p a c eo fkt i m e s c o n t i n u o u s l yd i f i e r e n t l a b l ew “4 ( r ) v a l u e d f u n c t i o n so na i ri n t e r v a l1 0 ，t 】i sd e n o t e d b y c ( o ，列；w ”( r ) ) i i i i l i “t = s u p o t 0 ，t h e i n i t i a lv a l u ep r o b l e m ( 1 1 - 1 ，2 ) h a sa u n i q u e s o l u t i o nui ng ( 【o ，t h w s , 2 ( 醒) ) n c l ( 【o ，t i ；w s - - 2 , 2 ( 碡) ) t h ep r o o fo fl o c a le x i s t e n c et h e o r e mi sb a s e do na ni t e r a t i o ns c h e m ea n d w i l lb eo m i t t e dh e r e b yd e f i n i t i o n ，( t ) 忆2 一+ o oa 8 - - 4 - e ， l e t f 8b e a p o s i t i v ec o n s t a n t c h o s e nl a t e ，a n d s e t 互s u p ? ：l l 。，t r 5 ) i f 正w e r ei n f i n i t e ，w ew o u l dh a v et h eg l o b a le x i s t e n c ef o rn w ec a na s s u m e ， w i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t y , t h a t 瓦i sf i n i t e a n db yd e f i n i t i o n ，疋 b yt h eh s l d e ra n dy o u n gi n e q u 出i t y ，w eh a v e 1 2 r e i 2 忆2 l i e 2 n = 0 2 j 2 i l j 6 1 1 1 i i f i i 柏 c 。”忆2 b l u ( t ) 总 l e t t i n g6g ot oz e r o ，w eo b t a i n 勃”( 洲，。刚u 峨阶) w h i c hi m p l i e st h a t i , t i u ( t ) l l 印sl i u o ll 。，2 e x p ( ( c 。f i “( r ) l 器出) j 0 f o ra l l te 【0 ，l 】 1 3 l o n g t i m ee x i s t e n c et h e o r e m ( 1 7 ) b a s e do nt h ep l 2e s t i m a t ea n dt h ee n e r g ye s t i m a t e w ec a np r o v et h e f o l l o w i n gl o n gt i m ee x i s t e n c er e s u l tf o rt h es c h r s d i n g e re q u a t i o n ( 1 1 1 2 1 ： 3 t h e o r e m1 3a s s u m en=2a n ds 三3 t h e nt h e r ee x i s t sap o s i t i v e c o n s t a n tc ( t h a td o e sn o td e p e n do nu ) s u c ht h a t 瓦g e 一4f o ra l l “o ，2 ( 碡) nw 8 t ( r ) w i t he = m a x ( 1 l u o l l ，2 ，i i u or l 。 ) s u f f i c i e n t l ys m a l l p r o o f s i n c eus a t i s f i e st h ep r o b l e m ( 1 1 1 2 ) ，i te q u i v a l e n t l yh a s ，t u ( t ) = s ( t ) u o + s ( 亡一r ) f ( u ( r ) ) d r f o rt 0 ，瓦】b yt h ed e c a ye s t i m a t ef o rs ( t ) ，w eg e t ”s - l , 4 粉+ 岛z 2 群等打 s i n c ei l u l l m 曼r l ，t h e nb yu s i n gs o b o l e ve m b e d d i n ga n dt h ee n e r g ye s t i - i i f ( u ) t l 。 曼g i l ”。2 u l “i 。o 0 b 艮。 t t 口r - - 1 ，4 t i v o l i 。2 e x p ( c , 71 u ( r ) l 蝥打) j 0 ，t q b - - 1 , 4 i “o 2 e x p ( o , i i u ( f 姗- 1 , 4 d r ) j 0 t h e r e f o r e 忆吐a 岛黔 + q 。肌，。“。( 晓z 忆( r ) | 艮，。打) z 2 普；拦嚣打 n o ws e t m ( t ) _ 。般。( 1 + r ) 弧( 砒舢 ( 1 + t ) i l u ( 0 1 1 ，4 茎c o l l “o l l 皤 + a 。扎“1 + t ) 。m 2 ( t ) z 。