（基础数学专业论文）关于广义模糊积分的收敛定理.pdf

果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：滥匠查 日 期：2 越：工： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解 密后适用本规定。 作者签名：垃生查 日 期：鲤： 12i a c k n o w l e d g e m e n t i ti sm yh o n o rt oh a v ea no p p o r t u n i t yt oe x p r e s sm ys i n c e r eg r a 七一 i t u d et om y s u p e r v i s o r ，p r o f e s s o rf a n gj i n x u a n ，w h oh a so f f e r e dm e m a n yv a l u a b l ei n s t r u c t i o n sa n dc o n s t a n te n c o u r a g e m e n tf o rm yt h r e e y e a r s s t u d y w i t h o u th i si m p r o v i n ga d v i c e ，t h ec o m p l e t i o no ft h e p r e s e n tt h e s i sc o u l dh a v eb e e ni m p o s s i b l e m yi n d e b t e d n e s si sa l s oo w n e dt oo t h e rt e a c h e r so fd e p a r t m e n t s o fm a t h e m a t i c sf o rp r o v i d i n gm et h e i rt i m ea n dv a l u a b l es u g g e s t i o n s ， w i t h o u tt h e i rh e l p ，1w o u l dn o th a v ef i n i s h e dm y s t u d ys os m o o t h l y 1 w o u l dl i k et oa c k n o w l e d g es o m ep e o p l ew h om a d em yl i f ei nn a n j i n g n o r m a lu n i v e r s i t yl i v e l i e r f i n a l l y , io w em yt h a n k st om yd e a rp a r e n t sf o rt h e i rs u p p o r ta n d m yc l a s s m a t e s ，e s p e c i a l l yg a oy a n ga n dx uw e i y a n 摘要 本文主要研究广义模糊积分的收敛理论以及广义模糊可积函数( 列) 的某些性 质主要工作如下t ( 1 ) 给出了广义三角模的一个减弱了的定义为了后面讨论的需要，提出并研 究了广义三角模的两个条件( s - 1 ) 和涔2 ) ，并给出了各种形式的广义三角模例子 ( 2 ) 通过一个反例，指出了文【8 】给出的个广义模糊积分序列的收敛定理( 即 定理1 ) 中，有的条件不合理在该条件下，虽然能保证定理的充分性成立，但它并 非是必要的本文通过减弱该条件来修正这一收敛定理作为这一定理的推论，在 广义三角模s 满足( s - 1 ) l i m 。os f a ，0 0 】= 0 的条件下，得到了广义模糊积分序列 收敛定理的简洁形式，这一结果包括了( s ) 模糊积分序列的收敛定理为其特例 ( 3 ) 研究了非负模糊可测函数列依测度收敛与广义模糊积分平均收敛之间的关 系给出了。依测度收敛”蕴涵。广义模糊积分平均收敛”的一个充分必要条件，这 一结果是文 8 】定理3 的改进此结果表明，文【8 】定理3 中。p 是上自连续的” 这一条件是多余的作为这一结果的推论，还得到了依测度收敛蕴涵广义模糊积分 平均收敛的几个简洁、实用的充分性条件另一方面，文中还给出了广义模糊积分 平均收敛蕴涵依测度收敛的几个简洁的充分性条件，以及使两者等价的条件类似 地，还讨论了4 依测度基本与“广义模糊积分平均基本”的关系推广了( s ) 模 糊积分理论中的相应结果 ( 4 ) 进一步讨论了广义模糊可积函数( 列) 的某些性质，证明了在广义三角模s 满足f s 1 ) 的条件下，不仅广义模糊可积函数具有弱积分绝对连续性，而且广义模 糊可积函数列具有一致弱绝对连续性此外，还得到了非负模糊可测函数列广义模 糊一致可积的一个充分必要条件改进并推广了文【1 0 】中关于( s ) 模糊积分的相应 结果 关键词：模糊测度；广义三角模；模糊可测函数；广义模糊积分；依模糊测度 收敛；模糊积分平均收敛 2 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yd i s c u s st h ec o n v e r g e n c et h e o r yo fg e n e r a l i z e d f u z z yi n t e g r a l sa n ds o m ep r o p e r t i e so fs e q u e n c e so fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a b l e f u n c t i o n s t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ， ( 1 ) i nc h a p t e r1 ，w er e c o m m e n ds o m ec o n c e p t so nf u z z ym e a s u r e sa n df u z z y i n t e g r a l s w e 百v eaw e a k e n e dd e f i n i t i o no fg e n e r a l i z e dt r i a n g u l a rn o r m f o rt h en e e d o fd i s c u s s i o ni nt h ef o l l o w i n gt e x t ，w ep r o v i d ea n ds t u d yt w oc o n d i t i o n s ( s - 1 ) a n d ( $ - 2 ) f o rg e n e r a l i z e dt r i a n g u l a rn o r m s m o r e o v e r ，w ee n u m e r a