（基础数学专业论文）单点hopf代数模上的不变双线性型.pdf

摘要 摘要 1 9 7 5 年，d a v i de r a d f o r d 在域k 上构造了两类有限维点h o p f 代数1 9 9 9 年，他又继续研究了“单点h o p f 代数”的结构和性质，并且给出了一个有用的 引理使得我们可以判定有限维点h o p f 代数是否为有限维单点h o p f 代数我们 知道，这些代数都具有有限表示型2 0 0 4 年，杨士林研究了一类有限表示型点 h o p f 代数h ( “) 的表示理论，作为推论他给出了单点h o p f 代数r ( q ，o ) 所有不 可分解模的分类 我们知道，不变双线性型在代数表示理论的研究中是重要的2 0 0 4 年，杨士 林在限制型h o p f 代数嵋”( s t 2 ) 的任意有限维半单模上构造了嵋”( s 1 2 ) 一不变双 线性型可以看到叼”( s t 2 ) 一不变双线性型的矩阵j ( z ，a ) 具有很好形式 本硕士论文目的是在单点h o p f 代数r ( q ，n ) 的所有有限维不可分解模上构 造出所有n ( q ，o ) - 不变双线性型，并且给出它们所对应的矩阵 关键词：不变双线性型；不可分解模；投射模；单点h o p f 代数 a b s t r a c t a b s t r a c t d a v i der a d f o r dc o n s t r u c t e dt w oc l a s s e so ff i n i t e - d i m e n s i o n a lp o i n t e dh o p f a l g e b r a so v e r af i e l d i n1 9 7 5 t h e ni n1 9 时r 甜f o r dd e s c r i b e dt h es t r u c t u r e s a n dp r o p e r t i e so fs i m p l e p o i n t e dh o p fa l g e b r a sa n dg a v et h eu s e f u ll e m m ai n d e t e r m i n i n gw h e t h e rc e r t a i nf i n i t ed i m e n s i o n a lp o i n t e dh o p fa l g e b r a sa r ef i n i t e d i m e n s i o n a ls i m p l e p o i n t e d i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ef i n i t ed i m e n s i o n a ls i m p l e p o i n t e dh o p fa l g e b r a sh a v et h ef i n i t er e p r e s e n t a t i v et y p e s h i l i ny a n gs t u d i e dt h e r e p r e s e n t a t i o n so fac l a s so fp o i n t e dh o p fa l g e b r a s 日( n ) i n2 0 0 4 i nh i sp a p e r ，a l l i n d e c o m p o s a b l em o d u l e so fs i m p l e p o i n t e dh o p fa l g e b r a sd e n o t e db yn ( q ，q ) w e r e c l a s s i f i e d w ek n o wt h a tt h ei n v a r i a n tb i l i n e a rf o r mi sa ni m p o r t a n tt o o li nt h er e p r e - s e n t a t i o nt h e o r yo fa l g e b r a s i n2 0 0 4 ，s h i l i ny a n gc o n s t r u c t e d 嵋。