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浙江大学硕士学位论文自然通风冷却塔非线性有限元分析 摘要 自然通风冷却塔是火力发电厂的重要建筑物，在火电厂的运行当中担负着重要的作用。 长期以来，国内对于冷却塔的设计和研究都是按照中国有关规范和标准，采用线性模型进行 分析。随着非线性有限元理论的日趋完善及大量通用有限元软件的推广应用，使许多工程结 构应用非线性有限元模型进行详细分析成为可能，因此利用混凝土非线性本构模型对自然通 风冷却塔进行详细分析是有重大实用价值的研究课题。 论文分为两个部分，第一部分是线性分析，首先以某电厂的冷却塔为例，利用通用有限 元软件a n s y s 进行建模和计算，给出了冷却塔分别在自重、温度及风载作用下冷却塔的应力 分布图，对冷却塔在国内及国外两种规范给定的风载荷作用下的壳体内力进行了比较分析， 指出在两种规范规定风载荷作用下两者的结果基本一致，另外还给出了冷却塔线性稳定性的 临界风压。另一部分是非线性有限元分析，以理想弹塑性模型和k e n t p a r k 钢筋混凝土本构模 型两种常用的模型为例对a 然通风冷却塔进行内力及非线性稳定性分析，给出了在标准风载 和2 8 倍标准风载荷作用下，两种非线性模型的内力分布，并与线弹性模型进行比较分析，指 出在标准风压作用下，自然通风冷却塔整体处于线弹性状态，线弹性、理想弹塑性与k e n t p a r k 模型三者壳体内力分布几乎相同，而在2 8 倍标准风压作用下，由于塔身部分区域进入塑性状 态，线性与非线性模型的内力分布表现出明显的差异。最后还给出了冷却塔非线性稳定性的 临界载荷，指出两种本构模型的非线性稳定性结果与线性稳定性分析的结果差别不大，并对 该结果进行了分析和说明。 关键词：自然通风冷却塔，静力分析，非线性有限元分析 a bs t r a c t t h en a t u r a ld r a u g h tc o o l i n gt o w e rp l a y sa l li m p o r t a n tr o l ei nt h eo p e r a t i o no fp o w e r p l a n t i n c h i n a , t h ed e s i g no fc o o l i n gt o w e ri sa l w a y sb a s e do nc h i n e s ec o d ea n dt h el i n e a rm o d e li sa d o p t e d h o w e v e r , t h er e s u l tw o u l db em o r ec o n s i s t e n tw i t ha c t u a ls i t u a t i o nw h e nt h en o r d i n e a rm o d e li s a d o p t e d , w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tt h e o r ya n di t sw i d e l yu s e di nt h e p r o j e c t s ，i t ss i g n i f i c a n tt os t u d yn a t u r a ld r a u g h tc o o l i n gt o w e r u s i n gn o n l i n e a rc o n s t i t u t i v er e l a t i o n m o d e l t h e r ea r et w om a j o rc o m p o n e n t si nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tp a r t t h ec o m m e r c i a lf i n i t ee l e m e n t a n a l y s i ss o f t w a r ea n s y si su s e dt oc a l c u l a t et h es t r e s s e so ft h en a t u r a ld r a u g h tc o o l i n gt o w e r u s i n g t h el i n e a rm o d e lu n d e rw i n d 、g r a v i t ya n dt e m p e r a t u r el o a d s b yc o m p a r i n gt h er e s u l t sb a s e do n d o m e s t i ca n df o r e i g nc o d e s ，t h ev a l u ef r o mf o r e i g nc o d ei ss l i g h t l yl e s st h a nt h a tf r o mt h ed o m e s t i c o n e a n o t h e rp a r ti sa b o u tn o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n