t es e v e r a le x a m p l e s f o rg e n e r a l i z e dt r i a n g u l a rn o r m s ( 2 ) i nc h a p t e r2 ，w ep o i n to u tt h a ts o m ec o n d i t i o no fac o n v e r g e n c et h e o r e m o fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a li n 8 】( t h e o r e m1 ) i sn o tv a l i db yac o u n t e r e x a m p l e a l t h o u g hw ec a na s s u r et h a tt h es u f f i c i e n c yo ft h i st h e o r e mh o l d su n d e rt h i sc o n d i t i o n ，t h en e c e s s i t yi sn o tt r u e i nt h i sp a p e r ，w em o d i f yi tt ot h er i g h tf o r mb y w e a k e n i n gt h ec o n d i t i o n ，a sac o r o l l a r yo ft h ec o r r e c t e dt h e o r e m ，u n d e rt h eg e n e r - a l i z e dt r i a n g u l a rn o r l ns s a t i s f y i n g ( s - 1 ) l i r a 口- o + s 口，o 。】= 0c o n d i t i o n ，w eo b t a i n at e r s ef o r mo fc o n v e r g e n c et h e o r e mo fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a l s ，a n dt h i sr e s u l t c o n c l u d e sc o n v e r g e n c et h e o r e mo f ( s ) f u z z yi n t e g r a l sa si t sp a r t i c u l a re x a m p l e ( 3 ) i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h er e l a t i o nb e t w e e nc o n v e r g e n c ei nf u z z ym e a s u r eo f n o n n e g a t i v ef u z z ym e a s u r a b l ef u n c t i o n sa n df u z z ym e a nc o n v e r g e n c eo f ( g ) f u z z y i n t e g r a l s w eg i v eas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nw h e r et h ec o n v e r g e n c ei n f u z z ym e a s u r ei m p l i e st h ef u z z ym e a nc o n v e r g e n c eo f ( g ) f u z z yi n t e g r a l s t h e r e s u l ti sa ni m p r o v e m e n to ft h e o r e m3i ni s i ts h o w st h a tt h ea u t o c o n t i n u i t yf r o m a b o v ea s s u m p t i o no ft h e o r e m3i n 【8 】i ss u p e r f l u o u s f u r t h e r m o r e ，a si t sc o r o l l a r y , w es t i l lg e ts e v e r a lt e r s ea n dp r a g m a t i cs u f f i c i e n c yc o n d i t i o n sw h e r et h ec o n v e r g e n c e i nf u z z ym e a s u r ei m p l i e st h ef u z z ym e a nc o n v e r g e n c eo f ( g ) f u z z yi n t e g r a l s o n t h eo t h e rh a n d ，w ea l s o 舀y es e v e r a lt e r s es u f f i c i e n c yc o n d i t i o n sw h e r et h ef u z z y m e a d c o n v e r g e n c eo f ( g ) f u z z yi n t e g r a l si m p l i e st h ec o n v e r g e n c ei nf u z z ym e a s u r e a n dm a k i n gt h e m e q u i v a l e n t s i m i l a r l y , w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nf u n d a m e n t a l c o n v e r g e n c ei nf u z z ym e a s u r ea n df u z z ym e a nf u n d a m e n t a lc o n v e r g e n c eo f ( g ) f u z z y i n t e g r a l s t h e yg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n si n ( s ) f u z z yi n t e g r a lt h e o r y 3 ( 4 ) i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s sf u r t h e rs o m ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e - g r a b l ef u n c t i o n s ( s e q u e n c