（基础数学专业论文）广义sasakian空间形式中的子流形的相关不等式.pdf

摘要 本文主要研究广义s a s a k i a a 空间形式中子流形的不等式问题，推广了s a s a k i a a 空间形式中相应子流形的相应结论 第一章简要介绍了子流形的基本理论和公式，包括子流形的概念，基本方 程及活动标架法下的计算公式 第二章在介绍切触度量流形以及广义$ a s a k i a n 空间形式后，又介绍了广 义$ a s a k i a n 空问形式中的几类子流形以及子流形的一些计算公式 第三章首先介绍了实空间形式以及黎曼流形中子流形的r i c c i 曲率的不等 式和不等式等号成立的等价条件，并证明了黎曼流形中子流形的r i c c i 曲率的 不等式以及等号成立的等价条件，其后介绍了广义s a s l l 【i m 空间形式中两类 子流形的r j c c i 曲率的不等式，并给出了不等式等号成立的等价条件 第四章则考虑的是广义s a w n 空间形式中的反不变1 一子流形的s c a l a r 曲率不等式得到了不等式成立的一个等价条件并，从而推广了s * 出8 n 空 问形式中的反不变上一子流形的相应结论 关键词广义$ a s a k l a u 空间形式；s c a l a r 曲率；r i c c i 曲率；子流形 a b s t r a c t t h et h e s i si sm a i n l yt os t u d yt h es c a l a rc u r v a t u r ei n e q u a l i t yo fs u b m a n l f o d o fg e n e r a l i z e ds a s a k i a ns p a c ef o r m f r o mw h i c hae q u i v a l e n tc o n d i t i o ni 8o b t a i n e d w h e nt h ee q u a l 姆c a s eh o l d t h er e s u l tg e n e r a l i z eat h e o r e mf o rt h es c a l a rc u r v a t u r e i n e q u a l i 蚵o fa n t i - i n v a r i a n tf 1s u b m a n i f o l do fs a s a k i a ns p a c ef o r m i n s e c t i o n l ，w e d i s c u s s e s o m e f u n d a m e n t a l t h e o r y a n d f o r m u l a s o f s u b m a n i f o l d s i ns e c t i o n2 ，i n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o no ft h ec o n t a c tm e t r i cm a n i f o l da n dg e n - e r a l i z e ds a s a k i a ns p a c ef o r m ，a sw e l la st h ef o r m u l a sc o n c e r n e df o rs e v e r a ls u b m a n - i f o l d si ng e n e r a l i z e ds a s a k i a ns p a c ef o r m i ns e c t i o n3 ，w es t u d y t h e r i c c i c u r s i v e o f s u b m a n i f o l d s o f r e a ls p a c e f o r m a n d r i e m a n n i a nm a n i f o l d s a ni n e q u a l i t yo fr i c c ic u r v a t u r ef o rs u b m a n i f o l d si m m e r s e d i n t oar i m a n n i a ni sp r o v e d m o r e o v e rw ed i s s c u e st h ec a s ew h e nt h ei n e q u a l i t y b e c o m e se q u a l i t y a tl a s tw ei n t r o d u c et h ei n e q u a 】i t 螂o nr i c c ic u r v a t u r e f o rs u b - m a n i f o l d si ng e n e r a l i z e