t a n a l y s i s c o n s i d e r i n gt w om a i nr cc o n s t i t u t i v e m o d e l s ：i d e a le l a s t o p l a s t i cm o d e la n dk e n t p a r k m o d e l ，t h es t r e s sa n a l y s i sa n dn o n l i n e a r s t a b i l i t ya n a l y s i sa r ec o n d u c t e d t h es t r e s sd i s t r i b u t i o no nt h et w on o n l i n e a rm o d e l sa r eg i v e nu n d e r s t a n d a r da n dp r e s s u r ea n d2 8t i m e so ft h es t a n d a r dw i n dp r e s s u r e ，a n dc o m p a r e dw i t ht h er e s u l t s b a s e do nl i n e a re l a s t i cm o d e l u n d e rs t a n d a r dw i n dp r e s s u r e ，t h ec o o l i n gt o w e ri si ne l a s t i ca n dt h e s t r e s sd i s t r i b u t i o n sb a s e do nt h r e em o d e l sa r ea l m o s tt h es a m e ，h o w e v e r , t h e r ea r eo b v i o u s d i f f e r e n c e sb e t w e e nl i n e a ra n dn o n l i n e a rm o d e l su n d e r2 8t i m e so ft h es t a n d a r dw i n dp r e s s u r e ，f o r t h a ts o m ep a r t so ft h ec o o l i n gt o w e r sh a v ea l r e a d yb e e np l a s t cs t a t e f i n a l l y , t h ec r i t i c a ll o a d so f n o n l i n e a rm o d e l sa r eg i v e nw h i c ha r es i m i l a rw i t ht h er e s u l t sf r o ml i n e a ra n a l y s i s k e yw o r d ：n a t u r a ld r a u g h tc o o l i n gt o w e r , s t a t i ca n a l y s i s ，n o n l i n e a rf e a a n a l y s i s n i 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得逝姿盘堂或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：占f 聘 签字日期 加。芬年月厂p 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝姿态堂有权保留并向国家有关部门或机构送 交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权逝江盘堂可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期： o8 年 导师签名： 签字日期： 硝年石月，日 日 2 号 r 嚆r；h可月 詹 浙江大学硕士学位论文自然通风冷却塔非线性有限元分析 致谢 在论文即将完成之际，谨向所有关心我学业的老师、同学和朋友表示衷心的感谢! 本论 文是在导师黄志龙老师和李华锋老师的悉心指导、热情关怀和鼓励下完成的，两位老师在论 文的选题、课题的研究方法及论文的撰写的全部过程，都给于我精心的指导和孜孜不倦的教 诲。导师广博的才识、敏捷的思维、严谨求实的工作作风及做事情精益求精的态度，都使我 受益匪浅。你们将永远是我今后人生道路上为人做事的榜样! 特别感谢在论文期间一直给予我帮助的王双连老师，没有您的指导我可能直到今天依然 在黑暗中徘徊。感谢实验室的师兄、师姐及同学：金肖玲、熊豪、王永、冯驹、茅焚、陈艳 娇等。感谢父母及朋友对我的关心与支持鼓励! 同时也感谢在百忙之中抽出宝贵时间的专家 学者和参与答辩的委员会专家们! 最后，我要非常感谢浙江大学对我的培养。“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”，在今 后的历程中，我将加倍努力，牢记“求是创新”的校训，以海纳百川的气度，做一个无愧于母 校的学子。 