e s ) ，a n dp r o v et h a tn o to n l yg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a b l e f u n c t i o n sh a v et h ew e a ki n t e g r a la t l s o l u t ec o n t i n u i t y , b u ta l s os e q u e n c e so fg e n e r a l - i z e df u z z yi n t e g r a b l ef u n c t i o n sh a v eu u i f o r mw e a ka n da b s o l u t ec o n t i n u i t y m o r e - o v e r ，w es t i l lg e ta ns u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fu n i f o r i l ls e q u e n c eo fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a b l ef u n c t i o n s t h e yi m p r o v ea n dg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n g c o n c l u s i o n so n ( s ) f u z z yi n t e g r a li ni1 0 | k e y w o r d s ：f u z z ym e a s u r e ；g e n e r a l i z e dt r i a n g u l a rn o r m ；f u z z ym e a s u r a b l e f u n c t i o n ；g e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a l ；c o n v e r g e n c ei nf u z z ym e a s u r e ；f u z z ym e a n c o n v e r g e n e e 4 p r e f a c e s i n c el - a z a d e hp u b l i s h e di n i t i a t i n gp a p e r 【1 2 1o nf u z z ys e ti n1 9 6 5 ，t h er e s e a r c h o ff u z z ym a t h e m a t i c sh a sm a d ed e v e l o p m e n tr a p i d l y a tp r e s e n t ，i th a sb e c o m ea n e ws u b j e c tw i t hw i d ea p p l i c a t i o n i nr e a ll i f e ，t h et h e o r yo ff u z z ys e th a sb e e n a p p l i e dt ot h es t u d yo fs y s t e ms c i e n c e ，c o g n i t i v es c i e n c e ，i n f o r m a t i o ns c i e n c ea n d a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c ee ta 1 i nt h e o r y , t h et h e o r yo ff u z z ys e t sa r ec o n n e c t e dw i t h d i f f e r e n tb r a n c h e so fc l a s s i cm a t h e m a t i c s a n ds ot h en e wm a t h e m a t i c a lb r a n c h e s s u c ha sf u z z yt o p o l o g y , f u z z ya l g e b r aa n df u z z ya n a l y s i si sf o r m e d t h et h e o r yo ff u z z ym e a s u r ea n df u z z yi n t e g r a lp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h e b r a n c ho ff u z z ya n a l y s i s ，a n dt h e ya r eg e n e r a l i z a t i o n so fc l a s s i c a lm e a s u r ea n di n t e g r a lt h e o r tt h et h e o r yo ff u z z yi n t e g r a ih a sf o u n dm a n ye f f e c t i v ea p p l i c a t i o ni nt h e a r e ao fs y n t h e t i ce v a l u a t i o no fm u l t i - a t t r i b u t eo b j e c t s ，s o f tc o m p u t i n g ，a g g r e g a t i o n a n df u s i o no fi m p e r f e c ti n f o r m a t i o n ，d e c i s i o n - m a k i n g ，d a t am i n i n ga n do p t i m i z a - t i o n i n1 9 7 4 ，t h ec o n c e p to ff u z z ym e a s u r ew a sf i r s tp r o p o s e db ys u g e n o 【1 】 w h i c h i sd e f i n e do na c l a s s i c a l 盯一a l g e b r aa n do b t a i n e db yr e p l a c i n gt h ea d d i t i v er e q u i r e m e n to fc l a s s i c a lm e a s u r ew i t hw e a kr e q u i r e m e n to fm o n o t o n i c i t ya n dc o n t i n u i t y ； c o r r e s p o n d i n g i y