( s 1 2 ) - i n v a r i a n t b i l i n e a rf o r m so nt h ef i n i t ed i m e n s i o n a l s e m i s i m p l em o d u l e so v e rr e s t r i c t e dh o p fa l - g e b r a 嵋”( s t 2 ) w e c a ns e et h a ta l lt h em a t r i c e sa c c o r d i n gt ot h e s e 嵋”( s 1 2 ) - i n v a r i a n t b i l i n e a rf o r m sh a v eg o o df o r m s t h ea i mo ft h i st h e s i si st oc o n s t r u c tt h en ( q ，a ) - i n v a r i a n tb i l i n e a rf o r m so n a l li n d e c o m p o s a b i em o d u l e so v e rt h es i m p l e p o i n t e dh o p fa l g e b r a sn ( q ，o 】a n dt o g i v et h e i rc o r r e s p o n d i n gm a t r i c e s k e y w o r d s ：i n v a r i a n tb i l i n e a rf o r m s ；i n d e c o m p o s a b l em o d u l e s ；p r o j e c t i v e m o d u l e s ；s i m p l e p o i n t e dh o p fa l g e b r a s i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名：l 南茳 日期：砧车，月节日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：南扛导师签名：桶七持日期：y d 车j 月7 日 第1 章绪论 第1 章绪论 在本硕士论文中，我们总假定所有的代数、模、向量空间都是在域k 上，数 域通常为复数域，所有的映射都是线性的 1 9 7 5 年，r a d f o r d 在文献f 1 1 中构造了两类有限维点h o p f 代数第一类点 h o p f 代数包含了一个自对偶的点h o p f 代数的子类，这一子类推广了我们熟知的 t a f t 的h o p f 代数在1 9 9 4 年，r m ：l f o r d 在文献 2 】中，构造了两类推广的点h o p f 代数第一类推广了我们熟知的s w e e d l e r 的四维非可换菲余可换的h o p f 代数； 第二类是有限维u n i m o d u l er i b b o n 点h o p f 代数在1 9 9 6 年，s g e l a k i 证明了 以上两类点h o p f 代数在某种意义下的唯性( 见文献【3 ) 在1 9 9 9 年，r o x t f o r d 在文献f 4 1 中引入了“单点h o p f 代数”的概念，研究了单点h o p f 代数的结构和 性质，并给出了其判别方法在2 0 0 4 年，杨士林研究了一类有限表示型点h o p f 代数日( q ) 的表示理论( 见文献【5 ) ，作为推论给出了单点代数r ( q ，o t ) 所有不可 分解模的分类，并且给出了其矩阵形式文献5 1 中得到的所有不可分解模将是 本硕士论文的研究对象为叙述方便，我们先给出日( n ) 和r ( q ，o t ) 的定义 设整数仉f ， ，d 和7 使得乱= ，删以及d l 口，这里有1 = ：和n = t t , d = m d ， w 是n - 次单位根定义： h ( a ) = k ( z ，g l x g = w ”g x ，g ”= 1 ，x 4 = n ( 扩一1 ) ) 其中o 假设c h a t n ，h ( q ) 是一个点h o p f 代数它的余代数结构为： ( z ) = 。 9 7 + l o x ，a ( g ) = g g e ( z ) = o ，e ( 9 ) = l ； z ( g ) = g ，s ( z ) = - x 9 我们知道，对于任何o t k ，点h o p f 代数日( q ) 具有有限表示型( 见文献【5 1 ) 由r a d f o r d 的结果可知，任何有限维单点h o p f 代数r ( q ，o ) 均具有形式 r ( 口n ) = k ( z ，g z g = q - 1 9 x ，9 4 = 1 ，z “= o ( 9 4 一1 ) ) 这里c h a r k 十n ，n = m d ，q 是d - 次本原单位根 北京工业大学理学硕士学位论文 不变双线性型是代数表示理论中重要的研究工具在量子群的表示理论中， 不变双线性型也有很重要的作用r o s s o 型是半单李代数g 的量子包络代数碥( g ) 上的不变双线性型我们可以应用r o s s o 型来构造所谓的h a r i s h c h a n d r a 同态 在文献( 6 】中，j o s e p h 在k a c m o o d y 的情形下定义了r o s s o 型，并明确地刻画了 所谓的h a r m o n i c 元素的空间在文献1 7 1 中，k a s h i w a w a 利用和r o s s o 型相关 的双线性型研究了c r y s t a l 基在2 0 0 4 年。