百干i j ；玎而d r e x p ( a m 2 0 , o 石亡耳州 c o i l u o 吣+ c = l l u o i i e ，2 ( 1 + t ) m 2 ( ) x e x p ( 2 盘( 1 + t ) m 2 ( t ) ) 4 t a k i n gt h es u p r e m u mo v e r 0 ，t ly i e l d s m 0 ) 曼c o e + c 2 e ( 1 + t ) ；m 2 ( t ) e x p ( 2 c s ( 1 + t ) m 2 ( ) ) s e t t i n gn ( ) = ( 1 + t ) m 2 ( t ) ，w eg e t n ( t ) c o e + c 2 e n ( t ) e 2 0 ( ) ( 1 + t ) f o r t 【0 ，t d d e n o t eb y c o = 岛+ 岛+ 2 a c 3 ( 1 + t ) ( 1 + e c s ”( ) 一撕丽 0 f o rt 【0 ，l f o rn o n - n e g a t i v exa n dt ，l e t m 扛，t ) = c s e ( 1 + t ) ( 1 + e 岛2 ) 一面 t h ei n e q u a l i t y ( 1 8 ) c a nb er e s t a t e da s m ( n ( t ) ，t ) 0 ( 1 8 ) f o rt 0 ，列，l e tab et h es q u a r eo ft h ew 一2 4 _ + l 。s o b o l e ve m b e d d i n g n o r m t h u sas i m p l ec a l c u l a t i o ns h o w st h a tf o r e ( 1 + f ) 。 面丽而丙1 厕2 m ( ，t ) h a se x a c t l yt w op o s i t i v ez e r o s ，$ l ( t ) a n dz 2 ( t ) ，w i t h z ( ) 0i 伍z 【0 ，x l ( t ) ) u ( z 2 ( f ) ，) ，f o rt 0 ，已 n o ，t ) t h u sn ( t ) i si n 0 ，2 ：1 ( f ) ) u ( z 2 ( t ) ，o 。) a sl o n ga s 0 , - 已 n 0 ，? ) b ys o b o l e v e m b e d d i n g ， n ( o ) = i l o “：一1 4 c j i “。 ：2 c 。p s ob yt a k i n ge 2t ob el e s st h a n 硒刀1 ，w ee n s u r et h a tn ( o ) b el e s st h a ni 百1 瓦 s i n c en ( t ) i sc o n t i n u o u so i l 0 ，l 】h i 0 ，t ) ，w ec a nc o n c l u d et h a tn ( ) l i e si n f 0 ，。l ( t ) ) f o rt 【0 ，瓦】n o ，t ) t h i si m p l i e st h a to nn ( t ) 丽1 酉o nt 0 ，b 】n o ，t ) i tr e m a i n st os h o wt h a tb a n dta r ea sl e a s to nt h eo r d e ro f 5 e 一4f o r s m a l l t h i si sc l e a r l yt r u ef o rt w h a tr e m a m si st op r o v ei tf o r 疋 _ b ys h o w i n g t h a t l t i n f a c t n ( t ) = ( 1 + t ) i 。 s u ，p 已 ( w i t he q u a l i t yh o l d i n gi f f 正= o o ) ，s ot h ep r o o f i sc o m p l e t e r e m a r k w h e na = l ，i ti ss i m i l a rt op r o v et h a t 正一e 一 6 c h a p t e r 2 e x i s t e n c eo fas o l u t i o no ft h ek l e i n - g o r d o ne q u a t i o n w i t hn o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m s 2 1i n t r o d u c t i o n w es t u d yt h ef o l l o w i n gi n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m u “一a u + u + a n l u l m 一2 = 6 l l 一2 ，n ，l 0 ( z ，t ) = 0 ，z a n ，0 t ( ，0 ) = t 0 ( z ) ，t “( z ，o ) = u l ( z ) ， 霉en ， w h e r en ，b 0 ，p ，m 2 ，u = u 扛，t ) i sar e a l - v a l u e df u n c t i o na n d b o u n d e dd o m a i no fr n ，n 1 ，w i t has m o o t hb o u n d a r yi ，n ( 2 , 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ni sa c o n c e r n i n gt h en o n u n e a rw a v ee q u a t i o ni n v o l v i n gt h en o n l i n e a rd a m p i n g t e r m ，t h es o u r c et e r ma n dt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h e m ，o n em a y r e f e rt of 3 _ 3 1 2 】， i nt h i sw o r kw e s t u d yt h ee x i s t e n c eo fas o l u t i o no ft h ek h i n g o r d o ne q u a - t i o nw i t ht h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h ed a m p i n g 口毗j u d m 一2a n dt h es o u r c ebu j u f ”2 i ns e c t i o n2 2 ，w es h o wt h ee x i s t e n c eo f au n i q u el o c a lw e a ks o l u t i o no f o u r p r o b - l e m ( 2 1 2 ，3 ) b ya p p l y i n gt h eb a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e b a s e do i l t h el o c a le x i s t e n c e ，w ec a l lp r o v et h ec o n t i n u a t i o np r i n c i p i e n e x t ，o u rg o a li st os e p a r a t eas u i t a b l ed o m a i nf o rt h ep a r a m e t e r sm a n d p ，w h e r et h ee x p o n e n tm a n dpd e t e r m i n et h ed e g r e eo fn o n l i n e a r i t yo ft h e d a m p i n g t e r ma n dt h es o u r c et e r m i ns e c t i o n2 3 ，f o r2 ( p sm ，w ep r o v e ag l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nf o r a r b i t r a r yi n i t i a ld a t af r o mt h ec o n t i n u a t i o np r i n c i p l e i ti sd i f f i c u l tt oc o n s i d e r t h ei n t e r a c t i o n _ b e t w e e nb o t hf o r c e s - ( i a m p i n ga n ds o u r c e - i nt e r m so ft h eu s u a l e n e r g y s ow e c o n s i d e rt h em o d i f i e de n e r g ya n d p r o v et h a ti th a sa ne x p o n e n t i a l b o u n d 7 f o r2 m p b a s e do nt h ec o n t i n u a t i o np r i n c i p l e ，t h eg l o b a ln o n e x i s t e n c e r e s u l t sa r ee s t a b l i s h e du n d e rp r o p e rc o n d i t i o n s t h ef i r s tp r o o f so fg l o b a ln o n e x - i s t e n c eo fs o l u t i o n so fi n i t i a l b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eg i v e nc o n t e x to fp a r a b o l i ce q u a t i o n s t h er o u g hi d e ai s t h ef o l l o w i n g ：o n et r i e st op r o v eg l o b a ln o n e x i s t e n c eb yp r o v i n gd i r e c t l yt h a t t h es o l u t i o nb l o w su pi nf i n i t et i m e t op r o v et h e1 a t t e r o n ec o m b i n e sk n o w n r e g u l a r i t yt h e o r y f o rs o l u t i o n so fp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t ht h ec o m p a r i s o np r i n - c i p l ef o rs u c he q u a t i o n s b e c a u s et h e r ei s n og e n e r a lc o m p a r i s o np r i n c i p l ef o r h y p e r b o l i ce q u a t i o n s p e o p l et u r n e dt ot h ei d e ao fp r o v et h a tc e r t a i nn o r m s o f s o l u t i o n so fs e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n sc o u l dn o tr e i n a i nb o u n d e df o ra l lt i m e t h eb a s i ci d e ai st os h o wt h a ts o m ef u n c t i o no ft h en o r mo ft h es o l u t i o ns a t i s f i e d af i r s t o rs e c o n d o r d e ro r d i n a r yd i f i e r e n t i a li n e q u m i t y t os h o wt h eb l o w i n g - u po ft h es o l u t i o no ft h ew a v ee q u a t i o ni nt h el i n e a rd a m p i n gc a s e ( s e e 4 - 6 】) ， l e v i n ei n t r o d u c e dt h ei m p o r t a n tt e c h n i q u eo f ”c o n c a v