t h ec o n c e p to ff u z z yi n t e g r a lo ff u z z ym e a s u r a b l ef u n c t i o n sw i t h r e s p e c tt of u z z ym e a s u r ew a sa l s og i v e n ，w h e r et h er a n g eo f t h em e a s u r a b l ef u n c t i o n i s 【0 ，1 】i n 【1 ，t h ef u z z ym e a s u r ea n df u z z yi n t e g r a lw e r ed e f i n e da sf o l l o w s ： as e tf u n c t i o np ：4 f 0 ，1 i saf u z z ym e a s u r eo nx oi f 弘s a t i s f i e st h e f o l i o w i n gc o n d i t i o n s ： ( f 1 ) 肛( d ) = 0a n d 弘( x ) = 1 ； ( f 2 ) acb ，a ，b a = = 争( a ) sp ( 曰) ； ( f 3 ) i f a n ) c4 a n di t i sam o n o t o n es e q u e n c eo fs e t f u n c t i o n s ，t h e n m n - + 。o 4 f ) = 芦( i j l t l 。r ) l e tab ea a - a l g e b r a ，( x ，4 ) am e a s u r a b l es p a c e ，肛：- 4 【0 ，1 af u z z ym e a s u r e ， ，：x - o ，1 1am e a s u r a b l ef u n c t i o na n da a t h ef u z z yi n t e g r a l ( w i t hr e s p e c t t o 肛) o f f o v e ra i sd e f i n e db y 6 f d v = vq a p ( a n r ) ， “ n 【0 ，1 】 w h e r e 咒= 扛x l f ( z ) q ) ，v = s u p ，a = m i n i n1 9 8 0 ，t h ec o n c e p t so ff u z z ym e a s u r ea n df u z z yi n t e g r a lw e r ef i r s tg e n e r a l i z e d b yr a l e s c ua n da d a m s 【2 】w h e r et h er a n g eo ff u z z ym e a s u r ea n dm e a s u r a b l ef u n c - t i o ni s 【0 ，+ o o 】r a l e s c ua n da d a m sd e f i n e dt h ef u z z yi n t e g r a lb yu s i n gt h es i m p l e f u n c t i o n sa g a i na n dp r o v e dt h a ti ti se q u i v a l e n tt os u g e n of u z z yi n t e g r a l m e a n w h i l e ， t h e ya l s og a v et h et r a n s f o r m a t i o nt h e o r e mf o rf u z z yi n t e g r a l t h i st y p eo ff u z z yi n t e g r a li sc a l l e d ( s ) f u z z yi n t e g r a li nt h el i t e r a t u r e a f t e rt h a t ，z h a or u h u a l 【3 】3g a v e an e wk i n do ff u z z yi n t e g r a ，v i a ( n ) f u z z yi n t e g r a l f o rt h et h r e ed e f i n i t i o n s ，w e c a ns e et h ec h a p t e r2 s i n c et h ef u z z ym e a s u r eh a sn oa d d i t i v i t yc a s u a l l y , i ti sv e r yd i f f i c u l tt og e n e r - a l i z et of u z z ym e a s u r es p a c e sf o rs o m ei m p o r t a n tr e s u l t si nc l a s s i c a lm e a s u r et h e o r y a n d s o ，t oe s t a b l i s ht h ec o n v e r g e n c et h e o r e m so ff u z z yi n t e g r a ls e q u e n c e ，t h ef u z z y m e a s u r ei sl i m i t e das u b a d d i t i v e ，a - a d d i t i v e ，a n df i n i t es e tf u n c t i o n ，b u tt h e s ec o n d i - t i o n sa r et o os t r o n gu s u a l l y i no r d e rt of u r t h e ri n v e s t i g a t et h et h e o r yo fc o n v e r g e n c e t h e o r e mo ff u z z yi n t e g r a l s ，w a n gp u tf o r w a r da ni m p o r t a n tc o n c e p ti n 13 】，i e ，t h e a u t o c o n t i n u i t yo ff u z z ym e a s u r e ，a n di nf a c tt h i si saw e a k e rc o n d i t i o n h o w e v e r ，w e c a no b t a i nk i n d so fu s e f u lc o n v e r g e n c et h e o r e m so ff u z z yi n t e g