杨士林在限制型h o p f 代数蟛”( s 2 2 ) 的所有有限维半单模和投射模上构造了不变双线性型，给出了相对应的矩阵，并 证明了唯一性f 8 1 如何在单点h o p f 代数r ( q ，n ) 的所有有限维不可分解模上构造r ( q ，) 一不 变双线性型的问题，目前还没有相应的结果本文的目的是要解决这个问题，并 且给出它们所对应的矩阵 本硕士论文主要的研究方法是：根据日一不变双线性型的定义，得到其等价 关系( 分别为引理3 l 、引理4 1 和引理5 1 ) ，对所有的可能情况进行讨论，适 当构造双线性型( 一，一) 使得它是日一不变的，再给出相对应的矩阵，最后证明 结论的正确性 本硕士论文的主要结论为定理3 7 ，定理47 和定理5 6 在第3 章中，作者在单点h o p f 代数r ( q ，0 ) 的每个有限维不可分解模上构造 了n ( q ，0 ) 一不变双线性型，并给出相对应的矩阵我们知道，对于单点h o p f 代数 n ( q ，0 ) ，设e i = i i ，矗 o g ，这里i 磊，则孵= r ( q ，o ) e , r ( q ，0 ) z u + l e i 是 u + l 维循环r ( q ，0 ) 模，其中( “，i ) 乙磊；它带有基q ( i ) = 岛，0 j “ 在同构的意义下， a 掣i ( “，i ) 函x 磊) 是r ( q ，0 ) 的所有有限维不可分解模的 同构类的集合第3 章的主要结论为 定理3 7 对于每个固定的有序对( u ，i ) z dx 磊，记单点h o p f 代数r ( q ，0 ) 的每个有限维不可分解模嵋的基元素为( ) ，其中0sj 假设( 一，一) 为 模 犁上的k 双线性型 情形( 一) 当0 a n 2 i + m u ，a = 1 或2 时，令初值 ( 咖( t ) ， d 一垒( i ) ) = 1 ， 则k 一双线性型( 一，一) 是n ( q ，o ) 一不变的，当且仅当 2 第l 章绪论 ( 1 ) m2 i ； ( 2 ) 它对应的矩阵为 0 o ( 一1 ) 警( 1 4 + 0 l 0 并且以上矩阵是唯一的 情形( 二) 当2 j + m u a n 茎2 i 十2 m u 。a = 1 , 2 或3 ，令初值 ( u d 一案一。， ”) = l 则k - 双线性型( 一，一) 是r ( q ，o ) 一不变的，当且仅当 ( 1 ) m 2 i ( 2 ) 它对应的矩阵为： 并且以上矩阵是唯一的 oo 01 一w m ( u 一1 ) 0 0 我们已经知道当a 0 时，单点h o p f 代数r ( q ，n ) 有两类有限维不可分解 模，作者将分别在第4 和第5 章中讨论 在第4 章中，作者在单点h o p f 代数冗( q ，n ) 的每个有限维单投射模只上构 造了r ( q ，o 卜不变双线性型，并给出相对应的矩阵对于每个1 i m 一1 ， 3 北京工业大学理学硕士学位论文 设d 维单投射模只的基为 v d i ) if = o ，1 ，d 1 ) 已知n ( q ，o ) 在只上的作 用为： m ，也扩引0 3 。3 m 卜k “嘲。， o 0 o 0 0 ( 一1 ) “一2 叫竿一4 7 ”p a “ 缸( ：) 0 oo 0 以( ；) 00 00 这里的以( 。) 和 c ( ；) 都是未定元，且这些矩阵是唯一的 在第5 章中，作者在单点h o p f 代数r ( q ，o t ) 的所有有限维不可分解模m 蔷上 构造了r ( q n ) 一不变双线性型，同时给出相对应的矩阵对于每个i z m ，令e ；= 一4 - dxd 、， c 1 n 0 0 o 1 u 第1 章绪论 击 却g 亩，这里n = ig ( 甘) i 假设皿= h 龟，同时设e 0 l = j 1 ”“g 这里0 fsd 一1 已知，单点h o p f 代数r ( q ，o ) 的第二类有限维不可分解 模是几纪= h e o f h z u + l e o f ；每个m & 都是u + 1 维的，带有基( f ) ，这里 0 u d 一1 ，0 f d 一1 第5 章的主要结论为 定理5 6 当n o 和d23 时，对于每个有序对( u ，f ) z a z a ，记单点 h o p f 代数r ( q q ) 的每个不可分解模蚴的基为v d t ) ，这里0 “d 1 假设( 一，一) 是在模m 蔷上定义的双线性型 情形( 一) 当0 2 1 一a ds “时，双线性型一，一) 是非退化r ( q ，n ) 一不 变的，当且仅当在固定初值( ( f ) ，u t ( f ) ) = r r ( s , t ) 以 f + d 一2 1 ，这里的i t ( 吖) 均为未定 元，0 s ，t “且a = 0 ，1 的情形下，它所对应的矩阵为 7 0 ，2 l a d 0 o o 并且以上矩阵是唯一的 情形( 二) 当一“2 1 一a d 0 时，双线性型( 一，一) 是非退化r ( q ，o ) 一不 变的，当且仅当在固定初值( ( 2 ) ，v t ( f ) ) = 7 r ( s , t ) + d 一2 1 ，这里的i t ( 州) 均为未定 元，0 8 ，t u 且a = 1 ，2 的情形下，它所对应的矩阵为 ，( “，1 ) 0o 7 7 a d 一2 t 0 0 00 并且以上矩阵是唯一的 扣+ 1 ) x 札+ 1 ) 计 蚪。 