ds a s a l l a ns p a c ef o r m s ，a n dg i v et h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o ns u c h t h a tt h ee q u a l t yc a s eh o l d s i ns e c t i o n4 ，w es t u d l yt h es c a l a rc u r v a t u r ef o ra n t i - i n v a r h n tp s u b m a n i f o l d o fg e n e r a l i z e ds a s a k i a ns p a c ef o r m w ep r o v eas c a l a rc u r v a t u r ei n e q u a l i t yo fs u b - m a n i f o l do fg e n e r a l i z e ds a s a k i a ns p a c ef o r ma n da ne q u i v a l e n tc o n d i t i o nw h e nt h e i n e q u a l i t yb e c o m et h ee q u a l i t y , w h i c hg e n e r a l i z eat h e o r e mf o rt h es c a l a rc u r v a t u r e i n e q u 蛳o fa n t i - i n v a r i a n tps u b m a n i f o l do fs a s a k i a ns p a c ef o r m k e yw o r d sg e n e r a l i z e ds a s a k i a ns p a c ef o r m ；s c a l a rc u r v a t u r e ；r i c e i c u r v a t u r e ；s u b m a n i f o l d s 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果f h 本人承 担。 论文作者签名：参纷 签名日期：翮年6 月ge l 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构递交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的 前提下，学校可以公布学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守 此规定) 口 论文作者签名：布冷 签名日期：加7 年# 月g 日 导师签名：柳 签名日期：力陴月，e l 第一章子流形的概念及基本方程 第一章子流形的概念及基本方程 1 1 子流形的概念及基本方程 设( ，雪) 是付+ p 维黎曼流形，m 是n 维微分流形，：m 一是浸入浸 入，自然的诱导出肘上一个度量9 = 广雪，这样使得m 也成为黎曼流形，且 ，：m 一是黎曼流形m 到的等距浸入此时m 称为的黎曼子流形( 简 称为子流形) p 称为子流形m 在中的余维数特别，当p = l 时，称m 为 的超曲面 ，：m 一是没入，因而在局部上是嵌入由于我们的计算是在局部上进 行的，因而可假设m 已嵌入在中将j v 上的黎曼联络记为亏对z m ，用 2 m 表示l m 在e 中的正交补集于是 对珏已n ，则有 死= 瓦村o t m x = x t + x 上，x r t 。m , x 上砑m 疋的p 维子空间砑m 称为m 在点z 的法空间令 t x m = u 硭掰， z e m 它称为m 的法丛于是 t n = t m o t m 设x ，y 输( m ) ( m 上全体c ”向量场的集合) ，根据【1 中命题1 1 3 知 审。y 有意义( 或理解为将x ，y 延拓为上的向量场再作运算) ，其正交分解 记为 钆y = v 。y + b ( x ，y ) ，( 1 1 1 ) 湖北大学硕士学位论文 其中v ；y 和b ( x ，y ) 分别表示m 的切向和法向分量 命题1 1 1v 是m 作为黎曼流形( m ，g ) 的黎曼联络 证对惯，e z 鸵( m ) ，a ，b c ”( m ) ，由( 1 1 1 ) ，有 另一方面 v x ( y + z ) = 审工y + 亏x z = v x y + v x z + b ( x ，y ) + b ( x ，z ) ，( 1 1 2 ) v x ( y + z ) = v 。( y + z ) + b ( x ，y + z ) ( 1 , 1 3 ) 比较上面两式右端的切向部分，即得 同样，易知 而 另外 v 。