石俊彪 2 0 0 8 年5 月于求是园 浙江大学硕士学位论文 第章绪论 1 绪论 1 1 研究背景及现状 自然通风冷却塔是火电厂的重要的建筑物之一，冷却塔由旋转壳体、支柱、环梁三大部 分组成，通常情况下10 0 多米高的冷却塔最小厚度仅有十几厘米，其厚经比比鸡蛋还要薄。 1 9 6 5 年1 1 月英国渡桥电厂的3 座高1 13 米的冷却塔在一阵强风下先后倒塌，以及1 9 7 3 年a r d e e r 电厂和在1 9 8 4 年f i d d l e r sf e r r y 电厂的冷却塔再次倒塌，引起了世界各国学者对冷却塔研究 的重视，已先后召开了多次关于自然通风冷却塔的国际会议“。2 1 。国际上有许多学者从事冷 却塔结构方面的研究1 ，其中很多学者通过数值计算和试验研究给出了冷却塔的内力， e lii n a s 和h l - d a b b a g 对环向和子午向有缺陷的冷却塔做了分析 8 1 ，l d il f o r d 分析了在白 重和风载作用下的冷却塔的变形同时也计算出了冷却塔的应力一1 ，他们的分析都表明材料的 性质对冷却塔有限元分析有很大的影响。而在2 0 0 2 年s n k r i v o s h a p k o 对冷却塔结构研究的 许多方面进行了详细地阐述“们，他指出对冷却塔的应力分析是选择塔的合适大小尺寸的依 据，也是选择支撑物的密度、混凝土的类型及支柱的大致结构的基础；同时还指出冷却塔壳 体的承受极限取决于壳体的结构、建筑的材料及作用在冷却塔上的外部载荷，而在选择壳体 合适的尺寸大小时不仅要考虑现代建筑的结构、应力分析的方法及最新的建筑的材料，同时 更重要的还要考虑经济问题，因此经济因素也是选择冷却塔壳体形状大小的决定性因素。从 现有的材料来看，对于壳体一般承受的有轴对称载荷还有像风载及地震的随机性载荷，冷却 塔地基的随机的沉淀物及壳体表面的局部缺陷是造成壳体应力较大的原因，不同部位的温度 湿度、混凝土的热胀冷缩也对冷却塔壳体的应力分布有大的影响，因此考虑温度的变化也是 很必要的。 冷却塔作为一种空间薄壁的高耸结构，设计中风荷载是一个重要的控制因素，外国一些 学者已对冷却塔在风载荷作用下的动力分析做了深入研究，1 9 8 5 年n i e m a n n 应用阵风影响 系数的概念将动态的风载荷转换成等效静态载荷1 ，1 9 9 6 年德国的a n m i n 儿详细研究了用 有限元对冷却塔在随机风载作用下的响应n 羽，用此方法不论是冷却塔的静态分析还是动态分 析都能够完成，同时他还比较分析了冷却塔在据德国冷却塔规范的风压和实际风压作用下的 内力情况，指出风载对冷却塔壳体内力有很大的影响，这种方法能够定量估计从德国冷却塔 浙江大学硕十学位论文第一章绪论 规范的风压的适用程度。 此外，人们比较关注的是在役冷却塔的安全性问题，有关学者提出增加冷却塔的厚度n3 1 ， 这点对于那些被腐蚀的在役冷却塔非常适用，在许多国家把这种方法作为提高冷却塔安全性 的重要选择，而且人支柱有足够的强度支撑被修改过的冷却塔，如果不能，则可以增加入支 柱的半径及换用强度高的混凝土材料，但是对于使用时间很长的冷却塔最大的问题是，如何 清除冷却塔壳体表面及黏附在上面的脏物；而在一些国家也出现对冷却塔进行修补n 钔，在南 非及英国采用了两种不同的修补措施，其中英国的冷却塔采用额外的附加物覆盖在冷却塔壳 体的外表面，而在南非的那个冷却塔采用刚性环的方法，这种方法一直沿用到现在。 随着非线性有限元理论的发展，许多学者开始用非线性有限元方法进行自然通风冷却塔 内力分析，其中，学者m a n g 发现冷却塔的极限强度不是由稳定性决定而是由冷却塔材料的 非线性决定n 卯；k r a t z i g 也同样对冷却塔壳体的非线性本构关系进行了研究n 酣，随后有更多 的学者开始关注冷却塔在自重和风载荷作用的极限强度，他们根据实际制定的混凝土规范利 用非线性有限元模拟计算出冷却塔的承载能力u ，当然，这些工作都是假定风载荷为静载荷 下完成的。 国际上关于冷却塔研究的主要成果体现在5 次由国际壳体与空间结构学会 ( i n t e r n a t i o n a la ss o c i a t i o i lf o rs h e l lsa n ds p a c i a ls t r u c t u r e s ) 主办的关于自然通 风冷却塔研讨会( i n t e r n a t i o n a ls y m p o s i u mo nn a t u r a ld r a u h tc o o li n gt o w e r ) ，它们 分别是：1 9 7 8 年在法国p a r i s 举行的第一届研讨会，1 9 8 4 年在德国b o c h u n 举行的第二届研讨 会，以及1 9 8 9 年和1 9 9 6 年分别在法国p a r is 和德国k a is e t l a u t e r n 举行的第三届和第四届研讨 会，最后一届研讨会是在2 0 0 4 年土耳其的is t a n b u l 。在这些国际会议上，各国学者就冷却 塔的各个方面进行深入探讨过，其中最后一届研讨会的专题就涉及风压( w i n dl o a d ) 、抗震 设计( e a r t h q u a k er e si st a n t d e si g n ) 、稳定性与非线性行为( s t a b i1it ya n dn o n li n e a r b e h a v i o r ) 等等多个方面，但其中关于非线性行为研究的文章并不多。