一n o 北京工业大学理学硕士学位论文 本文组织结构如下： 第二章主要是相关的背景知识和方法在第3 章中，作者在单点h o p f 代数 r ( q ，0 ) 的所有不可分解模上构造了r ( q ，0 ) 一不变双线性型，同时给出了相应的 矩阵；在第4 章和第5 章中，作者分别在单点h o p f 代数r ( q ，n ) ( n 0 ) 的所 有单投射模和不可分解模上构造了r ( q n ) 一不变双线性型，同时给出了相应的 矩阵；这些矩阵具有很好的形式，并且在某种意义下它们是唯一的 第2 章预备知识 第2 章预备知识 设c 为域k 上的余代数，用g ( c ) 表示g 中所有类群元的集合我们知道， g ( e ) 是线性无关的( 【9 】命题3 2 1 的部分结论) 余代数g 中一个类群元可以 张成一个一维的子余代数 余代数g 称为是点的，如果它的所有单子余代数都是一维的如果g 是一 个点余代数，则c o = g ( g ) j 是域上的向量空间，带有基c ( c ) 如果g 是 双代数，则c ( c ) 在乘法下是一个半群；如果c ，是h o p f 代数，则半群c ( c ) 是 一个群 定义2l 称域k 上的h o p f 代数日为点的，如果它的所有单子余代数都是 维的( 见文献f 4 j ) 定义2 2 称域上的h o p f 代数日为单点的，如果满足： ( a ) h 是点h o p f 代数； ( b ) h 是非余交换的； ( c ) 如果a 是h 的一个真子h o p f 代数，那么a 劬0 ( h ) 1 ( 见文献 4 】) 点h o p f 代数包括很多重要的例子，例如群代数和f r o b e n i u s - l u s t i g 核( 见文 献 5j ) 最近，有限维点h o p f 代数的分类问题引起了很多研究者的关注维数 为p 3 的非半单点h o p f 代数的分类在文献i l o 中有相关结果维数为p 4 的非半 单点h o p f 代数的分类在文献 1 1 中被构造出来r a d f o r d 在文献 4 】中研究了 单点h o p f 代数的结构和性质在2 0 0 4 年，杨士林在文献【5 1 中得出了关于单点 h o p f 代数的表示的一些有趣结论：作者研究了一类点h o p f 代数日( n ) 的表示理 论，作为推论，作者把单点h o p f 代数r ( q ，a ) 的所有不可分解模进行了分类，并 且给出了其矩阵形式 定义23 设日是域k 上的h o p f 代数，v 是一个左皿模假设 ( 一，一) ：v v k 是女一双线性型如果对于所有的u ， v ，h h 都满足 ( 蛔“) = e ( ) ( 叩) ( h ) 北京工业大学理学硕士学位论文 或者等价的， ( h v ，u ) = ( ，s ( ) ) 则称( 一，一) 是h 一不变的 在文献( 8 j 中，作者在限制型h o p f 代数w ”( s 1 2 ) 的任意有限维半单模上( f ，q ) 上构造了嵋2 8 ( s 1 2 ) 一不变双线性型可以看到嵋”( s l y ) 一不变双线性型的矩阵 j ( t ，d ) 具有很好形式，同时在有限维半单模的集合 l ( f ，n ) l o = 4 - 1 ，! e4 ) 与叼。( 8 c 2 ) 一不变双线性型矩阵的集合 l ，( f ，) f o = 4 - 1 ，f 4 ) 之间有一一对应 一8 一 第3 章 在有限维不可分解模上构造r ( q ，0 ) 一不变双线性型 第3 章在有限维不可分解模上构造r ( q ，o ) 一不变双线性型 点h o p 代数h ( a ) 的单模在一些文献中已经有所讨论( 见文献【1 0 】) 假设 单点h o p f 代数月( 吼( t ) 满足c h a r k 十n ，其中口= f a ( n ( q ，。) ) f ；设s 是它的 a n t i p o d e 在本章中，我们先回顾单点h o p f 代数r ( q ，0 ) 的所有有限维不可分解模的结 构，然后将在这些模上构造r ( q ，o ) 一不变双线性型 3 1 圊顾有限维不可分解模的结构 在文献【5 】中，我们已经知道：对于每个t 况，设e t = j e ，z n 口矿，则 掣= r ( 口，o ) e j r ( q ，o ) z “+ 1 e ；是+ 1 一维循环r ( q ，0 ) - 模，这里( u ，i ) z a 磊； 它带有基( ) = 一e t ，其中0 j u 在同构的意义下， 掣i ( u ，i ) z d 磊 是r ( q ，0 ) 的所有有限维不可分解模的同构类的集合 容易得到等式 9 1 x k = q - k l x 女g 一1 g 一1 e t = w t e i 3 2 构造r ( q o ) 一不变双线性型 对于每个有序对( u ，i ) z ax 乙，假设( 一，一) 是在模嶝上定义的k 一双线 性型根据定义2 3 ，要使得( 一，一) 是r ( q ，o ) - 不变的，当且仅当它满足关系式 ( g 。