( y + z ) = v x y + v x z v x + y z = v x z + v y z 审。x ( 6 y ) = 口 6 v ；y + ( x b ) y = a ( x b ) y + a b ( v x y + s ( x ，y ) ) ，( 1 , 1 4 ) v a x ( b y ) = v a x ( b y ) + b ( a x , b y ) ( 1 1 5 ) 比较( 1 1 4 ) 与( 1 1 5 ) 右端的切向部分，则有 v 。x ( b y l = a ( x b ) y + a b v x y 可见v 为m 上的仿射联络又因为 0 = v x ( y ) 一专t r ( x ) 一i x ，明 一2 第一章子流形的概念及基本方程 = v x y v r x + b ( x ，y ) 一b ( y ，x ) 一，( 1 1 6 ) 因而有 v x y v v x 一，y 】= 0 最后由于 x 辑刁= ( v x ( ”，动+ ( v , v x ( z ) ) = 1 口y + b ( x ，y ) ，z ) + ( v x g + z ( x ，z ) ) ；v x m z ) + ( k 1 9 k z ) 因此v 为( m ，9 ) 的黎曼联络 如果分别比较( 1 1 2 ) 与( 1 1 3 ) ，( 1 1 。4 ) 与( 1 1 5 ) 的法向部分，则 有 b ( x ，y + z ) = b ( x ，y ) + b ( x ，z ) ，( 1 1 7 ) b ( 硝，b y ) ；a b b ( x ，y ) ( 1 1 ，8 ) 由( 1 1 6 ) 还得 b ( x ，y ) = b ( y ，x ) ( 1 1 9 ) 令舻m 表示m 上光滑法向量场的集合，于是有下列命题 命题1 1 2 映射b ：鸵( m ) 靛( m ) 一跪上( m ) 是对称的和泸( m ) 双线性 的，它在每点o m ，诱导了一个对称双线性映射玩：互( m ) 露( d 一砑 f b 称为子流形m ( 或等距浸入，) 的第二基本形式豆= 墨打b 称为子流形 的平均曲率向量平均曲率向量的长度称为平均曲率，记为日 若x 豫( m ) ，f g 卜( m ) ，令 亏x f ；一生x + v 主毛 ( 1 1 1 0 ) 其中- a e x 和v 主f 分别表示m 的切向和法向分量 命题1 1 3 映射a ：n ( m ) 聍1 ( m ) 一驼( m ) ，( x ，f ) 一a x 是伊( m ) 双线性的因而对任一点$ m ，( a e x k 仅依赖于恐和靠，它诱导了一个映射 如：瓦( m ) 蛩m 一疋m 3 湖北大学硕士学位论文 证a 关于加法线性是明显的设口，b 沪( m ) ，于是有 审“( 蜒) = d ( x 6 ) f h a f ( x ) + b y t ) 另一方面 亏d ( k ) = 一如( a x ) + v & ( k ) 比较上面二式的切向和法向部分，得 a k ( a x ) = a b a e x ， ( 1 1 1 1 ) v ( b e ) = 口( x 砷f + 曲v 支( 1 1 ，1 2 ) 由( 1 1 1 1 ) 即知命题得证 命题1 1 4v 1 是7 “m 上关于诱导度量的度量联络 证 由( 1 1 1 2 ) 及v 1 具有的明显的加法线性，可知v 上为法丛上的联络 另外，对已 7 w - ( 肘) ，有 v x = 一a x + v 圭 v x 碍= 一a x + v 支耳， 因而 ( v 支 ，7 7 ) + ( f ，v 支确= v x ，前+ 德，亏x 7 = x f ，前( 1 1 1 3 ) 此即说明v 上保持诱导度量，即v 1 是关于诱导度量的度量联络 以后简称v l 为子流形的法联络 命题1 1 5 对任意的x ，y 瓣( m ) 和f n - t ( m ) ，有 ( a x ，y ) = ( b ( x ，y ) ，f ) ( 1 1 1 4 ) 证由于 ( y f ) = 0 ， 4 第一章子流形的概念及基本方程 故 0 = x ( k 日= ( c z x y , 9 + ( k 亏x f ) = ( b ( x ，y ) ，f ) 一( y a e x ) 故命题得证 在点互m ，对任一法向量f t m ，则a ：t m 一正m ，x 一 x 是肘 的切空间足m 中的线性变换由命题1 1 5 还知它关于内积是对称的，即有 a x ，y ) = ，a ” ( i i 1 5 ) 线性变换a 称为子流形m 关于法向量f 的w e i n g a r t e a 变换 公式( i i 1 ) 和( 1 i 1 0 ) 分别称为子流形的g a u s s 公式和w e i n g a r t e n 公式 现设耳表示的曲率张量，兄示m 的曲率张量对坝，y z 豫( m ) ，则有 k ( x ，r ) z = f t x g y z f t v 亏x z 一审陋。