如德国的w z a h l t e n ， 和w b k r a t z i g n 盯研究了冷却塔在强风下的瞬态响应，考虑了几何非线性和材料非线性的情 形，而u w it t e k 和r m e is w i n k e l “鲫则利用非线性模型得到温度载荷下的内力值，并将其与线 性解相比较，指出利用非线性理论进行冷却塔的设计更接近真实水平，也更安全。日本的 h n a k a m u r a ，和m o h y a 乜们也做过类似的研究，甚至考虑了混凝土的屈服和开裂。2 0 0 5 年，韩 国的h y u kc h u nn o h 乜1 1 从开裂的形式和裂纹扩展等方面进一步仔细探讨了塔身的屈服过程， 并在此基础上得出了最大的风压承载值。以上表明，国际上对于冷却塔的非线性分析研究正 2 浙江人学硕士学位论文第章绪论 方兴未艾。 国际上虽然关于冷却塔的非线性有限元分析已有多年的研究，但尚有许多工作要做，而 在国内，这一领域的研究则基本处于空白状态。 我国关于冷却塔研究自上世纪7 0 年代初开始，当时还专门成立了大型自然通风冷却塔结 构分析研究小组，北京大学力学与工程科学系的武际可教授等对冷却塔结构分析进行长期的 研究幢钉，开发了一系列用于冷却塔在风载、自重、温度作用下的静力分析专用程序，以及用 于风载及自重作用下的稳定性分析专用程序和用于地震载荷作用下的抗震分析专用程序 1 2 3 - 2 4 1 。除此之外也有许多其他学者对旋转壳体做了很多研究乜5 。2 9 1 ，但这些研究都是属于线性 有限元分析的范畴。 国内虽然对冷却塔进行了广泛的研究，并在近年来兴建了许多超大型冷却塔，但是有关 自然通风冷却塔结构分析依然沿用线弹性模型的分析方式，其中内力分析、稳定性分析等等 都未涉及到非线性本构关系，因此国内在这一领域的研究尚有很多的工作需要做。由于实际 上工程中所有的问题往往是非线性的( 如冷却塔钢筋混凝土材料就是典型的非线性材料，自 然通风冷却塔又是典型的柔性结构，需要考虑其大变形及几何非线性) ，为了适应工程问题 的需要，在解决某些具体的问题时，往往忽视一些次要因素，将他们近似的作为线性问题处 理，这也是合理的，但是更精细的分析不能再简化为线性问题进行处理，应用非线性有限元 理论才能得到符合实际的结果。为此，有必要应用非线性有限元对冷却塔结构进行详细研究， 这正是本文的目的之所在。 1 2 有限元的发展与应用 有限元法作为处理固体力学问题的方法提出，可以追溯到c o u r a n t d 们在1 9 4 3 年的工作， 他第一次尝试应用定义在三角形区域上的分片连续函数和最小势能原理相结合来求解圣维 南扭转问题。此后，一些应用数学家、物理学家和工程师源于各自工作的需要，都涉及过有 限元概念的应用。有限元法第一个成功应用于弹性力学平面问题的是t u r n e r 和c l o u g h 等 人1 9 5 6 年在分析飞机结构时所获得的成果，他们的研究为利用电子计算机求解复杂平面问 题开创了新局面，几乎于此同时，中国科学院的冯康教授也独立地提出了类似的方法。1 9 6 0 年c l o u g h b 2 1 进一步处理了弹性力学平面的问题，并第一次提出“有限单元法”的名称，从 此人们开始认识有限单元法的功效。 浙江人学硕士学位论文第一章绪论 4 0 多年来，有限元法的理论e l 趋完善，应用得到迅速发展，几乎遍及所有的工程技术 领域。有限元法能够迅速发展成为现代工业与工程技术密不可分的一个组成部分，除了依赖 于现代工业化技术发展需要的大环境之外，有限元法本身具有的很多优点也吸引了大量的理 论研究人员和工程技术人员它的主要优点有： ( 1 ) 概念浅显，容易掌握，可以在不同的理论层面上建立起对有限元法的理解，既可以通 过非常直观的物理解释来理解，也可以建立在基于严格的数学理论分析。 ( 2 ) 有很强的适用性，应用范围极广。它不仅可以成功地处理线性弹性力学问题、非均质 材料、各向异性材料、非线性应力一应交关系、大变形问题、动力学问题以及复杂非线性边 界条件问题，而且随着其基本理论和方法的逐步完善和改进，能成功地用来求解如热传导、 流体力学、电磁场等领域的各类线性与非线性问题。它几乎适用于求解所有的连续介质和场 问题，以至于目前开始向纳米级的分子动力学渗透。 ( 3 ) 有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机软件。这样，不仅可以充分利用高速计 算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且可以使求解问题的方法规范化、软件商业化， 为有限元法的推广和应用奠定了良好的基础。 虽然有限元法有很多优点，但是对于有限元分析的初学者，以及应用和开发有限元软件 的工程技术人员来说，必须了解和掌握有限元的基本概念和它的分析步骤，否则，有限元软 件只是给你提供一个数值分析的黑匣子，使你面对软件中的许多选择或参数确定而感到束手 无策、无所适从，甚至会使数值分析结果完全偏离实际工程，给出错误结论。