q ( t ) ，仉( t ) ) = ( ( i ) ，s ( 9 ) 仉( ) ) ( x ( t ) ，讥( ) ) = ( 码( i ) ，s ( z ) - ( i ) ) 在第一个关系式中，左边= w - - i - ”( q ( i ) ，讥( z ) ) ；右边= w ”( ( i ) ，( i ) ) 于是，第一个关系式等价于 北京工业大学理学硕士学位论文 在第二个关系式中，左边= ( t 。+ l ( t ) ，( ) ) ；右边= 一+ “( q ( i ) ，y k + l ( t ) ) 于 是，第二个关系式等价于 ( v j + 1 仉( t ) ) = - - w ”“( ) ，u m ( f ) ) 引理3 1 ：要使得( 一，一) 是五( q ，0 ) 一不变的，当且仅当它满足关系式 ( u 3 0 ) ，u 女0 ) = u 7 “+ 1 u + ( j 0 ) ， 女0 ) ) ( 3 1 ) ( u ，+ - 0 ) ，0 ) ) = 一 ”“。( o ) ，+ - 0 ) ) ( 3 2 ) 由关系式( 3 1 ) ，易知当且仅当n | ( 2 i + 删+ m k ) 时，才可能( t 。( t ) ，( t ) ) 0 ， 我们只关心这种情形；其余情形，一定有( ( ) ，( 1 ) ) = o 下面来具体讨论2 i + m ( j + ) 的所有可能取值我们知道i 乙，o j ，su 及0 u d 一1 ，容易得到0 2 i + m ( + k ) 4 n 一2 m 一2 轨，可得三 个可能的取值为2 i + m ( j + k ) = a n ，其中a = 1 ，2 , 3 下面依次来讨论在这三种 可能取值之下，应如何构造一双线性型( 一，一) ，才能使得它是r ( q ，o ) 一不变的 3 2l 当a = 1 时，构造r ( q ，o ) 一不变双线性型 当a = 1 时，即当2 i + m ( j 十女) = n 时，一定有m 12 i 和以下两种情形 情形( 1 1 ) ：当0 j + k = d 一示2 1 u 和仇i2 i ，即当0 n 2 i + m 让 和m2 i 时，根据引理3 1 中的关系式( 3 2 ) ，令初值( o ( i ) ，一( ) ) = 1 。经 过递推，容易得到 ( 码( 帆d 一鲁一，( i ) ) = ( 一1 ) ”w + m 耻争扣o + 1 1 j = ( 一1 ) w 一。一 州+ 1 q c j i 似 哪 = 一 封 讪 = p h 争驴 - 占 m m 似 缸 一 叫 f | = 0 0 o o 塾m 墼m 一 一 0 “池忆 “ ；舭 k l e 扣 o | |m 州 “ m 礁 o 叫卜 | 娟 l 塾玳 丝m 第3 章 在有限维不可分解模上构造r ( q ，o ) 一不变双线性型 ( ( i ) ，”t ( t ) ) = 0 ，其余 根据以上的构造和递推，我们可以得到 引理32 当0sns2 i + m 时，令初值( v o ( t ) ， g d - ( i ) ) = 1 ，则- 双线 性型( 一，一) 是非平凡n ( q ，0 ) 一不变的当且仅当 ( 1 ) m l2 i ； ( 2 ) 它对应的矩阵为： ，( u ，i ) = 0 o 0 o1 1 _ “0 u + 1 ) h + l 并且以上矩阵是唯一的 证明：要想使得k 一双线性型1 - , ) 是r ( q ，o ) 一不变的，只需在r ( q ，0 ) 的 生成元z 和9 上验证引理3 1 中的两个关系式就可以了 当令初值( v o ( i ) ，一趾( i ) ) = l 时，一方面，对于任意的0 茎，k ，有( g v a i ) ，巩( i ) ) = w 一”。( t 。( z ) ，( i ) ) ；同时有( v a i ) ，s ( g ) 仉( t ) ) = w ”2 “( t 。