z 由g a u s s 公式( 1 i 1 ) ，得 k ( x ，y ) z = 专k ( v r z + b ( y , z ) ) 一审y ( v x z + b ( x ，z ) ) - ( v t x ，明z + 日( i x ，y 】，z ) ) = v x v v z + b ( x ，v r z ) + v x b ( y , z ) 一v y v x z b ( rv x z ) 一f t r b ( x ，z ) 一v i x , v i z b ( ，期，z ) = a ( x ，r ) z + b ( x ，v y z ) 一b ( r v x z ) 一b ( 【x ，z ) + v x b ( z ) 一v r b ( x ，z ) 再利用w e i n g a r t e n 公式，得 k ( x ，r ) z = a ( x ，v ) z a b ( y , z ) x + a b ( x 刃y + b ( x ，v r z ) 一 b ( v x z ) 一b ( i x ，y 】，z ) + v 女b ( y z ) 一v # b ( x ，z ) ， ( 1 ，1 1 6 ) - 5 一 湖北大学硕士学位论文 因此对k 4 , v 跪( m ) ，有 ( k ( x ，y ) z ，w ) = ( a ( x ，v ) z ，w ) 一( a b o , z ) x ，w ) + a b ( x ，z ) ) ， 利用( 1 1 1 4 ) ，得 ( k ( x ，y ) z ，w ) ；( a ( x ，v ) z ，w ) + ( b ( x ，z ) ，占( 讳7 ) ) 一( b ( z ) ，s ( x ，w 7 ) ) 即有 命题1 1 6 ( g a u s s 方程) a ( x ，f z ，w ) 一k ( x ，y ，z ，w ) + ( s ( x ，z ) ，b ( k w 7 ) ) 一( b ( z ) ，b ( x ，w 7 ) ) ( 1 1 1 7 ) 在( 1 1 1 6 ) 中，再考虑k ( x ，y ) z 的法向部分( k ( x ，y ) z ) 上，则有 ( k ( x ，y ) z ) 1 = b ( x ，v v z ) 一b ( y , v x z ) - b ( i x ，y 】，z ) + v 支b ( y z ) 一v # b ( x ，z ) 对第二基本形式b ，定义其共变微分亏x b 如下： ( 寺x b ) ( fz ) = v 壹b ( kz ) 一b ( v x ez ) 一b ( v x z ) ，( 1 1 1 8 ) 并注意 ，y 】= v x y v y x 则有 ( ( x ，y ) z ) 上= ( f 7 x b ) ( z ) 一( 亏，b ) ( ，z ) ( 1 1 1 9 ) 法丛t x ( m ) 关于联络v 上的曲率张量r 1 定义如下：对忱，y 豌( m ) ， 第一章子流形的概念及基本方程 豌上( m 3 ，令 舻僻，y k = v 女彤f w 畦一，水 ( 1 1 2 0 ) 对”g 卜( m ) ，完全类似于上面的计算，可得 僻江，y ) ，功= 舻y ) f + b a x ) 一b a 功，7 ) 即有 命题1 1 g ( r i c c i 方程) 若令 ( x ( x ，y ) f ) 上= r 1 ( x ，y k + b ( e a x ) 一s ( x ， ) y 则r i c c i 方程也可写为 ，如】= a 厶一a n a ( k c 墨y ) ，r 1 ) 一 f & ，a 矗x ，”。( 1 1 2 2 ) 1 2 活动标架法下的计算 设m 是n + p 维黎曼流形的n 维黎曼子流形在上选取局部幺正标 架场。l e | i ，l ，c ，i 押，使得限制在m 上时e l e f i 与m 相切，e - a + x ，e - a 仲与 m 正交另外，为了方便起见，约定指标的耿值范围如下： 1 s a ，b ，c ，d ，礼+ 纠1 s t ，j ，k 1 s 嗡 n + 1s n ，卢，7 ，瓦s n + p 令吨是e a 的对偶标架，当限制在m 上时，有 u = 0 ， ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 湖北大学硕士学位论文 n 的第1 结构方程是 外微分( 1 2 2 ) ，并利用第1 结构方程( 1 2 3 ) 得 0 = 砒= w a i a w i 由c a f t a n 引理，有 = 一喝屿，唠= 垛 ( 1 ，2 4 ) 同样，由第1 结构方程( 1 2 3 ) ( 限制在m 上) ，有 龇= 屿，+ w j i = 0 j 即是m 的联络形式 因此，限制在m 上，的联络形式( 矩阵) 为 其中 ( u 加) ：f 1 d a iq 叩 = 衲 而由( 1 1 1 0 ) ，易知u 郇即为法丛的联络v 1 的联络形式，即有 v 1 e 。