应用有限元分 析实际工程，大致包含下列主要步骤： 建立模型 推导各类有限元方程的列式 求解有限元方程组 数值结果表述 对于需要系统掌握有限元理论的初学者，必须全面掌握上述4 方面的内容，而对于仅使用有 限元商用软件解决实际工程问题的技术人员，其主要工作体现在第1 和第4 项，而第2 、3 项可作大致了解，具体均是有有限元软件本身来完成。 有限元建模是应用有限元法解决工程问题的关键，直到2 0 世纪8 0 年代以前，人们重点 关注基本单元的力学性能，尽可能使这些单元能与考察对象的结构部件力学性能一致，诸如 平面单元、对称轴单元、梁单元、板壳单元等等，至今已多达近百种。而现在，建模目标已 4 浙江大学硕士学位论文第一章绪论 经发展成为建立一个某一种工业产品的详细的设计模型，使其能适用于检验其产品的所有 工业准则或标准。随着有限元应用的发展，在不久的将来，有限元模型可能成为“虚拟”的 样品原型，在产品没有出世之前，已经能够全面地预测其性能。为了达到这一极具诱惑力的 目标，除了必须具备相应的工程知识以外，还必须对有限元的基本理论和方法有透彻的了解， 也就是必须建立与实物一致的有限元模型，这不仅是简单的外形一致，它有涉及试验数据如 何转换为输入文件和这些文件在有限元分析中的地位和敏感程度，同时还必须清楚地意识到 产生数值分析误差的根源，以及评估各种算法的限制和误差的影响量。这一切将对有限元建 模提出更高的要求。完成建模以后，另一个重要的问题是有限元方程求解的各种方法和技巧。 线性有限元比较简单，可以选择的方法相对较少，结果也较为稳定，但非线性问题就比较复 杂，可能对于同一个有限元模型，选择不同算法，甚至不同步长，会给出完全不同的结果。 有限元法的基本理论经过4 0 多年的发展，已基本趋于完善。但它在应用科学和工程技 术领域中的应用还方兴未艾，随着推广和应用的深入有待于解决的问题会不断的涌现出来， 因此有限元分析中将会出现许多极有意义的机遇和挑战，同时有限元将会在未来的工程技术 当中发挥越来越重要的作用。 1 3 本文的主要研究内容 本文以某电厂的冷却塔为例，该塔淋水面积9 0 0 0 m 2 ，塔高约15 0 米。由于工程需要，该 塔需采用国内和国外规范两种规范进行校核，为此本文用a n s y s 通用有限元软件对两种规范 进行比较分析，分别计算自然通风冷却塔在自重、温度及风载作用下的内力，得到在国内和 国外两种规范下壳体的内力分布，比较其差异并研究其线性稳定性；另一方面，由于自然通 风冷却塔为钢筋混凝土结构需考虑其非线性本构关系，故引入非线性本构关系进行分析，并 对线性与非线性两种方法的结果进行比较，还进一步进行非线性稳定性分析，指出非线性稳 定性与线性稳定性分析的结果差别不大，并对该结果进行了分析。 浙江大学硕士学位论文第一二章非线性有限元及在a n s y s 中的实现 2 非线性有限元及在a n s y s 中的实现 2 1 非线性有限元的分类和求解 实际工程结构往往要考虑结构的材料及几何非线性等，此时需用大变形理论及非线性本 构模型描述该过程，相应的计算方法应利用非线性有限元分析方法，有关的理论及有限元方 法已有大量的专著，由于篇幅不再详细评述，本节对材料、几何非线性的特点及常用的求解 方法作简单介绍。 ( 1 ) 材料非线性 当结构的形状出现不连续变化( 如缺口、裂纹，突变等) 时，这些部位出现应力集中。 当外载荷达到一定量值时，这些部位首先进入塑性状态。这时线性弹性的本构关系不再适用。 另外，还有一些材料( 如高分子材料) 的应力应变特性本身就呈现非线性性质，这类问题表 现为非线性弹性与弹塑性口引。 非线性弹性与弹塑性材料中的塑性阶段均呈现非线性物理性质，如果按加载过程考察， 这两类问题非线性性质是相同的，只要能给出它们的非线性本构关系，其计算方法一样。但 是它们有明显的不同点，一是弹塑性材料有一个从弹性进入塑性的转折点；二是考察卸载过 程会出现不同的物理现象。非线性过程的弹塑性材料是不可逆的，超过线性变形部分后再加 载时会出现残余应交和大于初始弹性极限的弹性区域，从而导致应力一应变关系的不唯一性， 并且与加载情况有关。另一类材料非线性是某些材料在常应力条件下，变形与时间有关，但 往往随着载荷作用期的延长是蠕应变增大，这种蠕变的非线性主要由材料的物理非性态所引 起。比如说在常温下受力作用的钢材，变形随时间的变化可以忽略不计，但是如果要考虑火 力发电站汽轮机的叶片，它在高温下长期工作，这时叶片的变形随时间的变化是不能忽视的。 又比如，常力作用下钢筋混凝土的变形随时间的变化，在一般建筑结构中都是忽略不计，但 是在考虑水库大坝安全性的时候，蠕变却是一个不可忽略的因素，至于橡胶、塑料等高分子 聚合物，蠕变影响更加要注意。 ( 2 ) 几何非线性 几何非线性是由结构变形的大位移所造成。在讨论线性弹性力学问题的时候，通常隐含 一个假设：结构在外载荷作用下产生的位移及应变都是很小的，在建立结构或微元体的平衡 6 浙江人学硕士学位论文第二章非线性有限元及在a n s y s 中的实现 条件时，可以不考虑物体位置和形态的变化，也就是利用变形前的状态建立平衡条件。同时 还认为应变与变形之间存在线性关系。因此，在线性有限元计算中，仍假定结构加载过程中 单元的几何形态基本不变。