( i ) ，( z ) ) ， 容易得到，当2 i + ，町+ m k = n 时，有w 一哪= w m k “，即所构造的( 一，一) 满 足引理3 l 中的关系式( 3 一1 ) 另一方面对于任意的0 k u ，有扛( t ) ，啦( i ) ) = ( v j + l ( ) ，( z ) ) ，同 时有( ( ) ，s ( z ) 讥( ) ) = 一w ”“( ( ) ， o k + ( i ) ) 将矩阵中的各个非零项代入以 上的两个式子，很容易能得到所构造的( 一，一) 满足引理31 中的关系式( 3 2 ) 根据引理3 1 ，通过令初值和递推，可以得到：当0 n 兰2 i + m u 时，要 想使得k 双线性型( 一，一) 是r ( q ，0 ) 一不变的，必须满足m2 更进一步，当 m2 i 时，根据以上的构造和递推过程，很容易得到r ( q ，0 ) 一不变双线性型对应 的矩阵，并且这些矩阵是唯一的 情形( 1 2 ) ：当u j + = d 一罢2 u 和 12 i 时，即当2 i + m u n 2 i + 2 m u 和m 2 i 时，根据引理3l 中的关系式( 3 2 ) ，令初值( ”d 2 1 。( i ) ，u u ( ) ) = 1 ， 北京工业大学理学硕士学位论文 经过递推，容易得到 ( ”d 一鬻- u + l ( ) v u - 1 ( i ) ) = 一+ ”“ ( 一景2 ( i ) ，一2 ( f ) ) = 2 2 “一3 ( u d 一景。( t ) v u - t ( i ) ) = ( 一1 ) w + “一扣( ( u 。( z ) ，t o 一一。0 ) ) = ( 一1 ) 4 一警 8 ( 2 i 一时 ( t 。( ) ，魄( j ) ) = 0 ，其余 根据以上的构造和推导，我们可以得到： 引理3 ，3 ：当2 i + r n us n 2 i + 2 m u 时，令初值( ”d 一鬻一。( i ) ，札( i ) ) = l ，则 k 一双线性型1 - , 一) 是r ( q ，o ) 一不变的当且仅当： ( 1 ) m l2 i ； ( 2 ) 它所对应的矩阵为： l ，( u ，i ) = 00 01 _ w i + m ( u 1 ) 0 0 扣+ 1 ) x 阻+ 1 ) 并且以上矩阵是唯一的。 证明：具体验证过程与引理3 2 的证明是类似的 3 2 2 当a = 2 时，构造r ( q ，o ) 一不变双线性型 当a = 2 时，即当2 i + 巧+ m k = 2 n 时，有以下两种情形 t 静形( 2 一1 ) ：当o sj + k = 2 d 一箬“和m l2 i 时，即当o 2 n 兰2 i + 1 7 z ? _ 和m2 i 时，根据引理3 1 中的关系式( 3 2 ) ，令( ( ) ，u 2 d - 娶( i ) ) = 1 ，经过递 第3 章在有限维不可分解模上构造n ( q ，o ) 一不变双线性型 推，容易得到 扣l ( i ) 7 2 2 d - 鲁一l ( i ) ) = 一”“2 8 一鲁一1 = 一w 一“ ( 啦( i ) ，v 2 d - - 熹- 2 ( 2 ) ) = 2 h ” ( 2 8 一景一1 ) + ( 2 4 一鲁一2 ) j = w 一2 p 3 “ ( 码( ) v 2 d - ：一j ( i ) ) = ( 一1 ) w i j + m j ( 2 d - 鬻1 一洳+ 1 】= ( 一1 ) 一。一 町( + 1 ( 2 d 一( ) ，如( t ) ) = ( 一1 ) - 警w ( 嘶1 ) 一” ( ( i ) ，啦( ) ) = 0 ，其余 根据以上的定义和推导，我们可以得到： 引理3 4 当0s2 n 2 i4 - m u 时，令初值( u o ( i ) ，一( i ) ) = 1 ，则k 双线 性型( 一，一) 是r ( q ，0 ) 一不变的当且仅当： ( 1 ) m2 t ； ( 2 ) 它所对应的矩阵为： j ( u ，i ) o o ( 一1 ) 鲁( 2 d + 1 ) 一 n 0 01 一 + ”0 并且以上矩阵是唯一的 证明：具体验证过程与引理32 的证明是类似的 u + 1 ) ( + 1 情形( 2 2 ) ：当“j + 女= 2 d - 鬲2 i 2 u 和m2 时，即当2 i4 - m u 2 n 2 i + 2 m u 和? n 2 i 时，根据引理3 1 中的关系式( 3 2 ) ，令( 啦d 一鬻一。( z ) ， “( 。) ) = 1 北京工业大学理学硕士学位论文 经过递推，容易得习 ( u m 鲁。( t ) ，一) = ( 一1 ) “ t o + ”胁一抛+ 1 ( u 。( t ) ，v 2 d _ 2 - - t _ a ( ) ) = ( 一1 ) 墨- w 2 ( 2 d - 1 ) + “” ( v j ( i ) ，( ) ) = 0 ，其余 根据以上的推导，我们可以得到； 引理35 当2 i + m ? a 2 n 2 i + 2 m u 时，令初值( 2 d 一鬻一。