= u 叩0 e 口 设b 是子流形m 的第二基本形式，对v x ，y 聍( m ) ，令 ( 1 2 6 ) b ( x ，y ) = h 。( x ，y ) e 。， ( 1 2 7 ) n 一8 垤 m 惦 = u 古妇 1 l + 帆 岫 ，jl 第一章子流形的概念及基本方程 则 所以 令 b ( e ，勺) = _ 1 4 ( 白，勺) e 。= ( 守。勺) 1 = “。( q ) e 。 利用( 1 2 8 ) ，可得 而 即有 = 椎魄( 氏k = 强c 口= 口an 。( e i ，勺) = x = 五岛，y = k 岛 t b ( x ，y ) = h 。，y ) e 。 ( o 讪0 e 口) ( x ，y ) i 口 = ( 吩咄。畸 e 。) ( x ，y ) 口j j = 咄( x ) ( y ) a ，t j = 蜴她( 凰“) ( m e l ) e 。 o j tl ；咒玛蝎， b ( x ，y ) = ( o 咄o e 。) ( x ，y ) i a 湖北大学硕士学位论文 因此。我们得到第二基本形式在活动标架下的表达式 b = q 蛾0 e 。= 弘0 屿o ( 1 1 2 9 ) 上式通常简写为 b = 岫e 。- 因而m 的平均曲率向量是 费= 去日( 啪) = ；( h ：) e 。，( 1 2 a o ) m 的平均曲率为 h ：1 n ( 1 2 1 1 ) 的第结构方程为 ( j ，) 幽加= w a c a w c b + 晚舶， ( 1 2 1 2 ) c 其中两船为的曲率形式，故有 而 崛= + + 如一w k a w u j = ， 其中r k 为m 的曲率形式，因此 = + o 1 0 ， 第一章子流形的概念及基本方程 即有 一互1 丢村u 砷一；若“峨 劬+ 磊( h c t * 峨) ( 一啄 将上式右边最后一项系数反称化，得 一；勘斟魄a w l = 一；翰h w k a u l 一；( 憔嗨一媚咏m 劬， 。k 。i。k , l。o ，k i 因而有 心h ；鳓+ ( 蟾强一蟮曝) ， ( 1 ，2 1 3 ) o 此即g a u s s 方程 同样由第结构方程( 1 2 1 2 ) ，得 妣= 哟 哟。+ 咄p 咄+ 礼， ie 利用( 1 2 4 ) 对上式进行整理，得 令 ( 蝎+ 蝎+ h 鑫w k j + 碍恤) 畸= 虬 ( 1 2 1 1 4 ) ， 七i 芦 蝎女蛾- - d h 材+ + 螅+ 0 ， ( 1 2 1 5 ) 其中鸭k 称为的共变导数，因而有 即 k 口 ；i 地 畸= 磊一= ；e k , “j 畸 u 女 ，一j 一；( t 一 ) 屿 u - = i 脚 峨 。j 。j , k 湖北大学硕士学位论文 因此 h i c k 一 赫= 一k 此即子流形m 的c o d a z z i 方程 再由( 1 2 1 2 ) ，得 岫= u 帅+ 咄口枷m ， l 其中n 玉为关于法丛联络v 1 的曲率形式，因此有 q 品= u “ 诏+ q 印 i ( 1 2 1 6 ) 由此知 砧。= 玎+ ( 九端- h z j h l 6 i ) 0 2 1 7 ) z 它正是m 的r i c c i 方程 如( 1 2 1 5 ) ，螺的二阶协变导数坞h 如下； _ 7 i 嚣女m = 砒款+ 0 * ll + 氛+ h 训g t 时蝎女啪。，0 2 1 8 ) ll口 对式( 1 2 1 5 ) 外微分，利用式( 1 ，2 1 8 ) 及子流形m 的结构方程得： 嘴* u t + 蝎t 妣 tk = d a w k + 幽艏+ d 终a w k # 1 2 - 帅 针 u ， 一 筇 咖 = 上叩 q 而 第一章子流形的概念及基本方程 即 + 喙巧+ 眈0 恤+ 坞妣， 七 卢芦 蝎埘劬 峨一伤桃 哦一唤咐 蛾 k l k ，l ，l 一蝎f 坎一缘嗡 蛾+ 嗨蛳 劬 k z口。， = 唱舯 一 g 一蜗 i jk j女j 坞 u 麓+ 唱咖 卢七k , l 岫一；岫 。- 1 m + 喙劬 嗡一嵫 哳一峭岫 t i“女。f 一磕恤 哟+ 鑫u h 最女寿，i 一；椎l 仇劬 。七， m + 碍。w k a w 触- - 喝 岫一吆 即。 8 i ko a ，k + 碍岍 一；碍磕 舭 岫 8 b i 相消后，左面剩一项，右面剩三项，再约去l ，从而得： 所以得 ( 蜴h 一拙) 帆 呐 k l = 匹( + h ) + 0 r 如 w k a w z lm口 一= ( 斛+ 螺斛) + 1 3 碍磕鲥0 2 1 9 ) 日 卢蜴 所 湖北大学硕士学位论文 由式( 1 2 1 6 ) 得危嚣k k = 咏非= 一j f 刨牖再由式( 1 2 1 9 ) 得 蝎= 孙= ( * 一姚) k = ( 九一触) + ( t + 螺t ) + 壤 k k m占 又坛= 韪，所以根 = 雌k = 椎；一致t 洒得 蜂= ( 锄一嘶- 从) + 曼嗡。 