这实际上是一种线性近视，它包含两个方面：一是应变与位移之 间做了线性化处理，忽略高阶应变的小量；二是把平衡方程的坐标系建立在平衡前的初始坐 标系上，即将结构变形后平衡状态用变形前初始结构平衡状态不作任何修正的加以描述，这 就是小变形假设的近似处理引。 几何非线性关注的问题就是将上述两个近似处理恢复事物的本来面目，对上述第一个近 似线性化处理撤消，这就是习惯上所谓几何小变形非线性问题，如板壳横向弯曲的挠度问题， 它可以表述为结构在加载过程中不能忽略小应变的有限转动的弹性力学问题。另一类几何非 线性问题是指有限变形( 或大应变) 问题，如橡胶等高分子结构材料，它们即使在弹性状态 下，也可能产生很大的变形和位移，它们的变形过程已经不能直接用初始状态( 未受力) 加 以描述，且平衡的几何位置还是未知的。同时解决这类问题的另一个难度还在于他们的应力、 应变定义和度量准则与线性问题有所变化，因此必须重新的定义，由此给几何大变形非线性 问题的方程建立和求解带来复杂性。 ( 3 ) 边界非线性 边界非线性包括两个结构物的接触边界随加载和和变形而改变引起的接触非线性( 它包 含有摩擦接触和无摩擦接触) ，也包括非线性弹性地基的非线性边界条件和可动边界问题。 两个物体相互接触后，随着两个物体间接接触合力的变化，他们之间的接触面大小，接 触处应力均会发生变化。这些变化不仅与接触面力的大小有关，而且与两个物体的各自材料 性质有关。即使材料性质是线弹性的，接触问题仍然表现出强非线性性质。如果材料性质是 非线性的，接触非线性性质表现更为强烈与复杂”。 在非线性问题求解中，不管属于哪一类问题，他们有几个共同的特点，对于一般非线性 方程组，到目前为止尚未能找到一种理论上能精确求解的方法，现在均采用近似解法，其中 数值解法采用最多，也最广泛，其解法具有以下特征： 非线性问题的解不一定是唯一的。 解的收敛性事前不一定能得到保证，还可能出现不稳定状态，如震荡现象，甚至于发 散。 非线性问题的求解过程比线性问题更为复杂和困难，结果的处理也更为复杂。 非线性静力分析问题，无论是几何非线性，还是材料非线性，应用有限元法最后也可 归结为一个非线性方程组： k ( u ) u - f = o 其中k ( “) 是n x n 阶的刚度矩阵，矩阵元素k u 是矢量”的函数，而f 也是已知的n 阶等效节 点力矢量。 对于这样的非线性方程组求解，一般来说是不可能求得他们的精确解的，通常我们用一 系列线性代数方程组的解去逼近所考察的非线性方程组的解，下面介绍两种计算中用到的常 见的边值问题非线性方程组的求解方法。 a 直接迭代法 设非线性方程组为 y ( 甜) = k ( 甜) 甜一f = o 取某个近似解为 甜2 甜0 那么，可以得到一个近似矩阵 k o = k ( u o ) 将k o 代入式( 2 1 ) 可以得到一个改进的一次近似解 = ( ) 1 x f 重复上述过程，以第以次近似解求得第n + 1 次近似解的递推公式为 象 i n 。美尝x f )+ 。= ( 吒) 叫j 式中下标玎为第行次近似，而非幂次以后迭代式均相同表示；( ) 一- 为矩阵求逆。 若给定一个充分小的正数，当 i i “。1 1 = 1 1 。+ 。一“。8 时，迭代终止，这样得到方程组( 2 1 ) 的近似解。 b 牛顿一拉斐逊( n e w t o n - r a p h s o n ) 法 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 浙江人学硕士学位论文第二章非线性有限元及在a n s y s 中的实现 求解非线性方程组2 1 的方法中，最著名的是牛顿一拉斐逊法，简称n r 法，；g - 基本过程 如下： 任何具有一阶导数的连续函数y ) ，在甜。点作一阶泰勒展开，在”。点附近的 近似线性公式是 咖御) + 斜砌飞) ( 2 3 ) 令r = k ( u ) x u ，则由式( 2 1 ) 知3 r o u = 3 9 l a u ，故上式为 胂州+ 乱脚飞) ( 2 4 ) 由此，非线性方程y ( 材) = 0 在点附近的近似方程改写成线性方程 川龃o ”= 。 ( 2 s ) 由于一般情况下，b r b u 。，o ，它的解为 z ，。+ = 一( 割。： y c “。， 甜斛l2z ， + a g 肿l ( 2 6 ) 这就是牛顿一拉斐逊法的迭代公式。 牛顿一拉斐逊法的迭代过程，可以用图2 1 所示一维非线性问题求解过程明显显示。 r = k ( u ) x u 0 u oi l lu 2 u 图2 1 一维非线性n - r 法示意图 9 f 浙江大学硕十学位论文第一章非线性有限元及在a n s y s 中的实现 一般情况下，n - r 法的收敛性很好，但是某些非线性问题，比如理想弹塑性或者软化塑 性问题时矩阵求逆可能会出现困难，此处不过多涉及b 。 2 2a n s y s 中非线性分析的过程简介 a n s y s 软件是融结构、流体、电场、磁场等分析于一体的大型通用有限元分析软件，它 具有强大的前处理、加载求解以及后处理能力，具有很好的静力分析、结构动力学分析、结 构非线性分析及热分析等基本功能，现在已经广泛的应用于土木、机械、电子、航空航天等 诸多领域，并对这些领域产生了深远的影响。本文主要的有限元计算软件就是a n s y s ，为了 满足计算的需要，本节简要介绍a n s y s 非线性静力分析的基本过程及内容。 