( ) ，( t ) ) = l 则k 一双线性型( 一，一) 是n ( q ，0 ) 一不变的当且仅当； ( 1 ) m2 ； ( 2 ) 它所对应的矩阵为： 00 01 w i + m ( u 一1 ) 0 0 ( 一1 ) 鲁2 ( 2 d - - 1 ) + 一u 00 并且以上矩阵是唯一的 证明：具体验证过程与引理3 2 的证明是类似的 3 2 3 当a = 3 时，构造r ( q ，o ) 一不变双线性型 当a = 3 时，即当2 z + m j - i - m k = 3 n 时，容易知道 0 2 i + m “3 n m 一2 3 n 因此 3 d 一景，所以只能取usj + k = 3 d 一景s2 u ，即2 i + m u 3 n 2 i + 2 r n u 州 一 抑 州 旷 斟 一 w | i = ) )0 “ o _ ) o 0 “ 柚 “| 兰 h m 扣 扣 叱 第3 章在有限维不可分解模上构造n ( q ，o ) 一不变双线性型 和m2 i 在这一情形之下，根据引理3 1 中的关系式( 3 2 ) ，令初值 ( d 一景一。，) 2 1 经过递推，容易得到 ( u 3 d 一等一。+ 1 ( ) ，u 。一1 ( i ) ) = 一w 件”( “一1 ) ( 口“一熹。2 ( ) v u - - 2 ( i ) ) = w 2 “2 “一3 ( ”。d 一鬻m 一) ) = ( 一1 ) w “一拟州 ( 口。0 ) ，d 一：一。0 ) ) = ( 一1 ) 景一3 d ( 3 d 一1 卜 “( 3 4 1 卜”“ ( ( i ) ，( i ) ) = 0 ，其余 根据以上的推导，我们可以得到： 目i 理3 6 当2 i + m u 3 n 2 i + 2 m u 时，令v j f f t ( d 一嚣一。，v u ) = l ，贝0k - 双线性型( 一，一) 是n ( q ，o ) 一不变的当且仅当 ( 1 ) m2 l ； ( 2 ) 它所对应的矩阵为： j ( u ，i ) 00 01 w i + m ( u 1 ) 0 0 ( 一1 ) 鬻一剐w ( 3 a - 1 ) 一 “( 3 d - 1 ) “0 0 并且以上矩阵是唯一的 证明：具体验证过程与引理3 2 的证明是类似的 3 3 主要结论 通过3 2 节中五种情形的讨论，我们可以将引理3 2 一引理3 6 进行总结归 纳，得到本章的主要结论： 北京工业大学理学硕士学位论文 定理3 7 对于每个固定的有序对( u ，z ) z dx 磊，记单点h o p f 代数r ( q ，0 ) 的每个有限维不可分解模啤的基元素为v a i ) ，其中0s ，su 假设( ，一) 为 模 掣上的k 一双线性型 情形( 一) 当0 a ns2 i + l “，a = 1 或2 时，令初值 ( ( z ) ，”肌墨( i ) ) 21 ， 则k - 双线性型( 一，一) 是n ( q ，o ) - 不变的，当且仅当 ( 1 ) m l2 i ； ( 2 ) 它对应的矩阵为： j ( “，i ) o o o o l 一 + “0 并且以上矩阵是唯一的 情形( 二) 当2 + m u m 2 i + 2 m u ，a = 1 , 2 或3 ，令初值 ( y & d - 等u u ) = 1 ， 则k 一双线性型( 一，一) 是n ( q ，o ) 一不变的，当且仅当 ( 1 ) m 2 i ( 2 ) 它对应的矩阵为： j ( u i ) = 1 6 0 m + i ) ( u + i 1 0 0 一n o 机 i | m 第3 章在有限维不可分解模上构造r ( q ，o ) 一不变双线性型 并且以上矩阵是唯一的 证明：固定某个初值以后，要想使得双线性型( 一，一) 是r ( q ，o ) - 不变的， 只需要在日的生成元z 和9 上验证引理3 1 中的两个关系式就可以了具体验 证过程与引理3 2 的证明( 1 ) 是相同的 另外，根据以上的构造和递推过程，很容易得到所构造的r ( q ，0 ) 一不变双线 性型的矩阵在固定某个初值以后是唯一的 3 4 本章小结 在第3 章中，我们首先回顾了单点h o p f 代数r ( q ，0 ) 的每个有限维不可分解 模埘。的结构；然后提出了作者的主要研究目标，即要在每个有限维不可分解模 旭上构造r ( q ，o ) 一不变双线性型，并且给出相对应的矩阵 在3 2 节，作者从r ( q ，0 ) 一不变双线性型的定义出发，分析了在有限维不可 分解模a 掣的前提下r ( q ，0 ) 一不变双线性型的等价定义关系，得到了引理3 1 然后，根据引理3l ，作者就三种可能情形分别讨论了应该如何在有限维不可分 解模a 口上构造k 一双线性型才能使得是它r ( q ，0 ) 一不变的，并且给出了相对应 的矩阵，主要结果为引理32 一引理3 6 在3 3 节，作者进行了总结归纳，得到了本章的主要结论定理3 7 根据这一定 理，我们可以得到单点h o p f 代数r ( q ，0 ) 的所有有限维不可分解模上的r ( q ，o ) 一 不变双线性型的定义方法只有两种情形，同时作者分别给出了它们所对应的矩 阵，并且证明了以上矩阵在固定某个初值以后是唯一的 