i 芦。k + ( t + 螺酊k ) ( 1 2 2 0 ) k m 式( 1 2 2 0 ) 中的耳。“巧是j 乇“ 沿方向e j 求导，即k 幽蛔= 勺( j 腓) ，由式( 1 2 2 0 ) 得： 惕蝎= 一屿( 航巧+ t t ) 口，l j ， j ，o ，i j ，k + 蝎( r 删k + 螺i ) + 伤嘏 ( 1 2 2 1 ) a , i , j ，k ，m口，芦，t 矗k 1 4 第二章一广义$ a s a k i a u 空间中的子流形 第二章广义s a s a k i a n 空间中的子流形 2 1近切触度量空间及广义s a s a k i a n 空间 本文以后在不加说明的情况下，约定号下重复指标表示求和 一个可徽的2 n + 1 维光滑流形舻，件1 称为切触流形，如果其上具有一个整 体的1 - 形式r 使得，7 ( 却p 0 在知+ 1 上处处成立通常称目为切触形式众 所周知一个切触流形具有自然的近切触度量结构( f ，巩识夕) ，具有一个整体的向 量场f ( 也称为特征矢量场) ，一个( 1 ，1 ) - 型张量场妒和一个黎曼度量g ，使得： ，7 ( f ) = 1 ，扩= 一记+ r o f ( 2 1 1 ) 9 ( 妒x ，y ) = g ( x ，y ) 一可( x 叩( y ) ) ( 2 1 2 ) 其中x 和y 为舻”1 上的任意切向量场 如果选择( 仉矾g ) 使得咖( x ，y ) = g ( x ，毋y ) ，则称这种结构为近切触度量 结构此时( 护”1 ，f ，口，g ) 也称为近切触度量流形( 空间) 在一个2 + 1 维近 切触度量流形中( 舻蚪1 ，刁，识g ) 若在上存在三个函数 ，厶， ，使得曲率张 量满足：慨，y ，z t ，有 r ( x ，v z ) = d ( v z ) x + g ( x ，z ) y ) + ，2 9 ( x ，0 窗) 咖y + 9 ( y 妒z ) + 2 9 ( x ，口y ) 庐z ) + ，3 q ( x ) 口( z ) y 目( y 切( z ) x + g ( x ，z ) ，7 ( y k 一9 ( z ) 口( x ) f ) 则称n 为广义的s a s a k i 空间形式，记作：n ( f l ，2 ，3 ) 若对三个函数 ，2 矗取不同的曲率，将得到近切触度量流形中很多常见的 空问形式，现举例如下： 例l ：在广义s a m k i a n 空间形式中，若有 = ，2 = ，3 = ； 1 5 湖北大学硕士学位论文 ( c 为曲率常数) ，则此时的广义s a s a k i a u 空间形式即为c o s y m p l e t i c 空间形式 例2 ：在广义$ a s a k i a u 空间形式中，若有 = 丘= t c + 3 ，3 = 孚 ( c 为曲率常数) 则此时的广义s a s a k i a n 空间形式即为$ a s a k i a n 空间形式 例3 ：在广义$ a s a k i m 空间形式中，若有 = ，2 = 下c - 3 ，3 = 半 ( c 为曲率常数) ，则此时的广义s a s a k i a n 空间形式即为k e n m o t s u 空间形式 例4 ：在广义s a s a k i a n 空间形式中，若有 = 罕，厶= 学扣竿堋， ( c 为曲率常数，为函数，使得u = ，7 7 ) ，则此时的广义s a s a k i a u 空间形式即为局 部共形的具有逐点的常妒截曲率c 的近c o s y m p l c t i c 流形 例5 ：在广义s a s a k i a u 空间形式中，若对锻，y ，z ，we 丁，有 r ( x ，y z ，w ) ；r ( x ，y ，妒z ，c w ) + a g c x ，w ) g ( z ) 一g ( x ，z b ( w ) + f ( x ，妒z ) 9 ( v 妒l 矿) 一g ( z ，c w ) g ( y , 咖z ) ) 这里a 是一实数则此时的广义s a s a k i a n 空间形式即为具有常妒截曲率c 的近 以姗埘的 ：竿：竿 = 广一如= 矗= - 1 6 第二章广义s a s a k i a n 空间中的子流形 2 2 广义s a s a k i a n 空间中的子流形 其中 设m 是广义s a s a k i a n 空间形式中的n 维子流形，对v x t m ，有 由x 毫p x + f x 。 p xe t t m , f x 丁1 m 当f x = 0 ，则称 f 为的不变子流形若有f r m ，则称肘为的 f 1 。