r a l s a f t e rt h a t ，w a n g s t i l li n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so fp s e u d o a u t o c o n t i n u i t y , u n i f o r ma u t o c o n t i n u i t y , n u l l a d d i t i v e ，a n dp s e u d o n u l l a d d i t i v ea n d s of o r t h h ea l s od i s c u s s e dd i f f e r e n tk i n d so f c o n v e r g e n c eq u e s t i o no fm e a s u r a b l ef u n c t i o ns e q u e n c ea n di n t e g r a ls e q u e n c eo nt h e f u z z ym e a s u r es p a c ea n dg e n e r a l i z e dt h ew e l l k n o w nl e b e s g u e st h e o r e m ，r i e s z s t h e o r e m ，e g o r o f f st h e o r e ma n dl e b e s g u ec o n t r o lc o n v e r g e n c et h e o r e me t ca 1 i n c l a s s i c a lm e a s u r et h e o r yt of u z z ym e a s u r es p a c eb yu s i n gt h e s ec o n c e p t s ，w h i c ha x e e l a b o r a t e di nw a n ga n dc l i r sw o r kf u z z ym e a s u r et h e o r y 6 i nt h el a s ty e a r s ，t h es t u d yo ff u z z ym e a s u r ea n df u z z yi n t e g r a lh a sm a d et h e f u r t h e rd e v e l o p m e n t i nt h e o r yo ff u z z ym e a s u r e ，h am i n g h ua n dw uc o n 群i n s u m m e du ps y s t e m a t i c a l l yt h e i rr e s e a r c hf r u i t so nt h e s ea s p e c t sa n do b t a i n e da s e r i e so f s e n s er e s u l ti n 【5 】l ij u np r o v e dt h a te g o r o f f st h e o r e mi nc l a s s i c a lm e a s u r e t h e o r yr e m a i n sv a l i df o raf u z z ym e a s u r ew i t h o u ta n ya d d i t i o n a lc o n d i t i o n ，w h i c h 7 c a u s e dt h a tt h eg e n e r a l i z a t i o nw o r ko fe g o r o f f st h e o r e mo nt h ef i n i t em e a s u r es p a c e o b t a i n e dt h es u b s t a n t i a lr e s u l ti n 【1 5 1 ；a ne x t e n d e de g o r o f f st h e o r e mi so b t a i n e do n f u z z ym e a s u r es p a c eu n d e rt h es t r o n g l yo r d e rc o t i n u i t ya n dp r o p e r t y ( s ) a s s u m p t i o n i n 【1 6 ；i ti ss h o w nt h a tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tl e b e s g u e st h e o r e m i nc l a s s i c a lm e a s u r et h e o r yr e m a i n st r u ef u ram o n o t o n es e tf u n c t i o ni st h a tt h es e t f u n c t i o np o s s e ss t r o n g l yo r d e rc o n t i n u i t yo nf u z z ym e a s u r es p a c e a l lt h ea b o v e r e s u l t sp o s s e s st h ee n e r g e t i cs e n s ef o rf u r t h e ri m p r o v i n gt h ef u z z ym e a s u r et h e o r y i nf u z z yi n t e g r a lt h e o r y ，i n 【4 ，1 1 】，w hc o n g x i na n dm am i n ge ta 1 g e n e r a l i z e d t h et r i a n g u l a rn o r ma n di n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e dt r i a n g u l a rn o r l n ，a n d t h e ns u b s t i t u t e dt h eg e n e r a l i z e dt r i a n g u l a rh e r i nf u rt h e ”a ”i nt h es u g e n of u z z y i n t e g r a ld e f i n i t i o n t h u s ，t h e yg e n e r a l i z e ds u g e n of u z z yi n t e g r a l ，g a v et h ed e f i n i t i o n o fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a lb ym e a n so ft h es o - c a l l e dg e n e r a l i z e dt r i a n g u l a rn o r i t l ， a n do b t a i n e das e r i e so fr e s u l t ss i m i l a rt oc o n v e r g e n c et h e o r e m so fs u g e n of u z z yi n t e g r a lg i v e nb yw a n gf 6 】t h e s ec o n v e r g e n c et h e o r e m sw e r es t i l ld i s c u s s e du n d e rt h e a u t o c o n t i n u i t yf r o ma b o v ea s s u m p t i o na n dg e n e r a l i z e de s s e n t i a l l yt h ec o r r e s p o n d i n g c o n v e r g e n c et h e o r e m so fw a n g 【10 】i i l 7 ，8 】，f a n gf u r t h e ri n v e s t i g a t e dt h ec o n v e r - g e n c eo fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a la n dg a v eae o u n t e r e x a m p l es h o w i n gt h a tt w o c o n v e r g e n c et h e o r e m so fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a l sg i v e nb yw ue ta i ( 11 】a r en o t v a l i da n dm o d i f i e dt h e mt ot h er i g h tf o r m i n 【8 ，f a n gs t i l ld i s c u s s e dt h er e l a t i o n b e t w e e nc o n v e r g e n c ei nf u z z ym e a s u r ea n df u z z ym e a nc o n v e r g e n c eo f ( g ) f u z z y i n t e g r a ls e q u e n c e i n 【1 0 ，h ae ta 1 i n t r o d u c e dan e wc o n c e p to ft h ef u z z ym e a n f u n d a m e n t a lc o n v e r g e n c ea n dd i s c u s s e dt h er e l a t i o n sa m o n gs e v e r a lc o n v e r g e n c e so f s e q u e n c e so f ( s ) f u z z yi n t e g r a b l ef u n c t i o n s f u r t h e r m o r e ，h ea l s op r o v e dt h ee q u i v - a l e n tr e l a t i o nb e t w e e nf u n d a m e n t a lc o n v e r g e n c ei nf u z z ym e a s u r ea n df u z z ym e a n f u n d a m e n t a lc o n v e r g e n c eo f ( s ) f u z z yi n t e g r a b l ef u n c t i o n s t h r e en e wd e f i n i t i o n s o fu n i f o r ms e q u e n c e ，u n i f o r mw e a ka n da b s o l u t ec o n t i n u o u ss e q u e n c e ，a n du n i f o r m b o u n d e ds e q u e n c eo f ( s ) f u z z yi n t e g r a b l ef u n c t i o n sa r ea l s og i v e na n dt h ep r o p e r t i e s o fs e q u e n c e so f ( s ) f u z z yi n t e g r a b l ef u n c t i o n sa r ed i s c u s s e d i n 【1 8 ，1 9 】，w ha n d z h a n ge ta 1 s t u d i e dr e a l v a l u e da n df u z z y - v a l u e df u z z ym e a s u r eb a s e do nf u z z y i n t e g r a lw i t hr e s p e c tt of u z z y - v a l u e df u z z ym e a s u r e ，a n do b t a i n e ds o m em e a n i n g - f u lc o n c l u s i o n s i nc o n t r a s tw i t ht h es u g e n of u z z yi n t e g r a l ，g u oa n dz h a n ge ta 1 8 p r o v e dt h eg e n e r a l i z e dc o n v e r g e n c et h e o r e m 【2 0 ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m 【2 1 ，2 2 1 ， l e v e lc o n v e r g e n c et h e o r e m 【2 3 ja n df u z z ym e a s u r ed e f i n e db yt h eg e n e r a l i z e df u z z y i n t e g r a l 【2 4 e ta 1 t h et h e o r yo fg e n e r a l i z e df u z z yi n t e g r a l ss t i l lr e q u i r e di m p r