北京工业大学理学硕士学位论文 第4 章在有限维单投射模上构造n ( q n ) 一不变双线性型 已知，当n o 时，单点h o p f 代数r ( q ，a ) 有两个不可分解模的同构类，它 们分别是第4 章和第5 章中的研究对象 4 1 回顾有限维单投射模的结构 对于每一个l is 卅设d 维单投射模只的基为仇( ) ，其中t = 0 ，1 ，d - 1 已经知道单点h o p f 代数r ( q ，o l ) 在只上的作用为 可得一些常用的等式 f ( 地( i ) ) 一叫一2 叮仇( f ) ，0 sz d 一1 z ( 仇a ) ) = v t + 1 ( i ) ，0 f d 一2 x ( v d 一1 0 ) ) = n ( w 一“1 ) v 0 0 ) g 仉( i ) = 1 一“。饥( 1 ) ， 9 饥( i ) = ”“饥( t ) ， 9 7 - v t ( i ) = 叫q + ”竹仇( 曲 4 2 构造几( q ，o ) 一不变双线性型 假设( 一，一) 是在每个只上的k 双线性型，这里1 i 茎矗要想使得双线 性型( 一，一) 是r ( q ，n ) 一不变的，则必须满足以下的关系式： ( g - v s ( i ) ，y t ( ) ) = ( 。( t ) ，s ( g ) - 饥( i ) )( 4 1 ) ( z y s ( ) ，仇( i ) ) = ( ( i ) ，s ( z ) 仇“) )( 4 2 ) 关系式( 4 1 ) 的左边= 一”沁( i ) ，仇( i ) ) ；右边 是，关系式( 4 1 ) 等价于 ( ；( 2 ) ，u 0 ) ) = z 0 2 i + m o + 。) i v 。( i ) ，u o ) ) 第4 章在有限维单投射模上构造n ( q ，a ) 一不变双线性型 关系式( 4 2 ) 的左边为 ( 。州n 州跏：卜“( ) 1 仇o ) ) 如果0g 剑。2 lq ( w “一1 ) ( w o o ) ，v t “) ) 如果s = d 一1 右边为 ( 1 ) s ( z ) ，s ( z ) 仇( ) ) = 一( 虬( 。) ，x 9 1 仇( i ) ) = 一w ”“州( i ) ，zm ( i ) ) i w 1 + “州( 0 ) ，v t + l ( t ) ) 如果0 tsd 一2 fn ( 叫一出一i ) 叫”+ m 。( ( ) ，( i ) ) 如果t = d 一1 通过以上的分析，我们可以得到 引理4 1 当n 0 时，对于每个1 i m 一1 ，记单点h o p f 代数r ( q ，q ) 的d 维单投射模r 的基为饥( i ) ，其中t = 0 ，1 ，d 1 假设( 一，一) 是定义在只 上的k 双线性型，则( 一，一) 是r ( q ，q ) 一不变的，当且仅当它满足以下四种情形 中的关系式 情形a ：当0 s ，t d 一2 时，它必须满足 l ( ( i ) ，仇( t ) ) = w 耕”( ”札( i ) ， t ( e ) ) i ( u s + l ( i ) ，仉( 1 ) ) = 一叫竹+ ”吖( ( e ) ，v t + l ( i ) ) 可设在这一情形下，它所对应的矩阵为a ( t ) ( d 1 ) 。( d 一1 】； 情形b ：当s t d 1 时，它必须满足 l ( u d l ( ) ，u d 一1 ( i ) ) = w ”“( 一1 ( 2 ) ， d _ l ( ) ) i ( 1 7 0 ( i ) ，w d 一1 ( t ) ) = 一 小”1 一l ( ) ，u o ( i ) ) 可设在这一情形下，它所对应的矩阵为b ( i ) 1 。1 ； 情形g ：当s = d 一1 且0st d 一2 时，它必须满足 l ( 蚴l ( z ) ，饥( 。) ) = w 2 ”( 。1 ( 啦一l ( i ) ，q ( i ) ) in ( w “1 1 ) ( 。( ) ，仇( i ) ) = - - w 什”w ( 一1 ( i ) ，口+ 1 ( ) ) 北京工业大学理学硕士学位论文 可设在这一情形下，它所对应的矩阵为e ( ) l ( d _ l ) ； 情形d ：当t ：d 一1 且0 s d 一2 时，它必须满足 i ( 。( 2 ) 、? ) d - i ( ) ) = w 2 ”( ”1 ( 仉( t ) ，一1 ( i ) ) i ( 地+ l ( i ) ，一1 ( t ) ) = 一o ( 一“一1 ) t u l 7 一”1 ( 口a ( t ) ，t m ( ) ) 可设在这一情形下，它所对应的矩阵为d ( i ) ( d 1 ) x 1 根据引理4 1 ，容易得到 引理4 2 对于每个眠d 2 ，l i m l ，引理4 1 中的n ( q ，q ) 一不变 双线性型所对应的矩阵j ( ) d 。d 具有如下的分块： 耶，= ( 且巍筹僦 。 下面 42l 依次来求这四个分块矩阵 确