2 2 1 非线性分析的基本步骤 a n s y s 有限元软件求解非线性静力分析时，通常包括以下6 个步骤。 ( 1 ) 前处理( 建模和分网) 非线性的前处理和线性分析一样，如果分析中包含大变形效应，则应力一应变数据必须 用真实应力和真实应变或对数应变表示。 ( 2 ) 求解控制 包括五大块：基本选项( b a si c ) 、瞬态选项( t r a n s l e n t ) 、求解选项( s o l 、no p ti o n s ) 、 非线性选型( n o n ii n e a r ) 和高级非线性选项( a d v a n c e dn l ) ，这里只提及下一章分析当中 用到的选项。非线性结构静力学分析中可以设置的基本选项包括四个： a 如果开始一项新的分析，在设置分析类型和非线性选型时，选择“l a r g ed is p l a c e m e n t s t a ti c ”。 b 时间选项的设置可以在任何一个载荷步更改。 c 非线性分析通常需要多子步或时间步，这样来模拟载荷增加以获得比较精确的解。命 令n s u b s t 和d e l t i m 是用不用的方法获得同样的效果。 d o u t r e s 控制结果数据输出到结果文件( j o b n a m e r s t ) ，默认情况下只会输出最后一个 子步的数据。另外，默认情况下，a n s y s 允许最多输出1 0 0 0 个子步的结果，可以利用命令 c o n f i g ，n r e s 来修改该限定。 在高级载荷步选项中，可以设置的选项包括以下几个： 1 0 浙江大学硕十学位论文第二章非线性有限元及在a n s y s 中的实现 自动时间步长 可以利用命令a u t o t s ，o n 打开自动时间步长选项。自动调整时间步长能保证时间不过 长或者过短，保证计算的进行。 迭代收敛精度 非线性问题的求解中，a n s y s 程序会进行平衡迭代知道满足迭代精度“c n v t o l 或是达 到最大迭代数“n e q i t ”。如果对默认设置不满意，可以对这两者进行设置。 求解方程最大迭代步数 a n s y s 程序默认设置方程最大迭代步数为1 5 2 6 ，其准则是缩短时间步长以减少迭代步 数。 预测校正选项 如果没有壳单元或梁单元，默认情况下预测校正选项都是打开的，如果当前子步的时间 步长缩短很多，预测校正会自动关上。对于瞬态分析预测校正也自动关上。 ( 3 ) 设置其他求解选项 其他选项主要指无法在求解控制器中设置的其他求解选项，包括应力刚化( s t r e s s s ti f f n e s s ) 、牛顿一拉斐逊选项( n e w t o n r a p h s o n ) 、时间步开放控( o p n c o n t r o l ) 、求解监 控器( m o n i t o r ) 、输出控制( o u t p r ) 等等。 ( 4 ) 加载 加载的步骤和静力分析一样，惯性加载和几种载荷的方向是固定的，而表面载荷在大变 形里面会随着结构的变形而改变方向，另外可以利用一维数组( t a b l e ) 给结构定义边界条 件。 ( 5 ) 求解 求解的步骤也和线性静力分析一样。不过，如果定义多载荷步，则必须对每一个载荷步 指定时间设置、载荷步等选项等，然后保存，然后选择多载荷步求解。 ( 6 ) 后处理 非线性静力分析的结果包括：位移、应力、应变和反作用力，可以通过p o s t l ( 通用后 处理器) 和p o s t 2 6 ( 时间历程后处理器) 来观察这些结果，这里不展开分析1 浙江大学硕士学位论文 第二章非线性有限元及在a n s y s 中的实现 2 2 2a n s y s 中的非线性求解 a n s y s 程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非 线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来 求解非线性问题。 ( 1 ) 非线性求解方法 一种近似的非线性求解是将载荷分成一系列的载荷增量。可以在几个载荷步内或在一个 载荷步的子步内施加载荷增量。在每一个增量的求解完成后，继续进行下一个载荷增量之前， 程序会调整刚度矩阵以及反映结构刚度的非线性变化。纯粹的增量不可避免的随着每一个载 荷增量累计误差，导致结果最终失去平衡。a n s y s 程序使用牛顿一拉斐逊平衡迭代可以克服 这种困难，它迫使在每一个载荷增量的末端解达到平衡收敛( 在某个容限范围内) 。在每次 求解前，n - r 方法估算出残差矢量，这个矢量是回复力( 对应于单元应力的载荷) 和所加载 荷的差值。程序然后使用非平衡载荷进行线性求解，且核查收敛性，如果不满足收敛准则， 重新估算非平衡载荷，修改刚度矩阵，获得新解，持续这种迭代过程直到问题收敛。a n s y s 程序提供了一系列命令来增强问题的收敛性，如自适应下降、线性搜索、自动载荷步及二分 法等，可以被激活来加强问题的收敛性。如果不能得到收敛，那么程序要么继续计算下一个 载荷步，要么终止( 依据用户指示而定) 。 对某些物理意义上不稳定系统的非线性静态分析，如果仅仅使用n - r 方法，正切刚度矩 阵能变为降秩矩阵，导致严重的收敛问题。