子流形 当p x = 0 ，则称m 为的反不变子流形若有fe t l m ，则称m 为的 f 上子流形 而当p x = 0 ，e t - l m ，则称m 为的反不交p 子流形 设m 是( 2 n + 1 ) 维广义s a s a k i a n 空间形式n ( f l ，2 ， ) 中的反不变f 1 子流 形，而t e l ，兜，c ，1 ) 为乃m ( pe 柳的局部单位正交基丙 岛+ 1 = 妒( e 1 ) e n + 2 = 咖( e 2 ) ，e 2 n = 砂( ) ，e - 2 n + l = 针是砑m 的局部单位正交基以下我们 约定指标： 1 s ，j ，k ，n ， 而 乱+ 1 口，p ，7 ，2 n + 1 定义七( 口) 为截面口e 刁m 的截面曲率，则s c a l a r 曲率 平均曲率向量 r = 慨八勺) = ( 2 2 1 ) l i k n l s t 七兰” = r ( 龟，白，e j ，e t ) 日= ( 岛忍) l 湖北大学硕士学位论文 同时设 蝎= 9 ( 九0 “勺) ，e 。) ， l l 九l | 2 = 9 ( ( e t ，勺) ， ( 岛，勺) ) i j f f i l 再由g a u s s 公式可以得到。 ( 2 2 2 ) 即得； = 岛+ 蝣咏一坛峰) ( 2 2 3 ) a 霉n + l 而k l j = r ( e ，e j ，e ，q ) 而由广义$ a s a k i a n 空间形式中曲率算子以及s c a l a r 曲率的定义式，可以得 到： 2 7 = n 一1 ) + 扎2 h h j j 2 一j j 8 2 ( 2 2 ，4 ) 强喂 一 嗡 州一 + 斟 = 第三章广义s 嫩k i a n 空闫中子流形的r i c c i 曲率不等式 第三章广义s a s a k i a n 空间中子流形的r i c c i 曲率不等式 3 1黎曼流形中子流形的r i c c i 曲率不等式 在1 9 9 9 年，b - y c h m 证明了实空间的子流形的外在不变量平均曲率模长的 平方| i 驯1 2 和主要的内在不变量r i c c j 曲率c ) 之间的不等式 命题3 1 设m 是实空间j p ( c ) 中的站维子流形，则有： ( a ) 对任一单位向量xe 耳，p e n ，有 2 嘉鼢) 一何一1 ) c ( 3 1 1 ) 成立 ( b ) 如果目p ) = 0 ，当且仅当 时等式成立 x x t p n h ( x ，y ) = o ，v ye 易) ( c ) ( 3 1 1 ) 式等号成立的充分必要条件为，对任一单位向量x 耳n , pen ， 当且仅当p 是全测地点或者n = 2 对，p 是全脐点 在证明了上述结论后，b - yc h 又将这一结果推广到了黎曼流形的子流形 上。在介绍这个结论前先介绍一个新的曲率概念 定义3 1 设n 是耳n 上的膏平截面，而单位向量x 1 - 选择兀上 一组局部正交基e 1 ，屹，使得e l = x 则在兀上单位向量x 的昆积曲率 崩。m 定义为： 崩。h 。= k z 2 + k l s + + 所n ， ( 3 1 2 ) 劢q i 。被称为七一r i c c i 曲率， 1 9 湖北大学硕士学位论文 因此，对任一取定的e ，i l ，七 ，得到 t 威c n 。( 岛) = 比 辞哼 同时在1 7 t 上的s c a l a r 曲率7 ( n b ) 可以定义为： r ( n ) = 翰 知 l s t j s k 而当取定n k 上一组局部正交基 e l ，e 2 ，e k 后，我们可以得到 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 由此上一点p 处的s c a l a r 曲率等价于它在这一点处的切空间的s c a l a r 曲率，即 有r ( p ) = r ( n j 命题3 2 设m 是黎曼流形 r ”中的n 维子流形，则有： ( a ) 对任一单位向量x 弓，p n ，有 j 兢c ( x ) s 等i 日酽+ 蠢两( x ) ( 3 1 6 ) 成立 和 c o ) ( 3 1 6 ) 等式成立，当且仅当对任一y 乃n 且垂直于x ，有 h ( x ，y ) = 0 2 h ( x ，x ) = n h ( p ) 2 0 一 忙吼 磁 。潮 l l 翰 。嗍 。目 = 。 