i t y a n a l y s i so fa u x i l - i a r ys e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e s f o l l o w i n gt h i s ，w ep r o v et h ea v e r a g e f ( t ) = i l u c t ，- ) 1 1 lb l o w su pl b rf i n i t et i m ei nt h ec a s et h ed a m p i n g t e r mi sl i n - e a rf o rt h ek l e i n g o r d o ue q u a t i o n i nt h en o n l i n e a rc a s ef o rt h ek l e i n g o r d o n e q u a t i o n ，w eu s et h ee n e r g yc o m p e n s a t i o nb yg e o r g i e va n dt o d o r o v a 7 】u s i n g t h ea v e r a g ef ( t ) a n de n e r g ya r g u m e n t ，t h ef i n i t et i m eo fb l o w - u po ft h es o l u t i o n c a n b ev e r i f i e do nap a r to f t h ed o m a i n m p ，n a m e l y f o r m 0a r es m a l lp a r a m e t e r s ，w h o s ec h o i c ei se l a r i f l e di nt h es e q u e l t h et e r m 日1 8i ss e n s i t i v ew i t hr e s p e c tt ot h eb l o w u pi n f l u e n c eo ft h es o u r c e n e v e r t h e l e s s ，t h eb l o w - u pp r o p e r t i e so fh 1 一“c a n n o ta l w a y sb em a n i f e s t e db y t h e m s e l y e sw i t h o u tas m a l lp e r t u r b a t i o no fh 1 - 8a sa na d d i t i o nt e r me f ( “ w e a p p l yt h e mt os h o wt h eg l o b a ln o n e x i s t e n c et h e o r e m sf o rt h ek l e i n - g o r d o n e q u a t i o n n o t a t i o n a l lo ft h en o t a t i o ni s s t a n d a r d i g = ( 如 u ( $ ) p 出) ；i st h e u s u a ll q ( n 1n o r m t h es p a c eo fkt i m e sc o n t i n u o u s l y 日v a l u e df u n c t i o n so n r ui n t e r v a l 0 ，卅i sd e n o t e db yc ( 1 0 ，卅；日) ，w h e r ehi sab a n a c h s p a c e t h e i n n e rp r o d u c to nl 2 m ) i sd e n o t e db y ( ，) 8 2 2l o c a le x i s t e n c ea n dc o n t i n u a t i o np r i n c i p l e f i r s t ，w er e c o r daf e wb a s i cd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a li n e q u a l i t i e s l e m m a2 1l e tt 0 ，q l 1 ( 0 ，t ) a n d ，l 1 ( 0 ，t ) ，f 0a _ e 0 1 2 ( 0 ，? ) a s s u m et h a t w 1 ，1 ( o ，t ) s a t i s f i e su 0o n 【o ，t a n d i d w i s8 0 ) w ( # ) + ，o ) ae o n ( o ，于) t h e nw eh a v e ”( ) s ”( 。) “p ( z 。( s ) 出) + z 2 ，( s ) “p ( ，。( 一) 如) 幽，【。，卅 p r o o z ( ) = w ( t ) e x p ( - 7a ( s ) d s ) w 1 t 1 ( o ，t ) a n d = ( t ) f ( t ) e x p ( 名a ( s ) d s ) a bo i l ( o ，t ) b yi n t e g r a t i n gq n ( 0 ，t ) w ef i n d 冰) 纠0 ) + o m ) e x p ( 一小岫 t h e nw eh a v ei m m e d i a t e l y ”( 旬”( 。) e x p ( z a ( s ) d s ) + z ，( s ) e x p ( ，。( 一) d a ) d s l e m m a2 2 l e t ，三1 ( 0 ，刁a n d 庐w i , 1 ( o ，即，0a e a n d 毋兰0o n 【0 ，t b es u c ht h a t 譬52 巾) 厕 ae ，0 n ( 0 ，丁) t h e n 一 石两s 、，7 ；丽i + ，( s ) 出，y t f 0 ，列 p r o o f l e t 如= + ( 力f o r f f ia n d t i o ，卅t h e n 兰o nf o ，卅a n d 瓶w 1 ，1 ( 0 ，t ) w i t h 磊d e ) = 蕊1 警州t ) 9 a e o n ( 0 ，r )