这样的情况包括独立实体从固定表面分离的静态 接触分析，结构的非线性弯曲问题。对这样的情况，可以采用弧长法来帮助稳定求解。 ( 2 ) 非线性求解级别 非线性求解被分成3 个操作级别：载荷步、子步和平衡迭代。 a “顶层”级别由在一定“时间”范围内明确定义的载荷步组成。假定载荷在载荷步内 是线性变化的。 b 在每一个载荷子步内，为了逐步加载可以控制程序来执行多次求解( 子步或时间步) c 在每一个子步内，程序将进行一系列的平衡迭代以获得收敛的解。 ( 3 ) 载荷和位移的方向改变 当结构经历大变形时应该考虑载荷将发生什么变化。在许多情况中，无论结构如何变形 施加在系统中的载荷都保持在恒定的方向。而在另一些情况中，力将改变方向，它会随着单 1 2 浙江人学硕士学位论文第二章非线性有限元及在a n s y s 中的实现 元方向的改变而变化。a n b s y s 程序对这两种情况都可以建模，依赖于所施加的载荷类型。 加速度和集中里将不管单元方向的改变而保持他们最初的方向，表面作用在变形单元表面的 法向，且可被用来模拟“跟随力”1 。 2 2 3 几何非线性的实现 小转动( 小挠度) 和小应变通常假定变形足够小，以至于可以不必考虑由变形导致的刚 度阵交化，但是在大变形分析中，必须考虑由于单元形状或方向导致的刚度阵变化。使用命 令n l g e o m ，o n ，可以激活大变形效应( 针对支持大变形的单元) 。对于大多数实体单元( 包 括所有大变形单元和超弹单元) 和大多数梁单元都支持大变形。大变形过程在理论上并没有 限制单元的变形或转动( 实际的单元还是要收到经验变形的约束，即不能无限大) ，但求解 过程必须保证应变增量满足精度要求，即总体载荷要被划分为很多小步来加载。 ( 1 ) 大应变大挠度 所有梁单元和大多数壳单元，以及其他的非线性单元都有大挠度效应，可以通过命令 n l g e o m ，o n 来激活该选项。 ( 2 ) 应力刚化 结构的面外刚度有时候会受到面内应力的明显影响，这种面内应力与面外刚度的耦合， 即是应力刚化，在面内应力很大的薄结构中非常明显。应力刚化理论通常假定单元的转动和 变形都非常小，所以它是应用小转动或线性理论。可以在第一个载荷步中利用命令p s t r e s ， o n 来激活应力刚化选项。大应变和大转动分析过程理论上包括初始应力的影响，在使用 n l g e o m ，o n 激活大变形效应时，会自动包括初始刚度的影响。 ( 3 ) 旋转软化 旋转软化会调整( 软化) 旋转结构的刚度矩阵来考虑动态质量的影响，这种调整近似于 在小挠度分析中考虑大挠度圆周运动引起的几何尺寸的变化，它通常与由旋转模型的离心力 所产生的预应力 p s t r e s 】一起使用。利用o m e g a 和c m o m e g a 中k s p i n 选项来激活旋转软化效 应1 。 2 2 4 材料非线性的实现 在求解材料非线性有关问题时，与材料相关的因子会导致结构的刚度变化。塑性、多线 浙江大学硕士学位论文 第二章非线性有限元及在a n s y s 中的实现 性和超弹性的非线性应力一应变关系会导致结构刚度在不同载荷阶段发生。蠕交、粘弹性和 粘塑性的非线性则与时间、速度、温度及应力相关。如果材料的应力应变关系是非线性的或 跟速度相关的，必须利用t b 命令( t b t e m p ，t b d a t a ，t b p t ，t b c o p y ，t b l i s t ，t b p l o t ，t b d e l e ) 用数据表的形式来定义非线性材料特性羽，下面分别就塑性、非线性弹性、蠕变这三种常用 的材料进行简单介绍。 ( 1 ) 塑性 对于很多工程材料，在达到比例极限之前，应力一应变关系都采用线性形式。超过比例 极限之后，应力一应变关系呈现非线性，不过通常还是弹性的。而塑性则以无法恢复的变形 为特征，在应力超过屈服极限之后就会出现。因为通常情况下比例极限和屈服极限只有微小 的差别，在塑性分析中a n s y s 程序假定这两点重合。施加载荷的次序，以及在何种塑性阶段 施加将影响最终的结果，如果想在分析中预测塑性响应，则需要将载荷分解成一系列增量步 ( 或时间步) ，这样模型才有可能正确的模拟载荷一响应路径，每个增量步( 或时间步) 的最 大塑性应变会储存在输出文件( j o b n a m e o u t ) 里面。自动步长调整选项【a u t o t s 】会根据实 际的塑性变形调整时间步长，当求解迭代次数过多或塑性应变增量大于1 5 时会自动缩短步 长。如果采用步长过长，a n s y s 程序会减半或采用更短的步长。 在塑性分析的时候，可能还会同时出现其他的非线性特性。如大转动和大应变的几何非 线性通常伴随塑性同时出现，可以用命令n l g e o m 激活相关选项。 ( 2 ) 非线性弹性 非线性弹性材料行为选型( m e l a s ) 描述一种保守响应( 与路径无关) ，其加载和卸载沿 相同的应力一应变路径。所以对于这种非线性行为可以使用相对较大的步长，其加载方式与 塑性状况下类似。 ( 3 ) 蠕变 在本文的研究中没有涉及到蠕变，但蠕变是任何工程当中无法忽视的破坏因素，在后续 的研究工作当中也可能用到。蠕变是一种与速度相关的材料非线性，它是指当材料受到持续 载荷作用的时候，其变