打 第三章广义s a s a k i a n 空间中子流形的p d c c i 曲率不等式 成立 若对任一单位向量x b n ，p n ，特别地有日= 0 ，则当且仅当 时等式成立 x y t h ( x ，y ) = o ，v y t p n ) ( c ) 着对任一单位向量x 耳n ，p n 等式成立，当且仅当p 是全测地点或 者n = 2 时，p 是全脐点 命题3 2 的证明：由g a t e s 公式可以得到： 即得： 2 t l + l k = 砖+ 蟠咏一蟋啄) ( 3 1 7 ) 口= 件l 而b = r ( 岛，勺，勺，e ) 对( 3 ，1 7 ) 式求和，可得 而 ij h l l 2 = 2 r = 2 毽+ n 2 1 1 h u 2 一1 2 = ( 2 ( 蟛) 2 + ( 螺) 2 + 2 ( 蜴) 2 ) w lj = 2i = l 2 s “j s “ m口 = ( 2 ( ) 2 + 旧) 2 + ( 磁+ + 蠕) 2 2 醒蟮+ 2 ( 蝎) 2 ) o = m + l ，= 22 s t ，n2 s t ，s n n - i1 = 斟1 a + 蜴+ + 喙) 2 + 砉( 螅一一一喙) 2 口磊1 2 l - 哆 喙 一 嗨 陋 ； 一 + h = h 崂 。一 口 。渊 湖北大学硕士学位论文 + 2 ( 嚣) 2 + 2 ( ) 2 2 蠕) ，；22 j n2 i 勺5 4 ， m = ；n 2 1 2 + ；( 始一埸一一喙) 2 一 一a 世- n + l t nm + 2 ( ) 2 2 ( 螺伤一( ) 2 ) 有上面的推导，可以得到 4 l _ n l | 驯| 2 引彳+ 互1 矗_ 埸一一礁) 2 + 互，( ) 2 一互，。是。吩- ( ) 2 ) 再由 r o ) 一双耳m ) = ( 一瓦) ， 1 l 旬如 和g a u s s 公式。可得： ( ：蜴一( 蜴) 2 ) = ( b 一砧) 2 兰“j s nl t j s “ ；他2 i i h l l 2 = ( 乜j 砧) + i ( 椎一埸一一坛) 2 + ( ) 2 j 2 zf n 十j 有此即可得： 酬c 1 ) = 互1 蛔1 2 + 硫删一扣一埸一一蚶一圭。( 吲2 同时得到不等式： 崩c ( e ，) _ l n 2 1 1 h i l 2 + 磊强( e 。) 令x = e i ，即得到： 崩c ( x ) ；n 2 l l h l l 2 + 硫) 第三章广义s a s a k i a n 空间中子流形的r i c c i 曲率不等式 再由等式成立。可得： 也就是说 蝇= + + 礁 屹= 0 2 螅= n i l 当日( p ) = 0 ，可以得到螺= 0 ，又有 嚣= 0 ，再令x = e l ，即得h ( x ，y ) = 0 若对任一单位向量x 刁n ，p n 等式成立，则有坞一0 ，所以p 为全测地点 当n = 2 时，媳= 蜀所以为全脐点命题得证 3 2 广义s a s a k i a n 空间中子流形的r i c c i 曲率不等式 命题3 3 设m 是广义s a s a k i a n 空间形式( ，1 ，2 ， ) 中的n 维子流形，结 构向量场是子流形m 的切向量场，则下列结论成立 ( a ) 对任一单位向量x 弓 p ，有 威c 僻) s 警。酽o + 一1 ) + 3 f = l l p x i l 2 一( 1 + 一2 ) 7 ) 2 ) 3 ( 3 2 1 ) 成立 ( b ) ( 3 2 1 ) 等式成立，当且仅当对任一y 乃n 且垂直于x ，有 h ( x ，= 0 和 2 h ( x ，x ) = n h ( p ) 成立， 若对任一单位向量x 耳n ，p n ，特别地有h ( p ) = 0 ，则当且仅当 x x t ，, n h ( x , y ) = o ，v y 耳) 2 3 湖北大学硕士学位论文 时等式成立 ( c ) 若对任一单位向量x 品n ，p n 等式成立，当且仅当p 是全测地点或 者t , = 2 时，p 是全脐点 命题3 4 设m 是广义s a s a k i 缸空间形式( ，2 ，3 ) 中的礼维f j 子流 形，则下列结论成立 ( a ) 对任一单位向量x 正n ，p n ，有 成立 磁c ( x ) i n 2l | 嚣2 i f + ( n 1 ) + 3 h i i r x l l 2 ( b ) ( 3 2 2 ) 等式成立，当且仅当对任一y 耳n 且垂直于x ，有 h ( x ，y ) = 0 和 2 h ( x ，x ) = n h ) 成立 若对任一单位向量x 乃n ，特别地有固；0 ，则当且仅当 时等式成立 x x t , g h ( x ，y ) = 0 ，v y 耳l v ( c ) 若对任一单位向量x 耳n , p n ，等式成立，当且仅当p 是全测地点或 者乱= 2 时，p 是全脐点 2 4 第四章广义s a s a k i a n 空间中反不变专上- 子流形的不等式 在【2 】中的定理1 ，作者得到一个s a s a k i a a 空间形式上的关于平均曲率，平均 曲率的平方以及s c a l a r 曲率之间的一个不等式，即； h i l 2 端下一警字， 而本文则得到在广义s a